（基础数学专业论文）lie环的幂零准则.pdf

中文摘要 摘要 任意一个群g ，我们可以通过g 的下中心群列构造一个l i e 环，这个l i e 环称 作g 的相伴厶e 环，记作三( g ) 通过研究l ( g ) 的有关性质，我们可以得到g 的有关 性质 特别地，当g 是幂零的，贝j j l ( g ) 也是幂零的且幂零类与g 的幂零类相同： 若g 同时也是有限的，贝j j l ( g ) 也是有限的且其阶与g 的阶相同 由于l i e 环方法在研究群的幂零性质上有重要作用，所以研究l i e 环本身的幂 零性也是非常重要的 本文主要证明了l i e 环的以下三个幂零准则 定理l 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是可解的； ( i i ) l 7 2 ( l ) 是有限生成的； ( 饿) 对任意的z l ，存在自然数n ，使得z 是左扎一e n g e l 的， 则l 是幂零的 定理2 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是可解的； ( i i ) l 是腹的； ( 谢) 对任意的z l ，存在自然数n ，使得z 是左n e n g e l 的， 则是幂零的 定理3 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是局部幂零的； ( i i ) l 满足理想上的极大条件， 则己是幂零的 关键词： 幂零髓e 环；局部幂零；极大条件；中心化子；左n e n g e l 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t f o rag r o u pg ，w ec a ng e tal i er i n gl ( g ) w h i c hi sd e f i n e di nt e r m so ft h el o w e r c e n t r a ls e r i e so fg l ( g ) c a nr e f l e c ts o m ep r o p e r t i e so fg e s p e c i a l l y , i fg i sn i l p o t e n to fc l a s se ，t h e nl ( g ) i sa l s on i l p o t e n to fe x a c t l yt h e s a m ec l a s sc ，a n di fgi sa l s of i n i t e ，t h e n il ( g ) i = igi l i er i n gm e t h o d sp l a yg r e a ti m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn i l p o t e n tg r o u p s i nt h i sp a p e r , t h r e en i l p o t e n c yc r i t e r i af o rl i er i n g sa l ep r o v e d t h e o r e m1l e tlb eal i er i n ga n ds u p p o s et h a t ( i ) li ss o l u b l e ； ( i i ) l y 2 ( l ) i sf i n i t e l yg e n e r a t e d ； ( i i i ) f o re a c hz l ，t h e r ee x i s t s 佗n ，s u c ht h a tzi sl e f tn e n g e l ， t h e nli sn i l o p t e n t t h e o r e m2l e tlb eal i er i n ga n ds u p p o s et h a t ( i ) li ss o l u b l e ； ( i i ) ls a t i s f i e st h em i n i m a lc o n d i t i o no nc e n t r a l i z e r s ； ( i i i ) f o re a c hz 三，t h e r ee x i s t s 竹n ，s u c ht h a tzi sl e f tn - e n g e l ， t h e nli sn i l o p t e n t t h e o r e m3l e tlb eal i er i n ga n ds u p p o s et h a t ( i ) li sl o c a l l yn i l o p t e n t ； ( i i ) ls a t i s f i e st h em a x i m a lc o n d i t i o no ni d e a s ； t h e nli sn i l o p t e n t k e yw o r d s ： n i l p o t e n c yl i er i n g s ；l o c a l l yn i l o p t e n t ；t h em a x i m a lc o n d i t i o n ； c e n t r a l i z e r ；l e f tn - e n g e l i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果：除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：瘁雌 签名日期：群年r 月弓f 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为 目的前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后 遵守此规定) 篇凰 指导教师签名：受、氐、幺 日期：柳基一r 一列 日期：矿略，r ，；j l序言 1 1引言及预备知识 1序言 l i e 环这种代数结构，起先是作为研究其它代数结构的工具而引入的一直以 来，l i e 环都是研究群的一个重要工具由群我们可以构造它的一个相伴l i e 环： 设g 是一个群，它有一个中心列： g = g o g 1 g 2 瓯 其中 【g i ，g 爿g 州 i ，j z 则可构造它的相伴l i e t 不l ( g ) ： l ( g ) = o g i g i + 1 且l ( g ) 中的乘法定义为 【x g i ，矽g j 】= 【x ，可】g 钾z ，y g 然后通过研究这个相伴l i e 环l ( g ) 的性质来研究其对应群g 的性质这种方 法我们称之为l i e 环方法 髓e 环方法在p 群有关性质的研究中，起到了重要作用，可见( 【5 】，【6 】，【7 】) 事实上，l i e 环方法在，般群的研究上也有着非常重要的作用，特别是在群的 幂零性质上，可见( 【8 】，【9 】，【l o 】) 既然l i e 环在群的幂零研究上作用重大，所以研究l i e 环自身的幂零性也是非 常重要的那么，满足什么样的条件，l i e 环才是幂零的呢? 这就是这篇文章的研 究重点 下面首先介绍l i e 环的基本定义及性质 1 一 湖北大学硕士学位论文 定义1 设l 是一个非空集合，如果在其上定义了两种运算：+ ，【 】 并且满足： ( i ) l 关于加法运算构成交换群； ( i i ) l 关于换位运算满足反交换性：【a ，a 】= 0 ，a l 禾l j a c o b i 恒等式【n ，b ，c 】+ 【b ，c ，a 】+ 【c ，a ，6 】= 0 ，a ，b ，c l ； ( 俐) 分配律成立：【0 + b ，c 】= 【a ，c 】+ 【b ，c 】，a ，b ，c l ， 则称l 为l i e 环 性质1 设l 为l i e 环，a ，6 为己中任意元，扎为整数则 ( i ) 陋，0 】= 【0 ，a 】= o ； ( i i ) 【a ，- b = 【- - a ，6 】= - a ，6 】； ( i i i ) 【n a ，6 】= f a ，礼6 】= n 【0 ，6 】 定义2 设s 是l i e 环l 的一个非空子集合，如果s 对l 的两个运算也成一 个l i e 环，那么s 称为l 的一个l i e 子环 性质2 设s 是l i e 环l 的一个非空子集合，则s 是l 的一个l i e 子环当且仅当任 意a ，b l ，有a b l ，【a ，6 】l 定义3 设l 为l i e 环，cl 是l 的一个加法子群，如果对于任意7 l ，a ，都 有【r ，a 】i ，陋，r 】，那么，称作l 的一个理想( 或称双边理想) 记作iq l 注1 ：由反交换性p ，a 】= - 【n ，r 】，易知l i e 环l 的左，右理想与双边理想是一致 的 定义4 设a ，b 是l i e 环l 的两个非空子集合，定义： a + b = o 十bia a ，b b ) 注2 ：若a ，b 均为l i e 环三的子环，且有一个为l 的理想，则a + b 也为l 的子环 定义5 设，j 是觑e 环l 的两个理想，定义【，j l i 为：g l a ，6 】ia i ，b j ) 生成 的加法子群显然【j ，川也为l 的理想 定义6 设l 与l 7 是两个l i e 环，盯是l 至i j l 7 的一个映射如果对于所有a ，b l ， 盯具有性质： ( i ) a ( a + b ) = 盯( n ) + 口( 6 ) ； 2 。厶。 1 序言 ( i i ) 盯( 陋，6 1 ) = p ( n ) ，盯( 6 ) 】 那么盯称为助e 环l 到7 的一个勘e 同态映射( 或简称l i e 同态) 记为盯：l _ l 7 若盯是l 至：i j l 7 的一个一一对应，且具有以上两个性质，则称盯为l i e 环l 到三7 的一 个l i e 同构 定义7 设，是l i e 环l 的一个理想，j 作为l 的加法子群，l 中元素按，分成陪 集7 + ，r l 在陪集之间定义： ( r 1 + j ) + ( r 2 + i ) = ( r l + r 2 ) + i ，r l + i ，r 2 + 明= 【r l ，r 2 】+ i ， 其中r 1 ，您为三中任意元则勘e 环l 对于j 的陪集在以上定义的运算下所形成的环 称作l 对于，的商环，记作l x 定义8l 为l i e 环，它的上中心列定义为： 0 = 白( l ) 6 ( l ) 厶( l ) 其中厶+ 1 厶l = e ( 三a ( l ) ) ，i = 0 ，1 ，2 ，特别地，4 i ( l ) = ( ( 三) 为l 的中心 它的下中心列定义为： l = ，y l ( l ) 9 2 ( l ) ( l ) 其中竹+ i ( l ) = h ( l ) ，引，j = l ，2 ， 若已( l ) = l 或7 c + l 陋) = 0 ，则称l 是幂零的，且幂零类为c 定义9l 为l i e 环，它的导长定义为： 三= l ( 1 ) l ( 2 ) l ( n ) 其中l ( 南+ 1 ) = 【l ( m ，l ( 七) 】，k = 1 ，2 ， 若存在正数d ，使得l d = 0 ，则称三是可解的满足条件的最小数瓣作l 的导长 定义l ol 为l i e t 不，取z ，y l ，对k o ，定义i x ，七+ 1y 】= 【i x ，七剪】，乩 若存在自然数凡= 仡( z ) ，使得对任意的z l ，有【z ，n z 】= o ，则称z 是左礼一 e n g e l 的 一1 一 湖北大学硕士学位论文 若佗的取值与x 无关，则称x 是n e n g e l 的 定义1 1l 为l i e 环，贝, l j l 的中心因子定义为： ( ( l ) = z l i 【z ，x 】= 0 ，任意的x l ) 定义1 2l 为l i e 环，a 为l 的子集合，则a 在l 中的中心化子定义为： 既( a ) = z l | 【x ，y 】= 0 ，任意的y a ) 显然既( a ) 为l 的一个子环若a 是l 的理想，则既( a ) 为l 的一个理想特别地， 优( l ) = ( ( l ) 定义1 3 三为乜e 环，若对l 的任意子集合a 存在a 的有限子集a o ，使得c l ( a ) = 既( 山) 则称l i e t 不l 满足中心化子上的极小条件，记l 是尥的 定义1 4l 为l i e 环，p 为三的子环，定义砚( p ) = 0 ， q ( p ) = z l i 对每个i o ，l ，佗一1 ) ，z 理想化砚( p ) ， 且陋，y 】睨- 1 ( p ) ，对任意的y p ) 定义1 5l 为l i e 环，若l 的任意有限子集合都包含于l 的一个幂零子环中，则 称l 是局部幂零l i e 环 本文采取的其他符号和术语都是标准的，可参考【4 】 1 2 主要结论及结构 本文主体部分按如下的方式展开： 第二章：l i e 环的幂零准则l 及其证明 定理1 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是可解的； ( i i ) l 7 2 ( l ) 是有限生成的； 4 1 序言 ( 绝) 对任意的z l ，存在自然数n ，使得z 是左n e n g e l 的， 则l 是幂零的 第三章：l i e 环的幂零准n 2 及其证明 定理2 设己为l i e 环且满足 ( i ) l 是可解的； ( i i ) l 是尥的； ( 撕) 对任意的z l ，存在自然数n ，使得z 是左n e n g e l 的， 则l 是幂零的 第四章：l i e 环的幂零准则3 及其证明 定理3 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是局部幂零的； ( i i ) l 满足理想上的极大条件， 则l 是幂零的 一5 湖北大学硕士学位论文 2l i e 环的幂零准则1 2 1l i e 环的幂零准则1 定理l 设为l i e 环且满足 ( i ) l 是可解的； ( i i ) l 7 2 ( l ) 是有限生成的； ( 俐) 对任意的x l ，存在自然数几，使得x 是左n e n g e l 的， 则是幂零的 2 2 准则1 的证明 在证明定理1 之前，先介绍几个引理： 引理1 设己是l i e 环，是l 的一个幂零理想且幂零类是c t 是三的一个子集 合且满足：任意t l ，t 2 t ，有1 ，亡2 】i 若存在自然数礼，使得对任意u ，任 意t 1 ，t 2 ，如t ，有f 让，t l ，t 2 ，亡n 】= o 那么j + ( d 是幂零类o n + 1 的幂零 子环 证明首先证明：若v ( ( ，) ，u 1 ，u 2 ，乱n i + ( t ) ，n v ，乱1 ，u 2 ，u 住】= 0 令c = ( ( j ) 因为对任意z gy i ，z l ，有 陋，z ，y 】= 陋，y ，z 】+ 陋，【z ，纠】= 0 从而陋，名】c ，i l p c 是l 的理想 因为，是l l 艇f i _ 想，任意1 ，t 2 t ，有【亡1 ，t 2 】，故 ，+ ( t ) = o + w i a i ，u + ( t ) ) 假设u i = a i + ，其中o i ，w i + ( t ) ，则有 p ，u l ，u 2 ，乱n 1 = p ，a l + 0 3 1 ，a 2 + u 2 ，a n + o ) n 】= p ，5 d 1 ，0 ) 2 ，】 6 2 l i e 环的幂零准则1 不妨设咄= ；：l 竹铣，其中n 虢为整数，t 可得 p ，t | 1 ，u 2 ，u n l = p ，u 1 ，忱，】= n 巧。n 幼佗味p ，t 1 j 。，孟，懦】= 0 下面对c 进行归纳证明： 当c = 1 时，i = c ，对任意的i l l ，u 2 i + ( t ) ，有【u l ，i t 2 】i 故对任 意的u 3 ，牡4 ，u n + 2 i + ( t ) ，由开始部分证明，有心l ，仳2 ，u n + 2 】= o 从 而j + ( 丁) 的幂零类死+ 1 假设c 2 ，贝i j i c 的幂零类c 1 由归纳假设，i c + ( 亍) 的幂零类( c 一 1 ) n + 1 ，其中r = 氐+ t i t i t t 令k = ( c x ) n + 1 ，任意u l ，u 2 ，u k + 1 i + ( t ) ，则【u 1 ，1 1 , 2 ，牡七+ 1 】c 根据开始部分证明，对任意u k + 2 ，t l 七+ 3 ，i t 七押+ l ，+ ( t ) ，有 【 i t l ，u 2 ，i i , k + l 】，u k + 2 ，u k + 3 ，札七+ 忭+ l 】= 0 因此，+ ( t ) 的幂零类k + 佗= 饥+ 1 引理2l 是勘e 环，是l 的一个幂零理想，t 1 ) t 2 ，t r l 满足任意瓦歹 1 ，2 ，r ) ，有限，t j 】，若存在自然数n ，使得对任意i l ，2 ，r ) ，如是佗一 e n g e l 的则，+ ( t l ，亡2 ，0 ) 是幂零的 证明因为，幂零，所以，有上中心列为： 0 = 白( ，) 6 ( ，) ( c ( ，) = i ， 其中c 为，的幂零类 下面只需证明：对任意白( ，) ，1 i c ，存在自然数乜，使得对任意札g ( j r ) ，任 意如，t j 。 t l ，t 2 ，t r ) ，有 对i 作归纳法 【u ，t j l ，t j 2 ，t j k 】= 0 7 湖北大学硕士学位论文 i = 1 时，( 1 ( ，) = 1 时，有归纳假设，存在自然数k i ，使得对于任意口6 ( j ) ，1 i c ，有p ，t j 。，t j 。，岛k t l = 0 则若u 厶+ l ( j ) ，由e ( j g ( ，) ) “1 ( ，) 心( ，) 知心，t t l 一，t t 。】6 ( n 从而 m ，t t 。，t l k lt j l ，t j 2 ，巧h 】= 0 即存在自然数k i + l = k l 十k i ，使得i + 1 时也成立 令i = c ，可得存在自然数k ，使得对任意u c c ( ，) = i ，任意t j ，t j 。 亡1 ，t 2 ，0 ) ，有【牡，t j 。，t j 。】= 0 由引理l 知，j + ( t l ，t 2 ，t r ) 是幂零的 引理3l 是l i e 环，是l 的幂零理想使得l ，的幂零类是c 假设l 仇( l ) 模，是 有限生成的且生成元为t 1 ，t 2 ，t r 对于任意z l ，存在自然数礼，使得z 是左佗一 e n g e l 的则，+ ( l ) 是幂零的 证明由于l 7 2 ( l ) 模，是由x 生成的，其中x = 亡1 ，t 2 ，0 ) 故( l ) + l ( l ) 模x 是由 i t j 。，t j 。，t j 。】x ，i = l ，2 ，c ) 生成的 由于l ，的幂零类是c ，从而+ 1 ( l ) j ，即( 7 c ( l ) + z ) x 模是由 生成的那么 畅，t j ：，t j 。 l t j 。x ，i = 1 ，2 ，c ) ( l ) + j = ，+ ( 。，o j 。，t j 。 l t j 。x ，i = 1 ，2 ，c ) 8 2 l i e 环的幂零准则1 令u = f 巧。，如，】i 屯x ，i = 1 ，2 ，c ) ，下证，4 - ( u ) 是幂零的 因为任意u l ，u 2 u ，有 u l ，u 2 】，而u 是有限集，由引理2 知，i4 - ( u ) 是幂零 定理l 的证明设d 为l 的导长，对d 作归纳法 d = 1 时。显然成立 d 2 时，记a = 厶( d - 1 ) a 交换，于是l 似是导长为d 一1 的可解l i e 环 ( l a ) 7 2 ( l a ) 垒l 7 2 ( l ) 是有限生成的i i i i l a 满足条件( i i i ) 所以由归纳假 设三似是幂零的不妨设它的幂零类为c 由引理3 ，a4 - ( l ) 幂零 设l 的下中心列为：l = 7 1 ( l ) 7 2 ( l ) ( 己) 下面证明a + 一i ( l ) 是幂零的，其中1 i 1 ，令a = a + 一 ( 三) ，其中l i c 由归纳假设a l 幂零，l a 一1 = l ( a4 - 协州( l ) ) 的幂零类c i 又 l ( a , 一14 - 7 2 ( 5 ) ) = 三( 挖( 三) 4 - a4 - ，) ，c i + l ( l ) ) = l ( ，y 2 ( l ) 4 - a ) = i y 2 ( l ) 是有限生成的由引理3 知 a i 一14 - 一y 。一i ( l ) = a4 - 一y 。一件l ( l ) 4 - 7 y c 一 ( l ) = a + 7 c 一 ( l ) = a 是幂零的 一9 一 湖北大学硕士学位论文 令i = c 一1 , 贝i j a + y l ( l ) = a + l = l 是幂零的 1 0 3 l i e 环的幂零准则2 3l i e 环的幂零准n 2 3 1l i e 环的幂零准则2 定理2 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是可解的； ( i i ) l 是尬的； ( 饿) 对任意的z l ，存在自然数佗，使得z 是左礼一e n g e l 的， 则l 是幂零的 3 2 准则2 的证明 在证明定理2 之前，先介绍几个引理 引理4h ，k ，l 为厶e 环l 的三个子环若【日，k ，纠，【k ，l ，日】，陋，日，k 】中有两 个包含于l 的子环，则第三个也包含于 证明若【k ，己，刎，陋，只刚包含于，则对任意h h ，k k ，z l ， 由j a c o b i 等式得 【h ，k ，2 】+ 【k ，z ，明+ 【f ，h ，k 】= 0 ， 于是 【h ，k ，z 】= - k ，l ，纠一【f ，h ，k 】【k ，l ，h 】+ 【l ，h ，k 】n ， 故【日，k ，翻也包含于 引理5l 是厶e 环，p 为l 的子环，则h ( p ) ，磁( p ) 】磁一( p ) ，i ，后为任意正整 数且满足i k 证明由定义知： 0 = c o ( p ) q 砚( p ) q q 优( p ) 司 且【砚( p ) ，p 】9 争1 ( p ) 令弓= pip p 【c i ( p ) ，p 】口j ( p ) ，任意的班特别地，p i = p 则弓为l 的了环 湖北大学硕士学位论文 事实上，取l ，z p j ，啦c t ( p ) 【啦，z + 2 ，】= 【啦，明+ 【啦，z ，】c ( p ) 即z + z 7 弓 【扎i ，- l 】= - n i ，明c ( p ) 即一z p j 【佗t ，p ，f ，j j = 一【f ，【f 7 ，n t 】j 一【f 7 ， t i ，f 】c j ( p ) 即【f ，z 7 】p j 所以p j 为l 的子环 应用引理4 由 【砚( p ) ，弓，】【c ( p ) ，p m 口j - m ( p ) ， 【，砚( p ) ，弓】 c t - m ( p ) ，p j 】嗜j m ( p ) ， 可以得到【弓，o t ( p ) l 一m ( 尸) ，即f 弓，p m js 弓+ 仇特别地，f 马，b 】= 【弓，p 】p j + 1 因而弓构成p 的中心列，故讯( p ) 只，所以 h ( p ) ，c i ( p ) 】【只，磁( p ) 】咣一( p ) 引理6l 是l i e 环，p 为l 的一个子环设x 为p 的一个子环且满足 既( - y , c x ) ) = c t ( 竹( p ) ) ，i = 1 ，2 ，k 则磁( x ) = 咙( p ) 证明k = 1 r c j 。，显然成立 假设后2 首先在i 上作归纳法证明 【饥一i ( p ) ，磁( x ) 】砚( p ) ，i = 0 ，1 ，k 一1 i = 0 时，由引理5 知， m ( x ) ，c t ( x ) 】= 0 ， 故【饥( 尸) ，c l ( x ) 1 = o 即i = o 时成立 1 2 3l i e 环的幂零准则2 假设l t 一1 则 m t ( p ) ，x ，磁( x ) 】- - i + 1 ( 尸) ，晚( x ) 】c t - 1 ( p ) 且由引理5 知 一；( p ) ，i x ，磁( x ) 】陬一i ( p ) ，砚1 ) 】- 一t ( p ) ，磁- 1 ( p ) 】c t - 1 ( p ) 应用引理4 ，可得 m t ( p ) ，优( x ) ，x 】霄1 ( p ) 又因为霄1 ( p ) = 口1 ( x ) ，所以 一 ( p ) ，晚( x ) ，x 】c t - 1 ( x ) 因此 一t ( p ) ，优( x ) 】砚( x ) = 砚( p ) 令江k 一1 ，有【p 磁( x ) 】咣- 1 ( p ) ，因此磁( x ) 罐( 尸) 但 ，优( p ) 】磁一1 ( p ) = 优- 1 ) 因此磁( p ) 磁( x ) ，所以优( p ) = c t ( x ) 引理7 厶是眈e 环且是m ：的，令h = l “一1 ( l ) ，其中后1 则存在日的有限集 合a ，使得( ( 日) = c h ( a ) 证明对任意i ，1 i 岛，存在m ( l ) 的有限集合互，使得优( m ( l ) ) = 优) 又存在l 的一个有限生成子环k ，使得正( k ) 令x = ( x 1 ，虬) ，则对任意i ，有 q ( ( 三) ) 既( m ( x ) ) 既( 正) = 既( m ( l ) ) 湖北大学硕士学位论文 所以 故c l h ( x ) ) = 既( 侃( l ) ) 因此，由引理6 ， 砚) = q ( l ) ，i = 1 ，2 ，k c ( x c k 一( l ) 矗一l ( l ) ) = 靠( l ) 靠一1 ( l ) = e ( 日) 令a = x c k l ( l ) 靠一l ( 三) ，即可得( ( 日) = c h ( a ) 推论8l 为局部幂零的反e 环且是尬的，若存在k 1 ，使得“一1 ( l ) 真包含 于厶则颤一1 ( 三) 真包含于靠( l ) 证明设a ，日为引理7 中所定义的，则 c h ( a ) = ( ( 日) = c k ( l ) 靠一1 ( l ) ， 由日是局部幂零且日0 可得 0 e ( ( a ) ) ( a ) n ( a ) 翰( a ) ， 故c 0 ( a ) o ，即靠一- ( l ) 真包含于矗( l ) 定理2 的证明由定理1 知l 的每个有限生成子环是幂零的，故l 是局部幂零的 因为l 是尬且局部幂零的，故有e ( l ) 0 可设l 不交换，由推论8 ，可得o 6 ( l ) = ( ( l ) 真包含于白( 己) 设也 已( l ) 一臼( l ) ，贝i j 7 2 ( l ) c l ( u ) 事实上，若g ，h l ，有【9 ，h ，叫= 一，u 】，g 】一 【阻，夕】，九】，而让岛( 三) ，可得【l ，“】，【仳，夕】e ( 三) 故( 夕，h ，“】= 0 因为l 是尬的，不失一般性，我们可设c l ( 乱) 幂零定义 c = 既( ( 2 ( l ) ) = n 既( u ) ， u e c 2 ( l ) 一e 1 ( l ) 则他( 上) c r c 幂零因为已( l ) 是三的理想，故c 也是l 的理想 证明l 幂零，即证：存在自然数i ，使得c a ( l ) 事实上，若c 厶( l ) ，则【c ，tl 】= o 而仇( 己) c ，故【一y 2 ( l ) ， l 】= o 即+ 2 ( l ) = 0 ，l 是幂零的 1 4 3 l i e 环的幂零准则2 对某i o ，设歹为满足白一l ( c ) ( l ) 的最大整数 h j f l 9 取值，任意的t ， 白( c ) 缸( l ) r l 白( c ) 不包含于6 ( l 厶。( l ) ) 又 白( c ) 6 。( l ) ng ( c ) ( ( c g 。( l ) nc ) ， 故可用三6 。( l ) 代替三可假设任意的i ，( ( c ) 不包含于g ( l ) ，由引理7 ，存在有限 集合a ，使得c i l ( a ) = e ( l ) 令m a 且为满足对任意的i ，q ( c ) ( a ) 真包含于6 ( l ) 的最大集合这样 的m 是存在的，因为畋( c ) ( d ) = ( ( c ) ，即( ( c ) 满足条件而m a ，因为q ( c ) ( a ) = ( ( 三) n ( ( c ) 取l a m ，则z 对某正数几是钆一e n g e l 的，即k ( c ) ，nl 】= 0 取仇满足【q ( c ) ( m ) ，仇f 】o 且【q ( c ) ( m ) ，仇+ lf 】= o 取g q ( d ) ( m ) ，z m ， 1 妇j a c o b i 等式得b ，z ，叫= - 1 ，z ，纠一k ，g ，f 】，由夕的取法知9 e ( c ) ，而仇( l ) c ，所 以【f ，z ，g 】= o u p g ，f ，卅= b ，z ，f 】 故b ，m f ，z 1 = 【夕，z m 司= o ，即 【q ( c ) ( m ) ，m ? 】sq ( c ) ( m ) 所以 【q ( c ) ( m ) ，m 即q ( g ) ( mu z ) ) 由m 的极大性，得存在自然麴，使得q ( c ) ( mu z ) ) 白( l ) 故【q ( c ) ( m ) ，m 明 白( l ) 则q ( c ) ( 彳) 白m ( l ) 事实上，令u = b ，v n , - - 1 ( z ) 】，可得u q ( c ) ( m ) 下面证明u 白卅( l ) 由条件【牡，f 】白( l ) ，即任意的 1 ，v 2 ，l ，有u ，v l ，耽，】= 0 而 【u ，z ，v l ，v 2 ，】= 【钆，v l ，i ；2 ，f 】= 0 因此【让，v l ，抛，】q ( c ) ( mu 2 ) ) 白( l ) 故乱白扣( l ) 在【夕，m - - 2 ( z ) 】，b ，2 ( f ) 】，【g ，( f ) 】 夕上重复上过程即可证得q ( c ) ( m ) 白m ( l ) 欧( c ) ( m ) 白m ( l ) 与m 的定义矛盾故假设( ( c ) 不包含于任意厶( l ) 不成立 1 5 湖北大学硕士学位论文 4l i e 环的幂零准则3 4 1l i e 环的幂零准贝, l j 3 定理3 设l 为l i e 环且满足 ( i ) l 是局部幂零的； ( i i ) l 满足理想上的极大条件， 则l 是幂零的 4 2 相关定义 定义1 6l 为l i e 环，设莎为l 的理想的集合，若莎的非空子集合至少有一个极 大元素，则称l 满足理想上的极大条件，记作三满足m a x n 若莎为l 的子环的集合，且满足以上条件，则称l 满足极大条件，记作l 满 足m a x 定义1 7l 为l i e 环，若l 0 ，令f r a tl 为l 的所有极大子环的交；若l = 0 ，令f r a t l = 0 ，则称f i a tl 为l 的f r a t t i n i 子环 定义1 8l 为l i e 环，厶是l 的子环，且厶璺厶一1 ，其中i = 1 ，2 ，r ，则称l i e 环 列l = l o l 1 l 2 l r = 0 为l 的一个次理想列。 日为l 的子环，若日出现在l 的某个次理想列中，则称日为l 的次理想，记 作日q 司l 定义1 9l 为l i e 环，a 为l 的子集合。则a 在l 中的理想化子定义为： 2 ( a ) = 【z l i 【z ，a 】a ) 若l 的每个真子环都小于它的理想化子，则称l 满足理想化条件 定义2 0 三1 ，l 2 ，工为l i e 环，盯：l l l 2 叫己是由三1 ，l 2 到上的一个双线性映 射若对于任意l i e 环l 7 ，任意一个双线性映射妒：l 1 l 2 一己，都存在唯一的线 性映射矽：l 哼工，使得妒= 妒盯那么三称为l 1 与三2 的一个张量积，记作l 1ol 2 1 6 4 l i e 环的幂零准n 3 4 3 准n 3 的证明 在证明定理3 之前，先介绍几个引理 引理9l 为有限l i e 环，若l 幂零，则f r a tl 证明首先证明：若l 幂零，则l 的任意子环为次理想 设l 是类长为c 的幂零李环，则： 0 = 白( 三) 司臼( ) 司司丘( 三) = l 设日为l 的任意一个子环，因为【q + l ( l ) ，l 】6 ( l ) ，从而 【日+ g ( l ) ，h + ( ； + 1 ( 厶) 】= 【h ，h 】+ 【h ，g + 1 ( l ) 】+ 【q ( l ) ，h 】+ 【6 ( l ) ，厶+ 1 ( l ) 】 h + q ( l ) ， 因此日+ g ( l ) qh + 6 + 1 ( l ) 故 h = h + 白( l ) 司h + a ( l ) q 司h + 厶( l ) = l 即日为次理想 接着证明：若l 的任意子环为次理想，则l 满足理想化条件 设i l ，因为，为l 的次理想，设i = i o 司 q q 厶= l 是，在l 中的次理想 列 取i 为最小正整数，使得i 厶成立，从而i = h l 司五，所以i 厶 n l ( i ) ，即l 满足理想化条件 然后证明：若l 满足理想化条件，则l 的任意极大子环都是理想 若m 为l 的一个极大子环，则m n l ( m ) 由m 的极大性，得m n l ( m ) = l 故mql 最后证明：若l 的任意极大子环都是理想，则l 7 f r a tl 若m 为l 的任意一个极大子环，则mql ，于是l 7 m f l ：t f r a tl 的定义及m 的 任意性知，l sf r a t l 1 7 湖北大学硕士学位论文 引理l ol 是一个勘e 环，令最= m l m + l l 及l 7 = 【l ，纠，则映射0 ： 只圆l l 7 一只+ 1 ( n + 7 i + 1 l ) p ( g + l ) 叫【a ，夕】+ 饥+ 2 三 是同态，其中a 7 i l ，g l 证明为方便起见，记l = 7 i l 设映射妒： 只l l 7 叫e + 1 ( a + m + l l ，g + l 7 ) 叫【a ，g 】+ m + 2 l 首先我们证明妒定义的合理性 对任意z 三7 ，有【口，z 】【厶，陋，l i 】l i + 2 ，则 k ，g + 纠= 【0 ，g 】+ 【a ，z 】三【o ，g m o dl 件2 ， 对任意y 厶+ 1 ，有【秒，g 】l 件2 ，则 【a + y ，g 】= 【n ，夕】+ 【y ，别三陋，g m o d 工件2 再证妒是双线性的对任意a 1 ，a 2 l t ，9 1 ，9 2 l ，我们有 【a l + n 2 ，夕】p = 【a l + a 2 ，g 】+ l 件2 = 【a l ，夕】+ 【口2 ，g 】+ l i + 2 ， 【口，夕1 + 夕2 】一= 陋，9 l + 9 2 】+ l 件2 = 【o ，夕1 】+ 【口，9 2 】+ l 件2 综上可知妒是一个只l l 7 一只+ 1 的双线性映射 由张量积的基本性质，妒可诱导张量积上的同态口 引理l l 若l i e 环l 幂零n l l 7 是有限生成的，$ t j l 满足极大条件 证明两个有限生成交换l i e 环的张量积显然是有限生成的 1 8 4 l i e 环的幂零准则3 由引理1 0 ，l 的每个下中心因子是有限生成的，故这些因子满足极大条件， 从而l 满足极大条件 引理1 2l 为l i e 环，则f r a t 己为三的非生成元的集合 证明设z f l a tl 设( s ) l 且l = ( s z ) ，则z 隹( s ) 且存在l 的一个极大 子环m ，使得( s ) m 且z 垡m 由f r a tl 的定义有：f r a tl m 而z f r a tl ，故( sx ) m ，与l = ( s ，z ) 矛盾，所以z 是l 的非生成元 反之，设z 是l 的非生成元，m 是l 的任意一个极大子环假设x 硭m ，则l = ( m ，z ) ，但( m ) = m l ，与z 是l 的非生成元矛盾，所以必有z m 由m 的任意性可知：x f r a tl 引理1 3 局部幂零l i e 环的主因子是中心的 证明设，是局部幂零l i e 环三的极小理想，贝1 j i 是l 的主因子只需证明，是三的 中心 若i 菇( ( l ) ，则存在a i ，g l ，使得b = 【a ，夕】0 因为b ，由j 的极小性 知：i f l o 为b 在，中生成的理想所以 设h = ( a ，夕，鲫，ii = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，扎) ，则由l 的局部幂零性，日为 一个幂零群 设a 为n 在日中生成的理想，则6 【a ，h 】a 于是【6 ，g o 】【a ，1 t l ，i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，n ，且a 【a ，刎 所以a = 【a ，刎且对任意的7 ，a = 【a ，h i 又日幂零，所以a = 0 从而a = 0 可得b = 【a ，g 】= o ，矛盾 定理3 的证明设l 7 = 【l ，别，贝i j l l 7 满足m a x 一礼i - 面l l 7 交换，所p f l , l l 7 满 足m a x 因此，存在有限子环x ，使得l = x l 7 又l 是局部幂零的，故x 是幂零的设x 的幂零类为c 1 0 l 陋 n 傅 m 汹 = 口 湖北大学硕士学位论文 记z ，衫，叉为厶l 7 ，x 模协2 ( l ) 的商环则z = 冠i 且z 幂零 由引理9 ，刀f r a t z ，即z = x ( f r a t z l 由引理11 ，z 满足极大条件，故f r a t ( 艺) 是有限生成的 由引理1 2 ，f r a t ( z ) 的生成元是z 的非生成元 所以z = - x ，即z 的幂零类之多为c ，且+ l ( l ) = + 2 ( l ) 记日= + l ( 三) ，有h = 【h ，剀 若日0 ，则由m a x n 知：存在l 的理想，使得是满足n 日的最大元 但h n 是l n 中的极小理想 由引理1 3 ，h n 是在l n 的中心里 因此f 日，l 】n h 矛盾所以日= 0 ，l 是幂零的 2 0 参考文献 参考文献 【1 】r m b r y a n t g r o u p sw i t hm i n i m a lc o n d i t i o no nc e n t r a l i z a r s j a l g e b r a6 0 ( 1 9 7 9 ) ：3 7 1 3 8 3 【2 】d j s r o b i n s o n ac o u r s ei nt h e o r yo fg r o u p s s p r i n g e r , b e r l i n ，1 9 8 2 【3 】m h a l l t h et h e o r yo fg r o u p s m a c m i l l a n ，n e wy o r k ，19 7 3 【4 】e i k h u k h o n i l p o t e