（基础数学专业论文）紧凸集值函数的绝对连续和有界变差及其aumann积分表示.pdf

摘要 本文利用形空间中紧凸集的支撑函数将集值函数转化为实值函数， 采用经典实分析的方法对集值函数进行了讨论首先讨论了r n 中的紧 凸集与其支撑函数之间的关系，并得到了充分必要条件；其次给出了 集值函数a u m a n n 积分的刻划定理最后讨论了集值函数的可测性、有 界变差性质、绝对连续性、及a u m a n n 积分，得到有界变差集值函数 与a u m a n n 积分之间的关系，总变差与a u m a n n 积分的关系，即给出了 总变差的a u m a n n 积分表示，并指出了集值函数的n e w t o n - l e i b i n i z 公式 成立的充分必要条件； 关键词：集值函数；支撑函数；有界变差；绝对连续；a u - m a n n 积分：弱导 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n v e r tt h es e t v a l u e df u n c t i o nt oar e a l - v a l u e df u n c t i o nb yu s i n gt h es u p p o r tf u n c t i o no ft h es e t ，a n dt h e nw ed i s c u s st h e s e t v a l u e df u n c t i o nb ym e a n so ft h ec l a s s i c a lr e a la n m y s i s t h i sp a p e rd e a l sw i t ht h ec h a r a c t e r so ft h es u p p o r tf u n c t i o n ) a u m a n n i n t e g r a l ，b o u n dv a r i a t i o na n da b s o l u t ec o n t i n u i t y f i r s t l y , w eo b t a i ns o m e c h a r a c t e r so ft h es u p p o r tf u n c t i o no fc l o s e d c o n v e xs e t s e c o n d l y , u s i n gt h e s u p p o r tf u n c t i o n ，t h ea u m a n ni n t e g r a lo fs e t v a l u e df u n c t i o nc a nb ec h a r a c t e r i z e db yt h ei n t e g r a b i l i t yo fr e a l v a l u e df u n c t i o n t h i r d l y , t h er e l a t i o n s b e t w e e nt h ei o t a lv a r i a t i o n so fb o u n dv a r i a t i o nf u n c t i o na n di t sa u m a n n i n t e g r a b i l i t ya r ed i s c u s s e d ，i et h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o no fa u m a n ni n t e g r a t i o nf o rt h et o t a lv a r i a t i o no ft h eb o u n dv a r i a t i o nf u n c t i o n f i n a l l y , t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h en e w t o n l e i b n i zf o r m u l ai nt h e s e n s eo fa u m a n ni n t e g r a li s 百v e n k e y w o r d s ： s e t v a l u e df u n c t i o n ，s u p p o r tf u n c t i o n ，b o u n dv a r i a - t i o n ，a b s o l u t ec o n t i n u i t y , a u m a n ni n t e g r a l ) w e a k l yd i f f e r e n t i a l i i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：叠鬈1 日期：五年五月竺日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文 的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保 密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：j 耻导师签名：二型垒幽期：必月皇日 i l j l 刖吾 集值分析是2 0 世纪4 0 年代以后蓬勃发展起来的一个现代数学分支，作为建立非线性 问题数学模型，解决非线性问题的数学理论有力工具，它已成为非线性分析的重要组成 部分，在控制理论和微分对策、数理经济学和决策论、非线性最优化、生物数学以及拓 扑学、泛函分析、变分学、逼近论、凸分析与非光滑分析、微分方程与微分包含等众多 领域内有着广泛应用，它的思想方法已经渗透到许多社会科学，自然科学以及技术领域 的研究中简单的说，集值分析是拓扑学、泛函分析、抽象代数等现代数学学科基础上 研究集值映射的极限、连续、可微、可积等分析性质及其应用的一个现代数学的领域 1 9 6 5 年，a u m a n n 2 4 利用可积选择的方法定义了一种集值映射的积分并讨论 了积分收敛定理，我们称其为集值映射的a u m a n n 积分；1 9 7 8 年，h i a i 证明了集值 映射的r a d o n - n i k o d y n 定理；1 9 7 0 年，a m r u s s e l l 定义了实值函数的r s u 积分，它 是r i e m a n n s t i e l t j e s 积分的扩展，1 9 9 3 年，w uc o n g x i n 首先将r s u 积分的概念引入到区 间值映射上，并且证明了其积分的存在性；2 0 0 0 年w hc o n g x i n ，g o n gz e n 昏a i 【2 8 引入 了区间值函数的h e n s t o c k 积分，并给出了积分刻划定理；1 9 9 4 年，x u ex i a o p i n g ( 3 2 等 人以p e t t i s 积分为工具建立了集值映射的p e t t i s - a u m a n n 积分，给出了积分的存在性，证 明了l e v i 收敛定理；1 9 7 6 年，d e b 1 a s i 引入了从一类b a n a c h 空间到另一类b a n a c h 空间中 的紧凸集的集值映射的n 6 c h e t 导数的定义；1 9 8 1 年，a u b i n 利用集值映射的图象的切锥 定义了集值映射的切锥导数并将其应用到集值向量优化中；1 9 9 8 年，王志青讨论了集值 映射的一种广义微分，给出了其存在性；2 0 0 3 年，王明征引入了集值映射的e i p - 导数， 将其认为是实值l i p s c h i t z 函数的c l a r k e - 广义方向导数的推广，并应用到集值向量优化 中；2 0 0 1 年，w uj a n g r o n g 1 5 利用支撑函数定义了集值映射的弱导数，并且讨论了集值 映射的弱导数与集值映射p e t t i s - a u m a n n 积分的关系本文利用集值映射的支撑函数， 把经典分析与集值分析相结合，通过对支撑函数的讨论，得到舻中紧凸集与其支撑函 1 前言 数之间的关系，并用实值函数的l e b e s g u e 移 分刻划了集值映射的a u m m a n n 积分，讨论 了有界交差集值映射，绝对连续集值映射的性质，以及集值映射的弱导数和导数 本文包括了四部分，第一部分作为预备知识，介绍了后面讨论时所需的有关集值 映射的基础知识和相关概念：第二部分讨论了彤中紧凸集的支撑函数的性质，指出了 紧凸集与其支撑函数之间的关系；第三部分给出了a u m a r m 积分的刻划定理，并讨论了 集值映射的弱导与可导：第四部分讨论了集值映射的有界变差和绝对连续性质，得 到有界变差集值映射的总变差的a u m a n n 积分表示，以及对集值映射的a u m a n n 积分而 言n e w t o n - l e i b n i z 公式成立的条件 2 1 预备知识 本文中t 为实直线r 上的闭区间，即t = 【a ，纠，t 表示丁中的元素，i r i 为区间t 的长度 记r ( 伊) 为n 维欧氏空间r “上的非空紧凸集，其上的运算定义如下：设a ，b 最( 2 矿) ，a r ，则 以 - k b = 。+ i z a ，y b ) ，a a = o 嚣j 。a ) ， 如果存在z r ( 舒) ，使得a = z + b ，则z 叫a 与b 的h 差记为a b 对a ，b 最( r “) ，a 与b 之间的h a u s d o r f f 距离定义为 她b ) = “ s 刚u p i n f i i - h i l ，s 蛐u p 鹚 。 定义6 只( 酽) 为 。镌篡篡： 口 ，a ) = s u p 其中z s t l1 是r “中的单位球面，即扩一1 = 如舻l l l x l l = 1 ) ， 是口中的内积 定理1 1 ， ，叫，e ，6 斥( 舻) ，则 ( 1 ) ( r ( 舻) ，d ) 是完备度量空间； ( 2 ) d ( a u ，a ) = l a l d ( 让， ) ，a r ； ( 3 ) d ( u q - ，口- b w ) = ：d ( n ， ) ； ( 4 ) d ( u + ， + e ) d ， ) + d 扣，e ) ； ( 5 ) d ( u + ，6 ) d ( “，6 ) + d ( v ，6 ) ； ( 6 ) d ( “+ w ) sd ( 让，叫) + d ( ，6 ) 3 1 预备知识 证明 ( 1 ) 见【2 】，( 5 ) ，( 6 ) 可直接由( 4 ) 得到( 2 ) ，( 3 ) 结论显然，以下证明( 4 ) d + 口， + e ) d ( u + u ，u + ) + d ( v + ， + e ) d ( ， ) + d ( v ，e ) 定义1 1 【l o 设( q ，q 为可测空间，f ：n r ( 舒) ，若对任一开集uc 彤中 有f - 1 ( u ) = 扣a i f ( w ) n u 甜a ，则称f 为可测的 定义1 2 【1 6 】设，4 ) 为可测空间，f ：n r ( 册) ，若，：n r “为f 的一个选择 且，可测，则称，为f 的一个可测选择 定义1 3 1 6 】f ：n r ( 印) ，若f ：n r ”为f 的一个选择，且，可积，则称，为f 的 一个可积选择 定理1 2 16 】：q p k ( r ”) 可测，m = 1 ，2 ，则矿) = 西j 丽，) = n 。b ( u ) 为可测映射 定理1 3 5 】设( q ，4 ) 为可测空间，f ：n 一斥( 舒) 为可测映射，则f 存在可测选择 定义1 4 【2 5 l 设f ：t r ( 印) 在t o t 可导是指存在f ( t o ) r ( 册) ，使得极限 l i m f ( t o + h 。) - f ( t o ) 1 i m f ( t o ) - f ( t o - 危) 一o+h-+0+h 相等且收敛于一( t o ) ，记为p ( t o ) _ 定义1 5 【2 4 】设f ：t r ( j p ) ，f ( t ) 在t 上的a u m a n n 积分定义为：f t f ( t ) d t = f tf ( t ) d t ：，：r r n ，是f 的可积选择) ，记为bf ( t ) d t 4 52 紧凸集的支撑函数的性质 定理2 1 “， ，最( 口) ，z ，y 伊，则 ( 1 ) a ( x + y ， ) 口( 。，铷) + 口( ”，乱) ； ( 2 ) 当o 时，a ( k z ，“) = k a ( x ，u ) ； ( 3 ) 口( z ，u ) 关于ze - 1 一致有界，且有l 盯( z ，u ) i s u pi i n l l ； a e u ( 4 ) 口( z ，“) 关于z s n - 1 一致l i p s c h i t z 连续，且有 i a ( z ，u ) 一o ( y ，u ) l ( s u pl l a l l ) l l x 一i l n ( 5 ) d ( u ，u ) = s u p1 口( z ，“) 一f f ( x ， ) l ； f s ”一1 ( 6 )a ( x ，u + 即) 一盯如，u ) + 盯 ，郇) ； ( 7 ) 当o 时，k a ( x ，u ) = 口( z ，u ) 证明 ( 5 ) 见【2 2 ，以下证明其它几个性质， ( 1 ) a ( x + y ，u ) = s u p n u = s u p + ) n “ s u p + s u p a e ub e , j = 口扛，) + a ( y ，u ) ( 2 ) 当k o 时，口( 自z ，u ) = s u p a e u ( 3 )盯( z ，u ) = s u p s u p l l z 0 | | 口l i 口n “ s u p k = k s u p = k a ( x ，牡) n ua e u s u p0 d ” 一口( z ，) = 一s u p s u p s u p l | 一z l l l l o l l = s u p | 1 0 0 口e un ub u o u 因此口( 让) 关于z s - 1 一致有界，且有f 口( 。，u ) i s u p | a e u ( 4 )由( 1 ) 知o ( 。，) 关于。是次可加的，则 5 2 紧凸集的支撑函数的性质 盯b ，u ) + o ( x y ，u ) ， 因此 盯( z ，乱) 一盯( 可，牡) a ( x y ，u ) = s u p a e u s u p f | 日洲口一y f | o “ ( s u pf t a f l ) l l z 一圳 口u 同理可得，一( p ，u ) 一一( z ，“) ( s u p a 1 1 ) l l x u l l ，即 o i a ( z ，“) 一o ( y ，让) j ( s u pj l a l i ) lj x 一吡 a e u ( 6 ) 盯扛，札+ ) = s u p n + ” = s u p o u b e y = s u p + ) a e u ，b e y = s u p + s u p a e u b e y = 矿( 。，u ) + 盯( 。，廿) ( 7 ) 兰j 后o 时，k a ( z ，乱) = k s u p = s u p k = s u p = o ( z ，忌t 正) 定理2 2 设a 是舒中的非空紧凸集，。s “，则a = r i 盯( 茁，a ) ，z s u 一1 ) 证明 设口= 妇彤。i 口( 。，a ) ，z s - - 1 ，acb 显然，下面证明bca 假设存在9 b ，但y 岳a ，则存在唯一的z a 使得 d ( ，a ) = i l y z l 0 ( 2 - 1 ) 取= 峙y 一- ：z 1 1 s ”，存在n a ，使得口( 铷，a ) = s u p = ，因为g b b e a 则 sa ( z o ，a ) = ，所以， ，即 0 ( 2 - 2 ) 6 定理2 4 2 紧凸集的支撑函数的性质 若n = z ，贝j l l y z l l 2 = o 与( 2 - 1 ) 矛盾，因此z ，此时o z l l 2 = 0 设危o ) = t z + ( 1 一t ) o ，t r ，9 ( t ) = 0 一h ( t ) 1 1 2 = = t 2 一2 t + ，则9 7 ( t ) = 2 t 一2 - 假蜘协o ) = 0 ，妣= 业 = 瞥 若t o 1 ，则 ，即 0 ( 2 - 3 ) 由( 2 - 2 ) ，( 2 - 3 ) 有 ，e p i l y z l l 2 = o - 与( 2 1 ) 矛 盾 若t o 0 ，则 0 ( 2 - 4 ) 由( 2 - 2 ) ，( 2 - 4 ) 有 ，即j j 一口| | 2 = 0 ，使得acb ( 6 ，l ) ，其 中口( 6 ，三) 表示以6 为中心，以三为半径的闭球 7 52 紧凸集的支撑函数的性质 设a 是r 叫，的非空紧凸集，a 有界的充分必要条件是：口( z ，a ) 有界 证明 必要性，设a 有界，则存在l 0 ，使得acb ( 6 ，l ) ，因此任s , 1 - 1 有 s u p s u pi lz 川ai i = s u p0a 峪l ， 口ad an 即盯( z ，a ) l ，因此a ( z ，a ) 有界 充分性，设口( ，a ) l ，v a a 有 矿( z ，a ) 三 特别地，对跏= 龠s n ，有 = j | 0 1 1 l 定义2 2 设，( z ) 为定义在t 上的凸函数，任z t ，定义，( 。) 如下： ，( 聋) = 地f z ) 记k ( ，) = z t l f ( x ) 0 ( 2 - 5 ) 取。2i 券知s n - 1 存在n a ，使得口( 铷，a ) = s 6 u a p = t 因为可y ， 9 2 紧凸集的支撑函数的性质 则 a ( x o ，a ) = ，所以， ，即 0 ( 2 - 6 ) 若o = z ，则怕一z l l 2 = o 与( 2 - 5 ) 矛盾，i n l 比a z ，此时忙一z l l 2 = 0 设h ( t ) = t z + ( 1 一t ) a ，t r ，g ( t ) = 1 1 一h ( 0 1 1 2 = = t 2 一2 t + ，则9 o ) = 2 t 一2 假设矿( 如) = 0 ，则t o = s 贮z - - 竺a 生, z - - 二生a ) , = 三带半 若t o 1 ，则 ，即 0 ( 2 - 7 ) 由( 2 - 6 ) ，( 2 - 7 ) 有 ，即0 9 ze 1 2 = o - 与( 2 5 ) 矛 盾 若t o 0 ，则 0 ( 2 - 8 ) 由( 2 6 ) ，( 2 - 8 ) 有 ，即i i 可一a l l 2 = 0 ，矛盾 因此，若9 ，( z o ) = 0 ，有如 0 ，1 ) ，此时9 ( z ) = 怕一 ( 圳2 最小，由o ，z a ，t o 【0 ，1 ) ， 有h ( t o ) a ，且 ( t o ) = t o z + ( 1 一t oa z ，与2 的唯一性矛盾所以矿c a ，即a 是紧凸集 设口( z ) 是正齐次闭凸函数，由于口( z ) 是闭凸函数，由闭凸函数的性质【1 4 ，性质1 2 1 1 有： 仃( 。) 一矿( 。o ) ，z ，z o s 帆一1 ，可钟 当t 1 时有，由口( z ) 是正齐次函数得， 巾) 一吣。) = 巾) 一矿( ；跏) 一( 跏) 一a ( 嚣) = 一( 知) 一a ( z ) s ，扣一一 当t _ o o 时，有盯( z ) = s u p 1 n 2 紧凸集的支撑函数的性质 由于口( z ) 是闭函数，因此盯( 。) 是有界集矿= 妇i a ( 王) ) 的支撑函数 任l ，y 2 v 【o ，1 1 ，有 = + = a + ( 1 一a ) = a a ( y 1 ) + ( 1 一a ) 盯渤) 盯( 。) 所以y 是凸集 任z 。一z ，因为 是连续函数， l i r a = 矿( 。) ， 所以v 是紧集 定理2 6 设 ) 墨1 是即中的一列有界紧凸集，若岛cc 忆+ 1 ( 或 c ，l + 1 ) 则存在紧凸 集c = 霹圣五( 或c = n 怒。c n ) 使得口( 。，) 单调收敛于口( 石，c ) 证明 设岛cc n + l ，令c o = u 鲁l ，1 ，。2 c 0 ，存在i 1 ，i 2 使得札岛l ，x 2 取如= m a x 1 ，i 2 ) ，则q 。) q 。，臼。 c 4 2 ，从而，x l ，t 2 c 4 0 , 又为紧凸集，故枞【0 ，1 1 ， 有a z l + ( 1 一a ) z 2 cc o ，即句为凸集取c = 丽，则c 为紧凸集 t i e t r ( z ，岛) 单调增加收敛于盯( 文c ) ，由定理2 3 ，v x 铲，序列 口( z ，白) ) 凳1 单调增 加，且对任意的侑 口( z ，c n ) 口( z ，c ) ， 所以v 石s “一1 有， h m 口( z ，c 。) 墨口( z ，c ) 任i r y o c 0 ，则存在n o 使y o c n 。，从而 s u p l z c 。) 又c ncc n + 1 ，故v 1 ， 冬s u p i z c n 。+ b ) 1 1 2 紧凸集的支撑函数的性质 即有 ! i 坠s u p l z c 。o + ) + o 。 = 鱼s u p i z ) k + o 。 = ! i 盟口( z ，仇) r + = 1 i m 口( z ，o k ) 从而，s u p i y o c o 1 i m 口( z ，c ) ，即 口( z ，c o ) 。l i 1 盯( z ，c 矗) 因此 口扛，c ) 1 i mo ( x ，) ， 所以l i mo ( 。，a n ) = o ( ，c ) ，即口( z ，) 单调增加收敛于a ( z ，c ) 设 岛+ 1 ，令c = n 器1 ，则c 为有界紧凸集下证口( z ，岛) 单调下降收敛于口( 。，c ) 由定理2 3 ，v x s ”1 序列口( z ，) 是单调下降的，且对任意的n ，有o ( x ，a n ) o ( x ，c ) ， 因此，比s ”1 t ! _ 骧口( z ，岛) o ( x ，c ) ，又 在伊- 1 上连续，因此存在c r i 使 得，o ( x ，岛) = s u p i y ) = 成立，故可得点列 玑) 甚l c l ，骱 ，1 ) 而c 1 为舻的有界紧凸集，故 ) 器，中有收敛子列，不妨设其收敛于跏c 1 ，下 证y o c 若不然，则存在n 。，使得珈舞岛。，故咖n o ，y og ，但是为闭集，此与熙y n2 蜘矛盾从而y o c ，有 盯0 ，c ) = l i m = l i m 盯忙，c n ) ， 故：骢a ( z ，) = 一( z ，c ) ，一( z ，) 单调下降收敛于盯( 。，c ) ， 定理2 7 设 ) 是舒中的一列闭凸集，p ( z ，) 是 的支撑函数，则 ( 1 ) s u p 口( z ，) 是 0 = i ) 的支撑函数 ( 2 ) i n fa ( x ，) 是 n m ) 的支撑函数 1 2 2 紧凸集的支撑函数的性质 证明 ( 1 ) 设= o 。，c = 丽，比s “一1 盯( z ，c ) = s u p = s u p = s u ps u p y e c”如 my e c m 所以s u p o ( x ，) 是 嘶 的支撑函数 m ( 2 ) 设c = n 。c m y c 铮v n ，y 甘v m ， 盯( z ，) 辛 i 2 f 盯( x ，) 所以i n f a ( x ，) 是 n 。) 的支撑函数 m 53 集值函数的a u m a n n 积分刻划及导数 定理3 1f 2 】2 设集值函数f ( t ) ：t 一最( 舒) ，下列说法等价 ( 1 ) f ( ) 是可测函数 ( 2 ) 存在f ( ) 的可数可测选择列 ( )t 一舻，m ) 使得f ( t ) = 石耳) i 丽i 1 叮 定理3 2 设集值函数f ( t ) ：t r ( 舻) ，下列说法等价 ( 1 ) f ( t ) 是可测函数 ( 2 ) 对任z s 一1 ，口( 。，f ( t ) ) 在t 上是可测函数 证明 “( 1 ) 辛( 2 ) ”设f ( t ) 是可测函数，由定理3 1 知，存在可数可测选择列 ，m ( t ) t 一舻，m ) 使得f ( t ) = 百= 葡i 再；丽，因此，v a f ( f ) ，v z 伊，有 即有， 显然有 因此 s u p m s u p s u p aef(t)”o s u p s u p 口( 置f ( t ) )s u p d e f ( t ) = s u p m 设如( 口) = ，z s “，y 形，则任茹s “，如：舻- - - 4 冗是连续映射， 令( 菇厶) ( t ) = 如( ，m ( t ) ) = ，由于 是连续函数且厶( t ) 是可测函数，由实 分析知识知( 虻，m ) ( t ) 是可测函数，n 此o ( z ，f ( t ) ) 是可测函数 1 4 3 集值函数的a u m a n n 积分刻划及导数 且有 因此 “( 2 ) = ( 1 ) ”设o ( x ，f ( ) ) 是可测函数，s ”1 存在a o f ( t ) 使得 = s u p = o - ( x ，f ( t ) ) e f ( t ) s u p = a ( - - x ，f ( t ) ) a e f ( t ) 一盯( 一。，f ( t ) ) s 一 = = o - ( x ，f ( ) ) 令h 。( t ) = 妇形i a ( - x ，f ( t ) ) 一( 。，f ( t ) ) ) ，下证k ( f ) 是可测的 设 n ，k ) 是 o ，1 】中的所有的有理数，4 g k ( t ) = 帆( 一口( 一z ，f ( ) ) ) + ( 1 一讯) 口( $ ，f ( t ) ) h ( t ) = g 舻i = g k ( t ) ) 任固定珈k ( t ) ，令s = 币筹篙等与；i 高 显然s 【0 ，l 】，因此 口i ，) 中存在子列 n i ) ，使得l i r ao l k = s ，令s = o t k 。( 一o ( x ，f ( t ) ) ) + ( 1 一o t k 。) 口协，f 0 ) ) 一 ，玑= y o + s 净，则 慨一y o l l = 恢圳1 = 蚓忙i i = 一0 ，( i 一。o ) 即l i m 玑= y o ，因此 = = + 矗 = 十岛 = q h ( 一口忙，f ( t ) ) ) + ( 1 一a 屯) 口忙，f ( t ) ) = 吼i ( t ) 从而，玑危h 0 ) ，即珈u k n h k ( t ) ，因此k ( t ) c 1 3 t , e n h l 。( t ) 另一方面，由于 是连续函数，故有k ( t ) 是闭集函数，从而瓦；无i 而ck ( t ) ，因 此有， 。( t ) = 瓦：而忑万 t f l h ( t ) 是可测函数设矿c 船，令巩= i y c 厂) ，任t h i l ( u ) ，“( t ) n u o ，e p y 伊i = 鲰( t ) ) nu 0 ，则存在y o u ，使得 = 弧( t ) ，因 此弧( ) 巩，即t 鳕1 ( 巩) 】5 3 集值函数的a u m a n n 积分刻划及导数 另一方面，如果g f l ( 巩) 则蚰( t ) 以，则存在蜘u ，使得 = 鲰( t ) ，因 此吼( t ) n u = 妇尼。i - - - - 啦( t ) n u 0 ，即t 9 一( 矿) 由口 ，f ( ) ) 可测得9 k ( t ) 可 测，从而k ( t ) 是可测函数因此 饥( t ) ) 是h 。( ) 的可测选择，由定理3 1 知k ( t ) 是可测集值 函数令 m ) 是舻- 1 中所有有理点列，贝峨i l p * i i 是护- 1 中的稠密子集，显然 p ) 是可数集 令 ) k 是驴。中的可数稠密子集 下证n 七 。k ( t ) = 亿s l h 。( t ) 任z s n - 1 ，存在 。k 。， 嚣k ) 七，l t l i mz k = z ， 如果m k 。( t ) ，则n 有 一盯( 一z ，f ( t ) ) a ( x k 。，f ( t ) ) ， 由于支撑函数是连续的，因此 。l 。i m 。一t t ( x k t ，f ( t ) ) = 一a ( z ，f 0 ) ) ， j i r af 7 ( x k i ，f ( t ) ) = o ( x ，( ) ) 由m n = 得， 一旷( 一z ，f ( t ) ) o ( x ，f 0 ) ) 因此有n 。p 一k ( t ) ，即n k 。( t ) cn 。即一- h 。( t ) ，显然有n 。6 s n - i k ( t ) n k e n h 。( t ) ， 故 心s n 一，k ( t ) = n k k 。( t ) 由定理2 ，2 知f ( t ) = 妇i o ( x ，f ( t ) ) ) ，由上面的讨论可以得到 f ( t ) = n 。s n t h ；( t ) = n k 。( t ) 假设u 是，p 中的开集， f 。1 ( = t l f ( t ) n u 田 = 俐nk nu 吣 k e n = n 矧k n u 峨 k 由于h ( 亡) 是可测的故f ( t ) 是可测函数 定理3 , 3 集值函数f ( t ) ：t 一最( 郧) ，f ( ) 在t j ：a u m a n n 可积，则f ( t ) 可测 1 6 3 集值函数的a u m a n n 积分刻划及导数 证明 设厶( 亡) 是f ( t ) 的可积选择，则，m ( t ) 是可测的，令 = f ( t ) n b ( f m ( t ) , 1 2 ) , t et v a f ( t ) ，存在。m b ( 南( t ) ，l 2 ) ，使得1 静o m = o ，d ( g m ，i ( t ) ，。) d ( g m ，t ( t ) ，a m ) + d ( a 。，o ) s ，由n 的任意性知，f ( t ) = 瓦磊；= = ：= 两，由定理3 1 知f 0 ) 是可测的 定理3 4 集值函数f ( t ) ：t r ( 彤) ，f ( t ) n - t 测且积分有界，则f ( t ) 在t 上a u 一 证明 由于j ( t ) 司测，由定理3 1 存在司数可测选择歹0 壬m ( t ) ，使徊t f ( t ) = u 。圣。( t ) 因为f ( t ) 积分有界，则存在l e b e 8 9 l l e 可积函数 ：t 一舒，使得v m 有l i 圣。( 圳 i n z 即) 哪 一u p a + ( 1 叫 i n 上邢) 出) s u p i n 上f ( t ) 出) + s u p ( 1 一a ) i 。z f ( t ) 出) = 圳。，上耶) 出) + ( 1 叫巾，上即) d f ) 胞a a ( z ，j f ( t ) 出) 为凸函数 由于b f ( t ) 出是有界集，则k p ( z ，f t f ( t ) d t ) ) = 伊，故咖，x o s ”，有 ：骧一( z ，上f ( t ) 出) 2 ：骧s u “ l ae 上f ( t ) 出) 。屺o j t 4 一邱 j t 由于 是扩一1 a 上的连续函数，从而 在一1 厶f ( t ) 出上一致连续，因此 8 u p l 。f ( 。) 出) = 。1 + i m 。s u p ( aejt j t f ( t ) 出) $ + z 0 2 8 “p i 。二刖出) ， 1 7 3 集值函数的a u m a n n 积分刻划及导数 即 一l i r a 。( z ，上f ( t ) 出) = ! 骧盯( z ，上f 出) = 一( z f ( t ) 出) ， 所以盯( 。，厶f ( t ) 出) 是闭函数 任取t 0 ，有 一泓，z f ( 啪= s u p 陋z f ( 力出 tj 个 = s u p ( t f f ( t ) d t ) = t s u p f 口f ( t ) d t = 打( 墨上即) 妫， 所以a ( z ，f t f ( t ) d t ) 是正齐次的由定理22 及定理25 有厶f ( t ) 出是舒中的紧凸集 即f ( t ) 在k6 上a u m a n n 可积 定理3 51 2 ) 设集值函数f ( 亡) ：t p ( 舻) ，f ( 习可测，并且厶f ( 力出非空，设7 r 是彤上 的线性形式，则s u pn ( ，f ( t ) d t ) = fs u pr ( f ( t ) ) d t ( p ( 舻) 是毋所有子集) 定理3 6 设集值函数f ( t ) ：t r ( 口) ，f ( t ) 可测且积分有界，则 s n _ 1 有s u pa ( x ，f ( t ) ) i ( t ) ，且口( 。，f ( ) ) 可积，并且 口( 岔，f ( t ) d t ) = 口( 2 ，f ( t ) ) d t j tj t 反之，如果任z s “，o ( x ，f ( t ) ) 在t 上可测，且存在l e b e s g i l e 可积函数 ：t r 1 ，使 得s u pi 口( z ，f ( t ) ) l 危( t ) ，则f ( t ) 可积，并且上面等式成立 证明 由f ( t ) 可测且积分有界知，f ( t ) 是a u m a n n 删 ，即口( z ，lf ( t ) 出) 有意义， 因为f ( 站积分有界，则存在l e b e 8 9 i l e 可积函数 ：t 一酽，使得f ( t ) ，1 1 圣1 1 ( ) ，因 此v z s ”一1 有 i 口扛，f o ) ) i s u p1 i s u pi l y l i 九( t ) y f c t )f ( ) 因此，s u p ia ( z ，f ( t ) ) i ) 由于f ( t ) 可测，根据定理3 2 任z 伊，口( z ，f ( t ) ) 在趾 2 e s “一1 可测，由实分析的结论知一( z ，f ( t ) ) 可积 3 集值函数的a u m a n n 积分刻划及导数 令订。： i f , 一r 1 ，( ) = ，z 伊，显然是酽上的线性形式， 上仃( 。，f ( t ) ) = 上，s u p ) 出= , j t s u p 亿( f ( t ) ) 出， j t j r ” 口( 2 ，f ( t ) d t ) = s u p = s u p ，r x ( f ( t ) ) d t j t y e b f ( t ) i t 由定理3 5 知止s u p 亿( f ( t ) ) 出= s u p v 。( f t f ( t ) d t ) ，故 巾，z 即) 出) = z m ，邢) ) 出 反之，任z s ”1 ，o ( x ，f ( t ) ) 在t 上可测，则f ( ) 可测，由于存在l e b e s g u e p t 函 数h ：t r 1 ，使得s u pa ( x ，f ( t ) ) i ( t ) ，即有，v y f ( t ) ， l f s u pi 盯( z ，f ( t ) ) i ( ) ， 设e l ，e 2 ，是r “的基，则 = ( e 譬1 i 1 2 ) 1 7 2 ( 距。( ) 2 ) 1 7 2 = v r 元h ( t ) ， 令9 ( t ) = 何 ( t ) ，显然9 ( t ) l e b e s g u e i 积，且l l y l l 9 ( t ) ，因此，f ( ) 积分有界，由定 理3 4 得f ( 可积，由前面的证明知等式成立 定理3 7 积分有界集值函数f ( t ) ：t r ( r r 。) ，在t 上a u m a n