（应用数学专业论文）多线性littlewoodpaley交换子的有界性研究.pdf

摘要 本文主要研究了l i t t l e w o o d p a l e y 算子乳与局部可积函数所生成的多线性交换 子9 ：的有界性问题。 首先，确定了多线性l i t t l e w o o d p a l e y 交换子的s h a r p 估计，并得到了该多线性 交换子的口( 叫) ( 1 p o o ) 有界性和l l o g l 型估计，其中w a 1 。 其次，证明了多线性交换子或是霹( 舻) 到驴( 尼。) 有界的，日霹芋( j 矿) 到砖，p ( 即) 有 界的，事实上站也是日蛭孑( 尼。) 到埒p ( 曰。) 有界的。这里日贬孑( 尼) ，碍p ( 尼。) 分别为 非齐次型的h e r z h a r d y 空间和h e r z 空间，云= ( b 1 ，k ) ，b i b m o ，1 i m 。 然后，讨论了l i t t l e w o o d p a l e y 算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性交换子9 1 在 t r i e b e l l i z o r k i n 空间，h a r d y 空间和h e r z h a r d y 空间上的有界性。即当空间各指标 满足适当条件时，鲸是( 尼。) 到毋p ，( j p ) 有界的，口( 舻) 到口( 尼。) 有界的，h v ( r “) 到p ( 船) 有界的及日式( 舻) 到砖p ( 舻) 有界的，其中石= ( b 1 ，k ) ，妨l 锄( 毋) ， 1 j m 。 最后，讨论了l i t t l e w o o d p o f e 可算子与b m d 函数生成的多线性交换子夕! 的加权 端点有界性。即对于w a 1 , 北是三。( 硼) 到b m o ( 伽) 有界的，b ( w ) 至l j c m o ( w ) 有界的， 同时绒也是日1 ) 到弱三1 ) 有界的，而且若满足适当的条件则9 ：是日1 ( 叫) 到三1 ( 硼) 有界 的。 关键i 司：l i t t l e w o o d p a l e y 算子；多线性交换子；b m o 空n ；h a r d y 空间； h e r z h a r d y 空间：h e r z 空间；t r i e b e l l i z o r k i n 空间；l i p s c h i t z 空间 i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eb o u n d e d n e s so fm u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s 鳐 g e n e r a t e db yl i t t l e w o o d p a i e yo p e r a t o r9 【a n dl o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o n s f i r 8 t 。t h es h a r pe s t i m a t e sf o rm u l t i l i n e a rl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r s 或 a r ee s t a b l i s h e d b yu s i n gt h es h a r pi n e q u a l i t i e s ，w eo b t a i nt h e 工尸) ( 1 p ) b o u n d e d n e s sa n dl l o g le s t i m a t e so fg “b ，w h e r ew a 1 s e c o n d ，w ep r o v e dt h em u l t i l i n e a xl i t t l e w o o d p a l e yc o m m u t a t o r s 站i sb o u n d e d f r o m 嚷怕p l 、叭，h 礤t o 译旧、) a n dh k 嚣均k 暑矗旧1 ，w h e r eh k 蒜，k 擎 ( r n ) i sn o n h o m o g e n e o u sh e r z h a r d ys p a c ea n dn o n h o m o g e n e o n sh e r zs p a c e ，b2 ( 6 1 ，) ，玩b m o ，1si m f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e dt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o rg ：，w h i c hi sg e n e r a t e db y l i t t l e w o o d p a l e yo p e r a t o ra n df u n c t i o n si nl i p f l ，i sb o u n d e d o nt r i e b e l l i z o r k i n s p a c e ，h a r d ys p a c ea n dh e r z h a r d ys p a c e t h a ti s 或i sb o u n d e df r o m 妒( 舻) t o 矽p ，( r n ) ，妒( 形) t ol 口( 舻) ，h p ( r n ) t o 口( 舻) a n d 日船p ( 矽) t o 石罗( 形) w h e ni n d e x e so ft h o s es p a c e ss a t i s f yp r o p e rc o n d i t i o n s ，w h e r eb = ( b x ，) ，b l i p f l ( r n ) ，1 冬j m f i n a l l y , t h ew e i g h t e de a d p o i n te s t i m a t e sf o r m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s 鳐g e n e r - a t e db yl i t t l e w o o d p a t e yo p e r a t o ra n db m of u n c t i o n sa r es t u d i e d t h a ti sf o r 伽a 1 ，夕ii sb o u n d e df r o m 三o 。( 叫) t ob m o ( w ) a n d 岛( 伽) t oc m o ( w ) a l s o 鲸i s b o u n d e df r o mh l ( w ) t ow e a kl 1 ( 叫) ，f u r t h e r m o r e ，9 ：i sb o u n d e d f r o mh 1 ( 伽) t ol 1 ( 硼) o ns u i t a b l ec o n d i t i o n k e yw o r d s ：l i t t l e w o o d p a l e yo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r ； b m os p a c e ；h a r d ys p a c e ；h e r z h a r d ys p a c e ；h e r zs p a c e ； t r i e b e l l i z o r k i ns p a c e ；l i p s c h i t zs p a c e i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后 果由本人承担 作者签名：+ 柙多知 日期：功形年岁月胗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密i - i ，在年解密后试用本授权书 2 、不保密匹 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：刍f 多知 日期：加矽年夕月护e l 导师签名： 列冼搋 日期：均年夕月f 1 日 1 1本文的研究背景 第一章绪论 自从2 0 世纪5 0 年代，a p c a l d e r 6 n 和a z y g m u n d 等分析数学家们为研究偏微分方 程而建立奇异积分算子理论以来，奇异积分算子在函数空间中的有界性研究就成了调 和分析中十分活跃和热门的课题，由此形成和发展起来的许多实变方法和技巧，已经 被广泛应用于算子有界性研究当中。奇异积分理论在复分析、偏微分方程、位势论、非 线性分析与概率论中都有许多应用( 见文献 1 】一 6 1 ) 。 l i t t l e w o o d p a l e y 函数的出现是基于向量值奇异积分算子有界性估计的应用， 甚p l i t t l e w o o d p a l e y 关于所谓平方积分函数的理论。这种形式的函数首先出现在k - a c z m a r z 并l l z y g m t m d 关于正交展开( 一维) 的几乎处处可求和的研究中( 1 9 2 6 年) 。上个世 纪3 0 年代，经过l i t t l e w o o d p a l e y 的重要工作，现已成为以他们的名字命名的的系统 理论。 在平方积分函数中的基本例子是面积函数m ： 洲垆( 幻圳( u ) 1 2 t - n d y 警) v 2 ， 其中矽是l i t t l e w o o d p a l e y 函数，r ( x ) 是p a r f l 为顶点的( 无限) 锥： r ( x ) = ( 可，t ) r r l ：l 。一y i 0 ，也扛) = ”矽 t ) ，r ( x ) = ( y ，t ) 硭1 ：i z y i 0 ，函 数妒( z ) 满足： ( 1 ) 0 妒( z ) 如= 0 ( 2 ) i 妒( z ) i 0 ( 1 + l x l ) 一( n - i - 1 ) ； ( 3 )l 妒( z + y ) 一砂( z ) l c l u l 5 ( 1 + i x l ) 一( n + 1 + 5 ) 当2 i y i i x l 事实上算子在伊( 叫) 上是有界的，w 4 ，1 p 0 0 ，且对w a 1 ，岛为 弱( l 1 ( 似) ，l 1 ( 叫) ) 有界的。 c a l d e r 6 n 【1 】于1 9 6 5 年研究了一类交换子，它出现于沿l i p f t t t 线的c a u c h y 积分问题 中，并且由c o i f m a n ，r o c h e r b e r g 和w e i s s 3 】证明了奇异积分交换子是汐( 舻) ( 1 p o 。) 有界的。2 0 世纪7 0 年代以来，对交换子的研究十分活跃，并取得了丰硕的成果。1 9 8 2 年， s c h a n i l l 0 1 9 1 研究- j r i e s z 位势与b m d 函数生成的交换子，并由此给出了b m 0 空间的 1 一种刻划；1 9 9 5 年，m p a l u s z y n s k i 1 0 】研究t c a l d e r 7 0 n z y g m u n d 奇异积分算子和r i e 一 8 z 位势与l i p s c h i t z 函数生成的交换子，并给出了b e s o v 空问的刻划；s j a n s o n 1 1 l 根据j o s t t o mb e r g 的思想，利用f e f f e r m a n s t e i n 的s q 印函数来研究交换子；受这种思想的 启发，c p 6 r e z 1 2 卜【1 5 1 研究t c a l d e r o n z y g m u n d 奇异积分算子与b m 0 函数生成的交 换子的l l o g l 弱型估计及其在h a r d y 型空间的有界性；1 9 9 7 年，e h a r b o u s e ，c s e g o v i a 和j l t o r r e a 1 6 j 研究了该交换子的端点有界性。 源于对奇异积分交换子研究的启发，1 9 9 3 年，j a l v e r e z ，r j b a b g y , d s k u r t z 和c 一 p 6 r e z l l7 j 定义了l i t l l e w o o d p a l e y 交换子 跚) = ( “珊1 2 筹) 叫2 ， 其中b 是局部可积函数 砖( 似。，y ) = 仇 一z ) ，( z ) ( 6 ( 可) 一b ( z ) ) d z ， 并证明了当b b m o ( r ) 时，l i t t l e w o o d p a l e y 交换子是l q ( 1 q o o ) 有界的， 弱( 1 ，1 ) 有界的。随着h a r d y 空间和h e r z 型h a r d y 空间理论的发展( 见文献【2 】 1 8 卜( 3 0 】) ， 2 0 0 3 年，刘岚拮，陆善镇，徐景实【3 l 】证明了跳是从上曙( 尼。) 到汐( j p ) 有界的，孵冲( 尼。) 到 p ，( 研) 有界的，其中6 b m o ( r “) ，n ( n + ) 0 。同年，刘岚拮 a 2 l a a 证明了姥y 在_ h a r d y 和 h e r z h a r d y 空i b - j _ t ：的有界性，其中6 b m d ( 毋) ；并证明了砚是l p ( m ) 到霹，( 研) 有界的，其中o 卢 r a i n ( 1 ，) ，1 p p 肪，b 。是齐次的l i 筇曲乱z 空间，霹，o o 为齐 次t r i e b e l l i z o r k i n 空间【3 4 】。同时对l i t t l e w o o d p a l e y 交换子还进行- j s h a r p 估计 及端点估计，对m 阶l i t t l e w o o d p a l e y 交换子进行- - f l ( 1 0 9 l ) 型端点估计及加权的弱 型估计，其中m 阶l i t t l e w o o d p a l e y 交换子定义为 驯，) ( 垆( “冰州1 2 筹) ， 其中 f 茹= c t ( y z ) ，( z ) ( 6 ( z ) 一6 ( z ) ) m d y ，m n 2 0 0 2 年，p e r 6 z 和n u j i l l o - g o n z a l e e 在文献 1 5 1 中引入了一类多线性奇异积分交换子 瓦t 】( 州z ) 土。g ( x y ) ( 幻( z ) 一( 可) ) 舳) 咖， jri=i 其中k 是奇异积分核。受以上思想的启发，在本文中首先引入了多线。陛l i t t l e w o o d p n l e 可交换子 枷加 厶。( 南) 叩咖x 叫2 d 州y d t l 2 2 其中 职门 彬) = 厶嚏渤呐) 卜叫扪厄 作者将对多线。| 生l i t t l e w o o d p a l e y 交换子进行s h a r p 僦j ，加权端点估计，l i p s c h i t i c z 估 计，并对其在l e b e s g u e 空间，h a r d y 空间，h e r z h a r d y 空间及t r i e b e l l i z o r k i n 空 间上的有界性进行证明。 1 2预备知识 在本文中，设t 是c a l d e r s n z y g m u n d 奇异积分算子，定义由函数b 和算子t 生 成的交换子为 【6 ，卅f ( x ) = b ( x ) t f ( x ) 一t ( v ) ) q 表示酽上各边平行于坐标轴的方体。对于局部可积函数，令f q = i q i 一1f qf ( x ) d x 且其s h a r p 函数定义为 ，孝( z ) = s q u 弓p 。- - l 专i ，乞i f ( y ) 一s q i d y 另一等价定义【3 5 】： ，孝( z ) s u pi n f 1 f q i ，( 耖) 一c i 妇 待定义为 铲( z ) = 【( i f l ) 带( z ) 】m 其中0 r o o 。 如果，孝属于l 。( 尼) ，我们称，属于b m d ( 尼。) ，r 定义- i l f l l b 肘o = i i f # l l p 。事实 上，我们有 i i b 一6 2 k q i i m o c k l l b l l b m o 设m 为h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子，即 m ( 似z ) = s u p i q li 厂qi f ( y ) l d y 我们记鸠( ，) = ( m ( 尸) ) m ，其中o p 。 对于任意的正整数m ，1 j m ，我们用叼表示 1 ，m ) 中歹个不同元素构成的 有限子集o r = 【口( 1 ) ，盯( 歹) ) 的族。对于盯四，我们记 盯。= 1 ，m ) o r 对于6 = ( 6 1 ，b m ) ，b m o 并i i a = 盯( 1 ) ，口o ) ) c 罗( 见文献 9 】 1 3 】) ，我们记 b o = ( b a ( 1 ) ，b ( j ) ) ，b = 如( 1 ) 如o ) 3 并记 1 1 砖1 1 b m d = l i k ( 1 ) i l b m d i i b u ) l l b - o 设圣为一个y 伽佗夕函数并记墨为圣的余函数，对于函数，我们将其西一平均记为 忖舻t 正 0 ，l i p s c h i t z 空间记为三锄( r n ) ，称函数，l i 卯( 留) ，若，满足： 眦忆郇= 。桀舄料 当”a 1 时，对任意的方体b 1 ，岛，b 1c 。右h ”i ( b 堕：i 面i b 可l l c 。 4 此外j 义h s l d e r 个等式，j 逆_ h s l d e r 不等式，原子分解定理及原子的性质等将是我 们证明过程中运用的主要工具。 引理1 2 1 ( 1 ) 广义日6 z 如7 不等式：对任意的五( z ) 妒( 尼。) ，1 i m ，有 l f ii , ( 硎如( 舢p 如) 1 p i ( 厶) 其中1 肌 o 。，l 加l + 1 = 1 。 ( 2 ) 逆日况d e r 不等式：如权函数伽a 1 ，则加满足逆日魂d e r 不等式，即存在1 q 0 ，函数矽满足下列条件： ( 1 ) 厶妒( z ) 如= o ； ( 2 ) f 矽0 ) f c ( 1 + i x l ) 一( n + 1 ； ( 3 )l 妒( z + y ) 妒( z ) l c l y l 8 ( 1 + l x l ) 一1 + 引，当2 i 可j 0 。定义 删加陟厶。m i z 硝2 这就是厶e 加d d d p a l e y 算子1 8 】- 设日为如下的日i z 钯庀空间日= h ：i f = ( ff n v - i h ( y ，t ) 1 2 d y d t t 1 ) 1 2 ， 霹( ，) ( z ，y ) 可被看作是r n 到h 的映射，显然 枷= j l ( 南) n t t 2 驯可，j i 5 棚加l i ( 南) 州2 棚删，” 特别地，当6 1 = = 6 m 时，夕：即为m 阶交换子( 见文献【17 】 3 6 】) 我们已经知道此 类交换子在调和分析中具有重要意义，并且已被广泛的研究( 见文献 3 】 1 0 】 1 2 卜 1 5 】 2 7 】 3 1 】 3 2 】( 3 4 】 37 】 3 8 】) 。 下面的引理容易验证 引理1 2 3 如果坩岛，1 p 1 ) 上的有界性和l l o g l 型不等式。 1 1 翟2 1 1 ( k o b 啪g o r o v 瞰1 ) 设o p u 口 其中上确界取遍所有满2 = 0 l e i o o 的可测集e ，那么 i i f l l 印p ，。( ，) 冬( q ( q 一力) 1 p i i 1 1 w l t 引理2 1 2 【1 5 】设巧1 ，其中歹= 1 ，m ，1 r = 1 r l + + 1 ，则有 而1z 叭小制咖( z ) d x 3 + l n ，伽a lk 1 p 3 + l n ，巧1 ，0 s c 。卵l 。( 舻) ，其中歹= 1 ，m ，设l = 1 r i + + 1 。 ( 1 ) 对任意的0 p q 0 使得对任意的，卵( 舻) 及任意 的z 印， c 或c 纠爹c z ，c ( 圳舰c 蛐彤，+ 姜丢坞c 垂呵) ) ( 2 ) 若1 p o o ，w a p ，则 i i g ：( f ) l l l ( 埘) c i i b l i i i f l i l ，( 埘) 7 州觚杪s c 上。圣( 掣卜如 证明： ( 1 ) 我们只须证明对，节形) 和某个常数岛，以下不等式成立：、 ( 高zi 或( f ) ( x ) - - c o l p d x ll l p c ( i | 6 “娩c 呲彤，+ 薹暑鸩c 毋呵小z ) ) 固定方体q = q ( x o ，d ) ，孟q 。我们首先证明当m = 1 时的情形，记，= + 厶，其 中 = f x 2 q ，厂2 = f x r n 2 q 。有 砖，( ，) ( z ，y ) = ( b i ( z ) 一( h i ) z q ) f t ( f ) ( y ) - f t ( ( b l 一( 6 1 ) 2 q ) ) ( y ) 一f t c ( b l 一( b 1 ) 2 q ) f 2 ) ( y ) 于是 1 研6 。1 ( ，) ( z ) 一甄( ( ( b 。) ：q b 1 ) f 2 ) ( x o ) i = 1 | i ( 南) 州2 棚可，( 南) 州2 础也一删可，l i i l l ( 南) 州2 霹l ( f ) ( x , y ) - - ( 南) 州2 砌也一删y ，l l i l ( 南) r i m 2 吼刊劫删可，l i + i l ( 南r i d 2f t ( ( b l - ( b 1 ) 2 q ) f 1 ) ( y ) i i + l l ( 南) 州2 聃邓如q 肭， 一( 南) 叫2 脚邓出洲们l | = a ) + b ( z ) + c ( z ) 对a ( z ) ，取2 使得1 2 + 1 l = 1 ，且满足1 2 q p ，由日6 2 d e r 不等式得 ( 而1 舭圳p 出) l i p = ( 高加圹吼k h 删圳p 如) v p ( 丽c 小圹愀k ) v 似。( 高胁州刮叫如) v c l l b x l o 。c e 卯l ，l 知( 甄( ，) ) ( 孟) c i l 6 l l l o 。印l ， 磊( 甄( 厂) ) ( 孟) 对b ( z ) ，由引理及甄的弱( 1 ，1 ) 型有界性( 引理2 1 3 ) ，可得 ( 厨1 加圳) v p = ( 高加吼刊删刮p 矿 8 c 1 2 q i 1 蝼锚磐业 c 1 2 q i 以i i 甄( ( 6 1 一( b l h q ) f x 2 q ) 1 1 w l * c 1 2 q i _ 1 1 6 1 ( z ) 一( b 1 ) 2 0 l l f ( x ) l d x j 2 q c l l b l 一( 6 1 ) 2 q l l 。x p l r ，2 q i f l i l ( 1 0 9 l ) t r ，2 q c l l b l l l o , c c 卵l ， 屯( z 卵l ) - r ( ，) ) 对c ( z ) ，当口b o 时，口1 2 一b l 2 a - b ) l 2 2 趸m i n k o w s k i s 不等式可得 c ( x ) 厶如l ( 南) 州2 一( 南) 州2 l 1 6 。( z ) 一( 6 1 ) 2 q i i 妒。( 可一z ) l l f ( z ) l d z ) z d 加y + z 。t 1 i v 2 其中 ( t 1 2 l x x o i m i b ( z ) ( b z h d l 砂, ( y - z ) l l f ( z ) l - i - l z 一可沪p + 1 ) 2 c 1 6 l ( z ) 一( h ) ：q i i f ( z ) l l z - x o l l 7 2 j ( 2 q ) 。 ( “南) 咐1 莳斋) 1 2 d z ， 厶( 南) 卅1 南 ”( 南) 咐1 瓣d y + 砉k 咖( 南) 州赤) 妒( ，鼎 + 壹k = lk 邯g + t 面) 咐1 喾等) 9 1 2 d z c州，厶b丽2(k+1)(2n+2)dy) + i z z 1 ) 2 “+ 2 丝 、j 叶+ 厂厶 -。l 劬厂七 c 一 一 “ 一q 西卜)一件 2 n p 罾与 i j m 可 酽妒 i 薹 一z u、_、 者一 万腻归 p + o f 一d厶艺脚 i f 呻 ， 优 c 南 c 一 一 一 3 + 1 加，b m o ( r ) ，其中歹= 1 ，m 。则对任意的1 7 o 使得对任意的，曙( 留) 以及任意的z 彤，有 c 棚乍札m 。，+ 姜丢坼c 棚，) 证明：我们只须证明对厂曙( 舻) 及某个常数g ，以下不等式成立： 南肛( f ) ( x ) - c o l d x _ c i i b l b m o m r + 薹暑嘶呵，) 固定方体q = q ( x o ，d ) i i q 。记，= + 丘，其中 = ，x 2 q ，五= i x 2 q c 。 类似于定理2 2 1 的证明，我们首先考虑当m = l 时的情形，记 砖1 ( 厂) ( z ，y ) = ( b l ( x ) 一( 6 - ) 2 q ) r ( ，) ( y ) - f t ( ( b i 一( 6 ) 2 q ) ) ( ) 一e ( ( 6 t 一( 6 - ) z q ) 厶) ( 秒) = l l l ( 南) 叩胆棚可，( 南) n l _ 1 2 醐- 批， i l ( 南) 叩胆棚沪( 南) n z 2 砌出一- 批，l l l ( 南) n m 2 吼- ( b 1 ) 2 q ) f t ( f ) ( y ) l i + l l ( 南) 州2 脚一c b l ) 2 q ) f 1 ) ( y ) l l + i l ( 南) 伽胆脚邓也洲们 一( 矗岛) n m 2 脚刊z 洲可，| l 1 2 对a 0 ) ，1 r + l ，= 1 ，由日6 z d e r 不等式得 而1z 舴) 如 南z 1 6 1 ( 垆( 6 1 ) z 洲舢) ( z ) i d x c ( 南小刊。订d x ) v ，( 南加似圳r 如) 珈 c ii 口m o 必( 甄( ，) ) ( 孟) 对b ) ，1 p r ，由甄在p ( r n ) 有界性以及日6 z 如r 不等式得 高z 即 ( 面1 厶珊- - ( 6 1 ) 。洲刮p 珈 c ( 南小如m k 抓圳p 刁m g ( 南小圳d x ) v ( 南小二吼k 陟) p 叩v 憎 c l l 6 l i l b m d 尬( ，) ( 牙) 对c ( z ) ，当o b o 时，a l 2 一b x 2 ( o 一6 ) 1 2 以及m i n k o w s l 【i s 不等式，我们得到 c ( x ) 知川( 南) n z 2 一( 南) 叫2 l 1 6 如) _ ( 6 1 k 训化) l d 扩筹 1 2 其中 cl j ( 2 q ) c cl j ( 2 q ) c 儿。( 型坐二兰里幽! ! 盟二幽剑垒! 望二剑丝! j ( t + i z y 1 ) ( 叩+ 1 ) 2 l b x ( z ) 一( b x ) 2 0 l l f ( z ) l l x x o j m ( 厶。( 南) 咐1 ( t + l y 一名1 ) 2 计2 + 砉k 椰( 南) 咐1 研d y ) 1 3 1 2 d z i i 一 一 一 一 一 一 丝 、j 磊 焉 刊 心 严咖 一 y ”州 哪 一y与杀 可厂八 n jjj 厶旺 厂 厂 一 哪( t ，蒜 c t 一” c t 一竹 f cf1 + f c + 缸= 1 ( ，t ) ( t + k = l l k = l l ( j 2 k b 2 k 一1 bit + 2 七一i t 再生z 1 ) 丽+ + i z 一 2 “+ 2 k = l 、n p + l2 ( 南+ 1 ) ( 2 n + 2 ) d ( 2 抖1 t + i y z 1 ) 2 叶2 2 州咐”上b 器 2 一七c n p + l ，2 七c 2 n + 2 ，c 2 t ，”) 2 郴俨咐”) ( t + l z z i ) 2 n + 2 ( t + l z z 1 ) 2 计2 ( t + i z z i ) 2 2 当z q 和z r “2 q 时，i z 一名l l x 0 一z l 。我们有 凶此 c l b lz ) 一( b 1 ) 2 q i i f ( z ) l l x x o i m j ( 2 q ) 。 ( “高) 咐1 晶) 1 2 d 名 c l b l ( z ) 一( 6 - ) z q l l 厂( z ) 忪一x o j ( 2 q ) c c j ( 2 q ) 。咝耸磐 r 。 l z 0 一石l 1 。 c 喜2 叫2 1 2 计1 止七= 1 。v 0 0 c f 2 一七2 ，一 知= l o o i m 1 1 2 ( o 。0 d z d t、1 2 ( t + i z z 1 ) 2 2 ) b l ( z ) 一( b 1 ) 2 q i i f ( z ) l d z ，、1 r i f ( z ) 1 7 d z ) j 2 k + i q f 1 f 2 a q上+ 。q1 6 。( z ) 一( 6 。) 。q i d z ) 1 7 一 c 2 一屉2 帅l | j b m o 尬( a t 州面) 一一 o i1 i l。、，、7 七= 1 c i i b l l i b m o m r ( ，) ( 叠) 1 4 d z 厂厶 一q 1 石一詹 一2 因此 = 三( 一1 ) m 叫( 6 ( z ) 一( 一j r ( b ( 名) 一( 蚴口c c t ( y 一名) 化) 如 j = oa e c 于 = ( b l ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 。( z ) 一( b m ) 2 q ) f t ( ，) ( 可) + ( 一1 ) m f t ( ( 6 1 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 仇一( b m ) 2 q ) f ) ( y ) +三(。)一嘶)_(6)。也厶(比)-(6)：也州萝叫)北)出j=la e c ， 。n ” = ( b 1 ( x ) 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m ( z ) 一( b m ) 2 q ) e ( ，) ( y ) + ( 一1 ) m f t ( ( b l 一( b 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( b m ) 2 口) ，) ( 可) j ( 6 ( z ) 一( 6 ) 2 q ) ，只p 。( ，) ( z ，y ) 一k ) ) 厶) ( z o ) i 一( 南) 胆础c b l ) 2 0 - b 1 ) - - - c c 址一删y ，l i l l ( 南) 廖吼一 蓦剖( 南) 州2 l l ( 南) 叫2 脚一 0 ( 南) n m 2 晟c 娶m c 幻一( 幻) 旧) 止) ( 秒) 一( 矗岛) n p l 2 尻c 旦mc 州蚴删l l = 0 ) + j 1 2 0 ) + 厶 ) + j 1 4 0 ) x f f l l ( x ) ，1 p a + + 1 + l = 1 ，其中l 乃 0 0 ，j = 1 ，m ，i 扫h s l d e r s 不等 式我们得到 i q li 乞1 ( 蛐 一i q li 乞1 6 1 ( 圹( 6 1 ) z q i i i b m ( 旷( 6 m ) 2 洲蚶) ) l d x ( 南加旷帆计) i p 1 ( 南小柏k ) 1 5 叼 一芦 0 ，k k y ) z h k u硷巧 1 ， 慨w 又、一、 甄 一引 一 | i d 亡一k x 一 似 f _ 或k 一 一 十 + + ( 南加州刮如) v c i1 6 li b 吖d 尬( 乳( ，) ) ( 孟) 羽1 2 ( x ) ， m i n k o w s k i s 个寺氏皮引埋2 1 2 日j 得 高z ，如 蔷三南小( 圹( 6 ) 2 如啪州圳出 c 萎。( 南厶晒c z ，一( 也i r ，出) 沙7 ( 南石i 磅v ，c 圹如) v r c m - i 嘲h 。尬( 咖c ( 纠( 孟) j = 1 口c 尹 对厶，取1 p r ，1 劬 。o ，j = l ，m1 1 + + 1 加+ p r = 1 ，由钆 在汐( 尼。) 上的有界性以及h 6 1 d e r s 不等式可得 丽1z 酢) 如 ( 而1 厶姒( 6 1 _ ( 6 1 ) 2 q ) ( 6 m 一( k ) 。q ) 似圳p d x ) 叫p c ( 南厶| ( 6 - ( z ) 一( 6 ) 2 q ) ( h ( z ) 一( 6 m ) z q ) h ( z ) l p 如) v p c ( 南加刮7 d x ) v r ( 南厶| 6 1 ( z ) 一( 6 1 ) z 扩1 d x ) 1 p p l ( 高厶| 6 m ( z ) - ( k p 如) v 胁 对4 ，荚似十当m = l i e c ) 的证明，我们有 厶( z ) c i x o x 1 2 i x o z l - ( n + 1 2 ii i ( 6 x z ) 一( ) ：q ) l l f ( z ) l d z ， j ( 2 q ) 。 i 一1 取l 殇 3 + i n ，幻b m d ( 舻) ，其中歹= 1 ，m 。则亚是妒) 有 界的，其中加a 1 ，l p o 。 证明 在定理2 2 2 中选取适当的1 7 p ，由引理2 1 3 ，我们将得到定n 2 2 3 的 结论。 定理2 2 3 证毕。口 1 7 第三章多线性l i t t l e w o o d p a l e y 交换子 在h a r d y 空1 1 s - $ f lh e r z h a r d y 空间上的有界性 3 1 符号2 乏h a r d y 空间，h e r z h a r d y 空间的性质 设b b m o ( i p ) ，t 为c a l d e r s n z y g m u n d 算子，对于交换子【6 ，刁，c o i f m a n ， r o c h b e r g 和w e i s s 3 1 曾证明了一个很经典的结论，即 6 ，卅在扩( 舻) ( 1 p o o ) 上是有 界的。但是，后来发现 6 ，刁并不是从日p ( j p ) 到口( j p ) 有界的。然而，如果用一些适当的 原子空间娣( 尼。) 和日霹芋( 尼) 来代替上f p ( 舻) 的话，则交换子陋，卅将珲( j 扩) 连续地映 到p ( r ”) ，将肌宅罗( 彤) 连续地映到砑巾我们已知碍( 舻) c 俨( 毋) ，日贬孑( 舻) c 日秘p ( r n ) 。本章的主要目的就是确定由l i t t l e w o o d p a l e y 算子和b m o ( 舒) 上的函 数所生成的多线性交换子在h a r d y 空间和h e r z h a r d y 空间上的有界性。首先，我们 将引进一些定义( 见文献 2 2 】 2 3 】【2 6 】【3 2 】 3 9 】【4 0 】) 。 定义3 1 - 1 设玩( i = l ，仇) 是局部可积的函数，0 p 1 。彤上的有界可测 函数。称为( 珐云) 原子，若满足如下条件： ( 1 ) s u p p acb = b ( x o ，r ) ； ( 2 ) 叫l p i b ( x o ，r ) i _ 1 加； ( 3 ) 厶a ( y ) d y = 厶a ( v ) n 胁b z ( y ) d y = 0f o ra n y 盯哆，1 j m ； 称缓增分布，( 见文献 4 0 】【3 5 】) 属于珲( 尼。) ，若在分布意义下，能表示为： 其中嘭s 为0 ，西原子，c ，暑。i ：g p 0 0 ，且i i 川( 器，l i p ) 1 p 。 定义3 1 2设o p ，q ，q r 。对于七z ，我q i g b k = z 舻：l x l 2 k ) ， 瓯= 鼠玩一1 ，且敝= x 仇，其中x 仉为g 的特征函数。记玩的特征函数为x o 。 ( 1 ) 齐次型h e r z 空间定义为： 砖，p ( 形) = ，l ( 彤 o ) ) ：l l f l l k ；“) ， 其中 i i i b ；一i 2 咖慨池- i l i p 厂 u = - - - - 0 0- j ( 2 ) 非齐次型h e r z 空间定义为： 碍护( 形) = ，己( 舻) ：i l f l l k ；， 0 0 ) ， 1 8 z 芦 i l z ， 其中 r 11 p | i ，l l 砰一l 2 妇p 慨此+ 慨此i l 七= 1j 定义3 1 3设n 印，1 q 0 0 ，o l n ( 1 1 g ) ，6 i b m o ( r ”) ，1 i m 。 函数n 称为中心( q ，q ，西原子( 或限制型中心( 口，q ，两原子) ，若。满足： ( 1 ) s u p p acb = s ( x o ，r ) ( 或对某个r 1 ) ； ( 2 ) l l a l l n 。sl s ( x o ，r ) l a 加； ( 3 )厶a ( x ) x 卢d x = 厶a ( x ) x 卢n l 印b i ( x ) d x = o 对任意的盯c 罗，1 歹