（基础数学专业论文）与分担值有关的亚纯函数的唯一性.pdf

山东大学硕士学位论文 与分担值有关的亚纯函数的唯一性 陈桂玲 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 所谓亚纯函数的唯一性理论主要讨论在什么情况下只存在一个函数满足 给定的条件我们知道确定一个超越亚纯函数和确定一个多项式所需要的条 件是完全不同的因此，亚纯函数唯一性理论的研究也变得十分重要、复杂和 十分有趣了这里需要指出的是；涉及公共值的亚纯函数的唯一性理论研究 起源于r n e v a n l i n n a ( i l 】) 中的一些研究工作，他的这些极具开创性的研究工 作为唯一性理论的研究奠定了坚实的基础很早，他本人证明的5 i m 公共值 定理和4 c m 公共值定理等都是这一领域的经典结果近几十年来，它备受关 注，已经成为国际上比较活跃的研究课题对于这一全新的研究课题，芬兰数 学家r n e v a n l i n n a 于二十世纪二十年代所创立的n e v a n l i n n a 值分布理论自 然成了主要的研究工具我国的数学家熊庆来( 【3 1 ) ，杨乐( 【1 】 2 6 1 ， 3 1 1 ) ，仪洪 勋( f 1 】， 2 】 【2 9 】，【3 0 】，f 3 l 】) ，扈培础( f 6 】) ，杨连中( f 2 7 】， 2 8 】) ，张庆彩( 3 3 】) 等在这 方面取得了一些内容深刻的结果；国外的数学家f g r o 鼹( 【8 】) ，w h a y m a n ( 9 ) ， h u e d a ( 7 ) ，a b a n c r j e e ( 1 0 ，1 1 1 ) ，i l a h i r i ( 1 9 ， 2 0 】，【2 1 】， 2 2 】，【2 3 】) ，e m u e s ( 2 5 1 ) ， r b r u c k ( 1 4 ) ，a s a u r k 8 u r ( f 2 0 】) ，g g u n d e r s e n ( 1 6 ，【17 】) 等也在唯性理论研究 方面做出了非常出色的研究成果 本文主要介绍作者在扈培础教授的精心指导下，就与分担值有关的亚纯函 数唯性问题所做的一些研究，得到了一些结果，全文共分三章，主要内容如 下： 第一章概述了本文的研究背景，n e v a n l i n n a 基本理论中的常用记号，并叙 述了亚纯函数唯性理论中的一些基本概念和结果 第二章主要研究了有穷非整数级( 下级) 亚纯函数的唯一性问题，推广并 山东大学硕士学位论文 改进了仪洪勋、林伟川、吕巍然等人的结果，主要结果如下： 定理1 f ( z ) 与9 ( z ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，9 ( 名) 的级a ( 9 ) 有 穷非整数，( z ) 与9 ( z ) 分担0 ，o o c m ，如果存在两个判别的，( z ) ( 0 ，o 。) 与9 ( z ) ( o ，o o ) 的小函数a l ( z ) 与0 2 ( z ) ，满足：一e k j ) ( ，) 一e k j ) ( ，9 ) o = 1 ，2 ) ；e ( 。，) 百1 再+ 瓦可1 ，其中七1 ( 1 ) ，( 2 ) 为整数，则，( z ) 三9 ( z ) 推论1 设，( z ) 与9 ( z ) 为开平面c 上非常数整函数，9 ( z ) 的级a ( 9 ) 有穷非整数，( z ) 与9 ( z ) 分担0 c m ，如果存在两个判别的，( z ) ( 0 ，o 。) 与9 ( z ) ( o ，o 。) 的小函数0 1 ( z ) 与n 2 ( z ) ，满足：瓦) ( ，) 瓦) ( ，9 ) ( 歹= 1 ，2 ) 其中尼l ( 1 ) ，忌2 ( 2 ) 为整数，更l j ，( 名) 三夕( z ) 推论2 设f ( z ) 与9 ( 2 ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，9 ( z ) 的级a ( 9 ) 有穷非整数，( z ) 与g ( z ) 分担0 ，o 。c m ，如果存在两个有穷非零复数口l 与a 2 满足：瓦) ( ，) 民) ( ，g ) o = l ，2 ) ( 尼l = = 。) 及e ( ，) o ， 更l i ，( z ) 兰9 ( 名) 第三章主要研究了亚纯函数与其微分多项式加权分担一个小函数的问题， 得到的主要结论如下。 定理2 设，( z ) 为c 上非常数的亚纯函数，七( 1 ) ，z ( 0 ) 为整数，a - n ( z ) 为f ( z ) 的非常数的小函数，f ( z ) 一a 与n ( f ) 一a 分担( 0 ，2 ) ，如果下列条 件之一成立，则，三二( 厂) ( i ) f 2 ， 如+ ( o ，) + h ( o ，) + 3 0 ( o o ，) 4 ； ( i i ) z = l ， 兰如( 。，) + 如+ 七( 0 ，) + ( 三+ 七) e ( o 。，) 七十5 ； ( i i i ) z = 0 ， 如+ 知( o ，) + a + ( o ，) + 如( o ，) + 2 0 ( o ，) + ( 6 + 2 k ) e ( o o ，) 2 k + 1 0 推论3 设，( 2 ) 为c 上非常数的整函数，n 三o ( z ) 为，( z ) 的非常数的小 函数，( z ) 一a 与n ( f ) 一a 分担( 0 ，1 ) ，如果下列条件之一成立，则，三l ( ，) t i 山东大学硕士学位论文 ( i ) l = 1 ， ( 0 ，) 詈 ( i i ) f = 0 ， 5 2 + k ( 0 ，) 詈一言阳( 。，) + 如( o ，) + 吼羽一如“吖) 】 推论4 设，( z ) 为c 上非常数的亚纯函数，七( 1 ) ，f ( 0 ) 为整数，口三 o ( z ) 为，( z ) 的非常数的小函数，f ( 2 ) 一a 与l ( f ) 一n 分担( 0 ，f ) ，如果下列条 件之一成立，则，三l c f ) ( i ) f 2 ， 如+ 七( o ，) + 如( o ，f ) + 3 0 ( 0 0 ，f ) 4 ； ( i i ) f = 1 ， 罢6 z + 凫( 。，) + ( 丢+ 艮) e ( 。，) 七+ 5 ； ( i i i ) f = 0 ， 5 如+ 七( o ，) + ( 6 + 2 七) e ( 。，) 2 k + 1 0 关键词：整函数；亚纯函数；唯性；小函数；级；线性微分多项式 i i i 山东大学硕士学位论文 u n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sw i t hs h a r i n gv a l u e s g u i l i n gc h e n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 01 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sm a i n l ys t u d i e sc o n d i t i o n su n - d e rw h i c ht h e r ei so n l yo n ef u n c t i o n w ek n o wt h a tt h ec o n d i t i o n su s e dt od e t e r - m i n eat r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h a to fap o l y n o m i a l t h e r e f o r e ，c o m p l i c a t e da n di n t e r e s t i n g i nr e c e n td e c a d e s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n s p a i dc l o s ea t t e n t i o nt oi t ，w h i c hm a k e si tb e c o m eav e r ya c t i v es u b j e c ta l la r o u n d t h ew o r l d m a n yn e wr e s u l t sa p p e a ra st i m eg o e so n f o rt h i sn e ws u b j e c t ，t h ev a l u e d i s t r i b u t i o nt h e o r yf o u n d e db yr n e v a n l i n n a ( 【l 】) i n1 9 2 0 sh a sb e c o m et h em a i lt 0 0 1 n e v a n l i n n ah i m s e l fg a v e5 i mt h e o r e ma n d4 c mt h e o r e mw h i c ha r ek n o w na sc l a s s i c r e s u l t si nt h i sf i e l d t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sd e a l i n gw i t h s h a r e dv a l u e so r i g i n a t e df r o ms o m ew o r k si nr n e v a n l i n n a t h e s ew o r k sl a yt h e f o u n d a t i o no ft h er e s e a r c ho nt h eu n i q u e n e s st h e o r y al o to fd e e pr e s u l t sw e r eo b - t a i n e db yx i o n gq i n g l a i ( 3 ) ，y a n gl e ( z l ，【2 6 】， 3 1 1 ) ，y ih o n g x u n ( t ，f 2 】 2 9 1 ，【3 0 】 【3 1 】) ， h up e i c h u ( 6 ) ，y a n gl i a n z h o n g ( 2 7 ， 2 8 1 ) ，z h a n gq i n g c a i ( 1 3 3 1 ) a n ds oo n m a n y o t h e rm a t h e m a t i c i a n ss u c ha sf g r o 豁( f 8 】) ，h u e d a ( 7 ) ，r b r u c k ( 1 4 ) ，e m u e s ( 2 5 ) ， a b a n e r j e e ( 1 0 【1 1 】) ，i l a h i r i ( 1 9 ，【2 0 】，【2 1 】， 2 2 1 ，【2 3 】) ，w h a y m a n ( 9 ) ，a s a r a ( j 2 0 ) ， g g u n d e r s e n ( 1 6 【1 7 】) a l s oo b t a i n e dal o to fe l e g a n tr e s u l t so nt h er e s e a r c ho ft h e u n i q u e n e s st h e o r y i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v es o m er e s u l t so nt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c - t i o n sw i t hs h a r i n gv a l u e su n d e rt h eg u i d a n c eo fp r o f e s s o rh up e i c h u i tc o n s i s t so f i v 山东大学硕士学位论文 t h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h i st h e s i s ，w h i c hc o n t a i n s s o m ef u n d a m e n t a lr e s u l t sa n dn o t a t i o n so fn e v a n l i n n at h e o r y i nc h a p t e r2 ，w es t u d i e du n i q u e n e s st h e o r e mo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so ff i _ n i t en o n - i n t e g e r ( 1 0 w e r ) o r d e r ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o na n di m p r o v e m e n to fh x y i ，w e i c t m a nl i n ，l i ny a ne t c m a i nr e s u l ti ss t a t e da sf o l l o w s ： t h e o r e m1 f ( z ) a n dg ( z ) b en o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，s u c h t h a tt h eo r d e r 入( 夕) o fg ( z ) i sf i n i t ea n dn o n - i n t e g e r a s s u m et h a tf ( z ) a n dg ( z ) a l es h a r i n g0 ，c o c m ，i fa l ( z ) a n da 2 ( z ) a r et w od i s t i n c ts m a l lf u n c t i o n so fl ( z ) a n dg ( z ) s u c ht h a ta l ( z ) ，a 2 ( z ) 0 ，0 0 h ( 1 ) a n dk 2 ( 2 ) a r et w oi n t e g e r s ，i f e k j ) ( ，) 瓦) ( ，扪0 = 1 ，2 ) a n de ( o o ，) 瓦1 裒+ 夏承1 ，t h e n ，( z ) 兰9 ( z ) c o r o l l a r y1 ，( z ) a n d9 ( z ) b en o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n s ，s u c ht h a tt h e o r d e ra ( g ) o fg ( z ) i sf i n i t ea n dn o n - i n t e g e r a s s u m et h a tf ( z ) a n dg ( z ) a l es h a r - i n g0 c m ，i fa l ( z ) a n da 2 ( z ) a r et w od i s t i n c ts m a l lf u n c t i o n so ff ( z ) a n dg ( z ) s u c ht h a t0 1 ( z ) ，0 2 ( z ) 0 , 0 0 七1 ( 1 ) a n d 凫2 ( 2 ) a l et w oi n t e g e r s ，s u c ht h a t 民) ( 叼，) 冬黾) ( ，9 ) 0 = 1 ，2 ) ，t h e n ，( z ) 兰夕( 名) c o r o l l a r y2 f ( z ) a n d9 ( z ) b en o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，s u c h t h a tt h eo r d e ra ( g ) ) o fg ( z ) i sf i n i t ea n dn o n - i n t e g e r a s s u m et h a tf ( z ) a n dg ( z ) a r e s h a r i n g0 ，o o c m ，i ft h e r ea l et w od i s t i n c tf i n i t en o n z e r oc o m p l e xn u m b e r sa la n d a 2a n dt w oi n t e g e r s 后l ( 1 ) a n d 乜( 2 ) ，s u c ht h a t 民) ( ，) 民) ( ，9 ) 0 = 1 ，2 ) ，( k l = 如= ) a n do ( o o ，) 0 ，t h e n ，( z ) 兰g ( z ) i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s t h a ts h a r eas m a l lf u n c t i o nw i t hi t sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l s a n di m p r o v es o m er l s u l t so fl i u ，g u ，l a h i r i ，z h a n g ，a n da b a n e r j e e ，a n da l s oa n s w e rs o m eq u e s t i o n so f k i t - w i n gy u m a i nr e s u l ti ss t a t e d 鹳f o l l o w s ： t h e o r e m3 1 ( z ) b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，后( 1 ) a n dz ( 之0 ) b ei n t e g e r s a n da 兰口( z ) b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cs m a l lf u n c t i o n s u p p o s e t h a t ，一na n dl ( i ) ns h a r e ( 0 ，z ) t h e n ，三l ( i ) i fo n eo ft h ef o l l o w i n ga s s u m p - v 山东大学硕士学位论文 t i o n sh o l d s ， ( i ) z 2a n d ( i i ) 2 = 1a n d 如+ k ( o ，) + 6 2 ( o ，f ) + 3 0 ( o o ，) 4 ； 兰如( 。，) + 如+ * ( 。，) + ( 丢+ 七) e ( 。o ，) 凳+ 5 ； ( i i i ) f = 0a n d 5 2 + k ( o ，) + 6 1 + k ( o ，) + 6 2 ( o ，) + 2 0 ( 0 ，) + ( 6 + 2 k ) o ( o o ，f ) 2 k + 1 0 c o r o l l a r y3 f ( z ) b ean o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n ，a n do 兰a ( z ) b ea n o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cs m a l lf u n c t i o n i f ，一aa n dl ( i ) 一as h a r e ( 0 ，1 ) ，t h e n 如+ ( o ，) o ri f 一na n d ( ，) 一ns h a r e ( o ，o ) a n d6 2 + k ( 0 ，) 一 【2 e ( o ，) + 如( o ，) + 6 l + 女( o ，) 一6 2 + k ( 0 ，) 】t h e n ，兰l ( ，) s i n c e6 2 ( o ，) 6 1 + k ( 0 ，f ) 如+ 七( o ，) o ( o ，) ，w eh a v et h ef o l l o w i n gc o r o l - l a r y c o r o l l a r y4 ( z ) b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，七( 1 ) a n dz ( 0 ) b ei n t e g e r s a n da 三a ( z ) b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cs m a uf u n c t i o n s u p p o s e t h a t ，一aa n dl ( f ) 一ns h a r e ( 0 ，z ) t h e n ，三l ( f ) i fo n eo ft h ef o l l o w i n ga s s u m p - t i o n sh o l d s ， ( i ) z 2a n d 2 6 2 + k ( 0 ，) + 3 0 ( o o ，) 4 ； ( i i ) z = 1a n d 兰如+ 知( 0 ，) + ( 三+ 七) e ( ，) 詹+ 5 ； ( i i i ) f = 0a n d 5 6 2 + k ( 0 ，) + ( 6 + 2 k ) o ( o o ，) 2 k + 1 0 k e y w o r d s ：e n t i r ef u n c t i o n ；m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；u n i q u e n e s s ；s m a l lf u n c - t i o n ；o r d e r ；d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l v i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：隘撞硷 e l 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：陲猛硷导师签名： 期： 矬逝罗 山东大学硕士学位论文 第一章预备知识 涉及公共值与公共小函数的亚纯函数唯一性理论是建立在r n e v a n l i n n a 亚纯函数值分布理论的基础上的，是复分析，尤其是亚纯函数论的一个重要组 成部分是一个富有研究价值的数学课题从r n e v a n l i n n a 时代发展到今天， 虽已有不少内容深刻的结论，但其中仍有许多问题有待于人们去解决在本章 中我们将叙述后面各章中常用的r n e v a n l i n n a 理论中的几个基本结果及常用 记号，并对亚纯函数唯一性理论中的几个基本概念和经典结果作简要介绍，详 情可参阅( i l 】) 在本文中，无特别声明，我们所提到的亚纯函数均指开平面c = z ： 0 0 上的亚纯函数，并用c = z ：i z i o 。u ( o o 表示扩充的复平面 1 1n e v a n l i n n a 基本理论概要 二十世纪二十年代，r n e v a n l i r m a 巧妙地引入了特征函数，并成功地利 用p o s s i o n - j e n s e n 公式研究了亚纯函数间特征函数的关系，现代亚纯函数值分 布理论的研究从此开始 本文中无特别说明，提到的亚纯函数均指在整个复平面上的亚纯函数 下面介绍在n e v a z f i i n n a 理论中起着十分重要作用的p o s s i o n - j e n s e n 公式， 其证明参见【l 】 设函数，( ) 在r ( o r o 。) 上亚纯，口p = 1 ，2 ，m ) ，屯p = 1 ，2 ) 分别为，他) 在 f | r 内的零点和极点若z = r e x p ( i o ) 为蚓 r 内不与n p ，b 相重的任意一点，则 1，2 霄 r 2 一r 2 l o gl f ( z ) i 2 去上 1 0 9 i ( re x p ( i l | | o ) ) 1r 2 _ 2 r r c o s ( 0 - 妒) + r i d 妒 + 争l 涮i 一三nl o g r ( z - 石b l ，) i 特别地。当z = 0 时，若，( 0 ) 0 ，0 0 ，则 魄叭叫= 去卜g l f ( r c x p 驯却一驴ml 扣n 昭i a 1 山东大学硕士学位论文 这就是j e n s e n 公式 若f ( o ) = 0 或o o ，设，( ) 在原点邻域内l a u r e n t 的展式为 ，( ) = c a 入+ c 十l f a + 1 + ，以0 则 l o g b l + n ( 。，加r = 斯l o g f m x p ( 讷) i d 旷。 赢r - 昭i 争 + l o g 自+ 住( o ，) l o g r 二一 h 0 l b i r 这就是j e n s e n 公式的一般形式 r n e v a n l i n n a 基于j c n s e n 公式引入了亚纯函数f ( z ) 的平均值函数m ( r ，) ， 极点计数函数g ( r ，f ) 与特征函数r ( r f ) 等相关概念 下面我们介绍相关定义 对于z 0 ，定义z 的正对数 l l o g x ，z 1 ； l o g + z 7 - - io ，0 z 1 ( 正对数的性质参见【1 1 ) 设，( 2 ) ( ) 为1 2 1 r ( o r 0 0 ) 上的亚纯函数，0 r r 定义1 1 ( 1 】) f ( z ) 的平均值函数定义为 m ( r = 去0 0 9 + i f ( r 戗p ( 徊) ) l d 0 m ( r ，手) 可类似定义由正对数的性质可知，j e n 踺n 公式中的积分项 去后霄l o gi ，( r e x p ( z l l d ) ) l 如对应m ( r ，f ) - m ( r ，手) 另j i - ，由正对数的性质易 证 m ( r ，荆s 扣删 2 m 强 j - - - 1 pg o + 厶 r 、= 飞 盯 p 触 一 山东大学硕士学位论文 其中j ( z ) ( j = 1 ，2 ，p ) 为p 个h r ( o r 0 0 ) 上的亚纯函数 定义1 2 ( 【1 | ) ，( z ) 的极点计数函数定义为 嘶= f o 亟导幽d t + n ( 吖) l o g r 其中礼( ，) 表示，( z ) 在h t 上的极点的个数，且重级极点按重数计 算；n ( o ，) 表示( z ) 在原点处的极点的重数( 当( o ) ( d o 时，佗( o ，) = o ) 设乃( 2 ) 0 = 1 ，2 ，p ) 为p 个sr ( o r ( 3 0 ) 上的亚纯函数，则对 于1sr r 有 ( 证明参见【1 】) ，( z ) 的零点计数函数( r ，手) 可类似定义 由此可知j e n s e n 公式中 的求和项兰。l o g 。r ，i 与丝1 。gi 尝1 分别对应( r ，手) 一亿( o ，手) 1 0 9 r 和( r ，手) 一n ( o ， ) l o g r j 群j e n s e n 公式可改写为 t o si 以i = 仇( r ，) 一m ( r ，7 1 ) 一( ，多) + ( r ，) 定义1 3 ( ( 1 】) 设 7 - ( , - ，) = m ( r ，) + l v ( r ，) t ( r ，；) = m ( r ，；) + u ( r ，；) 由上可知，j e n s e n 公式有下面形式 t ( r ，) = t ( n 多) + - 。g l 以1 此形式说明j e m e n 公式的核心是函数t ( t ，) ，有理由认为它是亚纯函数 的一种特征，故r n e v a n l i n n a 称其为特征函数 由上面叙述的m ( r ，) 与u ( r ，) 的性质得特征函数t ( 7 - ，) 有性质： 3 乃 办 p p触p皿 一 一 力 力 p坶p蛐 p p 山东大学硕士学位论文 其中f a z ) ( j = l ，2 p ) 为p 个r ( 0 r ( 3 0 ) 上的亚纯函数， l r r 在经典的函数论中，我们用最大模函数m ( r ，f ) = m a x i ：i - ，j ，( z ) i 来刻划 整函数的增长性，但对于亚纯函数来说，应为涉及到极点的情况，最大模函数失 去效用，因此在r n e v a n l i n n a 之前，人们大多只研究整函数而很少涉及亚纯函 数r n e v a n l i n n a 引入特征函数t ( r ，f ) 代替u ( r ，f ) 来对亚纯函数进行研究， 就克服了上述困难，而且对于整函数来说，特征函数与最大模函数起了同样的 作用事实上，当f ( z ) 为非常数整函数时，f ( z ) 的特征函数t ( r ，f ) 与最大模 函数( r ，f ) 具有这样的关系( 参见【l 】) ： 丁( r ，) l o g + m ( n ，) 等丁( r ，) ( o r r o o ) 因此有 l i m s u p l o g + - t ( r 一, f ) ：l i ms u p l o g1 1 0 9 m ( 一r , f ) r _ + o l ；l o g rr _ + o 。l o g r 整函数的级经典定义为 p = 罂- - 4 船警r 十o 。”6 这与利用特征函数给出的级定义入，= l i m s u p r + o o 竖二l o 卫g ：r = ：n 相一致所以 r n e v a n l i n n a 完成了从整函数的增长性特征m ( r ，f ) 到亚纯函数的增长性特 征t ( r ，f ) 的转变，为亚纯函数的研究建立了基础 设口为任意有穷复数，( z ) ( o 。) 为i z i r ( 0 r o 。) 上的亚纯 函数，则而1为例r ( 0 r o o ) 上的亚纯函数，从而m ( 7 l ，而1) ， ( r 币) ，t ( r ，7 扣) 可以根据定义1 1 1 3 类似定义 利用j e n s e n 公式的特征函数形式，r n e v a n l i n n a 建立了关于亚纯函数 的n e v a n l i n n a 第一基本定理 4 弘 g o+ 厶 厶 n n r t p m p 芦 一 一 、l， 办 办 pn崩p他 ，、 t z 山东大学硕士学位论文 定理1 1 ( 【1 】) ( n e v a n l i n n a 第一基本定理) 设，( z ) 于h p ( ) 内亚纯，a 为任意有穷复数，且，( z ) a ，则对 于0 r p ，有 ? ( 尹，死岳) = t ( 删+ 1 0 9 | 锻( 妒) ( 1 ) 其中以为隔1 在原点的l a u r e n t 展式( 按升幂排列) 中的第一个非零系数， 而 i ( 口，r ) i l o g + i a i + l 0 9 2 证明：对于隔1 应用j e n s e n 公式的特征函数形式即有 z ( r ，赤) 叫吖_ n ) + - o g i c a l 再有特征函数的性质得 t ( r ，f a ) st ( r ，f ) + l o g + i a i + l 0 9 2 及 t ( r ，) = t ( r ，f a + a ) 冬r ( r f n ) + l o g + i 吐l + l 0 9 2 显然有定理的结论 ( 1 1 ) 式通常简写为 t ( r ，万1 ) = t ( 吖) + 。( 1 ) 其中o ( 1 ) 表示一个量，当r 叶o o 时它有界 由第一基本定理即得到n e v a n l i n n a 不等式 t ( ，- ，万1 ) t ( 吖) + d ( 1 ) 为了给出计数函数的下界，n e v a n l i n n a 得到第二基本定理 定理1 2 ( f 1 】) ( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 5 山东大学硕士学位论文 设f ( z ) 为复s o & c 上非帘数的亚纯函数，u = 1 ，2 ，q ) 为口【23 ) 个c u t 。， 中的判别元素，则 ( q - 2 肛喜( p i1 - a ，) 一1 ( r ( r ，) ( 1 2 ) 其中 l ( r ) = 2 ( r ，) 一( n 门+ ( r ，专) ( 1 3 ) s 舻m ( r ，手) + m 噍南) + 0 ( ， n 4 ， 为了巩固第二基本定理中的余项s ( r ，) ，我们需要研究m ( r 孚) 的增 长性，它由下述引理表达由于孚= ( 1 0 9 f ) 7 该引理被称为对数导数引理 引理：( 对数导数引理) 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，且，( o ) 0 ，o o ，则对于( 0 r r 0 的值a 至多有可数个，并且 8 地，) e ( a ，) 2 a e c 口c 山东大学硕士学位论文 1 2 唯一性理论中的基本结果和常用符号 在研究唯一性问题时，我们通常考虑的是函数具有公共值的情况，所谓的 公共值是如下定义的： 定义1 7 ( 【1 ) 设，与9 为复数域e 上非常数的亚纯函数，a cu 。o ) 若，一a 与g a 的零点相同，且相应零点的重级相同( 忽略重级) ，则称，与g 分担a c m ( i m ) 此时也称。为，与9 的c m ( i m ) 公共值，与9 分担0 0c m ( i m ) 是指 与二1 分担o c m ( i m ) 唯一性理论研究的基础就是通过考虑函数分担公共值而得到的n e v a n - l i n n a , 五值定理，n e v a n l i n n a 四值定理，n e v a n l i n n a 三值定理下面我们叙述这 三个定理( 参见文献【1 ) 定理1 7 ( f 1 】) ( n c v a n l i n n a 五值定理) 复数域c 上两个非常数的亚纯函数厂与夕分担五个判别的j m 公共值，则它 f f l x ，- 然恒等， 定理1 8 ( 【l 】) ( n e v a n l i n n a 四值定理) 复数域c 上两个非常数的亚纯函数，与9 分担四个判别的c m 公共值，则， 为夕的分式线性变换 定理1 9 ( 【1 】) ( n e v a n l i n n a 三值定理) 复数域c 上两个非常数的亚纯函数，与g 分担0 ，1 ，c c c m 若，g ，则必 有。 一1e 一声一1 ，。雨，92 雨 其中p 与7 为整数， t ( r ，9 ) = o ( t ( r ，) ) ( r _ o 。，rge ) ， t ( r ，e p ) = o ( t ( r ，) ) ( r _ 。o ，rge ) ， t ( r ，e ，) = o ( t ( r ，) ) ( r _ o o ，e ) 对于第二基本定理，r n e v a n l i n n a 还考虑了将常数易为小函数的情况，得 到如下定理1 1 0 定理1 1 0 ( 【1 】) 设i ( z ) 为复数域c 上非常数的亚纯函数，a a z ) ( j = 9 山东大学硕士学位论文 l ，2 ，3 ) 为，的小函数，则 t ( r 胚萎3 丙( r ，万1 ) 删吖) 所谓的小函数是如下定义的 定义1 8 ( 【1 】) 设，与a 为复数域c 上的亚纯函数，若有t ( r ，a ) = s ( r ，) ， 则称a 为，的小函数 有了关于小函数的第二基本定理，唯一性理论的研究就推广到了考虑分担 公共小函数的情况所谓的公共小函数是如下定义的 定义1 9 ( 【1 】) ，与9 为任意两个复数域c 上的非常数亚纯函数 若a 既为，的小函数也为g 的小函数，则称a 为，与9 的一个公共小函数 若a 为，与9 的一个公共小函数，一8 与g a 的零点相同，且相应零 点的重级相同( 忽略重级) ，则称，与g 分担a c m ( i m ) 此时也称a 为，与夕 的c m ( i m ) 公共小函数 1 0 山东大学硕士学位论文 第二章有穷非整数级( 下级) 亚纯函数的唯一性 在亚纯函数唯一性理论中，确定有理函数所需的条件比较少，而确定级小 于1 的超越亚纯函数所需的条件又与有理i i ! i 数非常相似，有穷非整数级( 下级) 亚纯函数的唯一性又是上述两类亚纯函数唯一性的推广本章研究了有穷非 整数级( 下级) 亚纯函数的唯一性，推广并改进了仪洪勋、林伟川、李岩等人 的结果 2 1 引言与主要结果 在这里，我们首先介绍一些本文中要用到的一些概念 设f ( z ) 为开平面c 上非常数亚纯函数，a 为任一复数，k 为正整数，我们 以瓢) i r ，击) 表示在h ，的重级不超过后的零点数目，重级零点仅计一 次，相应的计数函数记为矾) ( r ，击) ，我们以一e k ) ( n ：，) 表示( z ) 一n 的重级 不超过k 的零点集合，重级零点仅计一次 1 9 8 0 年，h u e d a 研究了有穷非整数级整函数的唯一性问题，证明了下面 的两个定理 定理2 a ( 【7 】) 设f ( z ) 与g ( z ) 为有穷非整数级整函数，且f ( z ) 与g ( z ) 分担0 c m 如果存在两个判别的有穷非零复数a l ，a 2 满足：e 1 ) ( g j ，f ) = e 1 ) ( a i ，g ) o = 1 ，2 ) 及巧( 0 ，) + 6 ( a l ，f ) + 6 ( 0 2 ，f ) 0 ，则f ( z ) 三夕( z ) 定理2 b ( 【7 】) 设f ( z ) 与g ( z ) 为有穷非整数级整函数，且f ( z ) 与g ( z ) 分担0 c m 如果存在两个判别的有穷非零复数n 1 ，勉满足：e 2 ) ( a j ，) = e 2 ) ( ，g ) o = 1 ，2 ) ，则f ( z ) 兰夕( z ) 1 9 9 5 年，仪洪勋将定理2 a 的条件6 ( o ，) + 6 ( a x ，) + 6 ( 眈，f ) 0 减弱 为m a x o ( o ，) ，6 ( a l ，) ：6 ( a 2 ，) ；定理2 b 的条件易) ( q ，) = 易) ( 町，夕) ( 歹= l ，2 ) 减弱为瓦，) ( ，) = e k j ) ( a j ，9 ) d = 1 ，2 ) ，其中七1 1 ，2 1 9 9 6 年，仪洪勋又将上述整函数的情形推广到了亚纯函数，得到了下面的 结论 定理2 c ( 【2 】) 设( z ) 与g ( z ) 为非常数亚纯函数，( z ) 的级入( ，) 与 下级p ( f ) 中至少有一个为有穷非整数，且，(