（基础数学专业论文）某些奇异积分算子的研究.pdf

摘要 本文分为四章。 在第一章中，我们研究了单位球面上的面积积分函数和非切向极大函数 的驴有界性；另外，我们还研究了乘积球面上的面积积分函数和非切向极大函 数的妒有界性问题。 第二章我们研究了一类带粗糙核且含有震荡因子的超奇异积分算子 和m a r c i n k i e w i c z 积分算子的奇次s o b o l e v 空间职到驴空间的有界性问题。该有 界性问题不仅包含了经典奇异积分算子的某些有界性，而且还推广了最近的一 些带震荡因子的奇异积分算子的有界性问题。 在第三章中，我们研究了在一般非双倍测度“下，目f l r b m o ( # 1 函数生成 的阶c a l d e r d n z y g m u d 交换子的驴有界性问题。在该问题中，我们适当地减弱 了已有的c z 核的正则性条件。 在第四章中，我们定义了一类新的权函数a ，( 口) ，它包含在经典的a p ( 兄n ) 权 中。然后证明了此类权函数也具有和a 。权一样的对偶性、反h 6 1 d e r 不等式和分 解定理等重要性质。另外，对某些粗糙核的奇异积分算子及极大函数，给出了 它们关于上述如权的加权不等式及相应的一些向量值不等式。 o 1 单位球面及乘积球面上的面积积分函数和非切向极大函数 记b ”= 。刀： 1 ) 为欧氏空间彤( n 2 ) 上的单位球，s n _ 1 是它的 边界，即扩- 1 = 胛： “l = 1 ) 。y ( s ”1 ) 定义为伊一1 上的p 次可积函数空 间，f f 川p = ( 厶一。f t ( w ) l p d ”7 ) ；，其中d 7 表示酽。上的面积元。设z 口“，z 7 的 函数 1j ，1 2 r ( z 7 ) = 亡二壬赤 是单位球面s n - - 1 上的p o i 8 s o n 核( 在本章中，i 。一z ，l 表示毋上两点间的距离) 。 设伊( 伊) 为s “上次连续可微函数的全体， 定义0 1 【5 】记6 ( s “) = n 墨o c 。( s “) ，其对偶为6 ( 伊) ，若f 6 ( 伊) ，则 称，为定义在球面上的分布。 摘要 显然，只( 一) 6 ( 驴) 。对分布，u ( z ) = 是口“上的调和函 数，称为，的p o i s s o n 积分。 设u 是b n 上的调和函数，u 的非切向极大函数和面积积分函数分别定义为： 其中r a ( z 7 ) 是点z 7 s ”- 1 和球 。b “： s i n a ) 形成的凸包，0 q 7 r 2 。 我们证明了 定理o 1 设，6 ( p 一1 ) ，u ( z ) 是，的j p d 诂s d 神t 分，0 o t ，卢 7 r 2 ，则对任 意的0 p 0 0 ， i i a 。( ) l i p ( 争一) c 2 0 帕( u ) l l p ( s - 一t ) ， ( 3 ) 其中正常数q 和q 仅与n 、p 、口和口有关 接下来我们给出一些符号的定义。记z = 0 1 ，。2 ) b n 扩= 一b ，孑= ( z j ，z ：) 伊- 1 s t m - 1 = 一s ，可= v lxv 2 和p - = b ，弓：，其中v 1 和v 2 分别 表示伊和b m 上的梯度算子。类似于6 ( 铲一1 ) , - 7 定义6 ( 写) 。对分布，6 。( 亏) ， 记札( 可) = ，称为，的二重p o i s s o n 积分。易知让( 可) 是乘积空间百上 的调和函数，即l 钍= 2 让= 0 ，其中1 和2 分别表示口n 和b m 上l a p l a c e 算子。 设u 是百上的调和函数，令石= ( q l ，n 2 ) ，r a ( 孑) = r 。，( 矗) r 口。( z ：) ，我们引 入u 的非切向极大函数和面积积分函数 屿( u ) p ) _ s u p 一1 u ( 讲 事r 百( 一) 如( 札) ( 孑) = ( 厶( - ) 阮( 列2 d 1 ( 1 一i - i ) d y z i i 耽i ) 一2 ( 4 ) ) 5 ( 5 ) 则有 定理0 2 设，6 ( 君) ，u 是，的二重尸d 妇s d 积分，石，万( 0 ，) 2 ，则对任 意0 p ， i i a - ( u ) r l p c i w 虿( u ) l l 口圆 ( 6 ) 其中g 只依赖于n 、m 、p 、西和虿 摘要 0 2 带震荡因子的粗糙超奇异积分算子 如果q 6 ( s n - 1 ) ( 定义见第一章) 满足 = 0 则称q 满足消失性条件，其中 表示s ”1 上的内积，篇为m 次球面调和多项 式，m s m ( 表示取最大整数部分) ，7 = 一1 r 一1 ) 。 定义0 2 【5 设，6 ( p _ 1 ) ，对任意的z b ”，让( z ) - - - ，令 p + f ( x ) = s u pl u ( r x ) l ， 则对0 p o 。，单位球面上的h a | d y 空间三p ( s ”一1 ) 定义为 日( s ，i - 1 ) = ，6 ( s r i - 1 ) ：1 1 1 1 - , 0 ，k q ，l i p s c h i t z 空间 。( s “- 1 ) 定义为 胪( 酽1 ) = ( 9 l ”( 酽- 1 ) ：j f g f l n a 0 设奶( z ) = 圣( 2 。) ，取满 足每。( f ) ：吼( f ) 的函数皿k ，使得画裔( f ) = ，( ) 吼( ) 。 定义0 4 7 】设1 p o o ，o r ，齐次s o b 0 1 e v 空间圮( f 矿) 定义为 醒( 俨) = ，：l i f l i l s ( 胛) o 。) ， 其中 j 川坫( 一) = f | ( 1 2 妇虮+ ，1 2 j z 1 i l p ( 舻) 摘要 下面分别给出定义在s c h w a r t z 空间s ( 尼。) 上的m a r c i n k i 哪i c z 积分算子。和 奇异积分算子死。的表达式 枷) = ( l 一2 - 2 “1 f h “，) ( 训2 出) v 2 ， 死，。( 似z ) = 2 - f n ，t ( ，) ( 。) d t ， ，且 ( 8 ) ( 9 ) 其中 f n ，。( ，) ( 。) ：2 一t 矿6 ( s ，2 t ) d s ，( 1 0 ) j 0 丘，t ( 矿) = ，一t y ，) ，t = 川，| ，= y l ! ，l ，b ( s ，t ) 是乘积空间肘xr 上的有界函 数。因为当，s ( 尼。) 时，丘，t ( ! ，) a a ( 驴一1 ) ( 参见文献【7 】附录) ，i n n _ i ：述g y 是合理的。若在( 1 0 ) 中令6 ( s ，2 ) = ( s ) x ( 1 2 ，1 ) ( 5 2 一) ，其中 ( s ) 是l ”函数，那么， 很容易验证，在相差一个常数的意义下，( 9 ) 式可化为 m ) = 脚f ”砸) $ - l - a 出 当q = 0 时，。，( z ) 就是经典奇异积分算子。关于算子。，( z ) 的研究，= - i 参e 3 硪 1 2 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 9 ，3 7 ，3 9 】等。当o o 时，陈大宁、丁勇 和范大山在文献 4 】中给出了如下定理： 定理a 设r = m 1 ) ( 竹一1 + q ) ( a2o ) ，q 日( s - 一1 ) 满足消失性条件( 7 ) ， 其中竹l 【a 】。若f s ( 伊) ，则当1 p 。时，有 0 死n f i i l , ( r ) sc l l a l l h 啪n 一，) l l f l l ：( s - ) | | p n ，。f l k r n ) c l l a l l 日r ( 舒一- ) | | 川醒( r ，i ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 成立，其中醒( 尼) 表示齐次s o b o l e 、，空间，常数c 与，和n 无关。 i i 燃, n n i n y e - 与b o c h n e r r i e s z 算子( 参见【4 4 】) 有着密切的关系，自然要 去考虑当核含有震荡因子时的上述算子。近来，陈大宁、范大山和hv l e 在文 献 1 1 中考虑了这样一类算子 7 j 。( ，) ( z ) = ! 虫3 。e “一，t l 一8 d t 摘要 且得到了下述结论： 定理b 设r = ( 1 1 一1 ) ( n 一1 + 7 ) ( 72o ) ，q h 7 ( 驴1 ) 且满足消失性条件( 7 ) 其中ms 【q 1 则当卢+ ，y o f ) p 2 ( 口一7 ) 0 和0 o ) ，q h 7 ( p 一1 ) 且满足消失性 条件( 7 ) ，其中m m 若对任意的【1 2 ，2 】，舻见上有界函数6 ( s ，t ) 满 足后i 岳6 ( s ，t ) l d s s g ，则：当2 f l ( 2 f l + 7 一q ) p q 一7 20 ，0 7 o 定理0 4 若q 和6 ( s ，t ) 满足定理o 5 中的条件，则j , c z ( z + 7 一a ) p o ) ，在 古典c a l d e r 6 n z y g m u d 理论的绝大多数结论中都是必要条件。后来在研 究p a i n l e v 6 问题的时候发现要处理带非双倍测度的复平面上的c a u c h y 积分 的l 2 有界性，最近十年来人们又逐渐发现只要对测度p 要求尺度条件0 s ) ，那 么即使没有双倍条件，c a l d e r 6 n - z y g m u n d 理论中很大一部分经典结果仍然是成 立的，例如奇异积分算子的各种有界性，r 1 定理以及丁6 定理，相应的工作可参 见【3 3 ，3 4 ，3 5 ，3 6 ，4 6 ，4 7 ，4 8 ，4 9 ，5 0 ，5 1 】。 定义0 5 设( z ，掣) 是r 。r 4 ( z ，y ) ：z = y ) 上的局部可积函数，如果满足 脚，v ) l 南：， ( 1 9 ) 及存在0 0 ： ， 正，( z ) = g ( x ，掣) ，( g ) d p ( ) j 忙一们) 如果截断算子满足| | 正刑，sc l l f l l ，我们称丁是p ( p ) 有界的，其中g 是一个 与e 无关的常数。 给定方体qcr d ，令为使得2 q 为双倍方体( 满足倍测度条件的方体) 的 最小非负整数，将2 0 记为q 。 摘要 定义0 6 【4 6 设p 1 为某一给定常数，l k ( p ) ，如果存在某个常数g 使 得对任意的方体p ( 中心在p 的支集) 。有 志五i ，- m 卅a p s 岛， 及对r d d p 任意两个双倍方体qcr ，有 f m 口，一t u r f i g 托，凡， 成立，其中 k q , r = 1 + 警幽 ( 2 k q ) ， a ，n 是! g - - 个使f ( 2 q ) f ( 兄) 的整数。 则称，是r b m d ( p ) 函数。记m i n c 3 = l i ：i i n b m o c 。) 。 给定6 r b m o ( i t ) ，我们可以通过下述迭代来定义r 的女阶交换子 t b ，j ( x ) = 【6 ( z ) ，瓦k 一- 】，( z ) ，死，o ，( z ) = t ( z ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 在文献 4 6 中，工u s a 证明了如果r 是c z o 算子，且l 2 ( p ) 有界，b r b m o ( # ) ， 则交换子【6 习在酽( p ) 上有界，且对任意的函数f 口( p ) ，有帅，t i 州p ( m 曼 c i i b l i 肋m o ( p ) l i 川p ( ，) 。在文献1 3 0 中，胡、孟和杨概括了t 0 1 s a 的结论，证明了 若t 是l 2 ( 肛) 有界的，则对任意的正整数k ，当l p 时，瓦，女在扩( p ) 上有 界，且对任意的函数，护( p ) ，有| i 瓦，k 川p “) c l i b lr 吖o ( ，) 0 川p 。本文将 证明如果我们把正则性条件( 2 0 ) 放宽到对任意方体qcr d ，对弘! ，q 及某 个1 r 1 ，t 在l 2 ( p ) 上有界，那么仍旧可以证明对任意的1 p o 和，矿r d ，i y 一矿i r ，k 满足 芝二f ( f k ( 。，y ) 一( z ，引+ i k ( y ，z ) 一( y ，z ) i ) d 丘( z ) c ，( 2 3 7 ) 蒉j 2 r i x yj l ，则相应的奇异积分算子满足 加权不等式( 2 4 ) 。 受文献【2 0 的启发，我t f 弓l 进一类新的权函数五，其范围小于a ，权，但包含 了上述径向权 。我们将看到，这类权和a 。权有很多相同的性质，并且对于某 些极大函数及奇异积分算子，相应的加权不等式有与a 。权时相同的形式。 在第四章的第二节中，我们将说明权函数元仍然具有对偶性、反5 t d e r 不等 式，不过对于分解定理我们还无法证明它完全成立，但仍有以下反过来的结果。 命题0 6 设 1 ( z ) ，忱( 。) a 1 ( 曰1 ) ，则u = 砚近一9 ：i p ( 尼) 然后，我们证明了下列加权不等式 定理o 7 设核函数q ( ! ，) 满足厶一，q ( 矿) 出( 9 7 ) = o 及下列任意一务 倒q ( ! ，) l 1 博n - - 1 ) 且为奇函数； 一矽q ( 矿) ( p - 1 ) ，q 1 且它是偶函数 则对任意u ( z ) 墨( 尼) ，存在常数c ( u ，p ，q ) ，使得以q ( 矿) 为核函数的奇异积分 算子丁满足 i t f ( x ) 1 9 u ( z ) d z c i f ( x ) 1 9 u ( z ) d z ( 2 6 ) j r nj 胛 考虑如下形式的算子s ： ， s l ( x ) = q ( 7 ) r e ，( z ) 如( ! ，) ， ，s h 一1 其中见，由某一维算子r 所定义，有 定理o 8 设q ( 矿) l 1 ( 伊- 1 ) ，若对某指标r 1 及任意u ( f ) a ，( r 1 ) 均有 r， i 励( t ) r w ( t ) d t g ，i ( t ) 1 7 w ( t ) d t ， 摘要x 则相应的向量值不等式 0 s 乃( z ) i 眼u ( ) 6 h q ，i i r 2 l l l , j | 矗( 。) 0 导u ( z ) 6 b ，凡n j 一 对任意指标1 0 ) a n dad i s t r i b u t i o nno nt h eu n i ts p h e r es ”w ep r o v et h a t i fq i si nt h eh a r d y s p a c eh 7 ( 5 卜一1 ) w i t h0 0 ) ，a n da l s os a t i s f i e s c e r t a i nc a n c e l l a t i o nc o n 出t i o n ，t h e n 死aa n d 硒de x t e n db o u n d e do p e r a t o rf r o m t h es o b o l e vs p a c e 肥t ot h el e b e s g u es p a c e 2f o rs o l l l ep i nt h et h i r dc h a p t e r 、w ec o n s i d e r e dt h e 2b o u n d e d n e 8 so ft h ec o m m u t a t o r g e n e r a t e db yar b m o ( u 1f u n c t i o na n dt h es i n g u l a ri n t e g r a lw h o s ek e r n e ls a t i s f i e s c e r t a i nm i n i m u m r e g u l a r i t yc o n d i t i o n w h e r epi sal h ：l o i lm e l t s u r eo nr 4w h i c h o n l ys a t i s f i e sp ( b ( z ，r ) ) c r “f o ra n yz r 4a n dr 0a n ds o m ef i x e dp o s i t i v e c o n s t a n t sca n dn ( 0 ，d 1 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ei n t r o d u c ean 州c l a s so fw e i g h t s 鼻p ( 肝) ，w h i c h i sc o n t a i n e di nt h ec l a s s i c a la p ( 俨) w ew i l ls h o wt h a tt h i sw e i g h tc l a s sa g o s a t i s f i e ss o r l l es i m i l a ri m p o r t a n tp r o p e r t i e sw i t ha ps u c ha st h ed u a l i t y ，t h er e - 嗍t t 5 d e r si n e q u a l i t ya n dt h es p l i t t i n gt h e o r e me c t t h e nu s i n gt h e s e i 口，w e s h a l lp r o v es o m ew e i g h t e di n e q u a l i t i e sa n dv e c t o rv a l u e di n e q u a l i t i e sf o rc e r t a i n s i n g u l a ri n t e g r a l sa n dm a x i m a ls i n g u l a ri n t e g r a l sw i t hi o u g hk e r n e l s 0 1e q u i v a l e n c ep r o p e r t i e so fm a x i m a lf u n c t i o na n da r e af u n c t i o n 0 1 1p r o d u c ts p h e r e s l e tb “= z 舻： 1 ) b et h eu n i tb a l li n t h ee u c l i d e a ns p a c e 舻，a n d l e tp 。1b ei t sb o u n d a r y , 伊一1 = 俨：i 叫，【= 1 ) a su s u a l 口( 伊一1 ) d e n o t e s a b s t r a c t t h es p a c eo fa l lm e a s u r a b l ef u n c t i o n so ns f l ，w i t h 忖= ( b i f ( u ) l d w ) ；， w h e r ed w d e n o t et h ee l e m e n to fs u r f a c ea t r e ao ns ”1 e tz b “t h ef u n c t i o n 。阿 p ，、 1 一即 只( 一) 。1 暑舞 i st h ep o i s s o nk e r n e lf o rt h es p h e r e 伊4 ( h e r ea n di nt h es e q u e l ， z 一石，1w i l l d e n o t et h ed i s t a n c eo ft h et w op o i n t si n 俨1 s u p p o s ec 2 ( 驴) i st h es p a c eo fk - t i m e sc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n s o n 扩 d e f i n i t i o no 1 d e n o t e6 ( p ) = n 啬g ( p ) ，a n d6 ( s “) i si t sd u a ls p a c e ， t h es p a c eo fd i s t r i b u t i o n s i ti st oe a s yt os e et h a tb ( 一) 6 ( 酽) i f ，i sad i s t r i b u t i o n ，z t ( z ) = i sah a r m o n i cf u n c t i o ni nb “a n di sc a l l e dt h ep o i s s o ni n t e g r a lo f | s u p p o s eu i sah a r m o n i cf u n c t i o no nb “t h en o n t a n g e n t i a lm a x i m a lf u n c - t i o ne n dt h ea r e ai n t e g r a lf u n c t i o no fa x ed e f i n e db y 0 ( 仳) ( 7 ) ：s u pi u ( z ) l ，( 1 ) z e r 口( 一) 圳) = ( z v 心炉d 知) 5 ， ( 2 ) w h e r er 口( z ) i st h ec o n v e xh u l lo ft h ep o i n tz 7 s 坼一1a n dt h eb a l l 伽r “： l s i n 口) ，0 a 7 r 2 i nt h i sc h a p t e r ，w eo b t a i n t h e o r e mo 1l e tf 6 + ( s 竹一1 ) ，1 正i st h ep o i s s o ni n t e g r a lo f ，0 o ，卢 7 r 2 ， t h e n f o r a n y0 p o o w eh a v e j i a 。( u ) l l l ，( s n 一，) sq 0 怫( 札) 怯( 邸一- ) ( 3 ) 3 w h e r e 西a n dg a r ep o s i t i v en u m b e r sd e p e n d i n go nn ，poa n d 卢 n o w ，l e tw ed e n o t e 芽= ( z 1 ，z 2 ) b “b m = 一b ，孑= ( z j ，z ：) s 俨1 - 1 = 一s ，一v = v 1 审2a n dp - = r 1 ，w h e r ev 1a n dv 2d e n o t et h e g r a d i e n to p e r a t o rs e p a r a t e l yo nb “a n db m a s 秒( s ) ，w ec a nd e f i n e6 ( 亏) f o r ，6 ，d e n o t eu ( 可) = ，w h i c hi sc a l l e dt h eb i p o i s s o n 坐婴坚l 一一 墅 i n t e g r a lo f t h u s ( 可) i sab i h a r m o n i cf u n c t i o no nt h ep r o d u c t 印a c e 百，t h a t l st os a y q = 2 缸= 0 ，w h e r e 1a n dd e l t a q d e n o t et h el a p l a c eo d e r a t o r s e p a r a t e l yo nb “a n db “ s u p p o s e 札i sab i h a r m o n i cf u n c t i o no n 百，l e t 石= ( 乜1 ，口2 ) ，r 百( 孑) = r 。1 ( 。：) r o ? ( ) ，t h en o n t a n g e n t i a lm a x i m a la n da r e ai n t e g r a lf u n c t i o no 争 e r a t o r so np r o d u c ts p a c ea r ed e f t n e da sf o u o w s 帕( u ) ( - ) = s u p l u ( p ) 哥r k 扭) 制酬私( 厶i v ( y ) t 2 t h e n w e h a v e d y l ( 1 一i 讥i )”一2 ( d y 2 1 一l 2 1 ) m ( 4 ) ( 5 ) t h e o r e m0 2 s u p p o s e ，6 ( 雪) ，t 工i st h eb i - p o i s s o ni n t e g r a lo f ，l e t 西，万 ( 0 ，j ) 2 ，t h e n f o r0 p o ) ，t h e g r e a t e s ti n t e g e rp a r to f7 = ( n 一1 ) p 一1 1 ) ，w es a yq s a t i s f i e st h ec a n c e l a t i o n c o n d i t i o n ，w h e r e d e n o t e st h ep a r i n go ns - 1 d e f i n i t i o no 2 n ，6 ( p 一1 ) ，t ( z ) = ，z b n l e t 尸+ ，( z 7 ) = s u pi u ( r x ，) j ， 0 曼r l t h e n f o r a n y0 p o 。，t h e h a r d y s p a c e h v ( s ”一1 1 i s t h es e to f 6 ( s - 一1 ) ：j i f l l 小 o ，女2a ，t h el i p s c h i t zs p a c ea a ( 伊1 ) i st h e s e to fa l lg l ”( 伊- 1 ) w i t hn o r m i i g i l l | g i | p 卜时s u p 。9 嘉9 ( r ) l t l * t 州) ( 1 _ r ) 扣。 0i f si z i ；l e t 呜( 互) = 圣( 正) d e f t n et h ef u n c t i o n 皿ib y 每女( ) = 圣 偿) ，s ot h a t 自瓦i 了( f ) = ，传) 圣k ( f ) d e f i n i t i o n0 4 f o r1 p a l l 口r ，t h eh o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c e s 醒( 胛) i st h es e to fa l ld i s t r i b u t i o n sfs a t i s f y i n g i l f l l l ：( 肿) - o ( 眇皿k + f 1 2 ) 钿p ( 肝) 0 0 d e n o t e f o r t ra n dz f ， ，2 t 晶f ( ，) ( z ) = 2 。6 ( s ，2 ) d s ( 8 ) j 0 w h e r e 厶( 矿) ；f ( x y ) = f ( x t y 7 ) w i t ht = m a n db ( s ，t ) b eab o u n d e d f u n c t i o no n 肘r 。 t h em a r c i n k i e w i c zi n t e g r a lo p e r a t o r aa n dt h es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r t n aa r ed e f i n e do ns c h w a r t zs p a c e5 ( 舻) ，r e s p e c t i v e l y , b y 脚。( ，) ( 。) = ( 2 - i r ，。( ，) ( z ) 1 2 d 矿2 ( 9 ) j 丑 ， 磊，。( ，) ( 工) = 2 “f n ，t ( f ) ( x ) d t ( 1 0 ) j r b yt h ed i s c u s s i o ni n 7 】，w ek n o wt h a t ，5 ( r ”) i m p l i e s 厶t ( ! ，) 。( s n - 1 ) t h e r e f o r e ，t h ea b o v ed e f i n i t i o n sa r ew e l l d e f i n e d a l s o ，i ti se a s yt oc h e c kt h a t a b s t r a c t i fl e tb ( s ，2 。) = h ( s ) x ( 1 2 ，1 ) ( s 2 。) ，w h e r eh ( s ) i sa nl 。f u n c t i o n ，t h e n ，u pt oa c o n s t a n t ，死，口( ，) ( 。) i st h es a m ea st h es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r ： t n ，a m ) = ! 觋f h ( t ) t 。1 ” 0 ，r e c e n t l y , c h e r t ， d i n ga n df a ni n 【4 e s t a b l i s h e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： t h e o r e mal e t1 p o 。，f o rn o ，s u p p o s et h a tq h ( 酽- 1 ) w i t h r = ( n 一1 ) ( n 一1 + n ) a n ds a t i s f i e s ( 1 ) f o ra l l 】么( ) ) w i t hd e g r e e 价 o 】 t h e n l i 死，口川p ( 舯) sc l i q i i 胪( 舒一t ) 1 1 州职( 胛) ( 1 1 ) i l i , o ，。川p ( 册) e | i q 0 伊一，) | 川职( 伊) ( 1 2 ) f o ra l lf s ( 舻) ，w h e r e 圮( 口) d e n o t e st h eh o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c e ，a n dc i sac o n s t a n ti n d e p e n d e n to ffa n dq p e o p l ea r ea l s oi n t e r e s t e di nt h eo p e r a t o rw i t ha l lo s c i l l a t i n gf a c t o re “一9 i n i t sk e r n e ls i n c ei ti sr e l a t e dt ot h eb o c h n e r - r i e s zo p e r a t o r s ( s e e ) r e c e n t l y c h e n ，f a na n dl e 【1 1 c o n s i d e rt h eo p e r a t o r 如，。( ，) ( z ) = 觋f e “气1 1 0 ) a n d s a t i s f i e s ( 1 ) f o ra l l ( ) ) w i t hd e g r e emsm ，t h e n f | 如，。列p ) c i l n l l r 一，) l l f l l ：，( r - ) ( 1 3 ) f o ra l lz ( z + 一y q ) p 2 ( o 一，y ) 0a n d 0 0 ) a n d s a t i s f y ( 1 ) f o ra l l ( 矿) ) w i t hd e g r e em m s u p p o s eb ( s ，t ) i sab o u n d e d f u n c t i o no i l 矿ra n ds a t i s f i e s 后j 击6 0 ，t ) l d s c ，f o re v e r yt 【1 2 ，2 】t h e n j | 晶，。，p ( r ，1 ) sgj | q 0 r ( s 一) 0 ，l p ( 舻) ( 1 6 ) f o ra l l2 d ( 2 卢+ 7 一口) p 口一7 0a n d 0 - y 口 t h e o r e m0 4l e tf 2a n db ( s ，t ) b eg i v e n 鸽i nt h e o r e m1 1 ，t h e n i l 口n 。，口( 舻) gj i q i i ( 争一，) 0 ，职( 伊) ( 1 7 ) f o ra l lz ( z + 1 一a ) p 2 ( a 一，y ) 20a n d 0 0 w h e r e c a n d 几a r ep o s i t i v ec o n s t a n t sa n d0 e a n dt h e no n es a y st h a tti sb o u n d e do n 驴( p ) i ft h eo p e r a t o r s 正a r eb o u n d e d o np ( p ) u n i f o r m l yo ne 0 g i v e nac u b eqcr d ，l e tnb et h es m a l l e s ti n t e g e r 0s u c ht h a t2 qi s d o u b l i n g w ed e n o t et h i sc u b eb y 百 d e f i n i t i o n0 6l e tp 1b es o m e 丘) c e dc o n s t a n t w es a yt h a tf l k ( p ) i s i nr b m o ( , u ) i ft h e r ee x i s t ss o m ec o n s t a n t 岛s u c ht h a tf o ra n yc u b eq