（基础数学专业论文）违约风险下的美式期权：定价及执行策略.pdf

摘要：在美式期权中考虑违约因素是一个很典型的问题。违约风险的存在不仅 影响到期权执行方主观执行策略的选择，而且通过对执行策略选择的影响，进 而影响期权定价。这些都与无违约风险的情形有着很大的区别。本文通过所谓 的财富过程对有违约风险的美式买权进行复制，从而得到此期权的无套利价格。 随后我们又对期权执行方的执行策略选择问题进行了讨论。 关键字：美式买权；违约风险；s n e l l 包；复制策略 v i i 本文以美式买权为例，主要讨论了具有违约风险的美式期权的定价问题及 违约条件下美式期权执行策略的选取问题。 期权定价问题的研究由来已久，现在已经成为金融数学的一个重要分支。 在当今社会，期权已经成为金融领域个最重要的工具之一，而且还在目新月 异的不断丰富和发展。对期权定价问题的研究，不仅是期权自身日益发展的迫 切需要，而且对于定价问题的研究，使我们发展了许多理论和实践意义非常大 的方法，这些方法本身反过来促进了期权等金融工具的更大发展。 违约现象是经济生活中常见的现象。在传统的期权定价问题中考虑违约因 素，研究违约风险存在的情况下，期权的定价会出现怎样的不同情况，这是一 个理论和实践意义都非常重大的问题。本文研究了具有违约风险的美式买权的 定价问题及一些相关的问题。 文章的第一章介绍了期权定价问题中涉及的一些基本的概念以及期权定价 问题的研究历史及现状。 第二章介绍了我们进行研究的基本b l a c k s c h o l e s 经济空间的基本概念， 如财富过程，套利，等价鞅测度等。还介绍了基本的欧式期权的定价方法，这 些方法在整个期权定价问题中都是基本的。随后我们又简单介绍了近几年发展 的关于有违约风险的期权定价的一些基本概念和方法。这些方法如比较早一点 的结构化方法( s t r u c t u r a la p p r o a c h ) 以及最近发展起来的基于违约强度的方法 ( i n t e n s i t yb a s e da p p r o a c h ) 在第三章里，我们用基本的复制策略得到了有违约风险的情况下美式买权 的无套利价格。美式期权定价作为一个最优停止问题，研究其最优停止问题的 解决方法是必要的。在这一章里我们还讨论了这个最优停止问题的一些相关问 题，得到了一些不同于一般没有违约风险的情况下的一些结果。 第四章我们针对各种各样的违约，具体讨论了这些情况下期权价格的计算 问题。 在第五章里，我们给出了一种策略选取的具体参考标准。作为一个最优值 问题，具有违约风险的美式买权的策略选取没有最优解，但是这决不意味着期 权执行方会一直等待到成熟期才去执行。在这章里，我们从另外的角度考虑 i i 了策略选取问题，并给出了一些具体的度量选取时机好坏的参考标准，这在实 践中具有比较重要的意义。 第六章是总结。 文章的最后一部分是附录，里面引用了些文章中用到的一些重要定理及 概念，还有文章内一些结果的详细论证。 i p r e f a c e i nt h i sp a p e rw ed i s c u s st h ep r o b l e mo fp r i c i n gad e f a u l t a b l ea m e r i c a n o p t i o n a sa ne x a m p l e ，w em a i n l yf o c u so nt h ea m e r i c a nc a l lo p t i o n w ea l s o s t u d yh o wt o s e l e c tt h es t r a t e g yi na m e r i c a no p t i o nu n d e rt h ec o n d i t i o no f d e f a u l t i ti sal o n gh i s t o r yt os t u d yt h eo p t i o n ( a n do t h e rc o n t i n g e n tc l a i m s ) p r i c i n g w h i c hh a sb e c o m eo n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n tb r a n c h e so ff i n a n c em a t h e m a t i c s i nf a c t ，t h r o u g hi t sl o n gp e r i o do fd e v e l o p m e n to p t i o ni sn o wav e r ye f f e c t i v et o o l i nf i n a n c ea n do t h e re c o n o m i cf i e l d s t h eu r g e n c yo fs t u d y i n ga l lk i n d so fo p t i o n p r i c i n g ，c o m e sf r o mn o to n l yt h eo p t i o ni t s e l f , b u ta l s ot h ef a c tt h a tw ec a n d e d u c es o m ev e r yg o o dm e t h o d sw h i c ha r eh e l p f u li nt h e o r ya n dp r a c t i c e d e f a u l t sa r ev e r yc o m m o np h e n o m e n o ni ne c o n o m i c s i nt h i sp a p e r , w ea d d t h ed e f a u l tf a c t o ri nt r a d i t i o n a lo p t i o np r i c i n gp r o b l e ma n dt r yt of i n dt h e d i f f e r e n c e sf r o mt h a to fn od e f a u l t i nf i r s tc h a p t e r , w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t i o n so fo p t i o np r i c i n g ，t h e h i s t o r ya n dp r e s e n ts i t u a t i o n so fo p t i o np r i c i n g i ns e c o n dc h a p t e r , w ee l u c i d a t et h eb l a c k - s e h o l e s sm o d e la n di t sb a s i c e l e m e n t ss u c ha sw e a l t h - p r o c e s s ，a r b i t r a g e ，e q u i v a l e n t - m a r t i n g a l e - m e a s u r e a n ds oo n t h em e t h o d si ne u r o p e a no p t i o np r i c i n ga r ef u n d a m e n t a l ，s oi t i s n e c e s s a r yi n t r o d u c i n gt h e mh e r e i nt h ef o l l o w i n g ，w ep r e s e n ta n da m e l i o r a t e b r i e f l ys o m eg e n e r a li d e a sa n dm e t h o d so fd e f a u l t a b l eo p t i o np r i c i n g ，w h i c ha r e u s e de s p e c i a l l yi ne u r o p e a no p t i o na n dh a v ed e v e l o p e di nr e c e n ty e a r s t h e s e i n c l u d es t r u c t u r a lm e t h o da n di n t e n s i t y - b a s e dm e t h o d i nt h et h i r dc h a p t e r , w eg e tt h en o a r b i t r a g ep r i c eo fd e f a u l t a b l ea m e r i c a n c a l lo p t i o nb yh e d g i n g b e c a u s ea m e r i c a no p t i o np r i c i n gi si nf a c ta no p t i m a l s t o p p i n gp r o b l e m ，i ti sm e a n i n g f u lt od i s c u s st h ec o r r e l a t i v es t o p p i n gp r o b l e m i t i sh a p l e s st h a tw ef i n a l l yk n o wt h i sp r o b l e ma d m i t sn os o l u t i o n i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es u r v e ys o m er e p r e s e n t a t i v ed e f a u l ts i t u a t i o n s w e t e l lh o wt oc a l c u l a t et h ep r i c ei nt h e s es i t u a t i o n s i v i nt h ef i f t hc h a p t e r , w eg i v eac o n c r e t ei n d e xw h i c hc a nb er e f e r r e dt oi n s t r a t e g ys e l e c t i o n a sa no p t i m a ls t o p p i n gp r o b l e m ，t h e r ei s n tt h eb e s ts t r a t e g y f o rt h ed e f a u l t a b l ea m e r i c a nc a l lo p t i o n h o w e v e r , t h i sd o e sn o tm e a nt h a tw e h a v en oi d e at od e a lw i t hi ta n do n l yt ow a i tf o rt h ec o m i n go ft i m eta n dt h e n e x e r c i s ei t h e r ew ee x p l o r ea n o t h e rw a yt oa n a l y s i st h ef o r e g o i n gp r o b l e m t h es i x t hc h a p t e ri st h ec o m m e n t t h el a s ts e c t i o ni st h ea p p e n d i xi n c l u d i n gs o m ei m p o r t a n tt h e o r e m sa n d c o n c e p t i o n s ，w h i c ha r er e f e r r e dt oi nt h ep r i n c i p a lp a r t v 第一章引言 期权定价问题的研究由来已久，而现在已经成为金融数学的一个重要分支。 早在1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 5 】就开始对欧式期权的定价进行研究，但直到1 9 7 3 年， 才由b l a c k 及s c h o l e s 【6 和m e r t o n 【7 1 将这一问题的研究推向了一个理想的地 步。在他们的文献中，一方面提出了现在期权定价中具有基础地位的b l a c k s c h o l e s 公式，另方面，当代期权定价中通用的复制策略和无套利原则也是由 此开始的。后来这些思想由h a r r i s o n 及k r e p s 8 】和p l i s k a 9 】利用随机分析的工 具作了进一步的发展。 到目前为止，对美式期权的定价研究已经不少，也得出了不少好的结果， 尽管这还远远没有达到一个理想的地步。最早的较为深入的分析当属 m c k e a n 1 0 1 ，他把美式期权的定价问题转化为一自由边界问题( f r e eb o t m d a r y ) ， 并明确的指出美式期权的定价依赖于某个最优停止边界的求解，这样他把美式 期权的价格同最优停止边界联系起来。以后m o e r b e k e 对最优停止边界的性质作 了进一步的研究。上述结果从数学的角度来说，已经相当不错，然而期权定价 毕竟是一个金融学的问题，我们还必须从金融学的角度对这一问题进行证明， 从而阐明其经济学的意义。b e n s o u s s a n 11 和k a r a t z a s 1 2 1 3 1 幂1 用现在所谓的 复制策略解决了这个问题。除了自由边界方法，另一个重要的技术是变差不等 式。它由b e n s o u s s a n 和l i o n sf 1 4 1 提出，其在期权定价的数值方法中有较好的 应用。这种方法的好处是易于理解，缺点是相对于其他方法缺少明晰性。 美式期权的定价作为一最优停止问题，一般来说，其求解是一个比较困难 的事情，我们现在能做的就是对其做一定程度上的近似。例如1 9 9 1 年，j a c k a 2 5 对美式卖权定价相应的最优停止问题的连续域的边界曲线( ，) 做了如下近似： l i m f ( t ) = a 一鲫( 7 1 一，) l n ( t 一，) ( 1 1 ) 违约是金融及其他商业领域内常见的现象。在期权定价中引入违约因素是 一个相当有理论和实际意义的问题。违约风险的存在，使得期权定价问题与先 前无违约情形有了很大的不同。对这些问题，近年来对它们的研究已经很多， 例如d u f f e ，s c h o d e r 和s k i a d a s 1 6 ，d u f f e 和s i n g l e t o n 1 7 ，j a r r o w 和t u r n b u l l 1 8 1 ，j a r r o w ，l a n d o 和t u m b u l l 2 4 ，l a n d o 【1 9 1 ，m a n d a n 和u n a l 【2 0 1 的研究 一种称之为基于违约强度的方法基本成型。去年( 2 0 0 1 ) ，b i e l e c k i 和r u t k o w s k i 1 5 又提出了h j m 模型方法，这种方法是基于信用扩散( c r e d i t ss p r e a d s ) 这样一 个概念。有违约风险的期权价格计算问题( 尤其是在欧式期权中) 最终可以归 结为。，的数学期望和条件数学期望的计算问题，其中r 为表示违约时刻的 一个随机变量。这些方法都是针对这个难点提出的。而有违约风险的美式期权 定价则不然，由于美式期权是执行时刻不确定的一种不确定权益，具有很大的 灵活性，因此，违约风险的存在将会对期权执行方的主观操作产生极大的影响。 例如，没有红利分配的美式买权，在没有违约风险的情况下，将等价于相应的 欧式买权。但是在有违约风险时，情况将变得复杂的多。在对违约时间o t 作出 适当的假设之后，我们将寻找一个所谓的财富过程对具有违约风险的美式期权 进行复制，从而得到其无套利价格。我们将会看到，这个结果本质上不再涉及 到形如船。，的式子的数学期望和条件数学期望的计算问题。 第二章基本概念和结果 2 1b l a c k - s c h o l e s 经济模型 我们所采用的基本经济空间仍然为如下描述的b l a c k s c h o l e s 经济空间。设 ( q ，f ，尸) 为一给定的概率空间，用以描述美式期权发生的背景经济空间。假设 此美式期权的到期日( 成熟期) 为t 。 b ，) ，r 0 为给定概率空间上的标准布朗 运动，并假设f = c r ( b 。，s f ) ，假定 f ) 。是完备的，右连续的，f = 再。 为了严格起见，我们对市场做一些假设： 1 交易是连续的，资产无限可分，无交易费，无各种税费 2 市场信息对所有交易者都是对称的。 我们假设市场上只有两种长期存在( 1 0 n g l i v e d ) 的证券，一种是无风险证 券( 不妨假定为银行存款) ，另一种是风险证券，如股票。 设银行存款利率为常数，则无风险证券的价格屈可以描述为： 嘏= 偶斫，f l o = 1 ，f 0 ，t 另外风险证券的价格s ，用一几何布朗运动来描述 ( 2 1 ) d s ，= 肛，d t + 甜，d b ，s o = x o ， 0 ，t ( 2 - 2 ) 其中2 为漂移参数，盯为波动参数，均为常数。 上面是两种证券价格的微分方程形式，为了讨论的需要，我们下面还给出 了它们的解析表达： p ，= e x p ( n ) ； ( 2 3 ) 3 s ，= x e x p ( ( u 一号盯2 v + o r b ，) 我们首先要研究这个市场的可生存性 c o m p l e t e n e s s ) 。 所渭的可生存性就是指这个市场存在 这个问题。定义 = 鬻 f 2 4 1 ( v i a b i l i t y ) 和动态完备性( d y n a m i c 个等价鞅测度。下面我们详细说明 = x e x p ( ( , u 一仃2 - r ) t + o r b f ) 利用且j 公式，我们得到 搬( ，) = ( ，f r ) s ( t ) d t + a s + ( t ) d b s ( 0 ) = 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 为了建立等价鞅测度我们首先介绍一点预备知识，引入两个随机分析中的 引理。 引理2 1 ：设y 是一个可料过程，满足 k l ，2 ( r ) m 叩矗 ( 2 7 ) 令善( r ) = e x p l 】y ( s ) 扣。一圭l l y 2 ( s ) 出) ，re 【o ，卅，那么善是一个正的上鞅a 进 一步，如果研孝( 7 1 ) _ 1 ，那么孝是鞅。 引理2 2 ：( g i r s a n 。v ) 假设孝( ，) = e x p l ”】y ( s ) 抛，一i 1h ，2 。) d s n ，并且y 满足引理1 所假设的条件，那么过程曰( r ) = b ( f ) 一f y d ) d s ，f o ，卅是概率测度 q ( b ) = l 舌( w ，t ) p ( d w ) ，b ，下的f 适应的标准布朗运动。这里q 相应于p 是 绝对连续的。 在测度q 下，s ( f ) 为指数鞅。我们说明这一点。我们取 ，= 一坐，则 b | = b ：一坚f 盯 因此 s ? = x e x p ( , u 一 仃2 一r ) t + 噶) = x e x p - + c r 2 t + 神? ) ( 2 8 ) 很明显，s j 是q 下的指数鞅。 我们还可以证明等价鞅测度的唯一性。设q + 是另外一个等价鞅测度。定 义掌= d 卯e ，我们知道孝+ 上2 ( 尸) 。定义 毒+ ( ，) = 日古+ l f ( 2 9 ) 那么显然掌( ，) 是p 下的平方可积鞅。所以据鞅表示定理，我们可以找到p 满足 研r p ( ，) 2 a t 。使得 # ( r ) = e ( r ) + j ：p ( s ) 船。 利用肠公式，我们可以得到 根据g i r s a n o v 定理 = 1 + i ：p ( s ) 蛾 ( 2 1o ) 拙乳归器舛士筹出 “( f ) 2 = e x p j ：畿母丢j ：器训z ) 鼢= 聃一j o i o 郛p ( s ) i 出 ( 2 1 2 ) 是q + 下的标准布朗运动。所以我们有 峦( ，) 一- r + 眚p q ( ，) ) 盯) s ( f ) 础+ 甜( f ) 砸， ( 2 13 ) 根据假设，s 在q + 下为一鞅，因此必须有 掣：一坚j 古( r ) ； 考( t ) 盯 因此必有q + = q 。 r 2 1 4 ) 下面再讨论这个市场的动态完备性。 先介绍几个基本的概念。 定义一个过程c = c a 。称之为消费过程，如果满足条件：c 为f 适应的， 连续的，非减的，而且c 。= 0 。我们用c 描述期权执行人的资产消耗。 全体交易策略用( ，s ) 来表示，其中表示无风险证券的持有量，s 表示 风险证券( 如股票) 的持有量。其中还要满足如下条件：若( 萌，政) ( ，s ) ，则 j ：开( f ) 出 。 ( + 1 ) f 衙( r ) s 细 o o ，一 ( + 2 ) 联：t 仍2 ( r 冷2 i t ) a t o o ( + + ) 矗 o 表示向银行贷款，： o 表示卖空。在上面( + 1 ) 和( + 2 ) 式的假设下，虽 然存在等价鞅测度，但套利机会仍然不可以避免，我们必须把上面( + 2 ) 式加强 为( + + ) 式，才能确保套利机会不存在。h a r r i s o n 和k r e p s 曾在1 9 7 9 年给出了一 个例子证明这一点。后面我们再进一步讨论这个问题。 一个交易策略称为自融资的，如果交易过程中间无额外资金融入，用数学 表达式表达为： 破o ) ，+ 戎p ) s 。= 破( o ) + 妒：( o ) s 。+ 氟 ) 田瓯+ j ：疵 ) a s 。一c f ( 2 1 5 ) 满足上面条件的( 西，疵，c ) 称为消费和投资策略。 下 根据前面的讨论，由g i r s a n o v 定理，在如下测度变换 器j ，p - 圭( 争2 r 一等射 ( 2 1 6 ) d s ，= r s ，d t + 甜，d b ?( 2 1 7 ) 其中b ? ；b ，+ 皑r ，f o ，丁】为q 下标准布朗运动。 引进q 的目的是使丢成为一q 鞅过程。以后的讨论将在q 下展开，在不加 指明的情况下，求数学期望等都是针对q 的。 我们的目的就是求出违约风险下，美式期权的无套利价格，因此我们再介 绍一下套利的概念。 令a ； ( ，：，0 ：( ，庐：) e ( ，s ) ，e ( j ：刃( ，) s ? 础) m ，其中c 为消费过程。 定义1 ：所谓( p ，s ) 中有套利是指j ( 破，欢，c ) a ，使得 破( o ) + 戎( 0 ) 氐 0 ，。( r r ) 十办( 7 1 ar ) s r ，o ，d 矗其中r 是表示违约时 间的随机变量( 无违约时设r = m ，这时相当于一般的套利概念) 。 定义2 ：满足如下形式的过程x 称之为财富过程( w e a l t hp r o c e s s ) j ( 破，欢) ( 卢，s ) ，使得： x ，= 霞( f ) 屈+ 晚( t ) s ， o ，t ( 2 1 8 ) 此时，如果( 办，欢) 是自融资的，结合( 2 7 ) 式我们还可以得到 件 x ，= 扎+ j ：。如+ f o 却2 ( “) s 。d b 。一c t ( 2 1 9 ) 上面我们说过，为了保证无套利机会，( + ) 式条件应该加强为下面这个条 以r 掰( f 碜2 ( f ) 础) 。 ( + + ) 下面我们证明在这个加强的条件下，是没有套利机会的。设口表示违约时 间的随机变量，( 矗，鸡) ( ，s ) 并且满足 则对于任意s 0 ，t 】 商( 0 ) + 疵( 0 ) s ( o ) 0 妒1 ( t a a ) p 7 。+ 改( 丁ao t ) s ( t a a ) o ，a s 破0 n 口) + 庐：0 a a ) s = 屈。( 矿。( s n 口) + z ( s a ) s 2 。) 巩删1 ( o m ( o ) n 0 弘倒一瓦c s a a ) 哦舢川：( o ) 趾3 m 啪? 耐一杀) ( 胁：( t ) s t a b ) 一c ( 2 2 0 ) 由于( + + ) 式的加强条件，并且 b j ) 。为一个q 布朗运动，从而我们知道上式 左端对的折现为一个q 鞅。所以 e o 痧( 7 1 a a ) , 8 r 。+ 2 ( r a a ) s ，。 0 鲁一貉一p ( - 咿叫m v 。定义违约时刻为r 。( 矿) = i n f t 0 ：k a ) ， x = g ( ) 。 2 违约时问为某一过程对随机障碍的首次击中时。设 一) 。为一个 f ) 。 适应过程，设是随机变量。定义违约时间为f 。( 矿) = i n f f t 0 ：_ ) ， x = g 哆1 、。 对于第二种情况，主要采用的是基于违约强度的方法( i n t e n s i t y b a s e d a p p r o a c h ) 。这时候违约时间f 仍然假设为一个随机变量，但不再一定是一 f ) 。停时。我们的目的之一就是寻找一个恰当的更大的过滤使f 在这个更大 的过滤下成为一个停时。我们记：m = ，幛n ，是一个递增的右连左极的过 程。从本质上来说，我们要找的违约时刻f 的强度就是使下面过程成为一个鞅 的非负适应过程： m ，；，一r ，(2ds 3 6 )m r 5 m j o 一 ( 3 6 ) 第三章具有违约风险的美式买权的定价 3 1 问题提出 美式期权同欧式期权不一样，它是执行时刻不固定的不确定权益。在这一 节垦，我们将使用复制的方法对有违约风险的美式买权进行定价，求出起无套 利价格。我们将看到，在我们的结果中，不再涉及到形如x i 。的式子的数学 期望和条件数学期望的计算问题。 设缈( s ，) 为一美式权益若在，时刻执行时得到的报酬，【0 ，t 】。买到这 么一份权益就意味着若在，时刻执行此权益就可以收益妒( s ，) 。一般情况下， 妒( 石，) 为月+ 0 ，t 】上的非负连续函数，当然这只是为了处理的方便，实际上连 续性并不是必要的。这样的函数称为报酬函数。例如，美式买权和美式卖权的 报酬函数分别为： 妒( z ，) = ( x k ) + 和 妒( 工，t ) = ( k x ) + 其中k 为美式期权执行价格。 对于违约时间a ，由于违约类型各异，所以它未必是基于( f ) 。这样一个 信息结构的。因而在一般+ i 青y c t ，我们并不能假定口为一个( f 。停时。例如， 由于突发的非经济因素导致公司破产而促使违约行为的产生，这种情况下违约 时刻口显然不是基于 只) 。这样一个信息结构的。而对于一些经济因素导致的 违约的发生，如公司股票市值下跌等，我们一般可以认为口为一 f 。停时。 同一般的美式期权样，具有违约风险的美式期权的执行策略的选取也是一个 最优停止问题。一般来说，针对第一种情况的违约考虑最优停止问题是没有什 么意义的，因为这种情况下违约时日j 只能给我们提供一些孤立的信息。所以在 1 4 本文里，我们只考虑违约时间a 为 f ) 。停时的情况。由于 f ) 是布朗运动生 成的过滤，根据已知的事实，这时候口为f 可预报时，即存在单调递增的停时 列f 口。 ：，l 2 t 。 0 上d 。1 、口。对违约时间作出如下假设： 1 口的分布函数绝对连续，从而它有密度函数，并且我们还假设对于任意 x 1 ，x 2 c o ，0 0 ) ，q ( w ：口( w ) x 1x 2 d 0 。 2 当0 0( 3 1 ) ( 31 ) 这个假设经济意义是明显的：如果为了回避违约而提前执行期权时，风险 证券的价格大于k 的概率要大于o 。只有这样的条件满足，这种具有违约风险 的美式买权才能吸引投资者或者回避风险者的眼光。 在我们这篇文章中，假定期权执行人所可以选取的执行策略为所有 只) 。 停时。也就是说， f ) 。这个盯一代数流完整的描述了期权执行人的信息结构。 我们下文涉及到的求数学期望和条件数学期望，如果不特别指明，都是针对鞅 测度q 的。 我们记： 口詈 f ：，f t ， f ：f f ) 只) 设有一美式买权，其执行价格为k ，x p ” k x ，z 为股票的初始价格。 执行时亥4 的上限为7 。 我们将利用复制策略证明此具有违约风险的美式买权在 时刻( 假设此时违 约尚未发生) 的无套利价格为： e x p ( r t ) e 口 ( s m k ) + e x p ( - r ( a a r ) ) i f ( 3 2 ) 其中h ，r o ，t 是f 适应的，称之为违约补偿过程( r e c o v e r yp r o c e s s ) 。 它表示违约发生时，期权执行人所能获取的微量补偿。微量的意思是 h ， ( s ，一k ) + ，a , s 我们将h ，零延拓到整个正的时间轴上，因此 h ，o ，a s对于v t 0 ，t h ，= 0 ，ds 对于v t ( t ，0 0 ) 下面带参数口的过程称之为违约收益过程： x ( t ，口) 三， 。，( s ，一k ) + e 一“+ i l a ；t l h 。e ( 33 ) 另夕 记：x ( t ，a ) ；，f 。：， ( s ，一k ) e + i i 。 t l h 。e 一” ( 3 4 ) 注：由于s ，为连续过程，在前面口的分布函数绝对连续的假设下，可以知 道x ( t ，“) 为关于，的右连续函数，特别地为一可选过程。 定义3 ：称可选过程xz x ，ff r + 为可选强上鞅，如果对于一切有界停 时r ，a ，f 口，口点，当麟i 0 0 时有e ( x ，l t ) x 。对于可选强上鞅x ， 如果x 。= l i m s u p x ，存在，而且对于任意f ，盯停时，p ( r o o ) = 1 ，p ( g o o ) = l ， r 盯，删，存在且e ( x ，1 只) x 。，称x 为正则上鞅。 定义4 ：称控制过程置的最小正则上鞅为置s n e l l 包。所谓的某个过程q 控制x 是指v ，h ，a s 。 首先要证明x ( t ，口) 的s n e l l 包的存在性，我们不加证明地引用如下定理：( 见 参考文献( 1 ) p 1 9 9 ) 引理3 1 ：设x = x ，f ，r r + ) 是可选过程，如果下面两个条件之一成立 则必然存在s n e l l 包： 1 蹦： o 。，a 且而且x 几乎所有的轨道右半上连续； 下面我们应用这个引理证明x ，；x ( t ，d ) 的s n e l l 包的存在性，t 0 ， 。 引理3 2 ： ，zx ( t ，a ) 存在控制其的最小正则上鞅。 证明： 置 。显然是几乎所有轨道右半上连续的。按照置的自然定义，将其 延拓到 o ，。) 上。 由于在鞅测度下，s , e “为鞅，所以： e ( 姆( s k ) + e x p ( 州) ) e ( 1 i m 。s ，e x p ( 一r f ) f ) = e q i m s 。e x p ( o - b , 一 盯2 f ) ) = 0 a s 上面式子成立，是因为由重对数律，b t = 口( ，) ，t 呻。0 ，a s 。所以， 鳃( s r k ) + e x p ( 一r o c 。a s 。而，f 一致有界。 。2 i m a t t = ，川；i m ( s ，一足) + p “+ e ( i h 。g ) ) ( 3 5 ) 从而，e j 玩 一p 且 p 时 停 p 在存 时 。 停 意 o 上) ，且口。 aa s ，由于墨。们。，= ! i m x ( 。m ，a s e = e s s s u p e ( x ，i f ) = e s ss u pe ( x 。i f ) = e s s s u pe ( 2 ，j f ) = e s s s u p e ( 霄 , i f , ) r e nr e q ( 口 r ) v f r e d r 、( 口 r ) v f r e 日 ( 3 6 ) 根据f 3 4 4 ) 式，我们得到： 甄。= e ( ( s ，。一k ) + e x p ( - r ( t 口) ) l f ) ( 3 7 ) 显然，这为一个 o ，t 上的鞅过程。 下面我们着手用前面定义的交易策略对具有违约风险的美式买权进行复 制。首先我们指出下面这个事实。 引理3 4 ： 豆e x p ( r t ) 为一财富过程，即存在( ，欢) ( ，s ) 使得 h ，e x p ( r t ) = 氟( f ) 屈+ 2 ( t ) s ，t 【o ，t 】 ( 3 8 ) 证明：由于 e ) 。，为上鞅，又因为它显然连续且右闭，所以e 为d 类上鞅。 根据d o o b m e y e r 分解定理，我们得到 h ，= m ，一a 其中死为一致可积鞅，人，为零初值的可料增过程。 ( 3 9 ) d ( 豆e x p ( r t ) ) = r t e x p ( r t ) e d t + e x p ( r t ) ( d m , 一d a ，) ( 3 1 0 ) 进一步，有鞅的积分表示定理，j 叩，使厩= 矾d b ，满足e ( j ：t 仉2 出) 。我 们取： 2 0 舭) ：豆一丑 盯 舭) = 丁e x p ( r t ) 7 7 , c r2 i o e x p ( r u ) d a 。 由于屈= e x p ( r t ) ，可以进一步验证 h ，e x p ( r t ) = 1 ( ，) 屈+ 2 ( t ) s ，t 0 ，t 而且由于耳为上鞅，容易验证 ( 3 1 1 ) 毫妖。减d t ( m r 孵o ) s , 2 d t s 因为。( r ) 屈= ( 羁e x p ( 们一丑掣) ，e 是上鞅，显然是关于时间，在 o ，丁 上 是几乎处处可积的；又因为e ( 。t 可。2 出 k ) 0 ，知道上面( + + + ) 式中的第一个“”不 取等号的概率大于0 。这样我们证明了y ( t 口，口) 在 o ，t a z 为q 下鞅。 证毕 下面的定理( 3 1 ) 表明，具有违约风险的美式买权的最优执行策略实际上是 不存在的。也就是说，在前面假设的信息结构下，我们没有办法找到最好的执 行策略，使期权持有者的期望收益达到最大。 我们先证明一个引理。 引理3 6 ： 设y ，f 为概率空间( q ，f ，q ) 上的两个随机变量，y 0 ，存在 集合e 。，满足q ( c 2 e 。) s ，在e 。上，厶收敛于f 是一致的。并且存在n 。 当n n 。时，在e 。上满足y o ，存在集合e e ，满足 q ( q e 。) s ，在e 。上，f 。收敛于f 是一致的。所以存在n 。，当n n 。时， 在e 。上满足f 一厶 占a s ，故此时，吵 - f a s 。 如果i n f ( f 一) = o 。我们首先证明q ( f 一沙 0 ，存在集合e 。，满足q ( f ) e ，) 0 ，又存在集合b ，使 得q ( n b ) 巧a s 。记e s = b n e ；容易知道 q ( n e 。) 占，而且在e 。上f 。的收敛是一致的。所以存在n 。，当n n 。时 在e 。上满足f 一 占a s ，故此时，y f 。 f a s 。 这样我们证明了整个定理。 证毕 定理3 1 ：在前面关于违约时刻口及关于市场结构的假设下，具有违约风险 的美式买权的最优执行策略不存在。 证明：我们用反证法证明这一点。 首先我们指出，最优执行策略f d 。如果存在，那么必然有f aa s ，其 中口是表示违约时间的f 停时。这是因为h ， 0a s ，使得 q ( r + + 0 l 一占 r + + p 口a s 而且能够使得f + + 0 也为一f 停时，我们在后面的小注中说明这一点。我们 指出执行策略f + 臼比f + 更优。由于2 ( t a 口，口) 在 0 ，r 上为一个q 下鞅，所以： e 夏( ( f + 口) a a ，口) ) e x ( r 口，口) ( 3 1 7 ) 但是根据我们在引理( 3 5 ) 中指出的，当s 牙( s 口，口) ) 0 因此，定义q 。= w ：f + + 0 = 口) ，当s 充分小，使得 q w ：e 牙( ( r + 臼) 口，口) 1 只) 2 ( r a ，c 0 q 。) 0 这时候不等式( 3 17 ) 实际上是严格的，即 e f ( ( f + p ) 口，a ) ) e 牙( f + 口，口) ) ( 3 1 8 ) 由于f + 0 e 牙( f + ，a ) )( 3 1 9 ) 根据前面的假设，a 的分布函数是绝对连续的，从而口有密度函数，所以 对于任意的， 0 ，q 缸= f ) = o ，所以牙( ，) 和x ( ，) 是几乎处处相等的，所以我 们有： e x ( r + 目，口) ) e z + ，口) ) ( 3 2 0 ) 这说明，f 十臼时刻执行此美式买权比在f + 时刻执行所获得的期望收益更 大，即在r 十0 时刻执行比在r 时刻执行更优。 这实际上表明了具有违约风险的美式买权的最优执行策略是不存在的。 证毕 注记：上面定理中我们想要取得一个f ，停时f + 0 使得f 。 f + + 0 o ，根据引理3 6 ，存在概率空间q 上的一个集合，q