（基础数学专业论文）族混合对和伪轨跟踪性质的研究.pdf

致谢 本文是在我的导师杨润生教授的亲切关怀和悉心指导下完成的从论 文的选题到最后成文，杨老师都投入了大量的心血两年多来，杨老师系统 地讲授了有关拓扑动力系统和遍历理论的多门课程，指导我阅读了大量的相 关文献一直以来，我都得益于杨老师渊博的知识严谨的治学态度、谦虚 的为人和对问题的敏锐洞察力在此，谨向我的导师杨润生教授表示最诚挚 的感谢i 同时，感谢系里的各位老师对我的关心和鼓励，特别感谢陈二才教授 的帮助和指导1 感谢院系领导在我本科至研究生七年的学习期间给予的关 心和支持；感谢孙志人老师，孙茂华老师、姚奕老师对我学习和生活上的关 怀感谢院资料室复印室的老师提供的便利l ， 感谢拓扑动力系统方向各位同学富有成效的讨论，特别感谢刘桂仙同 学平时在学习和生活上给予的大力帮助 最后，感谢我的家人，特别是我的父母多年来对我的支持和无私奉献。 正是他们的关心和支持，我才得以顺利完成学业l 王群 2 0 0 6 3 摘要 本文主要研究拓扑动力系统中与混沌熵以及系统传递属性相关的系 统复杂性问题具体来说， 在第一章中，我们简单介绍了拓扑动力系统的内容，方法，发展历程、 研究现状和本文的主要结论 在第二章中，我们介绍了本文涉及到的拓扑动力系统和遍历理论的一 些基本概念与结论 在第三章中，我们主要采用族化和局部化的思想研究动力系统中的拓 扑弱混合性质，具体地说，我们将f 3 0 】中弱混合对的概念推广到族上，定义 了族歹混合对，并讨论了族尸混合对与完全族厂序列熵对族厂复杂 对、族歹区域接近关系及族，等度连续之间的相互关系，证明了由包含相 对于t 1 的幻7 区域接近关系的最小不变等价关系诱导的( x ，t ) 的因子 ( k 印是最大等度连续因子，由包含芦混合对的最小不变等价关系诱导的 ( x ，丁) 的因子是托厂等度连续的 。 在第四章中，我们重点研究了逐点伪轨跟踪性质与拓扑混合等混沌性 态的关系，给出了，具有逐点伪轨跟踪性质时，具有一致正熵和完全正熵 的一些等价条件 关键词：族混合对，完全族序列熵对，伪轨跟踪，混沌，一致正熵，完全 正熵 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d ys o m ec o m p l e x i t yp r o b l e m so fd y n a m i c a ls y s - t e m sr e l a t e dt oc h a o s ，e n t r o p ya n dt r a n s i t i v ep r o p e r t i e s m o r ep r e c i s e l y , i nc h a p t e r1 , w eb r i e f l yi n t r o d u c et h ec o n t e n t ，m e t h o d s ，d e v e l o p m e n t a n dp r e s e n tc o n d i t i o n si nt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ，a n dm a i nr e s u l t s i nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 , s o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ei nt o p o l o g i c a ld y n a m i c a l s y s t e ma n de r g o d i ct h e o r y w h i c hw i l lb eu s e di nt h i sp a p e ra r er e v i e w e d i nc h a p t e r3 , w em a i n l ys t u d yt o p o l o g i c a lw e a k l ym i x i n gp r o p e r t y i nt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e mu n d e rt h ei d e a so ff a m i l i z a t i o na n d1 0 - c a l i z a t i o n ，m o r ep r e c i s e l y , e x t e n d i n gt h en o t i o no fw e a k l ym i x i n gp a i r s i n 【3 0 t of a m i l i e s ，w ed e f i n e 厂m i x i n gp a i r sa n dd i s c u s st h er e l a t i o n s a m o n g 子m i x i n gp a i r s ，t o t a l l ys e q u e n c ee n t r o p yp a i r s ，c o m p l e x i t y p a i r s 。笋r e g i o n a l l yp r o x i m a lr e l a t i o na n d 手e q u i c o n t i n u i t y w ep r o v e t h a t t h ef a c t o r ( 刃o f ( x ，t ) i n d u c e db yt h es m a l l e s ti n v a r i a n te q u i v a l e n t r e l a t i o nc o n t a i n i n gt h e r e g i o n a l l yp r o x i m a lr d a t i o nr e l a t e dt ot - 1i s t h em a x i m a le q u i c o n t i n u o n sf a c t o r ，t h ef a c t o ro f ( x ，t ) i n d u c e db yt h e s m a l l e s ti n v a r i a n te q u i v a l e n tr e l a t i o nc o n t a i n i n g ，m i x i n gp a i r si s 好 e q u i e o n t i n u o u s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h er e l a t i o n sb e t w e e np o i n t w i s ep s e u d o - o r b i t t r a c i n gp r o p e r t ya n ds o m e c h a o t i cp r o p e r t i e ss u c ha st o p o l o g i c a lm i x i n g w h e n h a sp o i n t w i s ep s e u d o - o r b i tt r a c i n gp r o p e r t y , s o m ee q u i v a l e n t c o n d i t i o n so fu n i f o r mp o s i t i v ee n t r o p ya n dc o m p l e t e l yp o s i t i v ee n t r o p y a r eg i v e n k e y w o r d s ：笋m i x i n gp a i r s 。手t o t a l l ys e q u e n c ee n t r o p yp a i r s ， p s e u d o - o r b i tt r a c i n gp r o p e r t y , c h a o s ，u n i f o r mp o s i t i v ee n t r o p y , c o m p l e t e l y p o s i t i v ee n t r o p y 2 第一章引言 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学，牛顿的运动三大定律以及万有 引力定律给予了系统动力学研究的最初动力在牛顿的理论中，个系统的 运动规律完全由一族以时间为参数的微分方程所决定在牛顿的“p r i n c i p i a 。 出版后的两个世纪里，系统动力学的研究是作为微分方程理论的一部分去发 展的其中，最具挑战性的问题是将牛顿的理论应用到行星运动，或决定n 个质点在相互万有引力作用下运动规律的n 体问题中对十八，十九世纪的 分析学家，从e u t e r 到j a c o b i 而言，解决这一问题最为自然的方法是通过 对特定的微分方程作分析处理以获得尽可能多的信息人们甚至希望能够 像牛顿处理两体问题一样显式地求出这些微分方程的积分然而这一希望破 灭了，所有的分析工具对行星运动中的许多基本问题都束手无策十九世纪 末，人们尝试寻找通过微分方程本身就可以了解解的性质的方法，常微分方 程定性理论就在这种形势下应运而生了 h p o i n c a r d ( 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 是不解方程而通过分析相图来获取系统动力 学性状的第一人与此同时，a m l y a p u n o v ( 1 8 5 7 - 1 9 1 8 ) 对微分方程解的稳 定性所做的深入研究是定性理论的又一奠基性工作在他们之后，定性理论 的研究日趋成熟，并衍生出如微分动力系统、遍历论和拓扑动力系统等众多 分支现在，动力系统的研究已成为现代数学的主流之， 本文主要研究的是拓扑动力系统h p o i n c a r d 是第一个在动力系统中 引入拓扑概念和方法的人在他之后，g d b i r k h o f f ( 1 8 8 4 - 1 9 4 4 ) 从1 9 1 2 年开 始系统地研究拓扑动力系统，1 9 2 7 年，b i r k h o f f 在他的著作d y n a m i c a l8 y 争 t e r n s 中第一次使用了。动力系统。这一术语b i r k h o f f 被认为是拓扑动力系 统的奠基人1 9 5 5 年，w h g o t t s c h a l k 与g a h e d l u n d 在著作t o p o l o g i c a l d y n a m i c s 中将动力系统的定义放在了最一般的框架下，直接考虑一般拓扑 群在拓扑空间上的作用，并充分研究了从微分方程定性理论中提炼出来的概 念他们的研究使得拓扑动力系统真正意义上成为动力系统研究的一个重 3 要分支，拓扑动力系统开始蓬勃发展起来时至今日，拓扑动力系统已经发 展成为一门具有众多研究方向而充满生机的学科 混沌的研究是拓扑动力系统研究中的一个重要方向混沌的研究开始 于混沌现象的发现，所谓混沌现象就是指动力系统中出现的貌似不规则的运 动它的发现仍可追述到h p o i n c a r d 关于天体力学的研究工作h p o i n c a r d 最先发现了。三体运动”中的不规则运动他研究双曲点邻域内轨线的变化， 发现了被人们称为p o i n c a r d 栅栏的极其复杂的几何图像1 9 1 6 年，b i r k h o f f 在研究平面环的扭转映射中发现了混沌的吸引子1 9 6 3 年，美国气象学家 l o r e n z 在大气科学杂志上发表了。确定性的非周期流。文，指出在气 候不能精确重演与长期天气预报无能为力之间必然存在着一种联系他认 为一串时间可能有一个临界点，在这个点上，小的变化可以放大为大的变化， 而混沌的意思就是这些点无处不在这些研究清楚地描述了。对初值条件的 敏感性。这一混沌的基本性质这就是著名的。蝴蝶效应l o r e n z 因混沌 的开创性研究而被称为混沌之父。1 9 7 1 年，d r u e u e 和f t a k e n 在其文 章。o nt h en a t u r eo ft u r b u l e n c e 中也表达了类似的想法1 9 7 5 年，李天岩 与y o r k e 发表了。周期三蕴含混沌。的文章，深刻揭示了从有序到混沌的演 变过程，也在历史上第一次引入了。混沌这一名词他们的这篇文章方面 使人们重新从历史中挖掘出了s h a r k o v s k i i 定理，导致了一维动力系统的蓬 勃发展，另一方面刺激了数学家们开始在数学上考虑混沌现象 目前，数学上混沌的定义主要集中在以下几个方面：一从初值敏感性 出发的定义；二从l i - y o r k e 混沌的角度得出的定义；三从熵的角度刻画 系统复杂性以及它的衍生物；四从具有较强回复性来表现混沌 下面我们着重从熵和回复性的角度阐述系统的混沌性态 熵的概念远在混沌提出前就已开始被系统研究了1 9 5 8 年，k o l m o g o r o v 借助s h a n o n 信息论中不确定性的描述在遍历理论中引入了熵的概念随 后，在1 9 6 5 年，a d l e r ，k o n h e i m 和m c a n d r e w 2 3 引入了拓扑熵的概念熵 是重要的同构不变量，它反映了系统的混乱程度由于零嫡系统具有一定的 4 决定性，所以许多人就直接将正熵理解为混沌的最近几年，b l a n c h a r d 提出 了将熵局部化的熵对的概念，极大刺激了遍历论与拓扑动力系统的研究，例 如人们开始揭示正熵系统的复杂性状，证明了正熵系统必为l i - y o r k e 意义 下混沌的等等在【8 】中，b l a n c h a r d 在拓扑熵的基础上提出了一致正熵和完 全正熵的概念，并讨论了这两个性质与拓扑弱混合拓扑混合，性质p 等混 沌性态的关系，在【9 】中，b l a n c h a r d 等人又根据熵的定义提出了复杂函数、 复杂对和扩散的概念，并得到了许多有意思的结论 强的回复性也会表现出一定的复杂性这里我们说的强的回复性主要 是指强予拓扑弱混合的回复性拓扑弱混合的概念最早是由f u s t e n b e r g 在 1 9 6 7 年类于遍历弱混合提出的，后来由于它在研究结构定理时表现出的特 殊性使它显得分外重要对混合系统的刻画一直是动力系统的一个热点在 【1 4 】和【1 6 】中，我们知道，动力系统( x ，t ) 不是拓扑弱混合的当且仅当 存在非空开集u 和y ，使得不存在n n 满足【厂nt “( u ) 谚且 unt 1 ( y ) o 在【3 0 】中，黄文等依据该性质局部化拓扑弱混合的概念， 定义了弱混合对，并用弱混合对讨论了相关的混沌性态 现在研究动力系统的工具主要为一般拓扑学、遍历理论，f u r s t e n b e r g 族，伪轨及其跟踪技术等等由于我们的研究对象是一般拓扑空间，一般拓 扑学的方法自然是不可缺少的由于对拓扑动力系统( x ，丁) ，我们自然有 由全体开集生成的b o r e l 口代数日( x ) ，并存在相应的不变测度p ，使得 ( x ，艿( x ) ，p ，t ) 成为保测系统，于是遍历理论的结论便可直接应用到拓扑 动力系统中，这也使得遍历理论成为拓扑动力系统研究中一个强有力的工 具下面我们要提到的是f u r s t e n b e r g 族的理论，近几年的进展表明族在动 力系统中的作用越来越大 族的概念最早可追述到一般拓扑学与数理逻辑中滤子的使用使用族 的观点来研究系统动力学性质的思想首先是由g o t t s c h a l k 和h e d l u n d 引 入的1 9 8 1 年，h a r r yf u r s t e n b e r g 在其经典著作( r e c u r r e n c ei ne r g o d i c t h e o r ya n dc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y 中将族的思想进行了深刻而 5 漂亮的阐述他的工作将拓扑动力系统与遍历理论的方法深刻地植入组合 数论与r a m s e y 理论之中，对相应的数学分支有着广泛而深远的影响族 的观点在这本书主要体现在两个方面：第一个方面是将整数集的子集与族 和动力系统建立联系，从而将组合数论中的许多同题转化为动力系统的命题 来证另一方面，f u r s t e a b e r g 拓广g o t t s c h a 肽和h e d l u n d 的想法，运用 族直接刻画系统的回复和混沌性状1 9 9 7 年，e a k i n 出版了( r e c u r r e n c ei n t o p o l o g i c a ld y n a m i c s ：f u r s t e a b e r gf i a m i l i e 8a n de l l i sa c t i o n s 一书此书在 拓扑动力系统这一范畴下，系统总结和发展了f u r s t e n b e r g 族的方法他在 书中详细讨论了族的定义以及一些运算；在族的观点下讨论了“，极限集和非 游荡点集；强调了族意义下的传递性与混合性，尤其突出了f u r s t e n b e r g 关 于弱? 昆合回复时间滤子性的重要性；运用所建立的概念与方法讨论了d i s t 越 和等度连续等性质这本书具有极度的一般性、抽象性与系统性，在这本书 中统一起来的概念与符号现在被普遍接受和使用族作为动力系统研究的一 种工具已经开始形成，最近几年它在动力系统研究中的作用也越来越大 在本文第三章中，我们将【3 0 】中弱混合对的概念推广到族上，给出了族 尹混合对的概念，并讨论了族厂混合对与完全族歹序列熵对、族，复杂 对、族，区域接近关系及族，等度连续之间的相互关系证明了当歹为 真族时，s 五江( 咒t ) cw 尥( _ ，) ( x ，t ) ；若( x ，r ) 为极小动力系统，t 为 同胚，为平移不变真族，则朋( x ，t ) = 兄p ( x ，t - 1 ) 并证明了由 包含相对于t - 1 的幻区域接近关系的最小不变等价关系诱导的( x ，t ) 的因子( k 功是最大等度连续因子，由包含，混合对的最小不变等价关系 诱导的( 五? ) 的因子是，等度连续的 ，最后，我们介绍伪轨及其跟踪技术在拓扑动力系统中的应用伪轨及 其跟踪技术是研究一个系统的动力性质的有力工具伪轨跟踪性质与系统 的混沌性态有着密切的联系，【2 5 1 研究了伪轨跟踪性质与链回归之间的关系 【3 l h 3 5 】研究了伪轨跟踪性质与混沌性质以及其它动力性质之间的关系在 【1 7 】中，李明军推广了伪轨跟踪性质的定义，给出了逐点伪轨跟踪性质的概 6 念，并对紧致度量空间x 上的连续映射，讨论了逐点伪轨跟踪性质与拓扑 可迁、敏感、性质p 等性质的关系这些研究进一步揭示了伪轨跟踪性质与 混沌性态的密切联系尽管如此，关于伪轨跟踪性质与混沌的关系仍然有一 些问题尚未解决，如：若，具有逐点伪轨跟踪性质，且，o 链混合，能否推出 ，是拓扑混合的? 当，具有逐点伪轨跟踪性质时，能否得到一致正熵和完 全正熵的一些等价条件? 在本文第四章中，我们将对这些问题作出解答具体地说：对于非独点 的度量空间x 上的连续满射，我们证明了： 若，具有逐点伪轨跟踪性质，奄n ，o 是链混合的，则，o 拓扑混合 若x 是含有无限多个点的局部连通的紧致度量空间，是其有逐点伪轨 跟踪性质的极小满射，则，是r u e l l e - t a k e l l 8 意义下混沌的。 若x 是紧致度量空间，f ：x _ x 具有逐点伪轨跟踪性质且，的u 极 限集h ( f ) 连通，则，是r u e l l e - t a k e n s 意义下混沌的 若x 是连通的紧致度量空间，：x _ x 是具有逐点伪轨跟踪性质的， 链可迁映射，则( 1 ) f 是r u e l l e - t a k e n s 意义下混沌的；( 2 ) ，是拓扑混合 的；( 3 ) ，具有性质p 若x 是连通的紧致度量空间，：x _ x 具有逐点伪轨跟踪性质且， 的周期点在x 中稠密，则( 1 ) f 是r u e l l e - t a k e n s 意义下混沌的；( 2 ) ，是 拓扑混合的；( 3 ) ，具有性质p 设x 是紧致度量空间，是x 上的连续满射若，具有逐点伪轨跟踪性 、 质，则以下条件等价：( 1 ) ，有完全正熵；( 2 ) ，有一致正熵；( 3 ) ，是r u e l l e - t a k e n s - k a t o 意义下混沌的；( 4 ) ，是链可迁的且是可达的；( 5 ) ，是链混 合的；( 6 ) ，是拓扑弱混合的；( 7 ) ，是拓扑混合的；( 8 ) ，具有性质p ；( 9 ) ，是 链可迁的且对于任意6 0 ，存在两周期互质的周期6 伪轨 设x 是链连通的度量空间，是x 上的连续满射若，具有逐点伪轨 跟踪性质，则下列性质都是等价的：( 1 ) ，是拓扑混合的；( 2 ) ，是拓扑弱混 合的；( 3 ) ，是链混合的；“) ，具有性质p ；( 5 ) ，是r u e l l e - t a k e n s - k a t o f 意义下混沌的；( 6 ) ，是r u e l l e - t a k e n s 意义下混沌的；( 7 ) ，是链可迁的且 是可达的；( s ) f 是拓扑可迁的；( 9 ) ，是链可迁的；( 1 0 ) c r ( f ) = x ；( 11 ) f 是链可迁的且对于任意6 0 ，存在两周期互质的周期6 伪轨 设，：x x 是具有逐点伪轨跟踪性质的正向可扩同胚若f l c r ( i ) 是 拓扑可迁的，则x = f 丽；c ( f ) = n ( f ) = c r ( f ) 符号约定：我们记n 为自然数集合，z 为整数集合，z + 为非负整数全体，0 表 示空集 设a ，b 为x 的子集，定义差集b a 为扛x i 茹b ，z 隹a 记 a 的补集为铲，闭包为再( 或c f ( a ) ) ，内点的集合为a o ( 或i r a ( a ) ) u 0 ，e ) 表示点z 的e 邻域a = 0 ，z ) i o x ) 对拓扑空间x ，其馆次乘积空闯记为x = x x 圣设 - i j 一 n 丁：x x 为映射，记t ( ”) = 、t t 弓 。1 。、，一 。j ”表示- 存在。l 。v - 表示。对任意的。；。s t 。表示。使得”；。辛。 表示。推出。；。营表示。当且仅当。；。l 。表示。基数。 8 第二章预备知识 在本章中，我们在第一节介绍一些拓扑动力系统的基本知识，第二节介 绍f h s t e n b e r g 族和族可迁，第三节介绍有关熵和复杂性的基本知识，第四 节介绍伪轨跟踪的概念和基本性质 2 1 拓扑动力系统 一个动力系统是指偶对( x ，丁) ，其中x 是紧致度量空间，t ：x x 为连续满射如果t 为一对一的且r _ 1 连续，我们就说t 为同胚或是可逆 的如果x 为独点集，我们说系统( x ，t ) 为平凡系统 以下设x 是拓扑空间，为x 上的自映射 定义2 1 1 设z x ，如果存在礼n ，使得广 ) = z ，则称z 是，的 周期点如果p ) = z ，且对任意的l k 0 ，使得8 p l 厂p ) t r ( x ，e ) ，0 t o 的全体 弱几乎周期点的集合记作w f f ) 口 定义2 1 4 设z x ，如果对于z 的任一邻域u ，都存在惫n ，使得 ，o ( u ) nu 0 ，则称z 为，的非游荡点f 的全体非游荡点的集合记作 q ( ，) 如果( x ，t ) 是动力系统，则q ( ，) 是非空闭集，且，( ，) ) cq ( ，) 令 = f l o ( n ：q ( ，) 一q ( ，) ，q ( ) = q ( ，i n ( ，) ) ，q ( ) 为非空闭集，且 ，( q ( ) ) cq ( ) 令，2 = l n ( ) ，归纳地，令厶= ，n l l v i ( f , , 一，) ，q ( 厶) = q ( 厶一l l n ( ，n 一。) ) ，n 2 ，则q ( ，) ) q ( ) 3q ( ，2 ) ) 3p ( ，) 如果存在 付n ，使得q ( 厶) = q ( ，n + 1 ) ，我们就把这样的集合q ( 厶) 称为，的中一5 - ， 记作e ( ，) 如果x 是度量空间，6 0 ，任取i n ，0sn l z 0 ，总存在一个从。到 z 的e 链，则称z 为，的链回归点，的全体链回归点的集合记作c r ( f ) 、 如果f ( x ) = 髫，则称z 为，的不动点，的所有不动点的集合记作 f ( 。) 易见f ( x ) cp ( f ) ca ( f ) cq ( ，) cc r c f ) 如果任取e 0 ，z ，x ，都存在一个从z 到! 的链，则称，是链 可迁的如果任取 0 ，z ，yex ，总存在一个正整数，当礼n 时，总 有个长度为，l 的从z 到s f 的e 链，则称，是链混合的e 链 z n ) 寺称为 周期链，如果存在n ，使得对于任意的n n ，都有$ n + = z n 命题2 1 5 “引理2 矽f 链混合f f 链可迁甘f 链可迁，且对 于任意占 0 ，存在两周期互质的周期6 链 对于每一对非空开集阢y ，如果总存在一个n 0 ，使得尸( u ) n y 0 ，则称，是拓扑可迁的如果f f 是拓扑可迁的，则称，是拓扑 弱混合的如果对每对非空开集以y ，都存在一个 0 ，使得对任意 n n ，f ”( u ) nv d ，则称，是拓扑混合的拓扑可迁，拓扑弱混合和拓 扑混合是拓扑动力系统中最基本的三种传递属性，且 拓扑混合性g 拓扑弱混合性拓扑可迁性 显然，拓扑可迁映射必为链可迁映射，拓扑混合映射必为链混合映射 命题2 1 6 佛引理幺砂若，是拓扑弱混合的，则，是链混合的 若集合scx ，f ( s ) c 最则称s 为，的不变集；如果f ( s ) = s ，则 称s 为，的强不变集在可迁系统中，称z x 是可迁点，如果z 的轨道 稠密如果x 中的每个点都是可迁点，则称( x ，) 是极小的( x ，f ) 是极小 的当且仅当x 中不存在非空闭的不变真子集 命题2 1 7 令x 是局部紧致度量空间，是x 上的连续自映射，则对于 2 x ，z a p ( f ) 争z u ( z ，f ) 且u ( z ，) 为极一j ，集 我们用舀( x ) 表示x 的b o r e l 盯代数，x 上所有概率测度的集合用 m ( x ) 表示，m ( x ) 中对，不变的测度的集合用m ( x ，f ) 表示设m 。 m ( x ，) ，) 白cx ，知称作m 测度lb o r e l 集，如果j 而召( x ) 且 m ( x o ) = 1 砀称作m 测度l 集，如果j 包含个m 测度lb o r e l 集 称作绝对测度l 集，如果对每个mem ( x ，) ，是m 测度1 集x 的 一个子集称为，的测度中心，如果它是最小的紧致的，不变的绝对测度1 集，记为m ( ，) ，并有m ( i ) = 彬( ，) ( 【3 6 】，定理3 ) 易见：p ( ，) c ( ，) c m ( ，) cc r ( ) 设z x ，如任取e 0 ，存在6 0 ，使得当d ( x ，y ) 0 和( z ，y ) 的任一 邻域扩，存在，矿) 玑n n ，s t d ( 广( ) ，广( 暑，) ) 0 ，使得对于任意的 z ，y x ，若z ! ，则存在正整数n ，使得d ( f ”z ，n y ) c 常数c 称为， 的正向可扩常数 设( x ，) 和( 9 ) 是动力系统如果连续满射7 1 ：x y 满足 7 r0 f = g 0 丌，则称7 r 为因子映射此时，我们称( v 9 ) 为( x ，) 的因子， 称( x ，) 为( k g ) 的扩充如果附加7 r 为对一的映射，则说丌是( x ，) 和( e g ) 间的拓扑共轭 。 2 2f u a t e n b e r s 族和族可迁 令z 0 表示非负整数集合，尹表示z 牛的幂集，及= 尹 d ) 夕的子集 尸称为族，如果它具有向上遗传性，即若乃c 而，且乃厂，则f 2 ， 如族，是p 的真子集，则称芦为真族由向上遗传性，芦为真族当且仅当 仍岳户且z + 芦如，为一族，其对偶 舻一 fif n 只o ，v f l 歹) 也为族，且若，为真族，则，也为真族 对于i z + ，令矿：z + _ z + ，g u ) = i + 歹，称矿为平移映射若歹 为一族，且对于任意i z + 及任意f y - ，矿( f ) f 则称，为平移正 不变的；如g - z ( f ) 兀则称，为平移负不变的如歹既是平移正不变的， 又是平移负不变的，则称尸为平移不变的 命题2 2 1 吲设，为一族，则，为平移正不变的当且仅当k ，为平移负 不变的 1 2 令廖表示z + 的无限子集族若真族，满足 妒厂= 0 ，n l ，n 2 为正整数且r t 2 n l 。 。n l ，x n l + l ，z m ) 为，的一个6 伪轨，如z x ，且任取i ，0 t n 2 - - n i ，d ( f 0 ) ，翰) 0 ，总存在6 0 ，使得，的任意6 伪轨总能被x 中某点相对 于 跟踪，则称，满足伪轨跟踪性质 称，具有渐近伪轨跟踪性质，如果对于任意的e 0 ，都存在6 o ，o ，使得对于任意的6 伪轨 z o ，x l ，z 。，) ， x n ，x n + i ，) 被 x 中某点相对于，e 跟踪伪轨跟踪性质蕴含着渐近伪轨跟踪性质，反之未 必成立( 1 2 i ) 第三章族混合对及其应用 在引言中，我们已经阐述了族的方法在动力系统研究中的重要地位在 本章中，我们将用族化的思想对与系统混合，混沌以及熵有关的系统复杂性 问题进行研究 在【3 0 】中，黄文。李思敏、邵松和叶向东局部化序列熵的概念，定义了 序列熵对同时，他们还定义了个较弱的概念，即弱混合对【2 6 中，邵松进 一步将序列熵对的概念推广到族上，给出了完全族芦序列熵对的概念本 章将【3 0 】中弱混合对的概念推广到族上，给出了族歹混合对的概念，并讨 论了族，混合对与完全族芦序列熵对，族厂复杂对，族，区域接近关系 及族芦等度连续之间的相互关系证明了由包含相对于t - 1 的幻区域 接近关系的最小不变等价关系诱导的( 五t ) 的因子( rt ) 是最大等度连 续因子，由包含，混合对的最小不变等价关系诱导的( x ，t ) 的因子是k 歹 等度连续的 3 1 族混合对和完全族序列熵对 在本节中，我们将给出族尸混合对的概念，并讨论族，混合对与完全 族厂序列熵对之间的关系 拓扑弱混合是刻画系统复杂性的一个重要指标在【1 4 】和【1 6 】中，我 们知道，动力系统( x ，? ) 不是拓扑弱混合的当且仅当存在非空开集u 和 y ，使得不存在n n 满足unt “( u ) 毋且c 厂nt “( y ) 0 在【3 0 】 中，黄文等依据该性质局部化拓扑弱混合的概念，定义了弱混合对 设a = = ( z ，z ) iz x ) 定义3 1 1 设伍，t ) 为动力系统，称0 1 ，x 2 ) x ( 2 ) a 为弱混合对，如 果对以的任意邻城阢，i = l ，2 ，都有( 巩，巩) n ( 巩，巩) 0 1 2 4 】将上述拓扑弱混合的性质推广到族上，证明了： 命题3 1 2f 7 2 银引理只j 夕令厂为平移不变的真族，则( x ，) 不是， 1 6 混合的充要条件是存在x 的非空开集阢y 和s 只使得任取t i s ， ，一”( u ) n u = o 或f - ( y ) n u = 口 由【2 4 】中该命题的证明过程不难看出，当，为平移正不变的真族时， 上述命题也是成立的，所以我们有以下结论： 命题3 1 3 设( x ，t ) 是动力系统，芦为平移正不变的真族，则( x ，t ) 是 户混合的当且仅当对于x 的任意非空开集阢y 和任意s 舻，都存在 礼s ，使得t 1 ( u ) nu 毋且t ”( y ) nu 0 当且仅当对x 的任意 非空开集以y ，都有( 阢u ) n ( 以v ) 歹 依据上述命题，我们将弱混合对的概念推广到族上，给出族歹混合对 的定义： 定义3 1 4 设( x ，t ) 为动力系统，厂为族，称( x l ，x 2 ) x ( 2 ) 为，混 合对，如果对戤的任意邻域阢，i = 1 ，2 ，都有( 仉，阢) n ( 仉，u 2 ) 芦 x 的所有，混合对的集合记作w m y ( x ，t ) 注3 1 5 ( 而咖w m ，( x ，刃当且仅当对于z ，y 的任意邻域以y 和任意s 幻。，都存在n s ，使得t “( u ) n u 0 且t 一“( y ) n u d 俐当尸为平移正不变的真族时，( x ，t ) ，混合当且仅当w m y ( x ，刃= x ( 2 ) 俐当，= p + 时，混合对即为弱混合对p 刃中说明了弱混合对是非对 称的，所以一般情况下w m ，- ( x ，t ) 非对称 命题3 1 6 设( x ，孔) ，( 乃) 为动力系统，为真族， r ：( x ，噩) 一( 乃) 是因子映射如果( z 1 z 2 ) w m y ( x ，丑) ，且，r ( x a ) 丌 2 ) ，则 ( 7 r ( z 1 ) ，霄( 2 2 ) ) w m y ( y , 死) 证明因为霄：x y 连续，所以对霄( 戤) 的任意邻域k ，都存在戤的邻 域阢，使得 r ( 阢) ck ， = 1 ，2 任取n ( 巩，以) nn ( u 1 ，阮) 2 7 “( ) n k3 巧”( 丌( 巩) ) n 丌( 巩) = 7 r o 叮“( 巩) n 7 r ( 仉) ) 7 r ( t - ”( 巩) n 巩) ， 因为z r ”( 巩) n 巩矾所以，万”( m ) n 1 1 谚 1 7 同理巧”( ) n k 9 所以行( y l ，) n ( ，k ) ，即 ( 巩，巩) n ( 巩，) c ( ，) n ( k ，) 由族的向上遗传性，( k ，) n ( ，) ， 口 对于z + 的无穷序列a ； 1 1 ，如，) ，t 相对于a 和有限开覆盖口 的拓扑序列熵为 _ 付 h a ( t ，n ) ；l o gr - t t q ) ”- - o o 伽i ， 在 2 e l 中，邵松族化拓扑序列熵，给出了完全族，序列熵对的概念 定义3 1 7 设( 墨 为动力系统，芦为真族称( x l , z 2 ) x ( 2 ) 为完全 族，序列熵对伊t o t a l l ys e q u e n c ee n t r o p y 埘叫，如果对$ c i 的任意互不 相交的闭邻域阢，l = 1 ，2 ，和任意a ，都存在a 的子序列s ，使得 ，h s ( t , 晖，踞) ) 0 完全族，序列熵对的集合记作s e ，( x ，t ) 定义3 1 8 设( x ，t ) 为动力系统，为真族，称( 置t ) 具有完全，序列 一致正熵，如果任取( x l ，x 2 ) x ( 2 ) ，( g $ 1 ，x 2 ) 为完全，序列熵对 注3 1 9 ( x ，t ) 具有完全，序列一致正熵当且仅当对x 的任意由两个非 稠密开集构成的覆盖兄一 阢y ) 和任意的a 厂，都存在s