（基础数学专业论文）神经网络对股市预测的研究应用.pdf

大连理工大学硕士学位论文捅妥前馈型多层神经网络模型能逼近任意非线性函数。目前，己广泛应用于模式识别、语音识别、数据压缩等领域。b p 算法作为其学习方式有效地解决了异或、t c 匹配问题，但b p 网络的学习过程是对一个高度非线性函数求全局最优问题，网络训练中尚存在f ：多问题，如网络收敛慢，易陷入局部极小点等。本文对原算法和目前常用的改进算法进行了分析，找出了原算法存在问题的原因。并试图在前人工作基础上，对原有算法做出些微改进，以期新算法在股市预测中取得良好表现。本文主要从激活函数和学习规则这两个角度修改算法：首先，重新选取激活函数，并对步长因子、动量因子做出相应修改。，1lj 。、211这里激活函数选取如下：f ( x ) = 百岩等 了百，一x 了1 ( 凡为一很小的正数) 。l l + z x ) 十l i 一肼j几l通过对该函数的分析，得出它是其定义域内单调有界s 型函数，且可避免( 0 ，1 ) 边界误差较大问题。至于h 则设为动态可调。其次，为了解决有固定学习步长b p 算法的效率问题，本文提出了一种基于共轭梯度方法的全局最优化学习规则，并对所得新算法的收敛性做出了分析及简要证明。之后，本文将该改进算法先后应用于芝加哥期权交易市场的期权价格波动率的预测及沪市中上证综合指数的预测。在这两个应用中，我们将其预测结果与现存的其它预测方法做出比较，对本文所提出算法作出一个较为客观的评价。从本文的两个例子来看，该算法的精确度和效率与其它方法相比都要优越很多。本文结构如下：在第一部分中，阐述了b p 神经网络的基本结构和标准算法，对现存改进算法做出分析并提出一种新的改进算法。第二部分对该算法所要应用的领域一股市期权做出简要介绍，分析了波动率在经济领域中的重要性及其常用计算与预测方法。第三部分将该算法分别运用于期权波动率及股市指数的预测，获得了精度非常高的结果，说明了改进的b p 算法的有效性。最后我们得出结论，改进的b p 算法大大提高了训练速度，基本上解决了局部极小的问题，为神经网络技术提供了一种新的思考问题的方法。关键词：人工神经网络，b p 算法，波动率，指数预测大连理工大学硕二i 学位论文神经网络对股市预测的研究应用a b s tt a c tf e e d f o r w a r dn e u r a ln e t w o r k sc a r ls i m u l a t ea n yn o n l i n e a rf u n c t i o n n o w a d a y s ，i th a sb r o a du s ei nm a n yf i e l d s a so n ep o p u l a rl e a r n i n gm l e ，b pa l g o r i t h mh a sf i g u r e do u tt h ep r o b l e mo fx o ra n dt cm a t c h i n gb u ts i n c et h et r a i n i n gp r o c e s so ft h eb pn e t w o r ki sa l s oag l o b a lo p t i m i z a t i o nq u e s t i o no fah i g h l yn o n l i n e a rf u n c t i o n , t h e r ea r es t i l lm a n yu n s o l v e di s s u e sd t u i n gt h et r a i n i n gc o u r s e f o re x a m p l e ，b pn e t w o r ks u f f e r sf r o mas l o wt r m m n gs p e e da n dc a r le a s i l yg e ts t u c ki n t ol o c a lm i n i m a s ow e v ea n a l y z e dc o n v e n t i o n a lb pa l g o r i t h ma n du s u a li m p r o v i n gt e c h n i q u e f o u n do u tt h er e a s o no ft h o s ep r o b l e m w et r i e dt op r o p o s ean e wa l g o r i t b mb “e do nf o n t l e re f f 0 1 tt oo v e r c o m et h e s ep r o b l e m si no u rf o r e c a s t i n gw o r ko ft h es t o c km a r k e tw em a i n l ya l t e r e dt w oa s p e c to f t h eo r i g i n a la l g o f i t h a n ：t r a n s f e rf u n c t i o na n dl e a r n i n gm l e f i r s t l y ，w ea d v a n c e dan e wt r a n s f e rh m c t i o n ，a n dr e v i s e dt h el e a r n i n gr a t ea n dm o m e n t a n la c c o r d i n g l y t h en e wt r a n s f e rf u n c t i o ni sa l s om o n o t o n ea n db o u n d e d ，b e i n gast y p ef u n c t i o nb e s i d e s , t h en e wf i m c t i o nc a na v o i dt h ei n c o r r e c ts i m u l a t i o nm a t 【e rn e a r0a n d1 s e c o n d l y t os o l v et h ee f f i c i e n c yp r o b l e mo ft h ea l g o r i t h mw i t hf i x e dl e a r n i n gr a t e ，w ep r o p o s e dan o v e lg l o b a lo p t i m i z a t i o nl e a r n i n gm l eo nt h eb a s i so ft h ec o n j u g a t e - g r a d i e n tm e t h o d ，a n da n a l y z e dt h ec o n v e r g e n c eo fi t a f t e rt h a t ，w ea p p l yt h ea l g o r i t h mt ot h ef o r e c a s t i n go f t h ev o l a t i l i t yo f t h eo p t i o nt r a d e da tt h ec h i c a g ob o a r do p t i o n se x c h a n g ea n dt h ei n t e g r a t e di n d e xo fs h a n g h a is t o c km a r k e t d u r i n gt h ea p p l i c a t i o n , w ec o m p a r et h er e s u l t sw i t ho t h e re x i s t i n gf o r e c a s t i n gt e c h n i q u e f r o mt h ec o m p a r i s o n ，w ef o u n dt h en e wa l g o r i t h mh a sh i g ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c yc o m p a r i n gt oo t h e rm e t h o d st h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w sp a r t1d e s c r i b e st h eb a s i cf r a m ea n ds t a n d a r da l g o r i t h mo fb pn e t w o r k ，s u m m a r i z e st h ee x i s t i n gi m p r o v i n gt e c h n i q u e sa n dp r o p o s eai l e wf a s ta l g o r i t h mp a r t2i n t r o d u c e st h es t o c ko p t i o nw h e r ew e 1 1a p p l yo u rn e wm e t h o da n da n a l y z e st h ei m p o r t a n c eo fv o l a t i l i t yi ne c o n o m i cf i e l da n dd e s c r i b e st h ep o p u l a rc o m p u t a t i o na n df o r e c a s t i n gm e a n so fi t p a r t3a p p l yt h en e wa l g o r i t h mt ot h ef o r e s t j n go ft h ev o l a t i l i t yo ft h eo p t i o ni nc b o ea n di n d e xo fs h a n g h a is t o c k d u r i n gt h ef o r e c a s t i n g ，w eg o tah i g hv a l u a t i o nt ot h en e wa l g o r i t h m f i n a l l y ，w ec o n c l u d e dt h en e wa l g o r i t h mc o u l da c c e l e r a t et r a i n i n gs p e e dg r e a t l y s e t t l e dt h el o c a lm i n i i n u mp r o b l e m ，o f f e r e dan o v e lw a yt oa n a l y z et h en e u r a ln e t w o r kk e yw o r d s ：n e u r a ln e t w o r k ，b pa l g o r i t h m ，v o l a t i l i t y ，i n d e xf o r e c a s t i n gi i 独创性说明作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。作者签名：釜陋日期：兰盟：；! ! ：神经网络对股市预测的研究应削引言神经网络是一种大规模并行处理的非线性系统，它根据本身的内在联系进行建模，具有良好的适应性、自学习能力和较强的抗干扰能力，它是人类探索模仿脑神经系统信息处理智能问题的一个非常重要的领域，其主要应用是计算机智能决策系统，以提高计算机感知能力的预测精度。自2 0 世纪4 0 年代起人类开始研究人脑的神经网络试图模拟大脑神经网络的原理和结构研究出人工神经网络，以解决目前科学技术上日趋复杂的难题。最初的人工神经元网络是在1 9 4 3 年由心理学家m m c c u l l o c h 和数学家w h p i t t s 采用数理模型的方法提出的，简称为m p 模型。该模型除连接权不调整外，与现在的阀值单元模型基本相同。m p模型的提出不仅具有开创意义，而且还为以后的研究工作提供了依据。1 9 4 9 年，心理学家d o h e b b 提出了神经元之间突触强度调整的假设。它认为学习过程是在突触上发生的。连接权的调整正比于两相联神经元之间激活值的乘积。这就是有名的h e b b 学习规则。第一个智能性的人工神经元网络系统是在1 9 5 8 年由f r o s e n b l a r 提出的感知机( p e r c e p t r o n ) 模型网络。这个模型由阀值单元构成，初步具有了诸如并行处理，分步存储和学习等神经网络的一些基本特征，从而确立了从系统的角度研究人工神经网络的基础。然而，自上世纪5 0 年代末至6 0 年代初这个研究高潮之后，美国麻省理工学院著名人工智能学者m m j m 匆和s p a p e r t 编写了影响很大的 p e r c e p t r o n 一书。该书指出：单层的感知机只能用于线性问题的求解，而对于象异或这样简单的非线性问题却无法求解。他们还指出，能解决非线性问题的网络应该是具有隐含层的多层神经网络，而将感知机模型扩展成多层网络是否有意义，还不能从理论上得到有力的证明“由于m i n s k y 的悲观结论，加上当时以逻辑推理为基础的人工智能和数字计算机取得了辉煌的成就，从而大大降低了多数人对人工神经网络研究的热情和克服理论障碍的勇气。自此，神经网络的研究进入了低谷。但在这个低潮期，研究工作并没有完全停顿下来，仍有许多学者继续探索，取得了一些重要成果。进入8 0 年代，神经网络的研究又引起了众多学科学者的关注，并很快形成了热潮。其主要原因是以逻辑推理为基础的人工智能理论和v o n n e u m a n n 计算机在处理诸如视觉，听觉，形象思维等智能信息处理问题上受到了挫折。美国加州理工学院生物学家j j h o p f i e l d 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年在美国科学院院刊发表的两篇文章，有力地推动了神经网络的研究，引起了神经网络研究的又一次热潮。之后人工神经元网络的研究2 苎生里墅鲨堡主堂垡堡壅经历了低谷、高潮距今天已有了半个多世纪的历史。神经网络的应用研究取得了很大的成绩，涉及的学科有神经生理学，认识科学，数理科学，微电子学，光学等。然而，人工神经网络在经济领域的运用却只有十几年历史。w t d t e 1 用它测试了有效市场假设，n a t t e r 【2 】预测了工业生产，h u t c h i n s o n 3 】则使用了一类特别的神经网络来做期权定价。一3 神经网络对股市预测的研究鹿川1 神经网络模型及其改进人类通过对大脑神经网络系统的结构、功能及信息处理机制的探索，构造出与大腩智能相近的人工神经网络( a r t i f i c i a l n e u r a l n e t w o r k ) ，并反过来将之运用于工程和其它领域。人工神经网络是用大量简单的处理单元广泛连接组成的复杂网络，它初步模拟了人脑的神经结构和行为，具备人脑神经网络信息处理的很多特点【4 ：如分布存储、并行处理、信息处理和存储合一、可塑性与自组织性、容错性和鲁棒性等。它完全有别于传统人工智能研究中普遍采用的给予逻辑和符号处理的理沦和方法，而采用并行和自适应信息处理方式。并在新计算机体系和人工智能的研究中得到了广泛运用。人工神经网络是人脑神经网络的某种简化、抽象和模拟。它要达到灵活运用，最有效的途径是首先建立生物神经元和神经网络的数学模型。1 ，l 神经网络基本结构人工神经网络从拓扑结构上可以看成是以处理单元( p r o c e s s i n ge l e m e n t ) 即人工神经元为结点，用加权有向弧连结而成的有向图。其中处理单元是对生理神经元的模拟，而有向弧则是嘈萄突一树突 对的模拟。虽然目前已有多种神经网络模型，不同的模型在菜些方面有很大差异。但网络模型拓扑结构基本上由以下7 个方面的基本元素决定：一、人工神经元人工神经元是网络的结点，是具有加工( 计算) 能力的基本单元。这些单元可以任意地排列起来，可以是具体的实体，也可以是抽象的结点。一个单元仅仅接受一些相关单元的输入，对所有的输入和权值的乘积求和，并在一种函数变换下向其他单元输出信息。常用的人工神经模型主要是基于模拟生物神经元信息的传递特性，即输入输出关系。记x ，( i = i ，2 n ) 为加于输入端的输入信号，为相应的突触连接权系数，它是模拟突触传递强度的个比例系数，e 表示神经元的阀值，6 表示神经元的响应函数。该模型的数学表达式为s = 掣，一0y = o r ( s )根据响应函数的不同，人工神经元有以下几种类型l 、阀值单元其响应函数为：4 ( 1 1 )( 1 2 )大连理工大学硕士学位论文邮，= ：)s 0s 02 、线性单元其响应函数为3 、非线性单元其响应函数为s 型( s i g m o i d ) 函数口：( 垆专二、活跃状态设网络有n 个单元，网络在t 时刻的活跃状态可由- - r l 维向量a ( t ) 表示，其每一分量a ，( t ) 表示i 单元在t 时刻的活跃值。正是单元集合上的活跃状态刻画了系统在t 时刻所表示的对象，因而系统的处理过程就可看成是活跃状态演变的过程。单元活跃值的取值范围可以是连续的，也可以是离散的。三、联结模型联结方式的不同，不仅造成网络对同一外部输入的不同响应，而且决定了不同的联结模型及其变型。不同种类的模型在其他特征上可以相同或不同，但在联结模型上总是有区别的，这使得它们具有各不相同的性能。连接方式还是网络是否分层、规模大小、分多少层、正向抑制、反向传输、有无反馈、能存储的信息量、扇入扇出各是多少等内容的综合反映。四、传递规则将若干个单元的输出和联结矩阵w 结合起来以得到某单元的输入的规则叫传递规则。可以假定，总有一些单元接受另一些单元的输出，一个单元的总输入n e t ，就和对它提供输入的各单元的活跃值成正比，即有n e t ，= 吩o )5 一神经网络对股市预测的研究应用权重表示由单元u 到u ，的互联强度和性质。若u ，使u 兴奋，则缈u 为正；若u 使u ，抑制，则甜”为负。的绝对值则表示联结的强度。五、活跃觌则将单元的总输入与该单元的活跃状态结合起来以产生新的活跃状态的规则叫活跃规则，通常用函数f 表示：考虑到不同的联接方式，有更一般的形式d ；( r + 1 ) = f ( a 。( f ) ，n e t l ( f ) ，n e t ，2 ( f ) ，- )( 1 4 )( 1 5 )f 百 耿随机函数，s 型函数，阀值函数等。六、输出规则将某单元的活跃值转换到该单元对其它单元的输出的规则叫输出规则。即单元对其它单元的影响与其本身的活跃值有关，亦与输出规则有关。输出规则通常用函数f表示。有些模型中f 是某种阀值函数，当单元的活跃值小于某值时，输出为零。七、学习规则神经网络的性质主要取决于以下两个因素：一个是网络的拓扑结构，另一个是网络的学习规则。可以说，学习方法是人工神经网络研究中的核心问题。学习所选用的规则实际上是权矩阵的修改规则。从学习过程的组织和管理而言又可分为：有监督学习和无监督学习。1 2 b p 算法及其改进在用于预测系统的若干神经网络模型中，b p 网络是目前研究最多、应用最广泛的模型。在金融系统的证券预测研究中，证券预测分为基本面分析和技术面分析两种方法，基本面分析是一种宏观分析法，重点考察影响证券走势的宏观因素、产业因素、市场因素及企业因素等最基本的因素；技术面分析是一种微观分析法，它使用技术手段分析证券市场交易数量和价格走势，从而预测证券市场行情变动趋势，技术面分析的目的是预测股价变化趋势、提高投资回报率，具有很强的针对性和可操作性。传统的技术面分析方法多采用图表与指标作为工具，严重依靠主观判断及经验理论，很大程度降低了证券交6 大连理l 人学硕士学位论文易的可靠性。而神经网络能够探测出数据集合的非线性关系，然后进行模拟，以分析类似于股价预测等多因素、不确定、非线性的时间序列数据，与标准的经济学方法相比，更具优势。但是b p 网络在实用时并不十分理想。虽然它曾有应用成功的实例，然而令人遗憾的是，这些实例都是以长时间训练为代价的。b p 算法属于有导师学习算法，可用于训l 练多层前向神经网络。其基本思想是学习过程由信号的正向传播和误差的反向传播两个过程组成。j 下向传播时，输入样本从输入层输入，经各隐层逐层处理后，传向输出层。每一层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。若输出层的实际输出与期望输出不符，则转入误差的反向传播阶段。误差的反传是将输出误差以某种形式通过隐层向输入层反传，并将误差分摊给各层的所有单元，从而获得各层单元的误差信号并将其作为修正各单元权值的依据。这种信号正向传播与误差反向传播循环进行。其中权值的调整过程就是网络的训练过程。此过程直到输出误差达到要求标准为止。b p 学习过程如图1 所示。修正权值和阀值来极小化误差h 上十协上，训一练样本数据集权值和阀值( 自适应网络参数)输入层隐含层输出层图1b p 学习过程图f i g u r e lb pl e a r n i n gp r o g e s s一7 神经网络对股市预测的研究应用1 2 1 标准b p 算法设有n 个神经元的任意多层网络，其任一神经元节点具有如下结构，f = 1 ，”为神经元输入，z 。为神经元权重，0 j 为神经元输出，数学模型由下式决定：o ，= ( x 。一目，)i = i其中，0 ，为神经元阀值，( ) 为s i g m o i d 函数。当神经元的非线性函数都是s 型时，由神经元组成的自f 传型网络的网络传输函数是司导的，故误差后向传播学习方法可以用l m s 法则进行。令某一训练输入矢量为x 。，网络实际输出为y “，对应输入x k 的理想输出为，t、r瓦2 ( 吨，x m ，x “y ，y 。2 ( 几，y 一，m ) | ，第k 次训练的输出误差为：e ：；芝( y j 一) 2( 1 6 )j 为输出层中第j 个神经元。由最速下降法得知各层神经元的权系数的迭代方程为w ( k + 1 ) = w ( k )其中衄t且由链式法则，有对于输出层有a e k0 ek 。y qa f砂目a p8 一( 1 7 )( 1 8 )( 1 9 )( 1 1 0 )怍e，吣堕暇大连理工大学硕士学位论文将( 1 8 ) 式代入( 1 9 ) 式，有a eka 。其中令则因为c葩kd 目一o n e t k j州h + 7 s k j x k l = 0 ) v 一甓故有若是输出层，那么券叫y 一“)则其中若是隐含层。越kd “2 一o n e t k j8 ek 劫q砂自a n e t k jy q = f i ( n e t q )熹：f j ( n e t k i )锄8 k= ( y j y 口) ( n e )= ( y ；一y 口) 乃( 砟e f # ) ( 1 一( n g f 目) )f j ( n e t k j ) = 嘉瓦oek=莩瓦dek瓦onet“oyo n e t= ；堕o n e t k j 铲誓b w 。y 日!：则j “= f ；( n e t 4 ) 万k l o ) l j= f ( h e t h ) ( 1 一f j ( m t h ) ) 瓯。9 一( 1 1 2 )印产晏|监峨簧“坠峨神经网络对股市预测的研究戍用所以综上有0 9 u ( 女+ 1 ) = c o 口( t ) + r l s k j x k j毛= ( j ，# y k i ) f s ( n e t i i ) ( 1 一乃( 押p f h ) )矗= l ( = e t h ) ( 1 一f s ( n e t 目) ) 占e ，吼，对输出层对隐含层( 1 1 3 )此为传统b p 神经网络的梯度递减学习算法。为了避免学旧忘新，后又在学习算法中加入动量因子q ，使得第k - 1 次的权值修正对下一次的修正有所影响而不是完全无关。第k 次的权值修正如下式，其中屯由( 1 1 3 )决定，q 为动量因子，q 为学习步长。a c o f ( 七十1 ) = 叩占畸x q + 晓珊( 七)( 1 1 4 )这是对输入模式的次训练，网络的训练需要不断输入新的样本( 或新一周期样本)直至误差达到预定要求为止。具体算法步骤如下：( 1 ) 初始化各层权重m ，通常将各权值初始化为- 0 5 到05 之间的一个小随机数；( 2 ) 计算输出并与期望输出比较得到e k ，若i k 硝2( 1 1 1 8 )收敛于其上下界的范围由p 值确定，一般可取p = 0 2 。本文采取下式作为激活函数，该式不仅效果好，而且物理意义明确，它体现了人脑的本质优选。1 5 神经网络对股市预测的研究应用m ) = 而；x ( x 为一很小的正数)( 1 1 9 )九九在文献 9 中，作者提出了模糊优选模型f ( x ) = 1 1 + ( 1 x1 ) 2 ，这里一l x l ，如用其作为激活函数，自变量的取值太有限，限制了其应用范围。鉴于此，本文通过对其平移、扩充自变量的取值范围，并经过一定的数学变换得到了( 1 1 9 ) 式。现在对( 1 1 9 )式进行分析。由式( 1 1 9 ) 可得彤( x )兄( 1 x 2 )出( 1 + 牙x 2 ) 2因一1 x o ，则f ( x ) 是关于x 的单调增函数。又d2 f ( x ) ：! ! ! 鳗! 二翌d x 2( 矛x 2 + 1 ) 3所以，当x = o 时，酽f ( x ) d x 2 = o ；又当o x i 时，d 2 f ( x ) d x 2 0 ，故式( i 1 9 ) 的函数图形在区间 0 ，i x 内为凸性；而当一1 x o ，式( 1 1 9 ) 的函数图形在区间 一l ，o 为凹性，因而x = 0 为定义区间 一l ，1 九 的单调增函数式( 1 ，1 9 )的唯一拐点。因此式( 1 1 9 ) 是单调、可微分的有界s 型函数，可用来描述神经网络系统中神经元的非线性特性。在区间两端点时，函数值分别为0 与1 。综合以上的分析，不难画出函数的图形。当然，使用时应动态调整 ，以缩小饱和区间，加快网络收敛。2 、学习规则的改进本文的学习规则主要借鉴于共轭梯度算法。其权值修正由下式决定：( i 2 0 )其中，1 。为使e ( u us n ) 取最小值的u 值。s t 在共轭梯度算法中称为搜索方向，定义为量= - d ( c o i )其后的s 定义为1 6 ( 1 - 2 1 )大连理工大学硕士学位论文s t + 1 = 一d ( c o + 1 ) + s k( 1 _ 2 2 )这旱( f ( 咄) ：皇生，b 。通常取为与权值有关的函数，如p o l a k r i b i e r e 1 0 给出下式d 国。卢”= d ( k + 】) 7 d ( c o t + 1 ) 一d ( c o t ) d ( c o 女) 7 d ( 女) k = l ，2 ，n( 1 2 3 )若误差函数为二次函数，则有：d ( o t ) 7 d ( c o 女) = 0 ，k _ 1 ，2 ，n( 1 2 4 )然而，由以上b 。决定的算法对于非二次的函数并不能在n 步内成功地收敛且该算法不具备全局收敛性。故而，本文给出以下b 。：肛叫m i n t 等糍觜，捌洳，z s ，下面我们用d 0 5 和y u a n 1 1 两个定理简要证明由该p t 给出的算法能够保证全局收敛性。定理1 假设m1 为初始权值且误差函数e 满足：在定义域内二阶可微，在定义域的一个邻域中可微且1 p s c h i t z 连续。则考虑( 1 2 0 ) ，( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) ，肌由下两式计算而得：e ( c o k + 1 ) e ( ) + 掣i d ( ) 2 & ，0 “ 1 2 ，口 盯d ( c o ) 7s t 盯- d ( c o ) 。乩，o 。 = l ，d ( k ) o ，则有d 洄 ) 7 屯 o ，k 1 ：l i m i + 。i n f l l d ( 0 9 女) 0 = 0 。定理2 同样由方程( 1 2 0 ) ，( 1 2 1 ) 和( 1 2 2 ) ，肌由( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 和下式计算而得：1 d ( o 。+ ，) 1s 。l a i d ( c o 。) 7 s 。；，o 。 1( 1 2 9 )参数满足o a 。 1 ，n c o sok 。又由定理1 和定理2 ，可得运用( 1 2 5 ) 所作学习算法能避免短步长现象，达到全局收敛。一1 9 神经网络对股市预测的研究应用2 期权定价公式及其应用2 1 布拉克一修斯( b l a c k - s c h o l e s ) 期权定价公式b l a c k 和s c h o l e s 1 3 在期权定价工作中，假设基础股票价格s ( t ) 遵循i t 6 运动d s s = b t d t + o d b ( t )( 2 1 )其中，队。为常数，b ( t ) 为一维标准b r o w n 运动，市场无风险利率为r 。假定在期权有效期内，基础股票不支付任何红利，股票市场没有任何交易费用，无套利机会，纂础股票交易能够连续地进行，允许卖空且股票的数量是可分的 1 4 。假设有一该股票的买入期权，记其价值为v ( s ，t ) ，它依赖于s 和t 。且假定v ( s ，t )关于t 一阶可导，关于s 二阶可导连续。由i t 6 公式d 矿：( 芦+ 三盯；s ：+ v , ) d t + 甜如2( 2 2 )我们可通过构造一投资组合导出期权价值所满足的偏微分方程从而导出期权定价公式。该投资组合为上述期权与数量为一口的基础股票构成。则该投资组合的价值为：微分得= v a s棚 1 = d v 一d s结合( 2 1 ) ，( 2 2 ) 和( 2 3 ) ，n 满足如下微分方程( 23 )( 2 4 )铘：( 声略+ 12 s 2 + _ 一p a s ) d t + 甜( 珞一a ) d b，。、二l z ：) j现将基础股票数量定为a = k ，则可根除随机项。这时资产组合增益是确定的：d f l ：彤+ = 1 2 y 2 s 2 v s ) d r一2 0 一( 26 )大连理工大学硕士学位论文则有如果将与等量价值的资金投资于无风险资产，其收益是，n 以。在无套利条件fr n 击：( k + ；盯：s ：v 。) d t( 2 7 )将( 2 3 ) 和= k 带入上式即可导出买入期权价值所满足的b l a c ks c h o l e s 偏微分方程：一+ 2 i - g2 s 2 + 心一r 矿= 0( 2 8 )下面我们来看该微分方程的边界条件。首先，若s ( t ) - - - 0 ，则d s = 0 ，即s 永远不会变化。此时满足随机微分方程( 2 1 ) 。记t 为期权到期时刻，若s ( t ) = o ，则由v ( s ，t ) - - i l l a x ( s - e ，0 ) 可得买入期权收益为零( e 为执行价格) 。因此有c ( 0 ，t ) = o( 2 9 )当股票价格无限地递增时，期权越来越可能执行，而且执行价格的大小变得不太重要。这样，当s 哼o o 时，期权的价值变成了股票的价值，即v ( s ，t ) s 当s 斗0 。综上，欧洲买入期权的价值v ( s ，t ) 满足方程k + ；口2 s 2 。+ 心一，矿= os t v ( o ，t ) = 0 ，v ( s ，t ) s 当s 斗，c ( s ，t ) = m a x ( s e ，0 )( 2 1 0 )( 2 1 1 )( 2 1 2 )该方程类似扩散方程，方程显然是向后形式的，并且给出了终期时刻t = t 时刻的值。下面将该方程转换成向前方程，置2 1 神经网络对殷市预测的研究应用s = e g 。，f = r f 1 0 - 2 ，y = e v ( x ，f )于是方程变为v ，= v 。+ ( 屯一1 ) v ，一女1 v其中、：，三dz 。此时，终期条件转化为初始条件( 21 3 )( 21 4 )( 2 15 )此时方程已非常像扩散方程了，下面我们做一简单变换：睁( 2 1 4 ) 转换成扩散方程。今”= e a x + f l r u ( x ，f )其中( 【，8 为待定常数，微分得到：“十“。= d2 u + 2 a u ，+ “盯十( 七l 一1 ) ( a u + b x ) 一k l “( 2 1 6 )( 2 1 7 )现将c 【，b 按如下选取：= 口2 + ( 】一1 ) a k 10 = 2 口+ ( k 1 1 )如此，方程( 2 1 6 ) 化为“，= “。一o 。 x 0( 2 1 8 )s ，f ( z ，。) = “。( z ) = m a x ( e x p 1 ( k 1 + 1 ) x - e x p 1 ( k i - - 1 ) x 】，。)( 21 9 )由偏微分方程的知识丰f ：“。( j ) e x p 一( x磊土。“。( 5 ) 一( 。其中，“。( 。) 由( 2 1 9 ) 式给出。下面计算积分( 2 2 0 ) 。做变换z算出u ( x ，f ) 后代入( 2 1 6 ) 并由x = l o g ( s e ) ，v = e v 可得2 2 一( 2 2 0 )大连理工大学硕士学位论文矿= sn ( d 1 ) 一x e ：“n ( d 2 )( 2 2 1 )其中，n 表示正态分布，t 是以年为单位的距到期日时间，s 是基础股票价格，r 是无风险利率，x 是执行价格，d ，和d 2 分别如下：如掣i n ( s ) 0 - 2d 2 = d l 一盯打该公式将买入期权价格表述为五个变量的函数v = v ( s ，x ，t ，o ，r ) ，除了。之外的剩下四个变量可以实际观察得出，故而6 的估计在期权定价及预测中就变得尤为重要。2 r 2 波动率的几种常用计算方法的e 暾波动率即为资产价格升高与降低的相对比率，通常通过计算目价格变化的年度化标准差得到。设5 lt l + i 一，m 5r 为一随机过程，s t 可代表股票价格，衍生物价格，累计价格，汇率，利率等。该随机过程在时刻t 时的波动率定义为时刻t 收益的标准差。研究中通常使用对数收益率，故而波动率定义式如下：v o l a t i l i t y ：5 耐( 1 0 9 ( 翌) )s f l( 2 2 2 )自然，也有使用普通收益率计算波动率的，这在投资组合理论里很常见 1 5 】。最初主要有两种基本方法用来估计预测非常数的g ：历史法及隐含波动率法。历史法以波动率的统计定义为基础，是最简单的。它是从过去某段时间的基础股票价格计算而来。假设数据样本大小为n 且令s t - n + 一，3 “，5r 为每时间段基础股票价格。若要计算d 。，首先计算每日收益率r t _ 。i = 0 ，n 一2 ，其中( 2 2 3 )这样就得到n 一1 个收益率。将这些收益率的标准差转化为年度值即为历史波动率，该值即为卟的估计值。在此，要注意的是从日到年的转换应该使用年实际交易天数而不2 3 神经网络对股市预测的研究应用是年实际天数。因为，在非交易日价格几乎不变化。在大多数交易市场中，从一个交易日到下一个交易日之间的价格波动并不受它们之间是否隔着周末或假日的影响。通常，计算即期波动率就用最近3 0 个历史数据即可，中期则需4 5 个，远期为6 0 个( 即期指当月到期的期权波动率，中期指下月到期的期权，远期则指两月后到期的期权) 。但该方法使用过去的数据计算得出过去的波动率，将它用来代替将来值这显然有误差。除非未来的波动率不会变化而只是简单重复，否则该方法绝不可能预测准确。相对而言，隐含波动率方法就要好得多e 1 6 。该方法来自于b l a c k s c h o l e s 期权定价模型。由( 2 2 1 ) 式可得期权定价公式中需要五个输入变量：基础资产的当前价格，期权执行价格，期权到期时间，无风险利率和基础资产的年波动率。除了波动率之外，其它四个变量均可在市场中观察得到。故而假设该期权在市场上存在交易，我们就能得到它的市场价格。将期权的市场价格带回b s 模型即可反解出标定资产波动率，该波动率称为隐含波动率。由于期权价格受供求关系影响，每个交易者又会在做出决策之前估计股价波动性从而估算市场价格以决定是否买入卖出，故而市场价格可以反映期权本身的价值。基本上符合b l a c k s e h o l e s 定价公式。隐含波动率不像历史波动率用过去的数据，而是向前看的，着重于未来的到期前收益率。该方法是当前估计波动率运用最广的方法。计算出隐含波动率之后，我们就可用该波动率来为其它具有同一标的物( 基础资产) 的期权定价。这是金融工程中为一族衍生物定价的常用方法。然而，这只是粗略的价格估计方法。即使是基于同一标的物的期权，若到期时间与执行价格不同，其波动率也会不同。另外还有用时间序列模型来计算波动率的，如平均反演模型，g a r c h 模型等。平均反演模型是用来计算期货波动率的。假设期货指数为x ，其标准差满足以下随机微分方程：d x = p x d t + g x d wd 口= 6 0 d + o g d z( 2 2 4 )( 2 2 5 )其中，d w 和d z 是相关度为r 的w i e n e r 过程，“，o ，6 是参数，6 是波动率过程的漂移率并假设遵循平均反演过程：艿= d + b g2 4 ( 2 2 6 )大连理工大学硕士学位论文其中a ，b 是常数且a o ，b 0 ，口。 = 0 ，屈 = 0 且f ( 鸬，v ，) 是均值和方差分别为斗t 和v 。的条件变量分布。t 时刻的信息集记为q “。用g a r c h ( 1 ，1 ) n n ，一个2 0 天内的方差估计可计算如下：圹善2 0c 等等) 2 ( 1 丢9 - tc e o a 7 ，( 22 9 )其中，a 2 口l + 屈。下面给出历史法和g a r c h 模型的计算实例。历史法在一般情况下，数据越多结果越精确。但现实中的6 值随时间变化，太陈旧的历史数据可能对于预测将来不起作用。所以应选取最近9 0 1 0 0 天的收盘指数作为数据资料。当然有人指出使用丌盘价与收盘价有很大差异，比如研究发现深市早上11 点左右会出现“驼峰，现象 1 8 。更有学者认为最高和最低价包含了收盘价所不能包含的关于证2 5 塑丝旦塑型壁壹望型塑婴塑堕旦表2 1 沪市1 9 9 7 年每周收盘价c h a r t 2 1w e e k l yc l o s e ds t o c k p r i c eo f s h a h g h a is t o c k m a r k e t i n1 9 9 7瑚暑s ，s ，i“，= j 瓶& ，s 一)阿s ts ，岛一“，；i ( 冀，s ，一109 1 7 0 l s2 t 5lj 5 4 9 懈o 辨61 8 琅b $ 218 9 9 6 no 9 9 l0 20 、0 | 9 62 7l 脚8 5 71 似75 70 0 4 64 ，29 i 8 潮i埔却8 80 啪斩2 8i 7 0 一2o 77 7硼m 27 63譬1 9 ，赫il ，的i 鞴0 - a 艚神11 9 1 2 艇81 刚87 60 刚85 949 5 3 9 1 8t 70 40 _ 0 3 63 73 0 粕o 招1 0 1 10 9o 0 1 10 35q 6 7 4 2l r 0 1 i3 50 。o l i2 9j lii4 3 【獬0 9 4 ，7 70 廿5 36 16jo i7 、1 3 i ( 6 4 弼0 _ 0 强黜3 2 f 7 18 3 310 2 5 170 0 2 49 67l0 0 j | 啦27 5o 艨2 弱3 3i2 2 i 0 甜t ，o 舵o lf l 眦11 58t0 7 7 ，7 2 0i ，0 3 6 臼曲 3 63 4i2 5 1 5 5 0l 。c 】2 4 9 ，n 0 2 46 69li 2 58 l0 4 6 10 _ 稍，6 53 532 0 8 6 9 7o s7 60 ，0 拍蹦1 _ jjl , 5 7 l 嘏l 蹦67 5o o 强曲酾 1 8 4 s 2 l0 9 8 0 栅o 2 e1 1j2 0 2 6 6 8in 3 0 20 0 2 9 蛄3 ，i1 0 9 每3 40 67 80 倘53 l1 2 2 6 0 ，* 31 0 4 8 4 70 4 ，3 33 810 9 7 3 8 3o 蚺89 6，班0 j 1i 。喀i2 7 8 5 2 5i m ，9 30 t l j 3 鼬3 91i 如铷5i 0 3 04 40 ，0 2 99 91 4lj ，墨3i ，似6 鄹o 国帕4 94 01i7 6 一嚣争1 e l _ t 0 4 20 * o 斡6 21 5l3 6 4 9 5 7i 0 2 0i i0 h 0 1 9 9 24 1i1 7 氟3 0 6l 。i5 0 0 0 i 鲥硒i ，9 ，7 4 9i 1 鹕0 0 2 0 8 74 2l1 8 0 3 甜t r 黜i7 7o 0 0 i7 71 7 4 6 7 2 2 7i 晒2 张0 , 0 5 i3 8们】1 9 5 i 辱11 0 1 24 90 ；0 1 24 21 8i3 1 5 9 2 1o 1 t 9 6 瞄一o 1 0 8 宴4鞘i 9 7 8 3 21 2 50 0 舱2 51 9i2 5 4 2 6 6o 孵) 1 5m 0 4 7 帅1 5l1 5 3 , - 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