（基础数学专业论文）粗几何上的指标问题的局部化方法.pdf

y t 3 6 1 2 2 粗几何上的指标问题的局部化方法 王勤( 数学所9 7 级博士生) 摘要：本文用两种局部化方法研究了关于粗几何的指标理论 的若干问题。第一种方法是通过参数t ( 时间) 趋向于无穷而对 p r o t l e r 度量空间上的算子的传程( p r o p a g a t i o n ) 进行局部化的方 法。( 我们引入了关于拟局部算子的局部化代数d ；( x ) ，刻划了该 c + 一代数的k 理论群的多种性质，并结合局部化r o e 代数，建立 了k 同调的局部化对偶理论。我们证明了局部化k 同调群k l f ) 同构于k a s p a r o vk 同调群k 。( ) ，从这个结论可以把粗b a u m c o n n e s 猜测的证明归结为计算由d ：( z ) 产生的一个群为零。) 第二 种方法是对算子的传程在空间的无穷远处作局部化的方法。f 我们 发现了一个新的指标代数c ：( x ) ，该c + 代数是关于p r o p e r 度量 空间的渐近粗化的非交换商。我们利用在空间的无穷远处作局部 化的方法重新刻划了p a s c h k e 对偶理论，从而产生了从k 同调群 k i x ) 到c ：( x ) 的k 理论群的渐近指标映射。对于渐近可标度空 间，我们证明了该指标映射为同构。夕本文最后研究了指标代数 r o e 代数的理想结构。f 我们围绕r o e 代数的支撑于子空间的一 类理想，刻划了r o e 代数理想的序结构、极小理想、可数生成理 想、可数逼近单位等相关的性质。这些结果展示了r o e 代数结构 的复杂性不仅来自度量空间在无穷远处的行为特征，而且来自r o e 代数所作用的h i l b e r t 空间的局部无穷维属性。、 关键词：粗几何，指标理论，局部化方法，k 一同调理论，r o e 代 数。 中图分类号：0 1 7 7 5 l o c a l i z a t i o n a p p r o a c h e st o i n d e xp r o b l e m s a s s o c i a t e dw i t hc o a r s eg e o m e t r y w a n gq i n i n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，f u d a nu n i v e r s i t y a b s t r a c t ：w eu s et w ol o c a l i z a t i o nm e t h o d si n t h i s t h e s i st o s t u d ys o m e p r o b l e m s i ni n d e xt h e o r ya s s o c i a t e dw i t hc o a r s eg e o m e t r y i nt h ef i r s to n e ，t h e p r o p a g a t i o n o fo p e r a t o r so v e rap r o p e rm e t r i cs p a c ei sl o c a l i z e d a st i m et e n d s t o i n f i n i t y w e i n t r o d u c eal o c a l i z a t i o na l g e b r a d ：( x ) a b o u tp s e u d o l o c a lo p e r a t o r sa n dc h a r a c t e r i z ev a r i o u sp r o p e r t i e so ft h ek t h e o r yg r o u p so ft h i sc + 一a l g e b r a w ee s t a b l i s hal o c a l i z a t i o nk h o m o l o g yt h e o r y 碰，( x ) a n ds h o wt h a t i ti si s o m o r p h i ct ok a s p a r o v sk - h o m o l o g yt h e o r y 丘( z ) i tf o l l o w st h a tt h ec o a r s e b a u m c o r m e sc o n j e c t u r e c a nb e p r o v e db yc a l c u l a t i n g ag r o u pd e r i v e df r o m d ；( x ) ，w h i c hi sc o m p u t a b l ei n n a t u r e i nt h es e c o n do n e ，t h ep r o p a g a t i o no f o p e r a t o r o v e ra p r o p e r m e t r i cs p a c ei sl o c a l i z e da ti n f i n i t yo ft h es d a c e w e f i n dan e wc + a l g e b r a c ：( x ) w h o s ek t h e o r yg r o u p sa r ea l s oc o n t a i n e r so f i n d i c e s t h i si n d e xa l g e b r ai st h en o n - c o m m u t a t i v eq u o t i e n to f t h e a s y m p t o t i c c o a r s e n i n g o ft h em e t r i cs l c l a c e w ec h a r a c t e r i z et h ed u a l i t yt h e o r yo fk - h o m o l o g yb y 血i sl o c a l i z a t i o na p p r o a c ha n de s t a b l i s h t h ei n d e xt h e o r ya b o u tt h i si n d e x a l g e b r a w e s h o wt h a tt h ea s y m p t o t i ci n d e xm a pf r o mt h ek h o m o l o g yt ot h e k - t h e o r yo fc ：( z ) i sa ni s o m o r p h i s mo v e rt h ea s y m p t o t i c a l l y s c a l e a b l em e t r i c s p a c e s ，ht h el a s tp a r t o ft h i st l l e s i sw eg a v es c v e r a li n t e r e s t i n gr e s u l t so nt h e i d e a ls t r u c t u r eo fr o ea l g e b r a s s i n c et h e r ea r ef e wr e s u l t so ft h i sa s p e c ta p p e a r i n gi n t h el i t e r a t u r es of a r t h e s er e s u l t sc o n c e r no r d e rs l a - u c t u r e ，m i n i m a li d e a l s ， c o u n t a b l yg e n e r a t e di d e a l s ， c o u n t a b l ea p p r o x i m a t i n gu n i t s ，a n ds oo n i tt l n t i s o u tt h a t 也ei n t r i c a c yo ft h ei d e a ls t r u c t u r eo fr o ea l g e b r a sa t t r i b u t e st on o to n l y t h eb e h a v i o ra ti n f m i t yo ft h em e t r i c s p a c e s b u ta l s ot h el o c a li n f i n i t e d i m e n s i o no ft h e x - m o d u l e s k e yw o r d s ：c o a r s eg e o m e t r y ，i n d e xt h e o r y ，l o c a l i z a t i o nm e t h o d s ，k - h o m o l o g y r o ea l g e b r a m a t h e m a t i c a l s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ( a m s2 0 0 0 ) ：4 6 l 8 0 前言 粗几何上的指标理论是最近十多年发展起来的数学课题，其主要的研究对象是真性度 量空间( p r o p e r m e t r i cs p a c e ) 上的具有粗几何特征的指标代数( r o e 代数) 的k - 理论、 真性度量空间上的k 同调、以及它们之间的联系( 指标映射) 。用粗几何的观点研究指 标定理，这种想法来源于热方程方法对非紧流形上的指标理论的启发，即广义椭圆算子的 指标具有“粗化”的本质特征，它不依赖于流形的局部几何，只依赖于流形的某种渐近的 度量结构，即流形的粗几何。粗几何上的指标理论在拓扑、几何、分析等方面都有重要应 用，其中涉及n o v i k o v 猜测、正标量曲率闯题、约化群c + - 代数的幂等元问题等。( 参见 r o e 4 ， r o e 3 】， m 9 3 ，r 3 】，i v y l ，胁6 】， y u 5 】等) 1 9 9 3 年，j r o e 通过某种粗上同调理论和r o e 代数建立了粗几何与指标理论的联系 f 阻。e 3 】) ；n h i g s o n 、j r o e 和g y u 证明了真性度量空间上r o e 代数的k 理论群的粗切 除分解性质( 阻r y ) 。1 9 9 4 年，n h i g s o n 和j r o e 研究了r o e 代数k - 理论的一种粗同伦 不变性( 【h r l 】) 。1 9 9 5 年，n h i g s o n 和j 勋e ( r r 2 ) 、g y u ( i v - 1 i w ：1 ) 分别用不同的方法 在粗几何的范畴推广并研究了关于局部紧群的几何k 理论与解析k - 理论的b a l z i n - c o d - l i e s 猜测。1 9 9 7 年，g y u 在文f l u 4 j 中介绍了局部化r o e 代数及其同粗b a u r a - c o n l t e s 猜测的 联系。 粗几何上的指标理论的核心问题是r o e 代数的k - 理论群的计算，这也正是其主要的困 难所在。局部化r o e 代数通过从r + 到r o e 代数的有界一致连续函数来控制局部紧算子的 传程( p r o p a g a t i o n ) ，包含了有效的可用于计算的信息。1 9 9 8 年，g y u 对局部化t l o e 代数 建立了一套。控制k 一理论”( r 6 ) ，并对具有有限渐近维效的有限生成群证明了n o v i k o v 猜测。 本文的目的是从对偶的角度发展局部化的思想并研究粗几何上指标理论的相关问题。 一方面，我们受i - i i g s o a 和r o e 所刻划的p a s c h k e 对偶理论( 阻i 9 2 j 1 狂l 2 i ) 的启发，引入了关于 拟局部算子的局部化代数d ：) ，并结合局部化r o e 代数优( x ) ，建立了k 同调的局部 化对偶理论及其同粗b a f t r a - c o n n e s 猜测的联系。另一方面，我们发现了个新的指标代数 e j ( x ) 。这个e + 代数是通过对局部紧算子的传程在度量空间的无穷远处进行局部化产生 的，它是度量空间渐近粗化的非交换商。我们通过重新刻划k 同调的对偶理论，建立并研 究了关于( x ) 的指标问题。此外，r o e 代数的代数结构不仅对指标理论具有重要意义， 而且也是c t 代数理论的有趣课题。但目前对r o e 代数的代数结构方面的研究仍几乎是一 片空白，因此，我们还刻划了r o e 代数的理想结构。 全文共分四章。 第一章介绍了与本文相关的粗几何上的指标理论的预备知识，包括粗几何最基本的概 念、r o e 代数和拟局部算子控制代数的基本性质、p a s c h k e 对偶理论及指标映射。 第二章引入并研究了局部化k 同调理论及其同粗b a t u m - c o n u e s 猜测的联系。第一节刻 划了局部化代数d ：( x ) 的k 理论群和局部化k - 同调群k l 。( x ) 的基本性质，如稳定性， 函子性质等。第二节证明了强l i p s c h t z 同伦不变性定理。第三节研究了局部化代数的k - 理 论和局部化k 同调关于强切除分解的m a y e r v i e t o r i s 正合序列。第四节详细计算了5 - 分离 空间上的d ：僻) 的k 理论群。第五节刻划了局部化k 同调理论与k a s p u o v 的k - 同调理 论的关系，证明了：对于带球面度量的有限维非紧单纯复形，耳三，( x ) 同构于丘。( x ) 。第 六节应用上述性质和计算工具，得到了一个k 理论水平上的正合双复形，从而把具有有界 几何的度量空间上的粗b a u m - c o n n e s 猜测的证明归结为计算由d d x ) 产生的一个群 为零。 i i mk + ( d l 0 ( p d ( r ) ) ) a _ 第三章通过在度量空间无穷远处的局部化方法研究了关于空间渐近粗化的指标问题。 第一节引入了指标代数c a ( x ) 并解释了它的关于空闯渐近粗化的非交换意义。第二节刻划 了e j ( x ) 的基本性质。第三节研究了相应的拟局部算子代数d j ) ，并重新刻划了k 同 调的对偶理论，得到从k 同调k ( x ) 到c a ( x ) 的k 理论的渐近指标映射。第四节证明了 关于d j ) 的k 理论群的渐近l i p s c h i t z 同伦不变性定理。第五节运用上述性质和工具对 渐近可标度空间( a s y m p t o t i c a l l ys c a l e a b l es p a c e s ) 证明了渐近指标映射为同构。 第四章研究了r o e 代数的理想结构。k o e 代数有一类支撑于子空间y x 的理想，形 为c 。f y ；工) ，在计算上特别有用，这一章的结果主要围绕这一类理想展开。我们首先对真 性度量空间的子空间引入一种”分类，并建立了u - 等价类与形为c ( y ；x ) 的理想类之间 的序关系，然后给出了判断一个理想具有c ( y ；x ) 形式的准则。我们证明了：r o e 代数的 可数生成的非零非紧理想都不具有c ( y ；x ) 的形式，紧算子理想是r o e 代数的唯一极小理 想，r o e 代数的非零非紧理想都不具有可数逼近单位等结果。这些结果表明，r o e 代数结 构的复杂性来自度量空间在无穷远处的行为特征和r o e 代数所作用的h i l b e r t 空间的局部无 穷维属性的联合影响。 2 致谢 本文是在导师陈晓漫教授的直接指导下完成的。三年来，我和陈老师就粗几何与指标 理论的种种问题作过无数次的讨论，从中得到了极大的教益。陈老师渊博的知识、热情的性 格、对数学深刻的洞察力和执着精神，使我钦佩并对我产生着潜移默化的影响。陈老师不仅 在专业上对我们言传身教，而且在生活上给予我们热心的关怀。经过这三年的学习，我感到 自己在专业修养和科研能力上都取得了长足的进步。在此，向陈老师致以深深的敬意和衷 心的感谢! 我的硕士导师侯晋川教授多年来一直给予我学业上、科研上和生活上无微不至的关怀。 在硕士期间，我在侯老师的指导下打下了良好的专业基础；这些年来，侯老师一直关注着 我的学习情况，并给予亲切的鼓励和支持。几位长辈，严绍宗教授、张荫楠教授、童裕孙教 授，从专业上到数学修养方面都给予我们很多的指点与启发，使我受益匪浅。陕西师大数学 系杜鸿科教授多年来对我的学习与进步都给予指导、关怀和鼓励。美国c o l o r a d o 大学数学 系虞国梁( g y u ) 教授通过e m a i l 给予我很多学术上的指导。在此，向各位老师致以深深的 敬意和衷心的感谢! 三年来，我在学业上得到郭坤宇博士、黄昭波博士、方小春博士、徐胜 芝博士、许庆祥博士、胡俊云博士的很多帮助，并和我的同学卫淑云、侯成军、侯绳照作过 大量的讨论，我从他们那里学到很多东西。在此，向他们表示至诚的感谢! 最后，特别感谢我的父母、亲人们多年来对我学习深造的多方面的支持和帮助。尤其 是我的妻子李晋秀，三年来她抚养孩子，孝顺父母并做好自己的工作，生活繁忙而无怨无 悔，并不断教导我既要锻炼身体又要安心学习。电话中听到妻子、儿子的声音是我常 拥有的快乐1 3 2 0 0 0 年4 月 第一章粗几何上的指标问题 这一章扼要介绍本文所涉及的关于粗几何的指标理论的基本概念、性质和记号。 第一节粗几何的基本概念 设x 和y 为度量空间。一个映射，：x y ( 不必连续) 称为粗映射( c o ”s e m a p ) 如果，满足以下两个条件： ( a ) ( 一致膨胀u n i f o r n le x p a n s i v e n e s s ) 对任何r 0 ，存在s o 使得 d i s t ( z ，z ) s 丑= = 争 d i s t ( ，( 2 ) ，( z ，) ) s ，v 。，7 x - ( b ) ( 度量真性m e t r i cp r o p e r n e $ $ ) 对任何有界子集b y ，逆像- i ( b ) 在x 中有界。 指标问题主要感兴趣的空间是真性度量空间( p r o p e r m e t r i cs p a c e ) ，即每个有界闭子集 都是紧集的度量空间。显然，一个度量空间x 为真性度量空问，当且仅当x 上的到一个任 意取定点z o x 的距离函数d ：x r ， d ( y ) = a i s t ( f ，。o ) 是一个真映射( p r o p e rm a p ) 。如果x 和y 为真性度量空间，而，：x y 连续，则关于， 的度量真性与通常( 拓扑学) 意义上的真性是等价的。 真性度量空间与粗映射构成了粗范畴。两个粗映射，o ， ：x y 称为粗等价的，姐果 存在个常数k 使得对所有z 戈有 出s t ( ，0 ( 2 ) ， ( g ) ) sk 两个空间x 和y 称为粗等价的，如果存在从x 到y 和从y 到x 的粗映射，它们的两个 方向的复合映射分别与x 和y 上的恒等映射粗等价。特别，所有的紧度量空间都粗等价于 单点空间，是平凡情形。因此，我们所关心的空间是非紧空间 4 通常把度量空间x 的粗等价类叫做x 的粗结构。 例1 1 1 任何完备的黎曼流形都是真性度量空间。 如果r 是完备黎曼流形m 的离 散e 网( s o ) ，带子空间度量，则r 是一个离散的真性度量空间，而且m 与r 粗等价。这 样，m 的粗结构洗掉了它的所有局部几何。 例1 1 2 设r 为有限生成群，s 为r 的一个有限生成集，则r 具有字长度量：如果 7 1 ，7 2 r ，定义出s t ( 7 1 ，讹) 为7 f 1 7 2 用s u s 一1 中的字母表示的最短字的长度。于是，任何 带字长度量的有限生成群都是真性度量空间。虽然字长度量的定义依赖于生成集的选取， 但粗结构与之无关。 第二节r o e 代数 设x 为真性度量空间，日为复数域上的可分h i b e r t 空间。称日为一个x 一模，如 果e 一代数( x ) 在日上有一个忠实的非退化+ 一表示，其值域不包含非零紧算子。这里 c o ( x ) 表示x 上在无穷远处趋于零的连续函数全体。 设h x 、丑分别为x 模和y 模，t ：h x 一日y 是一个有界线性算子。t 的支撑 集，记为s u p p ( t ) ，是由满足下述条件的点( 。，y ) x y 所构成的集合在x y 中的余 集： 存在函数，c o ( x ) ，9 c o ( x ) 使得g t f = 0 而，( z ) 0 ，g ( v ) 0 。 如果y = 爿，则t 8 ( 且x ) ，而s u p p ( t ) x x 。这对，定义f 的传程( p r o p a g a d o n ) 为数量： p r g ( t ) ：= s u p d i s t ( x ，v ) ：( 。，y ) s u p p ( t ) 如果p r g ( t ) 0 ，总存在等距算子诈：取一皿，满足( f r 吲) ： s u p p ( 巧) ( ，y ) x y ：d i s t ( ，( ) ，) r 这样的等距巧诱导了从r o e 代数c 伍，e x ) 到k o e 代数c ( r 丑一) 的一个+ - 同态a d ( v f ) a d ( 吩) ( t ) = v t w ， v t c ( x ，h x ) 由此不难证明：在相差一个+ - 同构的意义下，r o e 代数c ，h x ) 不依赖于x 模h x 的 选取。因此，c 。( x ，- ；i x ) 常简记为c 何) 。进而，+ - 同态a d ( 吩) 在k 理论水平上诱导的 群同态a d ( v ) 。：尬( ( x ) ) 一戢( c ( y ) ) 不依赖于等距巧的选取，即，如果n 和是从 h x 到丑的两个等距算子，对某个r 0 ，满足 s u p p ( k ) ( z ，f ) xxy ：d i s t ( f ( z ) ，v ) 埘，i = l ，2 则a d 。( h ) = a d 。( v 2 ) ：厦( e 。( 丑) ) 一噩( g ( y ) ) 。 如果，是一个粗等价唳射，则a d 。( 码) 给出了同构k 。 ( x ) ) 兰k 。( c ( y ) ) 。因此， r o e 代数的k 理论群是粗等价不变量。 第三节d + ( x ) ：拟局部算子控制代数 设x 为真性度量空间，而h x 为一个x 一模。一个有界线性算子? b ( h x ) 称为拟局 部算子，如果对所有，c o ( x ) ，交换子m ， _ ? ，一t 都是h x 上的紧算子。k a s p a r o v 指出：t6 口( 旦r ) 为拟局部算子当且仅当对任意两个具有紧的而叉互不相交的支撑集的函 数，g c o ( x ) ，算子g t 都是紧算子。 h x 上的所有拟局部、有限传程算子的全体构成s ( s x ) 的一个+ 予代数，其算子范数 闭包是一个c 。- 代数，记为d 。僻，丑) ，我们称它为x 上的拟局部算子控制代数。r o e 代 数g ( z ，丑) 是d 。( z ，豆x ) 的个双边闭理想。而扩僻，互z ) 包含单位，即召( 日x ) 的单位 算子。 例i i ，4 在例i i 3 的情形下，一个算子t = ( ) s ( 1 7 x ) 是拟局部、有限传程算子的 充要条件是矩阵( ) 的非主对角线元都是紧算子，同时在主对角线的某个有界邻域之外， 都为零( 主对角线上的元可以非紧) 。 6 由于技术上的原因，通常是在更大的h i b e r t 空间上定义上述代数的。如果月是一个 x 模，则日铲：日oe xo 且o 自然地也是一个x 模： c o x ) 在x 上的表示为 ，。，o ，o ，o 。由于d ( x ) 及其k 理论不是粗等价不变量，为了讨论口。( x ，日雾) 的函 子性质，需要用l i p s c h i t z 粗映射。一个粗映射f ：x y 称为l i p s c h i t z 映射，如果存在常 数c 0 使得对所有z ，x 有d i s t ( ，( ) ，( y ) ) c d i s t ( = ，y ) 。此外，我们要引用v o i c u l e s c u 定理( v f a r v ) ： 定理l15 设a 为可分的c + 代数，日和日7 为可分的复h i t b e r t 空间，a 在日和日7 上有非退化的+ 表示。如果且在日7 上的表示的值域不包含非零紧算子，则存在等距算子 w ：日。口，使得对于每个a a ，算子w a a w 都是紧算子。 下述引理是 h r 2 中引理7 7 的推广，我们在第二章也要用到它。 引理1 1 6 设，：x y 为真性度量空间之间的l i p s c h i t z 粗映射，t i x 和日y 为相应 的模。对任意e 0 ，存在等矩算子w ：县第一丑p 使得 s u p p ( - 吩) ( 2 ，) xxy ：d i s t ( ( , ，y ) s ) 而且对所有l p c o ( y ) 有 妒- 吩一w ( 妒o ，) 庀( 。e 醪，e 节) 此外，若 ，2 ：x y 为另外两个l i p s c h i t z 粗映射，满足：对所有的。x 都有 d i s t ( ( $ ) ， ( z ) ) e 和d j s t ( ，( $ ) ，2 ( 。) ) s 。那么，可选择上述等矩算子，满足：对所有 p c o y ) 都有 s u p p ( 矸0 ) ( z ，y ) x xy ：d ( ，( ) ，v ) 2 ，d ( ( z ) ，y ) 2 e ，d ( ，2 ( z ) ，y ) 2 ) 妒i 码一l 巧( 妒。，) 咒( e 睇，丑穸) ， 妒- 巧一巧( 妒。，1 ) 咒( 臻，日尹) ， 妒坼一w ( 妒o ) ( f 雾，且尹) 证明：由z ，y 和，的性质，不难分别构造z 和y 的局部有限、半径一致有界的开覆 盖“= 乃b 和口= o k ) k ，使得满足两个条件：( 1 ) d i a m e t e r ( o k ) ；( 2 ) 把每一个 映入到某个0 之中。对每个女，令k = y y ：d i s t 0 k ) 0 ，存在一个等距算子w k ：月譬一日穸使 得 s u p p ( i 住) “2 ，y ) x xy f d ( ，( z ) ，) k ，( i ) 妒矾一w ；( 妒o ，) 咒( 日雾，日罗) ，v 妒c o ( y ) ( i i ) 对每个t o ，o 。) 定义等距算子w a r ) ：霹审职一霹。蟛如下：当 s t 0 ，存在6 0 使得当f t l t 2 f 0 为常数，仅依赖于t ) 中的算子t 的全体 所构成的+ 代数的算子范数闭包。这里，p e n ( y , 置) = z x ：d i s t ( z ，y ) s 冗 容易看出， d + ( y ；x ) 是d ) 的双边闭理想，而c ( y ；x ) 是c ) 的双边闭理想。 设x 1 和x 2 是x 的两个闭子空间使得x = x 1 u x 2 并且x 1 n x 2 0 。我们称x = 噩u x 2 是一个u 切除分解，如果对任意丑 0 ，存在s 0 ，使得p e n ( x 1 ；r ) n p e n ( x 2 ；丑) p e n ( x 1n x 2 ；s ) 。类似于c ) 的情形( 见辟m ) ，我们有下面关于d ( x ) 的k - 理论的 m a y e r v i e t o r i s 正合序列。 定理2 3 2 设x = 并1 u x 2 是一个p 切除分解，则有关于d + ( x ) k 理论的m a y e r v i e t o r i s 正合序列： k o ( d 。( 并1nx 2 ) 一k o ( d ( x 1 ) ) ok o ( d 。( 弼) ) 一k o ( d + ( x ) ) tl 配( d 。( x ) ) 一班( d + ( x 1 ) ) ok l ( d ( 恐) ) 一皿( d ( x tnx 2 ) ) 证明：类似于【珏科】中第五节( 9 3 页) 的证明。 口 现在，我们开始考虑局部化代数的情形。用d ：( y ；x ) ( 或g 三( y ；x ) ) 表示d ：( x ) ( 或 咙( 互) ) 中满足下列条件的元素，生成的闭子代数：存在龟 0 ，满足i i m “。龟= 0 ，使 得对所有t 0 ，o 。) 有 s u p p ( ，( t ) ) p e n ( y ；屯) p e n ( y ；龟) 不难验证 咙( y ；x ) 司d ：( y ；x ) qd ：( x ) ， 咙( y ；x ) 司c 三( x ) qd ：( x ) 令 k l i ( y ；x ) ：= 噩+ 1 ( 口i ( 1 ，；x ) 咙( y ；x ) ) ，i = 0 ，i ( m o d 2 ) 引理2 3 3 设y 是x 的一个闭子空间，满足( 1 ) y 的内部在y 中稠密；( 2 ) 存 在r 0 ，使得通过包含映射y q z ，k ：= p e n ( y ；r ) 强l i p s c h i t z 同伦等价于y 。那么， 我们有下列自然诱导的同构( i = 0 ，1 ) ： 段( d ：( y ；x ) ) 兰凰( d ：( y ) ) 甄( 咙( y ；x ) ) 兰耳i ( c ：( y ) ) k l