（基础数学专业论文）泛函微分方程周期解及同宿轨和异宿轨的存在性.pdf

中文捅要 一 论文题目： 专业： 博士生： 指导教师： 泛函微分方程周期解及同宿轨和异宿轨的存在性 基础数学 郭承军 徐远通教授 中文摘要 本篇博士论文讨论了二阶非线性泛函微分方程、高阶非线性泛函微分方程周期解及同 宿轨和异宿轨的存在性。全文共为五章。 第一章为综述，简要回顾泛函微分方程周期解的存在性及其多解存在性理论的发展与 现状。另外，为了研究泛函微分方程的同宿轨和异宿轨的存在性，也对h a m i l t o n 系统的 同宿轨和异宿轨的存在性理论进行了简要的回顾，同时介绍了本文的主要工作。 第二章利用重合度理论和格林函数，讨论了一类二阶以及高阶非线性泛函微分方程周 期解的1 竽在性，得到了若干新的存在性准则。特别地，为了估计周期解及其导数的界， 构造了相关的格林函数，此方法仍然适用于微分方程的周期边值问题。有意义的是建立 的周期解及其导数界的先验估计方法未见有文献报道。 第三章利用临界点定理及s 1 一指标理论研究了二阶泛函微分方程及三阶中立型微分 差分方程的多重周期解，得出了有关新的结果。与已有研究工作不同的是，我们在合适 的空问下，建立了方程相应的泛函，不需要转化成对应的h a m i l t o n 系统。 第四章借助临界点定理，讨论了一类二阶泛函微分方程次调和解及同宿轨的存在性。 对含有奇异情况的二阶泛函微分方程，也研究了它们的次调和解及同宿轨的存在性。必 须指出的是，我们将p h r a b i n o w i t z 1 9 9 0 】，m i z y d o r e k 2 0 0 5 】及k t a n a k a 1 9 9 0 】关于 h a m i l t o n 系统同宿轨存在性的结果推广到泛函微分方程。 第五章借助l 临界点定理，讨论了一类二阶泛函微分方程异宿轨的存在性，为了得到异 宿轨，利用罚函数和逼近方法。此项工作将p t t r a b i n o w i t z 1 9 8 9 1 和c 一n c h e n 2 0 0 1 1 关于h a m i l t o n 系统异宿轨存在性的结果推广到泛函微分方程。 关键词：泛函微分方程，重合度理论，临界点理论，s 1 一指标理论，周期解，多重 周期解，同宿轨，异宿轨。 第i 页，共1 2 8 页博士学位论文 买文捅要 t i t l e ： e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dh o m o c l i n i co r b i t sa n d h e t e r o c l i n i co r b i t so ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：g u oc h e n g j a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx uy u a n t o n g a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n s ，h o m c l i n i c o r b i t sa n dh e t e r o c l i n i co r b i t st os e c o n d - o r d e ra sw e l la sh i g h e ro r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot h ef o l l o w i n gf i v ec h a p t e r s c h a p t e r1i st h es u m m a r yw h i c hb r i e f l yr e v i e w st h ed e v e l o p m e n ta n da c t u a l i t yo ft h e t h e o r yo nt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n dm u l t i p l es o l u t i o n s f u r t h e r m o r e ，i no r d e rt o s t u d yt h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t sa n dh e t e r o c l i n i co r b i t si nt h ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，w ew i l la l s ob r i e f l yr e c a l lt h et h e o r yo nt h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t sa n d h e t e r o c l i n i co r b i t si nt h eh a m i l t o n i a ns y s t e m m e a n w h i l eo u rm a i nr e s u l t sa r es t a t e d i nc h a p t e r2 ，w eu s et h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dg r e e nf u n c t i o nt os t u d yt h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st os e c o n d - o r d e ra sw e l la sh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a sac o n s e q u e n c e ，s e v e r a li l e wc r i t e r i o n sa r eo b t a i n e d e s p e c i a l l y , i n o r d e rt oe s t i m a t et h eb o u n d so fp e r i o d i cs o l u t i o n sa sw e l la st h e i rd e r i v a t i v e s ，w ec o n s t r u c t s o m er e l a t e dg r e e nf u n c t i o n s t h i sm e t h o di sa l s oa p p l i c a b l ef o rt h ep r o b l e mo fp e r i o d i c b o u n d a r yv a l u ei nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ti sn o t a b l et h a tt h em e t h o do fap r i o r ie s t i m a t e o np e r i o d i cs o l u t i o n sa sw e l la 8t h e i rd e r i v a t i v e sc o n s t r u c t e db yu sh a sn o ta p p e a r e di na n y o t h e rr e f e r e n c e sy e t i nc h a p t e r3 ，w eu s et h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dt h es 1 - i n d e xt h e o r yt os t u d yt h e m u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n st os e c o n d o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa sw e l la st h i r d - o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e s i tf o l l o w ss o m en e wr e l a t e dr e s u l t s w h a ti sd i f f e r e n tf r o mt h ef o r m e rr e s e a r c hi st h a tw ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n gf u n c t i o n a l - i t yf o rt h ee q u a t i o n si ns u i t a b l es p a c e sw i t h o u tc o n s t r u c t i n gt h ec o r r e s p o n d i n gh a m i l t o n i a n 第i i 页，共1 2 8 页 孽士学位论文 买文捅矍 s y s t e m i nc h a p t e r4 ，b yv i r t u eo fc r i t i c a lp o i n tt h e o r yw es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h es u b h a r m o n i c s o l u t i o n sa sw e l la st h e i rh o m o c l i n i co r b i t st oas o r to fs e c o n d o r d e rn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s f o rt h es i n g u l a rs e c o n d - o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w ea l s o s t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h es u b h a r m o n i c s o l u t i o n sa sw e l la st h e kh o m o c l i n i co r b i t s i ts h o u l d b em e n t i o n e dt h a tw eg e n e r a l i z et h er e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i t si nh a m i l - t o n i a ns y s t e m ( r e f e rt o 【1 9 9 0 p h r a b i n o w i t z ，【2 0 0 5 m i z y d o r e k 】a n d 【1 9 9 0 k t a n a k a ) t o t h ec a s eo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r5 ，b yv i r t u eo fc r i t i c a lp o i n tt h e o r yw es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h eh e t e r o c l i n i c o r b i t sf o ras o r to fs e c o n d - o r d e rn o n l i n e a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i no r d e rt o o b t a i nh e t e r o c l i n i co r b i t s ，w ea p p l yp e n a l t yf u n c t i o n sa n dt h ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d o u r w o r kg e n e r a l i z e st h er e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fh e t e r o c l i n i co r b i t si nh a m i l t o n i a ns y s t e m ( r e f e rt of 1 9 8 9 p h r a b i n o w i t z a n d 【2 0 0 1 c 一n c h e n ) t ot h ec a s eo ff u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s k e yw o r d s ：f l m c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , c r i t i c a l p o i n tt h e o r y , s l - i n d e xt h e o r y , p e r i o d i cs o l u t i o n s ，m u l t i p l ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，h o m o c l i n i c o r b i t s ，h e t e r o c l i n i co r b i t s 第i i i 页，共1 2 8 页博士学位论文 原创性声明 原创声明 叽枞趁积到栌啪游躲蚌胁扭一签卉锵 蹴确降玛) 1 6 b 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 第1 2 8 页，共1 2 8 页 学位论文作 导师签名： 嗍：冲6 月少日 博士学位论文 第一覃综述 第一章综述 在泛函微分方程理论的研究中，泛函微分方程周期解问题由于在生态学系统，神经 网络系统和电路信号等系统的理论研究中有着重要的理论价值和应用价值【5 ，1 2 ，1 9 ，2 8 ，5 6 6 4 ，9 6 1 ，一直得到广大研究者的关注，并成为泛函微分方程定性理论研究中的重要课题之 一。另一方面，对于泛函微分方程多重周期解及同宿轨和异宿轨问题，也是许多数学家们 关注的中心课题。有关泛函微分方程理论研究的专著见 4 4 ，4 5 ，6 2 ，6 6 ，1 1 8 ，1 2 5 】，下面分别 简述泛函微分方程周期解，泛函微分方程多重周期解及h a m i l t o n 系统同宿轨和异宿轨问 题发展现状及本文的主要工作。 1 1 泛函微分方程周期解的存在性 1 9 6 2 年，g s j o n e s 应用不动点理论首次给出了时滞微分方程 e ( t ) = n z ( t 一1 ) 【1 一z 2 ( ) 】 周期解存在性的一些结果。之后，y o s h i z a w a 1 2 2 ，1 2 3 1 分别在1 9 6 6 年和1 9 7 5 年对有限时 滞的滞后型周期微分方程的研究中，利用b r o w e d e r 不动点定理建立了著名的y o s h i z a w a - 周期解存在定理。在随后的时间里，许多学者都致力于推广这一定理，得到了一系列重 要结果【6 ，3 0 3 2 ，6 7 ，8 9 ，1 0 9 ，1 1 0 ，1 2 6 】等，有关这方面工作的详细综述参见【3 3 】。与此同时， 也产生了平均法，g r a f t o n 锥映射法，n u s s b a u m 不动点方法( 9 ，3 6 ，9 2 1 ) ，及k a p l a n - y o r k e 的耦合法( 5 3 5 5 ) 。自从r e g a i n e s 和j l m a w h i n 建立的重合度理论的重要文献【3 8 】发 表以来，重合度拓展定理成为许多学者研究时滞( 或具偏差变元的) 微分方程周期解的一 个强有力的工具 4 7 - 4 9 ，7 5 - 8 0 ，8 5 ，8 7 ，9 0 ，9 1 ，1 1 4 1 1 7 。 在这些结果中，所研究的方程主要足二阶时滞( 或具偏差变元的) 微分方程：如 d u f f i n g 型方程 z ” ) + 夕( z ( 一7 ) ) = p ( t ) = p ( t + 2 7 r ) ， z ”( ) + m 2 z ( ) + 9 ( 一7 ) ) = p ) ， 多时滞的l i d n a r d 方程 z ” ) + ，( z ( ) ) z ( ) + 夕 ( 一乃( ) ) ) = 2 ，( ) ， j = o 第l 页，共1 2 8 页 博士学位论文 1 1 泛函微分方程周期解的存在性 时滞r a y l e i g h 方程 z ”( t ) + ，( z ) ) + g ( z ( t 一7 - ( ) ) ) = p ( t ) 及少量的高阶时滞( 或具偏差变元的) 微分方程的研究 ( x ( t ) 一c z ( 一盯) ) + ，( z ( ) ) z 7 ( ) + 夕( ，z + s ) d a ( s ) ) = p ( ) ， ( 妒p ( y ( m 0 ) ) ) ( m ) = ， ( t ) ) 3 ，7 ) + ) ) + f l ( t ) g ( y ( t 一7 - ) ) ) + e ) ， 其中i c i 1 。在i c i = l 的临界情况下，请参见文献 7 9 ，8 0 】。对于p - l a p l a c i a n 型泛函微分 方程周期解存在性的结果，请参见文献 8 1 8 4 】等。 对其它类型的时滞( 或具偏差变元的) 微分方程周期解问题研究得不多，如二阶非线 性具有变时滞的微分方程 z ”( ) + a ( t ) x ( t ) + 9 ( t ，z ( t 一7 o ) ) ) = p ( ) 和高阶( n 2 ) 非线性具有变时滞的微分方程 n - 2 z ( n ( ) + 啦( t ) z ( ) + 夕( z ( t 一下( ) ) ) = p ( ) ， i = 0 等周期解问题的研究。 ( 1 - 2 ) 在将重合度理论中的延拓定理应用到上述方程中的关键是：首先设法将一个周期系统 转化成抽象方程 l x = a j v z ，a ( 0 ，1 ) ，( 1 - 3 ) 其中l ：xn d o t a l z 是一个指标为零的f r e d h o l m 线性映射。n ：豆一z 在瓦上 是l 一紧的 3 8 】，这里q 为b a n a c h 空间x 中的一有界开集。其次是找到系统( 1 3 ) 在 x 中所有可能解的一个先验界。其具体的表述如下： 令x 和y 是两个b a n a c h 空问，且l ：d o t a lcx ，y 是一个线性映射，n ： x y 是一个连续映射。映射l 被称为是指标为零的f r e d h o l m 算子如果：( i ) d i m k e r l = c o d i m l m l + o o ，( i i ) i m l 在上y 是闭的。如果l 是一个指标为零的 p r e d h o l m 算子，则存在连续的投影算子p ：x x 和q ：y y ，使得，m 尸= k e r l 和l m l = k e r q = i m ( i q ) 成立。并且l l d 帆l 似。，p ：( i e ) x i m l 有逆存在， 我们用k p 表示。如果q 是x 上的有界开子集，映射被称为q 上l 一紧的如果： q f v ( - o ) 是有界的且k p ( j 一q ) n ( 动是紧的。因为i m q 与k e r l 是同构的，故存在一个 同构j ：i m q k e r l 。 第2 页，共1 2 8 页博士学位论文 第一罩综述 定理1 1 1 3 s ( m a w h i n 延拓定理) 令l 是一个具零指标的f r e d h o l m 算子，n 是一个 在孬上l 一紧的非线性算子。如果 ( 1 ) 对每个入( 0 ，1 ) 及z a q ，l x 入。； ( 2 ) 对每个z a q nk e r ( l ) ，q n x 0 及d e g ( q n ，qn k e r ( l ) ，0 ) 0 。 则方程l x = n x 在孬n d ( l ) 上至少有一个解。 第3 页，共1 2 8 页 博士学位论文 1 2 泛函微分方程多重周期解的存在性 1 2 泛函微分方程多重周期解的存在性 关于泛函微分方程周期解存在性的研究，已有许多不同的方法，如上节提到的平均 法，m a s s e r a - y o s h i z a w a 理论，g r a f t o n 锥映射法，n u s s b a u m 不动点方法，叠合度方法及 k a p l a n y o r k e 的耦合法。但是，上述方法有一个共同的特点就是：所得到的周期解个数 有限，而临界点理论的方法却能得到多个，甚至可以给出多个周期解个数的一个下界估 计。然而，利用临界点理论的方法与技巧来研究泛函微分方程的周期解存在性的结果还 很少【4 2 ，4 3 ，7 1 7 3 ，1 0 5 ，1 2 0 ，1 2 1 ，而关于中立型微分方程周期解的存在性的研究更为少见 ( 【4 2 ) 。其主要困难是很难对泛函微分方程建立相应的变分泛函，即能量泛函。 现代变分法处理非线性问题最初是g b i r k h o f f 在1 9 1 7 年引入。他的极小极大原理 是临界点理论的基础。这一结果很快被他的学生m m o r s e 推广和发展。极小极大原理 是寻找泛函临界点非常有效的方法。在应用到具体的泛函时，往往涉及到在相应映射簇 下不变的集簇的构造。具体地说，设x 是一个b a n a c h 空间，j r ：x r ，r 是x 的 一个子集簇，圣是x x 的一个映射簇，且r 关于圣是不变的，即v a f ，咖垂， 垆) f 。令 c = i n f s u pj ( u ) a e f u 、 如果一o o 0 是给定常数。在文【4 3 】中给 第5 页，共1 2 8 页博士学位论文 ”0g“ 黝 口咋 = 中其 1 2 泛函微分方程多童周期解的存在性 出了如下的假设： ( )，是奇的，即对任意的z r n ，f ( - x ) = - f ( x ) 。 ( 厶) 存在一个连续可微的函数f ，使得f 的梯度是厂，即对任意的z 冗n ，有 v 。f ) = f ( x ) 和r ( o ) = 0 。 ( ) ，( z ) = a x + o ( 1 = 1 ) 一+ o o 和 ，( z ) = b x + o ( 1 = 1 ) 一0 ， 其中a 和b 是两个实对称的nx 佗矩阵。 为了研究系统( 1 6 ) 的多重周期解，文 4 3 】采用了类似文 3 】中的定义如下，令： z ( a ) = 矩阵a 的负的特征值 和 矿( a ) = 矩阵a 的非正的特征值 定义1 1 对任意的正整数k ，定义 p ( a ，b ) = i ( ( 一1 ) 七+ 1 k 2 ，+ a ) 一z ( ( 一1 ) 七+ 1 k 2 ，+ b ) 和 + p ( a ，b ) = p k ( a ，b ) ， k = l 其中j r 是nx 礼的单位矩阵。 4 - o o 由上面的定义，容易检验p ( a ，b ) = p k ( a ，b ) 是良好定义的。实际上，存在一个 正整数k 0 ，当k k ，使得 p k ( a ，a ) = i ( ( 一1 ) 知+ 1 k 2 ，+ a ) 一矿( ( 一1 ) 七+ 1 k 2 j + a ) = 0 定理1 3 假设条件( h ) 一( k ) 满足，且 ( k ) 对任意的k n ，( 一1 ) 七一1 型三2 r 丝隹盯( a ) ， 这里盯( a ) 表示矩阵a 的谱。则系统( 1 6 ) 至少存在m a x 伽( 擎a ，警b ) ，p ( 警日，擎a ) ) 个以 4 r 一为周期的非常数的周期解。 第6 页，共1 2 8 页博士学位论文 第一章综述 在文 4 3 】中，作者对上述方程直接建立变分框架，在变分泛函中允许含有时滞变量， 即寻找一个时间滞后变量的泛函，使其对应的e u l e r 方程足上述方程。 2 0 0 6 年，g h f e i 3 4 ，3 5 】借助临界点理论和s l 指标理论，讨论了如下时滞微分方 程 z ( t ) = - f ( x ( t 一1 ) ) 一厂( z 一2 ) ) 一一，( z ( 一( 竹一1 ) ) )( 1 7 ) 多重周期解的存在性。为了研究方程( 1 7 ) 的多重周期解，在系统( 1 7 ) 的解满足 x ( t ) = - x ( t n ) 的条件下，令 x l ( t ) = z ( t ) ，z 2 ( t ) = z ( t 一1 ) ，x n ( t ) = z ( 一( 佗一1 ) ) ， 则x ( t ) = ( x l ( t ) ，z 2 ( ) ，x n ( ) ) r 。从而，作者可将系统( 1 7 ) 转化成如下的h a m i l t o n 系统 爰聊) = a 。圣( x ) ，( 1 - s ) 其中 a 。= 0 11 一1 10 1 一l 是一个斜对称矩阵，圣( x ) = ( ，( z 1 ) ，( x 2 ) ，( z n ) r 。 和 在文 3 4 】中，当扎= 2 n 为偶数时，给出了如下的假设： ( ，1 ) f c ( r ，r ) 是奇的，并有 妊掣= q 。 l i mg = 口； ( f 2 士) i f ( x ) 一o l z i 有界且g ( z ) 叫4 - o o 当一0 0 5 ( f 3 士) 士g 0 0 ) 0 当i z i 0 充分小；其中 g o ( z ) = f ( z ) 一i o f o x 2 ，g o o ( z ) = f ( x ) 一1 0 t x 2 第7 页，共1 2 8 页博士学位论文 1 2 泛函微分方程多重周期解的存在性 仇飞，= 叭归： g ( 口，2 n ) = m 一【朵( 2 七一1 ) t a n ( 酉2 k - 1 ) 一a 】一m 一( t a n ( 芍争) ) 】 ( q ，2 n ) = t , o 条( 2 七一1 ) t a n ( 芍争) 一q 为方便起见，用带( 1 7 ) 表示系统( 1 7 ) 几何上不同的非常数周期解的个数，并满足 z ( t 一2 n ) = - x ( t ) ( v t r ) 。令 ( i o ，v o ) = ( q ，2 n o ) ，v o ( a o ，2 ) ) ，( i ，) = 0 ( q ，2 n ) ，坳( q ，2 ) ) 在文f 2 9 】的基础上，g h f e i 得到下面有用的定理： 定理1 4 假设存在e 的两个不变的线性子空间e + 和e 一及一个常数r 0 ，使得 ( h 1 )( e + + e 一) 在e 中是闭的，且余维数是有限的； ( 2 )g a 。( e 一) e 一或者g a 。( e 一) e 一； ( 3 ) 存在常数c o r ，使得 i n 。f ，( z ) c o ； z e + ( 4 ) 存在常数c o 。r ，使得 ，( z ) c 2 ，对q 酽 o ，总有 0 0 ，对某个r ，若有v ( t ，q ) y o + 成立，则对某e 跄， 有i q 一( j p o ； ( k ) y 关于t 是丁一周期的，即v ( t + 7 ，q ) = v ( t ，g ) ； ( )y 关于劬是如7 一周期的( 1 jsn ，岛) ； ( )对所有的t r 和q r n ，有v ( - t ，q ) = v ( t ，口) 。 令e 1 ：= w 努( r ，舻) ，即由定义在r 取值在r “上的所有2 r 一周期函数构成的 h i l b e r t 空间，且具有如下范数 i i q l l e , ：- - - 【 ，( 1 4 ( t ) 1 2 + l q ( t ) 1 2 俐i 1 定理1 8 设条件( m ) 一( ) 被满足。如果k o k l k 2 乜 k a = + 2 7 _ 使得 , 入m i n ( 尼1 ，k 2 ) 弘m 西且方程( 1 1 6 ) 至少存在两个 周期解，其中p m i n2 q i n e f ，e 吲香( ) 1 2 + y ( ，g ( ) ) + 妒1 ( ，口( ) ) 比妒1 ( 六q ( ) ) 是一个罚函数 ( 详见文献c - n c h e n 【1 7 】) 。 令 e ：= w 1 , 2 ( o ，2 1 _ 】，彤) ， e = 口e 1 瞰q ) - 则i n f 。后7 ( 拟) 1 2 + 眦z ( ) ) + 啪，：) ) 出) 及 = ( q 研) 2 盛后7 ( 拟t ) 1 2 + y ( t ，z ( t ) ) + 妒1 ( ，z ) ) d t 条件( k ) 确保定理1 8 中得到的周期解是局部极小序列。 假设 旧) ：0 由孤立点组成 引理1 1 0 1 1 7 】若( q ) 和定理1 8 中的假设成立。则0 由i i 的有限个极小值点组成， 且6 0 进一步，对z 研巧( e ) ，存在连续函数d l ：( o ，丧) 一( o ，) ，使得 p l i r a 。+ 蛐) = 0 和 ，1 ( z ) l i ( q i ) + d 1 ( p ) ， ( 1 1 9 ) 其中口1 是0 中的元素。 定义 ( z ，y ) 2 口i r n 【。f ，s ，) ，( g ) ( 1 - 2 0 )口r 【卫，s ，) 定理1 1 1 若( q ) 和引理1 9 中的条件满足。如果p l ，9 1 0 使得 荨( p l ，口1 ) = 础i n e f e 如可) ，( 1 - 2 1 ) 则系统( 1 1 6 ) 存在一条联结轨道g 满足 g ( ) 一p i ( ) t _ 一。( 1 2 2 ) 和 g ( t ) 一q i ( ) t _ o 。 ( 1 2 3 ) 第1 3 页，共1 2 8 页 博士学位论文 1 3h a m i l t o n 系统同宿轨和异宿轨的存在性 在文【1 0 0 中，对任意的琅蹰( 系统( 1 - 1 5 ) 的平衡解的集合) ，p h r a b i n o w i t z 定义了 系统( 1 1 5 ) 的一条异宿轨q 如下： 口( t ) 一仇 当t - 一o o ， 和 口( t ) _ 跄 叩f 当t o 。 受p h r a b i n o w i t z 【1 9 8 9 】和c - n c h e n 2 0 0 1 的启发，我们采用罚函数方法和临界点理 论来研究一类泛函微分方程 茸g 一7 ) 一f ( t ，9 0 ) ，q ( t 一7 ) ，9 0 2 t ) ) = 0( 1 2 4 ) 的非常数周期解及它们的联结轨道( 异宿轨) 的存在性，其中7 - 0 是常数，t r ，口r ”。另外，关于h a m i l t o n 系统异宿轨存在性的问题可参见c n c h e n 和s y t z e n g 1 9 9 9 及m i z y d o r e k 和j j a n c z e w s k a 2 0 0 7 】的工作。 第1 4 页，共1 2 8 页博士学位论文 第一苹综述 _,- _ _ _ - - 1 4 本文的主要工作 这一节介绍本文的主要工作。 第二章利用m a w h i n 延拓定理和格林函数，我们对一类二阶具有交时滞的非线性泛函 微分方程 z ”( t ) + a ( t ) x ( t ) + g ( t ，z ( 一7 ) ) ) = p ( t )( 1 2 5 ) 及高阶( n 2 ) 具有变时滞的非线性泛函微分方程 ，l 2 z n ( t ) + 啦( ) z ( ) + 9 ( z ( 一7 - ( ) ) ) = p ( t ) ( 1 - 2 6 ) i = 0 周期解的存在性进行了研究，并得到了一些新的结果。特别地，为了估计周期解及其导 数的界，我们构造了相关的格林函数，此方法仍然适用于微分方程的