（基础数学专业论文）区组长为4的二维不含邻点的平衡样本设计.pdf

摘要 近年来，环境和生态调查中的统计问题已经受到人们的广泛关注，其中之一就是有 限多个个体的数据收集和分析通常情况下，在环境和生态资源中，不管有限多个个体 按空间排列还足按次序排列，相邻个体总是提供了相似的信息调查者为了得到总体的 最有用的信息数据，不希望收集的信息来自所取样本中的相似个体而且当从如此总体 中抽样时，分散个体的选择将降低估计量的方差在1 9 8 8 年，h e d a y a t ，r a o 和s t u f k e n 首先提出了不含邻点的平衡样本设计( b s e c ) 的存在问题这类设计常常应用于那些相 邻样本点提供了相似信息的样本调查中，如人1 2 1 特征估计、环境的评估等 令x = o ，1 ，u 一1 ) 。如果c ( x ) = ( x o ，x l ，一1 ) 足x 的一个圆排列，则 称x i 与z 件1 为邻点，0 i u 一2 ，z o 与z 。一l 也为邻点 设x 是有圆排列c ( x ) 的钉元集，b 是x 的一些k 子集构成的集簇，b 中元称为 区组若对子( x ，召) 满足：任意两个相邻点不在任何区组中出现，而任意两个不相邻 点恰出现在入个区组中，则称( x ，召) 为一个1 维不含邻点的k 长平衡样本设计，记为 1 - b s e c ( v ，k a ) h e d a y a t ，r a o 和s t u f k e n ( 1 9 8 8 年【1 ，2 1 ) 证明了匙= 3 ，4 时，如果v 3 k ，则存在某 个a ，使得1 b s e c o ，南，入) 存在s m f k e n 和w r i g h t ( 2 0 0 1 年【2 2 1 ) 给出了k = 5 ，6 ，7 且 ( 七，v ) ( 7 ，2 2 ) 时，存在某个a 使得1 - b s e c ( v ，k ，a ) 存在的充分必要条件是u 3 k + 1 但上述结果中参数a 的值随着点数v 的增加增长的很快，这将产生许多的重复而我 们一般希望一个设计的区组少一些。使得重复少一些c o l b o u r n 和l i n g 对给定的忌和 入进行考虑，分别在1 9 9 8 年和1 9 9 9 年证明了1 - b s e c ( v ，3 a ) 存在的充分必要条件和 1 - b s e c ( v ，4 ，a ) 存在的充分必要条件( 见【19 11 2 3 ) 二维b s e c 的思想最早被h e d a y a t 等人在1 9 8 8 年提出后来，b r y a n t 等人给出了 二维不含邻点的甲衡样本设计的概念 二维意味着点集如磊x 磊在二维上排列点( z 一1 ，g ) ，( z + 1 ，s ，) ，( z ，y 1 ) ，和 ( z ，y + 1 ) ( 前一个分量模n ，后一个分量模m ) 均称为与点( z ，y ) 是2 - 相邻的事实上， 这些点在空间构成一个环面 设x = z n z m ，8 是x 的一些七子集构成的集簇，8 中元称为区组若对子 ( x ，b ) 满足：任意两个2 相邻的点不在任何区组中出现，而任意两个非2 一相邻的点 i i i 恰出现在入个区组中，则称( x ，b ) 为一个2 维不含邻点的k 长平衡样本设计，记为 2 - b s e c ( n ，m ，k ，a ) b r y a n t ，c h a n g ，r o d g e r 和w e i 【2 6 】讨论了区组长为3 的二维不含邻点的甲衡样本 设计，完全解决了2 - b s e c ( m ，n ，3 ，1 ) 的存在性但2 - b s e c ( m ，几，4 ，a ) 的存在问题还 远没有解决 本文将主要研究二维不含邻点的乎衡样本设计的构造和区组长为4 的二维不含邻 点的平衡样本设计的存在性全文共分为四章： 第一章在这一章中，我们介绍了不含邻点的平衡样本设计用于抽样调查的背景， 给出了不含邻点的平衡样本设计的概念和一些已知结果 第二章我们介绍了可分组设计( g d d ) ，不完全可分组设计( i g d d ) ，带洞可分组设 计( h g d d ) 等相关设计及性质，并给出了它们的一些存在结果同时，我们还给出了辅 助设计b s e c + 的定义，性质和一些存在结果，这在以后的构造中有着重要的应用 第三章由于以前的构造方法在进一步研究区组长为4 的2 - b s e c 时均不可用，所 以我们利用可分组设计，不完全可分组设计，带洞可分组设计和b s e c + ，给出了几个构 造不含邻点的平衡样本设计的一般方法进而得到了一些构造2 维不含邻点的4 长平衡 样本设计的递归构造 第四章我们利用第三章给出的构造方法和一些小阶数的2 - b s e c 的直接构造，得 到了区组长为4 的2 - b s e c 的存在结果主要结论如下： ( 1 ) 当m 三8 ( m o d2 4 ) ，且礼 4 ，7 ，1 0 ，1 3 时，存在一个2 一b s e c ( m ，n ，4 ，1 ) 当 m 三8 ( m o d2 4 ) ，n 三1 6 ( m o d4 8 ) 时，存在一个2 - b s e c ( m ，n ，4 ，1 ) ( 2 ) 当礼4 ，n 6 ，且m 三0 ( m o d4 ) 时，存在一个2 - b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ( 3 ) 当m ，n 三3 ( m o d4 ) 且m ，n 3 时，存在一个2 - b s e c ( m ，几，4 ，3 ) ( 4 ) ( i ) 当m 兰1 ( m o d4 ) ，n 三9 ( m o d1 6 ) 。且m 3 3 ，4 9 时，存在一个2 b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ( i i ) 当m ，n 三5 ( m o d1 6 ) ，存在一个2 - b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ，除了可能的 例外( m ，n ) = ( 2 1 ，2 1 ) ( i i i ) 当仇，7 , 兰1 3 ( m o d1 6 ) ，存在一个2 - b s e c ( m ，1 7 , ，4 ，3 ) ，除了 可能的例外( m ，n ) = ( 2 9 ，2 9 ) ( i v ) 当m ，n 兰1 0 ( r o o d1 6 ) ，存在一个2 - b s e c ( m ，死，4 ，3 ) ， 除了可能的例外( m ，几) = ( 2 6 ，2 6 ) 等等 关键词：平衡样本设计，g d d ，i g d d ，i t g d d ，m g d d ，b s e c + i v a b s t r a c t t h r o u g h o u tr e c e n ty e a r s ，s t a t i s t i c a lp r o b l e m si ne n v i r o n m e n t a la n de c o l o g i c a lr e s e a r c h h a v er e c e i v e dag r e a ta m o u n to fa t t e n t i o n o n ep a r t i c u l a rp r o b l e mr e v o l v e sa r o u n dt h ec o l l e c - t i o na n da n a l y s i so fd a t af r o mf i n i t ep o p u l a t i o n s c o m m o n l y , i ne n v i r o n m e n t a la n de c o l o g i c a l p o p u l a t i o n s ，n e i g h b o r i n gu n i t s ，s p a t i a l l yo rs e q u e n t i a l l yo r d e r e d ，w i t h i naf i n i t ep o p u l a t i o n m a yp r o v i d es i m i l a ri n f o r m a t i o n i na na t t e m p t t oo b t a i nt h em o s ti n f o r m a t i v ep i c t u r eo fa p o p u l a t i o n ，r e s e a r c h e r sm a y n o tw a n tt oc o l l e c ti n f o r m a t i o nf r o ms i m i l a ru n i t sw i t h i nt h eo b - t a i n e ds a m p l e m o r e o v e r , w h e ns a m p l i n gf r o ms u c hp o p u l a t i o n s ，t h es e l e c t i o no fd i s p e r s e d u n i t sm a yr e s u l ti nar e d u c t i o ni nt h ev a r i a n c eo fe s t i m a t o r s b a l a n c e ds a m p l i n gp l a n se x e l u d i n gc o n t i g u o u su n i t s ( b s e c ) w e r ef i r s ti n t r o d u c e di n 19 8 8b yh e d a y a t ，r a oa n ds t u f k e n t h e s ed e s i g n sc a nb eu s e di ns u r v e ys a m p l i n gw h e nt h ec o n t i g u o u su n i t si ns o m eo r d e r i n g p r o v i d es i m i l a ri n f o r m a t i o n ，s u c ha se s t i m a t e so fp o p u l a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s l e tx = 0 ，1 ，u 一1 ) ，i f c ( x ) = ( x o ，x l ，x v - i ) i sac y c l i co r d e r i n go f x ，t h e n z a n dz 件la r es a i dt ob ec o n t i g u o u sp o i n t sf o r0 i 秽一2 ，a s a r ex 0a n d z t ，一1 ao n e d i m e n s i o n a l 七一s i z e db a l a n c e ds a m p l i n gp l a ne x c l u d i n gc o n t i g u o u su n i t si sap a i r ( x ，召) ，w h e r ex i sas e to f 移p o i n t st h a th a sac y c l i co r d e r i n gc ( x ) ，a n dbi sac o l l e c t i o n o f 尼s u b s e t so fxc a l l e db l o c k ss u c ht h a ta n yt w oc o n t i g u o u sp o i n t sd on o ta p p e a rt o g e t h e r i na n yb l o c kw h i l ea n yt w on o n c o n t i g u o u sp o i n t sa p p e a rt o g e t h e ri ne x a c t l yab l o c k s 。t h i s d e s i g ni sd e n o t e db y1 一b s e c ( v ，k ，a ) h e d a y a t ，r a oa n ds t u f k e n ( 19 8 8 ， 1 ，2 】) e s t a b l i s h e dt h a tf o rk = 3 ，4 ，a1 - b s e c ( v ，k ，入) e x i s t sf o rs o m eai fv 3 k s t u f k e na n dw r i g h t ( 2 0 0 1 ，【2 2 1 ) e s t a b l i s h e dt h a tf o rk = 5 ，6 ，7 a n d ( k ，秒) ( 7 ，2 2 ) ，a1 - b s e c ( v ，k ，a ) e x i s t sf o rs o m eai f a n do n l yi f 口3 k + 1 b u t t h es o l u t i o n sg i v et h ev a l u e so f 入t h a ta r ev e r yl a r g e ，w h i l eo n et y p i c a l l yp r e f e r sd e s i g n sw i t h f e wb l o c k sa n dh e n c es m a l l e rv a l u e so fa c o l b o u r na n dl i n g ( 19 9 8 ，19 9 9 ) e s t a b l i s h e dt h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fl b s e c ( v ，k ，a ) f o r 七= 3 ，4f o rf i x e d a ( s e e ，【1 9 】【2 3 】) t h ei d e ao ft w od i m e n s i o n a lb s e c sw a ss u g g e s t e db yh e d a y a t ，e ta 1 h e r et w od i m e n - s i o n a lm e a n st h a tt h es e to f p o i n t s ，s a yz n z m ，i sa r r a n g e di nt w od i m e n s i o n s ，a n dt h ep o i n t s ( z 一1 ，可) ，( 。+ 1 ，夕) ，( z ，y 一1 ) ，a n d ( z ，y + 1 ) ( r e d u c i n gt h es u m sm o d na n dmi nt h ef i r s t v a n ds e c o n dc o o r d i n a t e sr e s p e c t i v e l y ) a r es a i dt ob e2 - c o n t i g u o u st ot h ep o i n t ( x ，秒) i nf a c t ， t h e s ep o i n t sa r ea r r a n g ei nat o r u s a 2 一b s e c ( n ，仇，后，a ) i sap a i r ( x ，召) ，w h e r ex = z n z m a n d8i sac o l l e c t i o no f k - s u b s e t so fxc a l l e db l o c k ss u c ht h a ta n yt w o2 - c o n t i g u o u sp o i n t sd on o ta p p e a rt o g e t h e ri n a n yb l o c kw h i l ea n yt w op o i n t st h a ta r en o t2 - c o n t i g u o u sa p p e a rt o g e t h e ri ne x a c t l yab l o c k s b r y a n t ，c h a n g ，r o d g e ra n dw e i 【2 6 】d i s c u s s e dt w o d i m e n s i o n a lk - s i z e db a l a n c e ds a m p i i n gp l a ne x c l u d i n gc o n t i g u o u su n i t s ，a n dt h ee x i s t e n c ep r o b l e m o f2 b s e c sw a sc o m p l e t e l y s o l v e df o rt h ec a s ea = 1a n dk = 3 h o w e v e rt h ee x i s t e n c ep r o b l e mf o r2 - b s e c ( m ，n ，4 ，a ) i sf a rf r o mc o m p l e t e i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ec o n s t r u c t i o n so f 2 一b s e c sa n dt h ee x i s t e n c eo f 2 一b s e c sw i t h b l o c ks i z ef o u r t h ew h o l et h e s i si sd i v i d e di n t o4c h a p t e r s c h a p t e r1 i nt h i sc h a p t e r , w ei n t r o d u c et h es u r v e ys a m p l i n gb a c k g r o u n d so ft h eb a l - a n c e ds a m p l i n gp l a ne x c l u d i n gc o n t i g u o u su n i t s ，a n dp r e s e n tt h ef o r m a ld e f i n i t i o no f b a l a n c e d s a m p l i n gp l a ne x c l u d i n gc o n t i g u o u su n i t sa n dg i v es o m ek n o w n r e s u l t s c h a p t e r2w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n so fg d d ，i g d da n dh g d d ，a n d g i v es o m er e s u l t so ft h e i re x i s t e n c e m o r e o v e lw eg i v et h ed e f i n i t i o n ，p r o p e r t i e sa n ds o m e r e s u l t so fb s e c + ，w h i c hw i l lp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h el a t e rc o n s t r u c t i o n s c h a p t e r3a l t h o u g ht h e r ea r es o m ek n o w nc o n s t r u c t i o n so f2 - b s e c s ，t h e s ec o n s t r u e - t i o n sa r e n ta p p l i c a b l et oo t h e rc a s e so f 2 一b s e c sw i t hb l o c ks i z ef o u r a p p l y i n gg d d ，i g d d ， h g d da n db s e c + ，w eg i v ef o u rg e n e r a lc o n s t r u c t i o n so f 2 一b s e c s f u r t h e r , w eo b m i ns o m e c o n s t r u c t i o n so f2 b s e c sw i t hb l o c ks i z ef o u r c h a p t e r4a p p l y i n gt h ec o n s t r u c t i o n si nc h a p t e r3a n dt h ed i r e c t e dc o n s t r u c t i o n so f s o m es m a l lo r d e r , w eo b t a i ns o m er e s u l t so f2 - b s e c sw i t hb l o c ks i z ef o u r t h em a i nr e s u l t a f e ： ( 1 ) l e t 仇三8 ( m o d2 4 ) ，a n d 几 4 ，7 ，1 0 ，1 3 ，t h e r ee x i s t sa2 一b s e c ( m ，n ，4 ，1 ) l e t m 三8 ( m o d2 4 ) ，7 , 兰1 6 ( m o d4 8 ) ，t h e r ee x i s t sa2 - b s e c ( m ，n ，4 ，1 ) v l ( 2 ) l e t 仃4 ，n 6 ，a n dm 三0 ( m o d4 ) ，t h e r ee x i s t sa2 - b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ( 3 ) l e tm ，n 三3 ( m o d4 ) a n dm ，n 3 ，t h e r ee x i s t sa2 - b s e c ( 仇，佗，4 ，3 ) ( 4 ) ( i ) l e tm 兰1 ( m o d4 ) ，n 三9 ( m o d1 6 ) ，a n dm 3 3 ，4 9 ，t h e r ee x i s t sa2 - b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ( i i ) l e t 仇，仡三5 ( m o d1 6 ) ，t h e r ee x i s t sa2 - b s e c ( m ，扎，4 ，3 ) ，e x c e p t p o s s i b l yf o r ( 价，n ) = ( 2 1 ，2 1 ) ( i i i ) l e tm ，n 三1 3 ( m o d1 6 ) ，t h e r ee x i s t sa2 - b s e c ( m ，n ， 4 ，3 ) ，e x c e p tp o s s i b l yf o r ( m ，佗) = ( 2 9 ，2 9 ) ( i v ) l e tm ，n 三1 0 ( m o d1 6 ) ，t h e r ee x i s t sa 2 - b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ，e x c e p tp o s s i b l yf o r ( m ，n ) = ( 2 6 ，2 6 ) e t c k e yw o r d s ：b a l a n c e ds a m p l i n gp l a n ，g d d ，i g d d ，h g d d ，m g d d ，b s e c v i i 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文区组长为4 的二维不含邻点的平衡样本设计，是在导师 的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：孔胸炙 w 四年歹羁心r 指导教师确认( 签名) ： 堋年f 玛“r 学位论文版权使用授权书 国遑俞 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者( 签名) ：乳沟氧 弘瓯年r 只“b 指剥眦孙雷乏q 伊啊年f - 只 1 1 研究背景 1 绪论 近年来，环境和生态调查中的统计问题已经受到人们的广泛关注。其中之一就是有 限多个个体的数据收集和分析通常情况下，在环境和生态资源中，不管有限多个个体 按空间排列还是按次序排列，相邻个体总是提供了相似的信息调查者为了得到总体的 最有用的信息数据，不希望收集的信息来自所取样本中的相似个体而且当从如此总体 中抽样时，分散个体的选择将降低估计量的方差 比如，人们有兴趣于评估亚热带地区某一特定作物的产量因为从物质上讲彼此相 邻的作物个体的产量是相似的，所以调查者会希望得到的样本避免了相邻个体的选择 再比如，研究者被派来估算一片树林受病虫害破坏的强度，而这片树林的树木足按成行 成列种植的由于害虫往往是在空间上成群聚集的，研究者将希望所得的样本不包括毗 邻的树木，或者甚至不包括来自同一行或同一列的树木s m i t h ，c o n r o y 和b r a k h a g e 在 1 9 9 5 年曾描述过如下情况，他们利用飞机观测越冬水禽，以便监测密度和测试生态假 说他们指出，由于越冬水鸟种群的分配往往足在空间上群集的，没有人希望衡量可利 用的栖息地上毗邻的样方( 生态学名词，即生态调查的方形地) 虽然上述的例子都是处理两维的情形，但在处理一维时也有相关的情况例如，研 究人员可能有兴趣估算从制造业加工过程中流出的一种化学品的毒性水平为了确定 潜在的取样单位，水流移动可分为十五分钟一个间隔鉴于顺序间隔的毒性水平有可能 会类似，研究人员希望拥有的样本，避免选择顺序间隔，以便于测量再比如，研究者 要调查固体垃圾站点的毒性水平由于清洁工人一般会紧邻着上次倾倒的垃圾堆倾倒 垃圾，因此，一维的情形可以被创建因为在空间上连续的垃圾堆具有相似的毒性水平， 所以研究人员将希望拥有一个抽样方案，避免在给定的样本中选用这种连续的样本点 h e d a y a t ，r a o 和s t u f k e n 在1 9 8 8 年首先提出了不含邻点的平衡样本设计( b a l a n c e d s a m p l i n gp l a n se x c l u d i n gc o n t i g u o u su n i t s 简写作b s e c ) 的存在问题【1 1 这类设计常常 用于样本点以一维顺序排列且在此顺序下相邻点提供了相似信息的抽样样本调查中在 后来的几十年间，许多不同的抽样设计已陆续被提出，其目标是当特定空间响应模式被 预先确定时，通过改进地理区域的采样方式来提供更好的总体特征的估计( 见【l 】【l7 】) 研究者【l ，2 】表明，在一定的条件下，从获取总平均数的h o r v i t z t h o m p s o n 估计量的较 1 小方差考虑，不含邻点的平衡样本设计明显优于没有更换的简单随机抽样和系统抽样 等各类其他抽样设计有关h o r v i t z t h o m p s o n 估计量的性质和构造，文 1 ，2 ，l3 ，l6 ，18 】 中有众多的讨论另一方面，类似于不含邻点的平衡样本设计的各类设计也出现在组合 学的研究领域，如摆线和部分三元系等( 见 1 9 ，2 0 ，2 l 】) 1 2 一些已知结果 令x = o ，1 ，v 1 ) ，如果c ( x ) = ( x o ，x l ，x v - 1 ) 是x 的一个圆排列，则 称翰与兢+ 1 为邻点，0 i u 一2 ，z o 与x v - 1 也为邻点 定义1 2 1 设x 是有圆排列c ( x ) 的u 元集，8 是x 的一些k - 子集构成的集簇，召中 元称为区组若对子( x ，日) 满足：任意两个相邻点不在任何区组中出现，而任意两个不 相邻点恰出现在入个区组中，则称( x ，艿) 为一个l 维不含邻点的k 长平衡样本设计，记 为1 一b s e c ( v ，k ，a ) h e d a y a t ，r a o 和s t u f k e n 1 ，2 】给出了下列结果： 定理1 2 1 ( 1 ) 令k 3 ，u 3 ，如果一个1 一b s e c ( v ，k ，a ) 存在，则u 3 k 。 ( 2 ) 当七= 3 ，4 时，如果u 3 k ，则存在某个a ，使得1 - b s e c ( v ，k ，a ) 存在 s m f k e n 和w r i g h t 2 2 】于2 0 0 1 年给出了k = 5 ，6 ，7 的结果： 定理1 2 2 当k = 5 ，6 ，7 时，存在某个a 使得1 一b s e c ( v ，k ，a ) 存在的充分必要条件是 u 3 k + 1 ，除了例外( k ，u ) = ( 7 ，2 2 ) 上述结果中参数a 的值随着点数u 的增加增长的很快，这将产生许多的重复而 我们一般希望一个设计的区组少一些，使得重复少一些c o l b o u r n 和l i n g 对给定的 k 和入进行考虑，通过许多小的循环或双循环的设计以及一些递归构造，分别证明了 1 - b s e c ( v ，3 ，入) 存在的充分必要条件和1 - b s e c ( v ，4 ，a ) 存在的充分必要条件 定理1 2 3 【1 9 】1 一b s e c ( v ，3 ，入) 存在的充分必要条件为。u 9 且a ( v - 3 ) 兰0 ( m o d6 ) 定理1 2 4 【2 3 11 - b s e c ( v ，4 ，入) 存在的充分必要条件为：u 1 2 且a v ( v 一3 ) - - 0 ( m o d1 2 ) ，除了a = 1 ，u = 1 2 时，1 一b s e c ( v ，4 ，a ) 不存在 2 s t u f k e n 【1 6 】将b s e c 的概念推广到邻近点不出现的平衡设计( b a l a n c e ds a m p l i n g p l a n st oa v o i dt h es e l e c t i o no f a d j a c e n tu n i t s 简写作b s a ) 一个b s a ( v ，k ，a ；1 ) 即为一个 1 - b s e c ( ，k ，a ) z h a n g 和c h a n g 【2 4 ，2 5 】给出了口= 2 ，3 ，4 时b s a ( u ，3 ，入；q ) 的存在 谱。 二维b s e c 的思想最早被h e d a y a t 等人在 2 】中提出后来，b r y a n t ，c h a n g ，r o d g e r 和w e i 2 6 给出了二维不含邻点的平衡样本设计的概念二维意味着点集如磊磊 在二维上排列点( z 一1 ，可) ，( z + 1 ，可) ，( z ，y 一1 ) ，和( z ，y + 1 ) ( 前一个分量模n ，后一 个分量模m ) 均称为与点( z ，y ) 是2 一相邻的如在图1 中标号为c 的点是点b 的2 - 邻 点由于当m = 2 或n = 2 时每个点均没有四个2 邻点，这样的b s e c 在应用中意义 不大，故一般考虑m ，7 2 2 的情况 c c bc c 图1 点c 为点b 的邻点 定义1 2 2 设x = z nx ，召是x 的一些k 子集构成的集簇，8 中元称为区组若 对子( x ，8 ) 满足：任意两个2 一相邻的点不在任何区组中出现，而任意两个非2 一相邻的 点恰出现在a 个区组中，则称( x ，层) 为一个2 维不含邻点的k 长平衡样本设计，记为 2 一b s e c ( n ，们，k ，a ) 由于不会产生混淆，以下我们将2 邻点简单说成邻点显然，一个2 - b s e c ( 1 ，m ， k ，a ) 即为一个1 - b s e c ( m ，k ，a ) ；且一个2 - b s e c ( n ，m ，k ，入) 存在当且仅当一个2 - b s e c ( 7 n ，扎，k ，入) 存在 例1 2 1 一个2 一b s e c ( 3 ，3 ，3 ，1 ) ， 点集： 圈 3 区组为： 1 ，5 ，9 ) ， 1 ，6 ，8 ) ， 2 ，6 ，7 ) ， 2 ，4 ，9 ) ， 3 ，5 ，7 ) ， 3 ，4 ，8 ) 经过简单的计算，我们很容易得到一个2 - b s e c ( m ，n ，k ，a ) 存在的必要条件： 引理1 2 1 一个2 b s e c ( m ，凡，k ，a ) ，m ，佗 2 存在的必要条件是： 1 ) a m n ( m n 一5 ) 三0 ( m o dk ( k 1 ) ) ， 2 ) a ( m n 一5 ) 兰0 ( r o o dk 1 ) 显然，当k = 4 时，上面的必要条件与下面引理是等价的 引理1 2 1 7 一个2 b s e c ( m ，1 2 ，4 ，a ) ，m ，佗 2 存在的必要条件是： a 三1 ，5 ( m o d6 ) ，7 7 7 , | 7 2 三5 ，8 ( m o d1 2 ) a 三2 , 4 ( m 。d6 ) ，m 礼三2 ( m 。d3 ) ( 1 ) a 三3 ( m o d6 ) ，m n 三0 ，1 ( m o d4 ) a 三0 ( m o d6 ) ， vm ，n 若存在一个2 - b s e c ( m ，n ，4 ，a 1 ) 和一个2 - b s e c ( m ，礼，4 ，a 2 ) ，则存在一个2 - b s e c ( m ，n ，4 ，a l + a 2 ) 故完全解决2 b s e c ( m ，n ，4 ，a ) 的存在性只需考虑下列情况： a = 1 ，m n 三5 ，8 ( r o o d1 2 ) a = 2 ，m n 兰2 ( m 。d3 ) ( 2 ) a = 3 ，m n 三0 ，1 ( m o d4 ) 入= 6 ，vm ，扎 b r y a n t ，c h a n g ，r o d g e r 和w e if 2 6 】讨论了区组长为3 的二维不含邻点的平衡样本设 计，利用m g d d 给出了一个2 - b s e c 的构造方法，并且通过l a n g f o r d 序列证明了a = 1 时2 维不含邻点的3 长平衡样本设计的充分必要条件 定理1 2 5 如果存在一个m g d d k ：入，7 n ，m 7 】，一个1 - b s e c ( m ，七，a ) ，和一个1 - b s e c ( n ，k ，a ) ，则存在一个2 - b s e c ( m ：t l ，七，a ) 定理1 2 6 如果入( m 一3 ) 三0 ( m o d6 ) ，a ( n 一3 ) 兰0 ( m o d6 ) ，并且m ，n 1 ，3 ) 或 仇，n 9 ，则存在一个2 b s e c ( m ，几，37a ) 4 定理1 2 7 一个2 一b s e c ( m ，n ，3 ，1 ) 存在的充分必要条件是m ，n 均为奇数，并且m 兰 n 三3 ( m o d6 ) 或m n ( m o d6 ) 对于区组长为4 的二维不含邻点的平衡样本设计，它的存在问题还远没有被完全 解决g e ，w a n g 和w 色i 【2 7 】利用上面的定理1 2 5 证明了如下结果； 定理1 2 8 当m ，n 1 2 且m ，n 三0 ，3 ( m o d4 ) 时，存在2 - b s e c ( m ，n ，4 ，3 ) ；当m ，n 1 2 时，存在2 - b s e c ( m ，佗，4 ，6 ) 1 3 本文的主要结论 在本文中，我们将主要讨论区组长为4 的二维不含邻点的平衡样本设计的性质、构 造方法和存在性二维不含邻点的甲衡样本设计的构造在文章 2 6 ，2 7 】中有所讨论，给 出了一些构造方法这些构造方法是基于直接构造及依赖于1 - b s e c 的存在结果给出 的，要进一步研究k = 4 的二维不含邻点的平衡样本设计，需要给出一些新的构造方 法我们利用g d d ，m g d d 和i g d d 给出了几个二维不含邻点的七长平衡样本设计的 递归构造方法 定理3 1 1 令k 是一个正整数集，k 7 ，f ，m ，7 ，z ，a 均为正整数假设存在m g d d k ，1 ， t ，t n 】，型为( m ，3 ) 卜1 ( z ，3 ) 1 的( k 7 7a ) i g d d ，对每个k k ，存在型为m 七和m “1 x 1 的 ( k 7 ，a ) g d d 如果存在2 - b s e c ( m ，n ，k 7 a ) ，2 一b s e c ( x ，n ，k 7 入) 和1 - b s e c ( 3 t ，k 7 ，a ) ， 贝0 存在2 一b s e c ( ( 一1 ) m + x ，扎，k 7 ，入) 定理3 1 2 令，m 为正整数集合，k 7 ，7 l ，u ，入l ，a 2 均为正整数假设存在型为7 7 , 1m ；2 m ? 的g d d a ，a l ，m ；口】，型为( 仇l ，2 ) 让t ( m 2 ，2 ) u z ( m ，2 ) m 的( k ，a l 入2 ) i g d d ，型 为2 丁的( k 7 ，a l a 2 ) - g d d ，t = u h ，和对每个k k 存在m g d d k 7 ，入2 ，k ，k n 如 果对每个h ，1 h t 。存在2 - b s e c ( m h ，n ，k 7 ，入1 a 2 ) ，则存在2 - b s e c ( v ，n ，k ，a , a 2 ) 定理3 1 3 令k ，k l ，m 为正整数集合，k 7 ，扎，u ，入l ，a 2 均为正整数假设存在型为m j 1m ；2 m 7 。的g d d k ，a l ，m ；钞】含有一个子设计g d d k , ，a l ，2 ；2 t ，t = u h ，存在型 | i l = l 为2 r 的( k 7 ，a l a 2 ) - g d d ，和对每个k k k l 存在型为的( k 7 ，入2 ) g d d 。对每 个k k l 存在m e d d k 7 ，a 2 ，n ，n k 如果对每个h ，1 h t ，存在2 - b s e c ( n ，m h ， k 7 ，a l a 2 ) ，贝存在2 - b s e c ( n ，口，七7 ，a l 入2 ) 在第二章中，我们给出了一个新的辅助设计( k ，a ) 一b s e c ( m “) ，讨论了它的性质 5 和存在性利用b s e c + 和带洞可分组设计，我们给出了下列递归构造 定理3 1 4 若存在一个( k ，a ) 一h g d d ( n ，m 。) ，一个2 - b s e c ( m ，n ，k ，入) 和一个( 4 ，a ) b s e c + ( m 。) ，则存在一个2 一b s e c ( m t ，儿，k ，a ) 由一般的递归构造，我们有下面定理和推论，用于具体构造区组长为4 的二维不含 邻点的平衡样本设计 定理3 2 1 令m ，礼，k ，a 1 ，a 2 足正整数，仇 2 ，佗4 且当入2 = 1 时n 6 假设 存在一个型为2 七的( 4 ，a 1 ) 一g d d 和一个型为( m ，2 ) 七的( 4 ，入1 ) i g d d 如果一个存在 2 - b s e c ( m ，n ，4 ，a 1 入2 ) ，则存在一个2 - b s e c ( k m ，n ，4 ，a l a 2 ) 推论3 2 1 令k 4 ，佗4 ，m 6 ，且a = 1 时n 6 如果一个2 一b s e c ( m ，n ，4 ，a ) 存在，则存在一个2 b s e c ( k m ，n ，4 ，a ) ，其中若m 三0 ( m o d2 ) ，克兰1 ( m o d3 ) ，或着 若m 兰1 ( m o d2 ) ，k 三1 ，4 ( m o d1 2 ) 推论3 2 2 令m 6 ，n 4 ，n 6 且a 1 若一个2 - b s e c ( m ，n ，4 入) 存在，则一个 2 - b s e c ( 4 m ，几，4 ，a ) 存在 定理3 2 2 令m 1 2 ，n 4 ，且几6 如果一个2 - b s e c ( m ，n ，4 ，1 ) 存在，则存在一 个2 一b s e c ( 4 m ，n ，4 ，1 ) 定理3 2 3 若存在一个( 4 a ) - h g d d ( n ，2 k 3 2 ) ，一个2 一b s e c ( 2 ，佗，4 ，a ) ，一个2 - b s e c ( 3 ，n ，4 7a ) 和一个1 - b s e c ( 2 k 十3 ，4 ，a )