（基础数学专业论文）单位球中moebius形式为零的子流形.pdf

云南师范大学硕士学位论文 h 摘要 设m ”为单位球s 4 ( n = m 十p ) 中n l 维无脐点子流形，在s 8 的m o e b i u s 变换群 下，m w 的四个基本量，一个对称正定形式g 称为m o c b i u s 度量，法从上一个都 分b 称为m o e b i u s 第二基本形式，l - 形式庐称为m o e b i u s 形式，一对称( o ，2 ) 张量a 称为b l a s e h k e 张量。 设x ：m ”p = 聊+ p ) 为s 4 中m o e b i u s 形式为零的无脐点子流形，本文 中，为符号简单，特设胪j = 一击删耐计算删1 2 的l a p l a c e 算子a i i b i l 2 ， 当归8 满足一定的条件时，得到m 的性质，我们具体得到： 主要定理：设工：m 。寸s ”( 1 1 = r r l 嘲为s “中具有m o e b i u s 形式妒= 0 的无脐点子流 形，如果。s 丽m - 2 m s 驯一【l + 圭s 嘶删孚脯咖 ( i ) 舞器阱2 删巾互1 s 酏柚】等。并且x 为m 。洳 等价于下列之一：( 1 ) s _ + ，中环面s - ( 1 9 i g - e ) s 皿一( r ) ( o 2 ) ， 开r 计算0 d 8 2 的l a p l a c e 算子i l d i l 2 得到 告i | d l l 2 = 毒2 = l l w l l 2 + m t r a 一t r a - 2 一( 呜巧) 2 用不等式估计得到： 如降蔫蒜l i d l l 2 f l | d i 卜浮磊r 一扣 然后对m 进行分类；本文计算l 嘲2 的l a p l a c e 算予l b i l 2 ，得到 圭俐1 2 = o v 嚣1 1 2 + l 挣( 爿磁) + 三 肌i 一2 薹眇暖彩) 一护( 吃易) 2 卜乏【加( 吃易) 】2 一口 口芦a 口 利用不等式估计得到： 2 + 等t 刎一导叶丢s 嘶圳一蔫啬娜s 。 当。端i | d i | z 州_ 1 + 争嘶- 1 ) 】等， 即 。s 舞苦圳r 一字一筹s 烈圳】时， 在没用到m 是紧致和r = c o n s t 的条件下，却得到r = c o n s t 和m 的性质， 有比文3 1 较好的结果在这背景下作者有本文的结果。 独创性声明 y7 7 s 4 3 4 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名： 年月日 指导教师签名： 年月日 云南师范大学硕士学位诧丈 1 引言和主要定理 设x ：m ”斗掣为酽中无脐点子流形， e ， 为m 。关于诱导度量i ic 6 c d x 的局 部标准正交基， 研 为其对偶基，设i i = ( 蟛) 只固岛e 。为x 的第二基本形式， i i 薄 其长度平方为l 盯8 2 = ( 露) 2 ， i d 冉日= i 1 扩酽为x 的平均曲率， 本文中为符号简单，特设d = a = a 一二肌t 掰 m 设p 2 = 音与。俐f m h 2 ) ，则正定形式g = p 2 d r & 是m o e b i u s 不变t ， 称为m o e b i u s 度量，在文【1 】中给出s ”中m o c b i u s 子流形几何新框架，定义了 m o e b i u s 度量g = 户2 d x - 出，b l a s c h k e 张量a = 户2 以岛岛，m o e b i u s 形式 u 庐= c 产只气，m o e b i u s 第二基本形式b = p 巧q e e 。等四个m o e b i u s 不变量， ，一口，4 给如子流形的结构方程，证明了妒中m o e b i u s 形式为零的曲面分类；在文【2 】中 讨论了s ”1 中具有平行m o e b i u s 第二基本形式b 的无脐点超曲面，对这类超曲面 进行了分类；在文 3 】中对中具有常数量曲率r 的无脐点子流形m ”，计算8d | j 2 l a p l a c e 算子钏d | 1 2 ，并且对m 进行分类，得到： 定理a ：设膨”( 朋3 ) 为s ”中具有消失m o e b i u s 形式和常m o e b i u s 数量曲率r 2 争嗍础，则嗍卅厚盎r 一扣。 枞蚋s 犀( 矗r 一，( 1 胁旧删x m o e b i u s 等价于 卅常数量曲率的极，j 、子溉( 2 ) 圳_ d i i z 厚矗且一地则m 为 m o e b i u s 等怖“c 南制一气压五，r - 跞 墨堕塑堕查兰堡圭堂焦塑苎 一一 常数c o 设x ：m 。斗0 = 州+ p ) 为s ”中具有m o e b i u s 形式为零的无脐点子流形， 本文计算i p i l 2 的l a p l a c e 算子忙0 2 ，当归4 满足一定的条件时，得到m 的性质， 我们具体得到： 主要定理：设x ：m ”一s ”研= m + 力为s “中具有m o e b i u s 形式为零的无脐点子 流形，如果。丽m 丽- 2 脚s 2 蒯- 【1 + 丢s 鲥p - 1 ) 】等则有胄= 删 ( i 器删= 2 州_ 【l + j 1 s 瓤p 一1 ) 】等。并且x 为m 。? b i u s 等价于下列之一：( 1 ) s 叫中环面s 1 ( l _ r 2 ) s “( r ) ( o r o ) 在映射f 下的像，( 4 ) s 中v c r o n e s o 曲面 ( ) i l d 忙o ，x ( m ) 为m 。e b i u s 等价于c l i f f o r d 极d 、环s ( 考) s ”( 三) l s t t 一1 。 本文结构如下： 第一部分是引言和主要定理，介绍在m o e b i u s 形式为零时，对8 d l 给以一定条件所 得结果， 第二部分给出了s “中予流形的m o e b i u s 不变量等基础知识， 第三部分给出h 。和r 8 中子流形的m o e b i u s 不变量等基础知识， 第四部分给出本文中主要定理的四个例子，并且计算它们的m o e b i u s 度量g ， m o e b i u s 形式，b l a s c h k e 张量a ，m o e b i u s 第二基本形式b ， 第五部分给出主要定理的证明。 2 s “中子流形的m o e b i u s 不变量 在本节中定义m o e b i u s 不变量，给出子流形结构方程，具体参考文 1 】，设r ? “ 是( n + 2 ) 维l o r e n t z i a n 空间，x = ( 粕， ，+ 1 ) ，】，= ( y o ，n ，儿+ 1 ) ， 定义 = 一y o + 而y i + 一+ x n + l 以+ l( 2 1 ) 设x ：m ”寸s “是浸入在s “中的无脐点子流形，作为群“中的位置向量，对应的 2 云南师范大学硕士学位论文 位置向量y 定义为y = p ( 1 ，功， p 2 = ；j g t l 阻1 2 一m h 2 ) ( 2 - 2 ) 定理2 1 t 】；两个子流形x ，；：m 。呻s 4 为m o e b i u s 等价的充分必要条件为存在 尺? “中的变换t e o ( n + 1 ，1 ) ，使得它们对应的位置向量满足y = y 丁 由上述定理则g = d y ，d y 户2 凼- 出是m o e b i u s 不变量，称之为x ：m ”一s “ 的m o e b i l l s 度量。设为关于m o e b i u s 度量g 的l a p l a c e 算子，定义 = 一去y 一击 y ( 2 3 ) 则有 = 一m ， = 0 ， a l a y 芦1 + 所2 r( 2 4 ) 玎n = 0 ， n 。n = 1 ， 在耳+ 2 中的正交补空间，则沿m 有正交 分解 r ? “= 印a n y ， o 置阳，l k ，匕) o y ( 2 7 ) 称v 是x 的m o e b i 璐法丛，设v 的局部单位向量基底为 疋，m + l s 口柳+ p = ” 则 】，n ，r ，疋) 构成r ? + 2 中沿m 的活动标架，以下约定1 f ，k ，s 卅； 肌+ 1 ，m + p = h ，浸入y ：m 。斗s “的结构方程为： d y = 抛 科= 粥+ 丸毛 d r , = 一仍y 一，+ 0 1 f 巧+ 5 - q 。e 。 缓= 一丸y 一日+ 仍= 6 9 , o ) j 。= 丑；q九= 掣q ji l ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) a = 以qo q ，b = 彤qo q 也，矿= c 7 0 ) ，e 分别称为x ：m “_ s “的 ii|o掣 i 缸 b l a s c h a k e 张量，m o e b i m 形式，m o e b i l l s 第二基本形式。则有以下方程： 彳舭一a m j = ( 曰：c ；一b ；c ；) ( 2 t 3 ) c 0 一= ( 联白一瞄凡) ( 2 1 4 ) t b ； 一b ：i j = 6 乒；一6 。t c ：q 1 乱 云南师范大学顼士学位论文 r 叫= 蓉b s b ：b + a t 6 + a j f 6 * 一a l l 6 m a j t 6 h 口 = 一哪瞄+ 护( 彳) 岛+ ( 疗一2 ) a f 口 钟= 0 1 + m 2 r 蒯= 2 m ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 。，j ( 彤) 2m 脚- _ _ 2 ( 2 1 8 ) 如 钆= + e a 。+ 吼一- - 口a + 磁+ 露+ 醪 a 月一a f 业= + a n r 删 懿“一= 骘置w + 群r 删+ 鲜r 舢 r 脚= 鄙一碟) ( 2 1 9 ) f 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) f 2 2 2 ) f 2 2 3 ) 其中r 捌为m 的曲率张量，r = 蕊1 r甜为m的法化moebius数量曲m(m l j 万一 率x ( m ) 的m o c b i u s 不变量和e u c l i d e a n 不变量之间的联系有以下方程给出 如= 一p 2 h e s s f ( 1 0 9 p ) 一p ，( 1 0 9 p ) e j ( 1 0 9 p ) - 日8 鳐】 口 一 尸。0 阿l o g p 1 2 一i + z ( h 4 ) 2 s o 一口 ( 2 2 4 ) 骘= p 。( 一日。岛)( 2 2 5 ) 口= 一p 砰+ ( 蛞- h 。8 0 ) e ( 1 0 9 p ) ( 2 2 6 ) 定理2 2 4 1 ：设z ：m 。寸s 。和z ：m j s “为m o e b i u s 等价的充分必要条件是 存在微分同胚m 。哼肘”，而且盯保持m o e b i u s 童tg ，m o e b i u s 形式妒， b l a s c h k e 张量a ，m o e b i u s 第二基本形式b 。 3 五“和h “中子流形的m o e b i u s 不变量 设日“是n 维双曲空间，具有常数截曲率一1 ，表示为 h ”= ( y o ，y i ，y 。) l - + 1 ：- y ；+ y ? + + 圯= - i ，y 。l ( 3 1 ) 设s ：表示s “哼r ”1 的上半球面，即其中的第1 个坐标大于0 ，定义共形徽 4 云南师范大学硬士学位论文 分同胚仉r ”哼s 4 ( 一l ，o ) 和f ：日”_ s ：如f ： 卅饼，静彤 z ， f ( “) ：( 上，型与，y 。l ，一露+ _ y y = 一ly 。= ( m ，y ) e r “ ( 3 3 ) 利用叮，r 可将月“，h ”中子流形看成s “子流形，设”：m ”寸r “是无脐点子 流形，寤，) 是关于第1 基本形式7 = d u d u 的局部标准正交基， 萄) 为它的对偶 基， 乙，m + l o t s ”“口2 + 6 2 = i 设x l ：s 斗r ，屯：s 赫呻r 卅，石= 蕊i + 6 b ：s 。( a ) x s p ) 斗s “+ 则有 而，五扭l ， = 0 ：l ， = 0( 4 1 ) 选取f p ”p 2 ，) 为墨s 0 ) 的局部标准正交基，( e m ，日。) 为瓦，s ”( 6 ) 的局部标准正交基，则 岛，e ，e ，e 。) 为r a s ( a ) x s ”( ) 的局部标准正 交基，设( 只，幺，幺。，巩 为其对偶基 6 云南师范大学硕士学位论文 则有d ( 积t ) = o , e ，( 1 i 七) d ( b x 2 ) - - z 吼8 j ，( 女+ 1 ，s m ) ( 4 ，2 ) ，j x 的第一基本形式 i _ 斑 设 e m + i = b x 2 一缸1 * d x = 口2 出? + 6 2 斑；= 卯 由 = ：0 则+ ，垂直于妒( 砷s 科( 6 ) ，+ ，为( 口) x s , - k ( 6 ) 中标准法向量。 ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) x 的第二基本形式盯= 一 r 为r 中标准嵌入，封2 ：s “( 1 ) 专r ”“ 设“= + m 2 则有 = i = 0 则“：r x s ”( ，) _ r ”1 为嵌入r “中无脐点超曲面。 ( 4 2 3 ) f 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ( 4 2 6 ) 设x = 仃。甜：r x s ”( ，) 呻s “为s “e f 无脐点超盐面，讨论x ( m ) 的 8 云南师范大学硕士学位论文 m o e b i u s 不变量根据定理3 1 ，只要计算u 的m o e b i u s 度量i ，m o e b i u s 形式 , b l a s c h k e 张置j 。m o e b i l l s 第二基本形式荟 选取而，磊，；，一e ，) 为t 俾。x s 。( ，) ) 的局部标准正交基，其对偶基 设为 万。，。石t ，一0 t + i ，百) ，则 d ( u 。) = 碥ed ( 2 ) = o j e j j - k + l u 的第一基本形式7 = d u d u = 幽? + r 2 d u ；= 宝石； i m l 设一e m + l ；一“2 得；。i l x s “( ，) ) “2 s ) r 4 2 9 ) 因 = o ，乙“垂直于对s “( r ) ，则；。为r x s ”“( r ) 的标准法向量。 u 的第二基形式 面= 一 = 一 = 吾= y u j , ，荫， ( 4 3 0 ) 设 葡= 万，岛 ( 4 3 1 ) 设 万f ：瓦卸，- + 。：j ，：三 再= 去军_ f f = i m - k i = 咎= 字 f ，j 石2 = 当m1 ( s 一橱2 ) = 黯 一 m 一， i = 石2 幽幽= 篙兰笋莩萄 、臃警一0 而，- 1 ) rv ( m 2 则有m o e b i u s 度量 ；= 一2 f 由( 3 ，5 ) ，( 3 6 ) ，( 3 7 ) 得到下列m o e b i u s 不变量： 9 f 4 3 2 ) ( 4 3 3 ) “3 4 ) f 4 3 5 ) f 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) ( 4 3 8 ) 舀= 0孑= o 否p = 万q ( _ f 一一h s u ) = 否，易 珏矗= 辱犀 k 一矗= 一辱压 瓦= 一i i - p - - 2 ( h 2 氐之面h ) = 一a 屯 一a l - - 妄= 一( m - 1 ) r 2 2 k ( m - k ) 喀卜0 1 。口5 一【( = i ；) 一o = 一( m 1 - l 矿) ( m - k )2 m 一g k + l = 赢= 一堡竖【( 警2 2 ( m 眦- ：k ) 1 2 k ( m - k ) 2 口。2 一一l 【；1 一眦2 。 一m - 1k + m 2 m 2k 特别盘：l 时，五。：竺生5 2 ：五。：一1 m m a - 一百( m - 1 ) 2 珏一玉搴 蟊+ 一8 , i = 百m - 1 ，2 s i s m 似3 9 ) “4 0 ) “4 1 ) ( 4 4 2 ) ( 4 4 3 ) ( 4 4 4 ) 例3h r m “中标准柱面打t ) x s m - ( 6 )( 口= 丽) 在映射r 下的像 设v ：h ( a ) x 8 ”- ( 6 ) _ ”cr k + lx r = 4 “为日”中无脐点超曲面， ( 4 4 5 ) f 4 4 6 ) ( 4 4 j 7 ) ( 4 4 8 ) 则x # r 。v ：- ( a ) x s ”( 6 ) 一s “为s ”中无脐点超曲面，根据定理3 2 只要 计算v 的m o e b i u s 度量否，m o e b i u s 形式，b l a s e l a k e 张量五和m o e b i u s 第二基 本形式百设v 1 ：( 1 ) 。群“，v ：s ”。( 1 ) 呻r “小。 则有 l = - i ， = 1 ， t = 0 ， = 0 ( 4 4 9 ) 其中 l 为l o r e n t z 内积，则v = 洲i + b y 2 ：日+ ( 口) s ”( 6 ) 寸珂训c 邓+ 2 l o 墨堕竖蔓查兰堡主些墼一 一一一一 选取辱。，e t 为乙。日0 ) 的局部标准正交基，寤“，；m ) 为瓦、s “( 的局 部标准正交基，则 ；t ，一m 。，孑 + l ，一e ， 为瓦( 日( a ) x g ”4 ( 6 ) ) 的局部标准正交 基，设 萌，瓦，瓦山。瓦) 为其对偶基。 d ( ) ：圭萄磊a ( b v 2 ) = 羔巩己 ( 4 5 0 ) j - k l 。：k 巩2 ， = 羔剪 ( 4 5 1 ) i - ij - k + l v 的第一基本形式7 ； = 一詈喜私鲁磬 = 瓦- g 石 i j - l 设 p = 五，磊 脯 砧= 无一詈瓦= 五= 一言 面= 去= 一丽k a i ( m - k ) b 一一堕等生 i = = 等+ 学= 可k a + ( m - k ) b 4 ( 4 5 5 ) ( 4 5 6 ) ( 4 5 7 ) ( 4 5 8 ) ( 4 5 9 ) 云南师范大学硕士学位论文 万2=当(_一m百2)=芒盏(a2_b2)m 11a 2 一【朋一) 。d 一 ；= p 2 咖咖= 器。2 6 2 ) 2 军万； 设，- 口2 一b 2 = 了曰 则 m 。e b i u s 度量i = 薪 l 由( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 得到下列m o e b i u s 不变量： 石，- o孑= 0 动= 一面一硒) = 舌，气 b l2 b k + l = 永罱寿c f ；而瓜 2 、1 。i 永跞- 寿 丽 、i 五m 口。k a 2 + ( 聃一i ) 6 2 1 一i + 翥产叫 卜鱼+ira2+(m-k)b21 口 m a b a f = 一互11 户2 ( 万2 + 1 ) 8 v 一2 蕊口】= ：，岛 q k + l = = 口“ 一m 一1 【m b 一矾2 一七2 】 ：= 一二二- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ 二2 m 2 k ( m 一七) 口l = = 口t ：一里土 m 2 b 2 + ( m - k ) 2 2 m 2 k ( m n 特别k = l6 = r ，口= i 7 时，h t ( 厕s 州( r ) 中 i ：里兰 m - 2 ：匹。：一上 i n 1 2 ( 4 6 0 ) ( 4 6 1 ) ( 4 6 2 ) f 4 6 3 ) ( 4 6 4 ) h 6 5 ) ( 4 6 6 ) f 4 6 7 ) f 4 6 8 ) ( 4 6 9 ) ( 4 7 0 ) ( 4 7 1 ) 至堕塑堕盔堂堡主堂垡丝奎 一一 一 脚2 r 2 十( m 1 ) 2 m 5 一磊广一 一一 m 2 r 2 + m 2 1 m 。2 2 1 r 三1 + 一a j ：旦! ；三，2 i 蔓m m 。 设s z ( i ) ： ( x ，弦z ) g r 3 , 善2 + _ y 2 + z 2 = 3 ) 定义映射x ：s 2 ( i ) 哼s 4 ( 1 ) 如下u ；去y z ， 、，j 则 “；：去o ：一y z ) ， “2 丽协一y ) 1 “z2 万嚣 “5 ：了1 ( x 2 + y 2 2 2 2 ) 0 l 蚝2 万叫 壹= 1 x ( s 2 ( - 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1 ：2 【 + ( m - 1 ) 五卜m - 1 2m 小 由( 5 1 0 ) 得到 ( 肌一2 ) i 五一 l = 2 【 + ( 肼一d x l 一型 如兄 ，则有五+ = 竺， 与( 5 1 8 ) 一致， ，押一 如a ，则有 = ，与忪0 0 不符a 由( 5 1 5 ) 2 s 口s m 时， 0 3 , l 。= 0 得至0 0 = 4 。j 国j = d a 。+ 4 j 0 9 0 , + 如 = 幽k + ( 爿l i k ) 山k 由于 a j l 以。，贝4 彳，= a s ，。= 0 特别 a 。= o ，a k 。= a 训= 0 爿i 功l + 彳l l 。皇一l i q ( 2 口m ，1 _ ，啪) 口 1 6 ( 5 1 4 ) f 5 t 5 ) ( 5 1 6 ) ( 5 2 9 ) ( 5 3 0 ) 聊 埘 柳 劢 硼 竭 动 柳 鹚 狮 奶 埘 蚴 嘞 啪 嘞 云南师范大学硕士学位论文 a l i j q = d a t l + a l j q + 4 t 功小= d a i l ( 5 3 1 ) 由( 5 2 7 ) ，( 5 2 8 ) 得到d a l l = 戤= 0 ， = c o n g t( 5 3 2 ) 由名+ = 旦得到z - - - c o n s t ，考虑两个分布q ；o ，吐= = 。= 0 历一 都是可积的，得到m ”= m ：x 9 1 通过上述计算知道膨” m o e b i u s 度量g ，m o e b i u s 第二基本形式b ，m o e b i u s 形式庐与2 中例1 ，例2 ，例3 中m o e b i u s 度量舀m o e b i u s 第二基本形式1 8 和 m o e b i u s 形式妒相同，只有a 有所不同， 设m 8 = m ；x m t t ，2 ss ，t m - 1 ，现计算懈4 的截曲率屯 由( 2 1 6 ) 得到 r ，m = 丑“占“一醒+ 以丸+ 么n 磊一4 ，氏一以爵2 1 + 2 2 ( 5 3 3 ) p = 1 时，由( 5 1 0 ) 得：o s 蒜q m ( m l 2 r 一三手 ( 5 3 4 ) l j m 如m = 2 ， 则r = ，文m 中对m 2 在s 3 中各种情况己分类； 如 m 2 ，则有r - 了m - 2 o ，r ，。= 1 + 2 z i 1 ( 5 3 5 ) 现考虑土s k i 三种情况： 如二sr 。 1 ，由( 5 3 5 ) ，( 5 1 8 ) 分别得到 等等，一譬 百r n 2 - 1 ，五 o 定义 r ： m 取五= 一圭 r 2 + 孚习l2 + m m 2 一- 1 与例3 中h 1 ( 厕s 柚。( r ) 的五和兄相同： 根据定理2 2 ，有x o 田为m o e b i u s 等价于下列之一： 0 ) s 州环面s 1 ( 1 - 4 v v ) x s “( ，) ( o o ) 在映射f 下 的像 ( i i ) p 2 时，只有p = 2 且 r o 1 0 f 10 0 b 一：loo o i ， f0 0 0 则有m i = 眦， 0 ) 2 m + i 。 l 0 i 0 f 0j b ”2 = i ，一l 0 f o ) 2 m i2 q ， 2 m + 22 彩2 10 0 0 0 10 。0 000 0 0 00 0 d 脚+ l = 0 k + i = 0 旯，z 和有2 = 磐 ( 3 s _ ，s m ) ( 3 - ，m ) 由v 口= 0得到 召缸= 0 则有0 = 坼= 缉+ ( 磁+ 瞄) + 劈 ， 取i = 1 ，= 2 ，口= m + l 则有咖= 招占”- - 0 ，= c o l t 取 i = 1 ，3 ，s m ，o r = m + l ，则有 - - 0 由0 = d o ) l ，= 泛q + q a r o y = q 哆 得到q = 0 ，d i m m - - - n m = 2 由2 甜， 2 ( 9 2 埘) 制2 = 等= 1 2 1 8 ( 5 4 0 ) ( 5 4 1 ) ( 5 4 2 ) ( 5 4 3 ) ( 5 4 4 ) ( 5 4 5 ) ( 5 4 6 ) ( 5 4 7 ) ( 5 4 8 ) 云南师范大学硕士学位论文 如却习， 即x ( 岣为m o e b i u s 等价于s 4 中v e r o n e s e 曲面 口：生f l 410 ( 5 4 9 ) ( 5 s o ) ( ) l l q l - - - o ，由文5 得到，x o v o 为m o e b i u s 等价于s ”中常数量曲率的极小子 流形，但r 了m - 2 + 五m 万- 1 一1 ) ，则x 为m 。e b i u s 等价于c h 触d 极小环 s 幅。c 厣l _ k s 。b ea l lm - d i m e n s i o n a lu m b i l i c 一疳e cs u b m a n i f o l di nu n i ts p h e r e s “， e t b eal o c a lo r t h o n o r m a lt a n g e n tf r a m ef i e l do fxf o rt h es t a n d a r dm e t r i c i = d x d xw i t hd u a lf r a m ef i e l d b o f x ，l e ti i = 瞄) bp 够气b et h es e c o n d ，。o e n t a 蛔a n at h e n l e a l lc u r v 。e x 日= i 1 黟 i n t h i s p a p e r , d e f i n e 胪j = 4 一土m 记p 2 = 暑啦6 2 一解2 ) ，t h e n p o s r i v e mmi ”“ d e f i n i t e2 - f o r mg = p 2 d x - d xi s i n v a r i a n tu n d e rm o e b i u sg r o u po fs ”a n di sc a l l e d m o e b i u sm e t r i co f x ，i np a p e r 【1 1 ，w a n gc p g a v e t h es l r u c t u r ee q u a t i o n f o rm o e b i u s g e o m e t r yo fs u b m a n i f o l d si nt h eu n i ts p h e r e t h r e e f u n d a m e n t a lf o r m s a ，b ，a p p e a r n a t u r a l l yi nt h es t r u c t u r ee q u a t i o n ，t o g e t h e rw i t hg ，w h i c hd e t e r m i n et h es u b m a n i f o l d s u pt oam o e b i u st r a n s f o r m a t i o no f s ”，b l a s c h k et e n s o ra = p 2 以舅q ，m o e b i u s 1 , 1 f o r m 乒= 凹b g 。，m o e b i u ss e c o n d 缸l d a i n e i l t a l f o 玎n b = p 劈b 嘭；i n p a p e r 一口 ，j ，o 2 1 ，l e t x ：m ”斗s “1b eah y p e r s u r f a c ew i t h p a r a l l e l t h em o e b i u ss e c o n d f u n d a m e n t a lf o r m ，t h e nc l a s s i f ya l lh y p e r s u r f a c e s ；i nf 3 】，z e j u nh ua n dh a i z h o n gl i 压i 寸 = ， 五 g = ；一6胪杀 4 1 8 确越 = 得 r 云南师范大学硕士学位论文 参考文献： f l 】w a n g c p ：m o e b i u 3 9 e o m e t r y o f s u b m a n i f o l d s i ns “，m 蛐u s c d p 也m a t h 9 6 5 1 7 - 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i n r o m i n ：m o d e l s i n m o c b i u sd i f f e r e n t i a l g e o m e t r y , t e c h n i s c h e u n i v e r s 吼b e r l i n 2 0 0 1 【l3 】“h ，w a n g c p ：s u r f a c e w i t hv a n i s h i n g m o c b i u s f o r m i n s “, a c t s m a t h s i n i c a , e n g l i s h 。1 9 ( 2 0 0 3 ) , 6 7 1 - 6 7 8 【1 4 i l l h w a n gc p ：m o e b i u sg e o m e