（基础数学专业论文）几类差分方程的动力学性质.pdf

几类差分方程的动力学性质 摘要 在本文，我们研究了几类差分方程的全局稳定性、周期性、有界性等动力 学性质，解决了几个公开问题并推广了已有的一些结论。全文共分为五章。 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景。 在第二章，我们介绍了有关差分方程的一些基本概念和已有的结果。 在第三章，我们研究了差分方程 z n + l = p n + 兰旦二塑，礼= 0 ，1 ， “邓科嵩一刮，l ， 的动力学性质，其中 o 是七周期序列，s 1 ，2 】_ ，初始条件z 墙+ 1 z 墙+ 2 ， z o ( o ，+ ) ，得到了下面的结论： ( 1 ) 如果9 c d ( 3 s ，七) = l ，则方程的每一个正解都是有界的； ( 2 ) 如果s = 1 ，七= 2 且p 1 p 0 1 ，则方程的唯一基本二周期解是全局渐近稳 定的。 在第四章，我们研究了差分方程 z 州= 瓦熹，n = o 1 ， 的动力学性质，其中玩 o 是有界序列，初始条件z “跏( o ，+ ) ，得到了下面 的结论： ( 1 ) 如果玩是p 周期序列，且p 3 s ( s ) ，兀哿鼠 1 ，则方程的每一个正解 都是有界的； ( 2 ) 如果风是递增的有界序列，则方程的每一个正解是有界的； ( 3 ) 如果岛是二周期序列，则方程的唯一基本二周期解是全局渐近稳定的。 在第五章，我们研究了差分方程 坼1 ：墅掣，n ：o ，1 ， z n + 12 石i _ n 刮，1 的有界性，其中阮 o 是二周期序列且伪 oi 8a p e r i o d 一后s e q u e n c e ，8 p o 1 ，t h e nt h eu n i q u ep r i m ep e r i o d 一2s o l u t i o no ft h i s e q u a t i o ni sg l o b a u ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i nc h a p t e rf b u r ，伦s t u d yt h ed y n a m i c so ft h ed i f f 色r e n c ee q u a t i o n z n + 1 = i r _ = - ，扎= o ，1 ， z 州2 瓦i 万= 扎2 u ，l ， w h e r ej 死 0i sab o u n d e ds e q u e n c ea n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o i l sz l ，z o ( 0 ，+ o o ) ，a n do b t a i n t h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 1 ) i f i sap e r i o d ps e q u e n c e ，p 3 s ( s ) a n d 兀譬鼠 1 ，t h e ne v e r yp o s i t i v e s o l u t i o no ft h a te q u a t i o ni sb o u n d e d ( 2 ) i f 鼠i sa ni n c r e a s i n gs e q u e n c e ，t h e ne v e r yp o s i t i v es o l u t i o no ft h a te q u a t i o ni 8 b o u n d e d ( 3 ) i fj i 8ap e r i o d 一2s e q u e n c e ，t h e nt h eu n i q u ep r i m ep e r i o d 一2s o l u t i o no ft h a te q u a t i o n i sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a u ys t a b l e i nc h a p t e rf i v e ，w es t u d yt h eb o u n d e d n e s so ft h ed i f f 色r e n c ee q u a t i o n = 紫，礼- 0 l z n + 1 = 丁_ = _ ，礼= u ，上， w h e r e 风 oi sap e r i o d 一2s e q u e n c ew i t h 阮 0i sas e q u e n c ew i t hp e r i o dp c o n 8 i d e rt h e f 0 1 1 0 衍n gd i 髓r e n c ee q u a t i o n z n + l2上z n + z n l，n = 0 ，1 ( 1 1 ) ( a ) o b t a i nn e c e s s a r ya 1 1 ds u f f i c i e i l tc o i l d i t i o 瑚o nps u c ht h a te v e 呵p o s i t i v es o l u t i o no f e q ( 1 1 ) i sb o u n d e d ( b ) o b t a i nn e c e s s a r y a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n so npa n d 上站，b 1 ，屏一1s u c h t h a t e q ( 1 1 ) h a sp o s i t i v el l i l b o u n d e ds o l u t i o 璐i ns o m er e g i o no ft h ep a r a m e t e r sa n d8 0 m ei n i t i a i c o n d i t i o n s o p e np r o b l e m5 ：a s s u m et h a tb n 0i sap e r i o d 一2s e q u e n c e d e t e r m i n eg l o b a l a s y m p t o t i ce h a r a c t e ra n dt h ep e r i o d i c i t yo fs o l u t i o n so fe q ( 1 1 ) 0 p e np r o b l e m6 ：a s s u m et h a tp hi sas e q u e n c ew i t hp e r i o d 尼w i t hn o n n e g a t i v ev a l u e s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd i f f e r e n c ee ( 1 u a t i o i l z 州：+ 譬，礼：o ，1 ， z ” ( 1 2 ) ( a ) 0 b t a i nn c c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o l l so n 忌s u c ht h a te v e 巧p o s i t i v es o l u t i o no f e q ( 1 2 ) i sb o u n d e d ( b ) 0 b t a j nn e c e s s a r ya n d s u 伍c i e n tc o n d i t i o l l s 伽七a n d 伽，p 1 ，肌一1s u c ht h a te q ( 1 2 ) 2 广西大学硕士学位论文 一 ： 一 生叁茎坌查堡竺塑塑! 塑 一一一 h a sd o s i t i v eu n b o u n d e ds o l u t i o n si ns o m er e g i o no ft h ep a r a m e t e r sa n d s o m ei n i t i a lc o n d i t i o n s o d e np r o b l e m7 ： a s s u m et h a tp 竹i sas e q u e n c ew i t hp e r i o d2w i t hp o s i t i v ev a l u e s d e t e r m i n eg l o b a la s y m p t o t i cc h a r a c t e ra n dt h ep e r i o d i co fs o l u t i o n so fe q ( 1 2 ) o d e np r o b l e m8 ：a s s u m et h a t 风i sas e q u e n c ew i t hp e r i o d 尼w i t hn o n n e g a t i v ev 址u e s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gd i 丘_ ；e r e n c ee ( 1 u a t i o n 撕1 ：塑掣，n ：o ，1 ( 1 3 ) z n + 12 _ = 虿_ = f 7 。2u 工 o 上。7 ( a ) o b t a i nn e c e s s a r ya n ds u 币c i e n tc o n d i t i o n so n 七s u c ht h a te v e r yp o s i t i v es o l u t i o no f e q ( 1 3 ) i 8b o u n d e d ( b ) 0 b t a i nn e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t ：i o n so n 南a n d 舶，p 1 ，阢一1s u c ht h a te q ( 1 3 ) h a sd o s i t i v eu n b o u n d e ds 0 1 u t i o n si ns o m er e g i o no ft h ep a r a m e t e r sa n ds o m ei n i t i a lc o n d i t i o n s h i 曲e r - o r d e rn o n l i n e a rd i 能r e n c ee q u a t i o 工1 sa r eo fp a r a m o u l l ti m p o r t a n c ei n 印p l i c a t i o 璐 w h e r et h e ( n + 1 ) t hg e n e r a t i o no ft h es y s t e md e p e n d 8o nt h ep r e v i o u 8k g e n e r a t i o n s f b rs o m e r e c e n tr e s u l t sa b o u th i g h e r o r d e rn o n l i n e a rd i 任b r e n c ee q u a t i o n 8c o n c e r n i n gs e e 【1 6 2 0 】 w bb e l i e v et h a tt h er e s u l t sw h i c hw i l lb ep r e s e n ta r eo fp a r a m o u n ti m p o r t a n c ei nt h e l r o w nr i g h ta n df u r t h e 姗o r ew eb e l i e v et h a tt h c s cr e s u l t so 胁p r o t o t y p e s t o w a r d st h ed e v e l o p m e n to ft h eb a s i ct h e o 巧o ft h eg l o b a lb e h a v i o ro fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rd i 船r e n c ee q u a t i o n s o fo r d e rp ，e a t e rt h a no n e t h et e c h n i q u e sa n dr e 8 u l t sw h i c hw ，ed e v e l o pi nt h i sp a p e rt o u n d e r s t a n dt h ed y n a m i c so ft h et h r e ec l a s s e so fd i 乳r e n c ee q u a t i o n sa r ea l s oe x t r e m e l yu 瓣 f u li na n a l y z i n gt h ee q u a t i o n si nt h em a t h e m a t i c a lm o d e l so fv a r i o u sb i o l o g i c a l8 y s t e i 玎sa n d o t h e ra p p l i c a t i o i l s 3 广西大学硕士学位论文 几类差分方程的动力学性质 2 p r e l i m i n a u r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w er e v i e wt h eb a s i cn o t i o i l sa n dr e s u l t so ft h ed i 舶r e n c ee q u a t i o n sw h i c h w i l lb eu s e di nt h i st h e s i s t h r o u g h o u tt h i st h e s i s ，za n dn d e n o t et h es e to fi n t e g e r sa n dt h es e to fp o s i t i v ei n t e g e r s r e s p e c t i v e l y l e t ，：j + 1 哼jb eac o n t i n u o u sf h n c t i o n ，w h e r e 七i san o n n e g a t i v ei n t e g e ra n d 了i s a ni n t e r v a lo fr e a ln u m b e r s c o n s i d e rt h ed i h i e r e n c ee q u a t i o n 可n + 1 = ，( ，咖一1 ，鼽一七) ，n = 0 ，l ， w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n s 可一，秒一南+ l ，3 o z ( 2 1 ) i ti sc l e a rt h a ti fy 一| | c ，秒一七十l ，踟zw em a yg e n e r a t et h ee n t i r es o l u t i o ns e q u e n c e 蜘，几1 ，i e ) 是一七i s as o l u t i o no fe 口( 2 1 ) a s 尼+ li n i t i a lv a l u e sa r er e q u i r e dt o d e t e r m i n eas o l u t i o nt oe g ( 2 1 ) ，、es a yt h a ti th a sd e g r e e 七+ 1 d e f i n i t i o n2 1 7 巩e 仡可i o fs d f u 扰d 礼吖e q ( 2 1 ) ，o 如d 概d 叫扎n s 沈ee 口u 沈功i 札mp o 优 n n dd e 竹d e d6 可雪，i s es o 阮玩d 佗加r 砒i c g 。= 雪如r 口f 2n 一尼 c 1 e a r l y ，t h ev a l u eo f 影i st h er o o to ft h ef o l l o w i n ge q u a t i o n ，( 雪，雪，雪) = 雪 d e l i n i t i o n2 2 肛j ，俐as d z 饥i d 礼 h 】i 甚一七o ，e g ( 2 1 ) 拈s 疵d d6 ep e 疵。击c 伽 沈p e n d dp 矿+ p = 加rn f f 佗一七 ，砂as d f t 正“d n ! h ) ：兰一南o ，e g ( 2 1 ) i ss o d t d6 ep e 死d d i c 叫乱 p n ”z ep e 死d dp ，d ro p c 秽c f e 矿i i sp e 死o d i ct ，甜 p e 而o dpn 礼dp 妇琉ef e n s tp d s i i u ei 礼叼e rs c 庇 口s ，n + p = 3 ， d f 如如rn f fn 一七 d e f i n i t i o n2 3 肛j ，as d 阮i o 礼 n 墨一七d ，e g ( 2 1 ) 拈s o 诅d6 e6 0 u n d e do 佗dp e r s z s 亡s 矿 纨e 他e z 话p d 觚既 ec d 佗s n 仃t spo n dqs “c 危纨口p 可礼q ，d r 口“n 一七 w bn o wi m p o s et h ef u r t h e rr e s t r i c t i o nt h a tt h ef u n c t i o n ，( 让o ，札1 ，) b ec o n t i n u o u s l y d i 髓r e l l t i a b l e t h ef i 礼e n r z z e de q u n i o 竹o fe q ( 2 1 ) a b o u tt h ee q u i l i b r i 啪p o i n t 雪i st h el i n e a rd i f f e r e n c e e q u a t i o n 磊+ 1 = o o 磊+ 0 1 磊一l + + o 知磊一七，死= 0 ，1 ，( 2 2 ) w h e r ef o re a c hi = 0 ，l ，忌， 。；：婺( 姗埘 。产瓦【可，可， 4 t h ec 九0 7 n c e r i s z ce q u o i d 佗o fe q ( 2 2 ) i st h ee q u a t i o n a 七十1 一o o 入七一0 1 入七一1 一一。七一1 a o 惫= 0 d e f i n i t i o n2 4 肛l e 雪6 eo 礼e g 钍沈6 而让mp d i n d ，e g ( 2 1 ) ( 2 3 ) 俐雪i sc o f f e df d c n f f 秒s n 6 f e ，矿弘re 可e 聊 o ，纳e 他e 疵s 幻6 os 钍c 危 n 矿 一南，可一七十1 ，可一1 ，珈j o 礼d o 一可l 6 ， = 一克 危e 礼 ( b ) 露 s 钆c 危九n 芒 e 礼 一可i 0 矿可一彪，可一七+ 1 ，可一1 ，o jo 礼d o i 玑一可i 7 ， t = 一k l i m = 哥 n r 雪i sc 0 2 2 e do9 f d 6 0 fn 芒亡r n c 亡d r ，勺6 re u e ，w 可一k ，可一知+ l ，秒一l ，耖o z 伽e 危n 可e l i m = 雪 n o 。 f 矽雪t sc o l j e d9 2 d 6 0 f 2 可口s 可7 7 理，t d t t c o f f 秒s 0 6 f e 乏厂i ti sf d c o f 勿s 口6 f en 咒d 口9 f d 6 0 fn t 7 0 c d r 托j 雪i sc o f “癌危2 伊e r b d f z c 乏厂扎d7 d d t 吖e g ( 2 3 ) 危o sm d d 乱比se 口牡o f d o n e d z 危e ，t 历s ei i sc o f f e dn d n 一九! p e r 6 d f i c 例哥i sc 口l 把d 乱n s n 6 f e 矿i i s 几d s 口6 z e 向- 雪i sc n f 艮癌ns o d d f e e q ( 2 3 ) 舭口6 s d f 乱eu n 2 u e 夕7 o e r 尼n 佗。他e j 砌礼矿z z 拈危z p e 而d 屁c ，n 佗di 礼 把s s 7 l 口佗d 礼e 口佗do 佗d 九e rr d o t o d 出统d n ，琥e 化e 痢s 幻nr o o d ， e q ( 2 3 ) 埘冼0 6 s d f 钍z e 口口f 让e t h ef o l l o w i n gr e s u l ti 8u s e f u l i nd e t e r m i n i n gt h el o c a ls t a b i l i t yc h a r a u c t e ro ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t 雪o fe q ( 2 1 ) t h e o r e m2 1 口口h el l n e a r i z e ds t a b i l i t yt h e o r e m ) 以) 玎e 口e 聊r o d t e 口( 2 3 ) n s0 6 s d f 札e 口口f 札e 把s s 搋。扎d 扎e ，玩e 佗饶ee g 让沈6 庀钍mp d 锄 雪o ，e q ( 2 1 ) i sf d c o z 勿o s 可竹印d i c 0 2 f s z 0 6 f e 5 广西大学硕士学位论文 几类差分方程的动力学性质 俐可o f e n s d n e 盯冼er o o t s 吖e g ( 2 3 ) 九o s0 6 s d f 乱把口口f 仳e9 r e n e r 饶。死d 礼e ，统e 礼现e e g 让沈6 疵札mp d 讥雪o ，e 口( 2 1 ) i s 钍竹s n 6 2 e e s p e c i a l l y ，i fe q ( 2 1 ) i sas e c o n do r d e rd i f f 色r e n c ee q u a t i o n ，t h e ne q ( 2 1 ) r e d u c e st o 可。+ l = ，( ，玑一1 ) ，n = o ，1 ， w i t hi n i t i a lc o n d i t i o n s 秒一l ，加z ( 2 4 ) t h e nt h ef o l l o w i n gr e s u l ti 8u s e f u l i nd e t e r m i n i n gt h el o c a ls t a b i l i t yc h a r a u c t e ro ft h e e q u i l i b r i 眦p o i n t 雪o fe 口( 2 4 ) t h e o r e m2 2 肛j f ，l i n e 口死z e ds 口6 i 托 俐巧6 d 饶m d 如盯饶ec 危o m c e 死s 坑ce g u o 坑d n e g 俾 入2 一n o 入一0 1 = 0( 2 5 ) 托ei 扎 ed p e 死u 咒乱d i s 后i 入i 1 ，饶e 竹琥ee q u i 如6 死u m 可o l ，e g 俾彳，z sf d c 口f f yo s y 7 r 甲d 坑c o f f 可 s 0 6 f e 俐可口2 s td n e 吖琥er d d t s 吖点俾矽危n s0 6 s d f 牡eu n f u e 夕他n e r 冼n 仃o n e ，沈e 竹玩e e g 乱i 托6 疵仳m 可o ，e g 俾诂u 竹s z 0 6 f e ， 托) a 礼e c e s s 8 阿n 礼ds 锄气c 沈几zc o 佗d 讹d n 如r6 0 统m d sd ，肋俾砂df e 饥沈ed p e 扎佗乱 出幽 1 ，诂 i n o i 1 1 一o l i 例a 礼e c e s s 口硝口佗ds 强历c 诒优c d 竹出面扎加ro 彻d 盯功俾砂d 耽口en 6 s d 乜匏 o 阮e e g 钍口z dd 他e 拈 1 0 0 i = 1 1 一n 1 1 n l = 一1o 咒dl o o i 2 t h ef o l l o w i n gr e s u l ta b o u t 凡l fl i m 纸唧g 乱e 仃c ei sd u et o m 后d s n s 6 广西大学硕士学位论文 几类差分方程的动力学性质 t h e 。r e m2 3 川l e z n ) 罂一向6 e 。s 。2 钍抚。礼吖e g ( 2 1 ) j = 1 罂爱fz n ，s = 1 i 罢2 pz n n 扎d5 聊d s e 琥o j ，s zl e l6 eof i ，n i p d i 佗d ，t 危es e g 乱e 死c e z 。) 甚一七j 魄e 扎危e 如f f d 叫i 扎夕s o e m e n so r e 他e ： 以) 了现e 化e 威s s os d f u 抚。佗 l 。) 罂一。d ，e q ( 2 1 ) ，c 口f f 甜。九f f 如m 捌礼gs e g u e 咒c e 盯 z n ) 罂一七，s 札c 沈口= l ，肌ds 乱c 九饶口如re u e 珂z ，l i so2 i m 乱即轨盯 z n ) 黯一七 mp o n i c u f o - j r l s ，d rn f f z 俐f 0 l re u e 阿z o z ，冼e 化拈sns u 6 s e g | l 上e n c e z ，t 】罂od ， z n ) 器一南s u c 沈口l = j i m + 加re 可e 聊z o i o 。 t h e o r e m2 4 厂吖c l a r k st h e o r e m ， a s s 钍，n e 尼o 七 i o i i oi sap e r i o d 一南s e q u e n c ea n ds 1 ，2 ，】w i t hg c d ( 3 s ，忌) = 1 ，a n dt h e i n i t i a l c o n d i t i o n sz 一3 8 + l ，z o ( o ，+ o 。) w bw i ui n v e s t i g a t et h eb o u n d e d n e s sa n dt h eg l o b a l s t a b i l i t yo fe q ( 3 1 ) i n 5 1 ，r d e v a u l te ta 1 i n v e s t i g a t e dt h ed y n a m i c so ft h e d i f i ! ：e r e n c ee q u a t i o n z 川：p + 坠，扎= 0 ，1 ， ( 3 2 ) z n + l = p 十_ ， 7 0 = u ，j ， u 。一， w h e r et h ei n i t i a lv a l u e sz 一，z o 兄+ = ( 0 ，+ 。) a n dp o ，a n dp r o p o s e d a no p e n p r o b l e m ：s h o wt h a te v e r yp o s i t i v es o l u t i o no fe q ( 3 2 ) i sb o u n d e df o r 尼= 2 i nf 6 1 ，e c a m o u z i ss h o w e dt h a te v e r yp o s i t i v e8 0 l u t i o no ft h ed i 乱r e n c ee q u a t i ( m 晰1 = 型拿尝，礼：o ，1 ， “5 1 了f 一k ( 3 3 ) i sb o u n d e d ，w h e r et h ei n i t i a l 砌u e sz 一2 ，z 一1 ，z o r + ，p o ，a n dq ，p ，a 【o ，+ ) w i t h a + p 0 眦d 卢+ a 0 ，w h i c h a n s w e r e dt h ea b o v eo p e np r o b l e m f o ro t h e rr e s u l t 8o nt h e b o u i l d e d n e s so fs o l u t i o 璐o fd i 骶r e i l c ee q u a t i o i l ss e c 【1 3 ，2 0 1 b yg e n e r a l i z i n gt h ea b o v er e s u l t s ，i nt h i sc h a p t e r ，、7 l ，es t u d y t h eb o u n d e d n e s sc h a r a c t e r o fs o l u t i o n so fe q ( 3 1 ) ，a n do b t a i nt h ef o u o w i n gr e s u l t s ： ( 1 )e v e r yp o s i t i v es o l u t i o n0 fe q ( 3 1 ) i sb o u n d e d ( 2 ) w h e ns = 1 ，七= 2 ，t h eu n i q u ep r i m ep e r i 。d 2 s 。l u t i 。n 。fe q ( 3 1 ) i s 舀o b a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e 3 1b o u n d e d n e s so fe q ( 3 1 ) i nt h i ss e c t i o n ，o u rm a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e m3 1 互泐e 阿p d s 捌钞es d f 乱挽d n 巧e g p t sb d 帆d e d t os h o wt h e o r e m3 1 ，w en e e dt h ef o l l o w i n g1 e m m a s ： l e m m a3 1 l e tg c d ( 3 s ，克) = 1 吼e 住n 譬m 一( 3 l + ，) 。= 如r 彻倒o r 2n 佗do 佗可 p d s i 抚秽ei 礼t e 9 e rn ( 3 一3 + j r ) s ，叫h e 化n 譬轨= u p r o o f l e tt 上， o ，1 ，2 ，七一1 ) w i t h “ z 老， 0 ra n 尼s 佗f ，i = 0 ，1 ，2 ， n o m ( 3 5 ) i tf o u o w st h a tf 6 ra r l y 歹o ， l l i n z n i 一3 s u + 1 ) + 1 = o o ， 他t + 一 ( 3 6 ) ( 3 7 ) w ec l a i mt h a tz 啦一( 却+ 1 ) s + li sb o u n d e df o ra n y 歹20 i n d e e d ，i fz n t 一( 却+ 1 ) 3 + 1i su n b o u n 【e df o rs o m e j i o l e t j ；= 尼2 + rf o rs o m e 7 o ，1 ，南一1 ) a n ds o m ef o ，1 ，) ， t h e nz n t 一( 髟+ 1 ) 8 + 1 2 点哮a n dz n t 一3 。o + 1 ) + 1 2 a ：f o rs o m e 佗t b y ( 3 5 ) r eh a v e z n 汁l a ：+ b ：墨堡兰堕业 山n 一( 髟+ 1 扣+ 1 a ：+ 半 m a x 望每塞葛鬻竽，2 群+ 。) f b rs 。m e 嘞 s ( 旬+ 4 ) t h u s z n l + 1 a ：+ 1 + 白i 三+ w h i c ha l s oc o n t r a d i c t s ( 3 7 ) z n t 一3 s ( 歹+ 2 ) + 1 1 瓦丽 群+ 1 + 黑m 帅+ - = 群+ t + 坠孚崆 c m t h e nf o ra n y 啦( 4 + 3 忌q ) s + sw eh a v e z n t 一4 s + 15p n i 一4 8 + 2 互h t 一4 s + = p k 一4 8 + z ”i 一7 8 + 1 z n t 一5 s + 1 1 z n t 一5 s + 1 算记一7 s n ；一7 。+ + z n t 一1 0 卧l z 7 l t 一8 3 + l z n 一1 0 s + 1 z n t 一5 s + 1z n t 一5 占+ 1 z n i 一8 s + l 狐山+ 姜若蔫 m ( 1 + j = 1兀篷1z 咿( 2 懈) 州 f y o mw h i c hi tf o l l o w s 唑翼础+ 。m ( 1 + 吉“+ 击) c n t vv 。 w h i c hc o n t r a d i c t s ( 3 8 ) t h i si m p l i e st h a t 。n ) 罂一3 s + li sb o u n d e d 3 2g l o b a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d - 2s o l u t i o no fz n + 1 = p n + ! 等 w h e ns = 1 ，庇= 2 ，e q ( 3 1 ) r e d u c e dt ot h et h ef o u o w i n ge q u a t i o n ： z n + 1 = p n + 丝 佗= 0 ，l ， 厶，1 w h e r e p n ) 器oi sap o s i t i v ep e r i o d 一2s e q u e n e e ，加i f 佗i 8e v e n 2 1p 1 i fni so d d w i t h 矶 p 1 可n = 一p o + z 2 n la n dz n = 一p 1 + z 2 n z 2 n 一4，z 2 n 一3 鼽2 磊觚d 2 石 z 2 棚p 1 + ；= z 2 n 一5 鼽1 _ i2 萨 z 2 n 一1 z 2 肋+ 夏= z 2 n 一4 锄+ 1 。i2 丽 z 2 计1 册+ 兰兰二三 z 2 n + 1 = + 12 伽+ 霉 锄一1 十p 1 p o 十 一1 + p 1 p 1 ( 一1 + p o ) + ( 鲰一2 + 伽) + 伽 + p 1 p l ( + 舶) + ( 一1 + p o ) 一1 + 册 如( 一1 + p 1 ) + ( 锄一2 + p 1 ) + p 1 册( + p 1 ) + ( 一1 + p 1 ) 一l + p 1 0a n d 0f o r 佗1 礼= 0 ，1 扎= 0 ，1 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) w ek n o w 雪= 1i st h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n to fe q ( 3 1 0 ) ，a n d 牙= li st h e u n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n to fe q ( 3 1 1 ) t h el i n e a r i z e de q u a t i o no fe q ( 3 1 0 ) a b o u t t h ep o s i t i v cc q l l i l i b r i u mp o i n t 雪= 1i s “+ 12o + 1 ) p 1 + 1 ) 2 一1 + t h e nt h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o no fa b o v el i n e a r i z e de q u a t i o n n 面南n 面志 b ya p p l y i n gt h e o r e m2 1 a n d2 4 ，w es e et h a t 雪 8 t a b l ew h e n 舶1 1 瓦干顶丽 i s i n8 i m i l a r h i o ni tf o l l o w st h a tt h ep 0 8 i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t 乏= 1o fe q ( 3 1 1 ) i 8l o c a l l y a u s y m p t o t