（基础数学专业论文）关于一些算术函数的均值性质.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 算术函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位置，许多著名 的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重要的推动作用! 但是，对于大多数数论函数，我们是很难给出 其精确的计算公式，只能通过渐近公式来反映其变化规律因此如何给出比较精 确的渐近公式引起了许多学者的浓厚兴趣在这一方面，国内外的专家学者也做 了大量的工作，取得了可喜的成绩本文主要研究了一些算术函数的均值估计问 题，讨论了关于算术函数方程解的存在性问题，获得了一些较为有趣的结论具体 地说本文的主要成果包括以下几方面： 1 研究了关于s m a r a n d a c h e 伪数列的一些渐近性质； 2 ，研究了一个关于平方补数方程解的存在性问题，并给出了方程的所有正 整数解； 3 讨论了m 次方根的整数部分在无k 次幂因子数集合中的一个渐近性质， 并给出了一些有趣的渐近公式 关键词：s m a r a n d a c h e 伪数列；位数和；平方补数；m 次根的整数部分；无_ | 次 幂因子数；渐近公式 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h em e a nv a l u ep r o b l e m so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e i nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n yf a m o u sn u m b e r t h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i sf i e l dw i l lc o n t r i b u t e t ot h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y b u tf o rm o s ta r i t h m e t i cf u n c t i o n ，i t i sd i f f i c u l tt og i v ea ne x a c tc a l c u l a t ef o r m u l ms om a n yp e o p l es h e wd e e pi n t e r e s t i n g i nh o wt og i v eap r e c i s ef o r m u l a i np a s ty e a r s al a r g en u m b e ro fw o r k sh a v eb e e n d o n ei nt h e s ea n da c h i e v e dag o o da c h i e v e m e n t 强em a i na c h i e v e m e n t so ft h i s p a p e r8 1 - et h em e a l r tv a l u ep r o p e r t i e so fs o m ea r i t h m e t i cf u n e t i o n sa n dt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o no nt h ee q u a t i o na b o u tt h es q u a r ec o m p l e m e n tn u m b e r ，a n do b t a i n e d s o m ei n t e r e s t i n gc o n c l u s i o n s s p e c i a l l yw h i c hc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea s f o l l o w h ： 1 s o m ea s y m p t o t i cf o r m u l a eo nt h es m a r a a d a c h ep s e u d o - n u m b e rs e q u e n c e s ； 2 s t u d y i n gt h en u m b e r so ft h es o l u t i o no ft h ee q u a t m nf o rt h es q u a r ec o m - p l e m e n t s ，a n dg i v i n gt h e a l ls o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ； 3 ，w es t u d i e dt h em e a l v a l u ep r o p e r t i e so faa r i t h m e t i cf u n c t i o ni n v o l v i n g t h ei n t e g e rp a r to ft h e ，一t hr o o to fa ni n t e g e ra n dt h ek - t hp o w e rf r e en u m b e r s a n ds o m ei n t e r e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a ew e r eg i v e n k e y w o r d s ：s m a r a n d a c h ep s e u d o n u m b e rs e q u e n c e s - s u mo fd i g i t s , s q u a r et o m - p l e m e n t s ti n t e g e rp a r to fm t hr o o t ；k - t hp o w e rf r e en u m b e r ；a s y m p t o t i cf o r - m u l a 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交沦文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课 题再撰写的文章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：越垫指导教师签名：至蕴么盈因各 m 7 1 年6 月1 日，一z 九7 年历月f 芗日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：鳓材 年f 月口 西北大学硕士学位论文 1 1 数论简介 第一章绪论 一般来说，一个学科分支的起源总是从对一些人们所关切的、感兴趣的重要 问题的研究开始的；当形成了特有的研究对象、特有的研究方法以及较为系统的 基本理论和成果时，一门新学科就诞生了 1 ，2 ，3 ，这些简单的正整数及其它的数字，如负数，有理数等等，都是以正 整数为基础定义出来的所以研究正整数的规律非常重要在数学中，研究数的 规律，特别是研究整数的性质的数学，叫做“数论古希腊人和中国古人等很 早就有了数论知识中国古人在公元前1 1 世纪就知道一组勾股数，公元前4 世 纪的欧几里得就把自然数分成1 、素数和复合数 数论作为一门独立的数学分支是到了十九世纪初才出现的人们公认高斯 在1 8 0 1 年发表的天才著作算术研究( d i s q u i s i t i o n 器a r i t h m e t i c a e ) 是数论 作为一门独立学科诞生的标志而作为数论最基本的特有的研究方法就是高斯在 这一天才著作中所创立的同余理论 1 2 数论的分支 总的来说，数论可按照方法的不同而形成不同的分支理论 f 1 ) 初等数论 初等数论是数论中以算术方法为主要研究方法的一个分支，是研究整数最基 本的性质，是数论的最古老的分支，整除理论是初等数论的基础，它是在带余数 除法的基础上建立起来的：整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理 论；同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法；求解不 定方程是推进数论发展的最主要课题 f 2 ) 解析数论 数论中采用分析方法研究数的性质的分支叫做解析数论g f b r i e m a n n 于1 8 5 9 年发表著名论文论不大于一个绘定值的素数的个数( u b e rd i ea r l z a h l d e rp r i m z a h l e nu n t e re i n e rg e g e b e n e ng r o s s e ) 后人把它看作是解析数论作 为数论的一个分支开始形成的主要标志 利用分析方法研究数论起源于欧拉的年代欧拉用分析方法证明了欧拉恒等 式： c o 丌( i p - 。) = f t ， ， n = 1 由此给出“素数有无穷多个”的一个新证明这个恒等式本身则被认为是算术基 本定理的解析等价形式1 8 3 7 年，狄利克雷用分析方法解决了首项与公差互素的 算术级数中有无穷多个素数的问题，1 8 3 9 年又用分析方法推证出二次域的类数 第一誊绪论 公式1 8 5 9 年，黎曼定义复变函数( ( s ) = en 一，即欧拉恒等式右边的级数，不 岳1 过把s 看作复交数，他认为素数的性质可以通过复变函数“s ) 来探讨，并且对复 变函数( ( s ) 进行了深刻的研究，取得许多重要结果后来，人们就把( ( s ) 称为黎 曼( 函数由此，研究素数分布的关键在于研究e ( s ) 的性质，特别是其零点性质 这样就把复变函数论的思想和方法应用于数论研究，开创了解析数论的新时代 黎曼还提出这样一个猜想：( ( s ) 的所有复零点都在直线j k ( s ) = 上这就是黎 曼猜想，是至今没有解决的最著名的数学问题之一对它进行的研究推动了解析 数论和代数数论的发展1 8 9 6 年，阿达马与瓦莱普桑按黎曼指出的方向，用整函 数理论，同时证明了素数定理。从此解析数论得到迅速的发展 ( 3 ) 数的几何 数的几何是应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支该方法起缘于 拉格朗日和离斯等人以几何观点研究二次型的算术性质的工作为了把狄利克雷 和埃尔米特所建立的丢番图逼近的解析理论进行简化，闵科夫斯基在1 9 世纪末 把格和凸集等几何概念引入数论1 8 9 1 年，他发表了关于这方面的第一篇论文 1 8 9 6 年出版了这方面的第一本著作，书名就叫数的几何从此，数的几何成 了数论的一个独立的分支，并在丢番图逼近和代数数论研究中得到广泛的应用 f 4 ) 代数数论 代数数论是数论的一个重要分支，它以代数整数，或者代数数域为研究对象 不少整数问题的解决要借助于或者归结为代数整数的研究因此，代数数论是整 数研究的一个自然的发展代数数论的发展也推动了代数学的发展 ( 5 ) 堆垒数论 堆垒数论又称加性数论，是关于“加性问题”的一个数论分支它研究的典 型问题是：设是全体非负整数的集合，a 1 ，也，也是的有限个或可数个 子集，试判定对中的每一个竹，方程竹= d 】+ 0 2 + + 口。是否可解或其解 数r ( ) ，其中a j a j ( 1 j s ) 这类问题与整数集合的加法性质有关 1 3数论的应用及数论在数学中的地位 数论到底有什么用处呢? 事实上，许多数学分支之所以存在，应该归功于 “现实世界”提出的一系列问题，像天体力学中需要的微分方程理论，工程技 术中提出的微积分，及流体力学中必不可少的偏微分方程等但是，数论怎么样 昵? 有一点是毫无疑问的，就是费马，欧拉，拉格朗日，勒让达，高斯等都是出自 数论内在的趣味及其特有的美而研究人类知识的这一领域的 一 随着数学的深入发展，强有力的数学工具渗透到数论的研究中去由于数论 问题的简单明了，往往会导致研究深化由此产生的概念，结果与方法对其他数 学领域的影响也日见明显1 9 0 0 年。希尔伯特在第二届国际数学大会的著名报告 中，以“三体问题”与“费马问题”作为例子来说明一个好的问题对于推动数学 发展的作用 其次，数论是研究整数规律的数学分支，它的概念与结果是构成抽象数学的 2 西北大学硕士学位论文 概念与方法的背景之一，而且也是促进数学发展的内部源泉之一 除此之外，数论还有更直接的“应用”，如：密码问题、近似分析中的数论方 法和信号处理等 数论应用在近几十年来的发展，已改变了传统对数论的看法，也改变了5 0 年 代对数论功能的认识1 9 9 0 年，格莱姆在科罗拉多( 波尔多) 大学一次公开演 讲中宣称：现在数论是最有用的数学分支， 高斯把数论置于科学之巅，他把数论描述成“一座仓库，贮藏着用之不尽， 能引起人们兴趣的真理”希尔伯特则把数论看成“一栋出奇地美丽而又和谐的 大厦”、“它有简单的基本定律它有直接了当的概念，它有纯正的真理”闵 可夫斯基比喻数论“以柔美的旋律来演奏强有力数论音乐”总之，数论是“纯 正洁白”的，高斯有如下名言： “数学是科学的皇后，数论乃数学之皇后” 从数学在科学技术中与数论在数学中的广泛联系与它的基础性质这个意义 上来说，高斯的话对数学与数论的地位作出了准确的形象性的定义 1 4 数论历史与课题意义 数论是数学的一个分支，它研究整数的一些性质正整数是人类的第一个数 学创造大约在公元前6 0 0 年，p y t h a g o r a s 和他的门徒们对整数做过彻底的研 究，他们最早以各种方法对整数进行分类：偶数，奇数，素数，复合数 对于自变量n 在某个整数集合中取值，因变量y 取复数值的函数y = ，) ， 我们称之为算术函数它们在许多数论问题的研究中起着非常重要的作用。尽管 很多重要算术函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均值，) 却体现 ，否 出很好的规律性，因而数论中对算术函数性质的研究经常是在均值意义下进行 的1 1 1 1 6 1 1 7 1 算术函数的均值估计是数论尤其是解析数论的重要研究课题之一，是研究各 种数论问题不可缺少的工具因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析 数论的发展起到重要的推动作用 罗马尼亚数论专家s m a r a n d a 醴m i ? 1 在o n l yp r o b l e m s 。n o ts o l u t i o n s 一 书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问题进行研究，并给以 一定程度上的解决，是有趣共有一定的理论意义的 基于以上的想法，本文研究了这方面的内容，并获得了一系歹f j 成果 1 5主要内容和成果 正如前面所述，本文主要研究了s m a r a n d a c h e 伪数列，平方补数，m 次方根 的整数部分和无k 次幂因子数的一些性质这些成果主要表现在在特殊集合上 的均值估计河题；关于一个平方补数方程的求解问题；s m a r a n d a c h e 伪数的位数 求和三个方面，内容分布在第二章、第三章具体说来，本文的主要成果和内容如 下： 1 研究了关于s m a r a n d a e h e 伪数列的一些渐近性质： 3 第一章绪论 2 研究了一个关于平方补数方程的解的存在性问题，并给出了该方程的所 有正整数解； 3 讨论了m 次方根的整数部分在无k 次幂因子数集合中的一个渐近性质 4 西北大学硕士学位论文 第二章关于算术函数的一些渐近性质 数论，与数学的其它许多分支一样，经常涉及到实数或复数序列在数论中， 这样的序列称为数论函数许多数论或组合数学中的问题均可转化为有关数论 函数的问题，从而研究这些数论函数的性质就是数论的一个重要内容许多数论 函数的取值是很不规则的，例如( n ) ，d ( 住) ，p ( 哟等等但是这些数论函数的均 值二了、，( n ) 往往具有良好的特性本章主要介绍几个s m a r a n d a c h e 问题中所 z 怠一 提及的数论函数，并利用初等方法来研究这些数论函数的均值及算术性质 2 1关于s m r a n d a c h e 伪数列的一些渐近公式 2 1 1引言 设n 为任意给定的正整数，如果经过若干次置换，i 的各位数字后，所得 新数( 包括疗本身) 能被5 整除，则我们称n 为s m a r a n d a c h e 伪5 倍数例 如：5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 4 ，5 6 ，5 7 ，5 8 ，5 9 ，1 0 1 ，1 0 2 ，都是s m a r a n d a c h e 伪5 倍数 类似的我们也可以定义s m a r a n d a e h e 伪偶数和s m a r a n d a c h e 伪奇数在文 献1 8 l 中，s m a r a n d a c h e 教授建议我们去研究这些伪数列的性质令a 表示所 有s m a x a n d a c h e 伪5 倍数之集合；令b 表示所有s m a x a n d a c h e 伪偶数之集合； 令c 表示所有s m a r a n d a c h e 伪奇数之集合 定义2 1 1 设正整数n = a k l o k + a k 一1 1 0 一1 + + 口1 1 0 + n o ，则定义a ( n ) 为n 的各位数字之和，即 a ( n ) = 啦 文献 s s l 的作者给出了关于a m ) 的一个渐近公式： 乏矿( n ) x ( ；l o g 茁) ”+ 。( z ( 魄矿。1 ) 在这一节中，我们利用初等的方法来讨论关于a ( n ) 在s m a r a n d a c h e 伪数列下的 一些渐近性质具体地说就是给出以下几个有趣的渐近公式： 定理2 1 1 对任意的正整数z21 ，则我们有渐近公式 萎俐= z ( ；魄0 “嘶( 蛳m 定理2 1 2 对任意的正整数z 1 ，则我们有渐近公式 芝以哪= z ( ；t 唱z - + o 似t 刊一1 ) 第二童关于算术函数的一些渐近性质 定理2 1 3 对任意的正整数z 1 ，则我们有渐近公式 。：a m ( ) = z 9 l o g z ) ”+ 。( z ( i 。g z ) ” 一1 ) 2 1 2 几个引理 为了完成定理的证明，我们需要下面几个弓l 理首先有 引理2 1 1 对任意的正整数1 ，则我们有渐近式 乏删= ( ：z o g ”州z 刊一1 ) 证明：参阅文献嘲， 引理2 1 2 对任意的正整数z 1 ，令d 表示集合a 的补集，则我们有渐 近公式 a喇_d(飞(109归：r)nnz， 、4 ， 证明：由集合d 的定义我们知道d 中的数在1 0 进制中，各位数字只髓 是1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，7 ，8 和9 ，不包括0 和5 因此，在d 中，m 位数总共有8 ”个 因此，对任意的正整数住，存在着唯一的正整数，使得l o k 一1 n 1 泸则 我们可得 注意到 则有 k ( n ) ( 9 t ) ”妒 1 0 一n 1 伊 n d f 矿( n ) ( 9 幻8 舻 9 m k ”8 k + 1 由于当l o k 一1sz 1 0 时，爱日有奄l o g ：r 十1 后+ 1 ，因此尉有 圣脚m ( ( 1 唱甸岍即( z 甓) n z、 、7 ， 礴弋 a 俨 警 。埘 一 妨誓 硅 篙 西北大学硕士学位论文 这就证明了引理2 1 2 引理2 1 3 对任意的正整数z21 ，令层表示集合b 的补集，则我们有渐 近公式 蜘d ( z 警) n x 、一7 证明：利用和引理2 ，1 2 相同的方法，我t f 3 1 i p 可证明该引理 2 1 3定理的证明 现在我们给出定理的证明首先来证明定理2 1 1 由伪s m a r a n d a c h e 5 倍数 的定义及引理2 1 1 ，2 1 2 ，我们很容易就有 a “) = 铲( 哟一舻) n zn z n o =z =z ( 9 。1 0 s zm + o ( z ( 1 0 9 矿。1 ) 一。x ( l o g 崦x ) 。n 1 ) ( ；。sz ) ”+ 。( 。s z ) “一1 ) 这就证明了定理2 1 1 零用同样的方法我们也可季导到定理2 1 ，2 ，2 1 3 的结论 2 2m 次方根的整数部分在无k 次幂因子数集合中的一 个渐近性质 设m 和k22 是两个正整数对任意的正整数站，我们定义以下两个算术函 数： 定义2 2 1 正整数n 的m 次根的整数部分定义为( 礼) ，即6 m ) = l n 去i 其中，表示不超过z 的最大整数例如：6 2 ( 1 ) = 1 ，6 2 ( 2 ) = 1 ，6 2 ( 3 ) = 1 ， b z ( 4 ) = 2 ，厶2 ( 5 ) = 2 ，k ( 6 ) = 2 ，6 2 ( 9 ) = 3 ， 定义2 2 2 一个正整数n 称为无k 次幂因子数是指对任意的素数只都 有矿t n 。 令血表示所有的无k 次幂因子数之集合，在本文中，我们利用初等的方法 研究了关于6 m ( n ) 在集合a k 上的均值性质，并给出了些有趣的渐近公式 为了后面方便起见，我们先介绍要用到的几个预备知识 e u l e r 求和公式如果函数( 0 在区间，习( o 岁 动有连续的阶偏导 数，则 ，( 啦= t ，( 母出+ o 一御) 厂8 冲+ ，( ( 圈一z ) 一，( 勿( 煳一奶 _ n 5 $ 。 。掣 7 第二童关于算术函数的一些渐近性质 证明：设m = 酬，七= 对于正整数n 和t l 一1 由，叫我们有 l，n p j ，( t ) d t = ( 露一1 v ( t ) d t = ( n 一1 ) ，( ”) 一，( 竹一1 ) ) = n ，) 一机一1 ) i 一1 ) ) 一f c n ) 对乱从m + 1 到k 求和则有 t f ( t ) d t = ，( n ) 一一1 ) ， 一1 ) 卜，( n ) 。，b n = m - i - i y n 1 ，记n = 西1 鹾2 壤这 样由m u o i u s 函数的定义可知在和式p ( d ) 中，只有d = 1 和竹的那些不同素 数乘积的那些项不等于零因此 ， 乒( 回= p ( 1 ) + p ( 尹i ) + + p 眩) + p 幻宠) + + p ( 强一1 段) 8 西北大学硕士学位论文 + + 肛( p 1 砌p k ) = 1 + c 2 ( 一1 ) + c 2 ( 一1 ) 2 + + c 譬( 一1 ) 七 = ( 1 1 ) = 0 r i e m a n n7 , e t a - 函数( ) 定义2 2 4r i e m a n nz e t a - 函数e ( s ) 定义为：如果s 1 时，由等式 所定义的函数e ( 5 ) 称为r i e r n a n nz e t a - 函数 下面我们来看个定理 定理2 2 1 设m 和2 是两个正整数，对任意的正整数z 2 1 ，则我们有 渐近公式 晌b i n ( 班高鼎措+ d n e a k 由这个定理，我们取m = 2 ，3 ，4 ，5 和七= 2 ，4 ，并注意到( ( 2 ) 2 等 和( ( 4 ) 5 磊，则立即可得到以下推论： 推论2 2 1 对任意的正整数z 1 ，则我们有渐近式： 及 推论2 2 2 对任意的正整数z 1 ，则我们有渐近式： 薹= 争+ 。( z ) 及薹酬= - - - s x + 0 2 2 1几个引理 为了完成定理的证明。我们需要下面几个引理首先有 9 矛 脚 = 似 、l 兰 一 石 瞳 ：星l = 砖“ 时 1 ，则有上面的公式可得 蒹dk p ( d ) 2 d磊kp ( d ) 2 ；p = 嘲l 。2 n ( 礼) h”d l u o 这就完成了引理的证明， 2 2 2 定理的证明 现在我们来证明定理对任意的实数。1 和正整数k 2 ，由引理2 2 1 引理2 2 2 及6 m ) 的定义，我们有 b i n ( n ) n n e a k = n ( 扎 ) n = p ( d ) p 】 n z d k l n 。 。 = p ( 回陋叫 d t t t ! i 1 0 = i z ( d ) d - 羔t 击+ dl 1l d h _ z t z a k 、萨s # f ：，廿 2 d h z 脚心( 鼎z 等南+ 。( ( ) + 。( 茁乏去) = 纛措乏警+ 。卜d k 1 是一正整数则我们有下面的估计式： 羡击 ( ( m ) 一石j 每 1 2 西北大学硕士学位论文 证明：由e u l e r 求和公式，我们很答易地就司于匪出 乏去 = 降一m t 锗g t + 1 譬 = 篙一击小仇j ( 。错出+ m f 锗出一譬 e ( 帕一( m - 1 ) x n - 1 其中我们利用了恒等式( 参看文献 2 1 ) 一击一m 。错出 这就证明了引理3 1 引理3 2 对任意的正整数几，我们有估计式 争p 器以( 洳+ 舻一( 志) m 证明：由m ) 的定义，结合e u l e r 求和公式和m s b i u s 函数的性质，我们可 以得到 乙( k ) k 霎警一乏扣丽1 一丽, f r t 丽1 一砺m 2 誓 一 4 1 d 害 。 。 因此由引理3 1 则有 歪始， 萼套杀( 志一蔫) 一纰渖一矿1 2 第三童关于平方补数的一个方程 = 鑫蠢土一雩譬嘉州。渖智1 i 1 4 ( 2 ) ，急2 岛m 2 ”。8 鑫( 面3 以小矿4 这样当g , 3 6 1 时，很容易就可得到 3 , n 2 _ s 知4 掣 因此当n 3 6 1 时方程无解 当n 从4 到变到3 6 1 肘，我们通过计算程序没有德到其它的解这就完成了 定理的证明下面给出计算程序 西北大学硕士学位论文 社i n c l u d e 社i n c l u d e f u n c t i o n i n tg e t ( i n tn ) i n ti ，m ； f l o a tg ； f o r ( i = l ；i n ；i + + ) g = s q r t ( i 4 n ) ；m = ( i n t ) g ； f f ( g - m = = o ) r e t u r ni ； ) ) m a i n ( ) i n tn = 4 4 1 ； i n ts u m ； i n t i d ； f o r ( i = l ；i n ；i + + ) s u m = o ； f o r0 = 0 0 i 0 + + ) s u m = s u m + g e t ( j ) i f s u m = = g e t ( i 4 0 + 1 ) 2 ) ) p r i n t f ( ”d w ，i ) ；) ) 1 5 参考文献 参考文献 【1 】t m a p o s t d l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y n e wy o r k ：s p r i n g e r - v 矗l a g 1 9 7 6 2 1t m a p o s t o l ，m o d u l a rp u n e t i o n sa n dd i r i c h l e ts e r i e si nn u m b e rt h e 0 1 n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 3 1d ，b u m p ，w d u k e ，j h o f f s t e i na n dh 1 w a n i e c ，a ne s t i m a t ef o rt h eh e c k e d g e n v a l u ，_望of m a a s sf o r m si n t e r n a t i o n a lm a t h e m a t i c sr e s e a r c hn o r i c e s 1 9 9 2 4 ：7 5 - 8 1 1 4 】d ，a b u r g e s s ，o nd i r i c h l e tc h a r a c t e r so fp o l y n o m i a l s p r o c l o n d o nm a t h s o e , 1 9 6 3 1 3 ：5 3 7 5 4 8 【5 】潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想北京：科学出版社，1 9 8 1 6 】潘承洞，潘承彪初等数论北京：北京大学出版社，1 9 9 2 m 潘承洞，潘承彪解析数论基础北京：科学出版社，1 9 9 9 【8 】f s m a r a n d a c h e ，o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ，c h i c a g o ，x i q u a np u b l i s h i n g h o u s e 1 9 9 3 【9 】w a n gy o n g x i n g ，o nt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h e p r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y , h e x i s ，2 0 0 5 ，p p 1 0 3 - 1 0 6 【1 0 m aj i n p i n g ，t h es m a r a n a c h em u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n ，s c i e n t i am 姆l a ，v 0 1 1 ( 2 0 0 5 ) ，n o 1 ，1 2 5 1 2 8 1 1 l ih a i l o n ga n dz h a nx i a o p e n g ，o nt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o na n d t h ek - t h r o o t so fap o s i t i v ei n t e g e r ，r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e r t h e o r y , h e x i s ，2 0 0 4 ，p p 1 1 9 1 2 2 f 1 2 1j h e r z o ga n dt m a x s e i n ，o nt h eb e h a v i o ro fa c e r t a i ne r r o r - t e r m a r c h 。m a t h ，1 9 8 8 ，5 0 ：1 4 5 - 1 5 5 【1 3 】z h uw e i y i ，o nt h ek - p o w e rc o m p l e m e n ta n dk - p o w e ri w e en u m b e rs e q u e n c e s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l v j l 1 4 2 0 0 4 ：6 6 6 9 f 1 4 z h a n g w e n p e n g , i d e n t i t i e so nt h ek - p o w e rc o m p l e m e n t s r e s e a r c ho n s m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y ，h e x i s2 0 0 4 ，6 1 6 4 f 1 5 j o z s e fs a n d o r ，o na l lg e n e r a l i z a t i o no ft h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，n o t e s n u m b t h d i s e r m a t h 5f 1 9 9 9 ) 4 1 5 1 【1 6 z h a n gw e n p e n g ，r e s e a c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y , h e x i s p u b l i s hh o u s e ，2 0 0 4 1 - 4 f 1 7 s c h o w l a , o nk l o o s t e r m a n ss l l m n o r k s ev i d s e l b s k f a k f r o n d h e i m ， 1 9 6 7 4 0 ：7 0 7 2 f 1 8 t ，c o c h r a n ea n dz y z h e n g ，b o u n d sf o rc e r t a i ne x p o n e n t i a ls n l n s l o o - k e n g h u a ：ag r e a tm a t h e m a t i c i a no ft h et w e n t i e t hc e n t u r y a s i a nzm a t h ，2 0 0 0 ， 4 ：7 5 7 - 7 7 3 【1 9 】t ld a b r e w s k ia n db f i s h e r ，as t a t i o n a r yp h a s ef o r m u l af o re x p o n e n t i a ls l i m s o v e rz w za n d a p p l i c a t i o n st og l ( 3 ) k l o e s t e r m a ns u m s a c t aa r i t h m e t i e a , 1 9 9 7 8 0 ：1 4 8 1 6 西北大学硕士学位论文 2 0 1h d a r v e n p o r ta n dh h e i b r o n n 。o na ne x p o n e n t i a ls l l i i i p r o c l o n d o nm a 抽 s o c 。1 9 3 6 ，4 1 ：4 4 9 - 4 5 3 f 2 1 1r l d u n g a n ，a p p l i c a t i o no fu n i f o r md i s t r i b u t i o nt ot h ef i b o n a c c i n u m b e r s t h ef j b o n a e c iq u a r t e r l y , 1 9 6 7 ，5 ：1 3 7 - 1 4 0 i 冽g h h a r d ya n ds r a m a n u j a n ，t h en o r m a ln u m b e ro fp r i m ef a c t o r so fa n u m b e rn q u a r t zm a t h 1 9 17 4 8 ：7 昏9 2 l k h u a ，o ne x p o n e n t i a ls u l n s s c ir e c o r d ( p e k i n g ) ( n s ) ，1 9 5 7 ，1 ：1 4 2 4 】j w a n g ，o nt h ej a c o b is u m 8m o d u l o 矿j o u r n a lo f n u m b e rt h e o r y , 1 9 9 1 ， 3 9 ：5 0 6 4 【2 5 】n m k a t z ，g a u s ss u m s ，k l o o s t e r m a ns u m s ，a n dm o n o d r o m yg r o u p s p r i n c e - t o n ：a n n a l so fm a t h e m a t i c ss t u d i e s ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 8 8 【2 6 】l k u i p e r s ，r e m a r ko nap a p e rb yr l d u n c a nc o n c e r n i n gt h eu n i f o r md i s - t r i b u t i o nm o d1o ft h el o g a r i t h m so ft h ef i b o n a c c in u m b e r st h ef b o n a c c i q u a r t e r l y , 1 9 6 9 5 ：4 6 5 4 6 6 【2 7 】r l i d la n dh n i e d e r r e i t e r ，f i n i t ef i e l d s a d d i s o n - w 砖l e y ：r e a d i n g ，m a ， 1 9 8 3 f 2 8 1j h l o x e sa n dr a s m i t h ，o nh u a se s t i m a t ef o re x p o n e n t i a ls u m s j l o n d o nm a t h s o c ( 劭，1 9 8 2 ，2 6 ：1 5 2 0 陋】j h l o i u 6 0 na n dr c v a u g h a n ，n ee s t i m a t ef o rc o m p l e t ee x p o n e n t i a ls u m s c a n a d am a t