（基础数学专业论文）具非线性中立项时滞差分方程解的振动性.pdf

具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 摘要 本硕士论文由三章组成。 第一章，研究具非线性中立项时滞差分方程方程 ( z 。一p z 芸一，) + z ：一，= o ， 礼n o 正解的存在性 第二章，首先获得了具非线性中立项时滞差分方程 ( z 。一p z 芸一，) + z ：一。= o ， 礼n o 在以下两种情形 ( i ) q ( 1 ，) ，p ( o ，) ；( 扼) 口= l ，p ( o ，。) 下有界解振动的几个充要条件，接着进一步研究了在条件o 1 ，o o 和登s m 一- q 。 oa n d s ”一1 q s o 和盯o 是整数，q 和p 是两个正奇数之比，p ( 一。，0 0 ) ， ) 是非负实数序列当o = 卢= 1 时，方程( 1 ) 即为线性差分方程 ( z 。一p z 。一，) + z 。一。= o ， 礼n o( 2 ) 关于其解的振动性和非振动性已有许多好的结果，参见文献( 8 ，9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ， 特别是文献 8 1 中，张，高证明了当p 1 且曼 时方程( 2 ) 存在有 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 2 界正解，文献 1 6 中唐证明了方程( 2 ) 存在有界正解的充要条件是p = 1 且主s 吼 当口，p 1 时，相关的研究很少，仅在文献 1 1 】中证明 了当a ( o ，1 ) 时方程( 1 ) 存在最终有界正解的充要条件是p ( o ，。) ，且 登s 吼 o 及条件登q 。 下 证明方程( 1 ) 存在有界正解，所得结果推广了已有的结果第二章的主要 目的是在下述两种情形 ( i ) q ( 1 ，。o ) ，p ( o ，) ；( i i ) n = 1 ，p ( o ，) 下进一步研究方程 ( 1 ) 解的振动性，获得了一些新的结果，填补了已有文献中的空白 对于奇数阶非线性中立型差分方程 ”( z 。一p z 三一，) + z ：一，= o ， n n o( 3 ) 文献f 8 ，5 0 】中研究了当a = = 1 时其正解的存在性，分别讨论了以下五种 情形： o p 1 ； 一1 p o ； p 一1 ；p = 一1 得到了方程( 3 ) 在上述五种情形下存在最终正解的充分条件是萎s 一1 o 及条件 登s m _ o 若存在正整数，使得当n 时有 o 和盯o 是整数，仳和分别是两个正奇数之比，p ( 一。o ，) ， 是非负实数序列当口= p = 1 时，方程( 1 1 1 ) 即为线性方程 ( z 。一p z 。一，) + g 。z 。一，= o ，礼n o ，( 1 1 2 ) 关于其解的振动性和非振动性已有许多好的结果，参见文献【8 ，9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 】， 特别地在文献 8 】) 1 6 】中张，高，唐分别证明了下述定理： 定理a 【8 】假设p 1 ，且 g 。 o ，且( 1 1 3 ) 式成立，则方程( 1 1 1 ) 存在有界最终正解。 证明 令k 表示形如 z 。) 是。的有界实数列构成的线性空间，其范 数定义为恻l = s u p i ，则2 。是b a n a c h 空间下面分5 种情况讨论： 亿三礼。 情况1 a l 且o p p d 口记o = ( d p d 。) 2 ，由( 1 1 3 ) 知存在 n o + 7 _ + 盯使得 o 。 d 卢g 。d p d 。一n ( 1 2 1 ) 定义双重序列 z 磬) 巽。如下： 礼n o ， n 礼o 礼 ( 1 2 2 ) 尼= 1 ，2 ， ( 1 2 3 ) 由( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) 可得 口z 9 ) 。+ p ( 。罂，) 。+ 妻口s ( z 婴。) 卢：。+ p 俨+ 扩曼g s 文 竹n o ，尼= 1 ，2 ， 由归纳法容易验证 n z 乎+ 1 z 磬z 粤) = d ，n 佗b ，南= 1 ，2 ， 所以极限恕z 乎kz n ( n ) 存在且。d ，n 应用l e b e s g u e 控 制收敛定理于( 1 2 3 ) 式得 茁。= o + p 。：一，+ g 。z 曼。， 礼 ( 1 2 4 ) = w k p 鹕 一 + q 、 p l 三 p + o ，i，、l = u + 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 5 于是有 ( z 。一p z ：一，) = ( o + 口。z 曼。) s = n o 。 = g s z 曼， s = n o o = ( q s z 曼，) = 叭z 鼻。一。一g s z 曼， s = ns = n = 一z ：一， 即 z 。) 是方程( 1 1 1 ) 的有界最终正解 情况2 “= 1 且p 1 由( 1 1 3 ) 知存在 n o + 7 + 盯使得 定义双重序列1 辨) 巽。如下： 手o 。 型 ，等 s = “ 可? ) = l ， n 佗o ， ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 肚却鼽黔( 蹦k 羔蚋忍 ( 1 2 7 ) 由( 1 2 5 ) ，( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 得 9 1 字+ 衅，+ 篆1 删竺，) 勺 可1 譬篆1q s 9 1 孚+ ，+ 孚 = 1 = 可粤) 盯 p p z 口 一 盯一p 卧 z 十g 一 = 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 6 一般地，由归纳法容易验证 等秽可乎) 可粤) _ 1 ，仡狐，七_ 1 ) 2 所以极限觇可磬= ( 几伽) 存在且一1 ) 2 p 玑1 ，竹m 应用 l e b e s g u e 控制收敛定理于( 1 2 7 ) 式得 由此得 于是有 可1 争篆1 斌盯 ) 扎孙 2 8 ， l 。 s = j 一孚协+ 参儿 即 ) 是方程( 1 1 1 ) 的有界最终正解 和 记 情况3 a 1 或。= 1 且一l o 使得 1 + p a t 尸一1 o ，札 o ，6 】 6 + p 6 a o + p o o 0 ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) c = 6 一p 【( 6 + p 6 。) 一( 。+ p 。a ) ， d = 。一p 6 。， 七= m a x i p l 仅札口一1 ：u 。) 6 】) ， ( 1 2 1 1 ) 则由( 1 2 9 ) ，( 1 2 1 0 ) 和( 1 2 1 1 ) 知 c 0 ，d 0 ， 0 ( 1 2 1 4 ) 盯一卢n可 一 j | 盯 p py吼 f l 洲 一 = 一；芰p n y 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 7 和映射圣：q _ k ( 叫。： 础k + 姜螂礼，( 1 2 1 5 ) 【( 西z ) ， n o 礼 、。 容易看出q 是k 的有界闭凸子集，且由( 1 2 9 ) ，( 1 2 1 0 ) ，( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) 和 ( 1 2 1 5 ) 得 o = d + p 铲 d + p z 瓮一，d + p z 嚣一，+ q 。z 曼， s = n ( 西z ) 。d + p o 。+ c 6 p = 6 ，z q ，佗 从而对任一z q ，有o ( 西z ) 。6 ，n 仡o ，故西qcq 另一方面，对任意 的z ，可q 及仡2 ，由( 1 2 1 3 ) ，( 1 2 1 4 ) 和( 1 2 1 5 ) 得 l ( 西z ) 。一( 圣可) 一l p i f z ：一，一鳝一，| + g s 卜曼。一可曼一 剑z 刮i ( + m a x 渺- 1 u 邙，6 】) 曼吼) 半忙一y m 因此 i i m z 西可l i = s u pl ( 圣z ) 。一( 西可) 。) l = s u pi ( 西z ) n 一( 圣矽) 。i 半忪一可 因为( 1 + 尼) 2 n o + 丁+ 盯使得 量吼剑np ，蕊而矗厕) 2 1 7 ) 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性8 定义集合 和映射西：q _ f o 。 f 2 = z 2 0 0 ：1 2 ，咒几o )( 1 2 1 8 ) f1 + 量叶警一g s z 曼。，n ， ( 中z ) 。： 2 1 。2 ”+ 2 一1 7 ( 1 2 1 9 ) l ( 圣z ) ， 佗o 咒 则q 是k 的有界闭凸子集由( 1 2 1 7 ) ，( 1 2 1 8 ) 和( 1 2 1 9 ) 可得 1 ( 中z ) n 1 + 2 一p 2 卢= 2 ，z q ，礼礼。 从而有巾qcq 另一方面，对任意的z ，可q 及礼，由( 1 2 1 7 ) ，( 1 2 1 8 ) 和 ( 1 2 1 9 ) 可得 ( 西z ) n 一( 垂秒) 。i i l z 一可i im a x 卢t 一1 ，1i i 墨刘z 一可 o on + 2 7 - 一l u 1 ，2 】 吼 扛1s = n + ( 2 i 1 ) 7 所以西：q _ q 是压缩映射，由压缩映射原理知存在。= z 。) q 使得 西z = z ，即 。on + 2 1 - 一1 z 。= 1 + z 曼，n ( 1 2 2 0 ) 注1s = + ( 2 t 一1 ) 7 由( 1 2 2 0 ) 可得 于是有 从而有 t i + ( 2 t 1 ) r 一1 z 。一，= 1 + q s z 生，m ， ( 1 2 2 1 ) 忙1s = n + 2 “一1 ) t o 。 n + 2 i r 一1 z 。+ z 。一，= 2 + g 。z 生。 t = 13 = n + 2 ( t 一1 ) 1 、 盯卢p o 一 +2 = 盯一 p n z 一 = 盯p 卜 0 口 一 = r n z + n z 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 9 也就是 ( z 。+ z 。一，) + g 。z ：一，= o 即 z 。) 为方程( 1 1 1 ) 的有界正解 情况5 口= 1 且p 伽+ 7 + 盯使得 争剑n 例 口。m i n 2 邓( 例 s = l 定义集合 q = z f o 。：1 z 。2 ，几n o ) ( 1 2 2 2 ) ( 1 2 2 3 ) 和映射m ：q _ 2 。 ( 叫。：jp 。 _ 1 + 2 p 一篆1 螂巳 ，佗独 ( 1 2 倒) 【( 虫z ) ， 佗o n o 和盯o 是整数，q 和是两个正奇数之比，p ( o ，。o ) ， ) 是 非负实数序列当a = = 1 时，方程( 2 1 1 ) 即为线性方程 ( z n p z n r ) + g n z n 一盯= 0 ， n 札o ， ( 2 1 2 ) 关于其解的振动性和非振动性已有许多好的结果( 参见文献【8 ，9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 8 】) 定理a 【1 8 】假设p = 1 ，且登s 吼 n o ，使得z 。一，一， o ，几n 1 令 = z n p z ：一r ， 仡n o ， 则由( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 和( 2 2 1 ) 得 = 一g n z ! 一。o ( o ) ， n n 1 ( 2 2 2 ) 上式表明 ) 在咒礼。时单调不增，因此存在n z n 使得 ( i ) z 。 o ，n n 2 如果情况( i ) 成立，则由( 2 2 1 ) 得 于是有 z 竺一，= 刍z ，汁，一。一刍+ ，一。一三z 。+ ，一。一刍z n 。， n n 。+ 仃一下 也就是 z 。一， ( 一三+ ，一。) 1 口( 一刍。) 1 。， 仡n z + 盯一丁c 2 2 3 ， 将此代入( 2 2 2 ) 得 z 。一( 一三。) 芦风， 礼礼：+ 盯一丁 对上式两边从n ：+ 盯一丁到礼一1 求和并结合( 2 1 3 ) 得 一，一( 长) 。：蔓，。_ 一几_ o 。 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 1 4 上式表明熙= 一。，所以由( 2 2 3 ) 得瓤= o o ，这与z n 有界矛盾! 故 情况( i ) 不成立 如果情况( i i ) 成立，则舰钿= 2 f o ，) 由( 2 2 1 ) 得 于是有 进而由( 2 2 2 ) 得 2 h = z n p z 竺一，z 。 z n 一盯z 札一盯， 扎佗2 + 盯 一口n 兹一。一g n 兹， n 佗2 + 盯 即 g 。一石p ， 礼礼2 十盯 对上式从竹。十盯到o 。求和得 口s 一z f 卢z 。 s = n 2 + 口s = n 2 + 盯 一南。妄。艺邓 = 南【之髯伊_ 1 1 邓 o ，n 札令 z n = z 。一p z n r ，佗凡o ，( 2 2 5 ) 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性1 5 则由( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 和( 2 2 5 ) 得 = 一z ：一，o ( o ) ，n 礼1 ( 2 2 6 ) 上式表明( ) 在n 几，时单调不增，因此存在n 。 n 。使得 ( i ) o ，佗n 2 如果情况( i ) 成立，则由( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 及p ( o ，1 ) 知 于是有 依此类推，有 z 札一z n 一下z 礼一p z n 一丁= z 札z n 2 ，仉n 2 ， 0 z n z n r + 2 h 2 0 z n 2 + 7 - z n 2 + z n 2 ， 0 o ，礼礼1 令 如( 2 2 5 ) ，则( 2 2 6 ) 成立于是有 ) 在礼n ，时单调不增，因此存在 n 2 几l 使得 即 ( i ) z 札 o ，n n 2 如果情况( i ) 成立，则选取正整数m 使得m 丁、盯+ 1 由( 2 2 5 ) 有 p z n t = z n 一磊l 一荔l ，几竹2 l z n t 一一， p 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性1 6 于是有 再由( 2 2 5 ) 得 1 z n 一石扪 仃佗2 ， 1 1 1 p z n2 + r 一+ r 2 ；z ”2 r 一；+ 2 r 一+ r 一石+ 2 r ， n n 2 ， 由上式可得 1 z n 一歹+ 2 r ， n n 2 一般地，由归纳法容易验证 从而 znn n 2 ， 。 一嘉确。一，一刍撕，n n z + 盯 将此代入( 2 2 6 ) 得 一p m 卢( 一+ 1 ) p ， 竹n 2 + 盯 对上式从n ：+ 盯到仡求和，有 上式表明 p 1 “p s = n 2 + 口 札 口。一 ( 一+ 1 ) 一卢 南。烹。* 纠m 高( 一铀，礼仡。+ 盯 o 。 吼 1 得 0 z n 一下，扎佗2 令m = m i n z 。一z ，”，+ 1 1 ，z 蚴 ，则由上式得 z 。2m ，礼n 2 对( 2 2 6 ) 从几2 + 口到n 求和有 n n 磊= 一口s z 生， s = n 2 + 盯 s = n 2 + 盯 即 ：+ ，= + l + 吼z 曼。， s = n 2 + 盯 于是有 ：+ 盯g 。z 曼。m 卢口s s = n 2 + 盯5 = n 2 + 口 此与( 2 1 3 ) 矛盾! 故情况( i i ) 亦不成立充分性得证证毕 考虑方程 ( z 。一z 。一，) + 口n ，( z 。一，) = 0 ， 钆n o ，( 2 2 8 ) 其中丁，口和口n 同方程( 1 1 1 ) ，g ( r ，r ) ，z 厂( z ) o ，z o 引理2 2 1 假设厂( z ) 在( 一，) 上单调不减，则方程( 2 2 8 ) 每个解 振动当且仅当下述方程 每个解振动 2 一1 + 塾，( ) = o ， 礼几o ，( 2 2 9 ) 7 - 引理2 2 2 【8 】假设r 1 ，则方程 2 z 。一1 + z 二= 0 ， 振动的充要条件是 仃= n = n 0 ( 2 2 1 0 ) 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 1 8 引理2 2 3 f 8 1 假设o 丁一1 l n 。使得 则下述不等式 没有最终正解 1 恐蜜fbe x p ( 一e 加) o ， z n + z 嚣一，0 ， 佗他o ( 2 3 1 ) 定理2 3 1 假设口 1 ，o 7 - 一1l nq 使得 l 旺辔fbe x p ( 一e 加) 0 ( 2 3 2 ) 则方程( 2 1 1 ) 每个解振动； 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性1 9 ( i i ) 如果存在灿 o ，佗n 1 令 = 。一p z 嚣一， 竹礼o ( 2 3 4 ) 则由( 2 1 1 ) ，( 2 3 2 ) 和( 2 3 4 ) 得 = 一z ：一，o ( o ) ， 仡礼1 上式表明 ) 在n 佗- 时单调不增，因此存在n z 几。使得 ( a ) z h o ， 札n 2 ，或 ( b ) z 。 o ， 礼礼2 如果情况( a ) 成立，则由( 2 3 4 ) 得 0 s = r m 一。 使得 o ( 三z 。+ ，一，) 1 7 q ， z ：一， ( 一三z 。+ ，一，) p 7 q ， z 曼盯 ( 一三荪+ ，一，) 口7 口c s 死。， 而由丁有一；磊+ r 一叮 一；。由此及( 2 3 2 ) 式得 蜮 ( 南) 篆1 吼_ o 。扎一 所以1 i mz 。= 令z 。= e 鲰，则由( 2 3 9 ) 得 n + 。o 卢p z 芝一 一 | | + 日肛 卢p z 芝一 z p 有由 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 2 1 此即 从而 e x p q 可。+ ( 口一1 ) 一1 l n p ) e x p ( + ，+ ( 口一1 ) 一1 l n p ) ，礼礼2 ， a + ( n 一1 ) 一1l n p 】 可札+ 1 + ( a 1 ) 一1l n p ， 礼佗2 令训。= 。+ ( q 一1 ) 一1l n p ，因为 撬z n = ，所以规= ， 礼4 佗2 使得叫，。 o ，鲰 o ，n 佗4 且由( 2 3 1 0 ) 有 令m = 。；摇+ ，几4s n s n 4 十下 o ! t n t u n + r ，n 他4 则由( 2 3 1 1 ) 及归纳法易证 叫n 舰，慨 o 使得 如 p e 。骱= p z 竺 s = 礼5 e 卢m 3e x p ( e h 叶7 i q ) ，n p e 卢m 3e x p ( e 州刑叮。1 一q m 2 e r 。11 “a ”) ，n ( 2 3 1 0 ) 故存在 ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 盯 p p z g 卜 n + r+n z + 屹 磊 一 = 屹武 ! l 矿 p s x 薹嚣 t ， r 一 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 2 2 一一一- 在上式中令礼_ ，则p o o ，导出矛盾! 故情况( b ) 不成立 ( i ) 得证 令 则 ( i i ) 取f 。1 ( 儿7 一1l n 血) ，则n e 咱7 1 ，且由( 2 3 3 ) 知存在n 1 使得 们 g n 菩e x p 【e m “( e “1 一1 ) j 一1 ， n n 1 ( 2 3 1 5 ) = e x p ( e m ”) ， ( 2 3 1 6 ) 恕等= 三舰酬七叫1 r ) 1 = 0 ( 2 3 1 7 ) 因此存在 佗。使得 争孵1 + 们 n 另一方面，由( 2 3 ，1 5 ) 和( 2 3 1 6 ) 有 此即 ；( 舻。+ 1 ) 一e x p ( 舻8 ) s = v 一下 = e x p 【q e ( e m 一1 ) 卜1 ) e x p ( 口e ) e x p a e p l 8 ( e m 一1 ) 】一1 可? = e x pp 小q ( 1 1 ) _ 1 ) 可曼， s = 。 e x p 妙8 ( ，一1 ) 】1 ) 可曼， 丢吼卫 。 砉删曼盯， 竹， p s = n 1n 十r l 专磁g s 最盯， 。 s = 佗 ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) 鳝 一 十 吖a y = 鳝 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性2 3 综合( 2 3 1 8 ) 和( 2 3 1 9 ) 两式即得 + 丁一1 p 鳐1 + 玑+ ，+ g s 可曼， n ， ( 2 3 2 0 ) s = 此即 啦卅+ 篆1 删曼。) r 几孙 仁3 m ， 定义双重序列( 辨) 黯。如下： 毋) = ，佗礼o ， 炉虬p 朋嚣州堋v 。舵， p 一1 a ， 由( 2 3 2 1 ) ，( 2 3 2 2 ) ，( 2 3 2 3 ) 得 n o n o ，立即可得下述推论： 推论2 3 1 假设a l ，o 丁- 11 na ，则方程( 2 3 2 5 ) 每个解振动； ( i i ) 如果a o 和口o 分别是整数，a 和p 分别是两个正奇数 之比，p ( 一。o ，。) ， 骱) 是非负实数列当。= p = l 时，方程( 3 1 1 ) 即为 奇数阶线性差分方程 ”( z n p z 。一，) + g 。z 礼一。= 0 ，n 礼。 关于方程( 3 1 2 ) 解的振动性和非振动性已有一些好的结果 献 8 ，4 9 ，5 0 】) ： ( 3 1 2 ) ( 参见文 定理a 1 8 1 5 0 】 假设p 1 ) ) 是实数列，且萎n m 一，j 口n i 。，则方程 n = 仉0 ( 3 1 2 ) 存在最终正解 定理b 郾o 】假设p = 1 ， q n ) 是非负实数列，则方程( 3 1 2 ) 存在有界最 终正解的充要条件是 0 0 s ”吼 o 及条件 o 。 s 1 仉 o ，且( 3 1 4 ) 成立，则方程( 3 1 1 ) 存 在有界最终正解 证明令f 。表示形如 z 。) 器啪的有界实数列构成的线性空间，其范数 定义为i = s u pk i ，则k 是b a n a c h 空间下面分5 种情况讨论： n n o 情况1 q 1 且o p p d a 记e = ( d p 扩) 2 ，由( 3 1 4 ) 知存在 咒o + 下+ 盯使得 1 o o 两与扩s 一1 q 8 ( 3 2 4 ) + q 、 rp z ，、 p n + z 咖+ 7 + c 丁使得 南曼s 一旱 ( m 一1 ) ! 刍“ 邺2 2 定义双重序列 可竽) 甚。如下： 可箩) = 1 ，n n o ， ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 可舻，： p 。 孚+ 测r + 篆1 量虹蔫攀竺吼( 趔盯) 芦 ，礼， 七：， 2 i i 与， n o 凡l ， f 3 2 7 1 即 雩鲥，刍 孚+ 艘，+ 篆1 薹堕茅吼( 州 三 孚量高吼 三 孚争 铆) ，n 狐 等! ，可? ) - l ，咒独 一般地，由归纳法可证： 等可可乎) - 勺9 ) 可钆n 狐，七吐2 所以极限1 i m 辨) = ( 礼几o ) 存在，且 k 控制收敛定理于( 3 2 7 ) 得 学玑1 ，n n o ，应用l e b e s g u e 舻三 字+ 蠕，+ 篆1 曩堕茅 。 且 ) 是方程( 3 1 1 ) 的有界最终正解 以 m ( 3 _ 2 8 ) 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 2 8 和 记 情况3 a 1 或o = 1 且一1 o 使得 1 + p q u 口一1 o ，u ( o ，6 】 6 + p 6 0 n + p n o 0 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) c = 6 一p 【( 6 十p 旷) 一( 。+ p 。) ，d = n p 6 。， 后= m a x l p i 口u “一1 ：u 陋，6 】) ， ( 3 2 1 1 ) 由( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 0 ) 和( 3 2 1 1 ) 知 c 0 ，d 0 ， 0 七 n o + m + 7 + 矿使得 ( 3 2 1 2 ) 志量s h 剑n c ，面茄犏) - 2 舶， 定义集合 q = _ z f 。：n z 。6 ，礼礼o )( 3 2 1 4 ) 和映射西：q k ( 西z ) 。：j d + p z 嚣一r + 黑。坐兰鼍铲z 曼a ，佗， ( 3 2 1 5 ) i ( 西z ) ， n o 礼 容易看到q 是k 的有界闭凸子集，且由( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 3 ) ，( 3 2 1 4 ) 和 ( 3 2 1 5 ) 得 o = d + p d “ d + p z 竺一， d + 蜮薹堕铲螂曼。 ( 蚧) n d 悃口+ 南三s 一1 螂里a 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 从而对任一z q ，有o ( 西z ) 。6 ，礼伽，故西qcq 另一方面，对任意 的z ，可q 及礼，由( 3 2 1 3 ) ，( 3 2 1 4 ) 和( 3 2 1 5 ) 得 n 心如酬坝小差堕等哥竺吼一以c r i l | l l ( a x 渺h 咄6 1 ) 薹堕擎吼) 半忙一可 一 n l i jl i 。 因为学 伽+ 7 - + 盯使得 南争剑n 1 2m a x 让口一1 ：u 【l ，2 ) ( 3 2 1 7 ) 定义集合 q = ( z f o o ：l z 。2 ，礼口o 】l ， ( 3 2 1 8 ) 和映射中：q _ k ( 垂z ) n = 1 + 量” 襄一：、登延等铲。曼，礼， 1 + 坚兰专裹寻孚= = o 生，礼， i = lj = 几十( 2 t 1 ) 下 s # j v 卜 ( 西z ) ，札o 仡 一 一 = 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 且 c 西z ，。刍 一+ 2 p + = 2 + 而b 2 + 而b 2 由p 一l 知 1 + 曼尘 s = ( s 一 s = o o g s z 生旷 3 = 一+ m 一1 1 ( “一1 ) ( m 一1 ) + m 一1 ) ”一1 吼z 曼。 3 1 另一方面，对任意的z ，可q 及n 惮z 咖忪觜忪刮i 。 觜 ， 所以 l i 西z m 可| j 一 n2 一 n、l ， 0e l 一 l 即有 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性3 2 参考文献 1 徐克学，生物数学，科学出版社，1 9 9 9 2 马知恩，种群生态学的数学建模与研究，安徽教育出版社， 1 9 9 6 3 张金城，郑美特( 译) ，电力系统稳定性的控制，电力工业出版社，1 9 8 2 4 l a d a sg ，o s c i l l a t i o no fd i 虢r e n c ee q u a t i o n sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e 伍 c i e n t s ，r o c r ym o u n t a i nj m a t h 2 0 ( 4 ) ，( 1 9 9 0 ) ，1 0 5 1 1 0 6 1 5 郑大钟，线性系统理论，清华大学出版社，2 0 0 1 6 c h u a n x ig a n dl a d a sg ，o s c i l l a t i o no fd i f 艳r e n c ee q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n d n e g a t i v ec o e m c i e n t s ，m a t e m a t i c h e ( c a t a n i a ) 4 4 ( 1 9 8 9 ) ，2 9 3 3 0 9 7 z h a n gb g a n dw a n gh ，t h ee x i s t e n c eo fo s c i l l a t o r ya n dn o n o s c i l l a t o r ys 0 1 l u ， t i o n so fn e u t r a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s c h i n e s ej m a t h 2 4 ( 4 ) ，( 1 9 9 6 ) ，3 7 7 3 9 3 8 张广，高英差分方程的振动理论，高等教育出版社， 2 0 0 1 9 l a l l ib s ，z h a n gb g ，o ne x i s t e n c eo fp o s i t i v e8 0 l u t i o n sa n db o u n d e do s - c i l l a t i o nf o rn e u t r a ld i h e r e n c ee q u a t i o n s ? j m a t h a i l a l a p p l ，1 6 6 ( 1 9 9 2 ) ， 2 7 2 2 8 7 1 0 ：r a n gx h ，y uj s a n dp e n gd h ，o s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no fn e u t r a l d i f f b r e n c ee q u a t i o n sw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e m c i e l l t s ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c ，3 9 ( 2 0 0 0 ) ，1 6 9 1 8 1 1 1 。l a u ib s ，z h a n gb g a n dl ij z h ，o nt h eo s c i u a t i o no fs o l u t i o n sa n d e x i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n so fn e u t r a ld i 胍r e n c ee q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l ，1 5 8 ( 1 9 9 1 ) ，2 1 3 2 3 3 1 2 y uj s 。a n dw a n gz ，c ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ra n d 、o s c i l l a t i o ni nd e l a yd i 艉r e n c e e q u a t i o n s f u n c e k v a c 3 7 ( 1 9 9 2 ) ，2 4 1 2 4 8 1 3 c h e nm p ，l a u ib s a n dy uj e q u a t i o n sw i t l lv a r i a b l ec o e m c i e n t s ： 5 1 1 s ，o s c i l l a t i o ni nn e u t r a ld e l a yd i f f b r e n c e c o m p u t e i sm a t h a p p l i c 2 9 ( 3 ) ，( 1 9 9 5 ) ， ， 1 ， 具非线性中立项时滞差分方程解的振动性 3 3 1 4 g y o r i ，i a n dl a d a s ，g ，o s ( ：i l l a t i o nt h e o r yo fd e l 咿d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t h a p p l i c a t i o n s ，c l a r e d o np r e s s ，o x f b r d ，1 9 9 1 1 5 唐先华，一类中立型变系数差分方程振动性的充要条件，湖南大学学 报，2 3 ( 6 ) ，( 1 9 9 6 ) ，2 0 一2 6 1 6 唐先华，中立型差分方程的有界正解充要条件，湖南教育学院学报， 1 5 ( 5 ) ，1 9 9 7 ，1 2 7 1 2 9 1 7 t a l l gxh ，l i uyj ，o s c i l l a t i o nf o rn o n l i n e a rd e l a yd i 雎r e n c ee q u a t i o n s t a m l ( a n g j o u r a lo fm a t h e m a t i c s ( 4 ) 3 2 ( 2 0 0 1 ) ，2 7 5 2 8 0 1 8 z h a n gb g a n dh w a n g ，t h ee x i s t e n c eo fo s c i n a t o r ya n dn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so fn e u t r a ld i 跳r e n c ee q u a t i o n s ，c h i r l e s ej m a t l l ，2 4 ( 2 ) ，( 1 9 9 6 ) 1 9 z h o uy ，o s c i l l a t i o i l so fh i g h e r o r d e rl i l l e a rd i h b r e l l c ee q u a t i o n s ，c o m p u t e r s m a t h a p p l i c ，4 2 ( 2 0 0 1 ) ，3 2 3 3 3 1 2 0 张炳根，杨博，非线性高阶差分方程的振动性，数学年刊，2 0 a ：1 ( 1 9 9 9 ) 7 1 8 0 2 1 刘玉记，奇数阶中立型差分方程的线性化振动性，高校应用数学学报 a 辑，1 7 ( 1 ) ，( 2 0 0 2 ) ，3 7 4 2 2 2 1 、a n gx h ，z h a n gr y ，n e wo s 己i l l a t i o n c r i t e r i af o rd e l a yd i f f b r e n c ee q u a t i o i l s c o m p u t e r sm a t h a p p l i c ，4 2 ( 2 0 0 1 ) ，1 3 1 9 1 3 3 0 2 3 t a n gx h ，y uj s ，af u r t h e rr e s u l to nt h eo s c i l l a t i o no fd e l a yd i 雎r e l l c e e q u a t i o n s ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c ，3 8 ( 1 9 9 9 ) ，2 2 9 2 3 7 2 4 1 1 a n gx h ，c h e n gs s ，a no s c i l l a t i o nc r i