（基础数学专业论文）完备brouwer格上fuzzy关系方程的求解及传递关系的个数问题.pdf

完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的求解及传递关 系的个数问题 基础数学专业 研究生邓小梅指导教师王学平( 博士教授) 论文摘要：本文讨论完备b r o u w e r 格上模糊关系方程的两个解的交仍为方程的 解、n 元集上传递关系的个数以及模糊矩阵的收敛问题首先对论域为有限集 时定义在完备b r o u w e r 格上的f u z z y 关系方程作了讨论当方程右手项的每个 分量都有不可约有限并分解时，找到了方程的一个解不仅证明了它与方程的 其它任意解的交仍然是方程的解而且证明了它恰等于方程所有极小解的并 其次从传递关系对应的布尔矩阵的结构出发给出了n 元集上传递布尔矩阵 个数的一个上界、下界最后利用群论的知识证明了有关模糊矩阵收敛的许 多结论都能由一个统一的方法获得，并且研究了分配格上两矩阵积的收敛性 关键词：模糊关系；模糊关系方程；不可约并既分解；传递关系；布尔矩阵； 分配格：格矩阵；收敛：指数：周期 第i 页洪2 5 页 t h es o l u t i o n so faf u z z yr e l a t i o ne q u a t i o ni na c o m p l e t eb r o u w e rl a t t i c ea n dt h ep r o b l e mo nt h e n u m b e ro ft r a n s i t i v er e l a t i o n s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s a u t h o r ：d e n gx i a o m e is u p e r v i s o r ：w a n gx u e p i n g a b s t r a c t ：t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep r o b l e mo fr e s o l u t i o no fa f u z z yr e l a t i o n e q u a t i o nd e f i n e do nac o m p l e t eb r o u w e rl a t t i c e ，t h en u m b e ro ft r a n s i t i v e b o o l e a nm a t r i c e so fo r d e r 扎a n dt h ec o n v e r g e n c eo ff u z z ym a t r i c e s f i r s t i nt h ec a s eo ff i n i t ed o m a i n s i ti ss h o w nt h a tt h e r ee x i s t sa ne l e m e n t 影( w h e r e 彤i st h es o l u t i o ns e to faf u z z yr e l a t i o ne q u a t i o n ) s u c h t h a t ( x 八) 影f o re v e r ye l e m e n tx 彤a n dei st h ef u z z yu n i o n o fa 1 1m i n i m a le l e m e n t si n 。形i f 影仍a n de v e r yc o m p o n e n to fbw i t h a ni r r e d u n d a n tf i n i t ej o i n d e c o m p o s i t i o n t h e nw eu s es o m er e l a t e dg r a p h t h e o r yt og i v et h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h en u m b e ro ft r a n s i t i v e b o o l e a nm a t r i c e so fo r d e r 礼，f r o mt h es t r u c t u r eo fb o o l e a nm a t r i c e s f i n a l l y , w es t r e s st h es i g n i f i c a n c eo ft h eg r o u p - t h e o r e t i c a la p p r o a c ha n ds h o wm a n y r e s u l t sa b o u tt h ec o n v e r g e n c eo fm a t r i c e sc a nb eo b t a i n e di na nu n i f i e dw a y a n dt h ec o n v e r g e n c eo fp o w e r so ft h em u l t i p l i c a t i o no ft w om a t r i c e so v e r d i s t r i b u t i v el a t t i c e sa r ea l s oi n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：f u z z yr e l a t i o n ；f u z z y r e l a t i o n e q u a t i o n ；i r r e d u n d a n t 丘 n i t ej o i n d e c o m p o s i t i o n ；t r a n s i t i v er e l a t i o n ；b o o l e a nm a t r i x ；d i s t r i b u t i v e l a t t i c e ；l a t t i c em a t r i x ；c o n v e r g e n c e ；i n d e x ；p e r i o d l = ( l ，a ，v ) ( ) ( ) ( ) s u p ，v i n f 八 v n 【佗】 z j n 己礼m r = ( r i j ) n m r 丁= ( r i j ) t m a = ( a j ) j e 盟 4 丁= ( ) 芙盟 ， u n 0 f ( x ) r ( xxy ) g ( p i j ) i g ( 耽) i ( c ) 厶 o n 部分符号说明 格 大于f 小于) 大于或等于( 小于或等于) 既不大于也不等于( 既不小于也不等于) 上确界 下确界 对每一个 不大于n 的礼个自然数之集 1 2 。，竹的最小公倍数 所有正整数的集合 全体自然数构成的集合 取值于格l 的佗m 阶矩阵之集 取值于格l 的佗x 7 阶矩阵 矩阵月的转置 取值于格三的具j 个分量的行向量 向量a i 的转置或逆 方程的解集 集合的并 集合的交 空集 x 上的f u z z y 集 xxy 上的f u z z y 关系 向量a i = ( a ma 涵a i m ) 的满足a 执p i ，的分量的脚标 集合g ( p i i ) 包含的元的个数 集合的包含( 真包含) n 阶单位矩阵 n 阶零矩阵 第i v 页，共2 5 页 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师壬堂垩塾堡丝指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文 不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律 结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：& p 心，分 签字日期：2 0 i o 年年月f 日 引言 现实世界中的各种事物存在着形形色色的联系，远到宇宙中星系间的联系，近 到计算机程序的输入与输出，数据库的数据特性联系等这些联系正是各门学科所 要研究的主要问题集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型一关系而科学中的 关系并不象经典物理学中的关系那样是“清晰的”，这就是关系具有不确定性尽 管概率论的广泛应用已揭示了其中的许多不确定性问题但是依然存在一些困难， 而这些困难的解决有依赖于对模糊性的系统探索自从l a z a d e h 引入模糊集 理论以来，模糊关系在模糊决策的许多领域中得到了广泛应用例如，模糊聚类分 类、模糊综合评判、模糊偏好下的选择与排序、模糊偏好构模等问题的研究中常 以模糊关系作为基础而研究模糊关系方程的重要性在于：如果把一个模糊关系视 为一个系统，那么模糊关系与模糊集的合成就产生出一个模糊集也就是说，模糊 关系方程的求解是控制问题的逆问题研究关系方程的工作可追溯到l u c e ? 】及 r u d e a n u 关于求解布尔矩阵方程的工作，它在数字线路( d i d i t a lc i r c u i t s ) 【2 2 】及关 系结构中布尔变量的处理 2 9 】的研究等方面有着广泛的应用理论方面f u z z y 关 系方程的研究主要集中在方程的解集的刻划、具有不同合成算子与拓扑结构的方 程的构造、方程的解的布尔性与模糊性、方程的逼近解、具有特定代数性质的解 的确定、f u z z y 关系的分解、定义在高阶f u z z y 集或区间值f u z z y 集上的关系方 程等课题应用方面，f u z z y 关系方程广泛应用于模式识别( p a t t e r nr e c o g n i t i o n ) 的 研究、知识库系统( k n o w l e d g e - b a s e ds y s t e m s ) 的研究、系统分析中模型( m o d e m i ns y s t e m sa n a l y s i s ) 的研究等领域 以下我们粗略回顾一下本文所研究的完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程求 解、传递布尔矩阵个数的计算以及格上矩阵的收敛性和振荡性三方面工作的历史 与现状 1 9 7 6 年法国学者s a n c h e z 【3 0 为描述如医疗诊断等复杂系统率先开始了完备 b r o u w e r 格上模糊关系方程a x = b 的研究( 其中，a = ( a i j ) n m 为已知系数矩 阵，b = ( 玩) 乏n 为己知向量，x = ( x j ) j e 塑为未知向量) 从而开始了f u z z y 关系 方程的研究当论域为有限集时，完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程解集的刻划研 第1 页，共2 5 页 引言 究的是：在解集非空时，如何确定定义在完备b r o u w e r 格上s u p - m i n ( 【o ，l 】格上为 m a x - m i n ) 合成f u z z y 关系方程的整个解集e s a n c h e z 建立了完备b r o u w e r 格 上f u z z y 关系方程解集非空的充要条件，证明了方程有解则一定有最大解，且给出 了最大解的表达式因此要刻划完备b r o u w e r 格上模糊关系方程解集的关键就 是确定最大解下方的解通常，最大解下方的解可分为两部分：一部分是每个解 有极小解这部分解又称为可达解；另一部分的每个解无极小解这部分解又称为 不可达解如果能证明对方程的每一解至少存在一个小于等于它的极小解，并且 如果只有有限个这样的极小解，便能确定方程的整个解集研究者们围绕定义在 完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的解集中对每一解是否存在一个小于等于它的 极小解的问题做了大量工作，有关s u p - i n f 合成f u z z y 关系方程的研究工作可参见 【4 ，8 ，1 0 ，1 6 ，2 0 ，2 6 ，3 5 ，3 6 ，3 9 4 2 】七十年代末，人们首先选择了定义在【0 ，1 】格上 的f u z z y 关系方程作为研究的突破口：当论域为有限集时，对定义在【0 ，1 】格上的 f u z z y 关系方程，在方程有解时人们不仅证明了对解集中每一元至少存在一个小于 等于它的极小元，而且这样的极小元只有有限个，并给出了确定定义在 0 ，1 】格上 f u z z y 关系方程整个解集的方法在以后的二十几年里，当论域为有限集时，对定义 在f 0 ，1 1 格上的f u z z y 关系方程解集的刻划工作仍在进行，主要是改进解集中极小 元的确定方法，还对解集中极小元的个数做了估计之后，当论域为有限集时，对完 备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程在解集非空时对解集中每一元是否存在一个小于 等于它的极小元的问题取得了一些进展，如：1 9 9 0 年，a d in o l a 给出了定义在完 备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的解是极小解的一个充分条件，s e s s a 给出了定义 在完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程有唯一解的一个充分条件2 0 0 0 年，d eb a e t s 在论域有限时且b 有不可约有限并既分解的条件下给出了模糊关系方程a x = b 的解集( 方程a x = b 的特殊形式，即a = ( o j ) ，m 为已知系数矩阵，b 为已知 元，x = ( z j ) j 盟为未知向量) ，王学平 3 8 给出了论域有限时求解定义在【0 ，1 】上 f u z z y 关系方程的方法，该方法对满足解集非空的f u z z y 关系方程均能准确无误地 求出其所有的极小元2 0 0 2 年王【4 1 在方程右手项的每个分量都有不可约并既分 解时，给出了完备b r o u w e r 格上s u p - m i n 合成f u z z y 关系方程的解存在一个小于等 于它的极小解的条件，并给出了极小元个数的公式表达式因此，在论域为有限集 且b ( i n ) 有不可约有限并既分解的条件下，方程a x = b 的解集已能完全刻画 d o l p h i n 3 4 1 0 1 6 3 c o m 第2 页共2 5 页 引言 通常，在方程解集不空时，方程的解集构成一个上半格，而两个解的交不一定是方 程的解1 9 8 5 年，d in o l a 9 对定义在【0 1 】格上的有限f u z z y 关系方程在解集不 空时构造了方程的一个解它不仅是方程所有极小解的并，而且它与方程所有解的 交仍是方程的解这里有两个问题，一是d in o l a 的结论可否推广到更一般的格上， 二是两个解的交仍是解的条件本文对论域为有限集时定义在完备b r o u w e r 格上的 f u z z y 关系方程讨论了第一个问题当b 的每个分量b i ( i 丝) 都有不可约有限并 既分解时找到了方程的一个解，不仅证明了它与方程的其它任意解的交仍然是方 程的解而且证明了它恰等于方程所有极小解的并 在对模糊关系及其应用的研究中，传递性的讨论占据着举足轻重的地位 1 9 8 2 年金基恒在其著作b o o l e a nm a t r i xt h e o r ya p p l i c a t i o n s ) ) 中提出了开问 题：“计算n 元集合上传递关系的个数”，这个问题至今仍未得到解决k i m 和 r u s h 证明了礼元集合上的传递关系的个数渐近地等于偏序关系个数的2 n 倍 1 9 9 7 年k l a s k aj i r i 在文献 1 7 中证明了偏序关系和传递关系之间存在着一个一 一对应关系并给出了传递关系个数与偏序关系个数的一个递推公式，给出了他 阶n 1 4 ) 传递布尔矩阵的个数2 0 0 4 年p f e i f f e rg o t z 在文献 2 8 中给出了未标记 的拟序关系、弱偏序关系以及传递关系个数的计算公式另一方面也有许多算法 被用来枚举偏序关系的个数显然，传递关系的个数也可以通过这些算法，再结合 递推公式求得但迄今为止，最好的结果也只是计算到礼= 1 6 杨雁在 4 3 中研究 了一类特殊的传递关系，然后通过这类特殊的传递关系构造出其它所有的传递关 系从而计算出传递关系的个数但是该算法的计算量也很大总的来说，现有的工 作很少单独把传递关系作为研究对象来刻画它的性质和结构传递关系作为一类 基础而重要的二元关系研究它的整体结构和计算它的个数有着十分重要的意义 目前已经知道，布尔矩阵在逻辑学，图论，组合理论半群理论模糊理论，计算机科 学的许多分支领域中有着重要的意义，而且发现它在社会现象，心理现象管理 决策等许多实际问题的数学描述和深入研究中有着广泛应用的前景而通过关系 矩阵研究有限集合上关系r 的性质既直观又迅速鉴于此，本文从传递关系对应的 布尔矩阵的结构特征出发，利用图论的相关知识，得到了礼阶传递布尔矩阵个数的 一个上界、下界 模糊关系矩阵幂序列的收敛性和振荡性广泛地运用于各种离散系统研究 d o l p h i n 3 4 1 0 1 6 3 c o n l 第3 页共2 5 页 引言 模糊关系矩阵幂序列的收敛性是研究模糊系统的稳定性的前提和基础特别地， 取值于【0 ，1 格或者任意分配格的矩阵幂序列的研究对描述模糊系统准则显得 尤为重要对格上矩阵幂序列的问题研究首先出现在g i v e o n 的【14 】中，从此开 始了关于格上矩阵幂序列的研究1 9 7 0 年s c h w a r z 【3 1 研究了由n n 的布尔 矩阵a 生成的循环半群，得到了k ( a ) ( n 一1 ) 2 + 1 ，其中k ( a ) 是矩阵a 的收 敛指数1 9 7 7 年t h o m a s o n 【3 4 得到了f u z z y 矩阵方幂收敛的一些充分条件此 外，许多学者【1 1 ，1 5 ，1 9 ，2 1 ，2 3 做了大量的工作，他们致力于研究一些特殊模糊 矩阵的收敛性和周期，例如m a x - r a i n 传递矩阵，8 一模传递矩阵，对称矩阵，等等 1 9 9 2 年l i 【2 4 证明了n 礼的模糊矩阵a 的振荡周期d ( a ) i 【礼】，( h 是1 ，2 ，n 的最小公倍数) 在f 2 5 】中l i 给出了矩阵a 的收敛指数k ( a ) 的一个上界并且 证明了k ( a ) s ( n 一1 ) n ，在 12 】中f a n 和l i u 提升了对指数k ( a ) 的估计，证明 到k ( a ) ( n 一1 ) 2 + 1 1 9 9 6 年c e c h l a r o v a 【5 】引进图论的知识来研究b o t t l e n e c k f u z z y 代数上矩阵的幂序列，得到了幂序列收敛的一个充要条件1 9 9 7 年g a v a l e c f 1 3 】中给出了一个多项式算法来计算m a x - m i n 代数中矩阵幂序列的周期但是，二 元布尔代数 0 ，1 ) ，模糊代数【o ，1 】，b o t t l e n e c k 代数都属于线性格，所以，以上这 些结论都是针对线性格的2 0 0 1 年t a n 在 3 3 中给出了格上矩阵收敛的一些充要 条件本文是在分配格上讨论矩阵的幂序列，我们利用群论的知识总结了分配格上 一些关于矩阵幂序列的结论，证明了以前的许多结论都能运用群论的相关知识获 得，并且研究了分配格上矩阵在乘法下的收敛性和振荡性，得到了一些性质 具体地说，我们做了如下工作： 1 、当论域有限时，对定义在完备b r o u w e r 格上的f u z z y 关系方程有解，若b 的每个分量b t ( i n ) 有不可约有限并既分解时，找到了方程的一个解，证明了它 恰等于方程所有极小解的并，并且它与其它任意解的交仍是方程的解从而推广了 s e s s af 3 2 1 的有关研究工作 2 、讨论了传递关系对应的布尔矩阵的结构特征利用图论的相关知识，从传递 布尔矩阵的结构出发，给出了竹阶传递布尔矩阵个数的一个上界和一个下界 3 、利用群论的知识总结了分配格上一些关于矩阵幂序列的结论证明了分配 格上一些关于矩阵幂序列的许多结论都能由群论的相关方法获得并且研究了分 配格上矩阵在乘法下的收敛性和振荡性，得到了一些性质 d o l p h i n 3 4 1 0 1 6 3 c o r n 第4 页共2 5 页 第一章论域为有限集时完备b r o u w e r 格上f u z z y 关系方程的 求解 本章对论域为有限集时完备b r o u w e r 格上的f u z z y 关系方程做了讨论当b 的 每个分量b ( i n ) 有不可约有限并既分解时，找到了方程的一个解，证明了它恰等 于方程所有极小解的并，并且它与其它任意解的交仍是方程的解推广了s e s s a 的 有关研究工作 本文设旦= 1 ，2 ，佗) x = x i ：i 旦) ，y = y j ：j 盟 - 称映射a ：x _ l 为x 上f u z z y 集，记f ( x ) = _ f a ：a ：x 一三) 称映射冗：x y 一为x y 上的f u z z y 关系，记f ( xxy ) = r ：r ：xxy l ) 特别地如果x = y ，则 称r 称为x 上的一个二元关系显然，如果x 与xxy 均为有限集，则f ( x ) 及 f ( x xy ) 中任意元可分别用一个向量及一个阶矩阵表示用a = ( a l ，a 2 ，a m ) 来表示一个取值于格工的行向量，而用a t = ( a 1 ，a 2 ，a m ) 丁表示a 的转置，即 一个列向量记l 似m = 冗= ( r i i ) n m ：v i n ，歹m ，r i j l ) 易见，行向 量是矩阵的一个特殊形式以下设所有矩阵和向量都取值于完备b r o u w e r 格l 1 1 基本概念 定义1 1 1 1设l = ( l ，) 为偏序集，如果任意的n ，b l ，上确 界s u p a ，6 】与下确界i n f a ，b ) 均存在，则称( l ，) 是格，记av b= s u p a ，6 ) ，a 八b = i 礼， n ，6 ) 定义1 1 2 【1 】设l = ( l ，) 为格，对任意的a ，b ，c l ，有av ( b ac ) = ( a v b ) 八( o v c ) ，或a a ( b v c ) = ( a 八b ) v ( o 八c ) 则称( l ，) 是分配格 定义1 1 3 【1 】如果对于格l 的任意子集t ，vt = va ，与a t = 八。均存 在，则称三为完备格 定义1 1 4 【1 】设l = ( l ) 为偏序集且p c _ l ，如果p p 且不存在z p 使 得z 0 称这样最小的整数七= 知( a ) ，d = d ( a ) 分别为a 的 指数和周期易知序列( 3 一1 ) 有如下形式：a ，a 2 ，一1a 七，+ d 一1l ，+ d 一1i 一由半群理论易知集合g ( a ) = 小，小+ d 一1 ) 对乘法是 一个循环群g ( a ) 的单位元是其中ksr 南+ d 一1 对任意的a l 似n ，都 有相关的整数k ，d 使得k = 忌( a ) ? d = d ( a ) 设a m ( l ) ，若d ( a ) = 1 ，则称4 是 收敛的易知如果a 是收敛的，则a k ( a ) = a k ( a ) + i = 以下，我们分别用k ，d 表示矩阵a 的收敛指数和振荡周期 命题3 3 2如果a s ，s 1 ，是传递的，则a r ( a ) a 8 进一步，对任意的c20 都有( a ) sa 8 + 2 d ( a ) 成立 证明由引理3 2 1 。3 2 3 和定义2 1 1 易知结论成立证毕 推论3 3 1如果a s g ( a ) ，8 1 ，是传递的，则是幂等的 命题3 3 3 群g ( a ) 有且仅有一个传递矩阵( 记为a 7 ( 4 ) ) 证明 由引理3 2 3 和推论3 3 1 易知结论成立证毕 一 命题3 3 4在序列( 3 1 ) 中不同的矩阵的个数是k + d 一1 进一步，这k + d 一1 个不同矩阵构成的集合是a ，a 2 ，a 七一，小，a 七+ d d o l p h i n 3 4 1 0 1 6 3 c o r n 第1 7 页共2 5 页 第三章分配格上矩阵的振荡和收敛 证明由引理3 2 2 ，k 和d 的定义易知结论成立证毕 定理3 3 1设a ，b l 佗肌，a b = b a 若a ，b 都是收敛的，收敛指数分别 为( 4 ) ，忍( b ) ，则a b 也是收敛的，且收敛指数k ( a b ) m a x k ( a ) ，惫( b ) 证明不妨设k ( a ) 七( b ) ，( k ( b ) k ( a ) 的情形同理可证) ，则 ( a b ) 七( b ) = ( a ) 七( b ) ( b ) 七( b ) = ( a ) 南( a ) ( b ) 七( b ) ( a b ) 知( b + 1 ) = ( a ) 七( b + 1 ) ( b ) 惫( b + 1 ) = ( a ) 岛( a ) ( b ) 七( 口) 依次进行下去，可得( a b ) k ( b ) = ( a b ) 岛( b ) + 1 = ( a b ) 知( b ) + 2 = 所以k ( a b ) 七( b ) ，且a j e 7 是收敛的证毕 推论3 3 2设ab l n n 且a b = b a 若a ，b 都是幂等的，则a b 也是 幂等的 定理3 3 2如果g 1 = ( o ) ，g 2 = ( b ) 都是循环群，且o ( a ) = m ，o ( b ) = 礼，( m ，佗) = d ，a b = b a ，则g = g i g 2 也是有限群且o ( a ) i 警特别地，当 ( m ，n ) = 1 时，o ( a ) = 仇n 证明 令e 1 g l ，e 2 g 2 且g 1 ，g 2 的单位元分别是e l ，e 2 则g 非空， 因为e l e 2 g 对vx y g ，其中z g 1 ，y g 2 ，则( x y ) ( e l e 2 ) = ( x e l ) ( y e 2 ) = x y = ( e l z ) ( e 2 耖) = ( e l e 2 ) ( z 可) ，因此g 的单位元是e l e 2 ，记为e 且( z y ) ( z 一1 y 一1 ) = ( z z 一1 ) ( y 一1 ) = e l e 2 = ( x - i z ) ( 可一1 y ) = ( x - l y 一1 ) ( z 可) ，其中z ，y 一1 分别是z ，y 的逆元故x y 在g 里的逆元是x - l y 所以g 是一个群 下面我们考虑g 的阶首先，我们证明o ( a ) i 警 因为对任意的x y g ，其中z g l ，y g 2 ，则z = a 8 ，y = b t 因此( z 3 ) 等= z 等耖警= 0 8 警6 警= ( a m ) 警( b n ) v = e l e 2 ，所以o ( a ) = 仇，d ( 6 ) = 咒，( m ，n ) = d ， 所以o ( a ) i 警 设o ( a ) = j 因为( m ，n ) = 1 ，d ( 6 ) = n ，所以e l e 2 = ( a b ) j n = a j n b j 竹= a j n e 2 ， 则e 1 = a j n 由引理3 2 1 o ( a ) = 仇，所以仇i 歹钆又因为( m ，佗) = 1 ，所以mi 歹类 似地可证，nlj 因此m nlj 所以m 礼= j ，即o ( a ) = m n 证毕 由定理3 3 2 ，易知以下结论成立： d o l p h i n 3 4 1 0 1 6 3 c o r n 第1 8 页，共2 5 页 第三章分配格上矩阵的振荡和收敛 定理3 3 3 令a ，b 佗跏，a b = b a ，g ( a ) ，g ( b ) 都是循环群，且 d ( g ( a ) ) = d ( a ) ，d ( g ( b ) ) = d ( b ) 则g = g ( a ) g ( b ) 是一个有限群且o ( g ) i 谥耥特别地，当( d ( a ) ，d ( b ) ) = 1 时。( g ) = d ( a ) d ( b ) 定理3 3 4 令a ，b 扩黼，a b = b a ，a 的收敛指数是七) ，b 是振荡的， 指数为后( b ) ，周期为d ( b ) ，则k ( a b ) m a x k ( a ) ，恐( b ) - ，且d ( a b ) id ( b ) 证明 不妨设七( a ) 凫( j e 7 ) ，( 艮( b ) 七( a ) 的情形同理可证) ，则 ( a b ) 知b ) = ( a ) 七( b ) ( b ) 岛( b ) = ( a ) 七( a ) ( b ) 惫( 引 ( a b ) 知( b ) + d ( b ) = ( a ) 知( b ) + d ( b ) ( b ) 彪( b ) + d ( b ) = ( a ) 南( a ) ( 口) 七( b ) ：( a b ) 南( 引 因此 即d ( a b ) k ( a b ) 南( b ) ，即，k ( a b ) m a x k ( a ) ，恐( b ) ) 进步， ( a b ) 惫( a ) + 南( b ) = ( 4 ) ( 4 ) ( b ) 七( a ) + 七( b ) = ( a ) 惫( a ) + 七( b ) + d ( b ) ( b ) 知( a ) + 七( b ) + d ( b ) = ( a b ) 知( a ) + 七( b ) + d ( b ) d ( b ) 成立证毕 定理3 3 5 设a ，b l n 跏，且a b = b a 如果a ，b 都是振荡的，指数 分别为惫( a ) ，七( 曰) ，周期分别为d ( a ) ，d ( b ) ? 则k ( a b ) m n z 七( a ) ，后( b ) ) ，且 d ( a b ) j 隅 证明 不妨设七( a ) 惫( b ) ，( 七( b ) 砖( a ) 的情形同理可证) ，则 ( a b ) 七( b ) + 高若鼍：( a ) 南( b ) + 啬耥( b ) 七( b ) + 蛊等等 = ( a ) 七( b ) ( b ) 七( b ) = ( a b ) ( 引 因此，k ( a b ) 后( b ) 即k ( a b ) m a x k ( a ) ，庇( b ) 进一步， ( a b ) 蠡a + 七日+ 意筹号尚= ( a ) 七( a ) + 知( b ) + 高等号赫( b ) 七( a ) + 七( b ) + 意葛! i 巯 = ( a ) 惫( a ) + 知( b ) ( b ) 岛( a ) + 七( b 1 ， 刚a 驯踹证毕 d o l p h i n 3 4 1 0 1 6 3 c o i n 第1 9 页共2 5 页 参考文献 1 】g b i r k h o f f ，l a t t i c et h e o r y v 0 1 x x v ，r e v i s e de d ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a l s o c i e t yc o l l o q u i u mp u b l i c a t i o n s ，p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 4 8 2 】g b i r k h o f f ，l a t t i c et h e o r y v 0 1 x x v ，3 r de d ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c p e t yc o l l o q u i u mp u b l i c a t i o n s ：p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 7 9 【3 】卜月华，图论及其应用南京：东南大学出版社，2 0 0 0 4 】k c e c h l a r o v a ，u n i q u es o l v a b i l i t yo fm a x - m i nf u z z ye q u a t i o n sa n ds t r o n gr e g u - l a r i t yo fm a t r i c e so v e rf u z z ya l g b r a f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，1 9 9 5 ，7 5 ：1 6 5 1 7 7 5 】k c e c h l a r o v a ，o nt h ep o w e r so fm a t r i c e si nb o t t l e n e c k f u z z ya l g e b r a l i n e a r a l g e b r aa p p l ，1 9 9 6 ，2 4 6 ：9 7 - 1 1 1 6 】p c r a w l e ya n dr p d i l w o r t h ，a l g e b r a i ct h e o r yo fl a t t i c e s p r e n t i c e - h a l l ， e n g l e w o o dc l i f f s ，n j ，1 9 7 3 【9 】a d in o l a ，r e l a t i o n a le q u a t i o n si nt o t a l l yo r d e r e dl a t t i c e sa n dt h e i rc o m p l e t e r e s o l u t i o n j m a t h a n 越a p p l ，1 9 8 5 ，1 0 7 ：1 4 8 - 1 5 5 【8 】a d in o l a ，o ns o l v i n gr e l a t i o n a le q u a t i o n si nb r o u w e r i a nl a t t i c e s f u z z ys e t s a n ds y s t e m s ，1 9 9 0 3 4 ：3 6 5 3 7 6 9 】a d in o l a ? s s e s s aa n dw p e d r y c z ，d e c o m p o s i t i o np r o b l e mo ff u z z yr e l a t i o n s i n t j g e n e r a ls y s t e m s ，1 9 8 5 ，1 0 ：1 2 3 - 1 3 3 1 0 a d in o l a ，s s e s s a ，w p e d r y c za n de s a n c h e z ，f u z z yr e a l t i o ne q u a t i o n s a n dt h e i ra p p l i c a t i o n st ok n o w l e d g ee n g i n e e r i n g k l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h - e r s ，d o r d r e c h t ，b o s t o n l o n d o n ，1 9 8 9 1 1 d d u b o i sa n dh p r a d e ，f u z z ys e t sa n ds y s t e m s n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ， 1 9 8 0 【1 2 】z t f a n ，d f l i u ，o nt h eo s c i l l a t i n gp o w e rs e q u e n c eo faf u z z ym a t r a i x f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，1 9 9 8 ，9 3 ：7 5 - 8 5 【1 3 m g a v a l e c ，c o m p u t i n gm a t r i xp e r i o di nm a x - r a i na l g e b r a d i s c r e t ea p p l m a t h ，1 9 9 7 ，7 5 ：6 3 7 0 第2 0 页共2 5 页 参考文献 14 】y g i v e o n ，l a t t i c em a t r i c e s i n f o r m c o n t r o l ，1 9 6 4 ，7 ：4 7 4 8 4 f 15 h h a s h i m o t o ，c o n v e r g e n c eo fp o w e r so faf u z z yt r a n s i t i v em a t r i x f u z z ys e t s a n ds y s t e m s ，1 9 8 3 ，9 ：1 5 3 - 1 6 0 【1 6 】h h a s h i m o t o ，d e c o m p o s i t i o no ff u z z ym a t r i c e s s i a m ，j a l g d i s c m e t h ， 1 9 8 4 8 ：1 5 3 - 1 6 1 【17 】k j i r i ，t r a n s i t i v i t ya n dp a r t i a lo r d e r m a t h e m a t i c ab o h e m i c a ，1 9 9 7 ，1 ：7 5 - 8 2 1 8 k h k i m ，b o o l e a nm a t r i xt h e o r ya n da p p l i c a t i o n s n e wy o r k ：m a r c e l d e k k e r ，1 9 8 2 1 9 】k h k i ma n df w r o u s h ，g e n e r a l i z e df u z z ym a t r i x f u z z ys e t sa n ds y s - t e r n s ，1 9 8 0 ，4 ：2 9 3 - 3 1 6 【2 0 l m k i t a i n i k ，c u tt e c h n i q u ei nv a l u e dr e l a t i o n a ls y s t e m s ：m a i n s p r i n g sa n d a p p l i c a t i o n s f u z z ys e t sa n ds y s t e m s ，1 9 9 5 ，7 5 ：1 4 3 1 6 4 2 1 w k o l o d z i e j c z y k ，c o n v e r g e n c eo fp o w e r so fs - t r a n s i t i v ef u z z ym a t r i c e s f u z z y s e t sa n ds y s t e m s ，1 9 8 8 ，2 6 ：1 2 7 - 1 3 0 2 2 】s r l e d l e y , d i g i t a lc o m p u t e ra n dc o n t r o le n g i n e e r i n g n e wy o r k ：m c g r a w - h i l l 1 9 6 0 2 3 】l ij i a n - x i n ，s o m er e s u l t so nt h en i p o t e n tf u z z ym a t r i c e s f u z z ys y s t e m sa n d m a t h e m a t i c s ，1 9 8 9 j1 ：5 2 5 5 2 4 l ij i a n x i n ，p e r i o d i c i t yo fp