（基础数学专业论文）量子环面上高秩virasorolike代数的研究.pdf

中文摘要 e lii ii i 中文摘要 众所周知，仿射k a c m d d 匆代数及其表示在数学和物理的许多分支中都有 着重要的应用，它们是以单变量的罗朗多项式环为其坐标代数的量子环面包含了 多变量的罗朗多项式环为其特例，同时量子环面的导子李代数也包含一些特殊的子 代数本文旨在研究它的某一特殊子代数的导子李代数 取定个正整数d 2 及复数域c 上一个以e l ，e 2 e d 为基底的向量空间， 非零复数g 1 为p 次本原单位根，与之相对应的量子环面c q 是c 上的结合非交 换代数 令 r = z e l + z e 2 + 4 - z e d 建立r r 到c 的映射以，为 盯m ，m ) = l i 勺d 一佻，f ( n ，m ) = 伊( n ，m ) 盯( m ，n ) 1 定义，的根 r a d ( f ) = 佗r ：f ( n ，仇) = 1 ，v m r ) 对v n = 垒l n i e i r ，讹= 冬l u i e i u ，记矿= z n l l z 黔瑶4 ，定义度导子 d e r i 使得 d e r i ( z , n ) = 啦扩 记 d ( u ：n ) = 矿忽1 t 正 d e r i 令 g = ( d ( 乱，r ) ：( u ，r ) = 0 ，0 r t a d ( f ) ) 由文献【3 2 】知g 是d e r ( c q ) 的子代数，称之为量子环面上高秩v i r a s o r o l i k e 代 数 以d e r g 表示g 的所有导子构成的李代数，本文的目的是借鉴d e r ( c q ) 已有 的研究结果来刻画出它的具体形式，这篇文章由三部分组成，首先在第一部分介绍 了这一课题的研究现状，研究目的及意义之后在第二部分介绍了v i r a s o r o l i k e 代数的定义及d e r ( c q ) 上的一些基本结果这一部分是后续的证明及计算所必不 可少的工具最后本文在第三部分分别给出d = 2 和d = 3 时导子李代数的具体形 黑龙江大学硕士学位论文 ；i i i一一_ i i i ii i i i i i ；i ；i ；i ；i i i i i i ；ii ；i i i i 式，其主要结论是t 当d = 2 时它同构于gob ，其中b = d ( u ，o ) ) 而当d 一3 时 它同构于g 关键词。 全导子李代数；量子环面；高秩v i r a s o r o l i k e 代数；斜导子李代数； 导子 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a ta f f i n eg a c - m o o d ya l g e b r aa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n sp l a y i m p o r t a n tr o l e si nm a n yb r a n c h e si nb o t hm a t h e m a t i c sa n dt h e o r e t i c a lp h y s i c s w e n o t i c et h a tt h eq u a n t u mt o m sc o n t a i n st h el a u r e n tp o l y n o m i a lr i n ga si t ss p e c i a l c s s e ，i nt h em e a n w h i l et h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao ft h eq u a n t u mt o u r sa l s oc o n t a i n s s o m ep a r t i c u l a rs u b a l g e b r a s t h ep a p e ra i m sa ts t u d y i n gt h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r a o fac e r t a i ns u b a l g e b r ao ft h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao ft h eq u a n t u mt o u r s w eh a v ec h o o s e nac e r t a i ni n t e g e r a ld 2 t h ev e c t o rs p a c ej l lo w n se l ，e 2 e d a si t sb a s ei nt h ef i e l do fc o m p l e xn u m b e rc qi sc h o o s e nt ob eac e r t a i nn o n z e r o c o m p l e xn u m b e ra n d 矿e q u a l st o1 c qi sac o r r e s p o n d i n gq u a n t u mt o u rw h i c h i sa s s o c i a t i v eb u tn o n - c o m m u t a t i v ea l g e b r ao nc l e tr = 整1 z e i 矿a n d ，a r e f u n c t i o n sf r o mp rt ocw h i c hs a t i s f yt h ee q u a t i o n 盯( n ，m ) = l 勺d 矿，佻a n d ( n ，仇) = 盯( n ，m ) o ( m ，n ) 一1 d e f i n ed e g r e ed e r i v a t i o nd e r is a t i s f y i n gd e r i ( x n ) = n i x n ，w h e r e 矿= x 饥l 透2 瑶d f o r 佗= 是l 啦e r d e n o t er a d ( f ) = n r ：，( 礼，m ) = 1 ，v m r ) t h er a d i c a lo f ，l e td ( t ，礼) = z n 口d i ：1 u i d e r ia n dg = ( d ( u ，) ：( u ，r ) = o ，0 7 t a d ( f ) ) e a s y t op r o v et h a tgi st h es u b a l g e b r ao fd e r ( c q ) w ec a l li tv i r a s o r o l i k ea l g e b r ao n q u a n t u mt o u r s d e n o t ed e r i t h ed e r i v a t i o nl i ea l g e b r ao fg t h ep a p e ri st oc h a r a c t e r i z ei t s f o r mb yu s i n gt h er e s u l t so fd e r ( c q ) t h ep a p e ri sc o m p o s e do ft h r e ep a r t s f i r s t o fa l l ，i nt h ec h a p t e ro n ew ei n t r o d u c et h ep r o b l e m sc u r r e n ts i t u a t i o n ，i t sa i m a n d r e c a l l i nt h ef o l l o w i n g ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fv i r a s o r o l i k ea l g e b r aa n ds o m e u s e f u lr e s u l t so nd e r ( c q ) i nt h ec h a p t e rt w oo ft h i sp a p e r t h e ya r ev e r ye s s e n t i a l t ot h ep r o o fo ft h ef i n a lt h e o r e m f i n a l l y , w es t u d yi t sd e r i v a t i o nl i ea l g e b r ai nt h e s i t u a t i o no fd = 2a n dd = 3i nt h ec h a p t e rt h r e es p e c t i v e l y , a n ds h o wt h a tw h e n d = 2i ti si s o m o r p h i ct og o bw h e r eb = d ( t ，o ) ，b u tw h e nd = 3i ti si s o m o r p h i c t og k e y w o r d s ：t h ed e r i v a t i o nl i e h i g h e rr a n kv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a ； a l g e b r ao ft h eq u a n t u mt o u r s ；q u a n t u mt o u r s ； s k e wd e r i v a t i o nl i ea l g e b r a ；d e r i v a t i o n - i i i - 符号说明 本文要使用的符号及其意义； 【，】 李积 符号说明 内积 度导子 映射，的根 p 次本原单位根 大于等于2 的任意正整数 整数环 复数域 量子环面 向量空间 斜导子代数 v i r a s o r o l i k e 代数 z e l + z e 2 + + z e d c e t + c e 2 + + c e d 可逆矩阵q 的逆的转置 全导子代数 g 的导子的全体 让c d ：( t l ，) = o ) 王l 和凹的直和 i 和r 的张量积 z 上d 阶可逆矩阵的全体 i d ( t ，r ) ：乱k e r ( r ) ，r 0 ， 1 1 0 ，r = 0 ， 一v 一 力 国r 妣憾g d z c q h 厶g r旷胁陋酬队瓯 跏 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料 论文作者签名：多勇- 钐 签字日期t 2 0 o 年, 9 月2 0h 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构交送论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本 人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 擎位论文作者签名；多差酷 导师签名 签字日期：功睥5 月功日签字日期；如1 年期z 9 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位； 通讯地址t 电话。j 卯釉f 鲥 邮编； 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 国内外同类课题的研究现状及发展趋势 李代数源自李群，李群理论是由挪威数学家s o p h u s l i e 在1 8 7 0 年发现并且建 立起来的李理论在各方面都有着广泛应用( 3 9 1 一 4 4 1 ) ，并且经过长期发展才成为一 门独立学科早期的李群理论研究的是其局部性质，后来李群理论研究的是李代数 的构造及其表示理论这种纯代数问题如今李代数已经成为基础数学专业研究生的 主要课程之一，并且世界各国出版了许多关于李理论的教材和专著( 【3 】【6 】) 李代 数这数学概念是由挪威数学家s o p h u sl i e 在1 9 世纪末研究连续变换群时引进 的，后来w e y l 将其更名为李代数李代数是一种特殊的代数，是个向量空间连 同满足j a c o b i 等式的双线性运算所构成的数学结构，它的主要特点是非结合且非 交换 二十世纪初，c a r t a n 和w e y l 等人获得了关于复数域上半单纯李代数的结构 与表示几近完美的理论( 【7 】一 1 3 1 ) 1 9 6 8 年k a c 和m o o d y 分别在文献f 1 】和文献【2 】 中独立的提出了一类被称为k a c m o o d y 代数的李代数这类代数是半单纯李代 数的自然推广，它不仅包括经典的有限维半单李代数，还包括一些无限维李代数 其中，仿射k a c m o o d y 代数是一类最重要的也是研究得最清晰的无限维李代数 ( 【5 5 】- 【5 9 】) 仿射k a c m o o d y 代数是一维环面到复数域上有限维单李代数的多项 式映射的泛中心扩张，这就是说，仿射k a c m o o d y 代数是以单变量的罗朗多项 式环作为其坐标代数的近年来科学家们在仿射李代数的推广方面获得了很多令人 非常瞩目的结果首先人们受到量子场理论研究工作的启发，提出了扩张仿射李代 数( e a l a ) 的概念扩张仿射李代数也称拟单李代数，是近年来李理论研究的 热门课题之一，在理论上和物理上都有着重要而且广泛的应用之后，b e r m a n 研 究了e a l a 的分类及结构问题并且在文献【6 0 】中构造了它的表示近年来，孟道 冀、姜翠波等给出了t o r o i d a l 李代数的可积模分类( 【4 5 】- 【5 4 】) 李代数的理论和方法在数学和物理的许多领域也都有所渗透，并且随着李代数 理论的不断完善和发展，它在量子力学中的地位也不断上升1 9 8 5 年，d r i n f e l d 和j i m b o 成功地引进了g 量子化和量子群的概念，而半单李代数的包络代数可以 看作量子群的特例，这使李理论的发展前景更为广阔j a n t z e n 等人对量子群做了 大量反复的研究工作f r e n k e l 和以哪等人构造了量子仿射李代数，并且用顶点 算子的方法对它的表示进行了研究通过对量子群的研究人们发现量子平面和量子 黑龙江大学硕士学位论文 环面等概念，它们是非交换几何主要的研究对象科学家们对量子环面及其上的某 些李代数进行了大量系统的探究( 【1 5 】【1 7 】【3 0 卜 3 3 0 1 9 9 4 年，k i r k m a n 等人讨论 了2 秩量子环面的结构问题，并且引进了v i r a s o r o l i k e 代数2 秩环面上导子李 代数的个李子代数赵开明由量子环面出发构建了w e y l 型代数，此外，他还把 量子平面作为量子群的个直观例子从中可见，量子环面、李代数、量子群及量 子平面之间存在着密切联系 v i r a s o r o 代数是单变量的罗朗多项式环上的导子李代数一w i t t 代数的泛中 心扩张在无穷维李代数中，它是一类非常重要的代数自从k a c 在上个世纪八 十年代提出关于v i r a s o r o 代数的表示和分类的一个猜想后，许多人对它的表示和 分类进行了大量的研究( 【2 5 卜 2 9 1 ) ，最后由m a t h i e u 给出v i r a s o r o 代数的表示和 分类并证明了k a c 的猜想此外v i r a s o r o 代数在物理学的很多分支中都扮演着 重要角色正是由于v i r a s o r o 代数与理论物理之间存在密切联系，理论物理学家 对它进行了大量的研究并试图对它进行推广，特别是高秩的推广1 9 9 1 年p a t e r a 和z a s s e n h a u s 在文献【2 4 】中引进和构造了高秩v i r a s o r o 代数随后许多人研究 了该代数表示的构造和分类问题，最后由苏育才、赵开明等人完成了对该类李代数 的模的分类v i r a s o r o l i k e 代数是d 维交换环面的导子李代数d e r ( a ) 的个 子代数，有大量文章对它进行过系统地研究( 【1 8 】i 【2 3 】) ，其中文献【2 0 】讨论了它的 导子李代数，并证明它同构与d e r ( a ) 的另个子代数一s k e w 导子李代数文献 【1 9 】把这一结果推广到高秩v i r a s o r o l i k e 代数上1 9 9 4 年k i r k m a n 等人证 明了2 秩量子环面上的g - 类似代数和v i r a s o r o l i k e 代数存在非平凡的中心扩 张1 9 9 8 年孟道冀、姜翠波在文献【1 8 1 中讨论了2 秩量子环面上的口类似代数 和v i r a s o r o l i k e 代数的导子李代数然而这些结论主要集中在两个变量的量子 环面的情形，并且要求q 是g e n e r i c 的赵开明和张贺春在文献【2 0 】中构造了g - 类 似代数和v i r a s o r o l i k e 代数匕分次空间维数不大于1 的z z 分次模并研究了 它的结构和性质近几年，以量子环面为坐标代数的e a l a s 开始引起了人们的关 注，并成为李理论研究的焦点课题之一，由此产生了非常丰富的结果 1 2课题的研究目的及意义 李理论中计算某李代数的导子具有重要意义，关于李代数导子的计算方法许 多专著都有论述( 3 4 1 一【3 8 】) 通过对导子的研究可以帮助人们了解李代数结构的一 些隐含特征进而人们还发现由一些特定的代数的导子李代数或全形( 代数与其导 一2 一 第1 章绪论 子的半直积) 出发可以构造出许多有意义的李代数比如，w i t t 代数可看成单变 量的罗朗多项式环的导子所构成的李代数，而经典的w e y l 代数可看成单变量的罗 朗多项式环的导子生成的结合代数再如，经典的c a r t a n 型李代数可看成交换结 合代数的导子所构成的李代数的子代数由于多变量的罗朗多项式环的导子李代数 是量子环面的导子李代数的特例，通过对量子环面上高秩v i r a s o r o l i k e 代数相 关问题的研究，可以使对d e r ( c q ) 的结构和表示有深刻的理解和认识因而对于它 的研究具有重要的理论价值本文希望借鉴d e r ( c q ) 已有的研究结果，对量子环 面上高秩v i r a s o r o l i k e 代数进行研究 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章量子环面上高秩v i r a s o r o l i k e 代数 2 1 定义及符号 作为准备工作，我们首先回忆交换环面上高秩v i r a s o r o l i k e 代数的定义 设a = c 滢1 ，右1 】是复数域c 上的d 2 个交换未定元的l a u r e n t 多项 式环，d e r ( a ) 是a 的全体导子构成的李代数对竹= ( 住l ，他，r i d ) t z d ， 记扩= 露1 才2 嚣4 令皿( 佗) = 扩磊( a 如) ，i = 1 ，反对t c d ，记 d ( ，r ) = 冬1 u i d i ( r ) 称d e r ( a ) 的子代数 g = s p a n c d ( t ，r ) ：r g d 【0 ，t k e r ( r ) 为交换环面上的高秩v i r a s o r o l i k e 代数类似地，下面给出量子环面上对应的 高秩v i r a s o r o l i k e 代数的定义 取定复数域c 上个以e l ，e 2 e d 为基底的向量空间王l ，在u 上定义对称双线 性型( ，) ，使得( e l ，e j ) = 如 任意给定由非零复数所构成的d d 矩阵q = ( q , j ) d d ，且矩阵的元素满足 始= 1 ；一1 = 劬 ，v 1 i ，歹d 记 s 【田= c ( z 手1 ，z 孝1 】n 厶 表示非交换罗朗多项式环，其中d 2 是正整数矗是s 【司上由元素 翰一q t j x i x i ，x i x i 一1 ，甄一1 戤一1 ) 生成的理想 定义2 1 3 2 l 令c q = s c 田y ，称c q 为对应于矩阵q 的量子环面，q 被称为 量子环面矩阵 注意；根据习惯，我们把x i s 【田在自然同态下的像仍记作戤c q ，于是有 x i x i = q i ，x j x i ，x i x i = 戤一l x i2 1 令r = z e l + z e g + + z e a l 建立r r 到c 的两个映射，使其满足等式 仃( n ，m ) = 1 勺d 彩p 帆，( n ，m ) = 伊( 佗，m ) 盯( m ；哟一1 4 一 第2 章量子环面上高秩v i r a s o r o l i k e 代数 定义f 的根r a d ( f ) = n r ：，( 钆，m ) = 1 ，v m r ) 对任意的n = 2 1 h i e r ，任意的钍= 冬l i t i e i h ，记护= z 7 1 t 1 四2 x ”d ，并且定义度导子如n 使得 d , e r i ( x n ) = 傀矿对c q 的内导子a d x n 有a d z “( z 仇) = ( 伊( 佗，m ) 一口( 仇，礼) ) z n + m 又 记d ( u ：n ) = z n 厶仁d1 u d e r i 定义2 2 称d e r ( c q ) 的子代数 g = ( d ( 牡，r ) ：( 牡，r ) = 0 ，o r r a d c f ) ) 为量子环面上的v i r a s o r o l i k e 代数 2 2 d e r ( c q ) 上的基本结果 鉴于d e r ( c q ) 对于本文研究的重要性，我们首先给出d e r ( c q ) 上的一些基本 结果 引理2 3 【3 2 1 对任给住，仇，r ，s r ，有下列结果： ( 1 ) ，( n ，m ) = f ( m ，佗) 一1 ，( 佗，n ) = ，( n ，一住) = 1 ，- fm ，5 + 7 ) = ，( n ，s ) ，( n ，r ) ，( m ，s ) ，( m ，r ) ( 2 )仃( 佗+ m ，8 + r ) = o ( n ，s ) 盯( 礼，r ) 盯( m ，s ) 仃( m ，r ) ( 3 )f g n 扩= ( n ，m ) z n + 仇，f x n ，扩】= ( 仃( 钆，m ) 一o ( m ，n ) ) z n + m 引理2 4 a 2 1 令d e r ( c q ) n 为c q 上的竹次齐次导子集合，则有下列结果： ( 1 ) d e r ( c q ) = o n r d e r ( c q ) n ，fc a d x 1 ，竹gr a d ( s ) 。) d e r ( c q h2 t 。冬。c 扩d e n ，n ，r 。d ( ，) 引理2 5 3 2 1 量子环面c q 上的导子集合d e r ( c q ) 是个李代数且有下述李结 构： ( 1 ) v s ，s gr a g ( f ) ，【a d z s ，a d x a 】= ( s ，s ) ( 1 一，( s ，s ) ) a d z 。+ 。 ( 2 ) v szr a g ( f ) ，r t a d ( f ) ，仳王i ， a d x 8 ，d 似：r ) 】= 一沁，s ) 盯( r ，s ) a d x 扣 ( 3 ) v r ，r r a g ( f ) ，u ，【d ( i t ，r ) ，d ( 0 ：r ，) 1 = d ( u ，r + 7 ) 其中= 盯( r ，r ，) ( ( t ，r 7 ) 0 一( ，r ) i t ) ，而且易知b = d ( u ，0 ) ：t i l 】是 d e r ( c q ) 的一个a b e l 极大子代数 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章 量子环面上高秩v i r a s o r o l i k e 代数的导子代数 3 1 预备知识 取定个正整数d 2 及复数域c 上个以e l ，e 2 e d 为基底的向量空间龌 在王工上定义对称双线性型( ，) ，使得( e i ，e j ) = 如令 r = z e l - 4 - z e 2 + 4 - z e d 取定某一非零复数口是p 次本原单位根，量子环面c q 是c 上的结合非交换代数， 其生成元为z ，磅z 孝，生成关系为 鼢= q x j x f ；x i x 1 = z f l z = 1 建立r r 到c 的两个映射盯，为 盯，m ) = i i l 勺d q 唧帆，( n ，m ) = 仃，m ) 盯( m ，n ) 一1 定义，的根r a d ( f ) = 如i ：，( 住，锨) = l ，v m q 对任意的霄= 罐1 n i e i i ， 任意的t = 是1 地e | l ，记矿= 碹1 遽2 4 ，并且定义度导子慨使得 d e r i ( x ) = 豫矿 记 d ( t l ，他) = z n 厶t d ：1 u t d e r i 令 g = ( d ( u ，r ) ：( 让，r ) = o ，0 r t a d ( f ) ) 易证g 是d e r ( c q ) 的子代数，称之为高秩v i r a s o r o l i k e 代数，并且由d e r ( c q ) 的相关结论知g 的李结构为 【d ( 牡，r ) ，d ( 钉，s ) 1 = d ( ，4 - s ) 其中u = 盯( r s ) ( ( t ，s ) t ，一扣，7 ) 心) ) 令 c q = ( d ( u ，r ) ：( 让，r ) = 0 ，r t a d ( i ) ) o ( a d z n ：n r ) 则g 是q 的子代数 一b 一 第3 章量子环面上高秩v i r a s t r r o l i k e 代数的导子代数 对任意的r 7 , d ，记 j d ( u ，r ) ：u k e r ( r ) ) ；r 0 ， g r21 o ， r o ， 则由c q 是z d - 分次李代数知g = o ，z d 肼也是z 皿分次李代数以下是本章将用 到的几个预备结果 引理3 1 假设d ( 钍，r ) ，d ( t ，s ) ，d ，t ) g f o ) 则有 “砂【d ( u ，r ) ，d ( t ，s ) 】= 0 = 争“，u k e r ( s ) n k e r ( r ) j p - 如果【d ( u ，r ) ，d ( ，5 ) 】= 咀【d ( ，t ) ，d ( t ，r ) 】，d ( u ，s ) 】= 0 ，则t k e r ( t ) 或 k e r ( 亡) 证明纠觥：由t ，移k e r ( s ) 广1 k e r ( r ) 知( u ，s ) = 0 并且( 御，r ) = 0 由此 推出= 口( r ，s ) ( ( t ，s ) u 一 ，r ) t ) ) = 0 ，进而【d ( 牡，f ) ，d ( 甜，s ) 】= d ( 叫，r + s ) = 0 下面证明必要性根据李积运算知 q * d ( ( ( 札，s ) u 一( t ，r ) t ) ) ，r + 8 ) = 【d ( t ，r ) ，d ( u ，s ) 】= 0 由此得( u ，s ) t ，一( t ，r ) t = 0 如果u k e r ( s ) ，即( t ，s ) 0 ，则v = ( u ，s ) 1 ( ，) u ， 进而 ( u ，7 ) = ( ( u ，s ) _ 1 ( 秽，r ) t ，r ) = ( t ，s ) 。1 ( t ，r ) ( 让，r ) = 0 于是t ，= ( t ，s ) 1 ( ，r ) 牡= 0 ，与d ( u ，8 ) g o 矛盾这说明t i e r ( s ) 类似 可证 k e r ( r ) 例如果【d ( w ，t ) ，d ( 心，r ) 】= 0 ，那么由( o ) 的必要性可得t k e r ( t ) 下 面不妨设【d ( t t ，t ) ，d ( 牡，r ) 】0 ，记【d ( ，t ) ，d ( 让，r ) 】= d ( 名，t + r ) 于是有 【d ( z ，t + ，) ，d ( t ，s ) 】= 0 由( 口) 的必要性可知钞k e r ( t + r ) 而【d ( ，7 ) ，d ( ，s ) 】 = 0 ，所以t ，k e r ( r ) ，进而( u ，t ) = ( 口，t + r ) 一( v ，r ) = 0 ，即t ，k e r ( t ) 口 引理3 2 设r ，s z d o ) ( d = 2 ，3 ) ，则当r 与s 线性相关时【g ，g 。】= o j 当 r 与s 线性无关时f g ，鲥= 珈+ 8 证明如果r 与s 线性相关，则k e r ( r ) = k e r ( s ) ，从而得【g ，g s 】= 0 下面设 r 与8 线性无关由于g = 。r 列g r 是z d 一分次李代数，所以【g ，：g 胡c 肪棚于是 只需证g r + 。c ，g 。】因r 与s 线性无关，故d i m ( k e r ( r ) nk e r ( s ) ) = d 一2 ，从而 有c d = k e r ( r ) + k e r ( s ) 设。2 ，z d l 是i e r ( r ) nk e r ( s ) 的一组基，由基扩充 7 一 黑龙江大学硕士学位论文 定理得存在x l ，铂使z 1 ，x 2 ，：z d 是c d 的一组基，且满足z 1 ，z d 一1 是k e r ( 7 ) 的一组基而x 2 ，是k e r ( s ) 的一组基因此， ( x l ，s ) o ；( ，r ) 0 设加= 冬l 咄筑k e r ( r + s ) 由( 垒1 咄，r + 5 ) = 0 知w l ( x l ，s ) + “k ( x d ；r ) = 0 进而，u d = 一( z d ，r ) 一1 ( z 1 ，s ) 1 当d = 2 时，如果h ) 1 0 ，令牡= d 1 2 ：_ 1 k e r ( r ) 及t ，= - a ( r ，s ) _ 1 ( z 2 ，r ) - 1 x 2 于是有仃( r ，8 ) ( ( u ，s ) t ，一( ，r ) 乱) = t l ，进而 d ( t t ，r + s ) = 【d ( 牡，7 ) ，d ( ，s ) 】阱：g 。】 如果w 1 = 0 ，则w 2 = 0 所以u = 0 ，进而d 扣，r + s ) = 0 【g ，g 。】 当d = 3 时，如果o d l 0 ，令 u = ( m l x l k e r ( ，) 钐= 盯( ，s ) 一1 ( ( w l ：g l ，s ) 一j 一( z 3 ，r ) 一1 x 3 ) k e r ( s ) 则有仃( 7 ，s ) ( ( u ，s ) 一( t ，r ) = t 上j ，进而d ( ，r + 8 ) = 【d ( u ，r ) ，d ( ，s ) 】【g ，g 。】 如果u 1 = 0 ，则u 3 = 0 令 西= z 1 + 2 - 1 t 眈钇一( z 3 ，r ) 一1 ( x l , s ) z 3 k e r ( r + s ) 西= 一z l + 2 - 1 t u 2 勋+ ( z 3 ，r ) 一1 ( x ls ) x 3 k e r ( r + s ) 注意到而与面中z 1 的系数均非零。由上面讨论知d ( 西，+ s ) ，d ，r + 8 ) 【g r ，g 。】因此有d ( ，7 + s ) = d ，r + s ) + d ( 面，r + s ) 阱，g 。】这证明了引 理口 引理3 3 设s l ，钰z d ( d = 2 ，3 ) 则g = ( g + e 。：i = 1 ，d ) 当且仅当 e l ，钰是自由z 模z d 的组基特别地，g 是个有限生成的李代数 证明类似于【1 9 】的证明口 本节刻画g 的导子李代数，首先给出如下几个引理 引理3 4 a s l 设g 是个加法群如果赐= 0 。g 是个有限生成的g 分 次李代数，则 d e r ( 疆) = o 口g d e r ( 疆) n 也是g 一分次的，且满足( d 盯( 疆) ) a ( ) c2 【时卢，比，p g 一8 一 由引理3 3 知g 是有限生成的z d 一分次李代数，于是应用引理3 4 可知 d e r ( g ) = o ，z d d e r ( g ) ， 是个z d 分次李代数下面分别刻画d e r ( g ) 的每个分次空间 3 2 量子环面上2 秩v i r a s o r o l i k e代数的导子李代数 引理3 5 对v r = ( t 1 ， 2 ) z 2 o ) ，有( d e r ( g ) ) ，= a d9 r 证明对任意的r = ( r l ，r 2 ) z 2 o ) ，记丁是r l ，耽的最大公因数令e 1 = 丁- 1 r ，则l 是z 上的么模向量进而可以扩充之使e 1 ，2 是z 2 的一组基于是存 在q g l d ( z ) 使得“= q e k , v k = 1 ，2 令啦= q - r e k ，v k = 1 ，2 ，其中q 川表示 ( q 一1 ) t 易见r h ，7 2 也是z 2 的组基且满足h ，勺) = 妨 由引理3 3 可知g = ( d ( 协，士勺) i t j ，歹= 1 ，2 ) 任取a ( d e r ( g ) ) ，则由分 次导子定义有a ( d ( 耽，血，) ) cg 。妇，设 o ( d ( m ，2 ) ) = d ( 彬，t $ 1 + e 2 ) 记w = 冬l 挑伉，显然，r 1 + 2 ) = t w l + 耽= 0 令牡= 7 一1 加2 7 7 2 ，则有 d ( u ：t $ 1 ) g ，进而得 ( a + a d d ( u ，r ) ) ( d ( ，7 l ，s 2 ) ) = o ( 0 ( m ，2 ) ) + d ( t 正，7 ) ，d ( 7 7 l ，2 ) 】 = d ( 叫，下e 1 + s 2 ) + d ( ( 丁一1 u 2 m u 2 仡) ，t $ 1 + s 2 ) = 0 不失般性，将a + a d d ( t ，丁1 ) 仍记成a ，则有o dh ，e 2 ) = 0 设 o d ( 叩1 ，一2 ) = d ( 吒，丁1 一9 2 ) 注意到【d ( m ，一2 ) ，d ( m ，2 ) 】= 0 ，因此有 o = a 【d ( 7 1 ，一s 2 ) ，d ( 叼1 ，2 ) 】 = f a d ( m ，一钇) ，d ( 7 7 l ，2 ) 】+ 【d ( 啦，一2 ) ，o d ( m ，e 2 ) 】 = d ( u 五，代一2 ) ，d ( m ，2 ) 】 因为( r h ，作l 一印) = r 0 ，所以应用引理3 1 的( a ) 知吒= 0 ，即 0 d ( 7 7 l ，一e 2 ) = 0 9 一 黑龙江大学硕士学位论文 下面设 o d ( 仡，：t ：e 1 ) = d ( 砖，( 下4 - 1 ) e 1 ) 其中砖k e r ( ( - r 土1 ) e 1 ) ，不妨设砖= 士m l t 7 1 士m 2 ，7 2 注意到 d ( 仍，1 ) = d ( 啦，1 ) ，d ( 伪，2 ) 】，d ( 啦，- e 2 ) 】 及 9 2 d ( 7 7 2 ，一1 ) = 【d ( 伪，- - e ：1 ) ，d ( m ，2 ) 】，d ( m ，一2 ) 】 因此有 及 即 及 d ( 畦，( 7 + 1 ) 9 1 ) = a 【 d ( 仇，e 1 ) ，d ( 啦，2 ) 】，d ( 啦，- e 2 ) 】 = 【 d ( 谚，一+ 1 ) 6 1 ) ，d ( 钆：) ，d ( r h ，- - e 2 ) 】 = 盯+ 1 ) 2 q 一脚下( d ( 谚，( 丁+ 1 ) e 1 ) ) g d ( 蛎，p 一1 ) 6 1 ) = a c d ，一- ) = d ( 翰，p 一1 ) e 1 ) ，d ( m ，g z ) ，d ( 7 7 1 ，- e 2 ) 】 = p 一1 ) 2 q m 2 卜桃d ( 嗡，p 一1 ) e 1 ) d ( 呖，p 一1 ) e 1 ) = p 一1 ) 2 9 m 2 f 一机- 2 d ( 蛎，p 一1 ) e 1 ) 若p i 一1 i t l 2 t 且p l m 2 1 - 一2 m 2 2 ，则有 d ( 谚，( 下+ 1 ) e 1 ) = ( 7 - + 1 ) 2 ( d ( 咭，( 丁+ 1 ) 1 ) ) d ( 呖，( 7 - - 1 ) e 1 )= ( 7 一1 ) 2 d ( 蛎，( 7 - 一1 ) e 1 ) 当p 士1 ) 2 l 时o d ( 啦，- t - e t ) = 0 ，从而有0 = 0 当一士1 ) 2 = 1 时，则7 = 士2 如果r = 2 ，则有一+ 1 ) 2 1 ，是可得 0 d ( 啦，e 1 ) = 0 ，而o d ( 啦，一黯1 ) 9 一拈。+ 作。= g o = 0 ，故o d ( 7 2 ，一2 1 ) = 0 ，注意 到 矿d ( 啦，一e 1 ) = 【d ( ，7 2 ，一拓1 ) ：d ( m ，2 ) 】，【d ( _ ，7 l ，- - 2 ) ，d ( 啦，1 ) 】 用a 作用上式两边并应用前两式可知口3 a d ( 啦，- - 6 1 ) = 0 ，进而o d ，一e 1 ) = 0 于是a = 0 类似的对r = - 2 情形也能证明a = 0 一1 0 第3 章 量子环面上高秩v i r a s m o l i k e 代数的导子代数 若p i m 2 丁，则7 - = 一2 ，即p 1 2 m 2 ，此时g 仉2 r 一z 一2 = q ，于是 d ( 蛎，( 7 - 一1 ) g - ) = ( 丁一1 ) 2 扩2 r _ 2 m 2 - 2 d ( 螨，( r 一1 ) 1 ) = 9 q - 2 d ( 蝠：( 丁1 ) e 1 ) 进而 o d ( 啦，一1 ) = 0 而 o d ( 7 7 2 ，2 6 1 ) cg 拈1 2 t 1 = g o = 0 注意到 g - 1 d ( 啦，1 ) = 【d ( 啦：2 1 ) ，d ( ，7 1 ：2 ) 】，【d ( 吼，一9 2 ) ，d ( 啦，一s 1 ) 】 用a 作用上式两边并应用前两式可知q - 1 0 d ( 7 2 ，s 1 ) = 0 ，进而 o d ( 啦，1 ) = 0 若p i 仇2 r 一2 m 2 2 ，则r = 2 ，即p 1 2 ，由此得q 2 = 1 于是 d ( 谚，( 丁- i - 1 ) 6 1 ) = 9 d ( 谚，( r + 1 ) 1 ) 进而 0 d ，e 1 ) = d ( 访，盯+ 1 ) 1 ) = 0 而 0 d ( 现，一2 e i ) cg 知1 2 e 1 = g o = 0 注意到 q 3 d ( 啦，一1 ) = 【d ( 啦，一黯1 ) ，d ( 啦，s 2 ) 】，【d ( m ，一眈) ，d ( 啦，9 1 ) 】 用a 作用上式两边并应用前两式可知9 3 a d ( 仡，一e 1 ) = o ，进而o d 渤，c 1 ) = 0 综 上知0 = 0 所以( d e r ( g ) ) ，ca dg r ，引理证毕 下面给出g 的一类0 - 分次导子定义d ( “，0 ) 在g 上的作用： d ( u ，o ) ( d ( ”，s ) ) = 【d ( t ，o ) ，d ( t ，s ) 】= 仃，u ) ( u ，s ) d ( u ，s ) ，v s z d 【o ) ，t ，k e r ( s ) 引理3 6 设a ( d e r ( g ) ) o 则当d = 2 时，存在c c 使得 o d ( 自，士白) = ：l ：c d ( 彩，士白) 一1 1 黑龙江大学硕士学位论文 _i i 证明d = 2 时，对i ，歹 1 ，2 ) 且i 歹，显然有k e r ( e 矩 c e j 于是可设 o d ( e i ，4 - e j