（基础数学专业论文）黎曼流形上薛定谔方程的harnack估计.pdf

d i s s e s u b j e c t ： t u t o r ： a u t h o r ： d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y p r o f y uz h e n g j i a n h o n gw a n g a p r i l2 01 0 s h a n g h a i 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意。 作者签名： 日期：j 啤r 月 7 日 有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关 机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文 进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、 硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、 缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 、) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名 本人签名丑墓重i 兰 动，碑5 - 月y7 日 f “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 王建红硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 一。玛 0 审穿 1 ，有： 哿( 譬一q 秘等( 禹+ 恸+ 高+ 等 拄( 1 2 ) 弋。令r 0 0 。贴奄： 学一q 百u t 羔2 + 譬 u “ i 口一1 ) z t ( 1 2 ) 2黎曼流形上薛定谔方程的h a r n a c k 估计 在此基础上，e b d a v i e s 在【1 1 】中改进了此估计为： 譬一q u t u 高4 ( a 1 + 壁2 t 乱2 一 一 一1 进一步，当r c ( m ) 0 时，可令q = 1 ，则有： i v u l 2 u t 扎 u 2让一2 t ( 1 3 ) 其实( 1 3 ) 式等价于t ( 2 a f ) 一n 0 ( 其中，= l o g u ) ，可以看成是一般的拉 普拉斯比较定理( 1 3 ) 式是关于热方程的最佳估计，因为对于欧式空间上热方 程的基本解使其取到等号 关于热方程还有h a m i l t o n 的闭流形上如下整体估计 定理c ( h a m i l t o n 【1 6 】) 设( m n ，夕) 是闭流形，r c ( m n ) - k ，是非负常数，乱是 热方程的光滑正解，且u m 似为常数，则有： 譬( + 2 k ) 1 n 百m ( 1 4 ) 对于此估计，没有像前面两个定理一样得到一种非紧流形上的局部梯度估 计，甚至局部估计在欧式空间上都不成立 后来p s o u p l e t 和q z h a n g 在【3 0 】中得到了一个在非紧流形上关于热方 程的椭圆型估计，即下面的定理 定理d ( p s o u p l e t q z h a n g 【3 0 1 ) 设m n 是完备流形，r c ( m ”) - k ，k 是非负 常数让是热方程正解，v ( z ，t ) q r ，t = b ( x o ，r ) 【t o t ，t o 】cm ( 一。，o o ) ， 且在q r ，r 上假设u mf ，m 为常数) ，则存在仅与n 有关的常数c ，使得： 掣鲫去+ 万1 + 厕( 1 + l n 等) v 眯嗡 ( 1 5 ) 由此定理可得到依赖于时间的刘维尔定理，推广了s t y a u 的刘维尔定理 具体可见【3 0 】 在 1 6 】中有个l i y a u 型的梯度估计及热方程矩阵型的h a r n a c k 估计，即下 面的定理 定理e ( h a m i l t o n 【1 6 1 ) 令 t t 是紧流形上热方程的正解，r c ( m n ) - k ，k 是非 负常数，则有： 耻e 磁学- 4 - e 2 k t 丢让 o ( 1 6 ) 第一章引言及主要结论3 定理f ( h a m i l t o n 【1 6 】) 设m n 是紧流形，截面曲率非负，且r c 是平行的，即 v r c = 0 ，缸是热方程的正解，则对任意的向量场y ，有： ， d i d j f + 而j + d i f v j - f 功f y , + f y y j 0 ( 1 7 ) 特别地，若取k = 一竿，则有d i d jl o gf - f 去0 其实此式和( 1 7 ) 式 是等价的，因为y 的选取是使得( 1 7 ) 式左边取到最小值 关于热核有下面的p e l e m a n 微分h a r n a c k 不等式 定理g ( j f l i 【2 2 】) 若m “是闭流形，u 是正的热核，r c ( m 竹) 一k ，k 是非负 常数，则有： p ，+ 芒( 1 + k t ) ( a f i v ，1 2 ) + ，一n ( 1 + 击尼t ) 2 仳0 ( 1 8 ) 其中钆= ( 4 7 r t ) 一鸶e 一 k = 0 时即是l n i 的结论，见【2 7 】事实上，此微分h a m a c k 不等式是 l i y a u 型估计i v f l 2 一q 五和h a m i l t o n 估计l v f l 2 + ( + 2 k ) f 的组合，但此不 等式只对热核成立 以上都只是关于调和方程和热方程的梯度估计，同样，可以考虑更一般的抛 物型方程解的梯度估计，即考虑完备流形上方程 u t = a u v c v u a u l o g “一口“， 其中c 2 ( m ) ，a 是一实常数，q ( x ，t ) 是定义在mx 【0 ，。) 上的函数 1 a = 0 ，砂= c ( c 常数) ，即u = a u 一口钆，可见【2 4 】，此方程即为薛定谔方 程，也是本论文重点讨论的方程 2 a = q = 0 ，即u = u v c v u ，可见【2 5 】，此文通过b a k r y e m e r yr i c c i 曲率有负下界，得到方程解的一种局部梯度估计 3 = c ( c 常数) ，a 0 ，q 是实常数，u 与t 无关，即u a u l o gu q u = 0 ， 可见【2 6 】利用【2 4 的技巧，得出了此种方程的梯度估计，并指出此方程与扩张 的r i c c i 孤立子之间的关系 以上只是给出了在度量固定条件下方程正解的一些梯度估计梯度估计的 方法后来被h a m i l t o n 用来研究一般的几何发展方程，在研究几何流方面成为一 4 黎曼流形上薛定谔方程的h a r n a c k 估计 个很重要的技巧所以本论文还将考虑度量演化情形下，薛定谔方程正解的梯 度估计和h a r n a c k 不等式，特殊地，考虑度量随r i c c i 流演化的情形r i c c i 流是 1 9 8 2 年h a m i l t o n 在【1 3 】中提出的，它是度量的一个发展方程，即a 夕= - 2 r c ， 其中g 是黎曼度量，r c 指冗c 曲率这是一个抛物方程，至少在短时间内解是存 在且唯一的最初，h a m i l t o n 是将r i c c i 流与调和映照热流联系在一起，而考虑 r i c c i 流下方程解的一些性质可看成是其特殊情形 对于其他几何流，h a m i l t o n 在【1 9 】中证明了平均曲率流的h a r n a c k 估 计；b c h o w 在f 3 1 和4 1 中分别证明了高斯曲率流和y a m a b e 流的h a r n a c k 估 计；h d c a o 在7 1 中证明了k a h l e r - r i c c i 流的h a r n a c k 估计 在9 1 中有一种特殊的薛定谔方程( 即q ( x ，t ) = r ，r 是数量曲率) 在r i c c i 流下的h a r n a c k 估计 定理h ( c a o - h a m i l t o n 【9 】) 令( m n ，9 ( t ) ) t 【0 ，t ) 是闭流形上r i c c i 流的解，且 曲率算子非负，设，是方程a ，= a + r 的正解，令u = 一l o g f ，则有： 2 a 乱一i v 仳1 2 3 r 一2 _ n t o vte ( o ，t ) ( 1 9 ) 特别地，当流形是闭曲面时，设，是方程a ，= a + n f 的正解，若r 0 ， 则有： 11 al o g ，一i vl o g 厂1 2 + = al o g f + r + 0 bo 由于闭曲面上数量曲率的发展方程为鬻= 冗+ 冗2 ，所以厂= r 0 满 足方程，因此al o gr i vl o gr 1 2 + i 1 = al o g 兄+ 兄+ 0 由此结论可得初 始数量曲率为正的闭曲面在规范化的r i c c i 流下收敛到一个常正曲率曲面 定理i ( g p e r e l m a n 【2 8 1 ) 令( m “，夕( t ) ) t 0 ，卅是闭流形上r i c c i 流的解，是 共轭热方程a ，= - - a + r 的基本解，令7 = t t ，u = 一l o g f 一号1 0 9 ( 4 7 r t ) ， 则对vt ( 0 ，t ) 有： 2 a u i v u l ：+ r + 兰二竺0 ( 1 1 0 ) 7 这是关于共轭热方程基本解的梯度估计，p e r e l m a n 的此估计不需要曲率条 件，但结论只对基本解成立后来，在【1 0 】中，得出了对于任意解均成立的梯度 估计，即下面的定理 第一章引言及主要结论 5 定理j ( x d c a o 【10 】) 令( m n ，9 ( t ) ) t 【0 ，卅是闭流形上r i c c i 流的解，且数 量曲率r ( 夕( t ) ) 0 ，f 是共轭热方程o j = 一厂+ r f 的正解，令7 = t t ， i t = 一l o g ，则对vt ( 0 ，t ) 有： 2 a u i v “1 2 + r 一杀0 ( 1 1 1 ) 关于梯度估计有许多重要的应用，如由l i y a u 估计得出了热核估计曲面 上r i c c i 流的h a r n a c k 估计给出了曲率增长的控制，一般的他维流形的h a r n a c k 估计，即h a m i l t o n 矩阵型h a r n a c k 估计可以对非负曲率算子的古典解进行分 类，这些在奇性分析中有着非常重要的应用p e r e l m a n 的微分h a r n a c k 不等式 证明了r i c c i 流解的非坍塌引理 我们知道，当得出一个方程解的梯度估计时，将此梯度估计沿着一条时空路 径积分，可以得到关于此方程解的h a r n a c k 不等式，即比较两个不同时空点解的 大小关系关于h a r n a c k 不等式有许多重要的应用，如从h a r n a c k 不等式可得出 方程基本解的估计，特征值的估计等 本文考虑薛定谔方程( 一0 t q ( z ) ) 乱= 0 正解的梯度估计及h a r n a c k 不等 式，并给出应用薛定谔方程在量子力学里有很重要的应用背景，可以说是黎曼 几何和量子力学的一个结合点，虽然在f 2 4 1 中已经讨论过了薛定谔方程解的一 些性质，但本论文所运用的证明方法和结论不同于f 2 4 】，得出了如下的主要结论 定理1 1 ( 薛定谔方程正解梯度估计) 设( m 扎，g ) 是完备流形，r c ( m “) 一k ：k 是非负常数u ( x ，t ) 是方程( 一侥一g ( z ) ) 乱= 0 的正解，v ( z ，t ) m 【0 ，丁】， 其中q ( z ) c 2 ( m ) ，a q 0 ，i v q f ，y ，p ，y 均是非负常数令f = l o g “，则有： l v f l 2 一( 五+ q ) i n f 。( o r g ( t ，y o ) ( + q y o ) + g ( t ，) ) ，( 1 1 2 ) y o 一n 一盟4 其中g ( t ，y o ) = 血2 + 丕6 ( t ，y o ) c o t h 堕譬盟，b ( t ，y o ) = 等何、碥+ o + 翌4 h n = 两1f ( 1 + 竽) p + 7 ( 学) 2 】o 是与p ，7 ，t ，后有关的非负常数，k l = 忌+ 署 0 进一步有： j v f j 2 - - ( 五+ g ) 等( f t + g + 。+ 警) + 丢+ 警 ( 1 1 3 ) i v f l 2 - ( + g ) t n k l + 珈， + g ) c o t h 掣( + g 一警叫，0 1 4 ) 其中b ( t ， + q ) = 等俪、 + q + 口+ 争 黎曼流形上薛定谔方程的h a r n a c k 估计 计与【2 4 】中的估计不一样，所运用的证明方法 特别地，得到了热方程的梯度估计，具体见推 将梯度估计沿着一条时空路径积分可得如下的h a r n a c k 不等式 定理1 2 ( 薛定谔方程正解的h a r n a c k 不等式) 令( m n ，g ) 是完备黎曼流形， r c ( m ) 一k ，k 是非负常数u ( x ，t ) 是薛定谔方程( 一0 t 一口( z ) ) 札= 0 正解， v ( z ，t ) m 竹【0 ，t 】，其中t 是有限的，q ( x ) c a ( m ) ，a q 口，l v q i ，y ，p ，y 均是非负常数，则有： u(z，亡)u(矽，：。)(筹)号exp量旦!二恚磊掣 ( 1 1 5 ) + 1 ( t 2 - - t 1 ) 舭) ) ( 口+ 字m 2 “t ) ) v ( z ，t 1 ) ，( y ，t 2 ) m n 【0 ，卅，0 t l 0 ，n 是仅与 0 ，y ，t ，k 有关的非负常数，p = d ( x ，y ) 依示z 与! ，之间的距离， 定理1 3 ( 薛定谔方程正解的另一个h a r n a c k 不等式) 令( m n ，g ) 是完备流 形，r c ( m ) - k ，k 是非负常数u ( z ，t ) 是方程( 一侥一g ( z ) ) 私= 0 的正解， v ( x ，t ) m nx 【0 ，卅，其中丁是有限的，q ( x ) c 2 ( m ) ，a q 口，i v q f 7 ，口，7 均是非负常数，则有： u ( z ，t ) u ( 可，t z ) ( 署) 丽3 + 2 k ! t 2 ) 一( 詈+ 高等) e x p 趸i ；：譬三可( 1 + 冬( t + 2 ) ) + ( t 2 一t 1 ) 1 目( ，y ( 曲) d s + ( 口+ 华) ( t 2 一亡1 ) ， ( 1 1 6 ) v ( z ，t 1 ) ，( y ，t 2 ) m n 【0 ，刀，0 t l 0 ，o 是与 p ，7 ，t ，k 有关的非负常数，p = d ( x ，y ) 特殊情形下，得到了热方程的h a r n a c k 不等式和热核估计，见推论2 3 ，2 4 ， 2 5 关于h a r n a c k 不等式有许多重要的应用，如从h a r n a c k 不等式可得出方 程基本解的估计，特征值的估计，b e t t i 数的估计等，具体的可见【2 4 】本文由 h a r n a c k 不等式，得到了基本解的上界估计，以及关于薛定谔算子的刘维尔定理 即下面的定理 第章引言及主要结论7 定理1 4 ( 薛定谔方程基本解的估计) 设( m ”，g ) 是完备流形，r c ( m ) 一k ，后是 非负常数h ( x ，y ，t ) 是方程( a - o t - q ( z ) ) u = 0 的基本解，v ( z ，t ) m n 【o ，t 】， 其中t 是有限的，q ( x ) c 2 ( m ) ，a q p ，i v q l 7 ，p ，y 均是非负常数，则有： 日( z ，t ) 矿一 ( 研) y 一( 5 1 2 ) ( 1 + 6 ) n ( 兰_ = 兰掣) 一詈+ 胬 e x p 0 ，研，岛cm ，且岛，体积有限，a 是仅与 k ，口，7 ，t 有关的非负常数，乃，p 的定义见7 j 节 这只是薛定谔方程基本解的上界估计，关于下界估计可见【2 4 】特殊情形 下，得到热核估计 关于薛定谔算子的刘维尔定理，有许多已知的结论本文利用梯度估计也得 到了如下的刘维尔定理 定理1 5 ( 关于薛定谔算子的刘维尔定理) 设( m n ，g ) 是完备流形，r c ( m ) 0 ， a q ( x ) 0 ，q 7 ，y 是一非负常数，且存在x o m ? 使得g ( 黝) 0 ，则 a u ( x ) 一q ( x ) u ( x ) = 0 不存在光滑正解 本文还将考虑r i c c i 流下薛定谔方程正解梯度估计及h a r n a c k 不等式，此时 假设流形是闭流形，所运用的证明方法和度量固定情形下基本一样，得到了如下 的梯度估计和h a r n a c k 不等式 定理1 6 ( r i c c i 流下薛定谔方程正解的梯度估计) 今( m “，夕( t ) ) 是紧的n 维 黎曼流形，夕( ) 满足爰夕= - 2 r c ，t 【0 ，卅，且假设i r c l k ，i v 冗f k 1 ，设 u ( z ，t ) 是薛定谔方程( a 一魂一g ) u = 0 的正解，v ( z ，t ) m f 0 ，明，其中 口( z ) c 2 ( m ) ，q ( x ) 7 ，a q ( x ) p ，7 ，口，后，k l 均是非负常数，令，= l o g u ，则 存在于( o ，m i n t ，j 丽3 ) ) ，使得： c 1 l v f l 2 一 孬n + q ( 1 + t ) vt ( o ，于】， ( 1 1 8 ) 其中g ，q 是依赖于k ，k 1 ，t ，y ，口，n 的非负常数 8黎曼流形上薛定谔方程的h a r n a c k 估计 定理1 7 ( r i c c i 流下薛定谔方程正解的h a r n a c k 不等式) 设( m “，夕( ) ) t 0 ，卅 是闭流形上r i c c i 流的解，仳( z ，t ) 是薛定谔方程的正解，所满足的条件和上述定 理一样，则有： u ( x , t 1 ) 心( y , t 2 ) ( 筹) 号e x p 2 学d t 倒) + 铷_ ) ) ( 1 加) vx l ，x 2 m n ，0 t l 0 ，存在一列q kcm ，使得r ( q 南) 1 ，且有 。l l m ，( 吼j = s u p 广， 詹_ 0 0 i v f ( q k ) l 五2 d k ， ( 2 2 ) f ( q k ) 一n 一兰竽) ，( 2 4 ) 其中o ( t ，y o ) = 虫2 + 羞6 ( t ，y o ) c o t h 业2 ，b c t ，v o ) = 等俪、+ n + 字 口= 两1 【( 1 + 学) p + 7 ( 学) 2 】o 是与口，7 ，正后有关的非负常数，k l = 七+ 吾 0 证明设u ( x ，t ) 是( 2 1 ) 的正解( 注：( 2 1 ) 的解是存在的，可见【2 4 】) 令，= i n u ，定义算子l = a + 2 v f v 一侥 易计算得 ：u _ t ：a u = - - 一q u ：a1 n 仳+ i vl n u l 2 一口：a f + i v f l 2 一g 仳u 再对t 求导，因为q 与无关，则有：a = a f , + 2 v f v f , ，即： 三五= 0 ( 2 5 ) 由b o c h l a r 公式计算可得： l l v f l 2 = a l v f l 2 士2 v f v l v f l 2 一o , l v f l 2 = 2 1 v v f l 2 + 2 r c ( v f ，v f ) + 2 + 2 v f v l v f l 2 2 v f v f , = 2 1 v v f l 2 + 2 r c ( v f ，v f ) + 2 = 2 1 v v f l 2 + 2 r c ( v f ，v ，) + 2 所以有： l ( i w l 2 一q ) = 2 1 v v f l 2 + 2 r c ( v f ，v f ) + 2 一a q 一2 = 2 i v v f l 2 + 2 r c ( v f ，v f ) 一a q ( 2 6 ) 第二章薛定谔方程正解的梯度估计及h a r n a c k 不等式 1 1 令f = i v ，1 2 一 一q b ( t ，五十q ) ，其中b ( t ， + q ) 是待定的函数 由( 2 5 ) 可得： l b ( t ， + 口) = i 9 2 y b ( t ， + q ) i v ( ，亡+ g ) 1 2 + o y b l ( f t + q ) 一a t b ( 2 7 ) = 印b ( t ，t + q ) l v ( f t + q ) 1 2 + o 知b l q a , s 、7 若假设b ( t ，y ) 是关于y 的凹函数，且b 0 ，则有： l b ( t ，五+ q ) 西b ( a q + 2 v f v q ) 一o t b ( t ，五+ g ) ( 2 8 ) 综合( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 可得： l f = l ( i v f l 2 一五一q ) 一l b ( t ， + q ) = l ( i v f l 2 一q ) 一l b ( t ， + q ) 2 1 v v f l 2 + 2 r c ( v f ，v ，) 一口一o y b ( a q + 2 ) + o t b ( t ，五十口) 由于i v v ，1 2 丢( ，) 2 ，r c ( m ) - k ，a q p ，i v q i 7 ，o y b20 ，所以： l f 丢( ，) 2 2 k l v f 2 一( 1 + o y b ) o 一2 0 y b l v f b + o t b ( t ， + g ) ! ( w f l 2 一五一g ) 2 2 k ( f + 五十q + b ( ， + q ) ) 一( 1 + o v b ) o 一7 ( o y b ) 2 7 l v f l 2 + o t b ( t ，五+ q ) = t - ( f + b ) 2 一( 2 k + ，y ) ( f + + q + b ) + o t b ( t ， + q ) 一( 1 + 巩b ) o 一7 ( o y b ) 2 令2 后+ ，y = 2 k 1 0 ，贝0 有 l f 罢f 2 + ( 4 b 一2 k 1 ) f + 罢b 2 2 k l ( + 口+ b ) + o , b 一( 1 + o 丸b ) 8 7 ( 巩砰 ( 2 9 ) 令夕( ，y ) 是定义在【0 ，卅r 上微分方程 f 岛9 + 罢9 2 _ 2 k l ( y + a + g ) = 。 ( 2 1 。) i9 ( o ) = 。o 的解，其中a 为待定常数 易知，当y + o 一手时，此微分方程的解为： 鲍，y ) = n 2 k _ a + 丢华c o t h ( 掣y ) _ 4 t n v 乞- g , 1 ) b ( t ，】7 ) 显然为凹函数，且 o 删= 酬蝴) 等 o , b = a 升g ( t ，y o ) ( y 一碥) + o , g ( t ，y o ) ( 2 1 6 ) 要b 2 ：昙( 夕( t ，y o l y o ) y o ) ( y y o + g ( t ，k ) ) 2兰b 2 = 二( 夕( t ， 一十 ，k ) ) 2 扎几、 = 罢( 酢，y o ) ( y 一) ) 2 + 元4 卵，y o ) o y 绯，y o ) ( y y o ) + 罢( 如，驯2 ( 2 1 7 ) 2 k 1 ( y + 口+ 曰( t ，】，) ) = 2 k l ( y - y o + r o + 。+ b ( ，l 厂) ) = 2 k 1 ( t o + a + g ( t ，y ) ) + 2 k 1 ( y y o ) ( 1 + o y g ( t ，k ) ) ( 2 1 8 ) 0 k 1 ，则易看出 l g2 磊2 ( g + t 巩夕( t ，k ) ( + g 一碥) ) 2 + 譬+ 2 ( 磊一七1 ) l v f l 2 了g + 2 t ( 岛一七1 ) l v y l 2 ( 2 2 2 ) 由【2 4 】中的l i y a u 估计： i v y l 2 一q ( + 口) 孬na 2 + a + q ：乌+ 侥q ；，v q 1 其中a ，伤，g 是仅依赖于n ，口，y ，的常数 令口= 1 + 西g ( t ，i o ) 1 ，则有： i v ，1 2 一( 1 + 升夕( ，y o ) ) ( + q ) 丢( 1 + 巩夕( t ，碥) ) 2 + c - + q 垒群+ g ( 1 + 巩夕( t ，碥) ) g = t f = t ( i v s l 2 一 一q a y g ( t ，y o ) ( a + q y o ) 一g ( t ，y o ) ) = t v f l 2 一( 1 + o g ( t ，k ) ) ( + 口) + t ( y o o y g ( t ，y o ) 一夕( t ，碥) ) 善( 1 + 巩9 ( ，) ) 2 + a t + 伤( 1 + 巩g ( t 碥) ) 2 瓦页t 而 + c 3 t ( 1 + o y 9 ( t ，) ) ；+ t ( y o o y g ( t ，y o ) 一g ( t ，k ) ) 若假设s u pg 0 ，因为当t = 0 时，g = 0 所以由 m 【o ，7 1 l i ma ( x m ，t o ) = m - - * o o s u pg 0 知，t o 0 ，o t g ( z m ，t o ) 0 因此： m x 【o x l l g ( z m ，) = g ( z 。，t 。) + 2 v f v a ( z 仇，如) 一侥g ( x m , t o ) 去+ 熹i v ，i 由( 2 2 2 ) 式可知：l g ( x m ，t o ) g 鱼t o 丛业+ 2 t 。( 忌l h ) w f j 2 综合上述两式有： 磊1 l g ( 勘一熹i v ，l t a ( x m , t o ) + 2 ( 忌。一后。) i v 卯一三 i l l i v ， l 0 a ( x m , t o ) 1 t o 2 ( k l 令m _ ，由于l i ma ( z m ，t o ) = s u pg ，所以 m 。o 。 m o ，卅 s u pg m 0 刀 t o 0 ，即s u pg 0 ， m 【o ，刀 与假设s u pg 0 矛盾! 由于v 启1 k l ，所以g 0 ，即f 0 m x 【o ，刀 所以： v f l 2 一五一q 0 9 y g ( t ，k ) ( 五+ q y o ) + g ( t ，y o ) ( v 碥 基于引理2 1 如下证明定理1 1 一t n k l n ) 4 7 口 则有： v 卯一胚轸i n f 警( 砷北) ( 一y o ) + 北蚍( 2 2 7 ) 其中g ( t ，y o ) = 警+ 抛，y o ) c 。t hb ( t 。, y ，b ( t ，y o ) = 等瓜扛再 进一步有： l v ，| 2 一五了2 k t ( 五+ 百n k ) + 丢+ 百n k v f l 2 一五百n k + 珈i ，i ) c o t h 掣， ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 第二章薛定谔方程正解的梯度估计及h a r n a c k 不等式1 7 其中b ( t ， ) = 等俪缸再 v 1 2 一五丁n k + 爵n + 瓜 ( 2 3 0 ) 证明当q ( x ) = 0 时，令定理1 1 中的a = 0 ，k l = k ，可得此推论，也可见【1 】 口 注意( 2 1 0 ) 的解，当y 2 c 。s 三= 扼 瓦r o ) 一e 警哗高， 。 酬椭) = 扣。互b 一鑫m ( 2 3 1 ) l- 2 m ( b 猢- s n i _ = n b ) ， 由( 2 3 1 ) 可看出o y g ( t ，y ) o ，且由于l i m 0 + 蕊b - s i n b2lim0+舞o-2 = ； d + u t d u t v r 定删= b - s i n b 誊眦( 6 ) 卸矧上是连续嘁所在 【o ，詈】上是有癫且是正的，不妨设0 ( 6 ) m 所以o u g ( t ，y o ) 52 k l t m 2 k l 础2 。m = 案m 再看( 2 9 ) 7 ： 三f 罢f 2 + ( 4 b 一2 k 1 ) f + 罢b 2 2 k 1 ( 五+ q + b ) + o t b 一( 1 + o b ) e 一，y ( 0 y b ) 2 所以l g v 侄t - 1 ( 一7 像前面一样讨论，当流形是紧流形时，直接利用极大值原理当流形非紧时， 利用完备流形的极大值原理，均可得：g 0 ，即f 0 综上所述，可得下面的定理 证明由推论2 1 可得： 令a = 所以： 令u = v 丌一( + q ) 字+ 爵n + 俪 ，则：一( 五+ q4 - n ) = 翌争一入2 v f l 2 ( 五+ q ) + t n k l 十 = 入2 一。一t n k l + t n k l ( a + 又因为： 、2 佗 ，十五 ，则i v f i 钆 m + 口+ 0 ) = 字埘 = t n k l 一(压一厚，z - - ( t 2 一t 1 ) f t ) d 8 一( t 2 一h ) a ) d s 1 v ，i f d d t 所以： + z 1 池呐) g ( 7 ( s ) ) d s + n 筹 乱(z，t，)乱(耖，tz)(署b)暑exp1生二=。j；掣 1 、l 一ltj + 小z ) g ( 7 ( s ) 胁+ ( 0 + 警m 。呐) ) 即证明了定理1 2 口 推论2 3 ( 热方程正解的h a m a c k 不等式) 令( m n ，9 ) 是完备流形，r c ( m ) 一k ， k 是非负常数，“( z ，t ) 是热方程( 一a ) 仳= 0 的正解，v ( z ，t ) m ”【o ，o 。) ，则 对v ( z ，t 1 ) ，( y ，t 2 ) m n 0 ，o 。) ，且t 1 t 2 ，有： 出 胁妫c 融x p 志+ 字p + 孙刊， 其中p = d ( x ，剪) ( 2 3 5 ) 肌v 卅m 刮g 一器+ 字 + 鬻， d s z 1 帮等 + ( t 2 一 + ( t 2 一亡1 ) 口( 7 ( s ) ) ( t n k l + 鬻) d s d s = 字击i n 丝3 + 2 k 业i t , = 警k n3 3 + 2 + 2 k b l 幻t 1 一“ 虫南 垴 、，：以 为一 臣m 第二章薛定谔方程正解的梯度估计及h a r n a c k 不等式2 3 ( t 2 一t 1 ) 露 ( t 2 一t 1 ) 片 所以： 凼= 辟嵩班= 口 ( t 2 - - t 1 ) 一蠹l n 蚍3 + 2 k l t t l j d s = 2 毒班= 墨 1 n 筹一i n 蚍3 + 2 k l t l l j m a ) 一f ( v 渤) ! 与( 1 + 等m “2 ) ) + ( t 2 - t 1 ) z o 如( s ) ) d s + 孔t 2 - - t 1 ) + 警h 糍一鼍h 糍 + 8 ( t 2 - - t 1 ) + 互nm 石t 2 一三h 糍 = 砭志笔忑五( 1 + 冬 + t 2 ) ) + ( t 2 - h ) f o 口( 7 ( s ) ) d s 巾+ 字m 2 呐) 一( 西n + 鼍) l n 丽3 + 2 k i t 2 + 詈l n 筹 即。 珏( 啪) 纠州：) ( 飘3 3 + 慨2 k i m t 2 ，) 飞嘲e x p 南( 1 + 如帕) ) + ( t 2 - t 1 ) 1 咖( s ) ) d s + ( n + 警m ：呐) ) 即证明了定理1 3 口 推论2 4 ( 热方程正解的h a r n a c k 不等式) 令( m ”，g ) 是完备流形，r c ( m ) 一七， k 是非负常数，u ( 。，t ) 是方程( a a ) 乱= 0 的正解，v ( z ，t ) m n 【o ，0 0 ) ，则对 v ( z ，t 1 ) ，( z ，t 2 ) m nx 【0 ，) ，且t l t 2 ，有： “( z ，t ，) 札( 可，亡。) ( 鲁) 詈( j 3 十+ 2 二k k 。t 2 。) 一詈e x p 互巧：皇三i j 注：( 2 3 6 ) 式与j f l i1 2 2 】中的结论相吻合 ( 1 + 孙+ t 2 ) ) + 百n k 渤也) ) ( 2 3 6 ) 推论2 5 ( 热核估计) 设( m n ，夕) 是完备流形，r c ( m ) - k ，缸是非负常数，令 h ( x ，y ，t ) 是热核，则有： h ( x , y , t ) ( 4 丌t ) 一号( 1 + 詈尼亡) 詈e x p 一石p 2 ( 1 + 等) 一鼍后t ) ( 2 3 7 ) 拳南 估计 口 第三章薛定谔方程基本解估计和薛定谔算子的刘维尔定理 3 1薛定谔方程基本解的估计 本节推导出薛定谔方程基本解的上界估计以及关于薛定谔算子的刘维尔定 理，即证明定理1 4 ，1 5 以下假设( m n ，g ) 是完备流形，r c ( m ) - k ，k 0 ，q ( x ) c 2 ( m ) ，a q p ， l v q is7 ，p ，7 均是非负常数，且本节令 p ( x ，可，亡) = i n f 击詹2 + t q n ( s ) ) d s ) ，7 是所有连接z ，y 的曲线 由( 1 1 6 ) 式我们可以得到一个平均值型的h a r n a c k 不等式，即： 巾 ) 0 ， 贝0 由弓i 理知： 1 言j v y g l 24 - g t 一2 q ( y ) = 0 ( 3 2 ) ， 引理c 设( m n ，夕) 是完备流形，r c ( m ) 2 - k ，k 是非负常数假设g ( x ，y ，t ) 是 薛定谔方程( a - - o - q ( x ) ) u = 0 的