（基础数学专业论文）突变分支过程导出的积分半群及其性质.pdf

两南大学硕十学位论文 中文摘要 突变分支过程导出的积分半群及其性质 基础数学专业硕士学位申请人邹杨 指导教师李扬荣教授 摘要 m a r k o v 链模型是独立随机试验模型最直接的推广，因早在1 9 0 6 年就对它进行研究的俄 国数学家m a r k o v 而得名2 0 世纪中后期，k o l m o g o r o v ，f e l l e r 和d o o b 等数学家发展了这一 理论关于m a r k o v 过程理论通常有概率方法和分析方法，概率方法赢观、形象、明晰，概率 意义比较清楚；分析方法则有表达简洁、明快的特点就应用而言，许多物理学家、生物学 家、化学家等专家更偏爱于概率方法所表达的结果，而分析方法所表达的结果更适用于将概 率论与其他数学学科的成就联系起来或利用现代数学的成果近年来不少研究学者使用分析 的方法，研究积分算子半群及其在连续时间m a r k o v 链中的应用，并取得一系列成果本文着 力于用分析的方法，以算子半群理论为工具，来研究一类特殊的m a r k o v 过程突变分支过 程 突变分支过程的状态空间是e = o ，1 ，2 ，) ，其转移函数是p ( f ) = p u ( t ) ；i ，j e ) ，满 足k o l m o g o r o v 前向方程：p v ) = p ( t ) q ，其g 一矩阵q = ( q ；f ，j e ) 定义为： 其中：a 0 ，d 0 2 一口 d | t - ( j + 1 ) a d j a 0 i = j = 0 i j + 1 z5 _ ， i = j - 1 i 0 ，t i - 瓯在乙空间上是单射； 定理3 1 2 对v 五 0 ，i i 一瓯在乙空间上是满射； 定理3 1 3 瓯是耗散算子； 定理3 i 4 瓯是闭算子 1 1 两南大学硕+ 学位论文中文摘要 i 一 - ii n i i i i i i i i i i i i i i 定理4 1 1 突变分支矩阵导出的算子瓯在b a n a c h 空间乙上生成一个正压缩积分半群 丁( f ) = ( 乃；f ，e ) 此时，( f ) = ( 兀o ) ) 气巧( t ) ) 恰为最小q 一函数 定理4 1 2 突变分支矩阵导出的算子q 。在b a n a c h 空间乙上生成的正压缩积分半群 t ( t ) = ( 乃；f ，j e ) 是积分q 一半群 定理5 1 3 突变分支矩阵生成的积分半群丁o ) = ( t o ；，j 励是随机单调的，且有 1 i m t o ( t ) = t j ( t ) w 定理5 1 4 若d 2 a ，则r ( f ) 是常返的；反之，若d 0 ，d 0 劬5 一n d | i - ( j + 1 ) a d j a o i v i = = 0 i j + 1 z5 j i = 1 1 i 0 ； t h e o r e m 3 1 2 m 一缆i ss u b j e c t i v e o n 乙，v 名 0 ； t h e o r e m3 1 3 瓯i sd i s s i p a t i v e ； t h e o r e m3 1 4 瓯i sc l o s e do p e r a t o r v 两南大学硕+ 学位论文英文摘要 t h e o r e m4 1 1t h eo p e r a t o r 瓯d e r i v e df r o mqg e n e r a t e sao i l c ep o s i t i v ec o n t r a c t i o n i n t e g r a t e ds e m i g r o u p sr ( f ) o n 乙，a n df ( t ) i st h em i n i m a lq f u n c t i o no ft h ec a t a s t r o p h e s b r a n c h i n gq - m a t r i xqs u c ht h a tf ( t ) = ( 兀( f ) ) = ( 巧( t ) ) t h e o r e m4 1 2c o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u p s t ( t ) t h a ti sg e n e r a t e db yq a oo n 乞 i si n t e g r a t e dq s e m i g r o u p s t h e o r e m5 1 3c o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u p s t ( t ) t h a ti sg e n e r a t e db y 瓯o n 乙 t h e o r e m5 1 4r ( t ) i sr e c u r r e n ti f d 2 a ；丁( f ) i st r a n s i e n ti fd f 劬= 以i - i ( 歹) + 呸勺o l ， 0 时，有 只 x ( 乙+ ，) = j l x ( t ) = f ，x ( 厶一。) = 州，x ( ) = = e x ( o ) = 歹i x 也) = f ) 2 两南大学硕十学位论文第1 章前言与文献综述 曼曼皇曼曼鼍皇皇曼曼蔓曼曼曼曼曼i 一一一_ m li 一一一_ ；l m 一；l m l 皇曼曼曼曼曼 此等式称为m a r k o v 性质如果对于s ，r 满足0 j t 及任意i ，j e ，条件概率 p x ( f ) = j l x ( s ) = i ) 只依赖于t s 而与s ，f 无关，则称随机过程 x ( f ) ；f 0 ) 是齐次 m a r k o v 此时e x o ) = j x o ) = 0 = e x p j ) = i x ( o ) = 0 称 p o ( t ) = e x ( t ) = j l x ( o ) = i ) v i ，j e ，t 0 为该随机过程的转移函数 定义1 3 2 ( 见 1 ) ( 标准转移函数) 设可数集e = 0 ，1 ，2 ， 为状态空间 尸( f ) = p o ( t ) ；i ，j e ，t 0 称为标准转移函数，如果它满足： ( 1 ) 对任意的f o ，p o ( t ) o 且 助c 。，= 岛= 三；二乡 ( 2 ) 对任意的i e ，f20 ， ：p o l ：特别地，若对v t 0 ，i e ， ：p o = 1 ，则称 j _j；j， j e ej e e 尸( f ) = p o ( t ) ；i ，j e ，t 0 ) 是忠实的，否则称为非忠实的； ( 3 ) 对任意的f ，e ，p o ( t + s ) = m ( f ) p 茸o ) ； 七e g ( 4 ) 对任意的f e ，姆p 甜( f ) = 1 或等价的有：对v f ，e ，l ，i 。r a 。p o ( t ) 2 岛( 标准性) 本文始终假定转移函数是标准的，即满足上面的( 1 ) 一( 4 ) 同时由文献 1 知，标准的转移 函数存在如下形式的极限： l i m 型兰：如v 讲e t 卜+ 0 我们规定q = q o ；i ，e ) ，s u 得) uq 一矩阵q 及相关概念的定义 定义1 3 3 ( 见 1 ) ( g 一矩阵) 矩阵q = 约：= p y ( 0 ) ；i ，e 称为转移函数 b o ) 的q 一矩阵，如果它满足： 0 q o + v f ，j e ，f j 1 1 艺q o 一鲰暑q i 4 - o o ，v i e j 村 如果对任意的f e ，吼 o 称为预解函数，如果对 v f ，j e ，旯0 满足 ( 1 ) ( 旯) 0 ； ( 2 ) 五( 旯) 1 ； j e e ( 3 ) 吩( 名) 一勺( ) + ( 力一) 珞( 五) ( ) = o ( 预解方程) ； k e e ( 4 ) 熙兄珞( 五) = 1 或等价的有：五l j m 。五勺( 允) 。岛- t 田 设岛( f ) 是转移函数，则其相应的预解函数定义为 4 两南大学硕+ 学何论文 第1 章前言与文献综述 ! i 一 一一m i i_ii i i i i 皇曼皇曼皇曼皇曼曼皇曼曼曼曼曼皇曼曼量曼曼皇曼舅曼曼曼曼曼曼 ( 力) = f e - z p i y ( t ) d t ，v f ，e ，a 0 定义1 3 7 ( 见 2 ) ( 随机单调函数) 无限维非负矩阵s ( f ) = ( 勖( f ) ；f ，j e ) 称为随 机单调函数，如果s ( f ) 满足不等式： ( f ) ) ，k i + 1 ，t 0 ，tj k 定义1 3 8 ( 见 3 ) ( f e l l e r 函数) 无限维非负矩阵s ( f ) = ( ( f ) ；f ，_ ，e ) 称为f e l l e r 函数，如果s ( t ) 满足： 1 i r a $ j ( f ) = 0 ，v j e ，t 0 l 定义1 3 9 ( 见 1 ) ( 单调g 一矩阵) g 一矩阵q = ( q u ；i ，j e ) 称为单调的，如果q 满足不等式： i i + 1 t 可k ；c j 定义1 3 10 ( 见 3 ) ( f e l l e r g 一矩阵) g 一矩阵q = ( 劬；f ，e ) 称为f e l l e r 的，如 果对于w e ，q 扩一0 当i 0 0 定义1 3 1 1 ( 见 4 ) 称一个g 一矩阵q 在乙空间或者在名空间上是零流出的，如果它 分别满足乙( 见) = o 或( 兄) = o ) ；q 一矩阵q 在空间上是强零流入的，如果它满足 ( 兄) = o ；q 一矩阵q 在彳空间上是零流入的，如果它满足r ( 旯) = 0 ) 其中： 乙( 五) = x 乙i ( 五，一q ) x = o ) 名( 见) = xe 乞( 他卜o ) ( 五) = y i y ( 2 1 - q ) = o ) 口( 见) = y z , ( a ) i y o ) 注意：一个q 一矩阵q 在乙空间是零流出的与在乞空间上是零流出之间是等价的因此， 我们将它们统称为零流出但g 一矩阵q 的强零流入性与零流入性不一定存在等价关系，而对 于向下跳跃的g 一矩阵强零流入与零流入是等价的( 见文献 4 ) 定义1 3 1 2 ( 见 1 ) ( 常返性) 状态f e 是常返的，如果r b ( f ) 西= 佃；状态 ie e 是瞬时的，如果f p u ( t ) d t o 定理1 3 1 6 ( 见 5 ) ( l u m e r p h i l i p s 定理) 设4 是b a n a c h 空间x 上的一个稠 线性算子， ( 1 ) 如果彳是耗散算子且存在一个凡 o f f 得t m ( & z - a ) = 石，那么a 是x 上某个压 缩半群丁( f ) 的生成元： ( 2 ) 如果4 是x 上压缩半群r ( f ) 的生成元，那么对吼 0 ，有h n ( 九，一a ) = x 且4 是 耗散算子另外，对协d 及we f ( x ) ， r e 0 定义1 3 17 ( 见 5 ) ( 耗散算子) 设x 是b m m c h 空间，x + 是其对偶空间，对比x ， 称f ( x ) = x + ：x + x + ， = 忙1 1 2 = 忙0 2 ) 为x 的对偶集 ( 注：若，x + ，x x ，符号 或 都表示石在x 点的值) 线性算子彳是耗散算子，如果它满足对v x d ( a ) ，存在x f ( x ) ，使得有 r e - - m i ，v x ed ( 么) ，五 0 定义1 3 1 9 ( 见 6 ) ( n 次积分半群) b a n a c h 空间x 上的强连续有界线性算子半 群 s ( f ) ) ，。称为由a 生成的( 指数有界) n 次积分半群，如果s ( o ) = 0 且存在常数国和m ，使 得p ( 彳) c ( 缈，+ ) ，i p o ) 0 纪叫且( ，- a ) - i x = r “e p 一一s ( t ) x d t ，v ， 国，觇x 定义1 3 2 0 ( 见 6 ) ( n 次压缩积分半群) n 次积分半群拶( f ) ) ，o 称为是压缩的， 如果 u s ( 酬沙t n i i ，协丽 其中a 是n 次积分半群拶( f ) 脚的生成元 命题1 3 2 1 ( 见 6 ) ( 一次正的压缩积分半群) p ( f ) = ( 既( f ) ) 是一转移函数，积 3 g ( t ) = ( g o ( f ) ) ，其中 g o ( t ) = f j p o ( s ) 凼，v f ，e ，v t _ 0 是乙上的一次正的压缩积分半群 7 两南大学硕+ 学何论文第1 章前言与文献综述 定理1 3 2 2 ( 见 1 9 ) 一个线性算子a 生成指数有界且非退化的压缩积分半群s ( t ) 的 充要条件是 ( 1 ) 佃，悯) cp ( a ) 其中c o r ( 2 ) 名一掣是s ( f ) 的拉普拉斯变换，即 几 ( 兄一彳) = ；：2 e - z s ( t ) d t ，名 缈 定义1 3 2 3 ( 见 1 9 ) ( 积分a 一半群) b a n a c h 空间x 上的强连续有界线性算子半群 r ( f ) ) ，。称为积分q 一半群，如果满足： ( 1 ) r ( t ) 是乙空间上的积分半群； ( 2 ) r ( f ) 是压缩的，u 口i i t ( t ) i isf ； ( 3 ) 对于所有的f o ，v i ，e ，互j ( f ) 是连续可微，并且巧( f ) 0 ； ( 4 ) 巧( o ) = q 考虑如下形式的b a n a c h 空间： 在乙空间上定义范数： 在空间上定义范数： 在c o 空间上定义范数： 乙= x = ( t ) 址眦s u p 薯i 佃) = 抄= ( 咒) 店l m 佃 i f e e c o2 o = ( 再) 觚慨l i m x _ f 。o ) = = 乙 i i x l l 蛔= s u px ，i 。= m i i x , l l 匈2s ，u 。e p l 葺l 8 两南大学硕十学位论文第1 章前言与文献综述 在乙空间上定义线性算子纨如f ： jd ( q i 。) = 缸乙i 乙) 【瓯x = q x ，诋d ( 瓯) 在c o 空间上定义线性算子q 。如下： fd ( q c o ) = x c ol 缈c o 【钱x = q x ，协o l ：瓯) 记k = s p a n e 1 ) ，其中q 是f 1 空间上的第f 个分量为1 其余分量为0 的元( 行基元) 记d ，= t y l 萎防吼，i ，其转移函数是 p ( f ) = 既( f ) ；i ，j e = z + ) 并且满足k o l m o g o r o v 前向方程：p v ) = p ( t ) q 而其g 一矩阵q = ( q o ；i ，j e ) 定义为： 其中：口 0 ，d 0 劬2 一口 ali 一( + 1 ) a d j a o 1 0 i = ，= 0 i ，+ 1 l = j i = j 一1 i k g f + 1 ，( 后f + 1 ) 由文献 1 知该不等式等 1 2 七+g 盆乙脚 一 * g 甚乙脚 0 一= sg 盆乙脚 0 m ，从而推出最小q 一函数f o ) 是随机单 调的 ( 3 ) 因为突变分支过程g 一矩阵q 是单调的，满足窆缸艺纵城，f + 1 ，由此得 鲰g i + l ，l 歹i ，由文献 1 0 推论3 2 ，q 的最小转移函数f ( f ) 满足： 芝厶( f ) 艺z “。( f ) ，f 即砉厶是关于状态f 的递减函数，因此嫩砉五o ) 极限存在且l i m 圭脚l ( t ) = f j ( t ) 1 3 西南大学硕十学位论文第3 章突变分支矩阵导出的算子 mm m m m 一一 m m , 曼曼皇曼曼曼曼皇曼曼! 曼 第3 章突变分支矩阵导出的算子 3 1 突变分支矩阵导出的算子的性质 在乙空间上，突变分支矩阵q 导出的算子缆具有如下性质： 定理3 1 1 对v 五 0 ，2 i - 瓯在乙空间上是单射： 定理3 1 2 对v 兄 0 ，2 i - 瓯在乞空间上是满射： 定理3 1 3 纵是耗散算子： 定理3 1 4 瓯是闭算子 3 2 证明 定理3 1 1 的证明 设x 乙( 不必非负) 满足( 允，一瓯净= 0 该式可具体写为： 譬a ( x 1 - x 。o ) = 2 一x 毛o ，：饥+ i d 荟n - - 1 。矗一以，纠 由数学归纳法易知，若而0 ，则所有+ l 一毛0 ，从而 递增且所有都是非负数： 而若0 ，则+ l - x 0 ，且所有 吒) 都是非正数因此不妨设 0 ，对某个五 0 ，- - i 推出 毛+ l 一l x o ，l 0( 1 ) 若以= 0 ，则五：若式( 1 ) 对，z 。 西南大学硕十学位论文第3 章突变分支矩阵导出的算子 义由式c 2 ，可知! i m ( x i i - x o ) = 躲高( 一娩) 砜喜素= 佃 则x 芝 吒) 。o 是无界的，与x 艺矛盾由此方程( 力，一q 。如= 0 只有零解，故v 五 o ， 名，一瓯在乞空间上是单射 定理3 1 2 的证明 设( 名) = 略；f ，j e ，名 阱是突变分支矩阵q 的转移函数，( ，) 对应的预解函数，即 略( 允) = s o e - z 石( t ) d t ，v f ，e ，彳 0 则( 五) 满足后向方程，即( 五，一q 。) ( 力) = ， 对v 文乙，有( 旯，一q i o d ) ( 允) x = x 令 ( 力) x = y ，易知y 乙，得瓯y 乞 即y d ( q f 。) ，( 2 i 一纵) y = x 故对v 见 0 ，a ，一瓯在乙空间上是满射 定理3 1 3 的证明 由定理3 1 1 和定理3 1 2 可知( 五，一q 。) 是可逆的，且( 2 i - 纵) 一= ( 名) ，则 忖，级) q 也- -z 忆 = s 肼u p 慷l z 痧, , _ i e 丘i ，c fl = s m u p el j e er e 础石( f ) 刃_ 一 1 5 f o e - m d t 也 扣i i 。 这说明 l i ( a i - q , 。) y l - , z l y l l 其中y d ( q f 。) 且v 元 0 由定义1 3 1 7 ，瓯在乙上是耗散算子 定理3 1 4 的证明 在h 1 1 ( 名，一q ，。) 中有柯西列( 2 1 一q 。) y k 收敛于岛即( 旯，一q 0 0 ) y k _ 氛由定理 3 1 3 得l l ( 旯，一q 。) y , i i , 乏l l y , i i ，故欺收敛，设收敛于从而 ( 2 1 - 瓯) y k 专一瓯) y o ，于是有，一驻) y o = 氢， a 而3 y o d ( 2 i 一瓯) 故 ( 五，一q 。) 的值域为闭集，即( 旯，一瓯) 为闭算子，那么鲸也为闭算子 1 6 两南大学硕十学位论文第4 章突变分支矩阵导出的算子与积分半群 第4 章突变分支矩阵导出的算子与积分半群 4 1 突变分支矩阵导出的算子生成积分半群的刻画 定理4 1 1 突变分支矩阵导出的算子q 。在b a n a c h 空间乞上生成一正压缩积分 半群丁( f ) = ( 乃；f ，e ) 1 l t 时f ( t ) = ( 乃( f ) ) = ( 巧( f ) ) 恰为最小a 一函数 定理4 1 2突变分支矩阵导出的算子瓯在b a n a c h 空间乙上生成的正压缩积分 半群丁( f ) 是积分q 一半群 4 2 证明 定理4 1 1 的证明 令r ( f ) = ( 毛；f ，e ) ，其中 乃( f ) = j 。t 石o ) a s 由文献 6 的命题5 1 知2 。( f ) 是乙空i 司上的正压缩积分半群设其生成兀为【2 。，我们需证 明q 。= q 。由定理2 2 3 的结论( 1 ) ，突变分支矩阵q 的最小q 一函数，( f ) = ( 兀( f ) ) 是忠实 的且唯一的设( 允) = ( 办；f ，e ) 是最小q 一函数，( f ) 的预解式，r ( 兄) = ( 兄，一瓯) - 1 是 q 。在上的预解算子断言对五 0 ，r ( 2 ) 和( 名) 作为上两算子相等事实上，因q 。是 生成元，对工c o 和兄 0 有 尺( 名) j = f o e - a t f ( t ) x d t ( 4 ) 其中的积分ec o 的范数拓扑下收敛但是( 五) 满足 办) = r e m 石( f ) 以，v f ，e ，五 0 ( 5 ) 令 e ；o ( 行向量) 是的基， 勺) 凳。( g u l l ! i ! ) 是c o 的基，由式( 4 ) ( 5 ) 我们有 1 7 两南大学硕十学位论文第4 章突变分支矩阵导出的算子与积分半群 = r p 一加 班 = r p 础石( f ) 出 = 办( 允) = ( 6 ) 因s p a n e i ) 和1s p a n e j 分别在和c 0 中稠，而且r ( 4 ) 和( 见) 是上的有界算子，所 以( 6 ) 可得在上r ( 力) = o ( 元) 然后证明q 。cq 1 0 0 对a 0 ，设x d ( q 。) 三t m r ( 4 ) 三l m ( 4 ) ，以及设 x = o ( 4 ) y ，y c o 由1 1 引理4 1 3 ( 4 i q 。) ( 力) y 是有意义的，且 ( 4 i q 。) c d ( 4 ) y = y 这表明瓯c d ( 4 ) y = 4 0 ( 4 ) y y = 4 x y c o ，即q 1 。x c o 故工d ( q 1 0 0 ) 但是作 为c o 上的算子，有4 e p ( 4 ) - i = q 。( 名) ，则 q k x = q 。o ( 1 ) y = ( a ( 五) 一i ) y = q 。c d ( 2 ) y = q 。x 这就表明q 。cq f 。 最后证明q 。= q 。由 6 引理6 2 纵在上是耗散的，从而，对每个 名 0 ，4 1 一q 。在岛上是单的注意到4 1 一q 。是满的，而且4 i q 。c4 i - q 。，由 6 引 理5 5 可得力，一q 。= 4 1 一瓯，从而q 。= 瓯 由前已证得级生成一个正压缩积分半群丁o ) ，且丁( f ) 由式( 3 ) 推得巧( f ) = 石( f ) ，) a 亓i i 定理4 1 1 得证 定理4 1 2 的证明 令q 是积分q 一半群的生成元，则由定理3 1 1 的结论，知瓯是零流出的由e 1 9 中的 命题6 5 得q = q 。即q - - ，l 。在空间乙上生成的压缩积分半群r ( f ) 是积分q 一半群 1 8 两南大学硕+ 学位论文第5 章突变分支矩阵生成的积分半群的性质 第5 章突变分支矩阵生成的积分半群的性质 5 1 突变分支矩阵生成积分半群的性质 定义5 1 1 一个m a r k o v 积分半群丁( f ) = ( t j ；，_ ，e ) 被称为随机单调的，如果当 _ ，i + 1 时，满足 瓦o ) 瓦耻o ) k ：jk = j 定义5 1 2 r ( f ) = ( t o ；，层) 称为是常返的，如果嫩露= 棚： 丁( f ) = ( 乙；f ，e ) 称为是瞬时的，如果l i m t i , j 因此 1 9 两南大学硕十学何论文第5 章突变分支矩阵生成的积分半群的性质 考瓦( 力2 砉f 厶( s ) 幽= r 砉厶( s ) 出 c 妻 。( s ) 幽= 壹f 。( s ) 凼 = 艺k = i ( f ) k - - i 故r ( t ) 是随机单调的 又因最小q 函数，( f ) 是忠实的，故对任意的f e ，f 0 ，都有 砉毛( f ) = 羔k = jf 厶( s ) 凼= f 主k = j 厶( s ) 出= f 凼= f 因t ( t ) 具有单调性，则对任意的j e ，都有 即圭疋( f ) 是关于状态f 的递减函数，又因为气( f ) o ，所以对于固定的j ，圭瓦( f ) 是 k = o k = o 有界的因此，当fj 时，壹瓦( f ) 的极限存在，从而对任意的，e ，f o ，有 k = o ，一l 乃( f ) - 1 i m t 事( f ) = 熄瓦( f ) 一l i m t , , ( f ) 。 卜”：磊。函 定理5 1 4 的证明 由文献 1 ，命题5 3 4 的证明和 2 ，定理4 3 4 知q 过程是常返的当且仅当 ，言，詈乃乃训 存在有界解 且满足。1 - ，i r a 。y i 2 o o 2 0 hr 、脚 = +乃 。砷 一 一瓦 。印 一 = o瓦 、脚 现令乃= i ( f o ) ，则有 ，煮，詈乃= 善i - 1 詈乃+ q i , j + 1 + t d ：争三!+ 坚! 叠i ：”i 1 ：y 三一+ 二2 上兰一= ” 案暑d + + 1 ) 口d + 0 + 1 ) 口 。 f l d j + ( f + 1 ) 2 i asf 2 【d + ( f + 1 ) 口】 i l j = o d ( i 一1 ) + 2 0 + 1 ) 2 口2 i d + 2 i ( i + 1 ) a i 1 若d 2 a ，则上式恒成立，q 一过程是常返的，由定理4 1 1 证明过程中的( 3 ) 式， 舰毛= 舰厶o ) a s = j c o 兀o ) a s = + 此时，) 是常返的反之，当j 2 口时，q 一过程是瞬时的，此时烘毛 帕，r ( f ) 是瞬 时的。 2 1 两南大学硕十学位论文第6 章进一步的问题 第6 章进一步的问题 还有一些值得我们思考和迸步讨论的问题： 本文只讨论了突变分支矩阵q 导出算子瓯在b a n a c h 空间乞上生成一正压缩积分半群 丁( f ) ，我们还可以讨论突变分支矩阵q 导出算子蜴。在空间上生成正压缩积分半群s ( f ) 的 条件此外，积分半群t ( t ) 的性质的实际含义，以及在实践中会有怎样的应用，这方面问题 还需要进一步研究 两南火学硕十学位论文参考文献 参考文献 1 】a n d e r s o nwj ，c o n t i n u o u s - t i m em a r k o vc h a i n s m ，n e w y o r k ：s p r i n g - v e r l a g , 1 9 9 1 【2 c h e r ta n y u e ，z h a n gh a n - j u n ，e x i s t e n c e ，u n i q u n e s s ，a n dc o n s t r u c t i o nf o rs t o c h a s t i c a l l ym o n o t o n eq - p r o c e s s e s j 】，s o u t h e a s ta s i a nb u l l e t i no f m a t h ，1 9 9 9 ，2 3 ：5 5 9 - 5 8 3 【3 l iy a n g - r o n g d u a la n df e l l e r - r e u t e r - r i l e yt r a n s i t i o nf u n c t i o n s j jm a t ha n a la p p l ，2 0 0 6 ，3 1 3 ( 2 ) ：4 6 1 - 4 7 4 【4 c h e na n y u e ，p h i lp o l l e r ，z h a n gh a n - j u ne t a l ，u n i q u e n e s sc r i t e r i af o rc o n t i n o u n s - t i m em a r k o vc h a i nw i t h g e n e r a lt r a n s i t i o ns t r u c t u r e 【j 】，j a d v a p p l p r o b ，2 0 0 5 ，3 7 ( 4 ) ：1 0 5 6 1 0 7 4 【s a p a z y , s e m i g r o u p so fl i n e a ro p e r a t o r sa n da p p l i c a t i o n st op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m , n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 【6 】l iy a n g - r o n g , c o n t r a c t i o n n t e g r a t e ds e m i g r o u p sa n dt h e i ra p p l i c a t i o nt oc o n t i n u o u s - t i m em a r k o vc h a i n s 叨 a c t am a t hs i n i c a , 2 0 0 3 ，1 9 ( 3 ) ：6 0 5 6 18 【7 j r d e l a u b e n f e l s ，e x i s t e n c ef a m i l i e s ，f u n c t i o n a lc a l c u l ia n de v o l u t i o ne q u a t i o n s m ，b 盯l i n ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 4 8 d s i e g m u n d ，t h ee q u i v a l e n c eo f a b s o r b i n ga n dr e f l e c t i n gb a r r i e rp r o b l e r n s j ，a n n p r o b a b ，1 9 7 6 ，4 ：9 1 4 9 2 4 【9 】w q z h a o ，y r l i ，r e s t r i c t i o no fm a r k o vi n t e g r a t e ds e m i g r o u p sa n dg e n e r a t i o no fi n c r e a s i n g i n t e g r a t e d s e m i g r o u p s j 】，a c t aa n a l y s i sf u n c t i o n a l i sa p p l i c a t a , 2 0 0 5 ，2 ：1 3 7 1 4 5 【1 0 z h a n gh a n - j u n ，c h e na n - y u e ，s t o c h a s t i cc o m p a r a b i l i t y a n dd u a l q - f u n c t i o n s j ，j m a t h a n a l a p p i ，19 9 9 ，2 3 4 ：4 8 2 - 4 9 9 1i 】y 凡l i ，c o n t i n u o u so ng e n e r a t i n gc o n t r a c t i v es c m i g r o u p sf o rb i r t h - d e a t hm a t r i c e s j ，a c t aa n a l y s i s f u n c t i o n a l i sa p p l i c a t a , 2 0 0 1 ，1 ：2 4 - 2 8 【1 2 c h e n r 凡，a n e x t e n d e dc l a s s o f t i m e - c o n t i n u o u s b r a n c h i n g p r o c e s s e s j ，a p p l p r o b a b ，1 9 9 7 ，3 4 ：1 4 2 3 【13 c h e na n y u e ，p h i lp o l l e r ，z h a n gn a n j u n ，l ij u n p i n g ，t h ec o l l i s i o nb r a n c h i n gp r o c e s s 叨，j a p p l p r o b ，2 0 0 4 ， 4 l ( 4 ) ：1 0 3 3 - 1 0 4 8 【1 4 p a t s yh a c c o u ，p e t e rj a g e r s ，v l a d i m i ra v a t u t i n ，b r a n c h i n gp r o c e s s e s ：v a r i a t i o n ，g r o w t h ，a n de x t i n c t i o no f p o p u l a t i o n s 【m 】，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 5 【1 5 b r o c k w e i lp j ，g a n ij ，b i r t h ，i m m i g r a t i o na n dc a t a s t r o p h ep r o c e s s e s 【j 】，a d v , a p p l ，p r o b ，1 9 8 2 ，1 4 ：7 0 9 7 3 1 西南大学硕十学位论文参考文献 1 6 l vx i u - j i e , l iy a n g - r o n g m o n o t o n i c i t ya n df e | l e r - r e u t e r - r i l e yp r o p e r t yo ft h ep o p u l a t i o ns c m i 霉 o u p sw i t h g e o m e t r i cc a t a s t r o p h e j ，j o u r n a lo fs o u t h w e s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y , 2 0 0 7 ，2 9 ，4 , 2 8 2 9 ，51 - 5 3 【17 a n y u ec h e n ，e r g o d i c i t ya n ds t a b i l i t yo fg e n e r a l i z e dm a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t hr e s u r r e c t i o n j ，a p p l p r o b ，3 9 7 8 6 8 0 3 ( 2 0 0 2 h ) 【i8 a n y u ec h e r t ，g e n e r a lh a r r i sr e g u l a r i t yc r i t e r i o nf o rn o n - l i n e a rm a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s e s j ，s t a t i s t i c sa n d p r o b a b i l i t yl e t t e r , 7 6 ( 2 0 0 6 ) 4 4 6 - 4 5 2 【19 l iy a n g - r o n g , l ij i a , m a r k o vi n t e g r a t e , ds e m i g r o u p sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n st oc o n t i n u o u s - t i m em a r k o v c h a i n s j ，i n t e g e q u o p e r t h ，2 0 0 8 ( 6 0 ) ：2 4 7 - 2 6 9 2 0 r d e l a u b e n f e l s ，i n t e g r a t e ds e m i g r o u p s ，c s e m i g r o u p sa n dt h ea b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m j ，s c m i g r o u pf o