（基础数学专业论文）不确定非线性系统的鲁棒h∞控制问题.pdf

a c k n o w l e d g m e n t f i r s to fa 1 1 a l l o wm e t oe x p r e s sm y g r a t i t u d et om y t e a c h e rp r o fm ux i a o w u f o rh i si n s t r u c t i o nt om ys t u d ya n dt h i sd i s s e r t a t i o n n e x t ，i ti sm yp l e a s t t r et o t h a n ka l lt h o s ew h oh e l p e dm e i nt h ew r i t i n go ft h i st h e s i s 摘要 本文主要研究关于a 塑皇韭终馋系统的 喳。哆婆剞问题首先讨论了基于链式 方程的带有塑摩参数与结构不确定性的非完整系统 i 。：“。+ 础( t ，z 。) 、 i i ：( z i + 1 + 目7 $ ；一g i ( 2 1 ，- ，z i ) ) o + 卅( ，z o ，z ，“。) 1 茎i n 2 ( 1 - 2 ) 叠。一。= u + e t z 0 9 。一，( ，- - ，z n 一，) t 工。+ 审j 一1 ( t ，z 。，z ，u 。) ) 。7 的鲁棒适应调节问题 利用非连续的s t a t e - s c a l i u g 变换和b a c k s t e p p i n g 技巧，构造出了系统( 1 2 ) 的鲁棒 非线性适应控制器，使得闭环系统( 1 2 ) ，( 1 5 3 ) 和( 1 5 4 ) 达到全局鲁棒稳定( 定理l - 1 ) 对于具有非匹配不确定非线性系统 r 叠= ，( z ) + g ( z ) “+ 垂1 ( 。，掣) l p ( 掣) 口+ 西2 ( z ，) 叫+ 壬3 ( z ) 掣= ( ) ( 2 1 0 ) j f 的鲁棒输出反馈控制问题，我们利用无源化技巧，构造出一个动态适应输出反馈控制器， 解决了系统( 2 1 0 ) 的适应调节干扰衰减问题，同时也设计出一个静态鲁棒输出反馈，在 保证闭环系统内稳定的基础上，使系统达到干扰衰减( 定理2 1 、推论2 1 及定理2 2 ) - 本质推广和改进了相关文献中的结果 本文最后研究了如下高阶带不确定项的非线性串联系统的几乎干扰解耦问题与鲁棒 日。控制问题 f 对于具有最小相的高阶不确定非线性串联系统 l j = ，0 ( z ，z 1 ) + g o ( z ，z 1 ) 叠1 = z 争+ ( z ，z ，t ) + g l ( z ，z ，t ) i i = $ 冀1 + ( ：，2 ，) + g i ( z ，z ，t ) w ( 3 1 ) 4 = 矿+ z ，z ，) + g t ( z ，z ，t ) w y = h ( z ，z 1 ) 1 j 弧、濂撼籀蕊蠡；。髦虢i ，： 的几乎干扰解耦问题我们通过改进一个本质性引理3 1 ，结合加幂积分器技巧，e # 蛩j t 鲁棒控制律，并在保证内稳定的情况下，使闭环系统( 31 ) 和( 3 3 2 ) 从干扰输入到输出 的工2 。一三2 。p ( m = 1 ，2 ，) 增益衰减到任意的精确阶( 定理3 1 ) - 对于不确定高阶非线性系统 $ 1 = 。4 - f 1 ( z 1 ，) + g l ( z l ，t ) o + 咖1 ( z 1 ，t ) 圣i = 2 冀1 + ( z 1 ，一，x i ，) + g i ( z l ，一，x i ，t ) o + 也( 。1 ，一，z i ，t ) 叫 ( 4 1 ) i 。= 1 1 p n + ，n ( z 1 ，一，z 。，t ) 十g 。( z 1 ，一，z 。，t ) o 4 - 庐n ( z 1 ，一，z n ，t ) w 的鲁棒适应口。控制问题及具最小相的高阶不确定非线性系统 j = ，o ( = ，z 1 ) + g o ( z ，姐) 口+ t j 5 0 ( z ，z 1 ) w 自l = z ；1 + i 1 ( z ，z ，t ) 4 - g l ( z ，z ，t ) e + l ( z ，z ，t ) w 毛= z 肄l + ( z ，嚣，t ) + g i ( z ，z ，t ) o + 也( z ，2 ，) w ( 5 1 ) t ，= u p + ( z ，z ，t ) 十g r ( z ，z ，t ) o 4 - 机( z ，z ，t ) w y = h ( z ，z 1 ) 的鲁棒适应几乎干扰解耦问题我们本质改进了幂积分器技巧及递归算法，并结合改进 的技术性引理，使之适用于带未知参数的高阶非线性系统的鲁棒适应几乎干扰解耦问题 ( 定理4 1 及定理5 1 ) 2 详细中文摘要 实际工程中的系统严格说均具有非线性特征从7 0 年代以来，基于微分几何方法 的非线性系统控制理论获得了很大发展，并在实际的工程设计中得到了有效的应用但 由于实际系统中的被控对象常常伴随着诸如未知参数、建模误差、外部干扰等各种各样 的不确定性，所以，近些年来，对基于不确定非线性系统的鲁棒控制、适应控制、日。 控制、几乎干扰解耦等问题已成为目前非线性系统控制理论研究的热点与主要问题，并 取得了相当大的进展本文主要研究不确定非线性系统的鲁棒控制问题研究的问题包 括： 1 不确定非完整系统的鲁棒适应调节问蹶， 2 不确定非线性耗散系统的鲁棒输出反馈控制问题； 3 带不确定的高阶非线性串联系统的几乎干扰解耦问题， 4 带不确定的高阶非线性系统的鲁棒适应。控制问题j 5 具最小相的不确定高阶非线性系统的鲁棒适应几乎干扰解耦问题 l 不确定非完整系统的鲁棒适应调节问题 九十年代以来，以太空机器人及移动式机器人等的姿态控制与运动规划为背景的非 完整约束控制系统及其相关的数学问题的研究，迅速发展为备受关注的热点研究课题 “非完整约束控制系统”在本质上是非线性的、带非完整约束的力学控制系统太空漂浮 机器人具有非完整约束特征，该特征阻碍了太空机器人的应用，其中一个基本的不可积 非完整约束就是角动量守恒该问题的数学模型可化为无自由项的仿射非线性控制系统 【5 j ，而移动式机器人的运动规划及轨道化问题1 5 j ，例如带有两个前向主动轮及两个后轮的 四轮自动车，其对横向滑动的限制正是非完整约束1 5 j ，此问题可化为相应的链式非线性 控制系统的研究类似的例子如带尖缘小轮的滚动、带1 3 个拖斗的自动车，冰橇问题、 灵巧手无滑抓握旋转物体及广泛的无滑滚动问题 本文考虑的问题是基于如下两个实际模型的一般情况 3 例1 ( r e s p a n h a e ta 1 ，1 9 9 8 ) 三轮移动机器人的刹车问题 i c = 式u c o s 目 吼= 硝v s i n 口 口= 虻 其中( # 。，弘) ，口，”和分别表示三轮移动机器人的质心、方向角、行驶速度和角速度未知 正参数p ；和p ；依赖于后轮的半径与它们之间的距离且p ：慨n i n p a x ( i = 1 ，2 ) ( p “n 和p 。为正常数) 例2( m o r i ne ta 1 ，1 9 9 8 ) 移动机器人 i 。= c o s ( e + ) 吼= s m ( e + ) 口= i t ) 其中e 表示方向角的微小可测误差 系统( 2 ) 在原点的二阶局部近似系统为 f 2 i ( 1 一p 幽= 巩u + u 巩= 其中( z “y l ，巩) 表示系统( 3 ) 的状态 1 9 8 3 年，b r o c k e t t 研究了著名的非完整双积分器系统 o i = “l z 2 = u 2 z 3 = 1 t 2 一2 t 1 并证明了：任何连续状态反馈控制律t = ( u l ，t 2 ) = p ( ) 均不能使系统的零解渐近稳定 ( l y a p u n o v 意义下) 实际上，b r o c k e t t 定理的必要条件蕴含着：对非完整系统而育， 既使开环可控，也不能由静态连续状态反馈镇定之进一步，b l o e h 和p o m e t 于1 9 9 2 年，分别在文献f 3 和文献f 4 ，运用 3 r o c k e t t 定理论证了：非完整约束控制系统的静态 状态反馈镇定问题不存在光滑甚至连续解因此，关于非完整约束控制系统的反馈镇定 ( 即研究在反馈变换下系统的渐近稳定性、指数稳定性问题) 与面临不确定因素( 结构不 确定、带有界干扰项、带不确定参数等) 时的适应控制与稳健控制，研究其不连续的静态 反馈、连续或光滑的时变状态反馈与动态反馈解的问题就显得极其困难并富于挑战性 4 m u r r 。y 和s a s t r y 在文献 5 】中，通过几何变换，发现一大类非完整控制系统均可 化为如下标准的链式系统 其中( 6 ，。) 咒“为系统的状态，i l l 和”2 为系统的两个控制输入 显见，系统( 5 ) 是可控的，但由b r o c k e t t 定理知。不存在光滑静态反馈控制律使之 镇定 文献f 5 1 给出了将具有两个输入的非完整动力系统转化为链式系统( 5 ) 的一个技巧 性的构造程序i 对多输入无自由项非完整系统，w 甜s h 和b u s h n e l l 于1 9 9 5 年，也给出 了将系统转化为多链型系统的充要条件像三轮移动机器人，带n 个拖斗的自动车及带 两个转矩调节器的刚体宇宙飞船等许多具有非完整约束的力学系统，均可通过坐标和状 态反馈变换，局部或整体地转化为链式系统( 5 ) 在实际系统的设计中，模型误差和外部干扰的鲁棒性尤其重要为解决带轮移动机 器人的鲁棒全局镇定，1 9 9 5 年d a n d r e a - n o v e l 等人提出了奇异摄动法1 6 1 同样， c a l l u d a sd ew i t 和k h e n n o u f 运用不变流形的技巧，讨论了具有干扰输入的带轮移动 机器人的指数收敛问题【”，基于m o r s e 在适应控制方面的开创性工作 i e s p a n h a 等 人于1 9 9 8 年用混杂反馈技巧解决了具有参数不确定性的带轮移动机器人的全局镇定问 题近年来，非线性鲁棒控制理论的研究表明，如果系统满足一定的链式结构，就可通过 递归设计的方法逐步构造出理想的l y a p u n o v 函数实际上，运用微分几何的非线性系 统理论，已得到了判定系统本质上是否具有上述键式结构的几何条件并给出了通过坐 标变换将系统的数学模型变成显式的链式结构的一般方法而且，对低链式非完蝗系统 反馈镇定问题以及适应控制与稳健控制问题，利用中心流形、l y a p u n o v 函数的构造、 b a c k s t e p p i n g 思想等技巧，最近已有很重要的进展非完整约束控制系统的研究及其在 机器人学上的应用，已成为非线性系统几何方法在实际工程中应用的重要例证，从而使得 对非完整约束控制系统及其相关数学问题的攻关研究具有重要的理论意义和应用背景 文献f 1 1 研究了如下系统 i o = d o ( t ) u o + 裾( ，z o ) 女= 文0 ) t + l u o + ? ，o ，u o ) 1 isn 一2 斑。一1 = d n - 1 ( t ) u + 一1 ( t ，z o ，。，t o ) 5 ，菇t 糕凌浚i 臻巍藩：蠡 n 一 z 0 f 1 4 ) i 硝( t ，z o ，z ，1 王o ) is i ( z l ，- ，z i ) 1 咖i ( z o ，霉1 ，一，o i ，u o ) 1 is 礼一1 ( 1 5 ) v ( t ，2 0 ，$ ，t t u ) 丑+ 五五“叫r 且为已知光滑非负函数 4 12 ：鲰( o ) = 0v i ，1 f n 一1 ( 1 6 ) 则存在一个鲁棒适应动态反馈控制律 分= 一2 一a h 七3 靠一l ( 9 n - ，( 。1 ，z 。，) 一董面o ( 1 n - 2 耵( 。1 ，) ) ( 1 5 3 ) = - a o a 。一1 厶一1 一矗一1 妒。一1 0 0 ，z 1 ，一1 ) 十a o z 5 ( 萨g 。一1 1 ，z 。一1 ) 一喜等嘲一) ) + 等争 ( 1 5 4 ) 使闭环系统( 1 2 ) ，( 1 5 3 ) 和( 1 5 4 ) 的所有解满足唯一性且有界，并有h h m o 。i z ( ) i = 0 ，从 6 2 不确定非线性耗散系统的鲁棒输出反馈控制问题 鉴于下面所述实际问题，本文对更为一般的情况作了进一步的研究 例1谐振动 考虑将角频率标准化( 即u 2 = 1 ) 后的情形，其对应系统为 ” ( 7 ) 雪= 一2 系统的总能量为：y = z 2 + 2 且警i ( ，) = 。 故系统( 7 ) 为保守系统，则可取其能量函数作为判定系统零解稳定的l y a p u n o v 函数 例2 具有阻尼的单摆 其数学模型为 口+ 口+ s i n 口= 0 ( 8 ) 其中口为摆相对于垂直轴的偏角 从力学角度来考虑，自然用总能量函数构造l y a p u n o v 函数，即h = 言口2 + ( 1 c 。s 日) ，尽管等j ( 8 ) = 一d 2 为半负定，但其物理含义表明：系统中的过程是总能量不断 下降的过程t 而等l ( 8 ) 2 0 只是在一些瞬间发生，故可断定系统的零解( 。，。) = ( o ，o ) 渐近稳定 若取= 口2 + ( 口+ 口) 2 + 4 ( 1 一c o s 口) ， 则警i ( 8 1 = 一2 ( a 2 + 目s i n 口) 为负定，从而可直接得知：系统的零解渐近稳定 在这里n 具有明显的物理意义，但k 却没有什么直观的物理意义 无源化系统理论起源于二十世纪七十年代初在研究机械装置、电力网络等物理系 统时，涉及到存储能的概念在电力网络中，有源网络指本身蕴含内部能源，而无源网 络原则上指不蕴含内部能源，也就是说，有源与无源网络的区别十分明显但是，对更 一般的控制系统而言，系统的无源性及其所指相当模糊，此时，为系统定义一个适当的 “输入能”，并将系统在有外界输入时的能量衰减特征定义为无源性，进而，w i l l e m s 又 将无源性概念推广到更为一般意义下的能量供应率( 输入能) 考虑非线性系统 圣= ，( z ) + g ( z ) u 可= ( z ) 7 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中z 咒”，“咒m 和f r “分别是系统的状态、控制输入和输出，函数，：丑“一 r “，g ：r ”一冗“。”和h ：咒“一r 均满足局部l i p s d f i t z 条件且( 0 ) = 0 和 g ( o ) = 0 定义2 1对系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) ，考虑适应的函数s ( u ，y ) ，若存在非负实值函数 y ( z ) ( 称为存储函数) 使得 t t y ( 。( t ) ) sy ( z ( o ) ) + s ( u ( r ) ，( r ) ) 打( 2 3 ) 对任意输入函数u ( r ) 成立 则称系统( 21 ) 一( 2 2 ) 关于供应率s ( “，y ) 是耗散的，也就是说：存在能量供应率s ( u ，y ) 和存储函数y ( # ) ，而使得系统的能量是耗散的 进而，若存在正定函数s ，使得 矿( z ( t ) ) sy ( z ( o ) ) + s ( “( r ) ，y ( r ) ) d v 一s ( z ( r ) ) d r( 2 4 ) j 0j 0 则称系统是严格耗散的 若y ( z ) c 7 ( r o ) ，则( 严格) 耗散性有时也称为( 严格) g 一耗散性 特例：当供应率5 = u t y 时，相应的耗散性就是无源性那么，对应地，也有( 严 格1 一无源性的概念 我们知道，l y a p u n o v 意义下的稳定性反映了在没有外部激励的条件下，系统的广 义能量衰减的特性，可以说，无源性是稳定性的一种更高层次的抽象，鉴于无源化系统 理论在稳定性研究中的作用 1 0 - z 2 】，耗做性系统理论就自然地成为控制理论中的一个重 要组成部分 对线性系统而言，有一个著名的k a l m a n - y a k u b o v i c h p o p o v ( k y p ) 引理，也称之 为正实性引理，此引理在控制理论中起着重要作用，它在系统的某些性质的频域捕述与 状态空间描述之间建立了桥梁 1 3 - 1 s 】 考虑线性定常系统 圣= a + b “ = e $ + j u 其中( a ，口) 可控，( a ，c ) 可观测，系统的传递函数阵是m m 有理阵 h ( s ) = j 十c ( s z a ) 一1 丑 8 k y p 引理( 或称正实性引理) 传递函数阵h ( s ) 为正实阵当且仅当存在阵k t 上 及正定阵p ，使得 p a + a t p ：一上l t b t p + k t 工t = c( 1 0 ) k r k ：j 牟j t 并且，文献f 1 6 运用此引理解决了著名的l u r e 稳定性问题 由于正定性概念仅适用于线性系统，故w i l l e m s 在文献【1 8 】中，更深层地研究了 非线性系统的无源化问题从无源化的角度讲，基于l y a p u n o v 函数的镇定性理论，其 构造l y a p u n o v 函数的过程正是使系统无源化的过程，而此时的l y a p u n o v 函数正是保 证系统无源化的存储函数近来，无源性的概念已广泛出现子各种有趣的非线性控制问 题及应用中文献f 2 0 1 给出了判定非线性系统无源性的k y p 引理，并提示了对非线性 系统可以递归构造存储函数的可能性文献f 2 2 和( 5 0 h 5 1 中关于鲁棒镇定问题的结 果，就是这种设计思想的推广同时，文献【5 1 】还给出了判定具有不确定性系统的鲁棒 无源化的鲁棒k y p 引理 对非线性系统，诸如上2 综合问题i “j 、日o 。控制以及几乎干扰解耦或l 2 干扰抑 制等许多与占2 增益约束有关的控制问题，都可归结为使系统成为耗散系统的问题我 们知道，非线性输出反馈日。控制问题的关键所在是设计一个动态输出反馈控制器，它 在保证系统具有内稳定( l a g r a n g e 稳定或渐近稳定) 的基础上，使系统关于某个能量供 应率成为耗散系统而文献【1 9 】和【2 3 卜 2 5 利用“分离性原则”和解相应的h a m i l t o n j a c o b i - i s a a c s ( h j i ) 方程或不等式所得到的状态反馈日。解，进而解决了一些关于输出 反馈日。控制的问题因为对h j i 方程或不等式目前尚无有效的解析求解方法，许多学 者运用无源化系统理论和几何非线性控制理论，研究了对非线性反馈系统勿需求解h j i 方程或不等式的有效设计技巧 文献 2 7 研究了一类具有匹配不确定性的非线性无源化系统 未= j 5 2 7 + g ( 。) ( u + 妒1 ( y ) 口+ 妒2 ( 2 ) + ( 。” ( 1 1 ) y = ( ) 。 的输出反馈干扰衰减问题 本文研究了具有非匹配不确定的非线性系统 未= ：5 2 3 十g 2 u + 圣1 七 簟妒( y ) 扫+ 圣2 ( z ，可) t u + 圣3 ( z ) ( 2 1 0 ) 可= ( z ) 、7 9 其中z 丑n ，u 咒t 孔，y 兄m ， e 月”和0 r 4 分别为系统的状态、控制输入、输出、 干扰输入和未知常量参数向量，圣1 ( g ，y ) ，圣2 ( z ，y ) 和圣3 ( 。) 为未知函数且西3 ( o ) = o 而_ p ( 口) 为已知光滑函数 通过适应动态输出反馈控制器，解决了系统( 2 10 ) 的适应调节干扰衰减问题及通 过一个静态输出反馈，在保证闭环系统内稳定的基础上，使系统达到干扰衰减 下面具体给出相关的定义，命题及主要结果 定义2 2若存在原点的一个邻域，使得对所有o 矿， 由“三0 ，y ( t ) 兰0 ，v t 0 可推出1 i m 圣( ，z ，0 ) = 0 其中垂( t ，z ，o ) 表示当u = 0 时，方程( 2 1 ) 从点。出发，在t 时刻的解 则称系统( 2 1 ) 一( 2 2 ) 是局部零状态可检测的 若u = r “，则称系统是( 全局) 零状态可检测的 定义2 3若对给定的任意实数0 7 1 ，存在一个( 动态) 输出反馈控制器 戈= u ( x ，可) t = p ( x ，y ) ( 2 1 1 ) 和非负函数v c 1 使得 矿s ，y 2 1 1 w i l 2 一| 1 9 f 1 2 ( 2 1 2 ) 且当 = 0 时，闭环系统( 2 1 0 ) 一( 2 n ) 的所有解全局有界且2 骢i ( ) l = 0 则称系统( 2 1 0 ) 状态调节输出反馈干扰衰减问题可解 定义2 , 4 若对给定的任意实数0 0 ，若存在光滑动态镇定律 p ( o o ， u ( o ，0 ，口，t ) = 0 、。 使得闭环系统( 5 1 ) 和( 5 3 ) 满足 i ) 当w = 0 时，闭环系统( 5 1 ) 和( 5 3 ) 的平衡点( 。7 ，。t ) = ( 0 ，0 ) 一致稳定， 且l i r ao ( t ) = 0 i i ) v w ( t ) l 2 。( m = l ，2 ，) ，闭环系统( 5 1 ) 和( 5 3 ) 从4 0 ) = 0 ，z ( o ) = 0 出 发的解的输出响应满足 r tr t l f ( s ) 2 “d ss7 2 i f ( s ) 2 “d s ，v t 0( 5 4 ) j 0j 0 1 8 则称系统( 5 1 ) 的鲁棒适应h o 。几乎干扰解耦问题是可解的 定理5 1假设存在光滑实值函数z i ( z ，旬且$ ；( o ，刃= 0 及光滑正定且正常的 l y a p u n o v 函数y ( z ，动，百= 目一反其中a 为口的参数估计，使得 i 尝绯，训l ( 2 ”仆p ) 盹幻，扛1 , 2 嘭掣l z h = p o - 1 + 旧i 2 , , , p o - 1 眦，刃 ( g 。v1 0 ( 舻：) + m z i ) 斧+ ( 1 一甄1 。, 8 v ：毋。( z ，z 扩“2 m 叫志 + h 2 r n p n ( z ，。i ) 一l i z l 2 ”m 。w ，( z ，而 ( 5 5 ) ( 5 6 ) ( 5 7 ) 其中i ，( z ，z 1 ) = g o ( z ，。，) ，i 2 ( z ，z ，) = 如( z ，z ) ，岛( ) ( j = 1 ，2 ，3 ) 为非负函数t 0 w ( z ，巩c o 。，则在假设5 1 和假设5 2 下，系统( 5 1 ) 的鲁棒适应且。几乎干扰解耦 问题是可解的 1 9 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e sm a i n l yt h ep r o b l e mo fr o b u s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i nn o a h n e a rs y s t e m s f i r s t l y ，t h er o b u s tr e g u l a t i o np r o b l e mi s d i s c u s s e df o rn o n h o l o n o m i c c h a i n e df o r mw i t hp a r a m e t r i ca n ds t r u c t u r a lu n c e r t a i n t i e s o = “o + 州( t ，z o ) 叠i = ( z i + 1 + 8 t 苦一g t ( z l ，- 一，, 0 ) u 0 + ( t ，z o ，z ，n o ) 1 i n 一2 ( 1 2 ) 叠。1 = u + 口t z o g 。一1 ( # 1 ，一，x n - - 1 ) “o + ：一1 ( t ，x o ，z ，u o ) b a s e do nac o m b i n e da p p l i c a t i o no ft h ed i s c o n t i n u o u ss t a t e s c a l i n gc o o r d i n a t e s t r a n s f o r m a t i o nm e t h o da n db a c k s t e p p i n gp r o c e d u r e ，w ep r o p o s ear o b u s tn o n l i n e a r c o n t r o l l e rw h i c hm a k e st h ec l o s e d l o o ps y s t e m s ( 1 2 ) ，( 1 5 3 ) a n d ( 1 5 4 ) 9 1 0 b a lr o b u s t s t a b l ef t h e o r e m1 1 ) s e c o n d l y ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e m o fr o b u s to u t p u tf e e d b a c kd i s t u r b a n c ea t t e n - u a t i o nc o n t r o lf o rm l s m a t c h e dn o n l i n e a ru n c e r t a i ns y s t e mw h o s en o m i n a ls y s t e mi s p a s s i v e 士= 1 5 2 7 + g ( 2 ) “+ 壬1 ( 2 ，y ) 妒( v ) 口+ 壬2 ( 2 ，) 1 ”+ 圣3 ( 。 ( 2 1 0 ) y = ( z ) 、 7 u s i n gp a s s i v i t yt e c h n i q u e s ，t h ep r o b l e mo fa d a p t i v er e g u l a t i o nd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o ni ss o l v e db yc o n s t r u c t i n gad y n a m i ca d a p t i v eo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e r ( t h e o r e m2 1 a n dc o r o l l a r y2 1 ) ，m e r n w h i l e ，w ed e s i g nas t a t i c s t a t er o b u s to u t - p u tf e e d b a c kc o n t r o ll a ww h i c he n s u r e st h ec l o s e d l o o ps y s t e m s ( 2 1 0 ) a n d ( 2 2 4 ) d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nw i t hi n t e r n ms t a h i f i t y ( t h e o r e m2 2 1 f u r t h e r ，t h i sp a p e r e x t e n d sa n di m p r o v e st h er e s u l t so ft h er e l a t e dr e f e r e n c e s f i n a l l y ，t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ea l i n o s td i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e ma n d r o b u s th 。c o n t r o lp r o b l e mr e s p e c t i v e l yf o rh i g h o r d e rc a s c a d es y s t e m sw i t hu n c e r - t a i n t i e s i nt h i sp a p e r ，t h ep r o b l e mo fa l m o s td i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gi s i n v e s t i g a t e df o r m i n i m u m - p h a s eh i g h - o r d e ru n c e r t a i nl l o r i i l e a rc a s c a d es y s t e m s j = y o ( z ，z 1 ) + g o ( z ，z 1 ) w 2 1 = 。字+ ，1 ( z ，z ，t ) + g a ( z ，z ，t ) w i i = z i p + i1 + k ( z ，z ，) + g d z ，z ，t ) w c o m b i n i n gt h ea d d i n go n ep o w e ri n t e g r a t o rt e c h n i q u ea n di m p r o v e de s s e n t i a l l y l e n - n a31 ，i nt e r m so fl 2 m 一工2 m p ( m = 1 ，2 ，) ，w ec o n s t r u c te x p l i c i t l yar o b u s t f e e d b a c kc o n t r o ll a ww h j c ha t t e n u a t e st h ed i s t u r b a n c e se f f e c to nt h eo u t p u tt o a l l a r b i t r a r yd e g r e eo fa c c u r a c yw i t hh 1 _ t e r n a ls t a b i l i t y ( t h e o r e m3 1 ) a a g i n t h i sp a p e ra d d r e s s e st h er o b u s ta d a p t i v e 日。c o n t r o lp r o b l e m f o rh i 曲- o r d e ru n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m s i 1 = z 争+ ，l ( z 1 ，t ) 十g l ( z x ，o o + 庐1 ( z l ，t ) w i 。= 弭1 + ( z l ，一，0 3 i ，t ) + g d x 1 ，+ 一，x i ，t ) o + i ( z 1 ，z i ，) ( 4 1 ) 圣，。= “n + ，t 。( z 1 ，一，z 。，t ) + g 。z l ，一，z ) 口+ 庐，。( z 1 ，一，zn ，t ) w g = h ( z 1 ) a n dt h er o b u s ta d a p t i v ea l m o s td i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gp r o b l e mf o rm i n i m u m p h a s e h i g h o r d e ru n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m s j = ，0 ( z ，。1 ) + g o ( z ，z 1 ) 口+ 如( z ，z 1 ) w i 1 = 9 1 + ( z ，z ，t ) + g l ( z ，t ) o + 妒l ( z ，z ，t ) w 壬i = 。i p + l1 + ( z ，z ，t ) + g i ( z ，t ) e + 也( 2 ，z ，t ) w i ，= i t p 7 + ，r ( z ，z ，t ) + 珊z ，z ，t ) o + 由( z ，z ，t ) w g = h ( z ，z 1 ) u t i l i z i n g t h ea d d i n go n ep o w e ri n t e g r a t o rt e c h n i q u ea n dr e c u r s i v ea l g o r i t h m w h i c ha r ei m p r o v e de s s e n t i a l l yi nt h i sp a p e r t h ep r o b l e mo fr o b u s ta d a p t i v ea h n o s t d i s t u r b a n c ed e c o u p l i n gi ss o l v e dv i as m o o t hr o b u s td y n a m i cc o n t r o l l e rf o rh i g h o r d e r n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hu n k n o w n p a r a m e t e r ( t h e o r e m4 1a n dt h e o r e m5 1 】 叫 幻 zz g oz i + q 矿 i n t r o d u c t i o n i ng e n e r a l ，t h es y s t e m si np r a c t i c a le n g i n e e r i n ga r en o n l i n e a rs y s t e m se s s e n t i a l l y b a s e do nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya p p r o a c h ，n o n l l n e a s y s t e n l sc o n t r o lt h e o r yh a sb e e n d e v e l o p e dg r e a t l ya n da p p l i e de f f e c t i v e l yi np r a c t i c a le n g i n e e r i n gd e s i g ns i n c e1 9 7 0 s a sw ek n o w ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c hd e s c r i b er e a ls y s t e m su s u a l l yh a v e u n c e r t a i n t i e sd u et ol l n k n o w np a r a m e t e r s ，m o d e h i n ge r r o r s ，e x t e r n a ld i s t u r b a n c e s a n do t h e r s t h e r e f o r e i nr e c e n ty e a r s ，t h em a i nr e s e a r c h e si nn o n l i n e a rs y s t e m s c o n t r o lt h e o r yh a v ef o c u s e do nt h ep r o b l e m so ft h er o b u s tc o n t r o l ，a d a p t i v ec o n t r o l ， 日o 。c o n t r o la n da l m o s td i s t u r b a n c ed e c o u p h n gf o ru n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m s t h j sp a p e rs t u d i e sm a i n l yt h ep r o b l e mo fr o b u s th 。c o n t r o lf o ru n c e r t a i n n