（基础数学专业论文）两类不同lorentz空间的有关性质.pdf

致谢 时光流逝，两年半的研究生生活即将过去，真是有些恋恋不舍。 浙江大学优美的环境，良好的学习氛围，丰富的业余生活都给我留 下了深刻的印象。 我尊敬的导师王斯雷教授、陈杰诚教授在学业和生活上都给予我 无微不至的关怀。在你们的关心下，我的此篇毕业论文得以顺利完成。 在此我表示衷心的感嘲! 同时你们严谨治学作风也给我们树立r 很好 的榜样! 我的亲人，朋友，同学也给予我很多关心和帮助，你们的关心和 帮助使我能够顺利克服在求学道路上的各种困难，在此 表示深深的谢意! 李宏亮 2 0 0 4 1 1 1 9 中文摘要 本文分两章 第一章主要是给出了两个结果一个是各种权的包含关系，主要有 b ；( “) cb ；，0 p ( o 。 b ( “) b 器( u ) ，0 p g o o ；耳( u ) c b 赫( u ) ，0 p o 。 另一个是给出了如下定理：若 i i r ( w o - 1 ”) f4 l ，* ( 。) o 。， 其中t g ( t ) = 铲西。( s ) g ( s t ) d s ，t 为作用在gl ( 非负单调递减的函数) 的算 子，西。( ) = s u p 背心一1 x q ) ：( “( o ) ) ，0 t o o ，其中上确界取遍所有的方 体oe r ”，0 t o o ，其中“( o ) = 尼“( s ) d s 则 m ：a p 0 ”( o ) _ a p “0 。( w 1 ) ， 其中肘为h l 极大算子 第二章讨论了二指标二维l o r e n t z 空间a ；4 ( w ) 的一些性质主要包括以 下结果， 定理2 2 1 7 当0 r l ，n 0 0 ，0 p ，q n ，则下列条件等价： ( i )a “( u ) ca 1 7 2 ( u 2 ) m ，器卜。z 警糕襻揣糟等高产r ( ? 1 j 2 ( d 十1 ) r 2 q w 2 ( d ) 您如) 出 o o ( i i i ) r s u pt u ( 阮旷p 1d ( 咄( d ”) 咖) f ) ( i v ) s u pe k e z u ( i d + 1 1 ) 一7 nf 叫2 ( d 女+ 1 ) r 。q 一训2 ( d k ) n 厅1 叫n 您，则下列条件等价： ( i )a 詈 n ( m i ) ca 墨2 ( w 2 ) m ，器卜e “端端蒜卷等篝器湍r ( 叫2 ( d + 1 ) 2 9 一叫2 ( d ) 功。) d r o 。 2 ( i i i ) ，(0。(dl,t)-pd(七。(df,tsup w ld i do) ) r a ) o 。50 ( ( 卜( 2) ) r ，4 ) t ) ( i v ) d s u p k 牙( 埘( d 1 ) ) 一r 加( 叫2 ( d k + t ) n 。一山2 ( d ) n a ) 叫n n ，则下列条件等价： ( i )a f l ( w 1 ) ca n ( 。) ，器z 1 榔 面筠端黜等裟粤黜丽r ( v ( i d k - 11 ) 一v ( i d k i ) ) d t 。 ( )_ 。( ( ，。) ) - r pd iii s u pw ld f p d ( 一v ( i d s 缈胁) o o o _ f 4j o ( )( ( ，c【_，t 旷“) 吐 ( i v )s u p z ( w l ( d h + 1 ) ) 一伸( v ( i d k + i i ) 一y ( | d i ) ) 叫q ( d ) 若r l r z ，则下列条件等价： ( i )a “( u ) ca ! ”2 ( 2 ) 恤，s 。u 。p 湍券 o o ( e ) 若r - ! r z ，则下列条件等价： ( i )a ；7 1 ( 1 ) ca ! 2 ( 2 ) ( i 1 1 s 。u l p w 2 1l ( d u p ) q ( f ) 若nst 2 ，则下列条件等价二 ( i )鸠7 1 ( w 1 ) ca n ( u ) ，s 。u 。p 器糁 o 。 定理2 2 1 1 2 设u ，”是r + 上的两个权，u 是递减函数， 是可积 的，0 ( p q o o ，则 a ! ( u ) ca 4 ( u ) a ( ) 】，a ! 一( “ ) ca 4 ( u ) a 9 ( ) 】 定理2 2 1 1 3 设u ， 是日上的两个权，u 是递减函数且是可积的 0 q p 0 0 ，则 a ；( u u ) ca 。( “) 【a ( ) 】，a 1 4 ( t ) ca 。( ) 【a ”( ) 3 定理2 2 2 3 设0 p o 。，0 0 使得 厶坤州z g o 吣) d x , v d , d er ； 并且，对于这个准模，当0 p ，0 q o 。时， f ( ) 成为一个完备 的准模空问 定理2 2 3 2 若l p o 。，1sq 0 0 ，则下列的条件是等价的 ( i l w 县p , q ( i i ) ，1 ：a 弘( ”) _ + a 驴知) 是有界的 ( i i i ) 如果川i = 忪( ( ，嚣) ：) i i 。， 则川t 川是等价于| | 从：- ( 。 的一个模 ( i v ) 准模i 矧( 。) = | | s 2 ( ，品) 一( 。) = i f 广0 n - ( 。) 等价于| | 川 p ( 时 4 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o n sc o n s i s t so ft w op a r t s i nf i r s tc h a p t e r ，w em a i n l yg e tt w or e s u l t st h ef i r s ti st h er e l a t i o n sb e t w e e n s o m ew e i g h t s a 8f o l l o w s ： k ( ) c 丑；k ，0 p o 。 _ b ；) b 器( u ) ，0 p q 0 。j 日( u ) c ( “) ，0 p o 。 a n ds oo n t h es e c o n di st h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： i i t ( w o p o ) il l ，t * ( 。，) o o ， w h e r et g c t ) = f 圣。( 5 ) 9 ( s # ) d s ，ti sa no p e r a t o ra c t i n go nf u n c t i o n s0 茎g l ， ”d 虬( t ) = s u p 哿( u - l x q ) ：( u 旧) 吼。 t o o ，w h e r e t h es u p r e m u mi s t a k e no v e ra l lc u b e sq r “，t h e n m ：a p o 。( w o ) _ a ：1 。( m 1 ) w h e r emi st h el - i lm a x i m a lo p e r a t o r i ns e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft w oi n d e x e so ft w od i m e n s i o n sl o r e n t zs p a c ea f ( w ) ，w h i c hc a nb es t a t e da sf o l l o w s t h e o r e m2 2 1 7 当0 t 1 ，t 2 o o ，0 p ，口 r 2 ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( i )a n ( u ) ca ! r 2 ( 2 ) ，器z 1 娜 半溢器器端旨篇芦 ( 2 ( d k + 1 ) a 一 2 ( d ) 7 2 q ) d t r 2 ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( i )蟑1 ( w 1 ) c 蛆“( 2 ) ，恐上1 脚 端踹篙器岩瓮端r ( w 2 ( d + 1 ) ”q w 2 ( d i ) 2 q ) d t d o 5 ( i v )s 。p k zm l ( d i + 。) ) 一r 加f 叫。( d k 斗1 ) r ，巾一埘2 ( d k ) r ：，口) 叫n r 2 ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ( i )a ；7 1 ( 1 ) ca ”( u ) d 愁hd j 7 0 e 触 c ( v ( i v k + , 1 ) 一v ( 1 d k l ) ) d t v ( i d k l ) + t ( v ( i d k + , 1 ) 一v ( i d ：i ) ) l 叫1 ( d ) r , p + ( 锄l ( d k + 1 ) q 加一叫1 ( 口 ) n ，9 ) ( i i i )厂”( ( d l , t ) ) - r pd ( 一y ( i z ) 1 , d i s u pn 1 ( d s d 咖) o 。o i , l s f( ( 一y吖”) 峨 ( i v ) s u pe i z ( l ( d k + 1 ) ) 一仲( v o d i + l i ) 一v ( i d k l ) ) 7 q o o d b d ( d ) f o rt 1 r 2 ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa t ee q u i v a l e n t ： ( i )a - ( u ) c ；7 2 ( 2 ) 伍，哿湍券 o 。 ( e ) f o r7 1 茎n ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa t ee q u i v a l e n t ( i ) a ：7 1 ( 1 1 ) 1 ) ca 1 7 2 ( w 2 ) ( i i ) 哿丽w 2 ( d ) 1 q 。 ( f ) f o r7 1 7 2 ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa t ee q u i v a l e n t ： ( i )a f ( t ，1 ) ca n ( ) ，哿絮夥 o 。 t h e o r e m2 2 1 1 2l e t “， h et w ow e i g h t so nr + ，a n dub ead e c r e a s i n g f u n c t i o n ， b e i n t e g r a b l e ，0 p g 0 0 ，t h e n a ：( u 口) ca 。( u ) i a ) ，a ! 一( u ) ca 9 ( “) 【a ( ) 】 t h e o r e m2 2 1 1 3l e tn ， b et w ow e i g h t so i lr + ，a n dub ead e c r e a s i n g a n di n t e g r a b l ef u n c t i o n ，0 g p r m器 哪曲 t h e o r e m2 2 2 3l e t0 p o o ，0 0 s ot h a t 厶坤州z g 厶雌) 咄v d l , d e r ； m o r e o v e r ，w i t ht h i sq u a s i n o r m ，f o r0 p c o ，0 q o 。，a ! 9 ( w ) b e c o m e s ac o m p l e t eq u a s i n o r m e ds p a c e t h e o r e m2 2 3 2f o r1 p o o ，1 q 。，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s a r ee q u i v a l e n t ： ( i m b q ( 2 ) ( i i ) s 2 ，1 ：a ；冉( t ，) a 5 田( 训) i sb o u n d e d ( i i i ) i fi i i ir f = 忪( ( ，嚣) ) 忆一， t h e n i sa n o r me q u a v i l e n t t o 川k - ( ) ( i v ) q u a s i n o r mi i f l l 耀，。f 。1 = | j s 2 ( ，品) i | l ，。 。) = o ，+ 4 | | l ，。( 。) i se q u i v a l e n tt o i i f lb a g - 。m ) 7 序言 h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子是调和分析中一个极为重要的算于，定义为 m m ) = 溜志乞叭训蛾z e 矾 其中q 为冗”上的方体，它的棱平行于坐标轴 1 9 5 1 年l o r e n t z 1 0 引进了a p ( ) 的概念1 9 9 3 年c a r r o 和s o r i a 9 引 进了a 卵) ，0 q o 。及a 0 0 。) 的概念，最终c a r r o ，r a p o s o 和s o r i a 在 【2 】中统一定义了a s ，9 ( ) ，0 q o 。并且发现了当0 q o o 时，a 驴( w ) 就是a ：) ，面( s ) = ( s ) ( 片 ) 4 加许多人都曾经研究过当0 p o 。时 m ：a 已( 埘) _ a 嚣( 叫) ( 1 ) m ：a 艺( 叫) 呻a 0 ( 叫) ( 2 ) m ：a 9 ( ) _ a ( )( 3 ) 的有界性记使( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 有界的”全体分别为岛( u ) ，b y ，o 。( u ) ，b 器 当i ) = 1 时，( 1 ) 有界就是对应于 有界，这在1 9 7 2 年被m u c k e n h o u p t 5 解决了，此时即要求 a p 当u = 1 时，( 1 ) 的有界性在1 9 9 1 年被a r i f i o 和m u c k e n h o u p t 1 l 】鳃决了，此时即要 求”b ，相应于( 1 ) 的有界性的别的一些结果可以在【1 【4 】， 9 1 ，1 1 2 ， 1 3 1 ，【1 4 ， 1 5 找到【2 】中定理3 3 5 给出了( 1 ) 有界的几个等价命题 当w = 1 时，此对( 2 ) 有界对应于 m ：l 9 ( u ) 酽。( “) 有界，这个问题有界性的刻画由【2 2 中定理3 5 1 给出当“= 1 时，( 2 ) 的 有界性等价于eb ，。，后者的刻画由 2 】2 中定理1 3 3 得到( 在定理中取 伽= p - = p ，w o = ，= ”) 对于一般情况( 2 ) 的有界性【2 2 中也有一些结论 ( 3 ) 的有界性s o r i a 3 给出了结果，即( 3 ) 有界与b p 是等价的 另外 2 】的作者还讨论了m ：a 器( w 0 ) a 0 ：，。( w 1 ) 的有界性 本篇学位论文共分两章 第一章研究了算子 m ：a ：”( ) a ：。( u ) 8 的有界性，我们给出了权b p ，岛( u ) ，b p o o ，岛，* ( ) ，口；，_ b ；( “) 的关系以及 m ：a 皆1 0 。( 叫o ) 斗a 甚“o o ( 州1 ) ，0 p 0 ，p l 1 时，嵋( u ”) 可赋范的充要条件，还分别给出了经典l o r e n t z 空间 和二维l o r e n t z 空间相互嵌入的等价关系 第二章将斌m ) 推广到a 驴) ，给出了当0 i - 1 ，r 2 o o ，0 p ，口 时 a n 阻) ca ；r 2 ( 圳2 ) ，a ；1 r 1 ( 埘1 ) ca ! ，2 ( 圳2 ) ，a ：，1 ( w 1 ) ca 如扣) 的充要条件，以及当0 亿0 p ，q o o 时 a “九扣) ca ! ( 埘2 ) ，a ；1 r 1 ( 埘1 ) ca ；。0 ( 2 ) ，a ：，1 ( w 1 ) ca 。o 。扣) 的充要条件，此外还给出了i i l i a r ( 。1 是准模的充要条件等结论 9 第一章h l 极大算子在弱性l o r e n t z 空间的有界性 1 1 介绍 本文主要为了绘出h - l 极大算子从弱型l o r e n t z 空间到l o r e n t z 空间 的有界性的充分和必要条件弱型l o r e n t z 空间a 0 o 。( t | j ) ( o p ) 定义如 下( 文献1 ) a 。，* ) = 川k 一( 。) = ；器咒( 吼上。”( s ) d s ) 1 加 o o ) ， 其中”是r + 上的一个权，是r “上的可测函数，尤指的是，的不增重 排关于端t a ) ，醒( ”) ，一( x ) ，( a ( ”) ) ，的定义和文献 2 】一样本文的 目的是为了给出 f ：a 器”( o ) - a 2 ”( 1 ) 的充分和必要条件，特别是 肘。：a 乞。o 。( 埘) _ + a 0 0 。( t i ) 的情况当t = 1 ，郇o = 铆i = 州，( 0 p o 。) 时，文献1 3 】给出了 m ：a ，。0 ( w ) - + a 9 。( ) 的充要条件为b p ( 文献【4 】) ，还给出了 m ：a p ，0 。( o ) - + a ”( 1 ) 的充要条件，其中0 弘g o o ，o 1 ，u a ，( 文献 5 】) 在下文中亦涉及到m ：他( ) _ 仳) 及m ：a ：o ( w o ) _ + a p l ，o o ( 1 ) ，这一方面的结论在文献【2 】中有较为详 细的论述本文沿袭以往的记号，若 m ：越( ”) _ 醒细) 则记w 岛( u ) ，特别地当u = l 时，记为b p 若 m ：a ：( ) a ：0 。( ) ， 则记 b ，o 。( u ) ，特别地当u = l 时，记为 岛，o 。，若 m ：a ”( ) - a “。( ) ， 1 0 则记为u b ； 1 2 权的比较 命题1 2 1 若m ：a 0 ”( w ) _ a ) ，则r = o o 证明 困m ：a 艺，9 ( 叫) c a 0 。( 删) ，0 1 ，由m ：a ：。) _ a 。) 可知 m ：a 4 。( 由) - + a 。”( 西) ， 则曲b 。o o ，o 。= b q 由文献 2 】中定理1 3 - 4 可知 ，r ( 1 ( p r d l 4 ( t ) ) d e ( r ( v r l 7 。( r ) ) ) ，r o ， j 0 其中雨( t ) = 疝( s ) 如故 z l ( ，g ，p i f 【，口p 一1 ( s ) n u ( s ) d s ) 1 q d t 。 也即 上7 1 i 矿l ，p ( t ) d t 。 也就是说we b 这样就有口；( “) c b p = b ； 类似于当p q 时，拂( ) c b 口( u ) ，也有当p q 时，_ 日；( t i ) c 口器。( u ) 命题1 2 4 当p p 时 m ：a 暂o o ( ) f + a 0 。( ) 即日吕( u ) cb ；( u ) 命题1 2 5若0 p 。，p l o o ，l p ，u a p ，则 m ：a r o ( w 0 ) - a “，。( w 1 ) 辛m ：a p o 。( w 0 ) - - - t a “。知i ) ， 证明事实上，由“a ，及文献1 7 】知 ( ( m ，) ：) 9 c a ( 尤) ， 其中a 为h a r d y 算子( a ，( ) = 1 几j ： y ( s ) d s ) 由于 m ：a ”( 蛳) - a “o 。1 ) 甘a ：l 2 尸 o ) _ l “。如1 ) ， 其中l 翟f ( t c j o ) 是l o ：o ( 咖) 非负单调递减的部分，则 i i m j i ；e 一一( 。) = i i ( m f ) * 1 1 2 一( u 。) 2 m 戊) ，。( ”) a l l a ( f , ：) | | l ，- o 。( 。，) 茎c | | ( 咒) ”l i l ，。* ( ”。) = c l i ( 咒) 1 1 2 ，。一( ，。) 2c l l f l l ：e 。f 。 推论1 2 6 当0 p o o 。，p 1 ，u a p 时，j 留，o oc b 嚣。，o 。( ) 特别 地，当u a l 时。瑶，o 。c 器，o 。0 ) 命题1 2 7 上0 ( “) cb ；( u ) ，其中0 p 0 ，0 q p ，使得 i i m x e i i a ：, - - ( 。1 c j j x e ij a ：( 叫) ，ec 冗n 再由文献1 2 定理3 2 1 0 ( 由文献【2 中定理3 24 和引理3 31 知w 2 ) 可知 m ：a ：。( ) _ a p o 。( ) 注1 2 8 由命题1 2 7 知所有 eb p ( ) 的充分条件皆为w b ：( u ) 的充分条件。则文献【2 】中定理3 3 5 的( i i ) 一( ) 皆为其充分条件由文献 f 2 中的定理3 3 9 知若1 p 。o ，让a p ，则曰g ，c 岛口( 性) ，0 i a q ，则 m ：a ( 叫) a 9 ( 叫) = m ：a 乞( 伽) a 嚣( 叫) 由文献【2 】中定理34 1 6 可知当a l 时，b ，o 。c b p ，o o ( “) ，结合文献【2 】中 的相关结论及上述5 个命题，我们有如下的关系( 0 p i a 口时， b ( ) = 口瑟( u ) = b ；墨= b p 1 3 1 3 充分性定理 定理1 3 1 若i i t ( w o1 7 “) i i l 。* ( 。，) 。o ，其中t g ( t ) = j f 圣。( s ) g ( s t ) d s ，t 为作用在g ( 非负单调递减的函数) 白勺算子，壬。( ) = s u p u ( q ) q ( u _ 1 x o ) ：( u ( q ) t ) ， 0 t ( 2 0 ，其中上确界取遍所有的方体qcr ”，其中“( 0 ) = 尼u ( s ) d s 则 m ：a 擎，。( n 沁) oa 罾。( w i ) 证明 由文献【2 】中定理3 4 2 0 或文献【8 】中知， ，o 。 ( m ，) ：( t ) c 西。( s ) 丘( s o d s ，0 t o o j 0 其中，m ( r 1 ) ( r “上的可测函数) ，常数c 是一个仅依赖于n 的数另外 由文献f 3 】3 命题2 7 知 t ：l 2 尸( t 1 0 ) 9 1 o 。( t | ) 1 ) ( o p o ，p l 0 0 ) 的充分必要条件是 i i t ( w 0 1 “) 1 1 l ，。( 。，l 0j 00 ，1 = s u p 町1 佃( s t ) d s 叫m ( ) f 0j 0 ，t = s u p 町1 9 。( s ) d s 叫7 9 1 ( t ) i i t ( w o - 1 伽) 怯，_ 刚 。o w o - 1 伽( s ) d s c t l w 7 m ( ) ， j o 1 4 再由f 3 】中定理4 l ( i i ) 可知 n t ( w o1 “) 1 1 l 。( 。) ) 包含在至多可数个方体劬 的并中，且，x q k n = 2 “，i l i q s i b ，( z ) d z t ，v j 那么 t 2 j u ( q j ) ( x ) s ( u ( q s ) l l q , l u 。( z ) x 口，( 。) ) u ( 。) 出 j r n s t l f l l ：。( 。) l l 马u ( q s ) f l q s l u 一1 ( z ) x q ，( z ) i f ( ：一( 。) 要证嘎 i l u f l l - 一( 。) c l l l l a , ，* ( 。) 只需证明 i i e j u ( 口j ) i 口i u 一1 ( z ) x 。，扛) l i ( j ( w ) ) ! c j “( 臼j ) y m ( u ，q j ) ) ( 因为此时有| j m 川a ：。f u ) 2s u 。p 。( u ( 毋) ) s t ) u p 。( “( 屿奶) ) s 。i l s l l 硅”( ”) ) 1 5 而由文献 2 1 知i l f l l ( a ：，口。( 。) ) ，= 1 1 川 ：( 1 ，) = j 尹f * ( t ) l w ( t ) d t 故 | | e j u ( 口j ) 1 0 j l u 一1 ( z ) x q ，( z ) 0 ( a ：，( ) ) 一 = ( 马u ( q j ) i q j l u 一1 x 。，) ：( s ) 1 矸7 ( s ) d 3 j 0 = s u p ( 马u ( 岛) i o jj u 。x ) ( z ) 9 ( z ) ( 2 ) d z 9 ：= i wj 只“ r = s u p e j u ( q j ) i q j i x q ，( x ) g ( x ) d x 9 ：= 1 wj h “ ， = s u p 】u ( 锄) l 奶i g ( x ) d x 北= l w o q f l q i i s u pe j u ( q i ) i q ji g ( s ) d s ， 虬= 】w o o 由文献【9 】知9 。( s ) 虻( m _ 1 ( s ) ) ，则 ，1 0 ，i 上式 s u pe j u ( q j ) i q ji 尤( 皿_ 1 ( s ) ) d s a ；= l w j o r 0 ，1 = 艺j ( q j ) l 奶i a w ( 皿- 1 ( s ) ) d s j o 这样由于u ( q ) i 岛i 爿。，i1 ( 雪一1 ( s ) ) d $ sc e i u ( q j ) , w ( u ( 0 2 q j ) ) ( 有限 个方体成立此式则可敬个亦成立) ，故 i i z j u ( q j ) i q j l u 一1 ( z ) x o ，( x ) i i ( a l ( 。) 】，c j u ( 0 j ) 1 甲( “( u ，曰j ) ) ， 故有 f ：a ：o 。( ) _ + a ：，o 。( ) 注1 3 4 由于a ：，。( ) = a 0 。( 订】，其中面= l ，p 1 扫- 1 因此 m ：a ：，o 。( 叫) _ a 1 。( 叫) 营ma ：o 。( 面) _ a 0 0 。( 帕) ， 因此只要在定理133 中w ( s ) 用谚( s ) = 片u 3 ( t ) d t 来代替，就有 m ：a 0 0 。( ) 十a ：”( w ) 注1 3 5当u = 1 时，则足理1 33 中的条件为 莩删邮c 驴州刚恻， 特别地有v 方体q ，cr n , 础q l1 ( s ) d ssc l q j i w ( i q ，1 ) ，即 ，。v w ( s ) 血c r w ( ，) ，w o ， 则由文献【2 】知 1 4 充分性和必要性的补充结论 命题1 4 1 若0 p ，g 0 ，q l g ，q l p 满足 咖1 q ，( r ) 1 加( r ) 曼e w l q z ( t ) w 1 ( t ) ，0 t r o 。 ( 2 )如果芦 g o 。且j g i p 孽l 0 j 0 证明由文献【2 】2 中定理3 4 1 4 可知m ：a 密) oa 罂，”) 由于 q l q ，则由文献【2 】中定理3 3 5 知m ：心( 面) _ + a ：) 再由命题1 2 7 知 m ：a i 。( 面) _ + a 0 ”( 西) ， 推论1 4 2 若0 p 0 0 ，且m ：a ( t l j ) _ + a 嚣o o ( 叫) 如果0 q 成立 关于m ：a p d 。( 聊) _ a ：。( 1 ) 的必要条件在命题1 2 3 与命题1 2 4 及第二部分( 权的比较) 的最后的各种权之闻的关系中有部分结果( 在那里 “o = “l = u ，p o = p l = p ，t 0 0 = 叫1 = 训) 由于 m ：a v 。o 。m ( o ) _ a 2 m ( 加1 ) 辛m ：a 川v or t 如) 叶a w 。l 脚( 1 ) ， 故由文献【2 知下面的结果 命题1 4 3 若m ：a c g ，o 。( w o ) _ + a 0 ：- ”1 ) ，0 p o ，p l 0 ，使得i 1 x q i ( a 器( 。) ) ，恢o “ ：j 。，墨c f q 【，v 方体 qcr “其中c 与0 无关 ( 2 )( a )如果1 p o 0 0 ，则有 ( i ”。埘一一b d 磅( 。) ) t ，：埘m ( 。，( q ) ) 。( 。) j 0 v 方体q c r “，其中c 与q 无关 1 7 ( b )如果0 p o 1 ，则有 w t 7p 1 ( u ，( q ) ) i u o ( q ) c w 苫p o ( t ) 0 0 ) ，0 田i ( 【2 1 ) 在文章中还会出现很多符号，现在如下 解释 0 ( s ，z ) 是指固定$ 的情况下，对y 的递减重排，定( s ，9 ) 是指固定 y 的情况下对z 的递减重排 尼( s ，t ) = 名( s ，) ：= ( ( ，t ) ) ：( s ) 我们定义f ( x ，y ) 的h a r d y 型多维平均算子： r s r t s 2 ，t ) ：= 1 ( s 1 ) ，( 吒r ) d r d a ， j 0 j 0 ，”( s ，t ) ：= s 2 ，二( s ，t ) ， r 5一 s 2 ，l ，( s ，t ) ：= l 5 ( 1 o 疗( ，r ) d r ) * ( a ) d a ， j 0j 0 ：( s ，t ) ：= ，l y ( s ，t ) 所谓集合e 是递减的( d d 或d ) 看【l7 定义2 1 ，集合e 的二维递减 重排看【1 7 】中定义2 2 还有一些符号的使用是标准的比如， 是指对每个 变量递减的函数， ( b ) = 厶w ( 1 e i 指e 的l e b e s g u e 测度) ，a b 是 指存在常数c 1 ，使得g _ 1 asb c a 在【1 7 】和【1 9 中作者都引进了二维l o r e n t z 空间的概念，所谓，属于 二维l o r e n t z 空间q ( ) 是指如果 川螈= ( 胁( s t ) ) p w ( s , t ) d s d t ) v o o 其中”是一个定义在r 上的权【2 2 j 引进了混合模l o r e n t z 空间a q ( u ) a p ( v ) 的概念，所谓，属于a a ( “) 【a 一( u ) 】是指如果 f ，f f 。( 。) 【n ，( 。) 】：= ( z o 。f ( 上o 。( 疗( ，t ) ”。) d ：( s ) 】。加“( s ) d s ) 1 7 4 o 。， 其中“， 是r + 上的权，0 p ，q o 。， 【1 7 和 19 研究了二维l o r e n t z 空间的嵌入及其- q 经典l o r e n t z 空间之 间的嵌入，还刻画了嵋咖) 可赋范性的条件等本文主要是要把二维l o r e n t z 1 9 空间嵋( ) 推广到二指标二维l o r e n t z 空间鸠4 ( ) ，并研究嵌入，可赋范性 以及s 2 ，1 在空闻a ( ”) 上的有界性。 2 2 二指标二维l o r e n t z 空间 二指标二维l o r e n t z 空间的定义如下当0 p 0 0 ，0 g 或 p q = 0 0 时。 a ( ) = ，：l i f t l ：，t ( ”) 21 艿l | n a ( 艘，”) 。) 显然a 妒( ) = 嵋m ) 这就推广t z 维l o r e n t z 空间的概念我们来考察一 下二维l o r e n t z 空间的性质 2 2 1 嵌人结果 注2 2 1 1 由空间蜷以( 讲) 的定义及l 划，( 叫) c 工，和( 哪) ，其中0 p o o ，0 口1 q 2 可知当0 p 0 0 ，0 0 的下确界，b 是满足不等式 q 。( t z q ( a k ) 7( f ) d 1 ) 蔓p - 1 ( 蚝z p ( c , s k ) u ( ) d ) ， v o s 如，v d cd ( d t ，d 的定义同于f 1 8 1 ) 的常数c 0 的下确界，则a = b ， 推论2 2 1 3如果p ( t ) = 垆和口( t ) = t q 那么前面的引理就是 唧( 笠垡：咝必竺：唧跚鬯鲨2 ( j , 坐s 型! 毫! o _ i 4 ( 铲搿( t ) u ( v 7 1 。e ：删z 。( - 儡( 嚣1 ”( t ) d t ) v “ 定理2 2 1 4 当0 t 2 r l o o 时设r = 云坚等，下列命题等价： 2 0 器糍鬻筹 o o ，器z 1 脚 鬻黜蒜糕等料器黜r ( v ( w 2 ( d k 4 1 ) ) 一v ( w z ( d k ) ) ) d t o o ( i i i ) s u p 0 。u 知。( d 1 ，t ) ) 一r md ( 一v ( w 2 ( d l ，t ) ) 加) 0 0 其中d o f 4 0 知l ，t ) ) 叫p 1 一，t ) ) r ，也) 吐 ( i v )s u pe t z u ( 1 ( d + 1 ) ) 一7 7 1 ( y ( 叫2 ( d k + 1 ) ) 一y ( 叫2 ( d ) ) ) 2 0 0 d c d 证明( t ) j ( 2 。) 利用推论2 , 2 ，1 3 及l 】8 】中的定理2 4 ( z z )