（基础数学专业论文）非齐次微分方程解的复振荡和唯一性.pdf

内容摘要 所谓唯一性理论是探讨在什么情况下只存在一个函数满足所给的 条件。众所周知，多项式除了一常数因子外，由其零点集决定。但对 超越整函数以及亚纯函数就不然，如何来唯一确定一个亚纯函数的探 讨复杂而有趣。微分方程复振荡理论是跨学科研究，它应用复分析的 理论和方法研究复微分方程的振荡性质，即方程解和其导数的零点， 解的增长性。我们将复振荡理论研究方法引进到探讨整函数与其导数 分担小函数的唯一性问题中，满足此条件的整函数实际上满足一类非 齐次微分方程，我们利用较为简便的证明改进已有结果。此外，我们 研究非齐次微分方程解的增长性，提供新方法，从而将有关齐次微分 方程部分结果推广到非齐次微分方程上，而且证明相当简单。 本文的主要结论如下： 1 如果有穷级整函数f ( z ) 与f 耻( z ) c m 分担小函数a ( z ) ，则存在非零 常数使得厂冲) 一口( 厂一口) = c ； 2 如果整函数f ( z ) 与厂( z ) ，l ( f ) = a n 厂哪+ a n - 1 f ”1 + + d o ，共同c m 分 担小函数a ( z ) ，其中a 。o ，口，( ，= 1 , 2 ，n ) 为常数，则我们能得到该函数 的表示形式； 3 如果整函数f ( z ) 与厂”( z ) ，a “，扣“4 - a f 山共同c m 分担小函数a ( z ) 其中a 。o ，口。为常数，则我们能得到该函数的表示形式； 4 我们研究整函数系数的非齐次微分方程，”+ p 。+ o ( z ) f = f ( z ) ，其 中o ( z ) 和f ( z ) 具有有穷增长级，当o ( z ) = h ( z ) e 。时，如果h ( z ) 为级小于1 的整函数且c 为任意常数，则该方程解都具有无穷增长级； 5 我们研究了至少有一超越系数的高阶非齐次微分方程，得到该方 程解仅具有无穷增长级所需的一些情况。 关键词：整函数，微分方程，唯一性，分担值，增长级 2 0 0 0 m r s c ：3 0 d 3 5 ，3 4 m 1 0 中图类分类法：0 17 5 5 2 a b s t r a c t u n i q u e n e s st h e o r yd e a l sw i t hc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e r ei st h e u n i q u ef u n c t i o ns a t i s f y i n gg i v e nh y p o t h e s e s i ti s w e l lk n o w nt h a ta n y p o l y n o m i a li sd e t e r m i n e db yi t sz e r op o i n t se x c e p tf o ran o n c o n s t a n t f a c t o r h o w e v e r i td o e sn o th o l df o rt r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o n sa n d m e r o m o r p h i cf u n e t i o n s s oi t sr e s e a r c hi sc o m p l e xa n di n t e r e s t i n g c o m p l e xo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o n t a i n st h er e s e a r c ho n g r o w t ha n dz e r o e so fs o l u t i o n s ，e v e nz e r o e so fi t sd e r i v a t i v e s ，u s i n gt h e m e t h o do fc o m p l e xa n a l y s i s o n rt h e s i sp r e s e n t ss o m er e s u l t so ne n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n gas m a l l f u n c t i o nw i t hi t sd e r i v a t i v e sa n dg r o w t ho fs o l u t i o n so fn o n h o m o g e n e o u s d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i ss h o w st h en e wm e t h o d ，a n do u rp r o o fi s s i m p l e rt h a nt h a to ft h ep r e v i o u s w eg i v eab r i e fs u m m a r ya sf o l l o w s 1 l e t f ( z ) b ean o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o no ff i n i t eo r d e r ，a n dl e t 口 b ean o n z e r os m a l lf u n c t i o no ff i ff 与f s h a r e 口c m ，t h e n 磐：cf o r ci san 。n z c r 。c o n s t a n t ； ，一t 2 2 l e t f ( z 1 b ean o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n ，a n dl e t 口b ea n o n - z e r o s m a l lf u n c t i o no ff i ff a n d f ，上( ，) = a n y 扣+ 口。一1 ，”一1 + - + a o f s h a r e 口c m ，w h e r ea 。o ，a ，( j = 1 ，2 ，h ) a r e c o n s t a n t s ，t h e nw eh a v et h e e x p r e s s i o no f f ； 3 l e t f ( z 1 b ean o n c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n ，a n dl e t 盯b ean o n 。z e r o s m a l lf u n c t i o no ff i ff a n d ，”( z ) ，a ，“+ a o f ”s h a r e 口c m ， w h e r e a m l 0 ，口h a r ec o n s t a n t s ，t h e nw eh a v et h ee x p r e s s i o no f f ； 4 f o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nf + e 1f t + q ( z ) f = f ( z 1w i t he n t i r ef u n c t i o n s o ff i n i t eo r d e ra si t sc o e f f i c i e n t s i fq ( z ) = h ( z ) e “w h e r eh ( z ) i sa n e n t i r ef u n c t i o ns a t i s f y i n gp ( h 1 1a n dci sa n yc o n s t a n t ，t h e nt h ee q u a t i o n o n l ya d m i ts o l u t i o n so fi n f i n i t eo r d e r 5 f o rh i g h e ro r d e rn o n h o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha tl e a s t o n eo ft h e i rc o e f f i c i e n t sa st h et r a n s c e n d e n t a l - w ed e a l sw i t hc o n d i t i o n s u n d e rw h i c ht h ee q u a t i o n so n l ya d m i ts o l u t i o n so fi n f i n i t eo r d e r 瓢f k n 硝钆d a - 舢 o v t 印j 枷，“亥k u f 5 ，s k 幢“易，o r d e r - k e y w o r d s ：二童：，恿一一，。，11 。一“一。1 、。：。 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：3 0 d 3 5 ，3 4 m 1 0 c h i n e s el i b r a r yc l a s s i f i c a t i o n ：0 1 7 4 5 2 2 c h a p t e r1 p r e l i m i n a r yt h e o r y i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l li n t r o d u c et h eu s u a ln o t a t i o n sa n db a s i cr e s u l t so ft h eu n i q u e - h e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n dc o m p l e xo s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ( s e e 2 5 ，2 9 ，4 5 】) s i n c en e v a a l i n n at h e o r yh a sb e e nw i d e l ya p p l i e di nt h er e s e a r c ho f a b o v et w ot h e o r i e s ，s ot h es e c o n ds e c t i o nc o n t a i n si t sb a s i ct h e o r e m sa n dr e s u l t s s e c t i o ni ii n t r o d u c t i o n t h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sm a i n l ys t u d i e sc o n d i t i o n su n d e r w h i c h t h e r ee x i s t se s s t n t i a l l yo n l yo n ef u n c t i o ns a t i s f y i n gt h e s ec o n d i t i o n s i ti sw e l lk n o w nt h a t a n yp 0 1 3 7 n o m i a id e p e n d so nt h e i rz e r o e se x c e p tt h ef i r s tc o n s t a n tc o e m c i e n t ，b u ti ti s n o tt r u ef o rt r a n s c e n d e n t a le n t i r eo rm e r o m o r p h i cf u n e t i o n s f o re x a m p l e e 。a n de 一。 h a v et h es a m e 士1 ，0 ，o op o i n t s t h e r e f o r e ，h o wt ou n i q u e l yd e t e r m i n eam e r o m o r p h i c f u n c t i o ni si n t e r e s t i n ga n dc o m p l e x t h er e s e a r c ho l lt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n si sal o n gd i s c u s s i o na b o u tm e r o m o r p h i cf u u c t i o n ss h a r i n gv a l u e so rs e t s l o n g a g o ，n e v a n l i n n ap r o v e dt h a ta n ym e r o m o r p h i cf u n c t i o nu n i q u e l yd e p e n d so ni t sp o i n t s t a k i n gf i v ev a l u ea n dt h a tt w om e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc ms h a r i n gf o n rv a l u e ss a r i s f yo n e o fs e v e nm 5 b i n st r a n s f o r m a t i o n s i na f t e ry e a r s ，i ti sa l w a y sa t t r a c t i v eh o wt os t u d y r e l a t i o n s h i po fm e r o m o r p h i cf i m c t i o n sb ys i m p l ec o n d i t i o n s t h ec o m p l e xo s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f i e r e u t i a le q u a t i o n si st h eb o r d e r l i n ef i e l da n di n t e r - s e c t e ds n b j e c tr e s e a r c h ，w h i c hs t u d i e sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yt h et h e o r ya n dt h em e t h o d o fc o m p l e xa n a l y s i s t h ez e r o e s ( o rp o l e s la n dg r o w t ho fs o l u t i o n sa r eu n d e rc o n s i d e r a - t i o n ，e v e nz e r op o i n t so ft h ef i r s td e r i v a t i v eo ft h es o l u t i o n s n o n h o m o g e n o u sl i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp r e s e n ta na r e ao fc o m p l e xd i f i e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hi ss t i l ls u r - p r i s i n g l yd e f e c t i v e l yi n v e s t i g a t e d a sa l w a y si nl o o k i n ga tc o m p l e xd i f i e r e n t i a le q u a t i o n s o ft h i sk i n d ，t h ec o r r e s p o n d i n gh o m o g e n e o u se q u a t i o n sp l a yae e r t a i nr o l ei nt h er e s s o n - i n g m o r e o v e r n o n - h o m o g e n e o u sl i n e a rd i f i e r e n t i a l sa l w a y sr e d u c eb a c kt oh o m o g e n e o u s o n e si fn e e d e d h o w e v e r n o n 1 1 0 m o g e n e o u sl i n e a rd i t i e r e n t i a l sa r en m c hd i f f e r e n tf r o m h o m o g e n e o u so n e ss i n c ef o rn o n - h o m o g e n e o u st e r m s i ti sw h yt h e r ee x i s t sl e s sr e s u l to n o s c i l l a t i o no fn o n - h o m o g e n e o u sl i n e a rd i f i e r e n t i a l st h a nt h a to fh o m o g e n e o u so n e s t h ep r e s e n tt h e s i si n t r o d u c e do u rn e wr e s u l t sa n dm e t h o d sf o ra b o v et w ot h e o r i e s i n t h ef o l l o w i n g ，w eb r i e f l yg i v ee x p l a n a t i o no fr e l a t i v e l yp r o b l e m si nt w op a r t s 1 i nt h et h e o r yo fs h a r e dv a l u ep r o b l e m sf o re n t i r ea n dm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，t h e p r o b l e mo fu n i q u e n e s sf o re n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n gt w oo rm o r ev a l u e sf e v e ns m d lf u d - c - t i o n s lw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s h a sa t t r a c t e dal o to fa t t e n t i o n ，i ti sm o r ed i 肌u l tt os t u d y t h eu n i q u e n e s so fe n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n go n l yo n es i n a i lf u n c t i o nw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s r e c a l lt h ec o n j e c t u r ep r o p o s e db yb r i i c k ：l e tf ( z ) b ean o n - c o n s t a n te n t i r ef u n c t i o n s a r i s f y i n gp 2 ( ，) ，a n dp 2 ( ，) b en o tap o s i t i v ei n t e g e r i ffa n d s h a r eo n ef i n i t e v a l u eac m ，t h e n 譬萼= ef o rs o m ec o n s t a n tc ( 0 ) j 一“ b r i i c kh i m s e l fp r o v e dt h i sc o n j e c t u r ep r o v i d e dt h a te i t h e ra 一0o r ( r ，0 ，f 7 ) = s ( r ，f ) h ea l s og a v ec o u n t e r e x m n p l e st os h o wt h a tt h ec o n j e c t u r ef a i l sw h e nfa n d s h a r ea i g n o r i n gt h em u l t i p l i c i t ya n dt h a tar e s t r i c t i o no nt h eg r o w t ho ff i sn e c e s s a r y g u n d e r s e n 3 g a n dy a n gl z p a r t i a l l ys o l v e dt h ec o n j e c t u r ef o re n t i r ef u n c t i o n so ff i n i t eo r d e r ，a n d y a n gg e n e r a l i z e dt h er e s u l tt o ，( m ，k 1 i ti sw e l lk n o w nt h a tc o n s t a n t sa r et h es i m p l e s ts m a l lf u n c t i o n s w ea r ei n t e r e s t e d i ne n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n go n l yo n es m a l lf u n c t i o nw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s c h a p t e r2i s d e v o t e dt on e wr e s u l t sa n ds i m p l ep r o o fo nu n i q u e n e s so fe n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n go n e s m a l lf u n c t i o nw i t ht h e i rd e r i v a t i v e s ，a n dc o n t a i n st h er e s u l t so ne n t i r ef u n c t i o n ss h a r i n g o n es m a l lf u n c t i o nw i t ht h e i rd e r i v a t i v e sa n dl i n e a rd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i m s 2 w ec o n s i d e rh i g h e ro r d e rn o n h o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，协+ a 。一l ( z ) ，( 旌一1 + + a i ( z ) f + a o ( z ) ，= f ( 。) w h e r ea o ( z ) ，a l ( z ) ，a n l ( z ) a n df ( z ) a r ee n t i r ef u n c t i o n so ff i n i t eo r d e r ，f ( z ) 0 t h e na l ls o l u t i o n so fs u c he q u a t i o na r ee n t i r ef u n c t i o n s t h ec a s et h a ta o ( z ) ，4 l ( o ) ， a ”一l ( z ) a n df ( z ) a r ep o l y n o m i a l sa r ea l r e a d yw e l ld i s c u s s e db yc u n d e r s e ng ，s t e i n b a r tm a n dw a n gs h u p e i t h e na l ls o l u t i o n so fs u c he q u a t i o na r ee n t i r ef u n c t i o n s w ec a nc o n s t r u c te x a m p l e st os h o wt h a ta d m i t ss o l u t i o n so ff i n i t eo r d e rw h e np ( f ) m a x p ( ) i j = 0 ，1 ，2 ，n 一1 ) g u d e r s e ng c o n s i d e rt h ep a r t i c u l a rc a s ew h e r em a x p ( a 1 ) ，p ( a 2 ) ，p ( a n 一1 ) ，p ( f ) ) p ( a o ) ； a n do b t a i nt h a te v e r ys o l u t i o no fa b o v ee q u a t i o nh a v ei n f i n i t eo r d e r t h es a m e p a p e ra l s oc o n t a i n st h ec a n et h a tt h eg r o w t ho fo n ep a r t i c u l a rc o e f f i c i e n ta 口( z ) d o m i n a t e s t h eg r o w t ho fa l lt i l eo t h e rc o e f f i c i e n t sa n df ( z ) i na na n g l e i t sa p p l i c a t i o nc o n f i r ma l l s o l u t i o no fi n f i n i t eo r d e ri n ( 3 1 3 ) u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ec o e f f i c i e n ta q ( 。) d o m i n a t e si na l m o s tt h ep l a n e h e l l e r s t e i ns j o s e p ha n dj o h nr o s s is t u d yt h ec a s et h a ti f m a x p ( h ) ，p ( a k ) ，k 田 p ( a d ) i 1 c h a p t e r3d e a l sw i t ht h ec o n d i t i o no nt h ec o e f f i c i e n t so fn o n - h o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a ie q u a t i o n sw h i c hg u a r a n t e et h a te v e r ys o l u t i o nh a si n f i n i t eo r d e r w es i l n p l yg e n - e r a l i z es o m er e s u l ta b o u th o m o g e n e o u sl i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n st on o n - h o m o g e n e o u s nt 1 p r s e c t i o n1 2b a s i cf a c t sf r o mn e v a n l i n n at h e o r y f i r s to fa l l ，w ei n t r o d u c ep o s i t i v el o g a r i t h m i cf u n c t i o n f o rx 0 ，w ed e f i n e l o g + x = m a x l o g x ，o ， l e tf ( z ) b eaf u n c t i o nm e r o m o r p h i ca n dn o tc o n s t a n ti nt h ed i s ch r ( 0 r o 。) d e f i n i t i o n1 2 1 f o r0 r r 1，2 m ( n ，) 2 嘉o l 。g + f ( r d 8 ) l d o ， ( r ，) ：，7 竺! 二l 掣出+ 礼( o ，f ) l 。g r ， j 0 “ 丙( 吖) ：f 韭掣出+ 瓦( o ，f ) l 叫， w h e r en ( t ，) d e n o t e st h en u m b e ro fp o l e so ff ( z ) i nt h ed i s cl z l t ，m u l t i p l ep o l e sa r e c o u n t e da c c o r d i n gt ot h e i rm u l t i p l i c i t i e s ；n ( 0 ，) d e n o t e st h em u l t i p l i c i t yo fp o l e so ff ( z ) 4 a rt h eo r i g i n ( i f ( 0 ) 。，t h e nn ( o ，) = o ) ；丽( t ，) d e n o t e st h en u m b e ro fd i s t i n c tp o l e s o ff ( z ) i nt h ed i s c t ，a n de v e r yp o l ea r ec o u n t e do n l yo n c e d e f i n i t i o n1 2 2 t ( r ，) = m ( r ，f ) + n ( r ，) t ( r ，f ) i sc a l l e dt h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o no f ，( z ) w h i c hi sc l e a r l yan o n n e g a t i v ef u n c t i o n - i tp l a y sac a r d i n a lr o ；ei nt h ew h o l et h e o r yo fm e r m o r p h i cf u n c t i o n s l e tob eac o m p l e xn u m b e r i ti se a s yt os e et h a t 而1i sm e r o m o r p h i ci nt h ed i s ch r ， s i m i l a rt ot h ea b o v ed e f i n i t i o n s ，w eh a v em ( n 志) ，( r ，1 - - - 一- ) ，丙( n 击) ，t ( r ，南) ) t h e o r e m1 2 1 s u p p o s et h a tf ( z ) i sm e r o m o r p h i ci nh r ( o 。) a n d ai sa n y c o m p l e xn u m b e r t h e n f o r0 r r w e h a v e t ( n f 三) = 丁( r ，) + l o g l c a f + ( o ，r ) ， ( 1 2 1 ) w h e r ec ai st h ef i r s tn o n - z e r oc o e f f i c i e n to ft h el a u r e n te x p a n s i o no f 了= 1 ia tt h eo r i g i n ， a n dl s ( n ，r ) l l o g + 1 a i + l 0 9 2 w ec a nw r i t es i m p l yf o r m u l a ( 1 2 1 ) a , s t ( r ，去) = t ( r ，) + d ( 1 ) ( 1 2 - 2 ) n o ww ei n t r o d u c et h ei m p o r t a n ts e c o n df u n d a m e n t a lt h e o r e m t h e o r e m1 2 2s u p p o s et h a t ( z 1i san o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni n r a n d 0 = 1 ，2 ，q ) a r eq ( 2 ) d i s t i n c tf i n i t ec o m p l e xn u m b e r s t h e nf o r0 r r ， w eh a v e 1 m ( r ，厂) + 跟1 m ( n 志) s 2 t ( r ，厂) 一1 ( r ) + s ( n ，) j ( 1 2 3 ) w h e r e 1 1 ( r ) = 2 n ( r ，) 一g ( r ，f ) + n ( r ，云) ， s ( r ，) = m ( r i 予) + m ( r ，；：1 f 刍i ) + d ( 1 ) ( 1 _ 2 4 ) w en e e dt oe s t i m a t et h er e m a i n d e rt e r ms ( r ，f ) f o rl a t e ra p p l i c a t i o n s ，s on e e dt os t u d y t h eg r o w t ho fm ( r ，车) t h e o r e m1 2 3s u p p o s et h a t ，( z ) i san o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni nt h ew h o l e c o m p l e xp l a n ea n df ( 0 ) 0 ，o 。t h e n 嘶，7 f 1 ) 4 1 。矿i r , ，) + 3 l o g + 击o g + r2 l o g + ；+ 4 l o g + l o g + t ( r 3 1+ 4 1 南+ 1 0 m ( n7 ) 4 1 。矿 ，) 南 o g i 顶研+ 1 0 h o l d sf o r0 r r o o d e f i n i t i o n1 2 3l e tf ( z ) b eam e r o m o r p h i cf u n c t i o ni nt h ec o m p l e xp l a n e t h eo r d e r aa n dl o w e r o r d e rpo f ，( z ) a r ed e f i n e dr e s p e c t i v e l yb yt h eo r d e ra n d l o w e r o r d e ro ft ( r ，f ) p ( ，) =一109+t(rli ，。m 。i 万则) = 氅笋 r 1 0 b 5 i no r d e rt oe s t i m a t et h et e r ml o g + t ( r ，) ，w en e e dal e m m ad u et ob o r e lo nm o n o t o n e f u n c t i o n s t h e o r e m1 2 4l e tt ( r ) b eac o n t i n u o u sa n dn o n - d e c r e a s i n gf m l c t i o nd e f i n e di nf o r i f t ( r o ) 1 ，t h e n t ( r + 亍斋) 2 t ( r ) ， ( 1 2 5 ) o u t s i d eas e t 蜀o frw h i c hh a sl i n e a rm e a s u r ea tm o s t2 b yt h e o r e m1 2 3 a n dt h e o r e m1 2 4 ，t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n sh o l df o rt h et e r m m ( r ，车) i ft h eo r d e ro f ，( 。) i sf i n i t e ，t h e n ， m ( r ，冬) = o ( 1 0 9 r ) ，( r 一) j i ft h eo r d e ro f ( z ) i si n f i n i t e ，t h e n ， m ( r ，冬) = o ( 1 0 9 ( r t ( r ，) ) ) ，( r 一。，r 仁肠) ， j w h e r ee 0i sas e tw h o s el i n e a rm e a s u r ea tm o s t2 t h e r e f o r e ，w h a t e v e rt h eo r d e ro ff ( z ) i sf i n i t eo rn o t ，t h et e r n ls ( r ，) i n ( 1 2 3 ) s a t i s f i e s s ( r ，) = o ( t ( r ，) ) a sr _ 。p o s s i b l yo u t s i d eas e to fv a l u e so fro ff i n i t el i n e a rn l e a s u r e d e n o t ea n yq u a n t i t ys a t i s f y i n g ( 1 2 6 ) a ss ( r ，) t h e r e f o r e ，w eg i v ea n o t h e ru s e f u lv e r s i o no ft h es e c o n df u n d a m e n t a l d e f i n i t i o n1 2 4l e t ( z ) a n da ( z ) b em e r o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h e t ( r ，) + s ( r ，) ，t h e na ( 2 ) i sc a l l e das m a l lf u n c t i o no f ，( z ) ( 1 2 6 ) i nt h es e q u e l ，w e t h e o r e m c o m p l e xp l a n e i f t h e o r e m1 2 5 s u p p o s et h a t ，( z ) i san o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o ni nt h ec o m - p l e xp l a n ea n da j ( j = 1 ，2 ，一，q ) a r eg ( 3 ) d i s t i n c tv a l u e si n t h ee x t e n d e dc o m p l e x p l a n e t h e n ( q - 2 ) t ，) ；= 1 - ( r ，击) + 即 ”) s e c t i o n1 3b a s i cr e s u l t sf r o mu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s t h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si sal o n gd i s c u s s i o nm a i n l ya b o u tt w om e r o m o t p h i cf u n c t i o n sh a v i n gc o i n l n o nv a l u e s ，w h i c hw ei n t r o d u c ei nt h i ss e c t i o n d e f i n i t i o n1 3 1l e t ，a n dgb en o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o