中国古代数学及其成就

中国古代数学及其成就彭扬帆中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第1页。一、中国数学的起源与早期发展《易经》——“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。”

《尚书·序》——“古者伏羲氏之王天下也，始画八卦，造书契，以代结绳之政，由是文籍生焉。”中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第2页。一、中国数学的起源与早期发展《易经·系辞传》——“包牺氏没，神农氏作。……日中为市，致天下之民，交易而退，各得其所。”中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第3页。一、中国数学的起源与早期发展《周礼》中的六艺

礼—礼节。五礼者，吉、凶、宾、军、嘉也。

乐—音乐。六乐：云门、大咸、大韶、大夏、大镬、大武

射—射箭技术。五射：白矢、参连、剡注、襄尺、井仪

御—驾驶马车的技术。鸣和鸾、逐水车、过君表、舞交衢、逐禽左

书—文学。六书：象形、指事、会意、形声、转注、假借

数—算术与数论知识

中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第4页。一、中国数学的起源与早期发展周代的数中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第5页。一、中国数学的起源与早期发展算筹与筹算

算筹是中国古代的主要计算工具，用这种工具进行计算和演算则称为筹算。春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用。筹算记数法已使用十进位值制。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第6页。一、中国数学的起源与早期发展算筹

《墨经》：“一少于二而多于五，说在建位。”这就是说，一在个位少于二，在十位就多于五，每个数字的大小除由它本身所表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置。

根据后来约公元4世纪的《孙子算经》的记载，任何数都是由九个纵排数字和九个横排数字按个、百、万等用纵筹，十、千等用横筹来表示，零用空位表示。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第7页。一、中国数学的起源与早期发展几何学

《史记·夏本记》—夏禹治水时“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山。”中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第8页。一、中国数学的起源与早期发展几何学

《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理。

商高曰:……折矩以为勾广三、股修田,径隅五…”中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第9页。一、中国数学的起源与早期发展《墨经》

“圆，一中同长也”

“端，体之无序而最前者也”“端，是无同也”

“平，同高也”“平，谓台执着也，若弟兄”

“方，柱隅四权也”“方，矩写交也”

“倍，为二也”

“久，弥延时也”

“直：参也”（三点相齐）；

“次（相切）：无间而不相樱也（既无大小又不相合）；”中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第10页。一、中国数学的起源与早期发展《墨经》

提出“环俱抵”（圆环转动时每一点都与地面接触而形成一根直线）来反驳名家的“轮不辗地”，次的定义显然来源于此。他们认为，在区域的前缘连一根线也容纳不下（域不容尺）称为“有穷”；不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽（莫不容尺），称为“无穷”。因此在墨家看来，一个具体的空间不能既是“有穷”，又是“无穷”的。墨家也不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第11页。一、中国数学的起源与早期发展幻方（MagicSquare）

中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第12页。一、中国数学的起源与早期发展乘法口诀表

《管子·轻重》云：“滤戏作造六峜以迎阴阳，作九九之数以合天道。”

《韩诗外传》云；“齐桓公设庭宴燎，待人士不至，有以九九见者。”

中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第13页。一、中国数学的起源与早期发展《春秋》：“公田之法，十足其一；今又履其余亩，复十取一。”《庄子·天下篇》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”《史记》——田忌赛马中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第14页。二、秦汉数学《算数书》1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初年的竹简《算数书》，收有许多应用的数学问题。

据研究，出土《算数书》的汉墓的下葬时间，约在西汉吕后（公元前187-前180年在位）至汉武帝（公元前179-前157年在位）初年之间。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第15页。二、秦汉数学《算数书》

竹简著作《算数书》抄写于西汉初年（约公元前2世纪），成书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学专著。全书采用问题集形式，共有69个小标题，，71条相当抽象的公式，近百道数学问题及其解法，内容包括整数和分数四则运算、比例问题、面积和体积问题等等。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第16页。二、秦汉数学《算数书》

1相乘，2分乘，3乘，4矰（增）减分，5分当半者，6分半者，7约分，8合分，9径分，10出金，11共买材，12狐出关，13狐皮，14女织，15并租，16负米，17金贾（价），18舂粟，19铜秏（耗），20传马，21妇织，22羽矢，23桼（漆）钱，24缯幅，25息钱，26?（饮）桼（漆），27税田，28程竹，29医，30石?（率），31贾盐，32挐脂，33取程，34秏（耗）租，35程禾，36取枲程，37误券，38租吴（误）券，39粺毁（毇），40秏，41粟为米，42粟求米，43米求粟，44米粟并，45粟米并，46负炭，47卢唐，48羽矢，49丝练，50行，51分钱，52米出钱，53方田，54除，55郓都，56刍，57旋粟，58囷盖，59睘（圜）亭，60井材，61以睘（圜）材方，62以方材睘（圜），63睘（圜）材，64启广，65启从（纵），66少广，67大广，68里田。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第17页。二、秦汉数学《汉书·艺文志》——《许商算术》2卷和《杜忠算术》16卷《算数书》《周髀算经》《九章算术》中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第18页。二、秦汉数学《周髀算经》

大约成书于西汉时期（公元前1世纪）为赵君卿所作，北周时期甄鸾重述，唐代李淳风等注。

中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第19页。二、秦汉数学《周髀算经》

勾股定理—“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日”昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第20页。二、秦汉数学《九章算术》《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第21页。第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。38第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；46第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。20第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；24第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；28中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第22页。第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。28第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大.20第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。18第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。24中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第23页。“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合，问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步。去表一百二里一百五十步。术曰：以表高乘表间为实。相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者，以前表却行乘表间为实。相多为法除之，得表去岛里数。”答曰：岛高四里五十五步。去表一百二里一百五十步。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第24页。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第25页。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第26页。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。答曰：上禾一秉九斗四分斗之一，中禾一秉四斗四分斗之一，下禾一秉二斗四分斗之三。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第27页。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第28页。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第29页。《九章算术》的特点①采用按类分章的数学问题集的形式；②算式都是从筹算记数法发展起来的，这些算式表示法紧密地依赖于数字在图式上的位置；③以算术、代数为主，几何也是偏重于量的计算，很少涉及图形的性质;④重视应用，缺乏理论阐述。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第30页。二、魏晋至隋唐时期数学玄学是魏晋时期的主要哲学思潮，是道家和儒家融合而出现的一种文化思潮，也可以说是道家之学以一种新的表现方式，故又有新道家之称。吴国赵爽注《周髀算经》汉末魏初徐岳撰《九章算术》注魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》1卷中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第31页。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。二、魏晋至隋唐时期数学中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第32页。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第33页。刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。二、魏晋至隋唐时期数学中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第34页。刘徽从率（后称为比）的定义出发论述了分数运算和今有术的道理，并推广今有术得到合比定理，他根据率、线性方程组和正负数的定义阐明方程组解法中消元的道理，指出方程式个数少于未知数个数时，方程组的解只能是一个比值；在一个方程式中，正与负可以同时变号；减法消元和加法消元可以统一为一种方法。在开方求得整数后，还可以继续开方—“求其微数”。解决了求无理根的问题，还提出了十进小数的方法。

他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。他提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。

在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽实际上应用了下列公理：等高的两立体，若其任意同高处的水平截面积成比例，则这两立体体积亦成同样的比例；并根据这个公理，指出球的体积与其外切“牟合方盖”的体积之比为π:4。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第35页。牟合方盖中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第36页。二、魏晋至隋唐时期数学南北朝时期，国家处于南北分裂的状态。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第37页。二、魏晋至隋唐时期数学北方数学的发展成果：《孙子算经》、《夏侯阳算经》（已失传）、《张丘建算经》。但其基本都是建立在《九章算术》的注释和发展上，不过也有新的成果，例如一次同余式组解法，等差级数求和、求公差、求项数的方法和不定方程解法等南方数学的发展以祖冲之父子的工作为代表。他们在《九章算术》刘徽注的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。根据史书的记载，祖冲之曾经注解《九章算术》，并与他的儿子祖暅共撰《缀术》六卷。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第38页。①圆周率据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到3.1415926<π<3.1415927。他又创造了新的方法，得到圆周率两个分数值，即约率22/7(=3.142857142857143)和密率355/113(=3.141592920353982)。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久。②祖暅公理和球体积祖暅总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积必相等，这就是著名的祖暅公理。祖暅应用这个公理和刘徽的“牟合方盖”模型（图8），解决了刘徽尚未解决的球体积公式。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第39页。③二次与三次方程

《隋书·律历志》在叙述祖冲之的圆周率以后说：“又设开差幂，开差立，兼以正负参之。指要精密，算氏之最者也。”中国古代称正系数的二次与三次方程解法为开带从平方和开带从立方，祖冲之用“差幂”取代带从平方，用“差立”取代带从立方，应指包括负系数在内的二次与三次方程的解法，因为只有负系数的方程在开方时才需“兼以正负参之”。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第40页。隋、唐数学的发展隋朝，民族大融合，土木工程建设较多。唐初王孝通的《缉古算经》，主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工、验收以及仓库和地窖的计算问题。提出三次方程的问题。《缉古算经》涉及到立体体积计算、勾股计算、建立和求解三次方程x3+ax2+bx=A（a、b和A，非负），建立和求解双二次方程x4+ax2=A（a、A，为正，这是一种特殊形式的四次方程）等数学内容。隋朝的官学设立：国子学、太学、四门学、书学、算学中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第41页。唐朝，中央专设学校（六学一馆）：国子学、太学、四门学、书学、算学、律学广文馆隋、唐数学的发展算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第42页。算经十书：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《五经算术》《辑古算经》《缀术》《五曹算经》《孙子算经》中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第43页。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。206年，为了确定合朔时刻，刘洪在《乾象历》中首次提出用一次内插公式来确定月球在n+s（n为正整数，s<1）日共行的度数。600年，隋代天文学家刘焯在《皇极历》中提出一个推算日、月、五星视行度数的等间距二次内插公式。727年一行（张燧）在他的《大衍历》中又提出一个不等间距的二次内插公式。唐代其他历法，都应用内插法进行计算。隋、唐数学的发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第44页。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第45页。计算技术的改革算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。现传本《数术记遗》载有“积算”、“太乙”、“两仪”、“三才”、“五行”、“八卦”、“九宫”、“运筹”、“了知”、“成数”、“把头”、“龟算”、“珠算”、“计数”等14种算法，反映了这种改革的情况。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第46页。唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法.这次算法改革主要是简化乘、除算法，书目中提到的“一位算法”、“求一”、“得一”的内容就是用分解因数的方法；化多位乘除为个位乘除；或用折半、加倍、退位的方法把乘除数化为首位是1的数，从而变乘除为加减。《夏侯阳算经》记有很多这样的例子，例如“九因五添”、“添四四”、“身外减二”、“隔位加二”、“损一位”等等，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第47页。五代十国全图中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第48页。宋、元时期数学发展960年，北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面。北宋的农业、手工业、商业空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明就是在这种经济高涨的情况下得到广泛应用。1084年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》。1213年鲍干澣之又进行翻刻。这些情况为数学发展创造了良好的条件。从11～14世纪约300年期间，出现了一批著名的数学家和数学著作，如贾宪（11世纪中期）的《黄帝九章算法细草》（已失传），刘益（12世纪中期）的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274～1275），朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等，很多领域都达到古代数学的高峰。其中一些成就也是当时世界数学的高峰。概述中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第49页。增乘开方法与贾宪三角（二项系数表）从开平方、开立方到4次以上的开方，在认识上是一个飞跃，实现这个飞跃的是贾宪。杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪“增乘开平方法”、“增乘开立方法”；在《详解九章算法》中载有贾宪的“开方作法本源图”、“增乘方法求廉草”和用增乘开方法开4次方的例子。根据这些记录可以确定贾宪已发现二项系数表，创造了增乘开方法。这两项成就对整个宋元数学发生重大的影响，其中贾宪三角比巴斯卡三角形早600多年。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第50页。宋、元时期数学发展高次方程数值解法把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形）解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程，后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负数。他把高次方程解法分成各种类型，如：n次项系数不等于1的方程，奇次幂系数均为零的方程，进行x=y+c代换后常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根的非整数部分，这是《九章算术》和刘徽注处理无理数方法的发展。在求根的第2位数时，秦九韶还提出以一次项系数除常数项为根的第2位数的试除法。秦九韶的方法比霍纳方法早500多年。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第51页。宋、元时期数学发展高阶等差级数求和高阶等差级数求和起源于沈括的“隙积术”。用棋子之类的东西堆成长方垛，棋子总数为cd+(a+1)(b+1)+…+(c-1)(d-1)+cd=[(2b+d)a+(2d+b)c]n/6+(c-a)n/6。杨辉在《详解九章算法》中讨论了上述垛积的3个特例。即方亭垛（a＝b，c＝d）、方锥垛（a=b=1，c=d=n）和三角垛（通项为n(n+1)/2）。朱世杰把高阶等差级数求和问题与二项系数表结合起来，得到更复杂的三角形垛和岚形垛。1，5，11，20，33，51，75，106,……中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第52页。宋、元时期数学发展内插法元代天文学家王恂、郭守敬等在《授时历》（1280）中解决了三次函数的内插值问题。秦九韶在“缀术推星”题、朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题都提到内插法（他们称为招差术），朱世杰得到一个四次函数的内插公式：

中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第53页。一次同余式组解法

《孙子算经》“物不知数”题已提到一次同余式组解法的例子，秦九韶把它一般化。在这个方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式kiGi≡1(modai)中的ki，式中Gi=M/ai(M=a1a2…ap)。秦九韶在《数书九章》大衍类里，用更相减损的方法给出ki，一个计算程序，完满地解决了这个问题，此外，秦九韶还讨论了模数ai是收数（小数）、通数（分数）、元数（一般正整数）、复数（10n的倍数）非两两互素的情形，并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第54页。高次方程立法用天元作为未知数符号，立出高次方程，古代称为天元术。这是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题。现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》。李冶在一次项系数右旁记一“元”字（或在常数项右旁记一“太”字）。元以上的系数分别表示各正次幂，元以下的系数表示常数和各负次幂（在《益古演段》中又把这个次序倒转过来）。建立方程的具体方法是，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式p1(x)和p2(x)，令二者相减，即得一个数字高次方程。若其中一个多项式是分式多项式，如p1(x)=q1(x)/q2(x)，李冶则变另一多项式p2(x)为p2(x)q2(x)/q2(x)，使二者相减时消去分式多项式的分母，得q1(x)-p2(x)q2(x)=0。这是刘徽关于率的概念在多项式运算中的应用与发展。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第55页。高次联立方程组从天元术推广到二元、三元和四元的高次联立方程组，是宋元数学家的又一项杰出的创造。祖颐在《四元玉鉴》后序中提到，平阳李德载《两仪群英集臻》有天、地二元，霍山刘大鉴《乾坤括囊》有天、地、人三元。燕山朱汉卿“按天、地、人、物立成四元”。前二书已失传，留传至今并对这一杰出创造进行系统论述的是朱世杰的《四元玉鉴》。朱世杰的四元高次联立方程组表示法无疑是在天元术的基础上发展起来的，他把常数放在中央。四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其他各项放在四个象限中。朱世杰的最大贡献是提出四元消元法。其方法是先择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，然后应用互乘相消法逐步消去这一未知数。重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程。最后用增乘开方法求解。这是线性方法组解法的重大发展。朱世杰的方法比西方同类方法早400多年。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第56页。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第57页。勾股形解法勾股形解法在宋元时期有新的发展，朱世杰在《算学启蒙》卷下提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法，补充了《九章算术》的不足。李冶在《测圆海镜》对勾股容圆问题进行了详细的研究，得到一系列的结果。他把容圆勾股形分成14个相似的勾股形，除按传统的方法给出这些勾股形的名称外，还用文字作符号来表示，与现今用字母A，B，C，…表示几何图形相似。从14个勾股形中，李冶得到692条“识别杂记”，阐明各勾股形的线段之间与线段的和、差、积之间的关系。除原有的勾股容圆外，李冶得到勾上容圆、股上容圆、弦上容圆、勾股上容圆、勾外容圆、股外容圆、弦外容圆、勾外容圆半、股外容圆半等9个容圆公式，大大丰富了中国古代几何学的内容。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第58页。弧矢割圆术已知黄道与赤道的夹角和太阳从冬至点向春分点运行的黄经余弧，求赤经余弧和赤纬度数，是一个解球面直角三角形的问题。传统历法都是用内插法进行计算。元代王恂、郭守敬等则用传统的勾股形解法、沈括的会圆术（已知弦、矢、半径求弧长的近似公式）和天元术解决了这个问题。整个推算步骤是正确无误的。从数学意义上讲，这个方法开辟了通往球面三角法的途径。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第59页。纵横图纵横图即幻方，宋元时期，纵横图研究有了很大发展，杨辉在《续古摘奇算法》中指出，九宫图是一个从1～32的9个自然数排成三行三列，其行、列或对角线之和均为15的三行纵横图。这种图可以推广到从1到n2的情形，它的行、列或对角线之和为n(1+n2)/2。他还列出四行、五行、六行、七行、八行、九行、十行8个纵横图，并指出三行和四行纵横图的构造方法。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第60页。小数现传本《夏侯阳算经》已有化名数为十进小数的例子。宋元时代，这种十进小数有了广泛应用和发展，秦九韶用名数作为小数的符号，李冶则依靠算式的位置表示小数。杨辉和朱世杰的化斤价为两价的歌诀，是小数的具体应用。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第61页。珠算的出现中国古代计算技术改革的高潮也是出现在宋元时期。宋元明的历史文献中载有大量这个时期的实用算术书目，其数量远比唐代为多。改革的主要内容仍是乘除法。“留头乘”最早见于朱世杰《算学启蒙》。“九归”最早出现在沈括的《梦溪笔谈》，杨辉在《乘除通变本末》（1274）、朱世杰在《算学启蒙》中进一步把它完善。“归除”最早见于《算学启蒙》，“撞归”、“起一”是朱世杰首先提出来的，丁巨（著有《丁巨算法》，1355）、何平予（著有《详明算法》，1373）和贾亨（著有《算法全能集》）把它具体化。“留头乘”与“归除”的出现，使乘除法不需任何变通便可在一个横列里进行，与现今珠算的方法完全一样。与算法改革的同时，穿珠算盘在北宋已可能出现。但如果把现代珠算看成是既有穿珠算盘，又有一套完善的算法和口诀，那么应该说它最后完成于元代。宋、元时期数学发展中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第62页。珠算的普及从明初到明中叶，商品经济有所发展，和这种商业发展相适应的是珠算的普及。明初《魁本对相四言杂字》（1371）和《鲁班木经》（15世纪上半叶）的出现，说明珠算已十分流行。前者是儿童看图识字的课本，后者把算盘作为家庭必需用品列入一般的木器家具手册中。随后，珠算著作也陆续出现。如吴敬《九章详注比类算法大全》（1450）、王文素《古今算学宝鉴》（1524）、徐心鲁《盘珠算法》（1573）、柯尚迁《数学通轨》（1578）、朱载堉的《算学新说》（1584）、程大位《直指算法统宗》（1592）等。随着珠算的普及，珠算算法和口诀也逐渐趋于完善。例如王文素和程大位增加并改善撞归、起一口诀；徐心鲁和程大位增添加、减口诀并在除法中广泛应用归除，从而实现了珠算四则运算的全部口诀化；朱载堉和程大位把筹算开平方和开立方的方法应用到珠算，程大位用珠算解数字二次、三次方程等等。程大位的著作在国内外流传很广，影响很大明、清时期数学中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第63页。一一01一二02一三03一四04一五05一六06一七07一八08一九09二一02二二04二三06二四08二五10二六12二七14二八16二九18三一03三二06三三09三四12三五15三六18三七21三八24三九27四一04四二08四三12四四16四五20四六24四七28四八32四九36五一05五二10五三15五四20五五25五六30五七35五八40五九45六一06六二12六三18六四24六五30六六36六七42六八48六九54七一07七二14七三21七四28七五35七六42七七49七八56七九63八一08八二16八三24八四32八五40八六48八七56八八64八九72九一09九二18九三27九四36九五45九六54九七63九八72九九81九九口诀中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第64页。数值不进位的加进位的加直加满五加进十加破五进十加一一上一一下五去四一去九进一

二二上二二下五去三二去八进一

三三上三三下五去二三去七进一

四四上四四下五去一四去六进一

五五上五

五去五进一

六六上六

六去四进一六上一去五进一七七上七

七去三进一七上二去五进一八八上八

八去二进一八上三去五进一九九上九

九去一进一九上四去五进一加法口诀中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第65页。减数不退位的减退位的减直减破五减退位减退十补五的减一一下一一上四去五一退一还九

二二下二二上三去五二退一还八

三三下三三上二去五三退一还七

四四下四四上一去五四退一还六

五五下五

五退一还五

六六下六

六退一还四六退一还五去一七七下七

七退一还三七退一还五去二八八下八

八退一还二八退一还五去三九九下九

九退一还一九退一还五去四中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第66页。一归（用1除）：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九.二归（用2除）：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五.三归（用3除）：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三余一，三二六余二.四归（用4除）：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二余二，四三七余二.五归（用5除）：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八.六归（用6除）：逢六进一，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二.七归（用7除）：逢七进一，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四.八归（用8除）：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六.九归（用9除）：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八.中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第67页。明、清时期数学西方数学的传入1582年意大利传教士利玛窦到中国，1607年以后，先后与徐光启翻译《几何原本》前6卷（1607）、《测量法义》1卷（1607～1608），与李之藻编译《圜容较义》（1608）和《同文算指》（1613）。1629年，徐光启被礼部任命在历局督修历法，在他主持下，编译《崇祯历书》137卷。《崇祯历书》主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说，作为这一学说的数学基础，希腊的几何学，欧洲的三角学以及纳皮尔算筹，伽利略比例规等计算工具也同时介绍进来。几何原本》是明清两代数学家必读的数学书，对他们的研究工作也颇有影响。其次，应用最广的是三角学。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》2卷（1631）、《割圆八线表》6卷和罗雅谷的《测量全义》10卷（1631）。《大测》主要说明三角八线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢）的性质，造表方法和用表方法。《测量全义》除增加一些《大测》所缺的平面三角外，比较重要的是积化和差公式和球面三角（直角三角形的弧与角的关系式和一般三角形的正弦定理和余弦定理）。所有这些，在当时历法工作中都是随译随用的。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第68页。明、清时期数学西方数学的融汇1646年，波兰传教士穆尼阁来华，跟随他学习西方科学的有薛凤祚、方中通等。穆尼阁去世后，薛凤祚据其所学，编成《历学会通》，想把中法西法融会贯通起来。《历学会通》中的数学内容主要有《比例对数表》1卷（1653）、《比例四线新表》1卷和《三角算法》1卷（1653）。前两书是介绍英国数学家J.纳皮尔和H.布里格斯发明增修的对数。后一书除《崇祯历书》介绍的球面三角外，尚有半角公式、半弧公式、德氏比例式（Delambresanalogies）、纳氏比例式（Nepiersanalogies）等。方中通所著《数度衍》（1641），对对数理论进行解释。对数的传入是十分重要，它在历法计算中立即就得到应用。中国古代数学及其成就全文共74页，当前为第69页。清初学者研究中西数学有心得而著书传世的很多，影响较大的有王锡阐《图解》1卷，梅文鼎《梅氏丛书辑要》60卷（其中数学著作13种共40卷），年希尧《视学》2卷等。王锡阐的工作主要是证明两角和、差的正弦和余弦公式。为了证明上述公式，他对涉及的名词概念都逐一加以定义，引入“折”的概念取代角;由于缺乏直角坐标系的概念，在证明时他还把两弧和两弧的和差分为小于象限或大于象限的各种情形，方法是独具一格的。梅文鼎是集中西数学之大成者。他对传统数学中的线性方程组解法、勾股形解法和高次幂求正根方法等方面进行整理和研究，使濒于枯萎的明代数学出现了生机，在介绍西方数学中有校正、证明和补充。例如：校正了罗雅谷关于比例规叙述中的错误，证明三角学中没有证明的公式和定理等。梅文鼎认为传