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文档简介
致谢 时光流逝,两年半的研究生生活即将过去,真是有些恋恋不舍。 浙江大学优美的环境,良好的学习氛围,丰富的业余生活都给我留 下了深刻的印象。 我尊敬的导师王斯雷教授、陈杰诚教授在学业和生活上都给予我 无微不至的关怀。在你们的关心下,我的此篇毕业论文得以顺利完成。 在此我表示衷心的感嘲! 同时你们严谨治学作风也给我们树立r 很好 的榜样! 我的亲人,朋友,同学也给予我很多关心和帮助,你们的关心和 帮助使我能够顺利克服在求学道路上的各种困难,在此 表示深深的谢意! 李宏亮 2 0 0 4 1 1 1 9 中文摘要 本文分两章 第一章主要是给出了两个结果一个是各种权的包含关系,主要有 b ;( “) cb ;,0 p ( o 。 b ( “) b 器( u ) ,0 p g o o ;耳( u ) c b 赫( u ) ,0 p o 。 另一个是给出了如下定理:若 i i r ( w o - 1 ”) f4 l ,* ( 。) o 。, 其中t g ( t ) = 铲西。( s ) g ( s t ) d s ,t 为作用在gl ( 非负单调递减的函数) 的算 子,西。( ) = s u p 背心一1 x q ) :( “( o ) ) ,0 t o o ,其中上确界取遍所有的方 体oe r ”,0 t o o ,其中“( o ) = 尼“( s ) d s 则 m :a p 0 ”( o ) _ a p “0 。( w 1 ) , 其中肘为h l 极大算子 第二章讨论了二指标二维l o r e n t z 空间a ;4 ( w ) 的一些性质主要包括以 下结果, 定理2 2 1 7 当0 r l ,n 0 0 ,0 p ,q n ,则下列条件等价: ( i )a “( u ) ca 1 7 2 ( u 2 ) m ,器卜。z 警糕襻揣糟等高产r ( ? 1 j 2 ( d 十1 ) r 2 q w 2 ( d ) 您如) 出 o o ( i i i ) r s u pt u ( 阮旷p 1d ( 咄( d ”) 咖) f ) ( i v ) s u pe k e z u ( i d + 1 1 ) 一7 nf 叫2 ( d 女+ 1 ) r 。q 一训2 ( d k ) n 厅1 叫n 您,则下列条件等价: ( i )a 詈 n ( m i ) ca 墨2 ( w 2 ) m ,器卜e “端端蒜卷等篝器湍r ( 叫2 ( d + 1 ) 2 9 一叫2 ( d ) 功。) d r o 。 2 ( i i i ) ,(0。(dl,t)-pd(七。(df,tsup w ld i do) ) r a ) o 。50 ( ( 卜( 2) ) r ,4 ) t ) ( i v ) d s u p k 牙( 埘( d 1 ) ) 一r 加( 叫2 ( d k + t ) n 。一山2 ( d ) n a ) 叫n n ,则下列条件等价: ( i )a f l ( w 1 ) ca n ( 。) ,器z 1 榔 面筠端黜等裟粤黜丽r ( v ( i d k - 11 ) 一v ( i d k i ) ) d t 。 ( )_ 。( ( ,。) ) - r pd iii s u pw ld f p d ( 一v ( i d s 缈胁) o o o _ f 4j o ( )( ( ,c【_,t 旷“) 吐 ( i v )s u p z ( w l ( d h + 1 ) ) 一伸( v ( i d k + i i ) 一y ( | d i ) ) 叫q ( d ) 若r l r z ,则下列条件等价: ( i )a “( u ) ca ! ”2 ( 2 ) 恤,s 。u 。p 湍券 o o ( e ) 若r - ! r z ,则下列条件等价: ( i )a ;7 1 ( 1 ) ca ! 2 ( 2 ) ( i 1 1 s 。u l p w 2 1l ( d u p ) q ( f ) 若nst 2 ,则下列条件等价二 ( i )鸠7 1 ( w 1 ) ca n ( u ) ,s 。u 。p 器糁 o 。 定理2 2 1 1 2 设u ,”是r + 上的两个权,u 是递减函数, 是可积 的,0 ( p q o o ,则 a ! ( u ) ca 4 ( u ) a ( ) 】,a ! 一( “ ) ca 4 ( u ) a 9 ( ) 】 定理2 2 1 1 3 设u , 是日上的两个权,u 是递减函数且是可积的 0 q p 0 0 ,则 a ;( u u ) ca 。( “) 【a ( ) 】,a 1 4 ( t ) ca 。( ) 【a ”( ) 3 定理2 2 2 3 设0 p o 。,0 0 使得 厶坤州z g o 吣) d x , v d , d er ; 并且,对于这个准模,当0 p ,0 q o 。时, f ( ) 成为一个完备 的准模空问 定理2 2 3 2 若l p o 。,1sq 0 0 ,则下列的条件是等价的 ( i l w 县p , q ( i i ) ,1 :a 弘( ”) _ + a 驴知) 是有界的 ( i i i ) 如果川i = 忪( ( ,嚣) :) i i 。, 则川t 川是等价于| | 从:- ( 。 的一个模 ( i v ) 准模i 矧( 。) = | | s 2 ( ,品) 一( 。) = i f 广0 n - ( 。) 等价于| | 川 p ( 时 4 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o n sc o n s i s t so ft w op a r t s i nf i r s tc h a p t e r ,w em a i n l yg e tt w or e s u l t st h ef i r s ti st h er e l a t i o n sb e t w e e n s o m ew e i g h t s a 8f o l l o w s : k ( ) c 丑;k ,0 p o 。 _ b ;) b 器( u ) ,0 p q 0 。j 日( u ) c ( “) ,0 p o 。 a n ds oo n t h es e c o n di st h ef o l l o w i n gt h e o r e m : i i t ( w o p o ) il l ,t * ( 。,) o o , w h e r et g c t ) = f 圣。( 5 ) 9 ( s # ) d s ,ti sa no p e r a t o ra c t i n go nf u n c t i o n s0 茎g l , ”d 虬( t ) = s u p 哿( u - l x q ) :( u 旧) 吼。 t o o ,w h e r e t h es u p r e m u mi s t a k e no v e ra l lc u b e sq r “,t h e n m :a p o 。( w o ) _ a :1 。( m 1 ) w h e r emi st h el - i lm a x i m a lo p e r a t o r i ns e c o n dc h a p t e r ,w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft w oi n d e x e so ft w od i m e n s i o n sl o r e n t zs p a c ea f ( w ) ,w h i c hc a nb es t a t e da sf o l l o w s t h e o r e m2 2 1 7 当0 t 1 ,t 2 o o ,0 p ,口 r 2 ,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t : ( i )a n ( u ) ca ! r 2 ( 2 ) ,器z 1 娜 半溢器器端旨篇芦 ( 2 ( d k + 1 ) a 一 2 ( d ) 7 2 q ) d t r 2 ,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t : ( i )蟑1 ( w 1 ) c 蛆“( 2 ) ,恐上1 脚 端踹篙器岩瓮端r ( w 2 ( d + 1 ) ”q w 2 ( d i ) 2 q ) d t d o 5 ( i v )s 。p k zm l ( d i + 。) ) 一r 加f 叫。( d k 斗1 ) r ,巾一埘2 ( d k ) r :,口) 叫n r 2 ,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ( i )a ;7 1 ( 1 ) ca ”( u ) d 愁hd j 7 0 e 触 c ( v ( i v k + , 1 ) 一v ( 1 d k l ) ) d t v ( i d k l ) + t ( v ( i d k + , 1 ) 一v ( i d :i ) ) l 叫1 ( d ) r , p + ( 锄l ( d k + 1 ) q 加一叫1 ( 口 ) n ,9 ) ( i i i )厂”( ( d l , t ) ) - r pd ( 一y ( i z ) 1 , d i s u pn 1 ( d s d 咖) o 。o i , l s f( ( 一y吖”) 峨 ( i v ) s u pe i z ( l ( d k + 1 ) ) 一仲( v o d i + l i ) 一v ( i d k l ) ) 7 q o o d b d ( d ) f o rt 1 r 2 ,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa t ee q u i v a l e n t : ( i )a - ( u ) c ;7 2 ( 2 ) 伍,哿湍券 o 。 ( e ) f o r7 1 茎n ,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa t ee q u i v a l e n t ( i ) a :7 1 ( 1 1 ) 1 ) ca 1 7 2 ( w 2 ) ( i i ) 哿丽w 2 ( d ) 1 q 。 ( f ) f o r7 1 7 2 ,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa t ee q u i v a l e n t : ( i )a f ( t ,1 ) ca n ( ) ,哿絮夥 o 。 t h e o r e m2 2 1 1 2l e t “, h et w ow e i g h t so nr + ,a n dub ead e c r e a s i n g f u n c t i o n , b e i n t e g r a b l e ,0 p g 0 0 ,t h e n a :( u 口) ca 。( u ) i a ) ,a ! 一( u ) ca 9 ( “) 【a ( ) 】 t h e o r e m2 2 1 1 3l e tn , b et w ow e i g h t so i lr + ,a n dub ead e c r e a s i n g a n di n t e g r a b l ef u n c t i o n ,0 g p r m器 哪曲 t h e o r e m2 2 2 3l e t0 p o o ,0 0 s ot h a t 厶坤州z g 厶雌) 咄v d l , d e r ; m o r e o v e r ,w i t ht h i sq u a s i n o r m ,f o r0 p c o ,0 q o 。,a ! 9 ( w ) b e c o m e s ac o m p l e t eq u a s i n o r m e ds p a c e t h e o r e m2 2 3 2f o r1 p o o ,1 q 。,t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s a r ee q u i v a l e n t : ( i m b q ( 2 ) ( i i ) s 2 ,1 :a ;冉( t ,) a 5 田( 训) i sb o u n d e d ( i i i ) i fi i i ir f = 忪( ( ,嚣) ) 忆一, t h e n i sa n o r me q u a v i l e n t t o 川k - ( ) ( i v ) q u a s i n o r mi i f l l 耀,。f 。1 = | j s 2 ( ,品) i | l ,。 。) = o ,+ 4 | | l ,。( 。) i se q u i v a l e n tt o i i f lb a g - 。m ) 7 序言 h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子是调和分析中一个极为重要的算于,定义为 m m ) = 溜志乞叭训蛾z e 矾 其中q 为冗”上的方体,它的棱平行于坐标轴 1 9 5 1 年l o r e n t z 1 0 引进了a p ( ) 的概念1 9 9 3 年c a r r o 和s o r i a 9 引 进了a 卵) ,0 q o 。及a 0 0 。) 的概念,最终c a r r o ,r a p o s o 和s o r i a 在 【2 】中统一定义了a s ,9 ( ) ,0 q o 。并且发现了当0 q o o 时,a 驴( w ) 就是a :) ,面( s ) = ( s ) ( 片 ) 4 加许多人都曾经研究过当0 p o 。时 m :a 已( 埘) _ a 嚣( 叫) ( 1 ) m :a 艺( 叫) 呻a 0 ( 叫) ( 2 ) m :a 9 ( ) _ a ( )( 3 ) 的有界性记使( 1 ) ,( 2 ) ,( 3 ) 有界的”全体分别为岛( u ) ,b y ,o 。( u ) ,b 器 当i ) = 1 时,( 1 ) 有界就是对应于 有界,这在1 9 7 2 年被m u c k e n h o u p t 5 解决了,此时即要求 a p 当u = 1 时,( 1 ) 的有界性在1 9 9 1 年被a r i f i o 和m u c k e n h o u p t 1 l 】鳃决了,此时即要 求”b ,相应于( 1 ) 的有界性的别的一些结果可以在【1 【4 】, 9 1 ,1 1 2 , 1 3 1 ,【1 4 , 1 5 找到【2 】中定理3 3 5 给出了( 1 ) 有界的几个等价命题 当w = 1 时,此对( 2 ) 有界对应于 m :l 9 ( u ) 酽。( “) 有界,这个问题有界性的刻画由【2 2 中定理3 5 1 给出当“= 1 时,( 2 ) 的 有界性等价于eb ,。,后者的刻画由 2 】2 中定理1 3 3 得到( 在定理中取 伽= p - = p ,w o = ,= ”) 对于一般情况( 2 ) 的有界性【2 2 中也有一些结论 ( 3 ) 的有界性s o r i a 3 给出了结果,即( 3 ) 有界与b p 是等价的 另外 2 】的作者还讨论了m :a 器( w 0 ) a 0 :,。( w 1 ) 的有界性 本篇学位论文共分两章 第一章研究了算子 m :a :”( ) a :。( u ) 8 的有界性,我们给出了权b p ,岛( u ) ,b p o o ,岛,* ( ) ,口;,_ b ;( “) 的关系以及 m :a 皆1 0 。( 叫o ) 斗a 甚“o o ( 州1 ) ,0 p 0 ,p l 1 时,嵋( u ”) 可赋范的充要条件,还分别给出了经典l o r e n t z 空间 和二维l o r e n t z 空间相互嵌入的等价关系 第二章将斌m ) 推广到a 驴) ,给出了当0 i - 1 ,r 2 o o ,0 p ,口 时 a n 阻) ca ;r 2 ( 圳2 ) ,a ;1 r 1 ( 埘1 ) ca ! ,2 ( 圳2 ) ,a :,1 ( w 1 ) ca 如扣) 的充要条件,以及当0 亿0 p ,q o o 时 a “九扣) ca ! ( 埘2 ) ,a ;1 r 1 ( 埘1 ) ca ;。0 ( 2 ) ,a :,1 ( w 1 ) ca 。o 。扣) 的充要条件,此外还给出了i i l i a r ( 。1 是准模的充要条件等结论 9 第一章h l 极大算子在弱性l o r e n t z 空间的有界性 1 1 介绍 本文主要为了绘出h - l 极大算子从弱型l o r e n t z 空间到l o r e n t z 空间 的有界性的充分和必要条件弱型l o r e n t z 空间a 0 o 。( t | j ) ( o p ) 定义如 下( 文献1 ) a 。,* ) = 川k 一( 。) = ;器咒( 吼上。”( s ) d s ) 1 加 o o ) , 其中”是r + 上的一个权,是r “上的可测函数,尤指的是,的不增重 排关于端t a ) ,醒( ”) ,一( x ) ,( a ( ”) ) ,的定义和文献 2 】一样本文的 目的是为了给出 f :a 器”( o ) - a 2 ”( 1 ) 的充分和必要条件,特别是 肘。:a 乞。o 。( 埘) _ + a 0 0 。( t i ) 的情况当t = 1 ,郇o = 铆i = 州,( 0 p o 。) 时,文献1 3 】给出了 m :a ,。0 ( w ) - + a 9 。( ) 的充要条件为b p ( 文献【4 】) ,还给出了 m :a p ,0 。( o ) - + a ”( 1 ) 的充要条件,其中0 弘g o o ,o 1 ,u a ,( 文献 5 】) 在下文中亦涉及到m :他( ) _ 仳) 及m :a :o ( w o ) _ + a p l ,o o ( 1 ) ,这一方面的结论在文献【2 】中有较为详 细的论述本文沿袭以往的记号,若 m :越( ”) _ 醒细) 则记w 岛( u ) ,特别地当u = l 时,记为b p 若 m :a :( ) a :0 。( ) , 则记 b ,o 。( u ) ,特别地当u = l 时,记为 岛,o 。,若 m :a ”( ) - a “。( ) , 1 0 则记为u b ; 1 2 权的比较 命题1 2 1 若m :a 0 ”( w ) _ a ) ,则r = o o 证明 困m :a 艺,9 ( 叫) c a 0 。( 删) ,0 1 ,由m :a :。) _ a 。) 可知 m :a 4 。( 由) - + a 。”( 西) , 则曲b 。o o ,o 。= b q 由文献 2 】中定理1 3 - 4 可知 ,r ( 1 ( p r d l 4 ( t ) ) d e ( r ( v r l 7 。( r ) ) ) ,r o , j 0 其中雨( t ) = 疝( s ) 如故 z l ( ,g ,p i f 【,口p 一1 ( s ) n u ( s ) d s ) 1 q d t 。 也即 上7 1 i 矿l ,p ( t ) d t 。 也就是说we b 这样就有口;( “) c b p = b ; 类似于当p q 时,拂( ) c b 口( u ) ,也有当p q 时,_ 日;( t i ) c 口器。( u ) 命题1 2 4 当p p 时 m :a 暂o o ( ) f + a 0 。( ) 即日吕( u ) cb ;( u ) 命题1 2 5若0 p 。,p l o o ,l p ,u a p ,则 m :a r o ( w 0 ) - a “,。( w 1 ) 辛m :a p o 。( w 0 ) - - - t a “。知i ) , 证明事实上,由“a ,及文献1 7 】知 ( ( m ,) :) 9 c a ( 尤) , 其中a 为h a r d y 算子( a ,( ) = 1 几j : y ( s ) d s ) 由于 m :a ”( 蛳) - a “o 。1 ) 甘a :l 2 尸 o ) _ l “。如1 ) , 其中l 翟f ( t c j o ) 是l o :o ( 咖) 非负单调递减的部分,则 i i m j i ;e 一一( 。) = i i ( m f ) * 1 1 2 一( u 。) 2 m 戊) ,。( ”) a l l a ( f , :) | | l ,- o 。( 。,) 茎c | | ( 咒) ”l i l ,。* ( ”。) = c l i ( 咒) 1 1 2 ,。一( ,。) 2c l l f l l :e 。f 。 推论1 2 6 当0 p o o 。,p 1 ,u a p 时,j 留,o oc b 嚣。,o 。( ) 特别 地,当u a l 时。瑶,o 。c 器,o 。0 ) 命题1 2 7 上0 ( “) cb ;( u ) ,其中0 p 0 ,0 q p ,使得 i i m x e i i a :, - - ( 。1 c j j x e ij a :( 叫) ,ec 冗n 再由文献1 2 定理3 2 1 0 ( 由文献【2 中定理3 24 和引理3 31 知w 2 ) 可知 m :a :。( ) _ a p o 。( ) 注1 2 8 由命题1 2 7 知所有 eb p ( ) 的充分条件皆为w b :( u ) 的充分条件。则文献【2 】中定理3 3 5 的( i i ) 一( ) 皆为其充分条件由文献 f 2 中的定理3 3 9 知若1 p 。o ,让a p ,则曰g ,c 岛口( 性) ,0 i a q ,则 m :a ( 叫) a 9 ( 叫) = m :a 乞( 伽) a 嚣( 叫) 由文献【2 】中定理34 1 6 可知当a l 时,b ,o 。c b p ,o o ( “) ,结合文献【2 】中 的相关结论及上述5 个命题,我们有如下的关系( 0 p i a 口时, b ( ) = 口瑟( u ) = b ;墨= b p 1 3 1 3 充分性定理 定理1 3 1 若i i t ( w o1 7 “) i i l 。* ( 。,) 。o ,其中t g ( t ) = j f 圣。( s ) g ( s t ) d s ,t 为作用在g ( 非负单调递减的函数) 白勺算子,壬。( ) = s u p u ( q ) q ( u _ 1 x o ) :( u ( q ) t ) , 0 t ( 2 0 ,其中上确界取遍所有的方体qcr ”,其中“( 0 ) = 尼u ( s ) d s 则 m :a 擎,。( n 沁) oa 罾。( w i ) 证明 由文献【2 】中定理3 4 2 0 或文献【8 】中知, ,o 。 ( m ,) :( t ) c 西。( s ) 丘( s o d s ,0 t o o j 0 其中,m ( r 1 ) ( r “上的可测函数) ,常数c 是一个仅依赖于n 的数另外 由文献f 3 】3 命题2 7 知 t :l 2 尸( t 1 0 ) 9 1 o 。( t | ) 1 ) ( o p o ,p l 0 0 ) 的充分必要条件是 i i t ( w 0 1 “) 1 1 l ,。( 。,l 0j 00 ,1 = s u p 町1 佃( s t ) d s 叫m ( ) f 0j 0 ,t = s u p 町1 9 。( s ) d s 叫7 9 1 ( t ) i i t ( w o - 1 伽) 怯,_ 刚 。o w o - 1 伽( s ) d s c t l w 7 m ( ) , j o 1 4 再由f 3 】中定理4 l ( i i ) 可知 n t ( w o1 “) 1 1 l 。( 。) ) 包含在至多可数个方体劬 的并中,且,x q k n = 2 “,i l i q s i b ,( z ) d z t ,v j 那么 t 2 j u ( q j ) ( x ) s ( u ( q s ) l l q , l u 。( z ) x 口,( 。) ) u ( 。) 出 j r n s t l f l l :。( 。) l l 马u ( q s ) f l q s l u 一1 ( z ) x q ,( z ) i f ( :一( 。) 要证嘎 i l u f l l - 一( 。) c l l l l a , ,* ( 。) 只需证明 i i e j u ( 口j ) i 口i u 一1 ( z ) x 。,扛) l i ( j ( w ) ) ! c j “( 臼j ) y m ( u ,q j ) ) ( 因为此时有| j m 川a :。f u ) 2s u 。p 。( u ( 毋) ) s t ) u p 。( “( 屿奶) ) s 。i l s l l 硅”( ”) ) 1 5 而由文献 2 1 知i l f l l ( a :,口。( 。) ) ,= 1 1 川 :( 1 ,) = j 尹f * ( t ) l w ( t ) d t 故 | | e j u ( 口j ) 1 0 j l u 一1 ( z ) x q ,( z ) 0 ( a :,( ) ) 一 = ( 马u ( q j ) i q j l u 一1 x 。,) :( s ) 1 矸7 ( s ) d 3 j 0 = s u p ( 马u ( 岛) i o jj u 。x ) ( z ) 9 ( z ) ( 2 ) d z 9 := i wj 只“ r = s u p e j u ( q j ) i q j i x q ,( x ) g ( x ) d x 9 := 1 wj h “ , = s u p 】u ( 锄) l 奶i g ( x ) d x 北= l w o q f l q i i s u pe j u ( q i ) i q ji g ( s ) d s , 虬= 】w o o 由文献【9 】知9 。( s ) 虻( m _ 1 ( s ) ) ,则 ,1 0 ,i 上式 s u pe j u ( q j ) i q ji 尤( 皿_ 1 ( s ) ) d s a ;= l w j o r 0 ,1 = 艺j ( q j ) l 奶i a w ( 皿- 1 ( s ) ) d s j o 这样由于u ( q ) i 岛i 爿。,i1 ( 雪一1 ( s ) ) d $ sc e i u ( q j ) , w ( u ( 0 2 q j ) ) ( 有限 个方体成立此式则可敬个亦成立) ,故 i i z j u ( q j ) i q j l u 一1 ( z ) x o ,( x ) i i ( a l ( 。) 】,c j u ( 0 j ) 1 甲( “( u ,曰j ) ) , 故有 f :a :o 。( ) _ + a :,o 。( ) 注1 3 4 由于a :,。( ) = a 0 。( 订】,其中面= l ,p 1 扫- 1 因此 m :a :,o 。( 叫) _ a 1 。( 叫) 营ma :o 。( 面) _ a 0 0 。( 帕) , 因此只要在定理133 中w ( s ) 用谚( s ) = 片u 3 ( t ) d t 来代替,就有 m :a 0 0 。( ) 十a :”( w ) 注1 3 5当u = 1 时,则足理1 33 中的条件为 莩删邮c 驴州刚恻, 特别地有v 方体q ,cr n , 础q l1 ( s ) d ssc l q j i w ( i q ,1 ) ,即 ,。v w ( s ) 血c r w ( ,) ,w o , 则由文献【2 】知 1 4 充分性和必要性的补充结论 命题1 4 1 若0 p ,g 0 ,q l g ,q l p 满足 咖1 q ,( r ) 1 加( r ) 曼e w l q z ( t ) w 1 ( t ) ,0 t r o 。 ( 2 )如果芦 g o 。且j g i p 孽l 0 j 0 证明由文献【2 】2 中定理3 4 1 4 可知m :a 密) oa 罂,”) 由于 q l q ,则由文献【2 】中定理3 3 5 知m :心( 面) _ + a :) 再由命题1 2 7 知 m :a i 。( 面) _ + a 0 ”( 西) , 推论1 4 2 若0 p 0 0 ,且m :a ( t l j ) _ + a 嚣o o ( 叫) 如果0 q 成立 关于m :a p d 。( 聊) _ a :。( 1 ) 的必要条件在命题1 2 3 与命题1 2 4 及第二部分( 权的比较) 的最后的各种权之闻的关系中有部分结果( 在那里 “o = “l = u ,p o = p l = p ,t 0 0 = 叫1 = 训) 由于 m :a v 。o 。m ( o ) _ a 2 m ( 加1 ) 辛m :a 川v or t 如) 叶a w 。l 脚( 1 ) , 故由文献【2 知下面的结果 命题1 4 3 若m :a c g ,o 。( w o ) _ + a 0 :- ”1 ) ,0 p o ,p l 0 ,使得i 1 x q i ( a 器( 。) ) ,恢o “ :j 。,墨c f q 【,v 方体 qcr “其中c 与0 无关 ( 2 )( a )如果1 p o 0 0 ,则有 ( i ”。埘一一b d 磅( 。) ) t ,:埘m ( 。,( q ) ) 。( 。) j 0 v 方体q c r “,其中c 与q 无关 1 7 ( b )如果0 p o 1 ,则有 w t 7p 1 ( u ,( q ) ) i u o ( q ) c w 苫p o ( t ) 0 0 ) ,0 田i ( 【2 1 ) 在文章中还会出现很多符号,现在如下 解释 0 ( s ,z ) 是指固定$ 的情况下,对y 的递减重排,定( s ,9 ) 是指固定 y 的情况下对z 的递减重排 尼( s ,t ) = 名( s ,) := ( ( ,t ) ) :( s ) 我们定义f ( x ,y ) 的h a r d y 型多维平均算子: r s r t s 2 ,t ) := 1 ( s 1 ) ,( 吒r ) d r d a , j 0 j 0 ,”( s ,t ) := s 2 ,二( s ,t ) , r 5一 s 2 ,l ,( s ,t ) := l 5 ( 1 o 疗( ,r ) d r ) * ( a ) d a , j 0j 0 :( s ,t ) := ,l y ( s ,t ) 所谓集合e 是递减的( d d 或d ) 看【l7 定义2 1 ,集合e 的二维递减 重排看【1 7 】中定义2 2 还有一些符号的使用是标准的比如, 是指对每个 变量递减的函数, ( b ) = 厶w ( 1 e i 指e 的l e b e s g u e 测度) ,a b 是 指存在常数c 1 ,使得g _ 1 asb c a 在【1 7 】和【1 9 中作者都引进了二维l o r e n t z 空间的概念,所谓,属于 二维l o r e n t z 空间q ( ) 是指如果 川螈= ( 胁( s t ) ) p w ( s , t ) d s d t ) v o o 其中”是一个定义在r 上的权【2 2 j 引进了混合模l o r e n t z 空间a q ( u ) a p ( v ) 的概念,所谓,属于a a ( “) 【a 一( u ) 】是指如果 f ,f f 。( 。) 【n ,( 。) 】:= ( z o 。f ( 上o 。( 疗( ,t ) ”。) d :( s ) 】。加“( s ) d s ) 1 7 4 o 。, 其中“, 是r + 上的权,0 p ,q o 。, 【1 7 和 19 研究了二维l o r e n t z 空间的嵌入及其- q 经典l o r e n t z 空间之 间的嵌入,还刻画了嵋咖) 可赋范性的条件等本文主要是要把二维l o r e n t z 1 9 空间嵋( ) 推广到二指标二维l o r e n t z 空间鸠4 ( ) ,并研究嵌入,可赋范性 以及s 2 ,1 在空闻a ( ”) 上的有界性。 2 2 二指标二维l o r e n t z 空间 二指标二维l o r e n t z 空间的定义如下当0 p 0 0 ,0 g 或 p q = 0 0 时。 a ( ) = ,:l i f t l :,t ( ”) 21 艿l | n a ( 艘,”) 。) 显然a 妒( ) = 嵋m ) 这就推广t z 维l o r e n t z 空间的概念我们来考察一 下二维l o r e n t z 空间的性质 2 2 1 嵌人结果 注2 2 1 1 由空间蜷以( 讲) 的定义及l 划,( 叫) c 工,和( 哪) ,其中0 p o o ,0 口1 q 2 可知当0 p 0 0 ,0 0 的下确界,b 是满足不等式 q 。( t z q ( a k ) 7( f ) d 1 ) 蔓p - 1 ( 蚝z p ( c , s k ) u ( ) d ) , v o s 如,v d cd ( d t ,d 的定义同于f 1 8 1 ) 的常数c 0 的下确界,则a = b , 推论2 2 1 3如果p ( t ) = 垆和口( t ) = t q 那么前面的引理就是 唧( 笠垡:咝必竺:唧跚鬯鲨2 ( j , 坐s 型! 毫! o _ i 4 ( 铲搿( t ) u ( v 7 1 。e :删z 。( - 儡( 嚣1 ”( t ) d t ) v “ 定理2 2 1 4 当0 t 2 r l o o 时设r = 云坚等,下列命题等价: 2 0 器糍鬻筹 o o ,器z 1 脚 鬻黜蒜糕等料器黜r ( v ( w 2 ( d k 4 1 ) ) 一v ( w z ( d k ) ) ) d t o o ( i i i ) s u p 0 。u 知。( d 1 ,t ) ) 一r md ( 一v ( w 2 ( d l ,t ) ) 加) 0 0 其中d o f 4 0 知l ,t ) ) 叫p 1 一,t ) ) r ,也) 吐 ( i v )s u pe t z u ( 1 ( d + 1 ) ) 一7 7 1 ( y ( 叫2 ( d k + 1 ) ) 一y ( 叫2 ( d ) ) ) 2 0 0 d c d 证明( t ) j ( 2 。) 利用推论2 , 2 ,1 3 及l 】8 】中的定理2 4 ( z z )
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