（基础数学专业论文）几类非齐次线性微分方程解的复振荡性质.pdf

摘要 本文研究了几类高阶线性微分方程解的复振荡性质共分为三章 在第一章，简单介绍了复域线性微分方程的研究近况 在第二章，研究了非齐次线性微分方程 ，( 。+ a 知一1 ( z ) ，( 。一1 + + a 。，( 5 + + a o ( z ) 厂= f ( z ) 解的增长性问题，其中如( j = 0 ，1 ，k 一1 ) ，f 是整函数，当存在a 。比其他系 数有较快增长的情况下，得到了上述非齐次微分方程在一定条件下的无穷级解超 级的精确估计 在第三章，在方程系数a o 起控制作用的条件下，研究了高阶非齐次线性微分 方程 ，( 。+ a k l ( z ) ，( k - 1 ) + + a o ( z ) ，= f ( z ) 解的增长性，得到了上述微分方程解的增长级和零点的一些精确估计 关键词：微分方程；超级；零点收敛指数；f a b r y 缺项级数；型 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ec o m p l e xo s c i l l a t i o np r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fs o m e t y p e so fh i g h e ro r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w ed i v i d et h i sp a p e ri n t ot h r e e c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eg i v eab r i e fi n t r o d u c eo fl a t e s td e v e l o p m e n to fc o m p l e x ，l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et h eg r o w t ho fs o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n 厂( 知+ a 七一1 ( z ) ，佧一1 + + a 。厂( 8 + + a o ( z ) f = f ( z ) ， w h e r ea j ( j = 0 ，1 ，k 一1 ) ，fa r ee n t i r ef u n c t i o n s ，a n dt h ed o m a i nc o e f f i c i e n t a sh a sc e r t a i np r o p e r t y w eo b t a i ng e n e r a le s t i m a t e so ft h eh y p e r o r d e ro fe n t i r e s o l u t i o n so fh i g h e ro r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t et h eg r o w t ho fs o l u t i o n so fac l a s so fh i g h e ro r d e r n o n h o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，( + a 七一l ( 2 ) ，七一1 + + a o ( z ) ，= f ( 2 ) ， w h i c ha r ec o n t r o l l e db yt h ec o e f f i c i e n t a 0 ，a n do b t a i ng e n e r a le s t i m a t e so ft h e g r o w t ha n dz e r o so fe n t i r es o l u t i o n so fh i g h e ro r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；h y p e ro r d e r ；t h ee x p o n e n to ft h e z e r o - s e q u e n c e ； f a b r yg a ps e r i e s ；t y p e l l 前言 微分方程复振荡理论是上世纪8 0 年代初兴起的边缘领域，它应用复分析的理 论和方法，研究复域微分方程解的振荡性质，其主要工具是n e v a n l i n n a 值分布理 论，w i m a n - v a l i r o n 理论，位势理论，渐进方法等，有着广泛的实际背景，因此该 研究不但在理论上有意义，在实践中也有意义，国内外许多专家学者从事这方面 的研究 微分方程复振荡理论始于1 9 8 2 年s b a n k 和i 1 a i n e 对二阶齐次线性微分方 程的研究随后，j k l a n g l e y , g g u n d e r s e n 和s h e l l e s e i n 等人在这个领域内 做了大量的研究工作1 9 8 9 年高仕安首次对多项式系数的非齐次线性微分方程进 行了研究，得到了富有起始性的结果后来陈宗煊解决了这一领域内的几个重要 问题，并且对系数分别为多项式，有理函数，超越整函数及亚纯函数的线性微分方 程解的复振荡理论进行了研究，得到了一系列深入和颇有意义的精确结果 考虑二阶线性微分方程 p 七a ( z ) f | + b ( z ) f = 0 ， ( 0 1 ) 当a ( z ) ，b ( z ) 皆为整函数时， 1 9 9 6 年， k w o nk i h o 在文 1 ，2 中研究了方程 ( o 1 ) 的解的超级问题，得到了解的超级的下界陈宗煊和杨重骏在文 3 - 5 】中深 入研究了这类方程，把方程( o 1 ) 由整函数系数推广到亚纯函数系数，由二阶推广 到高阶，得到了超级的精确估计 考虑二阶线性微分方程 l 七e - z f | 七q ( z ) f = 0 ( 0 2 ) 解的增长性， 1 9 6 2 年，f r e i 在文 6 中得到了：当q ( z ) = c ( c 为复常数) 时， 如果方程( 0 2 ) 具有有限级非零解，那么c = 一忌2 ( 南是一个正整数) 反过来，对 每个正整数南，方程( 0 2 ) ( 其中c = 一k 2 ) 具有关于e 。的k 次多项式解，当q ( z ) 是多项式或超越整函数时，o z a w a ，a m e m i y a ，g u n d e r s e n ，陈宗煊等深入研究了方 程( 0 2 ) ，得到方程( 0 2 ) 的所有非零解具有无穷级，并且他们用超级精确估计了无 穷级解的增长率 考虑高阶线性微分方程 ，( 七+ a 七一2 ，( 2 2 十+ a o ，= 0 ，( 0 3 ) 当其系数为增长级小于互1 的整函数时， s b a n k 和j l a n g l e y 在文 7 】中得到了 与二阶方程相同的零点估计，之后，j l a n g l e y 和高仕安等得到了更一般的结果 ( 见文 8 的第五章) 李叶舟，陈宗煊在文 9 中，考虑了高阶线性微分方程 ，( 七) + a 知一l ，( 庇一1 + + a o f = 0 ，( 0 4 ) 其中如d = 0 ，1 ，k 一1 ) ( 七2 ) 为整函数，得到了方程( o 4 ) 的解的超级的 精确估计本文作者考虑非齐次线性微分方程 ，( 。+ a 七一1 ( z ) ， 一1 + + a 。，( 8 + + a o ( z ) 厂= f ( z ) ，( 0 5 ) 并研究了方程( 0 5 ) 的解取小函数的点的收敛指数及二级收敛指数，写于第二章 当考虑方程( 0 4 ) 的系数a o 的增长级不是唯一的最大，但是a o 的型起控制 作用时，涂金在文 1 0 中仍得到了类似的结果本文作者受文 1 0 的启发，通过 研究，把方程由齐次推广到了非齐次，并做了相应推广，写于第三章 本文使用n e v a n l i n n a 值分布论的标准记号( 见 1 1 ，1 2 ) ，在下文中将不加声明 地使用这些记号 第一章复域线性微分方程的研究近况 1 1 一类不含厂肛1 项的后( 2 ) 阶微分方程解的复振荡的研究近况 复振荡理论的研究开始于二阶方程，后来的大量工作也集中于二阶方程因 为二阶方程对高阶方程的研究起基础及开拓的作用考虑二阶齐次微分方程 ，+ a ( z ) f = 0 ， ( 1 1 ) 对于a ( z ) 是多项式或超越整函数的情形，s b a n k 和i l a i n e 在文【1 3 ，14 中得 到方程( 1 1 ) 解的零点的相应估计 定理1 1 设a ( z ) 是超越整函数 ( a ) 设a ( a ) 不是正整数或o 。， 及，2 是方程( 1 1 ) 的两个线性无关解，则 m a x a ( f 1 ) ，a ( 止) ) 盯( a ) 若盯( a ) 互1 ，则 m a x 入( ) ，入( ，2 ) ) = o 。 ( b ) 设入( a ) 盯( a ) ，则方程( 1 1 ) 的任一解厂0 ，有a ( ，) 盯( a ) 后来，定理1 1 ( a ) 的结论得到了推广( 见文 8 ) ，结论如下： 定理1 2 设a ( z ) 是超越整函数，满足盯( a ) 1 如果 及，2 是方程( 1 1 ) 的两个线性无关解，令e = ：1 1 2 ，则或者入( e ) = o 。，或者 盯( a ) 一1 + a ( e ) 一1 2 特别地，盯( a ) 互1 兮a ( e ) = o 。 考虑高阶线性微分方程 厂( 七+ a 七一2 ，( 七一2 + + a o 厂= 0 ，( 1 2 ) 也有许多与二阶方程( 1 1 ) 相类似的结果当方程( 1 2 ) 的系数为增长极小于互1 的 整函数时，s b a n k 和j l a n g l e y 在文 7 中证明了以下结论： 定理1 3 设k 2 ，a o ，a 1 ，a 一2 是整函数，满足 ( i ) a o 是超越的且a ( a o ) 0 ，或者冯是多项式或者a ( a j ) a ( a o ) 1 随后不久， j l a n g l e y 得到了比定理1 3 更一般但结论较弱的结果，高仕安 等进一步改进和深化了相应的结果( 见文 8 的第1 5 0 页) 1 2 一类七( 2 ) 阶线性微分方程解的性质的研究近况 考虑二阶线性微分方程 ，+ a ( z ) f 7 + b ( z ) f = 0 ( 1 3 ) 对于a ( z ) ，b ( z ) 皆为整函数的情形，1 9 9 6 年，k w o nk i h o 在文 1 ，2 】中研究了 方程( 1 3 ) 解的超级问题，在文 1 中得到 定理1 5 设a ( z ) ，b ( z ) 是整函数，满足a ( a ) 仃( b ) 或a ( b ) a ( a ) 互1 ， 那么方程( 1 1 ) 的每个非零解厂满足 a 2 ( f ) m a x a ( a ) ，仃( b ) 】i 随后对于二阶线性微分方程( 1 1 ) 的解的研究，大多数结果都是在系数满足 a ( a ) 盯( b ) 或口( b ) a ( a ) 芎1 的条件下得到的 f r e i ，o z a w a ，g u n d e r s e n 和l a n g l e y 突破这一限制条件研究了这个问题考虑 线性微分方程 ，+ e - z f 7 + q ( z ) f = 0 ( 1 4 ) f r e i 在文 7 中证明了 定理1 6 假设c ( 0 ) 是复常数如果方程 ，+ e - z f 7 + c f = 0 ( 1 5 ) 具有有限级非零解，那么c = 一k 2 ，其中k 是一个正整数反过来，对每个正整数 k ，方程( 1 5 ) ( 其中c = - k 2 ) 具有关于e 。的k 次多项式解厂 o z a w a ，a m e m i y a ，g u n d e r s e n 在文 1 5 1 7 研究了当0 ( 5 ) 是特殊多项式的 情况 1 9 8 6 年，j l a n g l e y 在文【1 8 中对于q ( z ) 是一般多项式的情况证明了 2 定理1 7 假设q ( z ) 是非常数多项式， d 是非零常数，那么方程 f f + d e - 2 f f + q ( z ) f = o l 1 6 、) 的所有非零解具有无穷级 对于q ( z ) 是超越整函数的情况，g u n d e r s e n 在文 17 】中证明了 定理1 8 假设q ( z ) 是超越整函数且级盯( q ) 1 ，那么方程( 1 4 ) 的每个非 零解具有无穷级 考虑高阶线性微分方程 ，( 七+ a 知一1 厂 一1 + 十a o f = f ( 1 7 ) 对于，a 1 ，a k 一1 ，f 皆为整函数的情形， 2 0 0 0 年，陈宗煊和杨重骏在文【5 中得到了方程( 1 2 ) 的解的超级的精确估计，证明了 定理1 9 设a o ，a l ，a k 一1 ，f 是整函数，且存在某个a 。( 8 = 0 ，1 ，k 一 1 ) ，满足 6 = m a x 盯( f ) ，盯( 鸟) ，。s ) ) 盯( a 。) 三， 则方程( 1 2 ) 的每一个超越解满足眈( ，) = 盯( a ) 进一步，若f 0 ，则_ 2 ( ，) = 盯( a 。) 定理1 1 0 设山，a 1 ，a k 一1 是整函数，满足m a x _ 盯( 如) ：j = 1 ，2 ，七一 1 ) 盯( a o ) + 。，则线性微分方程 ，( 七+ a 七一1 厂( 2 1 + + a o f = 0( 1 8 ) 的每个非零解厂都满足盯。( ，) = 盯( a o ) 定理1 1 1 设a o ，a 1 ，a 一1 满足定理1 1 0 的条件，f 0 是整函数，且 仃( f ) + o 。，则方程( 1 7 ) 的所有解厂满足q 2 ( f ) = _ 2 ( 厂) = 盯( a o ) ，至多有一个例 外 李叶舟，陈宗煊在文 9 】中，证明了 定理1 1 2 假设a o ，a 1 ，a l 是整函数，满足 m a x ( 盯( 如) ，j = 叭，s 一1 ，s + ”，七一1 ) 盯( 丢， 3 那么，微分方程 厂( 2 ) + a 知一1 厂( 知一1 ) + + a $ ，( 8 + + a o ，= 0( 1 9 ) 的每一个超越解都满足观( ，) 盯( a ) ，进一步，若a ( f ) a ( a 。) ，则有a 2 ( f ) = o ( a s ) 当方程( 1 8 ) 的系数a o 的增长级不是唯一最大，但是a o 的型起控制作用时， 仍有相同的结论涂金在文【1 0 中得到了下面的定理： 定理1 1 3 假设a o ，a 1 ，a k 一1 为有限级整函数， ( z ) 为超越整函数， 满足条件： ( 1 ) c r ( a o ) m a x c r ( a j ) ，j = 1 ，k 一1 - ， ( 2 ) 当盯( a ) = 盯( a o ) 时，7 ( a j ) ，7 - ( a o ) 。( j l ，k 一1 ) ) ， 那么方程( 1 1 ) 的每个非零解厂都满足a 2 ( f ) = 盯( a o ) 4 第二章非齐次线性微分方程解的增长性 2 1 引言与结果 本文的主要目的是更换定理1 1 2 中的限制条件并考虑线性微分方程 ，( 七+ a k l f ( a - 1 ) + + a 。厂( 8 + + a o f = f ，( 2 1 ) 得到了方程( 2 1 ) 解的增长性，以及其超越整函数解取小函数点的收敛指数的精确 估计 首先回顾如下定义 定义2 1 假设，( z ) ，夕( z ) 是亚纯函数如果盯( g ) 0 时，对于任意满足0 1 是一个给定的常数，存在一个具 有有穷对数测度的集合e lc ( 1 ，+ ) ，且存在仅依赖于q 与( m ，佗) ( m ，佗为非负 整数，且m 0 ，使得对于所有满足i z i = r 岩e l 的z ，有 i 篇卜( 竿g 崦丁) 俨m 引理2 2 1 5 设f ( z ) 是超越整函数，那么存在一个具有有穷对数测度的集合 e 2c ( 1 ，+ 。o ) ，对所有满足i z i = rg 0 ，1 u 易和l ，( z ) i = m ( r ，l 厂) 的名，有 i 熬l 2 州卜 引理2 3 1 5 设9 ( z ) 是一个无穷级整函数，其超级a 2 ( g ) = 口，令p ( r ) 为夕的 中心指标，那么 一l i m l o g _ l o gv ( r ) ：盯 r - * o o l o g ? 引理2 4 f 2 2 】假设f ( z ) 为整函数满足增长级盯( ，) = q 0 ，存在一个集合e 3c ( 1 ，+ 。) 具有有限对数测度和有限线测度，使 得对于所有满足i z l = rg 0 ，1 】ue s 的z ，有 e x p - r 口+ 5 ) i ，( z ) i e x p r 口+ 8 ) 引理2 5 【2 3 】假设f ( z ) 是f a b r y 缺项级数，那么对任意给定的( 0 0 ( 当口( a ) = 0 时，定理可同理证明) ，方程( 2 1 ) 可变形为 扣南一瞵f ( s ) 、- j r a m 带+ 州。+ - 等地一爷+ 州。矧 = 手南一 筹+ + 钳，等+ a 州孚+ - - + a o ) 南 c 2 码 由引理2 1 ，存在一个具有有穷对数测度的集合e lc ( 1 ，+ 。) ，使得对于所有 满足= rg 0 ，1 ue 1 的z ，以及合适的常数m ( 0 ) 和c ( 0 ) 有 l 豁i 严( j - - - - s + l , - - , k ) ( 2 5 ) i 错i 蛐帅删p ( 1 = 1 , - - - , s - 1 ) ( 2 6 ) 由引理2 2 ，存在一个具有有穷对数测度的集合e 2c ( 1 ，+ o 。) ，对所有满足 l z i = rg 0 ，1 ue 2 和i ，( 名) i = m ( r ，f ) 的名，有 i 赫l 2 矿 协7 ， i ，( s ) ( z ) i ”一7 取任意满足 b = m a x a ( f ) ，a ( a 3 ) ，j = 0 ，8 1 ，8 + 1 ，七一1 ) p a ， r + l o g r 由于a 是任意的，所以 一l i m l o g _ l o g - t ( r , f ) 盯( a ) ， r - - * o o l o g r 即 a 2 ( f ) o ( a 。) ( 2 1 4 ) 下面再证明a r 2 ( ，) 盯( a ) 由w i m a n v a l i r o n 理论( 见文 2 4 ) 知，存在 一个具有有穷对数测度的集合e 3c ( 1 ，+ 。) ，使得当z 满足i z i = rg 【0 ，1 】ue 3 和j 厂( z ) i = m ( r ，f ) 时，有 铬= ( 华) ( 1 + 0 ( 1 ) ) ， ( 2 1 5 ) 由引理2 4 知，对任意给定的 0 ，当7 充分大时有 i a j i c x p r 叮( a s ) 托】( j = 0 ，1 ，k 一1 ) ，( 2 1 6 ) 和 i f ( z ) i e x p r 口( 月。) + 5 ) ( 2 1 7 ) 9 当r 冗分大时，有m ( r ，f ) 1 ，从而当i zj = r 充分大且i ，( z ) l = m ( 7 ，f ) 时，有 俐鲫矿m 卜 ( 2 1 8 ) 方程( 2 1 ) 可变形为 等= 手一( 缸，竿+ 州出，) 圳 把( 2 1 5 ) 式和( 2 1 8 ) 式代入( 2 1 9 ) 式，当h = 7 彰 0 ，1 u 岛和j ，( z ) i = m ( r ，f ) 时，有 ( 华) 七( 1 + 。( 1 ) ) e x p 渺岬( 华) n 1 ( 1 + 0 ( 1 ) ) + e x p r a ( a s ) + e ( 华) 2 ( 1 + 0 ( 1 ) ) + + e x p r a ( a 。m ) ( 华) ( 1 + 0 ( 1 ) ) + 2 e x p r a ( a ) + e ， ( 华) 詹c 1 圳蚓，( 华) 扣1 酬1 ， 2 。， 从而有 。巫l i m 亘l o gi l o = g i v y 一( r ) 盯( a 。) + ， ( 2 2 1 ) r i o gr 、 由引理2 3 和的任意性得， a 2 ( f ) 口( a ) ( 2 2 2 ) 由( 2 1 4 ) 式和( 2 2 2 ) 式即得 a r 2 ( 厂) = 盯( a ) ( 2 2 3 ) 下面我们再证明a 2 ( f ) = o r 2 ( ，) = 盯( a ) 首先由定义，我们有 天z ( ，) 9 2 ( f ) ( 2 2 4 ) 其次，由于f 0 ，方程( 2 1 ) 可化为 手= ；卜孚+ - - - + a o ) 。 亿2 5 ， 由( 2 2 5 ) 式有 ( n 多) 后丙( n 手) + ( r ，刍) ， c 2 2 6 ， 和 m ( _ ；) 著k 嘶，铷善k - 1 州卅m ( n 昙) 协2 7 ， 由( 2 2 6 ) 式和( 2 2 7 ) 式以及对数导数引理得，当= r 除去一具有有限对数测度 的集合皿外，有 t ( r ，) = t ( n ) + 。( 1 ) 蚋( r ，；) + o ( 1 0 9 埘m + 矧，2 8 ， 当r 充分大时有下列不等式成立： 圳o g ( 州吖) ) 】丢t ( 吖) ， t ( r ，f ) r 口( f ) + 亭 7 盯( a 。) + 占 由( 2 2 8 ) ( 2 3 1 ) 式可知，当i zj = r 彰e 4 时有 聊2 腼( r ，多) + 2 ( 七+ 2 ) 一也) + e 因此，对任何满足a 2 ( f ) = 盯( a ) 的，有 a 2 ( f ) o r 2 ( ，) 由( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 式和( 2 3 2 ) 式有 x ( ，) = a 2 ( f ) = o ( a s ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( b ) 利用( a ) 中类似的方法我们可以证明方程( 2 1 ) 对应的齐次方程( 1 9 ) 的 所有解都满足o 2 ( f ) = 盯( a ) 我们现在假定 ， 是非齐次线性方程( 2 1 ) 所 对应的齐次方程( 1 9 ) 的基础解集，则a 2 ( f , ) = o ( a 。) ( i = l ，惫) 由常数变易 法，方程( 2 1 ) 的解，可表示成 f ( z ) = b 1 + 易如+ + 鼠 ( 2 3 3 ) r 霉b lb t 曼罐叫叫z ， + a 烈 r七 今 rt m 触 数的微分多项式， 观( 五) = a ( a 。) ， 以 a ( a 5 ) ( 2 3 4 ) 由( 2 3 3 ) 式和( 2 3 4 ) 式，我们有 a 2 ( f ) m a x ( c r 2 ( 马) ，眈( 五) ) = c r 2 ( 五) = a ( a 。) 下面我们断言方程( 2 1 ) 至多有一个例外解如满足口2 ( f o ) a ( a 。) 事实上，若方程( 2 1 ) 还有另一个解广，满足a 2 ( f + ) a ( a 。) ，那么c r 2 ( f o - f + ) 盯( a ，) 但是而一厂+ 是方程( 2 1 ) 所对应的齐次方程( 1 9 ) 的解，这与齐次方程( 1 9 ) 的每个解厂都满足a 2 ( f ) = a ( a 。) 矛盾 因此，微分方程( 2 1 ) 的每个超越解，均满足o r 2 ( 厂) = a ( a 。) ，至多有一个例 外 再利用( a ) 中后半段类似的方法我们可以证明a 2 ( 厂) = a 2 ( f ) ，从而 , k 2 ( f ) = a 2 ( f ) = o r ( a8 ) 定理2 2 的证明 假设厂是方程( 2 1 ) 的超越解，由定理2 1 知，o r 2 ( f ) = a ( a 。) ，仃( ，) = 。o 令 h = f 一9 ，那么f = h + 9 因为仃( 9 ) 0 时，取满足 i z l = r i i 一7 。 m a x a ( a i ) ：j = 0 ，1 ，8 1 ，s + 1 ，k 一1 ) r 0 的7 ，有 l o gi a 。( z ) i ( 1 ( 1 一) ) r 7 当i z i = r h = h on ( 7 o ，+ 。) 时，有定理2 1 的条件( i i ) 成立显然，日具有 无穷对数测度因此，由定理2 1 立即可知推论成立 1 3 首先回顾型的定义 假设f ( z ) 为整函数，盯( ，) = 盯 + o 。，定义f ( z ) 的型 7 i ( ，) _ 一l i m 。l o g m r 口( r , f ) r 7 o 本章我们证明了 定理3 1 假设a o ，a 1 ，九一1 ，为有限级整函数，a oz ) 为超越整函数， f ( z ) 0 为整函数，满足下列条件： ( 1 ) 仃( a o ) m a x 盯( a ) ，j = 1 ，k 一1 ， ( 2 ) 如果仃( 如) = a ( a o ) ，我们有下( a j ) f ( a o ) o 。0 1 ，后一1 ) ， ( 1 ) a 2 ( f ) a ( a o ) ， 那么方程( 2 1 ) 最多除去一个例外，所有解，满足 a 2 ( ，) = a 2 ( ，) = 0 2 ( f ) = a ( a o ) 3 2 引理 引理3 1 【2 6 】假设a j0 = 0 ，1 ，七一1 ) 是整函数，且满足m a x a ( a j ) ，( 歹= 0 ，1 ，k 一1 ) ) 盯 + 。o ，那么方程 ，( 七+ a 一1 厂( 七一1 + + a o ，= 0 ( 3 2 ) 的所有解厂都满足o r 2 ( ，) 盯 引理3 2 设f ( z ) 是超越整函数满足o ( f ) = 盯 鲁 凼此当扎2n o 且对仕恿的r 【r n ，( 1 + 去) j ，有 l o g 脚，) l o g m ( r n ，) 娥a ( 斋r ) 圹 胪 令h = u 器n 。r 。，( 1 + 丢) ，因为( 1 + 五1 ，r 。 口， 引理3 3 假设a o ，a 1 ) 一，a 一1 为有限级整函数，a oz ) 为超越整函数，满 足条件： ( 1 ) t r ( a o ) m a x a ( a 3 ) ，j = 1 ，k 一1 ) ， ( 2 ) 如果仃( a j ) = a ( a o ) ，我们有7 ( 如) t ( a o ) o o ( j 1 ，七一1 ) ) ， 那么方程( 3 2 ) 的每个非零解，都满足c r 2 ( 厂) = o ( a o ) 证明：当丁( a o ) = 7 - 0 ，使得 l 帮p ( t ，川2 ( j - - - - - 1 , - , k ) ( 3 4 ) 1 5 对充分大的r 且h = rge 1 成立令盯( a o ) = 盯，r ( a o ) = 7 ，如果整函数a j ( j 0 ) 满足盯( a j ) 盯，由引理2 4 可知，存在一个具有有穷对数测度的集合e 5c ( 1 ，+ o 。) ， 对充分大的r 且l z l = r 岩e 5 有 如j e x p ( r 伽) ( j o ) ，( 3 5 ) 其中o l l ( 口) 为常数如果整函数a j o o ) 满足口( a j ) = 仃，7 ( 如) 1 岛 e x p 仍，) ， 对于满足盯( a j ) = 盯，7 - ( a ) 。的整函数a ，我们有 m ( r ，a j ) e x p p t r 矿) ， ( 3 6 ) ( 3 7 ) 由( 3 6 ) 一( 3 7 ) 式，对所有满足i z i = r h ( 局u 易) 且i ( z ) j = m ( r ，a o ) 的z ， 有 e x p 8 5 r 盯】- ke x p 8 1 ，) 【t ( 2 r ，删戤 ( 3 8 ) 由( 3 8 ) 式和3 1 岛，得甄l i m 缝铲矿，即c r 2 ( 厂) 盯 另一方面由引理3 1 ，有c r 2 ( 厂) 盯故a s ( y ) = 盯= a ( a o ) 3 3 定理的证明 定理3 1 的证明 由引理3 3 知，方程( 3 1 ) 对应的齐次方程( 3 2 ) 的所有解都满足a s ( f ) = a ( a o ) 我们现在假定 ， 是非齐次线性方程( 3 1 ) 所对应的齐次方程( 3 2 ) 的基础 解集，则o r 2 ( 五) = 口= a ( a o ) ( i = 1 ，后) 由常数变易法，方程( 3 1 ) 的解，可 表示成 f ( z ) = b 1 + b 2 厂2 + + 鼠 ( 3 9 ) 其中b 1 ，岛，鼠由下列方程组成的方程组决定： ib i + b ；止+ + b ： = 0 ib i 爿+ 琶+ + j e 7 ：以= 0 1 ib ；矗七一d + b ；程一”+ + b ：一u = f ( z ) 由于w r o n s k y 行列式w ( y l ， ) 为 ， 及其导数的微分多项式， 且其系数均为常数，我们得到a 2 ( w ) c r 2 ( 五) = 盯( a o ) 令 16 微分多项式，我们有 彰= 等= 铬 ，七) = 盯= a ( a o ) ( 3 1 0 ) ，后) = 盯= a ( a o ) 下面我们断言方程( 3 1 ) 至多有一个例外解如满足眈( 矗) a ( a o ) 事实上，若方程( 3 1 ) 还有另一个解广，使得a r 2 ( ，+ ) a ( a o ) ，那么a r 2 ( f o - f + ) 0 ) 是 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 1 + 2 ) e x p 严，( 3 1 7 ) ( 1 名l = r 隹e 4 ) x ( ，) = 入。( ，) = c r 2 ( f ) = a ( a o ) 综上所述，在定理所给条件下，微分方程( 3 1 ) 的每个解，均满足 至多有一个例外 _ 2 ( ，) = a z ( ，) = c r 2 ( f ) = a ( a o ) ， 1 8 参考文献 1 】k h k w o n ，o nt h eg r o w t ho fe n t i r ef u n c t i o n ss a t i s f y i n gs e c o n do r d e rl i n e a rd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】b u l l k o r e a nm a t h s o c ，1 9 9 6 ，3 3 ( 3 ) ：4 8 7 - 4 9 6 2 1k 。h k w o n ，n o n e x i s t e n c eo ff i n i t eo r d e rs o l u t i o n so fc e r t a i ns e c o n do r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j k o d a im a t h j ，1 9 9 6 ，1 9 ( 3 ) ：3 7 8 - 3 8 7 【3 】3z x c h e n ，t h eg r o w t ho fs e c o n do r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm e r o m o r - p h i cc o e f f i c i e n t s 【j 】k o d a im a t h j ，1 9 9 9 ，2 2 ：2 0 8 - 2 2 1 4 】陈宗煊，关于高阶线性微分方程亚纯解的增长率 j 1 数学学报，1 9 9 9 ，4 2 ( 3 ) ： 5 5 】一5 5 8 5 】z x c h e n ，c c y a n g ，q u a n t i t a t i v ee s t i m a t i o n so nt h ez e r o sa n dg r o w t h so fe n t i r e s o l u t i o n so fl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j c o m p l e xv a r i a b l e s ，2 0 0 0 ，4 2 ：1 1 9 1 3 3 6 m f y e i ， u b e rd i es u b n o r m a l e nl o s u n g e nd e rd i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g 叫7 7 + e - z t + ( k o n s t ) 叫= 0 j 】c o m m e n t m a t h h e l v ，1 9 6 2 ，3 6 ：1 - 8 【7 1s b a n k ，j l a n g l e y , o s c i l l a t i o nt h e o r yf o rh i g h e ro r d e rl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t he n t i r ec o e f f i c i e n t s j c o m p l e xv a r i a b l e s ，o ( 1 9 9 1 ) ，1 6 3 - 1 7 5 8 】高仕安、陈宗煊、陈特为，线性微分方程的复振荡理论险御武汉：华中理工 大学出版社，1 9 9 8 9 】y z l i ，z x c h e n ，o nt h eh y p e ro r d e ro fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n so fl i n e a rd i f f e r - e n t i a le q u a t i o n j a p p lm a t h ，1 9 9 8 ，1 3 b ：4 0 3 4 0 8 【1 0 】涂金型起控制作用的高阶微分方程解的增长性 j 】( 待发表) 1 l 】w k h a y m a n ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s m o x f o r d ：c l a r e n d o np r e s s ，1 9 6 4 1 2 杨乐，值分布论及其新研究 m 】北京：科学出版社， 1 9 8 2 1 3 】s b a n k ，i l a i n e ，o nt h eo s c i l l a t i o nt h e o r yo f ，+ a = 0w h e r eai se n t i r e ， t r a n s a m e r m a t h s o c 1 9 8 2 ，2 7 3 ：3 5 1 3 6 3 1 4 】s b a n k ，i l a i n e ，o nt h ez e r o so fm e r o m o r p h i cs o l u t i o n so fs e c o n do r d e rl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o m m e n t m a t h h e l v ，1 9 8 3 ，5 8 ：6 5 6 - 6 7 7 1 5 m o z a w a ，o nas o l u t i o no f w + e 一2 w 7 + ( a z + 6 ) 伽= 0 j 】k o d a im a t h j ，1 9 8 0 ， 3 ：2 9 5 3 0 9 【1 6 】i a m e m i y a ，m o z a w a ，n o n - e x i s t e n c eo ff i n i t eo r d e rs o l u t i o n so fw + e - z w 7 + q ( z ) 伽= 0 j 】h o k k a i d om a t h j ，1 9 8 1 ，1 0 ：1 1 7 1 1 7 g g u n d e r s e n ，o nt h eq u e s t i o no fw h e t h e rf 七e - z f l 七b ( z ) f = 0c a na d m i