（基础数学专业论文）有限群的广义fitting子群的刻划和性质.pdf

摘要 有限群研究工作的一个重要途径是把有限群转化为某些具有比较简单结 构的群的自同构群给定一个群g ，它的广义f t 锄9 子群p ( g ) 具有比较简 单并且明确的结构，同时由于它在相应群g 中的中心化子( f + ( g ) ) 包含在 p ( g ) 中因此，下列同态包含关系成立：g ( f + ( g ) ) 同态于a u t ( p ( g ) ) 的 一个子群故p ( g ) 是一个应用十分广泛的子群本文通过群在群上的作用重 新给出了f t 撕n 9 子群f ( g ) 和广义f 删咖子群p ( g ) 的定义，同时对于e ( g ) 给出了一个刻划，并且讨论了有关的性质 关键词：幂零作用，成分，极小于群 a b s t r a c t a ni l l l p o r t a i l tl i l c t h o do fr e s c a r c hw o i ko l ln l l l t cg l _ o u pi st oc o n v c r ta6 n i t cg r o u p i n t oa na l l t o m o r p h i s mg r o u po fs o m eg r o u p sw j ht h e 曲n p l es 打u c t u r e l e tgb ea 矗n i t e g r o u p ，i 拈g e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u ph a sav e r ys i m p l ea n dd e 6 i l i t es t r u c t u r e ，a tt h e 8 a m et i m e ，w eh a v e ( p ( g ) ) f ( g ) t h e r e f o r e ，w ec a ng e tt h ef o l l o 而n gr e s l l l t ： g ( 强( f + ( g ) ) l si s o m o 。p h i ct oas u b g m u po fa t t ( f ( g ) ) i tm e a n st h a tf + ( g ) i sav e r y i m p o r t a n ts l l b g r 0 1 l pi na p p l i c 吼i o l l s i nt h i sp a p c r ，id c 丘n i t ea g a i nt h ef i t t i i l g s u b g r o u p a n dt h eg e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u pi n 曲ew a yo fa c t i o nt h a to n 。g r o u pa c t sa n o t h e rg r o i l p ，n l e a n w h i l e ，t h ed e s c r i p t i o no fe ( g ) i sg i v e n ，a n d 曲er e l a t e dp r 叩e r t i e sa r ed i s c u 8 8 e d k e y b r d s ：n j l p o t e n ta c t i o n ，c o m p o n e n t ，l i n i n l a l8 u b g r o u p s l l l 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一 切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者( 签名) 二零零六年四 焘囿 月；十日 f 引言 一个有限群的合成列( 主列) 和合成因子( 主因子) 对于考察该有限群的结 构起到了很大的作用，但是这种考察也有很大的局限性一个明显的事实是对 于一些最简单的有限群，如循环群五和初等可换群易易，我们就不能根据 合成因子做出准确的结论 为了更有效地考察有限群，我们利用一些“接近群底部”的子群做为工具， 这样的工具就是广义f 删n g 子群f + ( g ) 广义n 捌n 9 子群的概念是在f 饿讯g 子群的基础上提出的f t 机9 子群对于考察可解群发挥着极其重要的作用 一个群g 的f n g 子群f ( g ) 是群g 的一个特征子群；若g 可解，则成立 ( f ( g ) ) f ( g ) ，这样g 作用在f ( g ) 上，而且g ( f ( g ) ) 同态于a t 时f ( g ) 的 一个子群但如果g 不具有可解性，则一般地( f ( g ) ) 茎f ( g ) 不再成立 1 9 7 0 年前后，群论学者在证明“有限单群分类定理”过程中注意到：在一 般群g 中，可以用广义f 伽9 子群f + ( g ) 代替n 鼢叫子群f ( g ) | 【0 1 - f 8 ( g ) 具 有以下几个特点：p ( g ) 是g 的特征子群；p ( g ) 包含g 中所有的极小正规 子群；若g 可解，则f ( g ) = f ( g ) ；更重要的是p ( g ) 保留了f ( g ) 的性质： q i ( f ( g ) ) p ( g ) 正是由于这条性质，| 4 t “( p ( g ) ) 对于考察群g 的结构和性 质起了至关重要的作用 如果g 为有限单群，那么考察f + ( g ) 是没有意义的因为这时p ( g ) = g ， 但群论学者注意到，对于g 中任意2 一子群r ，( t ) 的结构与g 本身的结构 有着极为密切的关系，特别地对于g 中的二阶元t ，( t ) 的结构更具重要性 因此，对于群g 来说，f + ( ( t ) ) 和p ( ( ? ) ) 便构成了有限单群理论，特别 在有限单群分类定理证明过程中是一个极其重要的组成部分p ( g ) 为g 的 f m 。n 9 子群f ( g ) 和e ( g ) 的中心积，这里e ( g ) 为g 中的成分( 即g 中次正规 的亚单群) 所生成的子群 鉴于f ( g ) 和f ( g ) 在群论研究中的重要性，在本文中，我们分别对f + ( g ) ，f ( g ) 和e ( g ) 进行了刻划通过这种刻划，我们对f ( g ) 和f ( g ) 在g 中的“地 位”，即这两类群在群g 中与其他子群的关系有了进一步的认识此外，我们 还考察了与群的f 僦i n 9 子群和广义f 础n 9 子群有关的一些问题 2 预备知识 为了下文讨论方便，我们首先给出有关的基本定义和命题 1 基本定义 asg 说是g 的次正规子群，若存在子群系列a 。，| 4 2 ，a 仉能使下式 成立ta = a 1 璺a 2 翼- 塑a n = g 我们记a 里璺g 群g 说是幂零的，若g 的每个真子群都是次正规的这等价于说：v u 是 g 的真子群，则u 是g ( u ) 的真子群 设”是一个素数集合称g 的子群h 为g 的一个丌一h a l l 子群，如果吲= g 。 而称h 为g 的h n “子群，如果对某个素数集合”来说，h 是g 的h n “子群 等价地，h 是g 的日。“子群，如果( i h i ，4 g ：口i ) = 1 设g 中有一子群列：1 = a o a ， a ，。= g ，若a 为a 的极大正 规子群，或等价地a a 一为单，则说该子群列是合成列a 。a 。叫做合成因 子若a 。翼g ，则说该子群列是正规列若子群列l = 山 a 。 ， 以。= g 是正规列且a 一- 为g 的包含在a 。中的极大正规子群，则说该子群列是 主列 g 中极大幂零正规子群称为g 的f 砒n 9 子群，记作，( g ) 令g 为非平 凡有限群，则对于g 的任意主列1 = g 。 g 。 1 ，记【h ，厶n 一2 】= 丁，则有 t ，l ，纠= 1 由于f ，l 】= 【l ，卵，故有【l ，t ，l = 1 由三子群引理，成立陋，l ，列= 1 ，由此即得陋，明= 卅= 1 ，与n 的选 取矛盾 这就证明了k 是可解的 引理23h ，k 记号如前，则k 幂零 证明：( 用反证法) 假定不是幂零的，则由，( h ) 的定义知璺g ，故f ( ) 茎f ( g ) ， 又由于f ( g ) k = ( h ) ，故f ( g ) = f ( k ) 设u 能使w f ( k ) 为g f ( k ) 的一个极小正规子群，则u f ( ) 为可 解特征单群，从丽为初等可换群故有矿f ( g ) = f ( ) 设f ( “) ，c ，：州= 1 ，由于c r 一：- = 【，( r 】f ( g ) ，放有 u ，：n + l 】兰 f ( g ) ，：州= 1 ，这表明己，是幂零的，从而u = f ( u ) 曼f ( n ) ，于是u f ( k ) = 1 ，矛盾 故k 幂零 定理2 设厂= 里g l ( ) v ) ，则f + ( g ) 3 翔， 证明：由，的定义及引理2 1 可知，f ( g ) ( ) ，v ， 设f 为g 的成分若e 不是的子群，则由成分的性质，成立 ，司= 1 ， 这表明e 茎。( ) ，这是不可能的 从而有e 这就证明了e ( g ) 兰， 从而f + ( g ) 墨n 反之，记日= p ( g ) ，则有f ( g ) s ) 记- 饵) = k ，根据引理2 2 和2 3 ，k 幂零，从而k = f ( g ) 日，即( f + ( g ) ) p ( g ) ， 故f + ( g ) ，从而f + ( g ) n 9 故f ( g ) = n _ v ， 最后，我们利用一个引理来给出e ( g ) 的一个刻划 引理3 1 设为g 的成分，u 旦里g ，则成立k u 或队k - 1 证明：若k = g ，则g 胆( g ) 为单群从而u = g 或usz ( g ) 中，于是u = 或 u 吲= 1 若u = g ，当然有s u 故可假定g 中有真正规子群，m ，使k g ，矿sm g 我们有队= u k 】m n 及k 兰j v ( 巩) ， 则k 为g 1 的一个成分，且仉里旦g 。 对g 。，用归纳假定，贝4 有 u ，k 】- 1 或k 仉 在第一种情况下，1 = 盼k ，刚= f k ，以吲由孓子群引理成立l = k ，们= ，u 】= f ，矿 在第二种情况下，由于【明曼吖，故成立k m 对 ，用归纳假定，即 得结论 定理3 设g 为一群m g = ( 日璺g l h = h ，且任意璺h ，成立h = v ( k ( ) ) ， 则e ( g ) 为h “中极大元 证明：论断1 设日州g ，望日贝0h = c ( ) 忸j 事实上，当 = 1 时，由h 的定义且7 = 日，h = c ( ) ， 于是h n = t h n 7 = e h o n 7 n n 故奄h = n c h t n 7 结论成立 假定结论对一l 成立，即有h = ( ) “， 贝0 成立h | v = ( h ) = ( c k ( ) “1 ) 7 = c 0 ( j v ) ， 故有h = c ( ) “ 由于白( ) 为有限群，故存在，能使c 0 ( ) 。) = ( ) “， 于是h = c 0 ( ) ) 论断2 群日h g 的充要条件为驯z ( 日) 丸g z ( ) 充分性 1 0 l q 盎h = h 褥l h z l h 、7 = h z l h ) f z t h 、= h f z 0 h 、 ( 2 ) 设日胆( h ) = 耳，丙为百的正规子群，且为在h 中的完全原象， 则里h 从而，由假定成立h = c ( ) ， 又( ( ) = c 0 ( ) z ( 日) z ( 爿) = c k ( ) z ( h ) ， 故有耳= 丽厕 综上有h 胆( h ) m g z ( h ) 必要性 设鱼，则璺耳这时百= 咯( ) 显然有z ( h ) sc ( ) 设m 为c 旨( 丙在g 中的原象，则有 ，叫sz ( ) 由论断1 ，万= 丙c 音( _ ) ( 而c 音( _ ) ( 。) = ( m 胆( h ) ) ”) = ( 驯z ( 日) ) ( 叫 m l = x 1z t h l z i h l 故【， ，( ”】z ( g ) 从而有阻，m ( ”】- 1 又i ，m ( ，a f ( 。1 】_ 1 ，故由3 一子群引理阻，m ( ，】= 1 ， 从而有f ，( 州= 1 于是a ，( ”s ( ( 、r ) 故有日= c ( ) 论断3 令h h “则日中任意次正规子群都是正规的 事实上，设日为极小阶反例 设璺璺翼日，由论断1 日= ( ) ，设r 旦i 】v ，则由h 的表达式知， r 璺日 从而日= r c 0 ( 矗) 于是= n 只f 了h ( r ) = r ( n ( 精( r ) ) = r ( ( _ r ) ， 由归纳假定，m 塑，从而m 旦日 论断4 令h h g ，则h 的可解次正规子群包含在z ( 日) 中 事实上，设旦旦日，则由论断3 ，j l v g 日， 这时日= c 0 ( ) = c 0 ( ) 。) ， 记= c k ( | v ) 。o ) ，贝4 ( h k ) 。) = ( ”) k 由可解，得( 叫= 1 ， 于是n k f k ：h k k = 0 h k k 1 t 嘲= k i k 故c 0 ( ) 仲) ， 特别地，h 为可换群，故曼z ( h ) 论断5 群h 冗g 的充要条件为h 是g 中成分的中心积 充分性 设为h 的极小非可换次正规子群，则由论断3 ，里h ，故有日= ( ) = | v c ( ) 呻) ( 1 ) 由v 的选取知，= ，即完全 ( 2 ) 或者为单群，或者有可解的正规子群，则由论断4 ，曼z ( 日) 当然也 包含在z ( ) 内， 故有z ( ) 为单群 这就证明了| v 为亚单群 必要性 设h = i il l ( k 为g 卑鹤成分，i = 1 ” 砒h i z t h l 兰k l x z o h 、f z t h ) k 。z t h 、 z l h 、， 由成分的性质，得( 日z ( h ) ) 竺k ：z ( 打) z ( ) k ：z ( h ) z ( h ) 即( h z ( h ) ) 兰l z ( 日) z ( h ) k 。z ( 日) z ( i h ) 竺日z ( h ) 故h = h 显然，任意粤h ，成立日= e h ( j v ) ，故h h g 综合以上五个论断，我们可得e ( g ) 为h 。中的极大元 1 2 三与f + ( g ) 有关的群的性质 命题4 1 设a g ，“是g 的一个非空子群集合，且对于u n u = ( a 9 1 9 g ，a 9 翼璺) 又以驴“，成立 ( 1 ) a ； ( 2 ) 若b 旦里疗，口su ，贝9b 粤g u ； ( 3 ) 存在痧“使g ( f n d ) ! 驴 则“中恰有一个极大元 其证明见【3 定理4 对于g 的子群k ，及任意g g 成立为 的成分，则 k 为g 的成分 证明：由为 的成分知，k 翼旦 ，均g 因为勘g ，k 粤翼 ，故可取9 为9 。，于是有 k 里里 从而璺璺 ，即关于k 的假定对n 的任意 共轭也都适用 下面假定，、，在g 中不次正规，并由此导出矛盾 设“= u i 曼u ，且u 不是g 的真子群) 特别地，由二 二k 在g 中非次正 规， 故有 甜，均g 由对l g i 归纳可知，对于u “，。= 舻 舻su z g ) 中任意子群在u 中都是次正规的 进而对于。u ，o 成立 不是g 正规子群从而有 g ( ( 。) ) “这表明“满足命题4 1 中的假定。故存在m g 包含所有 即，9 g 由此即得耳塑里 塑g ，即有璺璺g ，与假定相矛盾 综上可知，为g 的成分 推论：设k 为g 的幂零子群，且 ，v g g 也是g 的幂零子群， 贝0 望里g ，从而k f ( g ) 1 3 证明：由 ，均g 是g 的幂零子群知，肖型里 由定理4 的证明知，璺里g 又因k 也g 为的幂零子群，故有耳f ( g ) 定理5 设g 为一群，h 为g 的个子群，则成立：e ( g ) = 陋( g ) ，h 阮( g 1 ( ) 证明：由命题2 6 可知e ( g ) 为g 中成分的中心积 设q 为g 中任意成分，令r = 【h ，q 我们证明，或者qsr ，或者r = 1 由于q e ( g ) 旦g ，故有( 日，日】【e ( g ) ，日 se ( g ) 由于q 里，故r 正规化q 于是成立f r ，q 】s r n q 若q 不是r 的子群，则阮q 】为q 的真正规子群由亚单群定义可知，必 有【r ，q 1 z ( q ) 故有f r ，q ，q 】s 【z ( q ) q 】= 1 又显然有旧r ，q 卜1 ，故由3 _ 子群引理，成立【q r = 【q ，r 】= 【 ，q 同一1 这表明【h ，q ，q 1 = 1 ，再一次运用3 一子群引理，即得f 日，q 】一1 设l = ，吖= 由l 和吖的定义可知，g 中任意成分一定包含在上和 m 二者之一中故有g = m l 又由e 述证明，成立m 曼( g ) ( h ) ，l 陋( g ) ，h j 这就证明了： e ( g ) = 陋( g ) ，吲( ：l e ( g 1 ( 口) 定理6 设g 为一群，则对于g ，下列条件等价： ( i ) g = 且对任意璺g ，总有g = ( ) ( i i ) 对任意p ”( g ) ，成立g = 沪( g ) ，且对任意旦g 及p 勖l p ( ) ，成立 g = c 0 ( p ) 证明：( i ) = 号( 毗 若对于某个p ”( g ) 有g o ，( g ) ，则g d p ( g ) 为个p 一群， 从而有g ，o ”( g ) 驴( g ) = ( g 驴( g ) ) 7 ，而( g d p ( g ) ) 7 是g 伊( g ) 的真子群 特别地，g 7 是g 的真子群，矛盾 1 4 故g = 伊( g ) ，对任意p ”( g ) 成立 又对任意翼g ，p 勖f p ( ) ，我们有( y g ( ) ( t g ( p ) ， 故成立g = c 台( p ) ( i i ) = = ( i ) 论断1g = g 7 若g g 7 ，则由于g g 为可换群，故对任意p ”( g g ，) ) d p ( g g ) 是g g 7 的真子群 令日为o ，( g g ) 在g 中的完全原象，则h 是g 真正规子群，且泸( g ) h 与假定g = 驴( g ) 相矛盾 论断2e ( g ) = g 设为g 的极小正规子群，则为初等可换p 一群 我们通过以下步骤证明e ( g ) = g ( 1 ) 对于虿= g ，成立召= ( 召) 且对任意露里舀勖0 ( 百) ，成立 舀= 耳喏( 户) 事实上，设h 为耳在g 中的完全原象，则由假定成立g = 日( p ) 故有召= 百i i 丽 又 0 ( p ) sc 苦( p ) ， 故成立百= 霄c 寿( ) ( 2 ) 若可解，即为初等可换p 一群本身为它的勖胁，p 一千群， 故有g = e 0 ( p ) = e 舀( ) = c b ( ) 由归纳假定e ( g ) = g ，又由于g 7 = g 故成立g ( 。) = g ，从而g = e ( g ) ( 3 ) 现假定g 中不存在可解正规子群 注意这时必然成立o 。，( g ) = 1 ，因为由奇数阶群可解定理，d 2 ，( g ) 可解 仍设为g 的极小正规子群，则为非可换单群的直积仍由奇数阶群 可解定理，2 1 l g | 设s s ”f 2 ( ) ，则g = c b ( s ) 由于g k ( s ) = 1 ，故有g = ( s ) 特别 地，c b ( s ) 兰g 由归纳假定g = e ( g ) 又e ( ( s ) ) se ( g ) ，从而有( s ) = e ( ( s ) ) s e ( g ) 这就证明了g = e ( g ) 引理7 1 设g 为一群，则z ( f ( g ) ) 为( f ( g ) ) 的极大可解正规子群 证明：假定z ( f ( g ) ) k 鱼( f ( g ) ) ，且k 可解，设z ( f ( g ) ) 为k 胆( f ( g ) ) 的极小正规子群， 则由于可解，故j 叫z ( f ( g ) ) 可解，因此为z ( f ( g ) ) 初等可换p 群， p 为某一素数， 显然z ( f ) 5z ( ) ，教为 ，的幂零正规子群，故s f ( ，) s ，( g ) 这就迫使1 v = f ( g ) 引理7 2 设g 为一群，h 旦g ，则p 旧) 墨f + ( g ) 证明：由定义f ( h ) 一f ( h ) e ( 日) ，f + ( g ) = f ( g ) e ( g ) 我们分别证明f ( h ) 曼f ( g ) ，e ( h ) 曼e ( g ) 由于f ( ) 幂零，且由f ( 日) 曲 日璺g ，可得f ( h ) 笪g ，由于f ( g ) 为g 极大幂零正规子群，故成立f ( 日) f ( g ) 设，、r 为g 中一个成分，则里望日里g ，敝也是g 的成分，这表明 e ( h ) e ( g ) 这就证明rf + ( h ) f + ( g ) 定理7 设g 为一群，则g = p ( g ) 的充要条件为g z ( g ) = p ( g z ( g ) ) 证明：先证明两个论断 论断1 若胆( g ) 为g 肛( g ) 的一个成分，则酬z ( g ) 为完全群，从而k 7 为完全群 事实上，设为z ( 酬z ( g ) ) 在g 中的完全原象，则 彬k ，k ，】【z ( g ) ，k ，1 = 1 故有k 胆( g ) = k z ( g ) 胆( g ) 故 k 7 ，卅= 1 我们有k n 一k 7 吲w = k w 为非可换单群 1 6 从而k 胆( g ) 为完全群 论断2 设g 为一群，吖，| 】v 都是g 的幂零正规子群，则吖也是g 的幂 零正规子群 事实上，我们首先证明z ( m ) 1 由于m 幂零，故z ( m ) 1 若陋( m ) ，】= 1 ，则z ( m ) sz ( m ) ，从而有z ( m ) 1 若陋( ) ， l ，假定日= z ( m ) ，】，则日sz ( m ) ，且日g 】v 由于幂 零，故有h n z ( m ) 1 显然有h n z ( m ) z ( 肘) 由归纳，a ，z ( ) 幂零，故m 幂零 下面我们证明定理7 充分性 若g = ，+ ( g ) ，则z ( g ) f ( g ) ，且g z ( g ) = f + ( g ) z ( g ) = e ( g ) z ( g ) z ( g ) f t g 、 z t g 由e ( g ) 定义，e ( g ) z ( g ) z ( g ) = e ( g z ( g ) ) 又显然f ( g ) z ( g ) = f ( g z ( g ) ) 必要性 设岛为e ( g 胆( g ) ) 在g 中原象，昂为f ( g 胆( g ) ) 在g 中的原象 由于z ( g ) z ( 娲) ，且晶胆( g ) 幂零，故f o 幂零， 由此可推知f o = f ( g ) 由论断1 知酬z ( g ) 为完全群， 显然有k n = z ( ，) 又显然里璺g ，故为g 中成分 这表明e ( g ) z ( g ) z ( g ) = e ( g z ( g ) ) 从而f + ( g ) z ( g ) = f + ( g z ( g ) ) 结合已知条件g 胆( g ) = f ( g z ( g ) ) ，可得g = p ( g ) 1 7 参考文献 1 徐明曜等有限群导引( 上册，下册) 北京：科学出版社，2 0 0 1 2 b 胡佩特著t 黄建华，李慧陵等译有限群论( 第一卷的第一，第二分册) 福州：福建人民出版社，1 9 9 2 3 】m a 8 c h b 8 c h e r f i l l i t eg r o u pt h e o r y ( 1 9 8 6 ) 4 g a g e n ，t m o ng r o u p 8w i t ha b e l i a ns y l o w2 一g r o u p s m a t h z 9 0 ，2 6 8 2 7 2 ( 1 9 6 5 ) 5 】g a l l a g h e r p x g l - o u pc h a r a c t e r sa n ds y l o ws u b g r o u p s 1l o n d o wm a t h s o c3 9 ，7 2 0 一 7 2 2 f 1 9 6 4 ) 6 g l a u b e r m a n ，g s u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s ，b u l l a mn a t h s o c 7 3 ，1 1 2 ( 1 9 6 7 ) 7 】h a l lp ac h a r a c t e r i s t i cp r i p e r 啦o f