（基础数学专业论文）基于wielandt方法的perronfrobenius理论及其推广.pdf

学位论文版权使用授权书 iiiiiiiifllllllrlllllilll1111111 y 17 8 0 6 3 6 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 矽葛莓 新虢翩湃 签字日期：p , 口年钐月i 日签字日期：2 , , 0 1 0 年吕月j 1 日 中图分类号：0 1 5 1 2 1 u d c ：5 1 2 学校代码：1 0 0 0 4 密级：公开 北京交通大学 硕士学位论文 基于w i e l a n d t 方法的p e r r o n f r o b e n i u s 理论及其推广 t h ep e r r o n f r o b e n i u st h e o r ya n di t sd e d u c t i o nb a s e do nt h e w i e l a n d tm e t h o d 作者姓名：王茗茗 导师姓名：李思泽 学位类别：理学 学科专业：基础数学 学号：0 8 1 2 2 1 1 2 职称：教授 学位级别：硕士 研究方向：代数表示论 北京交通大学 2 0 1 0 年6 月 致谢 本论文的工作是在我的导师李思泽教授的悉心指导下完成的，向我的导师李 思泽教授表示衷心的谢意。李老师严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大 的帮助和影响，李老师在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此衷 心感谢两年来李老师对我的关心和指导。 江中豪教授和吴发恩教授对于我的科研工作和论文提出了许多的宝贵意见， 在此表示衷心的感谢。 感谢我同门的师姐师妹师兄。共同的学习生活使我收获多多。 我还要感谢同窗两年的各位同学。我从他们身上学到了很多有益的知识和学 习的方法。两年多的同窗之谊，离别之际，更显珍贵。我为自己生活在那种坦诚 相待，互帮互助的氛围中感到莫大的荣幸! 最后，感谢各位专家，学者在百忙之中审阅我的论文! 中文摘要 摘要：代数表示论是上世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本 内容是研究环与代数的结构。在三十多年的时间里这一理论有了异常迅猛的发展 并且趋于完善。 对于正方阵，p e r r o n 在1 9 0 7 年首先发现一些谱性质，1 9 0 8 1 9 1 2 年f r o b e n i u s 扩大并推广p e r r o n 结果到非负矩阵特别到非负不可约矩阵情形。在1 9 7 3 1 9 7 5 年， 对可约矩阵情形的研究也取得令人满意的成果。 对于矩阵谱性质的研究，无论是在理论上还实际上都有其应用价值。在各 类矩阵的谱分析，尤其是对于m a r k o v 链理论、方程组的求解、偏微分方程( 组) 数值解的一般理论的应用，一直是科学家十分关心的热门话题。 基于以上成果及其应用价值，文章对矩阵的谱性质及结构进行了一系列的 研究及推广。本文内容主要通过介绍非负不可约矩阵( 包括正方阵) 的 p e r r o n f r o b e n i u s 理论，并且采用w i e l a n d t 的办法推演这一理论( 推演这一理论的方 法有多种，见文献 5 和文献【6 】) ，得出一般非负方阵的p e r r o n f r o b e n i u s 理论的古 典结果与它的推广。它的某些推论可以给出谱半径的估计界限以及分析非负不可 约矩阵的谱结构，这个在理论上尤其在矩阵迭代分析中有着重要作用。 关键词：非负不可约矩阵；p e r t o n f r o b e n i u s 理论；谱半径；非负不可约矩阵的谱 结构。 分类号：0 1 5 1 2 1 a bs t r a c t a b s t r a c t ：a l g e b r ar e p r e s e n t a t i o nt h e o r yi san e wa l g e b r a i cb r a n c ha r i s i n gi n19 7 0 s w h o s er e s e a r c h e sm a i n l yf o c u s e so nr i n g sa n da l g e b r a i cs t r u c t u r e s 、m m i l lt h i r t yy e a r s ， t h i st h e o r yd e v e l o p e dr a p i d l ya n db e c o m i n gp e r f e c t p e r r o nf i r s t l yd i s c o v e r e dt h es p e c t r u mp r o p e r t i e sa b o u ts q u a r em a t r i xi n19 0 7 a f t e r t h a t ，d u r i n gy e a r19 0 8t o 1912 ，t h e s er e s u l t sh a v eb e e ne x p a n d e dt oc a s e sa b o u t n o n n e g a t i v em a t r i c e s ，b yf r o b e n i u s ，e s p e c i a l l yc o n c e r n e d 丽mt h en o n n e g a t i v e i r r e d u c i b l em a t r i x i ny e a r19 7 3t o19 7 5 ，t h e r ea r ea l s os a t i a b l er e s u l t sd e r i v e df r o mt h e r e s e a r c h e so nc a s e so fr e d u c i b l em a t r i x t h es t u d yo ft h es p e c t r u mp r o p e r t i e si sb o t ht h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l yv a l u a b l e i t su s ei ns p e c t r u ma n a l y s i so fa l lk i n d so f m a t r i c e s ，e s p e c i a l l yi nt h et h e o r yo fm a r k o v , a n s w e ro fe q u a t i o n s ，t h eg e n e r a lt h e o r ya b o u tt h en u m e r i c a ls o l u f i o no fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i sa l w a y sa p o p u l a rq u e s t i o nc o n c e r n e db ys c i e n t i s t s b a s e do ns u c hr e s u l t sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，t h ep r o p e r t i e sa n ds t r u c t u r eo f s p e c t r u mw e r es t u d i e di nt h i sp a p e r t h i sp a p e rt r i e st oi n t r o d u c et h ep c r r o n - f r o b e n i u s t h e o r y o nn o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l em a t r i x ( i n c l u d i n gs q u a r em a t r i x ) a n da d o p t s w i e l a n d t sm e t h o dt od e d u c ei t ( t h e r ea r em a n yw a y st od e r i v et h i st h e o r y , s e e r e f e r e n c e 5 】a n d 6 ) b yd o i n gs o ，t h ec l a s s i c a lr e s u l t so fp e r r o n - f r o b e n i u st h e o r yo n c o m m o nn o n n e g a t i v em a t r i xa n dm e i rg e n e r a l i z a t i o n sa r ed e r i v e d s o m eo ft h e s e c o r o l l a r i e sc a np r o v i d eb o u n d a r ye s t i m a t i o no ns p e c t r u m sr a d i u sa n di t ss t r u c t u r a l a n a l y s i so fn o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l em a t r i x t h e s er e s u l t sa r ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a l l y , e s p e c i a l l yw i t h i nt h er e a l mo fm a t r i xi t e r a t i o na n a l y s i s k e y w o r d s ：n o n n e g a t i v ei r r e d u c i b l em a t r i x ；p c r r o n - f r o b e n i u st h e o r y ；t h er a d i u s o fs p e c t r u m ；s p e c t r u ms t r u c t u r eo f n o n n e g a t i v e i r r e d u c i b l em a t r i x c l a s s n o ：0 15 1 2 】 目录 中文摘要i i i a b s t r a c t i v 1 引言1 2 不可约非负矩阵的基本知识和重要结果2 2 1 不可约非负矩阵2 2 2 最基本的结果4 2 3 不可约非负矩阵的p e r r o n - f r o b e n i u s 理论6 2 4 不可约非负矩阵谱半径的性质8 2 5 不可约非负矩阵谱结构及其性质1o 3 推广的p e r r o n f r o b e n i u s 理论及其古典结果1 5 4 谱半径的估计界值及几个结果1 8 5改进及遗留的问题2 4 参考文献2 6 独创性声明2 7 学位论文数据集2 8 7 1 引言 1 9 0 7 年，p e n o n 【l 】首先发现，任何一个刀阶正矩阵彳的谱半径p 口) 是矩阵彳 的特征值。f r o b e n i u s 2 卅在1 9 0 8 1 9 1 2 年间把p e r r o n 的结论推广到非负矩阵，特别 是不可约非负矩阵的情形，从而使非负矩阵理论得到迅速发展，然后通过著名的 矩阵论专家b r a u ea ，j o h n s o ncr ，v a r g ars ，o s 仃o w s k ia 等卓有建树的工作， 现在已逐步形成比较完美的理论体系。非负矩阵理论一直是代数中最活跃研究领 域之一，并且在数学和自然科学的许多其他分支以及社会科学中有着广泛应用。 例如，在各类矩阵的谱分析，尤其是对于m a r k o v 链理论、方程组的求解、偏微分 方程( 组) 数值解的一般理论的应用，一直是科学家十分关心的热门话题。 首先介绍有关定义和符号。设表示实数域r 上所有力元数组x = 伍 勘，x 9 丁 集合构成的刀维向量空间。中元素x 称为”维向量。实数x ；称为”维向量 x = ( 五，x 2 ，x 。) r 的第f 个坐标。群表示尺”中坐标非负的刀维向量的集合。r ：中的 向量x 称为刀维非负向量，记为x 0 。如果非负向量z 的坐标都大于零，则称x 为 正向量，记为x 0 。设尺“( c 射”) 表示实数域r ( 复数域c ) 上所有m x 刀矩阵 a = ( ) 肿。的集合。如果矩阵a = ( a o ) 。的所有元素口l ，0 ，则称矩阵a 为非负矩 阵，记为a 0 。非负矩阵a = ( a o ) 。中的所有元素a g 0 ，则称矩阵彳为正矩阵， 记为a 0 。矩阵a = ( ) 脚的刀个特征值 ，如， 组成的集合称为a 的谱，记为 盯( 么) ，即仃( 彳) = ，如，以 。矩阵么的刀个特征值的模的最大值称为a 的谱半 径，记为p ( a ) ，即p ( a ) = m a x & i ，i 五i ，i 以i j 。记= l ，2 ，力 。 2 不可约非负矩阵的基本知识和重要结果 2 1不可约非负矩阵 设矩阵4 是”阶方阵，如果存在一个置换矩阵p r 肼打，使得b = p a p r ，则称 矩阵a 同步于矩阵口。 定义2 1 设刀阶方阵a 0 ，如果存在一个置换矩阵p r 棚，使得 p a p r = ( 言三) ，其中b 和。分别是后，z 阶方阵，k _ l n l ，则 称彳是可约矩阵；否则称彳是不可约矩阵。 例 2 1 1 设非负矩阵a = ( 嘞) 是不可约矩阵， 向量 x - ( 西，x 2 ，) r 0 ，a x = 0 ，nx = 0 。 证明：假设x k 0 ，根据题意，则 打 o = ( 血) l = a o x j - - a , k x k 。 m l 因此对任意的下标f n ，有吆= 0 ，即矩阵4 的第k 列是零列，于是么是可约 矩阵，与题设矛盾，所以x = 0 。 定理2 1 1 设n ( n 2 1 阶非负矩阵彳是不可约矩阵，非负向量x 恰好有k 个正 坐标，1 k 刀一1 ，则向量y = ( i + 彳) x 有多于k 个正坐标。 证明：根据题意，x 恰好有k 个正坐标，其他坐标为零，则存在刀阶置换矩阵 ，( 1 ) 、 尸，使得 = i i ，其中x ( 1 ) r 为正向量。由于矩阵a 0 ，在向量 l0 j y = ( ，+ 彳h = x + 出中，零坐标的个数不大于丹- k ，假设为刀一k ，这表示当t = 0 ，( 1 ) 、 时有。砷，= o ，即p y = 【乞j ，其中y 。) r 为正向量。同时， 由于 p y = p x + 剐p r a ，因此 其中朋儿眭劣由此可毗。，且邝。，所以她。一o ，这 与矩阵彳是不可约矩阵矛盾，所以向量y = ( i + a ) x 有多余七个正坐标。 推论2 1 1 设力阶非负矩阵彳是不可约的，非负向量x 0 ，( ，+ 彳) ”1 x 0 。 2 、j ) ) 0 o x x 扒 4 彳 ， + 、， o ，l、 = 、j o v 0 八 ! 控 彳4 n 烈 4 彳 ，一 + 、，j o ，。_ = 一、， 沙o ，。，。一 推论2 1 2 设刀阶矩阵a 0 ，则4 是不可约矩阵的充要条件是( ，+ 彳) ”1 0 。 证明：如果彳是不可约矩阵，根据推论2 1 1 ，则 ( + a ) n - i e i 0 ，i n ， 其中向量q 是第f 个分量为1 ，其他分量为0 的向量。换言之，矩阵( ，+ 彳) 卜1 所 有列为正向量，即( ，+ 彳) ”1 0 。 反之，假设彳是可约矩阵，根据定义2 1 ，存在一个置换矩阵p ，使得 p a p r = ( 。 易知 p c ，+ 彳n - i p r = c ，+ 朋p r ，”l = ( ，玄召，+ c 。 ”1 有零元素，即 ( ，+ 爿) ，l - 1 有零元素，这与假设矛盾，故彳是不可约矩阵。 定理2 1 2 不可约非负矩阵的非负特征向量必是正向量。 证明：假设a x = 触，其中a 0 是不可约的，非零特征向量x 0 ，显然力是 矩阵么的非负特征值。由于 ( ，+ a ) x = ( 1 + ；o x 如果向量x 有k 个正坐标，1 s 七刀，则( 1 + 五) x 同样有k 个正坐标，但由定理 2 1 1 知，( ，+ a ) x 有多于k 个正坐标，假设错误，因此，向量x 0 。 记”阶非负矩阵彳= ( 乃) 脚的七次幂么的( f ，) 位置上的元素为口 n 。 定理2 1 3 设4 = ( ) 0 ，则彳是不可约矩阵的充分必要条件是对每一个 f ，j e n ，都存在正整数七，使得 0 。 证明：假设矩阵彳是不可约矩阵，根据推论2 1 2 知 ( j + 么) 州 0 。 设b = ( 6 ：f ，) = ( ，+ 彳) ”1 a ，显然b 0 ，把b = ( ) = ( ，+ 彳) ”1 a 展开得 b = a ”+ 厶一l a ”一1 + + c 2 a 2 + q 彳， 则 反之，假设矩阵a 是口j 约矩阵，根据足义，仔在重抉矩陴p ，仪得 p a p r = ( 言三) ， 其中矩阵b 是，矩阵。有 c p a p r ) k = 脚r = 瞄升 即满足，+ 1 i ”和1 j ，的f ，j ，p a p r 的( f ，j ) 位置的元素对任意的正整数七都 县零所p j 牾阵a 县不可约牾阵 2 2最基本的结果 推演p e r r o n f r o b e n i u s 理论基本定理的方法有多种( 见文献 5 或文献【6 ) ，我们 这里主要采用w i e l a n d t t 7 】的办法。为此先引入c o l l a t z w i e l a n d t 函数，利用它的性 质可以比较自然地得出一些基本结果。 定义2 2 设彳是，l 阶不可约非负矩阵，任意向量x 0 ，且x 0 ，函数 咖) = 卿譬 称为关于矩阵a 的c o l l a t z w i e l a n d t 函数，简称为a 的c w 函数。 例2 2 设么= ( ) 删是刀阶不可约非负矩阵，p = ( 1 1 ，1 ) r ，则 僻疵瞽) = ，l 睾lj 这里，是矩阵么的最小行和。 定理2 2 1 设彳是行阶不可约非负矩阵，厶( x ) 是伴随于矩阵么的c w 函数， 则 ( 1 ) 函数_ ( x ) 是零次齐次和有界函数； ( 2 ) 如果非负向量x 0 ，数p 满足a x p x ，贝ur a x ) p ； ( 3 ) 如果非负向量x 0 ，y = ( ，+ 4 ) ”_ x ，贝0 乙( y ) ( x ) 。 证明：( 1 ) 对任意实数， 0 和非负向量x 0 ，因为 似) = 硼鬻= m 即i n 叫t ( a 破x ) , = m 矿i n 。警吲班 4 即以( x ) 是零次齐次函数。下面证明乙( _ c ) 是有界函数。 显然么( 砷o 。设数c 表示矩阵彳的最大列和，即f = m 句a 如x 善嘞。根据_ ( 功的 定义，对于所有的下标n ，r 4 ( x ) x j ( 出) j ，所以有 一”打一一 乙( x ) _ c = 厶( x ) x ( 么j c ) = e a 皿以 j = l= lj = l= lk = i 故乙( x ) c 。 ( 2 ) 根据函数_ ( x ) 的定义，有a x - r ( x ) x 0 ，且向量x 有下标k ，使得 ( a x ) i = _ ( x ) 砟。假设_ ( x ) p ，则( a x ) i 一聪 0 。取p = 三( 1 1 ，1 ) r ，则 心= 叩警= 叩喜矿。， 6 由于矩阵彳不能够有零行，所以， 0 。 其次，证明r 是么的一个特征值。我们有 血c ( o ) 一r x ( o ) 0 。 假设y = a x 0 1 一t x o 0 ，根据推论2 1 1 ，有 ( ，+ 么) 川( a x - - t x o ) 0 ， 即 砂一r y o 0 ， 其中y o = ( ，+ 4 ) ”1x 们。由于砂0 1 一r y o 0 是严格不等式，必存在一个正数 占，使得 4 ) ，0 1 一( ，+ e ) y o 0 。 从而由定理2 2 1 得 ( ，+ g ) - r a ( y o ) ， 即 ， 0 。我们其实证明了对应于 p 的特征向量不会有零元素。假设任意非零向量) ，z ，则i 叫 o ，l z i 0 。可以 得出a ( z l y - y l z ) = p ( z l y - y l z ) ，即向量( z l y - y l z ) ，但由于向量z l y y l z 的第 一个坐标为零，所以它不是特征向量。因此 z l y y l z = 0 ， 即y 和z 是线性相关的，证得特征子空间圪是一维的。 现在可以证明p 是a 的特征方程的单根。设矩阵a 的特征多项式为 ( 允) = d e t ( m a ) ，只需证明( p ) 0 。利用公式 丢( d e t 柳= 毫( - 1 ) 州d e t x 叫力丢即 其中x = ( 勤) 脚的每个元素勤是五的可微函数，d e t x ( 秒) 表示把矩阵x 的第f 行和第列去掉后的行列式。利用上面公式可得 ：( 见) = 瓦d ( d e t ( 以一4 ) ) = 喜d e t ( 甜一彳) ( 乖) = 耖【耐( 甜一彳) 】， 其中卿( 甜一么) 是矩阵村一么的伴随矩阵，r r ( a ) 表示矩阵a 的迹。 设b ( p ) = a g j ( p ，一a ) ，则( p ) = t r b ( p ) 】。因为数p 是( 名) = 0 的根，所以 ( 一彳) b ( p ) = d e t ( p i a ) i = 0 因为关于p 的特征子空间圪的维数是1 ，所以r a n k ( p i 一彳) = 刀一1 ，由此 b ( p ) 0 。设b ( p ) 的第j f 列b ( 户) 。，0 ，由等式a b ( p ) = p b ( p ) 得 a b ( p ) 。，= 胪( p ) 。，即b ( p ) 。，是彳的关于p 的一个特征向量。同时因为特征子空 间圪的维数是1 ，所以b ( p ) 。，的每一个坐标的符号相同，故此b ( p ) 的每一列是某 个正向量的实数倍。另一方面，b ( p ) r = a d j ( 蹦一彳r ) ，且么r 是有最大特征值p 的 不可约非负矩阵。因此，上述结论对于b ( p ) r 的列，即对于b ( p ) 的行也成立。由 此得b ( p ) 0 或b ( p ) 0 ) ，则p 所对应的任意特征向量必为缸( 七0 ) 。 推论2 4 2 设矩阵彳是刀阶不可约非负矩阵，p 是彳的谱半径，且 b ( p ) = a d j ( p i 一4 ) ，贝0b ( p ) 0 。 我们已经证明了不可约非负矩阵的谱半径是其最大特征值，且是特征方程的 单根。虽然该矩阵可能有别的正特征值，但值得注意的是，一个不可约非负矩阵 9 的正特征向量在不计正数倍的差别时是该矩阵仅有的非负特征向量。 2 5 不可约非负矩阵谱结构及其性质 定理2 5 1 设矩阵4 是刀阶不可约非负矩阵，则彳在e ”中恰有一个特征向量。 证明：设彳的谱半径为p ，且x e ”是彳7 的正特征向量，即a r x = p x 。令 y e ”为a 的任意非负特征向量，即a y = 砂。 如果( ，) 表示标准内积，则 2 ( y ，x ) = ( a y ，x ) = ( y ，a r x ) = p ( y ，x ) ， 由于j ，e ”和x 0 ，所以有( y ，x ) 0 ，因此，五= p 。也就是说，彳的对应于 非负特征向量的唯一特征值为p ，再由定理2 4 1 即得所需结论。 定理2 5 2 t 8 1 设矩阵么是刀阶不可约非负矩阵，b = ( ) 脓。是行阶复数矩阵。记 l b i - - ( i b ，1 ) 。如果例彳，则对b 的任意特征值名，有 i 允i p ( 彳) ， ( 2 5 1 ) 式( 2 5 1 ) 成立的充要条件是b = p 印d a d 一，其中名= p 印p ( 彳) ，缈 o ，2 万) ，i d i = ， 证明：因为数兄盯( b ) ，所以存在非零向量x ，使得b x = 触。因此， 叫= l b x i q x i ，i x l 0 。 ( 2 5 4 ) 从而有( 彳一旧) h = 0 。由条件俐a _ g i x i o ，得到4 = i b i 。设 。= 姗哆l 丽x 1 ，丙x 2 ，南) ， 其中x = ( x 。，x ：，x 。) r ，则l d i = ，x = 驯x i 。设力= p 印p ( 彳) ，矿【o ，2 万) 。根 ( 3 ) 若办 1 ，则存在刀阶置换矩阵尸，使得p a p r 具有如下形式 p a p = 0 a z 2 0 0 0 a 2 3 o0 0 oo0 a h l 0 0 oo 0o a340 0 a 一1 oo ( 2 5 9 ) 其中主对角线上的0 块都是方阵。 证明：( 1 ) 由定理2 5 2 的证明和推论2 5 2 可得 a = p j a , b 彳d t 一，l d t i = i ，= 0 , 1 2 ，h - 1 ， ( 2 5 1 0 ) 或 a = e 叫b d f a d , ，l d t | _ ，t = o ，l ，- ，2 ，h - 1 。 ( 2 5 1 1 ) 因此彳与p “岛么相似，从而它们有相同的谱。故 芒蚓b 以1 f = 0 ，1 ，2 ，h 一1 ；p = 0 ，1 ，2 ，h 一1 = 芒“僻以l f = 0 ，1 ，2 ，妇一1 p = o ，1 ，2 ，拍一1 j 是么的模为p 的特征值的集合。设g = p o o , ej o l ，p 。 ，n g 是一个厅阶有限 可换乘群，即( e 最) h = 1 ，故p b 是办次单位根，从而以= p e 。q 是方程力一p = 0 的 h 个不同的根。 ( 2 ) 设盯( a ) = 乩，五，以 ，则矩阵p 。t 彳的谱为 p i i ，e 百 ，e 。i 以 ，相 2 j ri 2 石2 嚣2 石 l lj 当于把谱盯( 4 ) 旋转孥。由推论2 5 2 知，矩阵a 与p i - - 6 彳相似。因此 盯( 么) ：盯( p 警彳) 。由结论( 1 ) ，旋转任意一个小于孥的正角时，不能使谱保持不 变。 ( 3 ) 由推论2 5 2 知，a = e t d , a d , ，= o ，l ，2 ，h l 。按定理2 5 3 的证 明，我们可取d ，的第一个主对角元素为l 。现证明d ，被唯一确定，r = 0 , 1 ，2 ，h - 1 。 因为由定理2 5 3 ，存在向量x 0 ，使得a x = p x 。设y = d , x ，由式( 2 5 1 0 ) 得到 a y = 以y ，y 0 。而丑仃( 彳) 是单重特征值，故此y 与口不计常数因子是 唯一确定的。但口的第一个主对角元素为1 ，因此口是唯一确定的。 由式( 2 5 1 0 ) 可推出仇d ，1 x 是对应于肛最乃的特征向量，后，歹= 0 ，1 ，2 ，h - 1 。 因此成，q ，岛，。也构成阶为h 的有限乘群，从而d ? = ，f = o ，1 ，2 ，h - 1 。故d f 的 1 2 主对角元素是办次单位根。因为h i 和d h = ，所以必存在以阶置换矩阵尸，使得 p d l p r ：垒p 机i 2 1 f ， 其中是乙，表示s 个阶依次为朋，的矩阵的直和，即兽毛2 d i a g ( t , , 乙：，乙) ， 0 = m a m 2 办一1 。把剐尸r 分块使它与尸d l 尸r 有相同的块结构，即 以p r = ( 彳胛) ，其中a e q 是玎，l g 子矩阵，p ，q s 。由于剐尸r = p 6 ( 尸d 1 尸r ) ( 剐p r ) ( p d i p r ) ，因此可得 么朋：p 帅，”口咩彳用 ， p ，g s 。 由上式有，对任意p s ，a 彤= 0 。又如果彳月0 ，则必有 m g m p 奎l ( m o d h ) 。 ( 2 5 1 2 ) 根据么的不可约性，对于任意p s ，必存在q s ，使得a w 0 。同样，对每 个q s ，存在p s ，使得么w 0 。 v 2p = l ，则从聊。= o 和式( 2 5 1 2 ) 可得 m g 三l ( m o d h ) 。 ( 2 5 1 3 ) 因为0 = ，l l m 2 l ，则4 称为 具有指标办( 1 ) 的循环矩阵( 或非素矩阵) 。按照这个定义，任意正方阵一定是素 矩阵，但反之不真。 1 4 3 推广的p e rr o n - f r o b e niu s 理论及其古典结果 本章考虑把p c r r o n f r o b e n i u s 理论及一些主要结果推广到可约非负矩阵的情 形，从而获得一般非负矩阵的p c r r o n f r o b e n i u s 理论。 由不可约非负矩阵定义容易知道，如果4 是刀阶可约矩阵，则存在刀阶置换矩 阵p ，使得p a p7 有上三角分块形式 召= 刚p r ： 4 ，4 ： 0 4 2 o0 oo a 1 3 a b 么2 3 么2 j a 3 3 a 3 j 0 a 帮 ( 3 1 1 ) 其中a 甜是不可约方阵( 包括一阶零矩阵) ，s = 0 , 2 ，s 。称可约矩阵彳的式 ( 3 1 1 ) 为彳的f r o b e n i u s 标准形，简称彳的标准形。 例3 1 设矩阵 则彳的标准形式 a = b = o0 1l 10 1l 11 11 1o 0o 10 11 1o 01 o1 11 10 1o 定理3 1 设矩阵彳是刀阶非负矩阵，则彳的谱半径p ( a ) 是彳的一个特征值， 且其对应于一个非负特征向量。 证明：设a 。= a + c b ，其中任意占 o ，b 0 ，则4 0 ，即彳。是不可约非负 矩阵，因此，根据定理2 3 1 ，矩阵彳。的谱半径p ( a 。) 是彳。的一个正的特征值， p ( a 。) 对应于一个正的特征向量x 。e ”，使得彳。x 。= p ( a 。) x 。 同时，由于矩阵特征值和特征向量是矩阵元素的连续函数。因此，当s 专0 时， 有么。_ a 和x 。_ x ，还有p ( a 。) 一p ( a ) 。对彳。x = p ( a 。) x 。两边取极限得 錾理彳。x 。= a x = 1 ) m p ( a 。) x 。= p ( a ) x ， 1 5 其中x e ”，p ( 彳) 0 。从而定理得证。 小结：由定理2 5 1 知道，不可约非负矩阵4 的最大特征值p ( a ) 的代数重数为 l 。同样，也对可约矩阵的最大特征值p ( a ) 的代数重数作讨论。 假设彳有标准形( 3 1 1 ) ，令非负矩阵d 。如下 d a = d f a g ( a l l ，a 2 2 ，a 船) 。 定理3 2 1 1 0 】设矩阵彳是刀阶非负矩阵，它的标准形式为( 3 1 1 ) ，则么的谱半 径p = p ( a ) 的代数重数等n - r a n k ( p i 一见) 。 证明：设p 的代数重数为k 。因为数p 是彳的特征值，所以必是某些主对角 块4 。的特征值。由于a 是不可约矩阵，所以如果p 是以的特征值，则p 是4 ，的 单重特征值。设p 是4 ，f k 的特征值。由定理2 4 1 的证明可知 d i m ( k e r ( p i - a “) ) = 1 ，其中么是甩f f 阶不可约矩阵，t k 。 因此 r a n k ( p i - a “) = 飞- 1 。设集合口= 如 ，甩kj ，则当f 叠口时，户不是彳。的特征 值，从而一彳。是可逆矩阵，所以r a n k ( p i - a 。) = ，其中，z ，是彳甜的阶数。因此， ，l 一朋砒( 一巩) = 刀一( r a n k ( p i - a “) ) i = l = 刀一r a n k ( p i - a “) 一r a n k ( p i - a 打) = k 。 二一 “7 j ” i e o tf 口 定理3 3 设非负矩阵a = ( ) 嘞，非零向量x o 且满z 足_ a x 饿，则p ( 么) a 。 i y n ：设任意实数f o ，构造矩阵彳。= ( 口f f + s ) 脚，na , 0 ，4 r 0 ，故存 在正特征向量x ( g ) ，使得彳。r x ( 占) = p ( a , r ) x ( s ) = p ( a j c p ) ， 有 x p ) ra 。= p ( a 。) x ) r 。又有a x - a x 0 ，所以有 a , x n x a x 一甜0 。 进一步得 x ( s ) r ( 么。x a x ) = p ( a 。) 一口】x ( g ) r x 0 。 由于x ( 占) r x 0 ，所以对任意占 0 ，有 p ( a 。) 一a 0 。 当占- - - y0 时p ( 彳。) 专p ( 彳) ，由上不等式即可推出p ( 彳) 口成立。 定理3 4 设非负矩阵么= ( ) 脚，正向量y 满足y r a = p ( a ) y r ，且非零向量 x o 满足a x p ( a ) x ，贝0 有, i x = p ( a ) x 。 证明：由于 1 6 y 1 血一p ( a ) x 】- p ( a ) y r x p ( a ) y r x = 0 ， 而y 0 ，有y r x 0 ，即有a x - p ( a ) x = 0 ，从而结论成立。 1 7 4 谱半径的估计界值及几个结果 对于非负矩阵谱的估计，最主要的是估计非负矩阵谱半径的范围，它不仅在 理论数学方面是重要的，而且在需要用最大特征值的一个初始估计值的迭代计算 过程方面也是重要的。如果其上、下界可以用非负矩阵元素的易于计算的函数估 计，例如行和、列和等，此种估计值尤其有用。 非负矩阵谱半径的最有名且应用最多的界值由f r o b e n i u s 首先得到。设数一和 q 分别表示矩阵a = ( ) 棚的第衍于行和与第j 列列和，即 = 口席，c = 口茸，f ，a 。 22 二口席c 2 己口茸， 。 k = lk = l 令，= m i 犁，r = m a x r t ，即r ，分别表示矩阵a 的最大与最小行和。 引理4 1 设五是疗阶矩阵爿的任意特征值，向量x = ( x 。，x 2 ，oo * ) x 。) r 和 y = ( y 。，j ，2 ，y 。) r 分别是彳r 和a 对应于旯的特征向量，则 旯x ，= 一， j = lt = l ( 4 1 1 ) 旯y ，= e y ，c ，。 ( 4 1 2 ) i = 1t = l 证明：根据题意，a r x = a x ，有 等式两端对i 求和，得 如= 口“t ，i n 。 t = l nl , ih, i 一刀一 红= 旯一= 口“t = x t = t ， 1 = 1i = 1j = lf = l t = li = 1t = l 从而完成了对式( 4 1 1 ) 的证明。式( 4 1 2 ) 可以类似证明。 定理4 1 如果非负矩阵a = ( a # j ) 棚的行和分别为r l , r 2 ，r n ，则 ，p ( 彳) r ，( 4 1 3 ) 如果彳是不可约矩阵，则在不等式( 4 1 3 ) 中有一边等号成立当且仅当彳的所有 行和都相等。 证明：首先假设非负矩阵彳是不可约的，根据定理2 3 1 ，存在正特征向量y ， 使得砂= p ( a ) y ，则 p ( a ) y ，= y ，i n 。 j = l 设y = m a x y l ，y 2 ，y 。) ，则 p c 2 去否n y ，玄萎h 儿2 喜2 噍尺。 类似地，如果y 。= m i n y l ，y 2 ，儿) ，则 p ( 彳) 2 瓦1 缶n y ，万1 善n 儿2 喜口彬2 ，。 如果矩阵彳是可约的，则利用定理4 1 2 的证明中用过的同样的连续性论证方 法，就可以推出不等式( 4 1 3 ) 成立。 下面接着证明当么是不可约矩阵，则在式( 4 1 3 ) 中，有一边等号成立当且仅当 4 的所有行和都相等。 根