（基础数学专业论文）关于置换群运动的两个问题.pdf

关于置换群运动的两个问题 中文摘要 有界运动是由澳大利亚p r a e g e r 教授在【1 5 】中提出的置换群的一个概念设g 是 集合q 上的一个置换群，g 在q 上没有不动点如果存在整数m 使得对任意g g 和q 的任意子集r ，i r g r l m ，则称g 有有界运动对g g ，我们定义元素g 的运动 为? n o v e ( 夕) = m u a x 。i r 9 r t 特别地，如果g 中所有非单位元素的运动相同，我们就称g 有常量运动 如果g 在q 上有有界运动，p r a e g e r 在【1 5 】中证明了q 是有限的并给出了l q l 的 一个上界，g 在q 上的轨道长度和轨道个数的上界在文 1 5 】之后，有有界运动的群 的研究引发了许多学者的兴趣如，a g a r d i n e r ，a m a n n ，a h a s s a n i ，m k h a y a t y , e i k h u k h r o ，j r c h o ，p s k i m ，p m n e u m a n n ，m a l a e i y a n ，s y o s h i a r a 等做了大量工 作( 见参考文献) p r a e g e r 在 1 5 】中给出的界被改进，得到了一些不同的界，并给出了 这些界被取得时群的分类假定i f 2 l 恰好取得 15 】给出的上界，a l a e i y a n 在 2 】中对有 常量运动的传递置换群进行了分类本文考虑从两个方面来发展a l a e i y a n 在 2 】中的 工作主要结果如下： ( 1 ) 取消l q i 恰好取得【1 5 】给出的上界的假定，给出了有常量运动的置换群的分 类 ( 2 ) 假定非单位元的运动或者为m 。或者为m 2 ，给出了的群中元素的阶如果进一 步假定i q i 恰好取得 1 5 】给出的上界，我们给出了传递置换群的分类 关键词：置换群；有界运动；常量运动；轮换；轨道 作者：解修芬 指导老师：黎先华 t w op r o b l c m so nt h em o v c m e n to fp e r m u t a t i o ng r o u p s a b s t r a c t t w op r o b l e m so nt h em o v e m e n to fp e r m u t a t i o ng r o u p s a b s t r a c t b o u n d e dm o v e m e n ti sac o n c e p to fp e r m u t a t i o ng r o u pw h i c hw a si n t r o d u c e db yp r o f e s s o r p r a e g e ri n 1 5 l e tgb eap e r m u t a t i o ng r o u po nas e tqw i t hn of i x e dp o i n t si nq i ft h e c a r d i n a l i t i e si r 9 r la r eb o u n d e df o ra l lg ga n dr q ，t h e ngi ss a i dt oh a v eb o u n d e d m o w m e m t h em o 、r e m e n to fg i sd e f i n e da sm o v e ( 9 ) = m l l a i x 。 r 9 r l i np a r t i c u l a r ，i f a l ln o n i d e n t i t ye l e m e n t so fgh a v et h es a m em o v e m e n t ，t h e nw es a yt h a tgh a sc o n s t a n tm o v e m e n t i fgh a sb o u n d e dm o v e m e n to nq ，p r a e g e rp r o v e dt h a ti q li sf i n i t ea n dg a v eab o u n d a r y o fi n l m e a n w h i l e ，s h eo b t a i n e dt h eb o u n d a r yo fg - o r b i t s l e n g t ha n dn u m b e ri n 【1 5 1 a f t e rt h a t ，g r o u p sw i t hb o u n d e dm o v e m e n th a v ei n t e r e s t e dm a n ys c h o l a r s f o re x a m p l e ，a g a r d i n e r ，a m a n n ，a h a s s a n i ，m k h a y a t y , e i k h u k h r o ，j r c h o ，p 。s k i m ，p m n e u m a n n ，m a l a e i y a l l ，s y o s h i a r aa n ds oo n t h e yh a v ed o n el o t so fw o r k ( s e er e f e r e n c e s t h e r e i n ) t h eb o u n d a r yw h i c hw e r eg i v e nb yp r a e g e ri n 【1 5 】h a v eb e e ni m p r o v e d t h e yh a v e o b t a i n e ds o m ed i f f e r e n tb o u n d a r i e s ，a n dc l a s s i f i e dg r o u p sw h e nt h eb o u n d a r i e sa r eo b t a i n e d s u p p o s et h a ti q lo b t a i nt h eb o u n d a r ye x a c t l yw h i c hw a sg i v e ni n 【1 5 ，a l a e i y a nc l a s s i f i e da l l t r a n s i t i v ep e r m u t a t i o ng r o u p sw i t hac o n s t a n tm o v e m e n t w ee x t e n da l a e i y a n 8w o r ki n 【2 】 f r o mt w oa s p e c t si nt h i sp a p e r t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) w ec l a s s i f ya l lp e r m u t a t i o ng r o u p sw i t hac o n s t a n tm o v e m e n tw i t h o u tt h es u p p o s i t i o n t h a ti q lo b t a i nt h eb o u n d a r ye x a c t l yw h i c hw a sg i v e ni n 【1 5 ( 2 ) s u p p o s et h a tt h em o v e m e n to fn o n i d e n t i t ye l e m e n t so fag r o u pe q u a lt om 1o re q u a l t om 2 ，w eo b t a i ne l e m e n t s o r d e r m o r e o v e r ，w ec l a s s i f yt r a n s i t i v ep e r m u t a t i o ng r o u p sw i t h t h es u p p o s i t i o nt h a ti q io b t a i nt h eb o u n d a r y e x a c t l yw h i c hw a sg i v e ni n 【1 5 k e y w o r d s ：p e r m u t a t i o ng r o u p s ；b o u n d e dm o v e m e n t ；c o n s t a n tm o v e m e n t ；c y c l e ；o r b i t s i i w r i t t e nb yx i ex i u f e n s u p e r v i s e db yp r o f l ix i a n h u a 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人承 担本声明的法律责任 研究生签名：鲤堡莶日期：捌：量! ! 呈 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 研究生签名： 导师签名： 型殳点：丝 趋吐喳1 1 关于置换群运动的两个问题 引言 引言 本文所考虑的群都是有限群，集合都是至少含有两个以上元素的有限集合 设g 是集合q 上的一个置换群，g 在q 上没有不动点，n ：= 吲对某个正整数 m ，g 中的元素移动q 的子集至多m 个点，即对所有g g ，f q ，集合r g f 的基数 l r g r i 至多为m ，则称g 在q 上有以m 为界的运动，简称g 有有界运动 对在上述条件下的置换群的运动的研究比较早的是著名数学家p r a e g e r 她在【1 5 】 中得出一个重要而基础的结论：设g 在q 上有以m 为界的运动，g 在q 上的轨道长 度和轨道个数的上界关于m 都是线性的具体地，下列关系成立： ( i ) g 在q 上的轨道个数t 2 m 一1 ( i i ) 每个轨道的长度至多为3 m ( i i i ) q 的基数俐m i n t + 3 m 一1 ，5 m 一2 】，特别地，如果g 在q 上传递，那么 i a l 3 m 进一步，如果g 在q 上传递，g 不是2 一群，那么i a i 【鬻j ，其中p 是整 除l g 的最小奇素数 对置换群运动的研究主要有以下几个方面： ( 1 ) 改进i q l 的上界 p r a e g c r 在【1 5 】中得到i q l 5 m 一2 ，n e u m a n n 和p r a e g e r 在【1 4 】中将f q l 的边界改 善到俐 ( 9 m 一3 ) ，并证明了当i f l i = ；( 9 m 一3 ) 时，或者l a l = 3 ，g = & ，或者g 是 一个初等交换冬群若p 是整除l g l 的最小奇素数，p 5 ，a l a e i y a n 在 3 】3 中将i q i 的 边界进一步改进为i q i 4 m p + 3 后来，a l a e i y a n 和y o s h i a r a 在 4 】中对i q i 的边界 又作了进一步改进，得到i q i = 4 m p + 2 或l q l 4 m p 如果g 在q 上不是传递 的，贝0i q i 4 m p ( 2 ) 改进g 在q 上的轨道个数的上界 设g 在q 上的轨道个数为t p r a e g e r 在 1 5 】中得到，t 2 m 一1 p s k i m 和y 1 关于置换群运动的两个问题引言 k i m 在【1 1 】中把g 在q 上的轨道个数的上界改进为t 2 m 一一1 ) ，其中p 是整除 i g l 的最小奇素数，并给出了t = 2 m p 一1 ) 时g 的分类 ( 3 ) l q l 或轨道个数恰好取得 1 5 】给出的上界时，对置换群g 进行分类 9 ，1 2 ，1 3 】中已给出了次数为3 m 的传递群的分类当p 5 时，h a s s a n i ，k h a y a t y , k h u k h r o ，p r a e g e r 在 1 0 】中已对次数为【磬j 的有有界运动m 的传递置换群进行了分 类p r a e g e r 在 1 5 】中给出i q i 5 m 一2 c h o ，k i m 和p r a e g e r 在【5 】中证明了i q l = 5 m 一2 当且仅当礼= 3 ，g 是传递的p r a e g e r 在 1 5 】中得到，g 在q 上的轨道个数t 2 m - l 。 c h o ，k i m 和p r a e g e r 在【5 】5 中给出了g 的轨道个数t = 2 m 一1 时的置换群的分类情况， ( 4 ) 分类有常量运动的置换群 对g g ，定义元素g 的运动为m o y e ( 鳓。鼢l p r 1 g 中非单位元素有相同运动 时，称g 有常量运动假定i q i 恰好取得 1 5 】中引理2 1 ，2 2 给出的上界，a l a e i y a n 在 2 】中对有常量运动的传递置换群进行了分类 这些工作几乎都限于或t 恰好等于上界和有常量运动的置换群的分类在本文 中，我们考虑下面两个问题： 问题一：一般情况下有常量运动的置换群的分类是怎样的? 问题二：元素的运动或者为m ，或者为m 2 的群g 有什么特点? 并且，在此条件下 如果g 传递且有极大次数，即i q i 恰好取得【1 5 】给出的上界，有哪些群g 满足所给条 件? 本文主要分成两部分第一部分是对一般情况下的有常量运动的置换群进行分类， 从而解决了问题一第二部分给出了在元素的运动或者为m ，或者为m 2 的群中元素 的阶，并且对此条件下有极大次数的传递置换群进行分类 对z r ，用h 表示不大于z 的最大整数用 z ) 表示z 的小数部分用 1 l ，2 2 ，f 0 表示2 l ，1 2 ，l 。的最小公倍数 2 关于置换群运动的两个问题 l 有常量运动的置换群 1 有常量运动的置换群 在未特别说明的情况下，本文都假定g 是集合q 上的一个置换群，g 在q 上没 有不动点，m 是一个正整数 定义1 1 ( 【1 5 】) 设g 是集合q 上的一个置换群，g 在q 上没有不动点，m 是一个正 整数如果对q 的每个子集r ，对任意g g ，集合r s r 的基数f r g r i 是有界的我们 定义r 的运动为m o v e ( f ) = 峨l r s r 1 如果对q 的任一个子集r 都有m o v e ( f ) m ， 则称g 有以仇为界的运动，简称g 有有界运动群g 的运动被定义为所有子集r 的 运动m o v e ( r ) 的极大值，即m o v e ( g ) = m r a q x ( 、m o v e ( r ) ) = s u p ( i r 9 r l r g t , g g ) 定义1 2 ( 2 】) 设g 是集合q 上的一个置换群，对群g 中任意一个非单位元素g ，定 义元素g 的运动为m o v e ( 9 ) = 磷l p r l 如果g 的所有非单位元素都有相同的运动， 则称g 有常量运动 显然，每个有常量运动的置换群都有有界运动 定义1 3 ( 1 0 】) 设g 是集合q 上的一个置换群，如果g 中存在某些元素在q 上没 有不动点，则称这种元素在q 上是无不动点的或不动点自由的 设f i x ( 9 ) = q q i a g = a 】- ，s u p p ( g ) = q qj 矽q 如果g 在有限集合q 上传递，则g 必存在无不动点元事实上，由b u r n s i d e 定 扣z g 理，g 作用在q 上的轨道个数t = ! 壑琵r 由于g 传递，故t = 1 g 中单位元l c 固 定了i q l 个点，l q i 1 ，所以g 中必存在某个元素在q 中没有不动点 引理1 4 ( 1 0 】，引理2 1 ) 设g 是集合q 上的置换群，r q ，则对g 的任意一个元 t 素g ，i r g r s l 薹j ，其中t i 是g 的不相交轮换分解中第i 个轮换的长度，t 是g 的非 t = 1 平凡轮换的个数 对g 的任意一个非单位元素g ，设g 的不相交的非平凡轮换分解为 g = c l c 2 c t = ( a l a 2 a t l ) ( b i b 2 b 1 2 ) ( a l c 2 c 2 t ) 令r ( g ) = 口1 ，a 3 ，a k l ，b l ，b 3 ，6 砖2 ，e l ，c 3 ，c k 。 ，其中若如为奇数，令k i = l i - 2 ； 3 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 若如为偶数，令：l i - 1 很明显， i f ( g ) 八f ( 9 ) i ；i r ( 夕) i ：t 【冬j 另一方面，由引理 i = l 1 4 ，对q 的任意一个子集r 都有i r g r ls t 【鲁j ，故m 删e ( 夕) ：圭l 冬j ：i r ( 夕) i 口 t = 1i - - - - 1 引理1 5 设g 是集合q 上有常量运动的置换群，则对g 的任意一个非单位元素g ，g 的不相交轮换分解中所有非平凡轮换都有相同的长度 证明：设g = c 1 c 2 c s 为g 的不相交的非平凡轮换分解，l q i = 如，则m o v e ( g ) = i r ( 9 ) i = 壹【鲁j 对每个i s ，有 = 1 g “= ( c 1 c 2 岛) “= c c k s = c c l i - 1 1 t ；1 毋 很明显， i 砖i l j ，j = 1 ，2 ，s 故m o v e ( g 。) 【冬j 1 如果z 不是2 的方幂，可设p 是1 的一个奇素数因子，z = p ，其中惫为正整数令9 1 = g 知，则 9 1 = g = ( c 1 c 2 c s ) k = c c ：， 设臼= ( a l a 2 a 1 ) = ( 印l n 2 知) ，1 i s 贝0 砖= ( n l n 南+ 1 o ( p 一1 ) 知+ 1 ) ( 0 2 0 知+ 2 o o 一1 ) 七十2 ) ( o 七0 2 七唧) ， 从而司得 m e ( 9 。) ：r ( 9 ，) 叫罢：s 惫譬掣 由于g 中所有非单位元素的运动相同，故m o v e ( g ) = m o v e ( m ) 而m o v e ( g ) = l 鲁j = 札；j = s 【譬j ，因此s 尼掣= 札譬j ，即七掣= l 譬j 如果凫为偶数，则七孚= ；k p ， 这是不可能的因此七只能是奇数，从而墨咝2 = 丝2 ，故有忌= l ，l = p 所以l 是一个 奇素数结论得证 口 4 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 定义1 7 ( 【1 9 】) 如果有限群的元素的阶都是质数的方幂，( 单位元的阶是p o ，p 是一 个质数) 则称这种群为有限质幂元群 定义1 8 ( 2 0 ) 若有限群g 的元素的阶除单位元l 外都是质数，则称g 为有限质元 群，简称质元群 由引理1 6 ，有常量运动的置换群都是质幂元群设g 是质幂元群，假设l g f 中含 有两个或两个以上的素因子如果存在a ，b g ，i a i = p a ，l b i = 扩，( p ，q 是g 的不同的素 因子) 使得n 6 = b a ，则o ( a b ) = p a 扩，这与g 是质幂元群矛盾因此g 是非交换的，而 且z ( g 1 = 1 引理1 9 ( 1 9 】，引理2 1 ) 如果g 是非a b e l 的可解质幂元群，则存在g 的一个正规 a b e l 子群，它不含于g 的中心 引理1 1 0 ( 【1 9 】，定理2 2 ) 若质幂元群g 有正规的q 一子群q 1 ，又日为g 的可解 子群，如果( h i ，q ) = l ，则h 为循环p 一群或广义四元数群从而当p q 时，g 的 s y l o wp - 子群循环或为广义四元数群且当g 可解时，g 的阶为p d 矿 引理1 1 1 ( 【1 9 】，定理2 3 ) 设g 是质幂元群 ( 1 ) 若g 的s y l o w2 一子群为广义四元数群，则g 的阶为2 口q z o ) ，且其q s y l o w 子群正规 ( 2 ) 若g 有正规q 一子群q 1 ，则当 ( i ) q 是奇质数或 ( i i ) q 是g 的s y l o wq 一子群或 ( i i i ) g 的s y l o w2 一子群是a b e l 群时， g 可解 引理1 1 2 ( 1 9 】，引理2 4 ) 设群g 的阶为p q ，其中s y l o wp 一子群p 为循环群， s y l o w 口一子群q 是g 的极小正规子群若c c ( q ) = q ，则p 是q ( m o d 矿) 的指数( 特 别地，当g 是质幂元群时，条件c g ( q ) = q 成立) 5 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 引理1 1 3 ( 1 9 ，定理2 4 ) 设g 是可解质幂元群，g 不是p 一群，q 为g 的极大正 规q 一子群 ( 1 ) 若g 的s y l o w2 一子群不是广义四元数群，则g q 是亚循环群，且若g 的阶为 p 。扩，g q 的阶为矿矿，则引p l ，g 有主因子 q ，q ；p ，p ；q 6 1 ，q ；b i b i ，i = 1 ，2 ，七；r 1 一i 坟，i = 1 ，2 ，k ， 、- - v _ 一， 其中b 是q ( m o d2 铲1 ) 的指数 引理1 1 4 ( 【1 9 】，系2 1 ) 质幂元群g 为超可解的充要条件是g 有正规的q 阶子群 引理1 1 5 ( 1 9 】，定理3 1 ) 若g 是不可解质幂元群，则g 为： ( 1 ) p s l 2 ( q ) ，q = 7 ，9 或p s l 3 ( 4 ) 或蝎，其中m 9 是9 元域k ( 3 2 ) 上的一维射影群， f m 9 ：p s l 2 ( 9 ) i = 2 ； ( 2 ) g 有正规2 一群t ，使g t 是p s l 2 ( q ) ，q = 5 ，8 ，1 7 ，此时t 的类2 ，且依此有 3 5 ，3 2 7 ，3 2 1 7i t 一l ；或为s z ( 2 3 ) ，此时5 7 1 3i t i l ；或为s z ( 2 5 ) ，此时 5 2 3 1 4 1i t 一1 引理1 1 6 ( 【1 9 】，定理3 2 ) 质幂元复阶单群有且仅有以下八个： 特殊射影群p s l 2 ( 5 ) 笺a 5 ，p s l 2 ( 7 ) ，p s l 2 ( 8 ) ，p s l 2 ( 9 ) 笺a 6 ，p s l 2 ( 1 7 ) ，p s l 3 ( 4 ) ， 以及s u z u k i 群s z ( 2 3 ) ，s z ( 2 5 ) 6 关于置换群运动的两个问题 1有常量运动的置换群 引理1 1 7 ( 2 0 】，定理2 1 ) 设g 是有正规口一子群的p q “阶质元群，q 是g 的 q s y l o w 子群则g = p q ，其中p 为p 阶循环群，qqg 且g 是以q 为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群进一步，g 有主因子p ，口6 ，q 6 ，他= k b ，b 是q ( m o dp ) 的指数， 、_ 。_ o - _ ， k 而q 的类k 引理1 1 8 ( 【2 0 1 ，系2 1 ) 质元群g 为超可解的充分必要条件是g 有正规的q 阶子群 在这个部分，我们得到了下面的定理： 定理1 1 9g 是集合q 上有常量运动的置换群 ( 1 ) 当g 可解时，g 为下列情形之一： ( i ) g 是2 一群 ( i i ) g 是p 一群，且e x p ( g ) = p ，p 是奇素数 ( i i i ) g = p q ，p ，q 分别为g 的p 阶，q 阶循环子群，p ，q 是i g i 的不同的奇 素因子，i g i = p q ，p 三1 ( 口) ，g 超可解 ( i v ) g = q ) dp ，p 为p 阶循环群，q 为s y l o w 口一子群，p ，q 是i g i 的不同的奇 素因子，g 是以q 为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u 8 群 ( v ) g 有正规a b e l 子群h 1 若日为2 一群，则g = q p ，q 为q 阶循环 群，尸为s y l o w2 一子群特别地，当p 为广义四元数群时，g 超可解若 日为q 一群，则g = q ) ap ，q 为s y l o wq 一子群，p 为s y l o w2 一子群，且 p 只能为广义四元数群或循环群 ( 2 ) 当g 非可解时，g 为下列情形之一： ( i ) g = p s l 2 ( 口) ，q = 7 ，9 或p s l 3 ( 4 ) 或m 9 ，其中坞是9 元域k ( 3 2 ) 上的一维 射影群，f m 9 ：p s l 2 ( 9 ) l = 2 ； ( i i ) g 有正规2 一群t ，使g t 为p s l 2 ( 5 ) 笺a 5 ，此时t 的类2 且3 5i t i 一1 ， 或g t = s z ( 2 3 ) ，此时5 7 1 3i t i 一1 7 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 证明：设g 是集合q 上有常量运动的置换群由引理1 6 可知g 中元素的阶均为奇 素数，或2 的一个方幂，从而g 是一个质幂元群 我们分两种情况来完成我们的证明。 第一种情况：g 是奇阶群 此时g 中元素的阶均为奇素数，从而g 是质元群根据 9 】中对有限质元群的分 类，可得i g l = q n 或i g f = p q ”，其中p ，q 为l g l 的奇素因子 当i g l = q ”时，由于g 中元素的阶均为奇素数，故e x p ( g ) = q g 是定理1 1 9 ( 1 ) ( i i ) 中的群 当j g i = p q n 时，g 可解由g 非a b e l ，根据引理1 9 ，g 中存在一个正规a b e l 子 群日，它不含于g 的中，5 - 由z ( g ) = 1 可得h 1 若1 日i 中含有两个奇素数因子， 则由前面的证明可知日是非交换的，矛盾故1 日1 只含有一个奇素数因子p 或q ( 1 ) 若日为g 的一个p 一子群，则i h j = p ，h 为g 的一个s y l o wp 一子群由引 理1 1 0 得g 的s y l o wq 一子群q 是循环群或广义四元数群由于q 是奇素数，故q 不 是广义四元数群，从而q 为循环群此时g 中元素的阶均为奇素数，故l q l = q 从而 l g i = p q 由于日nq = 1 ，h 里g ，所以g = h ) 4q 再根据引理1 1 2 可得p 三1 ( 口) g 在定理1 1 9 ( 1 ) ( i i i ) 中 ( 2 ) 若日为g 的q 一子群，根据引理1 1 7 可得g = p q ，尸为p 阶子群，q 是 s y l o wq 一子群，q 里g 从而g = q ap ，且g 是以q 为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群g 在定理1 1 9 ( 1 ) ( i v ) 中 第二种情况：g 是偶阶群 分g 是2 一群和g 不是2 一群两种情况考虑 当g 是2 一群时，g 可解 g 是定理1 1 9 ( 1 ) 中情况( i ) 的群 当g 不是2 一群时，i g l 含有两个或两个以上的素因子，由前面的证明可知g 是 非交换的 ( 1 ) 当g 可解时，g 是非a b e l 的可解质幂元群由引理1 9 可得g 中存在一个 正规a b e l 子群日，它不含于g 的中心，从而h 1 若1 日i 中含有两个或两个以上的 8 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 素因子，则由前面的证明可知日是非交换的，矛盾故1 日1 只含有一个素因子 ( i ) 若日是参群，则由引理1 1 0 可得g 的s y l o wq - 子群q 是循环群或为广义四 元数群，且l g i = 2 a 护，a ，p 是正整数由于4 礼fi q i ，q 不为广义四元数群，从而q 为 q 阶循环群，i q i = q ，所以l g l = 2 a q 若g 的s y l o w2 一子群p 为广义四元数群，由引理1 1 1 可得其s y l a wq 一子群q 正规由于蚓= q ，根据引理1 1 4 可得g 超可解由于pnq = 1 ，q 里g ，从而可得 g = q ) ap ，其中g 的s y l o w2 一子群p 为广义四元数群，s y l o wq 一子群q 是q 阶循 环群 若g 的s y l o w2 一子群p 不是广义四元数群，设m 为g 的极大正规口一子群由 引理1 1 3 可得g m 是亚循环群，且g 的阶为p a 扩，g m 的阶为p a q 7 ，q r l p 一1 由于 p = 2 ，故7 = 0 从而i g m i = 2 口，i m l = q f 3 ，m 为g 的s y l o wq 一子群又由于m 鱼g ， 故g 的s y l o wq 一子群唯一，从而m = q ，g = qxp 因此最终有：若g 不是偶阶群，当g 不是2 一群且g 可解时，g 有正规a b e l 子群 h 1 若日是2 一群，则g = q ) ap ，q 为q 阶循环群，p 为s y l o w 2 一子群特别地 当p 为广义四元数群时，g 超可解 ( i i ) 若日是q 一群，h 1 ，q 是一个奇素数由引理1 1 0 可得g 的s y l o w2 一子 群p 为循环群或广义四元数群，i g i = 2 a 扩，q ，p 是正整数 若p 为广义四元数群，由引理1 1 1 可得g 的s y l o wq 一子群q 笪g ，从而g = q 口p 若p 为循环群，设m 为g 的极大正规q 一子群由引理1 1 3 可得g m 是亚循 环群设l g m l = 2 a q 7 ，则q r l 2 1 ，故r = 0 ，从而i g m i = 2 口，故i m i = 扩，m 为 g 的s y l o wq 一子群又由于m 璺g ，从而g 的s y l o wq 一子群唯一故m = q ，从而 g = q ) ap 因此最终有：若g 不是偶阶群，当g 不是2 群且g 可解时，g 有正规a b e l 子 群h 1 若日是q - 群，则g = q ) ap ，q 为s y l o wq - 子群，p 为s y l o w2 一子群， 且p 为广义四元数群或循环群 ( 2 ) 当g 不可解时，由引理1 1 5 可得g 可能为下列群之一： 9 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 ( i ) p s l 2 ( q ) q = 7 ，9 或p s l 3 ( 4 ) 或m 9 ，其中m 9 是9 元域k ( 3 2 ) 上的一维射影 群，i m 9 ：p s l 2 ( 9 ) l = 2 ； ( i i ) g 有正规2 一群t ，使g t 是p s l 2 ( q ) ，q = 5 ，8 ，1 7 ，此时t 的类2 ，且依 次有3 5 ，3 2 7 ，3 2 1 7 t 一1 ；或为s z ( 2 3 ) ，此时5 7 1 3 j t j 一1 ；或为s z ( 2 5 ) ，此时 5 2 3 1 4 1j i t 卜1 而查a t l a s 表所得结果为： p s l 2 ( 7 ) 有1 ，2 ，3 ，4 ，7 阶元；p s l 2 ( 9 ) 有1 ，2 ，3 ，4 ，5 阶元；p s l 3 ( 4 ) 有1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，7 阶元；对于m 9 ，由于i m 9 ：p s l 2 ( 9 ) l = 2 ，故m 9 中的奇素数幂阶元皆在p s l 2 ( 9 ) 中 而p s l 2 ( 9 ) 的奇阶元为3 ，5 阶元，故m 9 中的奇素数幂阶元为3 ，5 阶元若g 有正规 2 一群t ，使g t 为p s l 2 ( q ) ，q = 5 ，8 ，1 7 ，或g t = s z ( 2 3 ) 或s z ( 2 5 ) ，则g 中的奇素数 幂阶元皆在p s l 2 ( q ) ，q = 5 ，8 ，1 7 中或s z ( 2 3 ) 或s z ( 2 5 ) 中，而p s l 2 ( 5 ) 笺a 5 ，有2 ，3 ，5 阶元，从而g 的奇素数幂阶元为3 ，5 阶元；p s l 2 ( 8 ) 有1 ，2 ，3 ，9 ，7 阶元，从而g 的奇 素数幂阶元为3 ，9 ，7 阶元；p s l 2 ( 7 ) 有l ，2 ，3 ，4 ，8 ，9 ，1 7 阶元，此时g 的素数幂阶元为 3 ，9 ，1 7 阶元； s z ( 2 3 ) 有1 ，2 ，4 ，5 ，7 ，1 3 阶元，此时g 的奇素数幂阶元为5 ，7 ，1 3 阶元； s z ( 2 5 ) 有1 ，2 ，4 ，5 ，2 5 ，3 1 ，4 1 阶元，从而此时g 的奇素数幂阶元为5 ，2 5 ，3 1 ，4 1 阶元 由于g 中元素的阶皆为奇素数或2 的方幂，故g 非可解时，g 为： ( 1 ) g = p s l 2 ( q ) ，q = 7 ，9 或g = p s l 3 ( 4 ) 或g = m 9 ，其中m 9 是9 元域g ( 3 2 ) 上 的一维射影群，i m 9 ：p s l 2 ( 9 ) i = 2 ； ( 2 ) g 有正规2 一群t 使g t 是p s l 2 ( 5 ) 竺a 5 ，此时t 的类2 且有3 5 l i t l _ 1 ； 或g t = s z ( 2 3 ) ，此时5 7 1 3 1 1 t i 一1 口 由定理1 1 9 可直接得出定理1 2 0 定理1 2 0g 中元素的阶皆为奇素数或2 的方幂，当g 是非交换单群时，g 为p s l 2 ( 5 ) 型 a 5 ，p s l 2 ( 7 ) ，p s l 2 ( 9 ) ，p s l 3 ( 4 ) ，s z ( 2 3 ) 定理1 2 1 设g 是集合q 上有常量运动的传递置换群，且g 可解，则g 为下列情形 之一； ( 1 ) g 是正则2 一群，i q i = i g | 】0 关于置换群运动的两个问题 1 有常量运动的置换群 ( 2 ) g 是正则q 一群，i q i = i a l ( 3 ) l g i = p q ”，p q 皆为奇素数。g = q ) ap ，q 为s y l o w 譬一子群，p 为p 阶循环 群，p 无不动点地作用在q 上，g 是以q 为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群 ( 4 ) i g i = p q ，p aq ，p ，q 分别为p ，口阶 循环群，g 超可解，p 无不动点地作用在q 上 ( 5 ) i g l = 2 a 矿，o t ，p21 g = qxp ，q 为s y l o wq 一子群，p 为s y l o w2 一子群 q 无不动点地作用在q 上， = 2 a q 6 ，其中o q ，6 p ，n ，b 是正整数 证明：g 是集合q 上有常量运动的置换群，所以g 中元素的阶皆为奇素数或2 的方 幂当g 可解时，由定理1 1 9 ，g 为定理1 1 9 ( z ) 中的( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) 之一因此， 证明可依次分下列五种情况 ( 1 ) g 为2 一群 由g 在q 上传递可得g 中存在一个无不动点元。 设d ( z ) = 2 c ，z 的不相交 轮换分解为z = c 1 c 2 由引理1 5 可得i c l i = i c 2 i = = i c 8 1 ，而2 。= o ( x ) = 【i c l l ，l c 2 i ，l c 8 1 】= i q l ，i = 1 ，2 ，s ，从而l c l l = l c 2 i = = l i = 2 。，m o u e ( z ) = l 掣j = s 虿2 c = s 2 c 1 由于z 在q 上没有不动点，故l a l = c z i + i c 2 1 + + i 白l = 8 2 。 由于g 是q 上有常量运动的置换群，所以对g 的任一非单位元素9 ，有m o v e ( 9 ) = m 伽e ( z ) = 掣从而9 也是无不动点元由9 的任意性可得，对q 的任一元素a ， g 口= 1 ，故g 半正则由于g 传递，可得g 正则，i q i = i g i ( 2 ) g 是口一群 由g 传递得g 中存在一个元素h g ，h 是无不动点的设h 的不相交轮换分解 为h = c 1 1 7 - 2 c t ，则l c l l + i c 2 l + + l 色l = l q l 此时g 中非单位元素的阶皆为奇素 数口，从而q = o ( h ) = i c l i ，l c 2 i ，i c t | 】由引理1 5 可得i c l i = i c 2 l = = 蚓= q ，故 t i qj = t q m o v e ( h ) = l j = 譬对g 的任意非单位元素9 ，设9 的不相交轮换 t = l f ， 分解为9 = c i ，则l c ；i = 口，j = 1 ，2 ，t l ，从而m 伽e ( 9 ) = 艺i j = t 1 譬由 于m o v e ( 9 ) = m o d e ( h ) ，故t l = t ，从