（基础数学专业论文）有限群的子群弱补.pdf

有限群的子群弱补 基础数学专业 研究生苏跃斌指导教师王坤仁 利用子群的性质来刻画一些特殊的有限群的结构一直被许多学者所热衷而极 小子群，即素数阶子群，在研究群的p 幂零性巾能够起到特殊重要的作用例如著 名的i t 6 定理断言，若群g 的每个p 阶元在g 的中心里，如果p = 2 那么g 的4 阶 元也在g 的r f l 心里，则g 是争幂零群本文第一章主要是利用子群弱补去刻画 有限群的结构，并得到了若干i t 6 定理类型的结果；在第二章巾我们研究了p ng ， 的子群的弱补性与p 幂零性的关系，并且推广了b u r n s i d e 定理在最后一章， 根据群系理论，我们获得了饱和群系的一些充分条件，推广了一些已知结果 关键词：子群弱补p 幂零群幂零上根群系局部群系饱和群 系 ，超中心 第i n ，共2 8 页 t h e w e a k l y - c o m p l e m e n t d e ds u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s b a s i cm a t h e n m t i c s p o s t g r a d u a t e ：s uy u e b i n s u p e r v i s o r ：w a n gk u n r e n t h ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p sa r eu s e db ym a n ys c h o l a r st oc l m r c t e r i s et h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m i n i m a ls u b g r o u p s ，i e s u b g r o u p sw i t hp r i m eo r d e r t a k e 8s p e c i a li m p o r t a n tp a r ti ni n v e s t i g a t i n gt h ep - n i p o t e n c y aw e l l - k n o w nr e s u l t d u et oi t 5s t a t e st h a tag r o u pgi sp - n i l p o t e n ti fe v e r ye l e m e n to fo r d e rpl i e s i nt h ec e n t e ro fg ，a n di fp =2e l e m e n t so fgw i t ho r d e r4a r ea l s o i nt h e c e n t e ro fg i nt h i sp a p e r w em a i n l yl l s ew e a k l yc o m p l e m e n t e ds u b g r o u p st o c h a r a c t e r i s et h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sa n do b t a i ns o m er e s u l t sl i k ei t 5 8t h e o - r e mi nt h e 曲a p t e ri i nt h en e x tc h a p t e rw ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e nt h e w e a k l y - c o m p l e m e n t e ds u b g r o u p so fpn a n dp - n i l p o t e n c y , a n dg e n e r a l i z et h e b u r n s i d e st h e o r e m i nt h el a s t c h a p t e r ，a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ff o r m a t i o n s ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs a t u r a t e df o r m a t i o n ，a n dg e n e r a l i z es o m e k n o w nt h e o r e m s k e yw o r d s ：w e a k l yc o m p l e m e m e ds u b g r o u p ；p - n i l p o t e n e y ；n i l p o t e n tr a d i c a l ； f o r m a t i o n ；1 0 c a lf o r m a t i o n ；s a t u r a t e df o r m a t i o n ；y - s u p p e rc e n t e r 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师丑趟( 三 指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内1 容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以耀公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名： 年月日 部分符号说明 v a g h n n l g l l g ：m l m g 璺g s o c ( g ) ( 日) c g ( h ) d p ( g ) n 司司g 勖t a g ) a u t ( g 1 互尹( g ) 日c h a r g 圣( g ) a 皇b , k g ) z ( g ) f ( g ) p ( g ) g ， 任意的 a 是g 的子群 日与的交 包含在日中g 的极大正规子群 g 的阶 m 在g 的指数 m 是g 的极大子群 k 是g 的正规子群 g 的所有极小正规子群的积 日在g 中的正规化子 日在g 中的中心化子 g 的正规p 子群的交 是g 的次正规子群 g 的s y l o w p - 子群集 g 的自同构群 g 的p 超中心 日是g 的特征子群 g 的f r a t t i n i 子群 a 与b 是同构的 g 的阶之素因子的集合 g 的f 超中心 g 的f i t t i n g 子群 g 的广义f i t t i n g 子群 g 的1 ：- 上根 第1 页共2 s 页 刖菁 在有限群的研究中，对群结构的研究占据着重要的地位而利用有限群的各 类子群描述群的特征是群结构研究的基本方法众所周知，补子群在群结构研究 中占有重要的地位，通常我们说群g 的一个子群日在g 中可补的，当且仅当 有g 的一个子群耳使得g = 日耳且日n k = 1 利用补子群去研究群的结构已有丰富的结果，例如k e g e l 在文献f 1 】、【2 】 中证得了g 是可解的，如果g 的每一个极大子群在g 中有一个循环补子群， 或者g 的某个幂零子群在g 中有个幂零补子群h a l l 在文【3 】中证明了g 是可 解的当且仅当g 的每个s u t o w 子群在中都是可补的，后来a r a d 与w a r d 在 【4 】将日“f 的结果推广为：群g 是可解的当且仅当g 的每个s y l o w 2 - 子群与 s y t o w 3 - 子群在g 中可补最近a b a l l e s t e s b o l i n c h e s 和g u o x i u y u n 在【5 | 中证得了具有初等交换b u t o w 子群的所有有限超可解群类恰好就是每个极小子 群都可补的所有有限群所在的群类 关于补子群的概念近年来有新的推广，例如2 0 0 0 年王燕鸣在文【6 】中提 出了c - 可补的概念，后来很多学者利用这一概念得到了丰富的结果，如文献 【_ 7 】一【9 】 2 0 0 4 年李世荣在文10 1 中提出了予群弱补的概念，他得出了：有限群g 的每个极小子群是弱补的当且仅当g 是超可解的并且每个s v f 伽，子群是初等 交换群这个结果推广了a b a u e s t e s b o l i n c h e s 和g u o x i u y u n 在【5 】中得到 的结论另外还得到了一些p 幂零的充分条件本文主要是在文【1 0 】的基础上 研究了子群弱补对群结构的影响，并推广了一些相关结果( 见本文第一、第二 章) 随着群系理论的发展，使得有限群的结构的研究更加完善在本文的第三 章中，还利用了群系的有关理论，将一些结果推广到群系上，从而更加丰富了有 限群的结构理论 第2 页，共2 s 页 一 第一章准素子群与有限群的p 幂零性 有限群的p - 幂零性一直是群研究的一个主要课题而极小子群，即素数阶 子群，在研究群的p 幂零性中能够起到特殊的重要作用例如著名的i t 5 定理 断言：若群g 的每个p 阶元在g 的中心里，并且若p = 2 ，那么4 阶元也在g 的中心里，则g 是p - 幂零群 本章首先从有限群的4 阶循环子群的弱补性去研究有限群的p 幂零性在 本章第二节利用准素子群的弱补性去研究有限群的p 幂零性， 1 1 预备知识 f 】0 l 定义1 1 1 一设g 是有限群，hsg 我们说日在g 中存在弱补，如果 存在k 2 ，则e x p p = 弘而若p = 2 ，则e x p p 4 第3 页，共2 8 页 1 1 预备知识 ( 3 ) 若p 为交换群，则p 为初等交换群；若p 为非交换2 - 群，则e x p = 4 ； ( 4 ) c p 西( p ) 当且仅当【c 1b l 1 ，其中b 是0 的生成元； ( 5 ) p = o 帏，其中g 坼是g 的p 幂零上根； ( 6 ) p 垂( p ) 是g i 圣( p ) 的一个极小正规子群 引理1 1 6 【p 为一个素数，设p 为矿阶初等交换p 群，那么i a 埘( p ) i ： 编r 矿恤- 1 m ，这里砥= n ：l 一1 ) 引理1 1 7 【l l 】设k g ，如果i g ：g l ：p i 其中p 为的l g l 最小素因子，那 么k 里g 引理1 1 8 【l l 】设p 为的i g l 最小素因子，p 勖f ，( g ) 且p 循环，则g 有 正规p 补 f 1 1 1 引理i i 9 一设g 是有限群，p 是g 的p 子群，但不是s y l o w p - 子群， 则p n c ( p ) 引理1 1 1 0 【l l 】设g 是有限群，pes f p ( g ) ，0 ( p ) ：c b ( p ) ，则g 是p 幂 零群 引理i i i i 设g 是内p 幂零群，是g 的正规子群，p 为g 的正规s y l o w p 子群若g i n 是p 幂零群，则p n 证明由g 的内尹幂零性及引理1 1 ，5 可知g = p q q 为g 的非正规循 环勋l a wq - 子群，g i n = p n n q n i n 若p 菇n ，由a l g 的p 幂零性可 知q n n 是g n 的正规p 补由尸n 知q n 2 则由引理1 1 5 知e 印p = p 有定理条件知p s z ( g ) ，故q 司g 与q 碧g 矛盾 ( 2 ) p = 2 设p 是交换群，则由引理1 1 5 知p 为初等交换群且e x p p = 2 ， 从而p z ( g ) ，故qqg 与q 碧g 矛盾因此p 是非交换且e x p p = 4 取 a = 为p 的4 阶循环群则由条件有k 2 ，则e x p p = p ，由条件假设p n n z ( g ) 注意到g p 幂零，由引理1 1 1 1 知p n ，故有p z ( g ) 于是g 是幂零群矛盾故 p = 2 ( 2 ) 1 n g ，n 幂零群 事实上，若n = 1 ，由条件有g 是p 幂零群矛盾若n = g ，由定理1 2 1 知g 是p 幂零群亦矛盾所以1 n g ，而由( 1 ) 知幂零群 ( 3 ) 得出结论 由( 2 ) 知幂零故可设n = 口，其中s u t d n ) ，s y t 。( n ) 显然p ，均为g 的正规子群，从而p ，q 下证 p 若否，设 = p ，则有psn 若p 是a b e l 群，由引理1 1 5 及( 1 ) 知p 是初等a b e l 2 - 群由已知有p z ( g ) 矛盾若p 是非a b e l 2 - 群且e x p p = 4 取a = 母, b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o l n第6 y i ，共2 s 页 毕业论文 第一章准素子群与有限群的p - 幂零性 为p 的4 阶循环子群则由条件有k g 使g = a k 若ig ：kl = 4 ，则 ia ：a n ki = 4 ，故ia n kj = 1 又因 z ( g ) ，则k 是g 的 指数为2 的子群从而k 司g 因此由k 幂零知k 的 s y l o w 口子群在g 中正规从而g 幂零，矛盾若lg ：ki = 2 。则同理可得 g 幂零，矛盾从而 0 p 另一方面因g i n 是p - 幂零群，故由引理1 1 1 1 知p n ，从而由p 习g 可得p = 矛盾于 2 ，则e x p p = p 故p 为初等交换群由引理1 1 1 4 知西( p ) = 1 再由引理1 1 5 知p 是g 的极小正规子群任取a 为p 的极小子群则由条件 有k 4 若p 无4 阶元，则p s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o l n 第7 页，共2 s 页毕业论文 1 24 阶循环子群弱补与有限群结构 的每个非单位元z 皆是2 阶的于是 在g 中弱补由此及g 的内幂零 性知。旧) ，从而p v o ( q ) = g ，矛盾因此可令a n 是4 阶循环群， 由假设知存在g 的真子群k 使得g = a k 由g 的内幂零性知幂零设 k = k 2 蚴 ( i ) 如果j 幻= 1 ，那么p = a 由引理1 1 3 知g 为2 - 幂零群，与g 为极小 反例矛盾 ( 1 1 ) 如果j g 1 ，考虑子群i v g ( j 如) 由k 舀( j 已) 及引理1 1 9 知 恐 p ( k 2 ) ，从而i g ：g ( 尬) i = 2 或g ( 鲍) = g ( i ) 若f g ：b ( j 岛) l = 2 ，则g ( i 2 ) 司g 且n o ( k 2 ) 4 矛盾如果b 菇垂( p ) ，那么1 只圣( p ) 西( p ) sp 雪( p ) 由且 及雪( p ) 的正规性知p l 雪( p ) 圣( p ) 司g 圣( p ) 由引理1 1 5 知只圣( p ) 圣( p ) = p 垂( 尸) ，从而p l = p ，因此( k 2 ) = g 这与l g ：b ( 2 ) l = 2 相矛盾 ( i i ) 若g ( k 2 ) = g ，则考虑商群g 尥由于g = a ，i a f = 4 ，所以8 不能 整除l g 鲍| 由引理1 1 3 知g i k 2 是2 _ 幂零群从而由引理1 1 i i 知p j 岛 所以p = k 2 ，再由a k 2 s k 知g = a k = k ，这与k g 矛盾所以极小 反例不存在，定理结论成立 推论1 2 3 设q g ，g i n 是幂零群若的每个极小阶子群及4 阶循环 群( 若2 l | 1 ) 在g 中弱补，则g 是幂零群 推论1 2 4 设p 7 r ( g ) ，若g 的每个p 阶子群和4 阶循环子群( 若p = 2 ) 在g 中弱补，则g 是p 幂零群 推论1 2 5 若g 的每个素数阶子群及4 阶循环子群在g 中弱补，则g 是 幂零群 定理1 2 4 设n og ，g n 是超可解群若可解且f ( ) 的每个极小子群 在g 中弱补，则g 是超可解群 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 啪第8 页，共2 s 页毕业论文 第一章准素子群与有限群的p - 幂零性 证明若定理不成立，设g 是极小反例 ( 1 ) 雪( g ) = 1 若量( g ) 1 令日是包含在壬( g ) 中的g 的极小正规子群若h n ， 则日f ( ) 令风是包含在日中的极小子群则由条件假设有k g 使g = h 1 k = 圣( g ) k = k 矛盾故h n 考虑商群g h 因 日n n = 1 所以f ( h n h ) 皇f ( ) ，进一步有f ( h n h ) 垒f ( n ) h h 因 g h n 垒( g n ) ( h n ) 是超可解，故( g h ) ( h n h ) 皇g h n 是超可解 如果乏虿了= h h 是f ( h n h ) 的极小子群，则 是f ( ) 的极 小子群由假设有k 矿设l 为g 的任一真子群， 因为 l l n 皇l n n s g n 由假g n 设是p 幂零的，故l l n n 为p 幂零的若i l n n l p 2 ，那么由 引理1 1 1 5 知l 为p 幂零的若i 工n n i p 2 ，由假设知上n r 的每个p 2 阶 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o m 第1 0 页，共2 8 页毕业论文 第一章准素子群与有限群的p - 幂零惶 子群在g 中弱补那么由引理1 1 1 知l n 的每个p 2 阶子群在三中弱补于 是l 满足条件由g 的取法可知工是p 幂零的从而g 是极小非p - 幂零群 由引理1 1 4 知是g 一个内幂零群从而由引理1 1 5 知g = p q ，p 司g 且为g 的s y l o wp - 子群，q 为g 的循环s y l o wq 一子群，且纠圣( p ) 是c 圣( p ) 的一 个极小正规子群 ( 2 ) 最终的矛盾 由g i n 是p 幂零群及引理1 1 1 1 知p s n 由( 1 ) 的证明可设i pj 矿 再设a n 且i a f = p 2 ，由假设知存在g 的真子群耳使得g = a k 由g 的 内幂零性知k 幂零，设k = 蚴 ( 1 ) 如果k p = 1 ，那么p = a 由引理1 1 3 知g 为尹幂零群，与g 为极小 反例矛盾 ( 2 ) 如果1 ，考虑子群g d 坼) 由k n o ( ) 及引理1 1 9 知 ( ) 从酬g ：g a ( ) i = p 或l v a ( ) = g ( i ) 若i g ：g ( ) l = p ，则g ( ) p 2 矛盾如果毋菇垂( p ) ，那么b 西( p ) 西( p ) sp 西( p ) 由p l 及 西( p ) 的正规性知p 1 垂( p ) 圣( p ) 司g 圣( p ) 由引理1 1 5 知p 1 圣( p ) 垂( p ) = p 面( p ) ，从而p l = p ，因此n o ( 坞) = g 这与i g ：n o ( 绵) i = p 相矛盾 ( i i ) 若g ( ) = g ，则考虑商群g 晦由于g = a k ，i a i = p 2 ，所以p 3 不能整除i g | 由引理1 1 - 3 知g 坞是p 幂零群从而由引理1 1 1 1 知 p 所以p = 蟛，再由a 绵k 知g = a k = k ，这与k g 矛盾， 所以极小反例不存在，定理结论成立 推论1 3 1 设g 是奇阶有限群巾为j g l 的最小素因子如果g 的每个矿阶 子群在g 中弱补，那么g 是p 幂零群 注1 3 1 ( 1 ) 由f e i t t h o m p s o n 定理知奇数阶群可解，但是在定理1 3 1 和推论1 3 1 中，条件“g 是奇阶群”不可削弱成是“g 是有限可解群”比如 四次对称群& 就是反例 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 t o n i第1 1 页，共2 8 页 毕业论文 1 3 准素子群弱补性与有限群结构 ( 2 ) 定理1 3 1 和推论1 3 1 中条件“p 为i g i 的最小索因子”不可削弱为 “p 为l g i 的素因子”比如令g 为3 次对称群s 3 ，p = 3 则g 满足定理1 3 1 和推论1 3 1 中除外“p 为i g j 的最小素因子”的条件，但g 不是3 - 幂零群 定理1 3 2 设g 是有限群且( i g i ，3 ) = l ，如果的4 阶子群在g 中弱补，那 么g 是2 幂零群 证明反证法，若定理不成立，设g 是极小反例 如果2 不整除l g l ，那么g 是2 幂零群故可设p 为g 的一个勖z d 2 - 子 群，且p 1 如果p 循环，由引理1 1 8 知也g 为2 - 幂零群因此可设p 为 非循环的取l g 如果8 不整除l 引，那么由引理1 1 3 知l 是2 - 幂零群 如果8 整除l l | ，那么由假设l 的每个4 阶子群在g 中弱补于是由引理1 1 1 知l 满足条件，由g 的取法知l 是2 幂零群从而g 是一个极小非2 - 幂零 群由引理i i 3 和1 1 4 知g 是一个内幂零群由引理i i 5 知g = p q ，p 司g 为g 的s y l o w p - 子群，q 为g 的循环s y l o wq - 子群，且p 圣( p ) 是v 西( p ) 的一个极小正规子群 设日是g 的4 阶子群由假设知存在g 的真子群k 使得g = 日k 首先h p 否则假设日= p ，则l p l = | h i = 4 故由引理1 1 3 知g 是2 - 幂零群矛盾，所以日尸 由k g 及g 的内幂零性知k 幂零，设k = 娲硒下证尬硇g 否则k 2 司g 那么由引理1 1 3 及引理1 1 1 1 有p = 1 2 于是h 鲍由 g = h k 知g = k ，这与k 4 ，由假设知三n 的每个2 阶子群 在l 中弱补于是二满足条件于是由引理1 1 1 知l 满足条件，由g 的取法 知l 是二幂零群从而g 是一个极小非2 - 幂零群，由引理1 1 4 知g 是一个 内幂零群由引理1 1 5 知g = p q ，p q g 为g 的s y l o w2 一子群，q 为g 的循 环s y l o wq - 子群q 为素数，且p 垂( p ) 是a 垂( p ) 的一个极小正规子群 设日是g 的2 阶子群由假设知存在g 的真子群k 使得g = 日耳 首先h p 否则假设h = p ，则i p i = i h = 2 出引理1 1 8 知g 是 幂零群矛盾所以h p 于是由g = 口k 且k 是g 的真子群可知l g ：k i = i h i = 2 所以k q g 又由于g 是内幂零群故耳的正规2 补也是g 的正规2 - 补，从而g 是2 幂 零群矛盾 这个矛盾表明极小阶反例不存在，所以g 是2 - 幂零群 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o i n 第1 3 页，共2 q 页毕业论文 第二章p n g 7 子群的弱补性与有限群p - 幂零性 b u e k l e y 在1 9 7 0 年曾在文献 2 0 】获得如下结果：如果奇阶群g 的所有极 小子群在g 中正规，则g 是超可解群之后，又有一系列文献致力于这一结果 的推广本章仍然关注的是群的p 幂零性 受b u r n s i d e 定理( 设p 是i g i 的素因子，p 是g 的研f 跳p 子群，如 果p 包含在它的正规化子的中心里面，则g 是p 幂零) 和1 t o 引理( 设p 是i g i 的素因子，如果群g 的所有的p 阶元均包含在g 的中心z ( g ) 中，且 当p = 2 时的阶为4 的元素也都包含在z ( g ) 中，则g 是p 幂零群) 的启 发，b a l l e s t e r b o l i n e h e 8 和g u o 在文献【2 1 】得到如下结果： 设p 是l g i 的素因子，p 是g 的勋l o o p - 子群，若p n g 的每个极小阶 子群包含在n o ( p ) 的中心中，且当p = 2 时，或者p ng ，的每一4 阶元都包 含在n o ( p ) 的中心中或者尸与四元素群无关且g ( p ) 是二幂零的，则g 是 p 幂零群 受这一结果的启发，将包含在中心中这个条件减弱为弱补，或者去掉 n o ( p ) 是2 - 幂零的等这些条件后，结论是否仍然成立昵? 本章主要将给出肯 定的回答 2 1 基本引理 引理2 1 1 【1 6 j 设g 是有限非可解群且有幂零极大子群肘，设尬，是m 的 h a l l2 - 子群，则m z q g 引理2 1 2 【1 l 】设g 是有限群，则： ( 1 ) 若p s y l p ( g ) ，b 是任意p 子群，且p b = b p 则b5p ； ( 2 ) 若h g ，r s u t ( h ) ，则存在p s y t p ( g ) 使r = p f l h 引理2 1 3 1 3 l 设g 是有限幂零群，且1 寸g 贝j j n f l z ( g ) 1 第1 4 页，共2 8 页 2 2 p ng ，子群的弱补性与有限群p 幂零性 定理2 2 1 设g 是有限群，p 霄( g ) ，p 为g 的s y l o wp - 子群若 p n g 的每个极小阶子群在n g ( p ) 中弱补，且n g ( p ) 是p 幂零群则g 是 p 幂零群 证明若结论不真，设g 是一个极小阶反例下面分步证明： ( 1 ) p a g 为初等交换群，并且p n g 7 z ( p ) 若p ng ，= 1 ，则结论已经成立下设p ng ，1 设1 是p 的极小正规子群且l 尸ng ，因p 是幂零群，则由引理 2 1 3 有l n z ( p ) 1 再由j v l 的极小性有l = v l n z ( p ) ，从而l s z ( p ) 且l l i = p ，由条件假设及引理1 1 1 有 i 也在p 中弱补，故有k 1 p 使得 p = n 1 k 1 又由l p ng ，可得 p n g 7 = ( p n c ) n p = ( p n g 7 ) n n , k i = a r l ( ( j p n g ) n k i ) 再设2 是( p ng ，) n j “的极小正规子群由1 z ( p ) 知( p ng ，) n 司p 故同理可得n 2sz ( p ) 且i n 2 l = p 如此下去就有： p f1g ，= l n 2 肌， 其中ms z ( p ) 从而尸ng ，z ( p ) 故p ng ，为初等交换群 ( 2 ) p n g ，cz ( g c ( p ) ) 显然p 也是n o ( p ) 的s y l o w p - 子群因n g ( p ) 是p 幂零群，故n c ( p ) 有 正规p 补日使n a ( p ) = p 日再由p n g 7 z ( p ) 有p ng ，c z ( 0 ( p ) ) ( 3 ) 0 有真子群是内幂零群 由文献【13 】定理1 0 3 2 知g 有子群曰是极小非p - 幂零群由引理i i 4 知 日是内幂零群从而由引理i i 5 知： h = 岛凰( p 口) 其中坞习日且为h 的s y l o wp - 子群，风为日的循环s y l o w q 一子群且聋h ( 4 ) 凰在日中的正规闭包砰= 日 著砰 h ，则砰幂零因峨为h 的循环s y l o w q 一子群，从而也是 h ：钓s y l o w q - ： 耩由h 譬幂零t 奄h q c h a r h ；园h ；q h ，撤h q q h ，矛 盾子h q 垂h 故h ；= h s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o m第1 5 页，共2 s 页毕业论文 2 2p n g ，子群的弱补性与有限群p 幂零性 ( 5 ) 若n 司日，且n 上r p 则n z ( 日) 因n q h ，n 峨 日，则岛是幂零群故显然峨也是n 日；的s y l o w q - 子群t 从而n 峨= n 岛于是n c 0 ( 峨) 因此对任意h h n = n “c 0 ( 研) 又因为 砰= ， 故由( 4 ) 有 n 翰( 础) = ( 日) = z ( 圩) ( 6 ) 缉= 【耳，峨l - 因【缉，冠g - - - = 日，且由h p 的正规性有旧；，风】坼若 ，凰1 诉，则由( 5 ) 及隅，】司h 有【缉，岛】z ( 日) 令百= h z ( h ) ， 则口亏，j 习= t 从而 耳= 耳葛；瓦瓦 于是- h 幂零，故日幂零矛盾故有月；= 【，峨】 ( 7 ) 最终的矛盾 由( 6 ) 有 易= 隅，峨l g ， 由s y l o w p - 子群的共轭性不妨设岛sp ，从而耳sp n g 令a = g a ( ：) 因埤p r i g 7 ，且由( 2 ) 有： p n g 7 cz ( g ( p ) ) ， 故珥z ( ( p ) ) 从而： p s c a ( 易) 因 c o ( 曰p ) q n a ( 珥) = a ， 且p 是c c ( g p ) 的s y l a w p - 子群，从而由f r a t t i n i 论断有 a = g ( 缉) = n a ( p ) g 0 ( 缉) s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 第1 6 页，共2 8 页毕业论文 第：章p n c 子群的弱补性与有限群p _ 晷零性 因 珥s z ( g ( p ) ) ， 故 台( p ) c 台( 缉) 又由 v ( p ) s ( p ) ， 从而 n a ( p ) 5c o ( 缉) ， 故 a = g ( 绋) = n a ( p ) 国( 缉) s ( 缉) 从而 ( 珥) = ( 耳) 故h 是p 幂零群矛盾因此极小反例不存在，定理结论成立 注2 2 1 定理中条件“n a ( p ) 是p 幂零群”不可少事实上，令g = a 5 ， 则对g 的任意s y l o w 5 - 子群p ，其正规化子n c ( p ) 阶为l o 而g 的每个 s y l o w 5 - 子群p 的5 阶子群在n c ( p ) 中弱补但g 是单群矛盾 定理2 2 2 设g 是有限群，p 是i g i 的最小素因子p 为g 的s y l a wp - 子群若p ng ，的每个极小子群在n c ( p ) 中弱补则g 是p 幂零群 证明( 1 ) 若n g ( p ) = g 故p 司g 若结论不真，设g 是一个极小阶反 例那么g 是极小非p 幂零群 事实上，设h g 且r s y l p ( 日) 因p q g ，故由引理2 1 2 知r p 且 r = p n 日因h 7 g ，故： r n 日= p n h n = p n p n a , ， 且 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o h l h ( r ) g = v b ( p ) ， 第1 7 页，共2 q 页毕业论文 2 2p n g 子群的弱补性与有限群p 幂零性 从而由引理1 1 1 可知日满足条件由g 的选择可知h 是p 幂零群，从而g 是极小非p 幂零群由引理1 1 4 知g 是内幂零群，且g = p q ，其中p q g 且为g 的s y l a wp - 子群，0 为g 的循环s y z o wq - 子群且0 硇g 设a 是p ng ，的任意极小子群，则由假设有k g 使得g = a k 出g 的内幂零性知k 幂零又由a 为p ng ，极小子群，则l g ：k l = p 因p 是i g i 的最小素因子，由引理1 1 7 知kq g 因耳的s 们d wq - 子群j l 也是g 的 s ，l o wq - 子群，即= q 从而由c 枷kqg 可知q = 司g ，矛盾于 q 碧g 从而极小反例不存在故g 是p 幂零群 ( 2 ) n a ( p ) g 显然n a ( p ) 满足定理假设条件，因此n c ( p ) 是p - 幂零 群，故由定理2 ，2 1 可知结论成立， 定理2 2 3 设g 是有限群且有幂零极大子群m ，p 勋f 2 ( m ) 若p n g 的 每个极小子群在p 中弱补，则g 可解 证明若结论不真，设g 是一个极小阶反例 因m 幂零，故可取m z 是m 的日础非子群，再出引理2 1 1 知m 2 ，司g 若m 2 , 1 ，设是g 的极小正规子群且n m 2 , 由条件可知m n 是g 的幂零极大子群由引理1 1 1 知( png ，) i v 满足定理假设条件，从而a n 满足定理条件假设再由g 的极小性可知g n 可解，最后由幂零知是g 可解群，矛盾。因此m 2 , = 1 且p 是g 的极大子群，从而p s t 耽( a ) 且 尸= 舀( p ) 显然此时有n g ( p ) 是2 - 幂零的，再由定理2 2 1 可知g 是互幂零 群利用f d t t h o m p s o n 的奇阶定理即知g 是可解群矛盾 此矛盾表明g 是可解群 定理2 2 4 设p 是有限群g 的任意勖l o w 一子群若p n g 的每个极小阶 子群在 b ( p ) 中弱补，则g 有超可解型勋l o 塔 证明对igl 用归纳法令g = m i n r r ( g ) 且q 函( g ) ，则由定理2 2 2 可知g 有正规q - 补k 显然k 的每个s y t o - 子群也是g 的s y t 洲- 子群且 n k ( p ) g ( 尸) ，而p n j r5p ng ，故满足定理假设条件，因此k 有超 可解型勖黜塔，从而g 也有超可解型s 彰倒塔 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o i n第1 8 页，共2 8 页 毕业论文 第三章关于厂群系的一些结果 3 1 基本概念与基本性质 1 9 1 定义3 1 1 一设i 为任一个群系函数，用l f ( f ) 表示所有那样的群g 的 全体，对于任意p 7 r ( g ) 有g b ( g ) ，( p ) 如果对于群系芦有，= z f ( i ) ， 那么我们就说，局部定义了群系，或称，为群系，的屏 r i 翻 定义3 1 2 一设i 为任一个群系函数，群g 的正规子群称为在中是， 超中心的，如果中的每