（基础数学专业论文）分形几何在统计物理中的应用.pdf

分形几何在统计物理中的应用 y 0 0 6 3 8 摘要 本学位论文研究分形几何在统计物理中的应用，其目的在于： 1 确定c a n t o r 型集合上的扩散方程的扩散核； 2 给出分形集上扩散方程的精确解，并讨论解在原点与无穷远点的渐近性； 3 用整体自相似过程生成标准b r o w n 运动，构造新的分数b r o w n 运动( f b m ) 模型以及定义一类新的多重分数b r o w n 运动( m f b m ) i 在第一章，我们研究了分形集上的扩散核与扩散方程，得到了分形集上扩散 核的具体表达式特别地，我们得到了分形集上扩散方程的精确解 在第二章，我们首先给出了分形集上扩散方程的更易计算精确解，其次我们 给出- 了俏再r 1 ，t 一0 时，) 扩散方程解的渐近行为( 这样回答了r o m a n 和g i o n a 在1 9 9 2 年提出的问题此外，还给出了无穷远点处解的渐近行为寸一r 在第三章，无论分形集的生成压缩映射是线性的，还是非线性的，我们确定 了扩散方程核中所含的未知常数a 的值，并且确定了扩散指数7 的取值范围， 进而将扩散核完全地确定此外我们还讨论了上述问题的逆问题，并给予了准确 的回答 在第四章，我们给出了标准b r o w n 运动日( ) 与自相似过程扫备( ) ( i e r i e m a n n l i o u v i l l e 分数b r o w n 运动- b a r n e s a l l a n 模型之间的关系，我们证明了当0 日 1 时，可用b 备( t ) 生成b ( t ) j 此外我们还构造了一类新的分数b r o w n 运动， 它与m a n d e l b r o t 以及b a r t o n d e c r e u s e f o n d 分数b r o w n 运动都不等价 在第五章，我们将b a r t o n d e c r e u s e f o n d 分数b r o w n 运动推广到了多重分数 b r o w n 运动的场合，得到了样本路径的连续性以及最大模的估计 运动 关键词：分形，扩散方程，c a n t o r 型集，分数b r o w n 运动，多重分数b r o w n t h ea p p l i c a t i o n so ff r a c t a lg e o m e t r yi ns t a t i s t i c a lp h y s i c s a b s t r a c t t h i sp h dd i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ea p p h c a t i o no ff r a c t a lg e o m e t r yi ns t a t i s t i c a lp h y s i c s t h em a i na i m so fd i s s e r t a t i o na r e ： 1 t od e t e r m i n et h ed i f f u s i o nk e r n e lo nc a n t o rt y p ef r a c t a l s ； 2 t og i v ea ne x a c ts o l u t i o no ff r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o na n dt od i s c u s st h e b e h a v i o u ro ft h ea s y m p t o t i cs o l u t i o no ft h i se q u a t i o n ； 3 t oc o n s t r u c tt h es t a n d a r db r o w n i a nm o t i o nw i t ht h es e l f - s i m i l a rp r o c e s sa n d t od e f i n ean e wk i n do ff u n c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ( i b m ) a sw e l la st od e f i n ean e w k i n do fm u l t i f r a c t i o n a lb r o w n i a i rm o t i o n c h a p t e roi sp r e f a c e i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h ed i f f u s i o nk e r n e la n df r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o no nf r a c t a l s t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o n so ft h ed i f f u s i o nk e r n e la n df r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n o nc a n t o rt y p ef r a c t a l sa r eo b t a i n e d p a r t i c u l a r l y ，t h ee x a c ts o l u t i o no ft h ef r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o ni s g i y e n i nc h a p t e r2 ，t h ea n a l y t i c a le x p r e s s i o no ft h es o l u t i o ni sd e r i v e df o rt h ed i f f u s i o n e q u a t i o n t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o u ro ft h ep r o b a b i h t yd e n s i t yf u n c t i o ne ( r ，t ) i so b - t a l n e de x a c t l y i n p a r t i c u l a r ，t h eb e h a v i o u ro f p ( r ，t ) n e a rt h eo r i g i n ，r r 1 ，i sg i v e n ， w h i c ha l l s w e rt h eq u e s t i o nb yr o m a na n dg i o n ai n1 9 9 2 f u r t h e r m o r e ，t h eb e h a v i o u r o fp ( r ，t ) a ti n f i n i t yi so b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，o nt h ef r a c t a ld i f f u s i o ns e t ，w h e t h e rt h eg e n e r a t i n gm a p p i n g so ft h e d i f i h s i o ns e ta r el i n e a ro rn o n - l i n e a r t h ec o n c r e t ee x p r e s s i o no ft h ec o n s t a n ti nd i 髓s i o n k e r n e li sd e t e r m i n e du n i q u e l y ，a n dt h eb o u n d so ff r a c t i o n a ld i f f u s i o ne x p o n e n t7o ft h e d i f f u s i o nk e r n e la r e 百y e n m o r e o v e r ，t h ed i f f u s i o nk e r n e li sd e t e r m i n e d i na d d i t i o n ， t h ei n v e r s ep r o b l e mo ft h ea b o v ec a s ei sa l s od i s c u s s e d h c h a p t e r4 w ec o n s i d e rt h er e l a t i o n s h i pb e w t e e nt h es t a n d a r db r o w i a n m o t i o n s b ( t ) a n d 口譬( t ) 一t h eb a r n s - 址h n m o d e l i ti ss h o w nt h a tt h es t a n d a r db r o w i a nm o t i o n b ( t ) c a n b e r e p r e s e n t e dw i t hb 备( t ) ( o h 1 ) i na d d i t i o n ，an e w i b mm o d e li sm a d e ， w h i c hi sn o te q u i v a l e n tw i t hb o t ht h em a n d e l b r o ti b ma n dt h eb a r t o n - d e c r e u s e f o n d m m h c h a p t e r5 ，w eg e n e r a l i z et h e d e f i n l t i 。n 。fb a r t 。n 。d e c r e u s e f o n d f b mo ft h 8h u 5 t e x p 。n e n t 日t 。t h ec a s ew h e t e 日i s n ol o n g e rac 。n s t a n t ，b u t af 血c t i 。no ft h 8t i l n 8 i n d e xo ft h ep r o c e s s t h i sa l l o w su st om o d e l n o n s t a t i o n a r yc o n t i n u 。u 5p 。o 。8 8 8 8 8 k e y w 。r d s ：f r a c t a l ，d i f f u s i o ne q u a t i o n ，c a n t 。rt y p e8 e t ，f r a r t i o n a lb 。o w i a n m 。一 t i o n ，m u t i f r a c t i o n a lb r o w i a n m o t i o n 引言 在自然界和工程技术中，绝大多数重要的反应都是非均相反应，例如催反 应，固态反应和膜反应等非均相反应是在不同的界面上进行的在通常的经典 反应动力学理论中，都把这些反应界面作为规则和光滑的表面来处理，形成欧氏 几何模型近年来，大量理论和实验研究表明，这些反应界面的几何结构非常复 杂，具有分形结构的特征因此分形理论为定量地描述和表征非均相反应体系中 反应界面的复杂结构提供强有力的手段( 1 1 2 ) 非均相扩散问题隶属于一般非 均向传输问题，它具有广泛的应用及极其重要的物理意义( 3 】_ 1 6 ) 分形及渗流 上的反常扩散的研究起源于d eg e e n e s ( 1 7 ) 的观点一他建议将分形集及渗流上的 扩散看成为粒子的随机游走，建立相应的数学模型 在分形介质中，分子扩散的动力学行为不再符合经典规律，这就导致分形中 扩散反应动力学呈现出一些新的规律在1 9 8 5 年，0 s h a u g t m e s s y 和p r o c a c c i a 1 8 】 以分形介质反常扩散性质为基础，首先导出了分形介质扩散方程但他们的工作 是在欧氏空间扩散方程的基础上，引入标度性质修正，从而导出分形介质上扩散 方程的近似形式计算机模拟显示他们的结果与实验不相符因此，需要探求比 较精确且更具有普遍性的分形扩散方程在1 9 8 7 年，h a v i n 与a v r a h a m 1 9 系统 地研究了分形及渗流上的扩散问题，内容涉及反常扩散现象的许多问题如：标度 问题，自回避行走及数值方法等问题在1 9 9 0 年，b o u c h a u d 与g e o r g e s 2 0 】基 于粒子扩散是b r o w n 运动，分数b r o w n 运动的观点研究了分形介质上的扩散问 题，内容涉及长期记忆及多维随机行走等问题此外，a v r a h a n l 与h a v l i n 2 1 还 研究了分形扩散集的维数问题；g i v e n 与m a n d e b r o t 2 2 用重整化群方法研究了 分形上的e i n s t e i n 关系式在1 9 9 1 年，k l a f t e r 2 3 等人讨论了s i e r p i n s k i 汽垫上 的反常扩散的概率密度函数的性质在1 9 9 2 年，g i o n a 与r o m a n ( 2 4 ， 2 5 1 ， 2 6 ) 在分数微积分理论的基础上，重新表述了分形介质中的扩散过程此外b a r t a 2 7 研究了渗透集簇上的反常扩散问题在1 9 9 5 年，r o m a n 2 8 进一步研究了随机分 形的结构以及分形渗流上扩散的概率密度的性质，同时，s c h i e s s e l 等人【2 9 】研 究了分形上反常扩散性质在聚合物学科中的应用在1 9 9 7 年，k o r e a n z 0 研究 了自相似集上的反常扩散现象，得到了扩散密度的渐近表示式在1 9 9 8 年，d e l i uf 3 l j 等人研究了渗流网络上的反常扩散问题得到了一般的扩散方程在1 9 9 9 年，q i u h u az e n g 3 2 1 等人基于标准b r o w n 运动，分数b r o w n 运动，研究了多重 分形介质上的一般扩散方程在2 0 0 0 年，w e i y u a nq i u 3 3 】等人研究了记忆集 上的分形结构与分数次微积分之间的关系就分形集上的扩散方程的研究来说， g i o n a 与r o m a n ( j 2 4 ， 2 5 m 6 ) 的工作是极其重要最具有创造性的( 将分数微积分 与分形扩散集相联系) 在g i o n a 与r o m a n 的工作中，他们假定径向概率流i 和，t ) ， 平均概率密度p ( r ，) ，扩散长度丑及扩散核k ( t ) 满足 z 2 i ( r ，r ) d t = t d - i i p ( r ，r ) 耳( t ，r ) d r 7 , d y - 1 z 。耳( t r ) p ( r ) d r ( n ) f ( r ，归一，_ i r 埘o p 西( r , t ) + 等p ( r ，t ) ) ( 6 ) k ( t ，r ) = k ( t r ) = ( t t ) 10 7 2 称为奇异扩散指数 在上述( a ) ( e ) 假设下，他们得到了扩散方程在r r 1 , t 一+ o o 时的渐近解 ( r 是在t 时刻粒子的位移) ，值得注意的是在g i o n a 与r o m a n 的工作中，他们并 没给出： ( 1 ) 7 如何确定? ( 2 ) 7 与分形扩散集之间有何关系? ( 3 ) 7 的真实范围是什么? ( 4 ) 方程的精确解是什么? ( 5 ) 当r 冠1 , t 一0 时，扩散方程解的渐近行为是什么? 这个问题是r o m a n 与g i o n a 2 4 】提出的他们认为这一问题非常重要，它对我们理解和掌握粒子的 扩散特性有极其重要的意义 问题( 1 ) - ( 5 ) 从1 9 9 5 年至今没有解决本论文前三章对问题( 1 ) 一( 5 ) 给予准确 的回答此外由于粒子在分形介质上的扩散运动在某些场合近似于分数b r o w n 运 动本论文的后两章将讨论分数b r o w n 运动以及多重分数b r o w n 运动的一些性 质 本论文的目的为 ( 1 ) 确定c a n t o r 型集合上的扩散方程的扩散核； ( 2 ) 给出分形集上扩散方程的精确解，并讨论解在原点与无穷远点的渐近行 为； 2 ( 3 ) 用整体自相似过程生成标准b r o w n 运动，构造新分数b r o w n 运动( f b m ) 模型以及讨论一类新的多重分数b r o w n 运动( m r s m ) 在第一章，我们研究分形集上的扩核与扩散方程，得到了分形集上扩散核的 具体表达式，所得结果为物理学家的假设提供了理论基础，并给出了分数扩散指 数的计算公式此外我们还得到了分形集上扩散方程的精确解 在第二章，我们给出了分形集上扩散方程更易计算的精确解，从而给出了当 r r 1 , t 一0 时，精确解的渐近阶这样回答了r o m a n 与g i o n a 在1 9 9 2 提出的 问题此外，首次给出了r r l , t 一+ 。时，精确解的阶，改进了以前所得的 结果 在第三章，对满足开集条件由c 1 + a 压缩变换所生成的网分形，我们确定了 扩散核中所含未知常数a 的值，并且证明了扩散指数7 的取值范围是当且仅当 0 1 1 时成立，从而将扩散核完整地确定此外，我们还讨论了上述问题的 逆问题并给出了此逆问题的解，这对实际应用来说是极其重要的 上述三章中所得到的结果，对进一步研究与阐明扩散过程及其性态有重要的 意义 在第四章，我们给出了标准b r o w n 运动b ( t ) 与自相似过程口备( t ) 之间的关 系我们证明了当0 日 0 是扩散 系数，参数0 o ，咒是待定常数 在假定分形扩散核为 k ( t r ) = ( t r ) ，( 1 3 ) 此处0 7 2 是反常扩散指数，r 是扩散长度， u ，= i 端，a = u 7 【；( d 。一1 ) 一咒】a n d d 。= 2 d ，d u ( 1 5 ) 但他们并没有给出在( 1 3 ) 中7 与分形集的关系以及如何确定7 本章我们 将研究及回答上述问题我们获得了分形扩散方程( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的解，并且给了 7 一个具体表示 4 2 分形集上扩散核的确定 本节我们得到了由一族压缩映射生成的分形集上的扩散核及扩散方程的具体表 示对给定的t ( o ，0 0 ) ，记e o = o ，司，j = 1 ，2 ，自) ，令 奶( z ) ) 拓1 ，女 ，是 e 。上的压缩变换，i e j ( z ) 一c j ( y ) l 6 p i z 一i ，。，y e o( 2 1 ) 其中0 巧1 0 ，0 6 n ，j b o 1 对任意的n z + 记 讥t 加，( e o ) n i n t 。，j ( e o ) = 0 ，i j ，i ，厶 霹 “= 1 ，j 。“，h ( 岛) ，五五，i = 1 ，n e ( 2 ( n ) = u 扎一 巧。 那么非空紧集e 笋= n 黯1 e ( 2 ( n ) 被称之为一般c a n t o r 型集由文 4 6 】的结果我 们可知 d i m h 砖船警万 其中，万是方程n 冬。整。巧= 1 的解 5 假定在f o ，t ) 上的扩散集毋是c a n t o r 型集_ e # 或是一般c a n t o r 型集蟛， 并且币1 ( z ) = f 1 ，0 1 1 d ，是勋的分形维数 当扩散集厨是c a a t o r 型集时，令e i = c j ( e 0 ) = a j ，b j ，j ，= 1 ，2 ，) 由妒1 ( o ) ：0 及开集条件，我们不妨假定0 = a l b l a 2 0 ，= 1 做e ( 1 ( n ) 上的测 d = 1 度p 。使得d 脚( r ) = k ( r ) 打，且 嘶，：i 善2 - - ，。p j l p j 瓮乎，j l + ，n一 确l ，。( r ) 是集e j ，矗上的特征函数，由1 3 4 知存在唯一的概率测度p ，使得鼽 弱收敛于， s u 印( p ) = e t ， p ( ) = 巧p 。( 砂。1 ( ) ) ( 2 3 ) j = 1 且对实数集上的任意连续函数，( t ) 占恐上加) 8 脚( 7 ) 2 上，( r ) 中( 7 ) r 。， 特别地，如果m 。( 一r ) 是占( n ) 上的扩散函数，则守恒方程( 1 _ i ) 变为 ：。如川打= 舰r d ! - 1f o * p ( r ，r ) d 脚( 一r ) = r d y - 1f o * p ( r ，r ) 舡。一r ) ( 2 4 ) 记m ( p ) = 铲e 一”舡( r ) ，那么对( 2 ，3 ) 进行l a p l a c e 变换可得 m ( p ) = p t z t e - p e l r 缸( r ) + 查办z t e 一嘶舡( r ) 当r e p 一+ o 。时，由上式可得 m ( p ) ：p ，厂。一曲r 舡( ，) + 。( 1 ) m ( p ) 。p 1 上8 1 屯舡( r ) + 。( 1 ) 即当k e p 一+ o 。时，m ( p ) = p l m ( h p ) + o ( 1 ) 解方程砑( p ) = p l 丽( 1 p ) 得 丽( p ) = a p 一，其中v = 等 因而当r e p 一+ o 。时， m ( p 、= a p 一” 6 对上式运用l a p l a c e 逆变换定理得 k ( t ) 2 亓南一 ( 2 5 ) 卜( r ，r ) 打= a r ( 1 7 ) 。1 r 4 ，“p ( r ，r ) ( 一r ) 一，打 ( 2 6 ) 其中7 = 1 一p ， p ：芒l n 7 p 1 0 p o 。( 2 7 ) l c l 当扩散集是一般的c a n t o r 集时，类似地仍可得到等式( 2 5 ) ( 2 7 ) ( 方法参见 3 8 ) 由于s u p p ( # ) = e tc o ，卅，因此当且仅当t 0 ，t 时，( 2 5 ) 与( 2 6 ) 成立 测度p 称为相应于状态数 功) 。，的扩散测度，方程( 2 6 ) 称为守恒方程7 称 为扩散指数 问题1 如何确定a 仍是一个有待解决的问题 由上述推导我们可知 ( 1 ) 方程( 2 5 ) 与( 2 6 ) 的形式对一切自相似集都成立 ( 2 ) 扩散指数7 仅由1 一l n p l 1 n f 。确定 ( 3 ) 7 = 1 一由当且仅当p 1 = 等；7 = 由当且仅当p 1 = f ( 1 8 ，) ( 4 ) 当p 1 由f 1 变为1 时，7 由0 变为1 ( 5 ) 由7 = 1 一l n p l 1 n f ，我们并不能发现扩散集的几何特征与扩散指数7 之间的关系 ( 6 ) 如果扩散集研是c a n t o r 型集或广义c a n t o r 型集，扩散核函数以及总 的径向概率流函数j 善 ( r ，r ) 打与扩散集e t 及概率向量p 的关系并不明确 ( 7 ) 由方程( 2 6 ) 和方程( 1 2 ) 可得扩散方程为 里掣= 一g r 纠( 掣+ 知，t ) ) ( 2 。) 其中 学= 志叫器 2 ，口7 0 ，7 1 ，我们有 0 7 1 ，0 0 7 乩一1 ( 2 1 3 ) 在( 2 9 ) 中，令7 = ；，i ep 1 = 矗脾，日，= 0 ，苊= 0 ，则 0 1 1 2 p ( r , 0 ：一g o p ( r , t )( 2 1 4 ) o t i 2 d r 、 这就是标准b r o w n 运动的扩散方程 2 5 1 在( 2 9 ) 中，令口，：0 ，庀= o ，7 = 1 九，i ep 1 = _ 1 7 厶，则 百o l l a ”p ( r , t ) ：一g 翌掣 ( 2 1 5 ) 丽玎j - 2 一。万一 卜“。 此式是h u r s t 指数为1 乩的分数b r o w n 运动的扩散方程( 2 5 ) 由于0 1 如 1 2 ，因此分数b r o w n 运动的增量是负相关的 在( 2 9 ) 中，令日7 = 尼= 0 ，7 = 1 1 如，i ep l = ”，则 可ol-1d-pr,t)=一g型ot ( 2 1 6 ) 出l 一1 “ 、 上式是h u r s t 指数为1 1 乩的分数b r o w n 运动的扩散方程( 2 5 ) 由于1 2 1 1 乩 1 ，因此分数b r o w n 运动的增量是正相关的 现在我们研究扩散方程( 2 8 ) 的精确解在文 2 6 中，g i o n a 与r o m a m 得到 了方程( 2 8 ) 的渐近解，i e 当蠡1 ，t 0 0 ， p ( r , t ) t - d ，d ”( 主) 。e x p 一c 。n s t ( 孟) ”) ( 2 1 7 ) 其中 ，屯( 1 + 口，)，l ， “一 d 。一( 1 + 口，) 】 a = u 畦( 以一1 ) 一捌， 庀= ；( 以1 ) 此处也= 2 骜称为谱维数( 【4 0 ，4 7 ) 对( 2 8 ) 进行l a p l a c e 变换，我们可得方程的精确解为： p ( r ，t ) 2i i i 习a 厶t h ( r ) ( t f ) 一，一坛1 7 8 ”d r 其中 ( t ) = ；铲e - t x - e 一日。6 一。s i n ( b z ls i n 7 r ) d z ( 参见附录a ) 8 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 3 自相似集上的扩散方程的扩散核 本节我们讨论自相似集上的扩散方程的扩散核与扩散方程设自相似集e t 由下 列自相似变换生成南( z ) ：b ，+ 岛。，o 之6 1 , j ：1 ，女，圭6 1 ，0 ：6 。 b 。 j = l h = t 0 一靠) ，那么对任意给定的概率向量p = ( p ，p k ) ，存在唯一的概率 测度肛满足( 2 3 ) 由文 3 7 ，我们有d 脚z k ( r ) 打 ( r ) = a i ( r 0 7 ) ) 。1 p j 百”( 一r b ) 目( 一r 一吣( 3 1 ) j = l 其中： 咖) = ：；墨 0 0 ，是由标准化条件 f o t # l - l p ( r ，) d r = l ，i - ef o t # 1 - ：p ( r ，s ) 办= 1 。 确定的常数g 因此 p ( r ，t ) = - i a s 一4e x p ( 一日s 1 ) 其中a = g r 一丘，b = ( r g ) 8 + 1 ，p = 1 一蝼d w 假定卢 0 ，贝4 c - 1 ( s 一4 ) = t - ( d l - l ) d ”r ( z ) ( a 3 ) ( a 4 ) 显然e x p ( 一b s l ) 在r e s 8 0 0 上解析，在r e s 口 s o 上当一+ 。时关于 a x gs 一致地有， re x p ( 一日s ，) e x p ( 一日 c o s 要) 一0 因此，j = 等 e x p ( p s ，) lj d sj + o o 进而e 印( 一b ) 的l a p l a c e 逆变换存在，且 _ 1 e x p ( m ，) _ 去正= 一却如 ( a 5 ) 按图示的积分路径运用c a u c h y 积分定理得 1，一。十t 。1 去上一i ，岫一妊熹( + 1 2 + 厶) ， 其中 ：一三 一肼幽 z 7 r lj 0 l + c i 如= 熹二啊一坷幽， 厶：1 q fe * 且一幽 2 7 r tj r 。 。酬剧万e s t 旧= ，以f 。0 2 e p t c o s g _ b p 1c 0 8 t 8 硼 = z “璧。”m 锄+ 啪矿”叫 = 2 1 i l l + 2 1 1 1 其中 由p t c o s ( i 目) p _ a 因此 耻。一m 枷f 一耶州掘 厶- p 。一睁俨邱b 僻圳甜 = p e p 8 ( 一 ) 一日p 7 。8 1 【j q ) = t a ；当p 。+ o o 时，q t a n q 2 了茸a 尹知当p 1 + 。时 l i m 厶1 口e “y t me b p c 1 ( 一q ) = 0 p 一十o 。p _ 十。 2= p 2 e 一肼8 i “p 一日矿。8 1 p 。o s l 手+ b 8 m l p8 i n 手d l p j 0 p 2 e 叫一日p c o s 23 , 手+ 日p l d n 2 1 手如 j 0 = ，te - - i ；p b p lc 0 8 1 f 若0 7 互1 ，贝40 7 霄s 吾，故l i m p _ + 。1 1 2 = 0 若 j 1 ，则矗2 ；p e - t p + b p 7 ：；肚一纠1 一南) ，因此1 i m p _ + + o 。 2 = o 这 样1 i m 。+ 。五= 0 水引1 一。垆l 瞅去严也锄一川 故吼。+ 。3 = 0 进而 c _ 。 e x p ( 一b s l ) 】= 一熹，z p e _ t z ( e 坷也h 。一e - m l e ”) 幽 一1 ，0 。e t z e - b z tc o s ，- s i n ( b z ts i n 7 f ) d 2 7 r j o 应用l a p l a c e 乘积定理知( 2 2 1 ) 成立 ( a 6 ) 附录b 对( 3 6 ) 进行l a p l a c e 变换，可得 g r - o ( 掣+ 等狮” 由j f r 4 ，一1 p ( ，) 打= 1 3 ，及( b 1 ) 知 砘s ) ：g a s - i v - i t 1 + 川 等s 等e 印+ f ：( 嘶舭科+ ，) ( 删 其中 g 3 g 2 g 4 g i ( s ) c 1 1 x g ( s ) = e l ( p i 口一1 ) f d ，一丘) 朋+ ”， = 拶+ 1 ) g 1 他+ ”， = 8 2 ( v 1 日一1 ) w + ”，q = a 町( 4 ，一 屉 = ( v d v ，) ( 6 f 1 ) ，1 e 一吣， j = 2 = 志0 。e x x 等岩d x 2 称为异常扩散指数此外，更为重要的是在分形 介质上，基于实验结果支持的解析及数值计算显示扩散概率密度函数p ( r ，t ) ( i 。 粒子在t = 0 从r = 0 原点出发，随机游走t 时间以后，在空间r 位置处发现它 的概率密度) 具有非g a u s s 形式i s 2 ，8 3 ，s 4 ，g i o n a 与r o m a n 2 6 等人假定在分形介 质上径向概率流i ( r ，) ( i - e 单位时间内流过径向间隔 r ，r + 州的概率) ，概率密度 p ( r ，t ) ，扩散长度置及扩散核k i t ) 满足 z 。 ( r ，r ) 打= r d ，一1j ( 。p ( r ，r ) k i c ，r ) 打= r 由一i 0 2 耳( r ) p ( r ，r ) d r i 2 a ) ( r 搠= 一b 一纠( 掣+ 等p ( r ，t ) ) ( 2 z ) k ( t ，r ) = k i t r ) = ( t r ) 10 7 0 ，壹p f1 ) 中的第一个分量，f 。是构造自相似集变换( 仇，p 2 ，) 中第一个 自相似变换妒。的压缩因子此外，我们还得到了扩散方程的精确解： p ( t , t ) 2 可可锄j o m ) ( “市似r q 问啮，( 29 ) d t 其中： 。) = ；z + 。e t z - e b z l c o s l f s i n ( b z ls i n 7 1 r ) d z ( 2 1 0 ) 在本章，我们讨论扩散方程在原点( i e r 丑1 ，t 一0 ) 及在无穷远点( r 五 1 ，t 一0 ) 时解的性质，从而回答了1 t o m a t o 等人所提的问题 2 2 分数次扩散方程精确解的另一表达式 为了便于研究精确解的渐近行为，我们首先寻找扩散方程更为简单的精确解 1 6 由( 2 1 ) 与( 2 7 ) 得扩散方程为 型o t y = 出圳( 掣+ t ) ) 一 a rr 。、7 其中g = b a 0 ， 掣= 志1 旦o tz 。器打 a t lr ( 一7 ) j o ( t r p ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 设p ( r ，s ) = l b ( r ，) 为v ( r ，t ) 的l a p l a c e 变换，对( 2 1 1 ) 进行l a p l a c e 变换注意 到l ( ! 铲) = s ，p ( ”) 则得 卿( r t 垆曲圳( 掣+ s ) ) 解得 p ( r ，s ) = g ( s ) r e x p - ( r s l l d , ) 1 + 。l ( i + p ) g ) = t a c s ，r 丘 e x - - - 、r s g l ，d m ，1 + 1 其中g ，_ ( ( 1 + 口，) g ) 可1 由标准化条件( 2 4 ) 得 o o r d f - l p ( r ，5 ) 卉= j 1 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 因此 如) = 半( g s l l d * ) d ，_ 。 ( 2 1 6 ) 其中c ：铲。生等乒。一。d z 一1 即d f 一咒 0 时上式 其中 = j 。t 万一e ” 一即 一咒时上式 成立) 将( 2 1 6 ) 代入( 2 1 5 ) 得 p c r ，s ，= g t s c 1 一d ，d ”+ ，d ”，e x ， 一、( r s g l ，d ”，1 + 8 ) 其中：g 1 = 警g 瓜，一坛r 一丘 0 令卢= i - ( d # - x ：) i 乩，g 2 = ( r i g ，) 1 w 则可将( 2 1 7 ) 改写为 p ( r ，s ) = g 1 3 一口e 】【p ( 一g 2 ，) 1 7 ( 2 1 7 ) 由7 = 业d w 由于p ( r ，s ) 在任何右半平面r e s s o 0 上解析，在任意半平面r 。 岛上 当h 一+ o 。时，关于a r gs 一致地