（基础数学专业论文）一类全纯函数的正规性(1).pdf

趣鲤硕士学位论文答辩委员会成员名单 劲啦年岁月2 7 日 姓名职称单位备注 本文伏苏披华东咖毙大学 主席 淤金蒙辑赣轳采师毙大学 溅文石偿救华莱帮彗六誓 蕺潮瞻讲师铲苁归毙久萍 知秽 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：苏国鳃口期：2 0 吐，j 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用于非赢利日的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：g o , 睡7 胡 口期： 刃酝j 2 ) 导师签名：蕊1 ，q 口期：如口j r ，一， 2 摘要 本文对具有一定性质的全纯函数做了研究，得到：没， 是平面上区域口内的全纯函数族，如果对于任意的，y - ， ，( 。) = 0 争，( 。) = z t f ”( z ) 1 c ，其中c 是常数，且，( o ) 0 ， 则，正规。 美键词：全纯函数正规例外值零点 a b s t r a c t w ed i s c u s s e dt h e n o r m a l i t y o fc e r t a i nk i n do fh o l o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dg o tt h ef o l l o w i n gr e s u l t ：i f 户i saf a m i l yo f h o l o m o r p h i cf u n c t i o n si n a r e ad ，a n df o r ，芦，( z 1 = 0 甘f 7z ) = z 号i f h ( z ) f c ，w h e r eci s ac o n s t a n t ，i f f ( 0 ) 0 ，t h e n ，i sn o r m a l k e yw o r d s ：h o l o m o r p h i cn o r m a l i t ye x c e p t i o nv a l u e z e r op o i n t 3 第一节引言及结果 1 9 世纪末，e b o r e l 将e p i c a r d ，h p o i n c a r e 和j h a d & m a r d 等人关于解析函 数取值的若干独立成果结合起来，证明了b o r e l 定理，从而产生了值分布理论的 萌芽。1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 为值分布论的发展作出了划时代的贡献，创立了 n e v a n l i n n a 理论，构建了值分布论的基本理论。7 0 多年来，值分布论在n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发展。正规族理论事值分布论的个重要组成 部分，正规旗也是复分析的一个有力工具。定义在区域d 上的一族亚纯函数， 如果对于f 中任一函数序列 厶( z ) ，存在予序列 ，( z ) ) 在j d 内任一有界闭 域上一致收敛到极限函数，这个极限函数可以是值无穷，则称，在d 内正规。 设知是d 内任一点，称为在翔正规，如果存在询的一个领域u ( z o ) ，使得 芦在u ( z o ) 正规。 在正规族方面，数学工作者已经证明了很多漂亮的结果，本文从分担值的 角度来研究全纯函数的正规族，得到一些相关的结论。 我们先叙述一下本文中要用到的符号和基本概念。 设a 为常数，r 0 ，f ( z ) 在h r 中弧纯，且0 r r 。我们把f ( z ) 一n 在sr 中的零点个数( 计算重数) ，记为n ( r ，n ) 。定义，( 。) 一a 的零点的密指 量为 ( r ，n ) = ：”竺i 生掣d t + n ( 。，n ) 1 。s r 其中n ( o ，a ) 表示f ( z ) 一a 在原点的重级( 当f ( o ) o ，则n ( o ，a ) = o ) 。血果 a = o o ，则n ( r ，o 。) 也可以记作n ( r ，f ) ( 称为y ( z ) 的极点密指量) 。 在引入正对数的基础上定义 m ( 删2 击n 1 。g + l f ( r d 9 ) l 如 定义r ( r ，f ) = m ( r ，f ) + ( r ，f ) 。t ( r ，f ) 称为f ( z ) 的特征函数。 定义a ：一l i m l o g + t ( r , f ) 为函数，( 。) 的级。 ml o k r 还需介绍一下球面导数，4 ( 。) = r # 器，球面导数一一致有界的函数称为 正规函数j i 规函数级至多为2 ，全纯的正规躏数级至多为1 。 设d 为复平而cr 的区域。，在dr 弧纯，n c ，令 霄，( ) = f “( 。) ) nd = z d ：f ( z ) = n ) dr 的两个两数，与g 称为分# 1 值a ，蛐聚面r ( n ) - = 雷。( n ) 下面介绍，一些已有的结论和本文的主要结果。首先将分担值和止规旌的概 念联系起来的是w s c h w i c k ，他在 5 j 中证明了： 定理a 设，单位圆盘上的业纯函数旗，a l 、a 2 和a 3 是三个互不植同的复 数。如果对于任意的，和，分担a l 、a 2 和a 3 。则，在单位圆盘上正规。 如果将定理a 中的，换成， 2 ) ，结论将不再成立 6 】。 值得注意的是1 9 7 9 年顾永兴证明了 定理b 7 】设 ，( z ) ) 为区域d 内亚纯函数旗，t o , 为一正整数，如果对于族 中任意函数，( z ) ，在d 内满足 f ( z ) 0 ，( ”( z ) 1 则函数族 ，如) ) 在d 内正规。 而在 2 中庞学诚将其结论推广到分担值上，证明了下面的结果： 定理g 令，是单位圆盘上的全纯函数旗，a 是个非零复数。设对于任意 的，窗，( o ) c 霹，( o ) ，且存在不依赖于，的正数h ，使得l ，”( z ) i h 对于 = 己，( n ) 则，是单位圆盘上的正规族。 之后庞学诚和l a w r e n c ez a l c m a n 又在【1 ) 和【8 中得到咀下的结果 定理d 令，是单位圆盘上的孤纯函塾族，所有零点至少自重，n 是一个非 零复数。设对于任意的，户，e s ( o ) = e ”) ( ) ，且存在不依赖于，的正数h ， 使得0 l ，( + 1 ( z ) ish 对于z 营，( o ) 则，是单位圆盘上的正规族。 定理e 令，是单位圆盘上的亚纯函数旗，o 、b 为相异复数，c 为非零复 数，如果对于任意的f ， 面巾) = 面，( n ) ，营，( c ) = 面，巾) 则，在单位圆盘上亚规。 本文主要对定理c 进行推广，将其中常数。替换为一个全纯函数，得到 定理1 设，是平面上区域d 内的全纯函数族。 为di 二全纯萌数，所有 零点均为级。如果对下任意的r ，都有 a f ( z ) 一0 营，7 ( z ) = ( 。) 辛f ，”( 。) is 其中c 为常数 h ，与h 没有公共零点 则，是正规的。 注：条件b 可以换成在，和h 的公共零点处，的零点次数比h 至少高两 级以上。还可以改写成只需要，没有2 级零点。 例1 令，= ：厶= n z 2 ，n ) ，容易验证 满足，n ( 。) = 0 甘矗( z ) 。= 争i 霸( 2 ) i o 。，而，在。点处不正规。这说明定理中条件a 是必须的。 例2 令，= ： = n z 3 一= 2 ，n ，则 ( g ) = o 铮矗( z ) = zj 1 只( 2 ) 5 ，但是，在0 点处同样的不正规a 由此可见定理中条件b 是必不可 少的。 作为定理l 的一个直接而简单的推论我们有： 定理2 ，设，是平面上区域d 内的全纯函数族。如果对于任意的， 都有f ( z ) = 0 甘，( z ) = z 辛 ，”( z ) c ，其中c 为常数一且，( o ) 0 ，则，在 dt 正规。 在证明的过程中还不难看出有以下结论： 定理3 不存在超越整函数g ，使得g ( ( ) = 0 甘d ( ( ) = 辛i g ”( ( ) i c 第二节基本公式和引理 引理1 【1 ，引理2 设，是单位圆盘上弧纯函数族，所有零点至少级，且 存在a 1 使得对任意，f 在，的零点处都有f ，c 砷( z ) i a ，如果芦在m o 处 不正规，则对任意0 n 必存在 ( 1 ) 点列，一o o ， ( 2 ) 列函数厶，以及 ( 3 ) 一列j e 数p 。一o 使得 丛掣：g 。( ( ) 。9 ( ( ) 口 o 。“、47 r n 关于球面距离局部一致收敛，其中g 为c 上的纯函数，且满足9 拌( e ) 9 舞( 0 ) = k a + l 引理2 2 ，弓l 尽5 令为一倒e 常数的整函数，级为p ( o sp 1 ) ，n ( o ) 是一个常数。设e j ( 0 ) ce f ，( ) ce i ，( o ) ，则f ( z ) = 8 ( z 一6 ) ，其中b 为常数。 引理3 令，为平面上区域d 内的全纯函数族，h 是d 上的全纯甬数且满 足对于一切z d 有h ( z ) 0 。假设对任意，f ，f ( z ) = o 寺，7 ( z ) = h ( z ) j f ，( z ) f c ，其中c 是+ 个常数，则芦在d 上正规。 证明假设，在匈处不正规，在孙的小领域内考虑，则根据引理】，令 k = i 且o = 1 ，我们有 丛巡：9 。( e ) 如 按照球面距离局部一致收敛到g ( ( ) 。 根据上述引理，我们可以断言 e g ( o ) e g ，( ( 加) ) ce 目，( o ) 事实上，设存在9 ( ( o ) = 0 ，则存在厶，厶一( o ，使得当n 足够大时 如( 矗) ：丛型：0 ，o f 是a ( + 砌岛) = 0 ，根据，的条件我们有 鼻( + 氏厶) = k ( 4 - 如厶) 闭此 9 ：( 。+ 厶) = 7 z 。( 2 ，。十肌( n ) 9 ( ( 0 ) = l i r a 反。( - f 肌靠) ，便可以得到e 9 ( o ) ce 9 , ( ( 。o ) ) 。 现在设9 ( ( 0 ) = ( 。o ) 。我们断言9 ，h ( z o ) ，否则g 只能为 ( 卸) ( ( 一( o ) 这 种形式，这是显然不可能的。由( ( 0 ) 一h ( z o ) = 0 且9 7 h ( z o ) 。则存在靠， ( 竹一( o ，使得对足够大的n 丘( + 肌厶) 一 ( + m 矗) = “( 厶) 一h ( z 。+ 肌厶) = 0 又根据矗z ) = h ( z ) 号i 爿( = ) i 曼c 可以得到 i 彪( 厶) i = i 肌( + p n 靠) i i c “ 令n 0 0 ，我们有g ”( 白) 一0 。这就证明了我们的断言。 现在应用引理2 和引理3 ，有口( e ) = ( 翮) ( 一c ) ，c 是一个常数。通过简单 的计算我们知道9 群( o ) i h ( z o ) l ，但是9 孝( o ) = a + 1 ，令a = i h ( z o ) l + 1 我们就 得到一个矛盾。这就证明了引理。 引理4 在定理一的条件下，如果五= f h ：， 正规，则，正规。 证明不妨设h ( o ) = 0 ，d 为单位圆盘，显然我们只需要考虑在z = 0 点 r 五= o 。时的情形。对于相应的 有厶( o ) 0 ，否则矗( o ) = h ( o ) = 0 ， 因此。是厶的重级零点，从而r ( o ) = 之署= 0 ，矛盾。因此r ( o ) = o 。，所 以存在一一个；= z ：0 l z l 6 ) ，当z 6 时，l e 。( o ) i 1 。于是rz ) 0 对切z 5 = 2 ：h 6 l 。设，在5 上不正规，则必存在子列仍然记为 厶) ，在：的任意紧子集卜- 一致收敛，而 厶 没有任何子列在0 的小邻域 上一致收敛。根据球厩距离的不变性，在d 上全纯的 l ，竹) 同样满足上述性 质。根据最大模原理， 1 厶) 在：的一个紧子集上致的收敛到无穷。因此 ) 在：的一个紧子集上致收敛到0 ，从而 r ) = 厶h 同样在：的一 个紧予集上致收敛到o ，而这与当z 6 时，i r ( 2 ) l 1 矛盾。因此，在6 上正规，从而在整个圆盘卜- 正规。 引理5 【4 ，定理b 如果函数( z ) 在r o 。业纯，以z = 。为本性奇 点，且在z = o 。附近处全纯，则： 一l i r a i z l 社f # 1 = + 。 l g 一。 第三节定理的证明 根据引理4 和引理5 。我们只需要证明五= f h ：，芦1 在h 的零点处 正规即可。以下均假设d 为单位圆盘，不妨设： h ( z ) = z b ( z ) 其中b ( o ) = 1 ，且h ( z ) o 对于任意o 川 1 。则： 如果五在z ；0 不正规，因为对任意的f = 鲁五， 北) _ 0 卅= 铬一掣= - 故可对其应用引理1 ，对任意i a f 1 存在 ( 1 ) 点列g 。，一0 ， ( 2 ) 函数列r 五，以及 ( 3 ) 正数陆一0 使得 眯) = 半= 嬲刮沪昧) 按照球面距离局部一致收敛，且其中g 是复平面c 上的亚纯函数满足 9 0 ( ( ) s9 释( o ) = a + 1 在此取a = 1 ，考虑以下两种情况： 1 、z 。p 。+ o 。 我们可以断言 9 ( ) = 0 锌g l ( ( ) = i = 矿( o = o 设存在c o 使得9 ( ( 0 ) = 0 ，由9 0 存在矗一( 0 使得跏( 厶) = 0 。即 ( + p 。厶) = 0 ，根据条件厶= 0 辛足= h 可以得到 由于鳓_ 。，所以墨罱措_ 。又因为i 冀( 。n + 风矗) l 曼c 涨i j 篙嘉办y 1 硒：- 干万忑i 习石再一” 釜|沪似1 + 彤一 h 警嘞 一 一 鬈i 笠h 耽 c 芝 i 【 i i 岛以 于是我们有矿( 厶) 一9 ”( ( 0 ) = 0 。 又 w ，、丘+ “ ) 瓯( ( ) 2 葱等筹 丘( + 风( ) ( + m ) 矗( + 风 ) 五( + 岛( ) 一盘i 鱼! ! ! ! ! 竺f 鱼垒q 2 ( z 。+ p n ( ) ( 。+ p 。( ) p n h 7 ( 2 。+ m ( ) ( + m ( ) h ( z o + m ) 咄( ( ) c 翥赢+ 黼， 熙丽1 可= 。且l i m 糌= 。 所以在c 上紧集内，譬萼掣 + 致的收敛到9 ，( e ) 。假设存在( 0 使得 n 【十风j 。 。 扒c 0 ) = 1 ，则存在厶呻( o ，鲁黼= 1 口由条件i d z ) = ( 。) 辛 ( 。) = 0 ，有厶( + 肪厶) = 0 ，即9 ( ( o ) = 0 。所以我们得到了9 7 ( e ) = 1 = 9 ( ( ) = 0 。同 理可以证明g ( e ) = 0 = 9 ( ( ) = 1 。 注意到9 ( ) 是c 上的全纯函数，由引理2 及引理3 可知g ( ( ) = ( 一b ，所 以1 扩( o ) l 1 ，与l 扩( o ) i = a + l = 2 矛盾。 2 、z n p n d i x ) 则存在靠一( 0 ，( 厶) = 糍= 。，即f ( z n 4 - p n ( n ) = 。，从而 颤( 矗) = 案黼一壶垦生象篆 喾学。由 与n 没有公共零点可 知丝酱箬乩所剀( ( o ) = 熙媳) _ 1 。 令 觚) = 掣 g 。( ) 一g ( ) = 9 ( ( 一“) ( 则通过类似第种情况中的讨论有g ( ) = 0 兮g 7 ( ( ) = e f g ”( ) l c f i i 于如( e ) = 丢瓣至多在一薏处有 个简单极点，网此9 ( 一n ) 1 0 首先我们证明g 是一个超越整函数。否则若g 为多项式由_ 丁g 非常数则 g 的次数k 至少为2 。菪c ( o ) 0 则根据g ( ( ) = 0 铮( ( ) = ( 可知g 的 零点都是一级，又由于关系式g ( ) = 0 兮g ，( ( ) = e 中左边次数为从而有 k 个不同的解，而右边次数为k l ，这就推导出一个矛盾。所以a ( o ) = 0 且 因此g ，( o ) = 0 ，于是g 必须是z 2 p ( 。) 这种形式，其中p ( z ) 为多项式。因此 9 ( ( 一d ) = 二岩也是一个多项式。又由于9 ( ( ) = 0 = ( ( ) = 1 故! 也是 个多项式。而这只可能在g 兰1 时发生，从而l g 带( o ) i l 与l 矿( o ) i = 2 矛质。 所以g 只能为超越整函数。 我们考虑函数族t = t 。：t n ( z ) = c ( 2 “2 ) 2 2 “) ，则每个t 。t 均为复平面 上的全纯函数且满足条件： k ( z ) = 0 铮：( z ) = z 号k ( 2 ) fs c 通过引理3 我们知道t 在 1 2 i z i 2 ) 上正规，因此存在常数吖使得 苏垆兴稀蒜茎m 考虑函数r ( 。) = g ( z ) 护，由于对任意z 存在整数n 满足z = 2 “ ，1 2 蚓2 ，通过简单的计算有z r # ( z ) 6 4 t 芽( ( ) + 1 墨6 4 m + 1 。而这与引理6 矛盾。 注：定理三的证明可从以上证明过程中看出。 参考文献 1 x u e c h e n gp a n g a n dl a w r e n c ez a l c m a n ，n o r m a lf a m i l i e sa n ds h a r e d x l u e s ，b u l l l o n d o nm a t h s o c 3 2 ( 2 0 0 0 ) 3 2 5 3 3 1 2 p a n gx u e c h e n g ，s h a r e dv a l u e sa n dn o r m a lf a m i l i e s ，a n a l y s i s2 2 ，1 7 5 1 8 2 3 j 杨乐，值分布论及其新研究科学出版社1 9 8 2 4 j c l u n i ea n dw k h a y m a n ，t h es p h e r i c a ld e r i v a t i v eo fi n t e g r a la n dm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，c o m m e n t m a t h h e l v 4 0 ( 1 9 6 6 ) ，1 1 7 - 1 4 8 5 1s c h w i c k ，w ，s h a r i n gv a l u e sa n dn o