（基础数学专业论文）广义椭圆积分与ramanujan模方程解的性质.pdf

学位论文 有关部门或机 大学可以将本 或扫描等复制 本学位论文属 学位论文作者 日期：o f d 浙江理- 丁大学硕士学位论文 摘要 众所周知，g a u s s 超几何函数f ( n ，6 ；c ；z ) 、完全椭圆积分瓦( r ) 和( 7 ) 、广义椭 圆积分瓦。( r ) 和& ( 7 ) 、广义h e r s c h - p f l u g e r 偏差函数妒k ( o ，r ) 以及与其相关的一些 其它的特殊函数在数论、拟共形理论、几何学等许多数学领域以及其它学科 中都有着广泛而重要的作用。而广义椭圆积分作为最重要的特殊函数之一，一 方面它是超几何函数的重要特例。另一方面，广义椭圆积分又是完全椭圆积分 的推广。广义椭圆积分还与出现在广义模方程中的广义g r 6 t z s c h 环函数( r ) 、 广义h 讧b n e r 上界函数m 。( r ) 、广义h e r s c h - p f l u g e r 偏差函数妒x ( n ，r ) 、a g a r d 偏差函 数似a ，亡) 和线性偏差函数a ( n ，k ) 有着密切的联系。事实上，我们可以通过 研究广义椭圆积分的性质来获得肛口( r ) 、m n ( 7 ) 、9 9 k ( a ，7 ) 、船( 口，) 和入( 口，k ) 的性 质。尤其是函数ka ，7 ) 的用初等函数给出的界经常依赖于由j | | c 口( r ) 定义的函 数地( r ) 、m 口( r ) 与某些初等函数组合的分析性质。因此，深入研究广义椭圆积分 的性质及其应用具有重要意义。 本文一方面通过深入研究广义椭圆积分k ( r ) 和( r ) 与某些初等函数的组合 的性质，把完全椭圆积分j i c ( r ) 和( r ) 所具有的某些重要性质推广到j i c 口( 7 ) 和& ( r ) ， 揭示了广义椭圆积分k ( r ) 和& ( r ) 的一些新的分析性质，并得到了一些函数不 等式。同时，改进了完全椭圆积分j | i c ( r ) 和e ( r ) 由初等函数给出的界。另一方 面，通过研究函数p 口( r ) 和m ，a ( r ) 等与某些初等函数的组合的单调性和凹凸性等性 质，获得了一些函数不等式，进而改进了广义h e r s c h - p f l u g e r 偏差函数垆ka ，r ) 的 上下界，推广- h e r s c h - p f l u g e r 偏差函数妒k ( 7 ) 的性质，加强了显式广义拟共 形s c h w a r z 三jl 理和广义r a m a n u j a n 模方程解的估计。 本文共分四章： 在第一章中，主要介绍了本文的研究背景，并引入本文所涉及的一些概念、 记号和已有结果。 在第二章中，首先给出了一些由函数k ( r ) 和( r ) 分别与初等函数组合的一 些分析性质，获得了一些函数不等式。然后，研究了由函数j i c 口( r ) 和e o ( r ) 所定 义的一些函数的单调性和凹凸性，获得了一些函数不等式，并由此推广和改进 了瓦。( r ) 和己( r ) 的一些界。最后，通过讨论广义椭圆积分对参数a 的依赖性，给出 了广义椭圆积分的一些新的分析性质。 在第三章中，通过研究广义g r 6 t z s c h 环函数p 口( r ) 和广义h i i b n e r _ ：界函数m q ( r ) 的一些分析性质，获得了函数肛d ( r ) 与m 口( r ) 的一些由广义椭圆积分表示的函数不 i 浙江理工人学硕士学位论文 等式。然后，运用第二章的结果及函数l ，p h - ( a ，7 ) 与函数p 口( r ) 、m a ( r ) 的特殊关系， 得到了函数妒k ( 凸，r ) 的一些用初等函数给出的更好的估计。 在第四章中，主要研究并获得了广义, r a m a n u j a n 模方程的解妒k ( 口，7 - ) ，广 义a g a r d 偏差函数r m ( a ，t ) 和广义线性偏差函数入( n ，k ) 的一些分析性质。 关键词：g a u s s 超几何函数，完全椭圆积分，广义椭圆积分，g r s t z s c h 环函 数，h 讧b n e r 不等式，广义h e r s c h - p f l u g e r 偏差函数，广义r a m a n u j a n 模方程 浙江理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eg a n s s i a nh y p e r g e o m c t r i cf u n c t i o nf ( a ，6 ；c ；z ) ，c o r n - p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l s 瓦( r ) a n d ( 7 ) ，g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s 咒n ( 7 )a n d 巴( 7 ) ， g e n e r a l i z e dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 妒k ( o ，t ) a n do t h c rr e l a t e ds p e c i a l f u n c t i o n sp l a ya ne x t e n s i v ea n di m p o r t a n tr o l ei nn u m b e rt h e o r y , q u a s i c o n f o r m a l t h e o r y , g e o m e t r ya n dm a n yo t h e ra r e a so fm a t h e m a t i c sa n d o t h e rd i s c i p l i n e s a so n ek i n do ft h em o s ti m p o r t a n ts p e c i a lf u n c t i o n s ，t h eg e n e r a l i z e de l l i p t i c i n t e g r a l sa x ei m p o r t a n ts p e c i a lc a s e so fh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s o nt h eo t h e r h a n d ，t h e ya x et h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o m p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l s m o r e o v e r ，t h e g e n e r a l i z e dg r s t z s c hr i n gf u n c t i o n 芦n ( 7 ) ，g e n e r a l i z e dh i i b n e ru p p e r b o u n df u n c t i o n m n ( r ) ，g e n e r a l i z e dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 妒k ( 口，r ) ，a g a x d 叩- d i s t o r t i o n f u n c t i o nu k ( a ，t ) a n dl i n e a rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 入( n ，k ) ，w h i c ha p p e a ri nt h eg e n e r - a l i z e dm o d u l a re q u a t i o n a r ed e f i n e di nt e r m so ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s f a c t ，o n ec a no b t a i nt h ep r o p e r t i e so fp 口( 7 ) ，m 。( r ) ，妒k ( a ，r ) ，r k ( a ，t ) a n d 入( n ，k ) b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s i np a r t i c u l a r ，t h e e s t i m a t e so ft h ef u n c t i o n 垆k ( n ，r ) g i v e nb ye l e m e n t a r yf u n c t i o n so f t e nd e p e n do n t h ea n a l y t i cp r o p e r t i e so fc e r t a i nc o m b i n a t i o n so ft h ef u n c t i o n s ( 7 - ) ，m n ( r ) a n d s o m ee l e m e n t a r yf u n c t i o n s t h u s ，t h er e s e a x c h e so nt h ep r o p e r t i e sa n da p p l i c a t i o n s o ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sa r es i g n i f i c a n t i n t h i st h e s i s ，w ee x t e n ds o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h ec o m p l e t ee l l i p t i c i n t e g r a l s 咒( r ) a n de ( r ) t ot h ef u n c t i o n s 瓦。( r ) a n d 幺( r ) ，r e v e a ls o m e n e wa n a l y t i c p r o p e r t i e so fk ( r )a n d 厶( r )b ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h ec o m b i n a t i o no ft h e g e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l sj i c n ( r ) ，厶( r ) a n ds o m ee l e m e n t a r yf u n c t i o n s ，f r o mw h i c h s o m ef u n c t i o n a li n e q u a l i t i e sa n db e t t e re s t i m a t ef o rj | | c n ( r ) a n d & ( r ) f o l l o w w e s h a l la l s od e r i v es o m ei n e q u a l i t i e so ft h ef u n c t i o n sp 口r ) a n dm 口( r ) b ys t u d y i n gt h e m o n o t o n i c i t y , c o n v e x i t ya n dc o n c a v i t yo fc e r t a i nc o m b i n a t i o n so ft h e f u n c t i o n sp n ( 7 ) ， m 口r ) a n de l e m e n t a r yf i m c t i o n s ，b yw h i c h w es t r e n g t h e nt h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d s o ft h eg e n e r a l i z e dh e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o n 妒k ( n ，r ) ，q u a s i c o n f o r m a ls c h w a r zl e m m a a n dt h es o l u t i o no fg e n e r a l i z e dr a m a n u j a l l sm o d u l a re q u a t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h er e s e a r c hb a c k g r o u n do ft h i st h e s i sa n d i i i 浙江理工大学硕士学位论文 s o m ec o n c e p t s ，n o t a t i o na n ds o m ek n o w nr e s u l t su s e da f t e r w a r d s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ep r e s e n ts o m ea n a l y t i cp r o p e r t i e so fc e r t a i nc o m b i n a - t i o n so ff u n c t i o n sk ( r ) ，厶( r ) a n dc l e m e n t a r yf u n c t i o n s ，a n do b t a i ns o m ef u n c t i o n a l i n e q u a l i t i e s t h e n ，w es t u d yt h em o n o t o n i c i t y , c o n v e x i t ya n dc o n c a v i t yo fs o m e f u n c t i o n sd e f i n e di nt e r m so ft h ef u n c t i o n s 瓦q ( 7 ) a n d 已( r ) ，g e ts o m ef u n c t i o n a l i n e q u a l i t i e sf o rt h e m ，a n di m p r o v es o m ek n o w nb o u n d so f 咒。( r ) a n d ( r ) w e s h a l la l s oo b t a i ns o m en e wa n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e dc l l i p t i ci n t e g r a l s b ys t u d y i n gt h ed e p e n d e n c eo np a r a m e t e ra o ft h eg e n e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d ys o m ea n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e d g r s t z s c hr i n gf u n c t i o n ( r ) ，t h ef u n c t i o nm n ( r ) a n dt h er e l a t e dg e n e r a l i z e de l l i p t i c i n t e g r a l s ，a n do b t a i ns o m ei n e q u a l i t i e so ft h ef l m c t i o n s 肛ar ) a n dm 。( 7 ) t h e n ，w e a p p l ys o m er e s u l t si nt h es e c o n dc h a p t e ra n dt h er e l a t i o nb e t w e e n 妒k ( 凸，r ) a n d ( r ) a n dm n ( r ) ，t og e ts o m eb e t t e re s t i m a t e so ft h ef u n c t i o nw k ( a ，r ) ，w h i c ha r e g i v e ni nt e r m so fc e r t a i ne l e m e n t a r yf u n c t i o n s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w es h o ws o m ea n a l y t i cp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nq o k ( a ，r ) t ot h eg e n e r a l i z e dr a m a n u j a n sm o d u l a re q u a t i o n ，t h eg e n e r a l i z e da g a r dr t - d i s t o r t i o n f u n c t i o n 取( o ，t ) a n dg e n e r a l i z e dl i n e a rd i s t o r t i o nf u n c t i o n 入( 口，k ) k e yw o r d s ：g a u s s i a nh y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n ，c o m p l e t ee l l i p t i ci n t e g r a l s ，g e n - e r a l i z e de l l i p t i ci n t e g r a l s ，g r s t z s c hr i n gf u n c t i o n ，h i i b n e r si n e q u a l i t y , g e n e r a l i z e d h e r s c h - p f l u g e rd i s t o r t i o nf u n c t i o n ，g e n e r a l i z e dr a t n a n u j a n sm o d u l a re q u a t i o n s i v 浙江理t 大学硕士学位论文 摘要 a b s t r a c t 目录 i i i i 第一章绪论 1 1 1 引言 1 1 2g a u s s 超几何函数。 4 1 3 完全椭圆积分和广义椭圆积分 6 1 4 广义戤吼a n u j a n 模方程一 8 第二章广义椭圆积分的性质 1 1 2 1 引言1 1 2 2 广义椭圆积分的性质与函数不等式1 1 2 2 1 i c 。( r ) 的性质1 1 2 2 2 己( r ) 的性质1 9 2 2 3 由k ( 7 ) 和e o c r ) 定义的一些函数的性质2 6 2 3 广义椭圆积分依赖于参数q 的性质3 6 第三章函数m 口( r ) 和肛。( r ) 的性质及其应用 4 0 3 1 主要结果4 0 3 2 主要结果的证明4 1 3 3 在广义r a m a n u j a n 模方程中的应用4 4 第四章广义a a m a n u j a n 模方程的若干性质 4 6 4 1 主要结果4 6 4 2 主要结果的证明4 8 参考文献 5 5 致谢 攻读学位期间的研究成果 v 6 0 6 1 浙江理工大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1引言 本节出现的函数概念及记号分别由1 2 1 4 节给出。 1 6 5 6 年，w a l l i s 提出了“超几何级数”这一术语【1 】。1 8 世纪中期，e u l e r 对超 几何函数进行了深入研究，发现了超几何函数的积分表示等【2 l 。1 8 1 2 年，g a u s s 首 次在超几何函数领域做出贡献【3 】。之后，在很长一段时期内，超几何函数 成为j a c o b i 、k f i m m e r 、f u c h s 、r i e m a n n 、s c h w a r z 和k l e i n 4 等当时的主要数学家 们的研究主题。1 8 7 3 年，s c h w a r z 解决了超几何函数的参数值问题【5 】，使得超 几何微分方程和群论相结合，并发现了广泛的应用。2 0 世纪初，印度数学 家s 1 ：油2 l a j l u j a n 对g a u s s 超几何函数和模方程及其解的性质等方面做了广泛深入的 研究，得到了很多结果【6 _ 1 0 】，这使得超几何函数的应用更加广泛。超几何函数不 但在特殊函数、拓扑几何学【1 1 。3 1 等数学分支有广泛的应用，还在物理学【1 4 1 、工 程技术等其它学科领域中有着广泛而重要的应用。 1 7 1 8 年，椭圆积分理论随着f a g n a n o 对双纽线的弧长的研究【1 5 , 1 6 】而诞生， 之后由1 8 世纪数学家e u l e r 、l a g r a n g e 和l a u d e n 发展起来。1 9 世纪，g a u s s 、a b e l 和j a c o b i 又对椭圆积分和椭圆函数有了重大发现，l e g e n d r e 、p d e m a n n 、k l e i n 和w e i e r s t r a s s 也分别对完全椭圆积分做出了巨大贡献【1 7 , 1 8 】。2 0 世纪八十年代 后期以来，g d a n d e r s o n 、m k v a m a n a m u r t h y 和m v u o r i n e n 教授从研究拟共形 映射的需要出发，开展了对完全椭圆积分的一系列研究，给出了一些关于 完全椭圆积分和超几何函数的新性质( 包括不等式) 【1 9 一加1 。1 9 9 4 年，b c c a r l s o n 和j l g u s t a f s o n 给出了完全椭圆积分新的渐近性质【2 1 】。2 0 世纪九十年代，g d a n - d c m o n 、m k v a m a n a m u r t h y 、m v u o r i n e n 和裘松良教授又系统深入地研究了完 全椭圆积分的性质，并揭示了其在均值理论中的应用 2 2 - 2 3 1 。 在几何函数论中，广义椭圆积分k ( r ) 和厶( r ) 与将上半平面变换到平行四边 形的s c h w a r z c h r i s t o f f e l 变换有关。广义椭圆积分作为完全椭圆积分的推广， 当o = 1 2 时，咒口( 7 1 ) 和厶( 7 ) 依次退化为j | l c ( r ) 和( r ) ；另一方面，广义椭圆积分也 是g a u s s 超几何函数的特殊情况。因此，对广义椭圆积分的深入研究有助于促 进数论、几何学、几何函数论、拟共形理论等数学领域、工程技术和天体力 学等领域的发展。因此，能否将完全椭圆积分j i c ( r ) 和( r ) 的一些重要结果推广 到广义椭圆积分匕( r ) 和厶( r ) ? 这一问题在上个世纪九十年代中期引起了国内 外很多学者的关注。裘松良教授与其合作者深入研究了j | | c ( r ) 和( r ) 的l a n d e n 变 1 浙江理工大学硕士学位论文 换性质，并相应地推广到了j i c 。( r ) 、己r ) 以及c a u s s 超几何函数f ( a ，6 ；c ；z ) 【2 5 1 ，获 得了广义l a n d c n ；不等式和广义l c g e n d r c 关系【2 6 屯8 】，而且对j i c 口( 7 ) 和己( r ) 与其它初 等函数的组合或复合的诸如单调性、凹凸性等分析性质进行了深入研究，获得 了兢( r ) 和厶( 7 ) 在7 _ 1 时的渐近性质，并获得了一系列精确初等逼近陋。2 】。 另外，2 0 世纪三十到五十年代，a h l f o r s 对拟共形理论做了很多研究，得到了 平面g r 5 t z s c h 环的模肛( r ) 的一些初步性质，用完全椭圆积分表示- j , c r ) ，从而推 动了对函数弘( 7 ) 的研列3 3 】。1 9 5 2 年，h e r s c h 禾t l p f l u g e r 把复分析中经典的s c h w a r z 三j f 理推广到拟共形理论，建立了著名的拟共形s c h w a r z i j i 理【删，给出了单位圆盘 到自身且保持原点不动的k 一拟共形映射，( 所有这些函数组成族q c k ( b 2 ) ) 的 由从【o ，1 】到【o ，1 】上严格单调上升的函数妒k ( r ) 表示的精确界。即，对任意的， q c k ( b 2 1 和z b 2 , 有 妒1 k “z 1 ) i ，( z ) i 妒( i z i ) ( 1 1 ) 此后，在拟共形理论中发挥着重要作用的函数 z g ( 7 ) 和平面g r s t z s c h j $ 的模p ( r ) 的 显式估计问题受到国内外广泛关注。1 9 6 0 年，王传芳证明了【3 5 】： 妒k ( r ) 4 ( 1 1 k ) r 1 k ，( 1 2 ) 其中k l ，0 r 1 。1 9 7 0 年，o h f i b n e r y 对函数妒k ( 7 ) 的显式估计作了重 大改进，并且揭示出妒k ( r ) 对函数m ( r ) - t - l o g r依赖关系【3 6 1 ，即：当k 1 ， 0 7 1 时， 妒k p ) r v e x p ( 1 1 k ) m ( r ) + l o gr ) 4 ( 1 1 k ) r 1 k ( 1 3 ) 1 9 9 9 年，裘松良、m k v a m a n a m u r t h y 与m v u o r i n e n 在继o h i i b n e r 之后又有 了新的发现，证明1 3 7 ： 妒kr ) ( 1 6 ) 2 浙江理工大学硕士学位论文 当且仅当弘( 7 ) - i - l o g r c ( 7 ) ，其中口( r ) 、6 ( 7 ) 和c ( _ r ) 为( o ，1 ) 上的实函数，r ( 0 ，1 ) ， k ( 1 ，) 。揭示了函数妒k ( r ) 对函数u ( r ) + l o gr i 拘依赖关系，并获得了不等式 妒k ( r ) r l ke x p ( 1 1 k ) a ( r ) 4 ( 一) 4 7 3 ( 1 1 k ) r 1 k ， ( 1 7 ) c p l k ( r ) r 耳e x p ( 1 一k ) b ( 0 4 c ( r ) ( 1 - k ) r 7 i ke x p ( 1 一k ) ( r ) + l o g , - ，( 1 9 ) 其中，n ( r ) = 掣l 。g 4 ，6 ( r ) = 0 - 0 a 、，r ，t h ( 。o1 。g4 ，c ( 7 ) = ( x - o 了a r t h ( 4 d 一从而， 对单位圆盘b 2 到自身且保持原点不动的删共形映射，及vz b 2 ，有 i f ( z ) l 4 ( 1 一例2 ) 2 7 3 ( 1 1 ) l z l l k ( 1 1 0 ) 2 0 0 4 年，裘松良教授和马晓艳又将上述( 1 4 ) 一( 1 6 ) 式结果推广到广义形式 3 8 】： ( 口，r ) r l ke x p ( 1 1 k ) a ( r ) ，( 1 1 1 ) 当且仅当m ，n ( r ) + l o gr o ( r ) q 0 1 k ( a ，7 ) 7 ke x p ( 1 一k ) c ( r ) ) ，( 1 1 3 ) 当且仅当u o ( r ) + l o gr c ( r ) 其d p a ( r ) 、6 ( r ) 和c ( r ) 为( o ，1 ) 上的实函数，r ( 0 ，1 ) ，k ( 1 ，o o ) ，口( 0 ，1 2 并获得了函数妒1 k ( a ，r ) 的估计： 哪小 t a n h ( 去融( 叼) 4 ( 1 1 4 ) 2 0 0 8 年，王根娣、张孝惠、褚玉明和裘松良建立了 h e r s c h - p f l u g e r 偏差函 数妒k ( r ) 和第二类完全椭圆积分( r ) 之间的关系，得到了 k ( 7 ) 时， ( a ，7 1 , ) = a ( a + 1 ) ( n + 2 ) ( a + 亿一1 ) = r ( a + 礼) r ( 口) ( 1 1 7 ) r ( 口) 为下面定义的经典r 函数。显然，超几何函数与经典的r 一函数、矽一函数 和b e t a 一函数有密切的关系。 定义1 2 2 【矧e r e ( z ) 0 ，& ( 秒) 0 ， m ) = z t z - - 1 e d t 删- r ，r ( 吐b ( x 加y 渊( 1 1 8 ) r ( z ) = e 一2 ，妒( z ) = r ( z ) r ( z ) ， ，) = 萼；：! ! j 掣等 ( 1 1 8 ) i ，o1 4tf ， 本文还经常会用到r 函数如下两个性质： r ( z + 1 ) = z r ( z ) ，( 1 1 9 ) r ( z ) r ( 1 一z ) = 7 r s i n ( a t r ) = b ( x ，1 一z ) ( 1 2 0 ) ( 1 1 6 ) 式中的超几何函数有如下求导公式： d f ( 。，6 ；c ；z ) = 警f ( a + 1 ，6 + 1 ；c + 1 ；z ) ( 1 2 1 ) 一般地，有n 阶求导公式： 杀心；c ；栌絮铲m 怕m ；c 础 ( 1 2 2 ) 超几何函数是非常重要的一类特殊函数，不少其他特殊函数都和它密切相 关，例如：l e g e n d r c 区l 数、j a c o b i 多项式、特种球多项式、切比雪夫多项式等都 属于具有三个正则奇点的f u c h s 型方程的解，都可以用g a u s s 超几何函数表达【2 6 】。 不少常见的初等函数也可以用超几何函数来表示，例如： ( 1 - i - z ) q = f ( - a ，p ；p ；一z ) ，l n ( 1 + z ) = z f ( 1 ：1 ；2 ；- z ) ， a r c s i nz = z f ( 三，互1 ；兰；z 2 ) ，a r c t a n z = z f ( 三，1 ；兰；一z 2 ) 超几何函数在z = l 点附近的性状分a + b c 三种情况给 出【2 6 t 4 6 】，对n ，b ，c 0 ， lf ( 口6 c 1 ) = 矧c n + 6 ， s ( a ，b ) f ( a ，6 ；o + 6 ；z ) + l o g ( 1 2 ) = r ( n ，b ) + d ( ( 1 一z ) l o g ( 1 一z ) ) ， ( 1 2 3 ) if ( o ，6 ；c ；z ) = ( 1 一z ) 卜n 一6 f ( c 一口，c 一6 ；c ；z ) ，c o + b 5 浙江理工大学硕士学位论文 这里，r ( a ，b ) = 一2 7 一妒( n ) 一妒( 6 ) ，其中，y = 0 5 7 7 2 1 5 6 6 为e u l e r 常数。当6 = 1 一凸时，r ( a ) 三r ( a ，1 一a ) ( r ( 1 2 ) = l o g1 6 ) 是所谓的砌m a n q a n 常数。上述的零 平衡的式子( 即口+ 6 = c ) 称为砌吼a n 嘶a n 渐近公式，它给出了函数f ( a ，6 ；o + 6 ；z ) 在 对数奇点z = 1 附近的精确描述。 1 3完全椭圆积分和广义椭圆积分 对于完全椭圆积分的研究已经比较成熟，已获得许多精致的结果。同时，对 于广义椭圆积分的研究也在不断深入。本节主要给出关于完全椭圆积分和广义椭 圆积分的记号及一些已有的重要性质。首先，第一、第二类广义椭圆积分有如下 定义： 定义1 3 1 1 2 6 , 4 6 对r ( 0 ，1 ) ，7 7 = 日和a ( 0 ，1 ) ， j | | c 口= 咒。r ) 三- 专r ( a ，1 一口；1 ；r 2 ) ， 聪= 磋( r ) 三厄。r ，) ， ( 1 2 4 ) c 口( o ) = 詈，j i c 。( 1 ) = o o ， 和 ， l 己= & ( r ) 三- 至f c a 一1 ，1 一n ；1 ；r 2 ) ， 磁= 残( r ) 三己( r ，) ( 1 2 5 ) 【己( o ) = 考，c a ( 1 ) = 业2 ( 1 - a ) 特别地，当n = 1 2 时，广义椭圆积分k ( r ) 和已( r ) 分别退化为第一类和第二类完 全椭圆积分 | 7 | c = j i c ( 7 - ) 三i c l l 2 ( r ) 和= e ( r ) 三矗2 ( 7 ) 根据对称性，下文中总设a ( 0 ，1 2 广义椭圆积分有下述求导公式酬： i d l c a ：2 ( 1 - a ) ( c 万- 一r t 2 咒a ) ， ( 1 2 6 ) d rr 7 华：2 ( a - 1 ) ( c a - e a ) ，( 1 2 7 ) 导( k 一) = 丁2 ( 1 - a ) r e a ， ( 1 2 8 ) 昙慨一r 彪k ) = 2 凸r 瓦口 ( 1 2 9 ) 当n = 1 2 冰j ，上述公式退化为完全椭圆积分的求导公式。 6 浙江理工大学硕士学位论文 广义l e g e n d r e 关系式对o ，( 0 ，1 ) ，有 如( r ) ( r ) + e ( r ) ( r ) 一( r ) 磋( r ) 三可7 rs 可i n ( a t r ) ， 当口= 1 2 时，上述关系式退化为完全椭圆积分的l e g e n d r e 关系式 c ( r ) $ j 初等近似e h r a m a n u j a n 渐公式可知，在奇点7 数j i c ( r ) 具有对数增长性。基于此，下面介绍疋( r ) 的一些不等式： ( 1 3 0 ) = 1 附近，函 1 9 9 2 年，a n d e r s o n 等人发现j i c ( r ) 可以由反双曲正切函数a r t h 来逼近【4 7 】：对任 意的r ( o ，1 ) ，有 三( 掣) 1 2 研) 互_ a r t h ( r ) ( 1 3 1 ) 1 9 9 5 年，s “l o r 令人惊奇地给出了咒( r ) 与1 和7 的算术均值及对数均值的关 系【4 8 4 9 】：令4 ( 1 ，r 7 ) = ( 1 + r ) 2 ，l ( 1 ，r ) = ( 1 一r ) ( 1 0 91 一l o g r ，) ，c 1 ：2 7 r ，c 2 ： 1 2 ( 5 7 r ) ，对vr ( o ，1 ) ，则有 一 三( 高+ 耦) 孙三( 南+ 揣) 3 2 ， 1 9 9 8 年，裘松良教授等人给出了j | i c ( 7 ) 的如下的界删：令c 3 = 7 r 2 一l 0 9 2 ，c 4 = 3 l o g2 7 r 2 ，c 5 = e 印( 7 r 2 ) 一4 ，对v7 ( 0 ，1 ) ，贝i j 有 c a + l o g ( 1 - i - 1 r 7 ) | | i c ( r ) c 3 + c 4 ( 1 一r 7 ) + l o g ( 1 + x r )( 1 3 3 ) 和 l o g ( 4 r + c 5 r 7 ) 瓦( r ) l o g ( 4 r 7 + c 5 ) ( 1 3 4 ) 2 0 0 4 年，裘松良教授及其合