（基础数学专业论文）非等谱孤子方程与具自容源mkp方程的精确解.pdf

摘要 本文利用h i r o t a 方法，双线性b 诎h i n d 变换，d a r b o u x 变换与w r o n s k l a n 技巧对一些 非等谱孤子方程与具自溶源m k p 方程的精确解进行了研究 在第一，三章中利用h i r o t a 方法，双线性b i c k l u n d 与w r o n s k i a n 技巧分别对非等谱变 系数k d v ，k p 方程进行了研究在第二章中通过d a r b o u x 变换与双线性b a 出l u n d 变 换方法对非等谱k p 方程进行了求解通过以上对非等谱变系数孤子方程的研究我们可 以发现非等谱与等谱有着一定的区别，其特点主要表现在：在等谱孤子方程中振幅随着 时间的变化是不变的，而对于非等谱孤子方程是不成立的，在非等谱中振幅是随着时闻 的变化而变化的；在等谱孤子方程中一般d a r b o u x 变换与双线性b 诎l t - n d 变换都是自变 换，也就是由方程的已知解求出新解，再以所求得的新解作为已知解，求出更新的解，周 而复始，在非等谱方程中这两种变换往往是非自变换，即由一个非等谱方程的解不能得 到自身的新解，而是得到另个非等谱方程的解；利用h i r o t a 方法得到的解与w r o n s k i a n 技巧得到解在恢复等谱孤子方程的解时是一致的，而对于非等谱方程是不成立的 第四章主要对具自溶源m k p 方程进行了研究首先由m k p 系统的线性问题出发，推 导出具自溶源m k p 方程；然后通过一定的变换，具自溶源m k p 方程可以写成双线性的 形式，利用h i r o t a 方法不仅可以得到单孤子，双孤子与三孤子解的表达形式，而且可以 猜测出孤子解的表达式由于在具自溶源m k p 方程的时间发展式中多出了一个非线 性项的表达式，所以在证明w r o n s k i a n 形式的解时就不能按照一般w r o n s k i a n 形式解的 证明过程来证明，所以我们提出了一些新的行列式的性质以及证明技巧证明了具自溶源 m k p 方程具有w r o m k i a n 形式的解对于具自溶源m k p 方程我们得到两种形式的解， 其中h i r o t a 方法得到的孤子解是猜测出的，而w r o n s k i a n 形式的解仅仅进行了验证， 最后我们证明了两种解在恢复孤子方程的解时是一致的 关键字th i r o t a 方法。w r o n s k i a n 技巧，双线性b 糊u n d 变换，d a r b o u x 变换，非等 谱孤子方程，具自溶源m k p 方程 中图分类号。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h es o l u t i o n so fs o m en o n i s o s p e c t r a ls o u t o ne q u a t i o n sa n dt h e m k p e q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s l s t e n ts o u r c l 葛b yh i r o t am e t h o d ，b i l i n c a rb 缸k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ， d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o na n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e h c h a pla n d3 w ec o n s i d e rt h en o n i s o s p e c t r a la n dv a r i a b l e - c o e m c i e n tk d va n dk pe q u a - t i o n sb yh i r o t am e t h o d ，b i l i n e a rb 置c k l u n dt r a n s 丘o m a t i o na n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e ，i nc h a p 2 ，w es t u d yt h en o n i s o s p e c t r a lk pe q u a t i o nb yd a r b o n xa n db i l i n e a rb i d k l u n dt r a n s f o r m a t i o n w ea l s oa n a l y z en o n i s e s p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so f t h eo b t a i ns o l u t i o n s s o l u t i o n si nt h eh i r o t a s f o r ma n di nw r o n s k i a nf o r ma r ed i f f e r e n tb o t hf o r m a l l ya n de s s e n t i a l l y t h e s et w ok i n d so f s o l u t i o n sa r en o ts a m ef o rr e c o v e r i n gt h ens o l i t o ns o l u t i o n sf m mt h et r a n s f o r m a t i o n s t ot h e n o n i s c e p e c t r a ls o l i t o ne q u a t i o n s , t h eo b t a i ns o l u t i o n st r a v e lw i t ht i m e - v a r y i n gs h a p ea n ds p e e d i ti sw o r t h w h i l et om e n t i o nt h a td a r b o t l x t i o na n db i f i n e a rb i c k i n n dt r a n s f o r m a t i o n a r ea u t o - b s e d u n dt r a n s f o r m a t i o n sf o rt h ei s c e p e c t r a ls o l i t o ne q u a t i o n s ，b u tt h e s ed on o tt r u e f o rt h en o u l s o s p e c t r a ls o l i t o n se q u a t i o n a sam a t t e ro ff a c t t h e yt r a n s f o r mo l l en o n i s c e p e c t r a l s o l i t o ne q u a t i o nt oa n o t h e r h c h a p4 ，f r o mt h el i n e a rp r o b l e mo fm k pe q u a t i o n ，w ec a nd e r i v et h em k pe q u a t i o nw i t h s e l f - c o n s i s t e n t8 0 u r c e 8 o nt h eo t h e rh a n d ，w ea l s oh o p et of i n dt h em u l t b s o l l t o ns o l u t i o n so f t h e m k p e q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o r t _ t e e st h r o u g hh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e t h e s et w od i r e c tm e t h o d sb o t hd e p e n do nt h eb i l i n e a rf o r m so ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o n s w e f i r s tp r e s e n tas e to fd e p e n d e n tv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n st ow r i t eo u tt h eb i l l n e a rf o r mo ft h e m k pe q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sb yw h l c hw ec a l ld e r i v eo n e - ，t w o - ，e v e nt h r e e - s o l i t o n s o l u t i o n ss u c c e s s i v e l yt h r o u g ht h es t a n d a r dh i r o t a 8a p p r o a c h t h e s er e s u l t sc a nh e l p1 1 8t o f i n do u tt h et i m ee v o l u t i o ne a s i l ya n dc o n j e c t u r eag e n e r a lf o r m u l aw h i c hd e n o t e sn - s o l i t o n s o l u t i o nb u ti so n l yc o n j e c t u r e da n dn o tv e r i f i e d n e x t ，w i t ht h eh e l po ft h em e s s a g eo i lt h e t i m ee v o l u t i o no b t a i n e db ym e 删o fh i r o t am e t h o d w ec a nc o n s t r u c taw r o n s k i a na n dt r yt o v e r i f yi tt os a t i s f yt h er e l a t e db i l i n e a re q u a t i o n s s i n c et h e r ei ban o n l i n e a rt e r m ( 1 e dt ob yt h e c o n c e r n e ds o u r c e ) i nt h et i m ee v o l u t i o n , w eh a v et od e v e l o ps o l d t en o v e ld e t e r m i u a n t a li d e n t i t i 糟 a n de m p l o yb o m es p e c i a lt r e a t m e n t sw h i c h 啪d i 矗e r e n tf r o mt h ek n o w ns t a n d a r dw r o n s k i a n t e c h n i q u e8 0t h a tw e 锄f i n i s ht h ew m n s k i a nv e r i f i c a t i o n s f i n a l l y , w ep r e s e n tap r o c e s st o s h o wt h a tt h es o l u t i o n so ft h eb i l i n e a re q u a t i o n so b t a i n e dt h r o u g ht h ea b o v et w od i r e c tm e t h o d s a r et h es a m ef o rr e c o v e r i n gt h es o l u t i o n so fm k p e q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e 8f r o mt h e o r i g i n a ld e p e n d e n tv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n s k e y w o r d s ：i - i i r o t am e t h o d ，w m n s k i a nt e c h n i q u e ，b i l i n e a rb g c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，d a r - b o n x t r a n s f o r m a t i o n ，n o n i s n s p e c t r a l s o l i t o n e q u a t i o n s ，m k p e q u a t i o n w i t h s e l f - c o n s i s t e n t8 0 u r c e 8 c l a s s i f l c a t i o nc o d e ： m p r e f a c e t h e s o l i t o n t h e o r y i s 8 n i m p o r t a n t b r a n c h o f a p p l i e d m a t h e m a t i c a a n d m a t h e n n t i c a l p h y s i c s a se l ya s1 8 4 4 t h es t u d yo ft h es o l i t a r yw a v eh a v eb e e nb e g u n b u tn o tu n t i lt h ec o n c e p to f ” s o n t ”w a sp r o p o s e db yk e n s k a la n dz a b n s k yi nt h em i d d l eo fs i x t i e si nt h ep r e s e n tc e n t u r y , w a 9t h er e l a t e dr e s e a r c hd e v e l o p e dr a p i d l y t h et h e o r yo fs o l i t o n si sa t t r a c t i v ea n de x c i t i n g i t b r i n gt o g e t h 口m a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，s o m eo fw h i c ht o u c ho nd e e pi d e a s ，e s p e c i a l l yi n t h ef i e l do fn o n l i n e a rm a t h e m a t i c s i nm a n ym a t h e m a t i c a ls u b j e c t so fs o l i t o nt h e o r y , i ti sa ni m p o r t a n tt h i n gt os t u d yt h e s o l u t i o n so ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s o v e rt h ey e a r s av a r i e t yo fm e t h o d sf o rf i n d i n g e x p l i c i ts o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a v eb e e nd e v e l o p e d t h ed i s c o v e r yo ft h e i n v e r s es c a t t e r i n gt r a n s f o r m ( i s t ) f o rt h ek d ve q u a t i o nw a sab i gb r e a k t h r o u g hi nt h ea n a l y s i s o fn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n 【4 3 m a n ys o l i t o ne q u a t i o n sh a v eb e e nr e v e a l e dt ob ee x a c t l y e o l w b l eb yt h i sm e t h o d b e s i d e st h ei s t ，t h e r ems o m ef a m o u sd i r e c ta p p r o a c h e s s u c ha s ， d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n s 1 5 ，1 7 】，h i r o t am c t h o d 1 0 ，a n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e 1 2 】e t c i n1 9 7 1 ，h i r o t a 【1 0 】f i r s tp r o p o s e dt h ef o r m a lp e r t u r b a t i o nt e c h n i q u e ，c a l l e dt h eh i r o t a m e t h o dl a t e r , t og e tn - s o l i t o ns o l u t i o n so ft h ek d ve q u a t i o n t h es o l i t o ns o l u t i o n sc a nb e p r e s e n t e db yw r o n s k l a w a sf i r s tp r o p o s e db ys a t s u m a 4 4 ，b u tt h es o l u t i o n sw e r en o tb a s e d o bt h eb i l i n e e q u a t i o n t h ew r o k i a nt e c h n i q u e 1 2 w a sd e v e l o p e db yf r e e m a na n dn i u m l o f o rd i r e c t l yv e r i f y i n gs o l u t i o n st ob i l i n e a re q u a t i o n t h e s et w od i r e c tm e t h o d sb o t hd e p e n d o nt h eb i l i n e a rf o r m so ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o n s h i r o t am e t h o dp r o v i d e s8r e m a r k a b l ys i m - p l e rt e c h n i q u ef o ro b t a i n i n gt h en - s o l i t o ns o l u t i o n si nt h ef o r mo fa l ln t h - o r d e rp o l y n o m i a l i nn e x p o n e n t i a l s w r o n s k i a nt e c h n i q u ep r o v i d e sa na l t e r n a t i v ef o r m u l a t i o no ft h en - s o l i t o n s o l u t i o n s ，mt e r m so fs o m ef u n c t i o no ft h ew r o n s k id e t e r m i n a n to fnf u n c t i o n s , w h i c ha l l o w s v e r i f i c a t i o no f t h e s o l u t i o n s b y d i r e c ts u b s t i t u t i o n b e c a u s e d i f f e r e n t i a t i o n o f a w r o n s k i a a i s e a s y a n di t sd e r i v a t i v e st a k e8 1 1 n i l ? c o m p a c tf o r m s t ot h eh i r o t am e t h o d ，t h eb a s i ct h o u g h t so f o u ro b t a i n i n gt h ee x a c tn - s o l i t o ns o l u t i o n sa 弛a 8f o l l o w s w ef i r s tp r e s e n tas e to fd e p e n d e n t v a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n st ow r i t eo u tt h eb i l i n c a rf o r mo ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o nb yw h i c h 骶 c a , nd e r i v eo n e - ，t w o - ，e v e nt h r e e - s o l i t o ns o l u t i o n ss u c c e s s i v e l y t h e s er e s u l t s 伽h e l pn st o c o n j e c t u r e8g e n e r a lf o r m u l aw h i c hd e n o t e sn - s o l i t o ns o l u t i o nb u ti so n l yc o n j e c t u r e da n dn o t v e r i f i e d n e x t w i t ht h eh e l po ft h em e s s a g eo nt h et i m ee v o l u t i o no b t a i n e db ym e a l o fh i - 1 r o t am e t h o d w ec a nc o n s t r u c taw r o n s k i a na n dt r yt ov e r i f yi tt os a t i s f yt h er e l a t e db i l i n e a r e q u a t i o n s t h eb 茜c k l u n dt r a n s f o n n n t i o n ( b t ) i sa n o t h e rd i r e c tm e t h o df o rd e r i v i n gs o l u t i o n s f r o mak n o w ns o l u t i o no ft h ec o n c e r n e de q u a t i o n h o w e v e r ，s o l v i n gt h es e to fp a r t i a l - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so f t e nr e s t r i c t si tt ob ef u r t h e ru s e d i n1 9 7 4 h i ：r o t ap r o p o s e dak i n do f b ti nb i l i n e a r f o r m 1 1 ，b yw h i c hi t i se a s yt of i n dm u l t i s o l i t o ns o l u t i o n s i nt h i sm e t h o d ，t h el i n e a rp r o b l e m o ft h ee v o l u t i o ne q u a t i o nc a nb e e nw r i t t e nt h eb i l i n e a rf o r mb yas e to ft r a n s f o r m a t i o n f r o m t h eb i l i n e a re q u a t i o n ，i ti se a s yt od e r i v et h es o l i t o ns o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，s i m i l a rt ot h e i s o s p e c t r a ls o l i t o ne q u a t i o n ，t h r o u g has e to ft r a n s f o r m a t i o nw ew r i t et h en o n i s o s p e c t r a lk d v a n dk pe q t m t i o n si n t ot h eb i l i n e a rf o r m b a s e do nt h eb i l i n e a rf o r m ，w ec a no b t a i nt h ef l o - l u t i o n sb yh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e i nc h a p t e r4 ，t h es o l i t o ns o l u t i o n so ft h e m k pe q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c 嘲a r ed e r i v e db yt h eh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i s n t e c h n i q u e s o l i t o ns o l u t i o n sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sa 地h n p o r t a n tm o d e l si nm a n yf i e l d so ft h e p h y s i c s ，s u c h8 , 6h y d r o d y n e 】m i e s ，s o l i d - s t a t ep h y s i c s ，p l a s m ap h y s i c s ，e t c f o re x a m p l e ，t h e n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e sr e p r e s e n tt h en o n l i n e a ri n t e r a c t i o n o f e ne l e c t r o s t a t i ch l g h - f r e q u e n c yw a v ew i t hi o na c o u s t i cw a v ei nnt w oc o m p o n e n th o m o g e n e o u s p l a s m a t h ek d ve q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o t t r c e 8d e s c r i b e st h ei n t e r a c t i o no fl o n ga n d s h o r tc a p i l l a r y - g r a v i t yw a v c s t h ek pe q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o m - c 魈( k p e s c s ld 瞎口i b 曙 t h ei n t e r a c t i o no fl o n gw a v ew i t has h o r t w a v ep a c k e tp r o p a g a t i n go i lt h e 善，vp l a n ea tk s a n g l et oe a c ho t h e r u n t i ln o w m u c hd e v e l o p m e n th a sb e e nm a d ei nt h es t u d yo fs o l i t o n e q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n t 加删嘲f o re x a m p l e ，i n ( 1 - i - 1 ) s c h r 6 d i n g e r ，a k n sa n dk a u p - n e w e l lh i e r a r c h i e sw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o u r c e 8w e r es o l v e db yt h ei n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d a l s oat y p eo fg e n e r a l i z e db i n a r yd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sw i t ha r b i t r a r yf u n c t i o n si nt i m et f o rs o l n e ( 1 + 1 ) - d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o l l r c e 8 ，w h i c ho f f e ran o n a u t o - b 茜d d u u dt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e nt w os o l i t o ne q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i e t e n t8 0 l l r c c sw i t hd i f f e r e n t d e g r e e so fs o n r c e 8 ，h a v eb e e nc o n s t r u c t e da n dc a nh eu s e dt oo b t a i nn - s o l i t o n ，p o s i t o na n d n e g a t o ns o l u t i o n i n ( 2 + 1 ) - d i m e n s i o n a l 锄，帅er e s u l t st ot h es u l i t o ne q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n t 飘m 嗍h a v eb e e no b t a i n e d t h es o l i t o ns o l u t i o no ft h ek p e s c s 哪f i s tf o u n db y m e l n i h 【2 2 ，2 3 1 h o w e v e r ，s i n c et h ee x p l i c i tt i m ep a r to ft h el a xr e p r e s e n to ft h ek p e s c s b yi n v e r s o a t t 既i n gt r a n s f o r m a t i o nw a sq l t ec o m p l i c a t e d 2 2 ，2 3 】i nr e f 【3 6 1 ，i nt h ef r a m e w o r k o fs a t ot h e o r ya n db yt r n s t m gt h ec o n s t r a i n e dk ph i e r c h ya st h es t a t i o n a r yo n eo ft h ek p 2 h i e r a r c h yw i t hs e l f - c o n s i s t e n t8 0 u r 嘲，t h el a xr e p r e s e n t a t i o no ft h ek p e s c sw e r en a t u r a l l y g o t t e n a n dt h eg e n e r a l i z e db i n a r yd a x b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o rt h ek pe q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n ts o l l r mw c o n s t r u c t e d i nr e f l l 4 w eo b t a i nt h ek p e s c st h r o u g ht h el i n e a r p r o b l e mo fk ps y s t e m t h en m t i s o l i t o ns o l u t i o n so ft h ek p e s c sa r ed e r i v e db yt h eh i r o t a m e t h o da n dw r o n s k l a nt e c h n i q u e i nc h a p t e r4 ，w ed e v e l o pt h ei d e ap r e s e n ti na e 0 4 t os t u d y t h em k p e q u a t i o nw i t hs e l f - c o n s i s t e n t ( m k p e s c s ) f r o mt h el i n e a rp r o b l e mo fm k pe q u a t i o n ， w eg e tt h em k p e s c s t h r o u g has e to fd e p e n d e n tv a r i a b l et r a n s f o r m a t i o n s ，t h eb i l i u e a rf o r m o f t h em k p e s c sa x eo b t a i n e d b yt h eb i l i n e a re q u a t i o n ，w ec a ng e tt h es o l i t o ns o l u t i o n sb h i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e r e c e n t l yt h e r eh a sb e e nc o n s i d e r a b l ei n t e r e s ti nt h es t u d yo fv a r i a b l e - c o e f f l c i e n tg e n e r a l i t i o n so ft h es o l l t o ne q u a t i o n s t h en e e df o rs t u d y i n gt h e mj 8d u et ot h ef a c tt h a tt h ep h y s i c a l s i t u e t i o n si nw h i c he q u a t i o n sw i t ho o n 8 t a n tc o e f f i c i e n t sa r i s et e n dt ob eh i g h l yi d e a l i z e ds ot h a t e q u a t i o n sw i t hv a r i a b l ec o e f f 】c i e n t sa n d n j 加峨 戗删p a r a m e t e r sm a yp r o v i d em o r er e a l i s t i c m o d e l f o re x a m p l e , i nt h ep m p n g a t i o no f ( s m a l l - 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3 ws t u d y t h en o n i s o s p e o t r a lk d va n dk pe q u a t i o n sb yh i r t o am e t h o d ，b 苴c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n d w r o n s k i a nt e c h n i q u e w e 妇a n a l y z en o n i s o s p e c t r a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h eo b t a i ns o l u t i o n s s o l u t i o n si nt h eh i r t o a sf o r ma n di nw r o n s k i a nf o r ma 地d i f f e n tb o t hf o r m a l l ya n de 8 8 e n - t i a u y t h e s et w ok i n d s0 fs o l u t i o n sa 砖n o t8 a n l ef o r 弛v e r j n gt h ens o l o ns o l u t i o n sf r o m t h et r a n s f o r m a t i o n s t ot h en u a i s 0 叩e c t r a l8 0 l i t c me q u a t i o n s ，t h eo b t a i ns o l u t i o n st r a v e l