（基础数学专业论文）直线和平面上的广义radon变换.pdf

摘要 本文礤究直线和平掰上的广义r 硝o n 变换r a d o n 变换是几馋分析中的藏要 课题。近几十年来，p 忸t ：l o l l 交换的理论发展得非常迅速，被用于许多问题的研究 中，并捩搀广到各静空间上，取得了事硬的成果r a d o n 变按在实际应尾中也占j 鞋 鬟要的地位，它楚藉翦热门静c t 技术或重梅简聪等的数学基础 经典的致腑雠交换是荧子l e b e s g u e 测定的，其中的结论依赖予l e b e s g u e 酒窿 的旋转不变蛙和平移不变性，与其糖美的工具燕l a p l a c e 算子穰f o u r i e r 变换本文 研究直线r 1 上关于测度d m 。( 。) 一电2 n + 1 d x 的广义r a d o n 变换辍平匿群上关于 瀑唛咖b 。# ( = d m 。( 嚣) 出w 白) 的广义弛, d o n 变换这两种测度巴不再有旋转不 变性和平移不变性，阻此，器要采丽适当的方式采定义穗应的广义1 r a d o l l 交换，使 其具有良好的结构特征和解析性质，便于开展谶一步的研究和应用 本文把t r i m 黼h e 引入的直线袋1 上酌d u n k l 缠绕簿予以的对偶算予磙定义 为直线上荧乎测度d m 。( 。) 的广义r a 讨o l l 变换，瑟d u n l d 缠绕算子玩就是泫广 义r n d o n 变换的对偶变换露文市豹生要结果是t ( i ) 证明了不闫阶舱d u n k l 交换 与广义r a d o n 变换如的关系；( i i ) 詹助广义r i e s z 位势建立了广义a a d o l l 变换鲍 反演公式t 本文给出了平面豫2 上三元偶蕊数的广义r a d o n 变换吼，p 及其对偶变换瓦，# 的适当定义，折取得的主要绪果有r ( i ) 确定了二元广义r a d o n 交换与广义l a p l 。c e 算子( = 元b e s s e l 算手) 的置换关系；( i i ) 证鹋了二元广义r a d o n 交换与h a n k e l 交 按之阑的奖系工及二元广义r 戚。n 变换与二凭广义卷积熬关系；( i i i ) 通过二元广 义磷e s z 饿势，建藏了二元广义r 埘o n 变换的反演公式 美羲谪：广义r 触。n 变换，h m u k l 变换，d u m k l 变换，逆公式，径向鳕数 g e n e r a l i z e dr a d o nt r a n s f o r m s0 1 2t h el i n e a n dt h ep l a n e ad s s e r t a t i o ns u b m j t t e do l la p m2 0 ，2 瞄 i nf i f l l f i l m e n to ft h er e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m 宅s t e ro fs c i e n c e s p o s t g r a d u a t e ：s n u gf u t a o s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s c a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y b 蝴i n g1 0 0 0 3 7 c h i n a a b s t 鼗磊g 警 t h i st h e s i si st os t u d yt h eg e n e r a l i z e dr “l t r a m f o r m so t h er e a lh n ea n do nt h e p l a n e t h er a d o nt r a n s f o r mi s i m p o r t a n ts u b j e c ti ng e o m e t r i ca n a l y s 延。i nr e c e n t d e c a d e s t h et h e o r yo fr 8 d o nt r a n s f o r m sd e v e l o p e dv e r yr a p i d l y i ti su s e di ns t u d yo f r f l 勰yp r o b l e m sa n d 弧g e n e r a l l z e d 汛粼妣s s i t u a t i o a sw 穗轻m u c h p r o g r e s s - t h et h e o r y o fr a d o nt r a n s f o r m sh a sa l li m p o r t a n tp o s i t i o ni n8 p p l i c a t i o n sa sw e l l ，a n di ti so r l eo ft h e m a t h e m a t i c a lt o o l si nt h ef i e l d so fc o m p u t e dt o m o 嚣r a p h ya n dr e c o n s t r u c t i o n t h ec l a s s i c a lp * 2 x l o e tt r a n s f o r mi sa s s o c i a t e dw i t ht h el e b e s g u em e a s u r e t h ec o l 2 一 d u s i o n sa b o u ti td e p e n d0 1 2t h er o t a t i o n - i n v a r i a n c ea n dt h et r a n s t a t l o n - i n v a r i a u c eo ft h e l e b e s g u e 数搪鑫s l 瑾e 。a n dt h ea s s o d a t e dt o o l st oi tr r et h el a p l a e i a na n dt h e f o u r i e rt r a n s - f o r mt h i sp a p e ri st os t u d yt h eg e n e r a l i z e dr a d o nt r a n s f o r m so i lt h er e a ll i n e 袋1a n d 2 o nt h e 醛8 秘器哆a s s o c i a t e dw i t ht h em e a s u r e sd m 口嚣) = 铴矧2 醉1 缸a n dd m 辄零( 散彗) = 抵辱) 锺“# 妇) r e s p e c t i v e l y t h e s e t w o 渊a r e n e t r o t a t i o n - i n v a r i a n t a n d t r a l a t i o n - i n v a r i a n t ，t h e r e f o r ei t i sn e c 磺蛙毗，t ot a k ea p p r o a r i a t ed e f i n i t i o n sf o rt h eg e n e r a l i z e d l 屯t d o nt r a n s f o r m s ，w h i c 盘媳o u l db eo fn i c es t r u c t u r e sa n da n a l y t i cp r o p e r t i e si no r d e rt o m a k ef u r t h e r 艇u d i a n da p p l i c a t i o n s t h i sp a p e rt a k e st h ed u a lo p e - 燃t o r 强o ft h ed u n k t 淤娥娥o p e r a t o r 牧o n 噩1 i n t r o d u c e db y 慨出e8 st h ed e f i n i t i o no ft h eg e n e r a l l z e d 轴d o nt r a n s f o r m o nt h e l i n e 酞1a s s o c i a t e dw i t ht h em e a s u r ed m 口( g ) ，w h e r e a st h ed u a k li n t e r t w i n i n go p e r a t o r 强a st h ed u a lt r a n s f o r m 嘏如i nt h ep a p e r , t h er e l a t i o n s h i po ft h eg e n e r a l i z e d p j o nt r a n s f o r m 如a n dt h ed u n k lt r a n s f o r m sw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r si 8f o t m d , a n d t h ei n v e r s i o nf o r m u l a t h eg e n e r a l i z e di 潮。蕾t r a n s f o r m 趣i sp r o v e di nt e r m so ft h e g e n e r a l i z e dr i zp o t e n t i a l s i n t h i s p a p e r ，t h e g e n e r a l i z e d r 黛d o n t r a n s f o r m r 。，毋a n d i t s d u a l 屯辟o n t h e p l a n e r 2 f o rf u n c t i o n s6 e nf o rb o t ht w ov a r i a b l e sm d e f m e di na p p r o p r i a t ew a y s t h ep e r m u 诹t i o n r e l e & i o no f 氛啪a n dt h eg e n e r a l i z e dl a p l a c i a n t h eb e s s e lo p e r a t o ro ft w ov a r i a b l e s ) i s d e t e r m i n e d ；t h er e l a t i o n s h i po f 黾# w i t ht h eh a n k e lt r a n s f o r ma n dt h a to f 魄。口w i t ht h e g e n e r a l i z e dc o n v o l u t i o no p e r a t i o na r ef o u n d ；a n df i n a l l yt h ei n v e r s i o nf o r m u l ao f 瓿口i s e s t a b l i s h e di nt e r m so ft h eg e n e r a l i z e dr i e s zp o t e n t i a l so ft w ov a r i a b l e s ， k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：g e n e r a l i z e dr a d o nt r a n s f o r m ，h a n k e lt r a n s f o r m ，d u n k l t r a n s f o r m ，i n v e r s i o nf o r m u l a _ ，r a d i a lf l m c t i o n 3 誊都瓣燕突学位论文源错犍声装 本入郑重声辫。所黧交的学位论文，是率入在导师的指导下，独立 进褥礤懿王终瑟取褥翦成浆除文申激经没暌萼l 溪懿内褰岁 ，零论文不 会经储翼；镳个入或集体穗缝发表或撰写过盼俸融成果对本文懿辑究徽 戳鏊受攘献熬令人程巢豁，均基在文串鞑骥骧方式蠢臻本人瓷佥意谖 掰率声麓瓣法律结暴由本人承担。 学饿论文作者笈名； 精期：燃冬4 弼2 0 器 首都簿港失学位论文授校健耀声鹊 零入究垒了辩罄都簿魏夫学翦美镰爝、使瓣学位论文盼戴魑，学校 餐权保黻学位论文捧懿翳家擞管部门琰其指是枫椐送交论文鹃壤予敝和 纸璇版。祷较将学伎沦文麓乎菲赢裁嚣瓣的步爨麓瓤并兔谗论文进入学 铰麓书键被鲞麓裔叛将学缀论文弱成容编入有美数器鬻避褥检索。有 权将学徒论文魏标鼷帮攘甏汇缝出舨。镲密戆攀位逡文恣瓣密露逶爨零 撬寇。 撇擞储戳锄 嚣熬；粼年4 冀2 0 赫 孽l言 r a d o n 变换是几何分析里的一个课题。它起灏予p | f u n k 和j r a d o n 的研究 1 9 5 5 年，f ，j o h n 2 0 1 首次使用。r 曩d o n 变换。的说法1 9 1 6 华，f 、l n k 【9 l 研兜丁 鲤侮惠2 缝絮垂铲上戆对称垂数在炎囊上懿积分簇褒决定蠡款豹耀薤；1 9 1 7 鼙。 羚2 1 研究了如何斑露敷沿直线或平面鹤积分谶去求函数的敷学问题，当时，他 们仅对：维和三维歇氏空间的情形逃行了研究p , d o n 3 2 1 证明了如下结果t ，愁殛3 上懿可徽灏数，j ( 峨彩衷示，在怒平嚣耋，。= 尹纛瓣捩势，荚审。 是单像辩鼙， ，) 憝通常缒内积，獬有 1，、 ， ) 2 一办如( j 缸似，z ) ) 础) 其中l 燕噩3 上翦l a p l a c e 算子，都箍馨蜀铲上的藏积鞭元 1 9 3 4 年，美国数学家j o h n 把r m o n 的主要工作推广到了”缀欧氏空间，并鼠 将其应用于偏微分方襁的研究由予a l d o n 变换具霄广泛的应用鹜景秘理论研究份 蓬，g e l f a n d 1 0 、s t e r n b e r g - g u l l l e m i n f l 2 】、q u i n t o 3 1 、g r i n b e r g f l i j 等基于不鬻的 应用背景给出其各种形式的推广，对所谓的广义r 删o n 交换进行了研究，涉及的纯 数学理论有群表示、积分方程、拟微分算子、非欧几何、f o u r i e r 积分箕子、s o b o l e v 空闻分掇等，毽蜒主簧耄孝论l ：h d o l l 交羧戆爱演公式、支集定理、宽要条箨、逶定穗 和p a l e y - w i e n e r 定理等例如，s e y m i n 2 把广义r 觚o n 变换的逆问题归结为解一 个积分方程，在一类瀚b o l e v 空间上缭出了离散t i k h o n o v - p h i l l i p s 砸贝! l 纯方法的髁 羁积分方程解的误差傣诗，势显还逶避孳l 入密褒丞散绘囊了瑟谖熬撩数垂r 勰。建交 换积衰减的交换r a d o n ；经典r a d 0 1 搬换还被s o l m o n 4 1 】、k e i n e r t 2 1 】、r u b i n f 删 等推广到一平面变换；s o m m e n 4 3 游利用把d i r a c 簿子的基本解分解成平面波激 单演函数的方法将欢氏冬闯孛酶经典嚣桶o n 变换撼广裂了c h f f o r d 分糖申辩簿爨泛 薮；s r i c h a r t z 4 5 j 疆算予谱理论的魏藤把r a d o i t 交换推广蓟了h e 坞e n b e r g 群上； n e s s i b i * n i m c 1 1 e f 2 9 j 用小波方法得到丁l a g u e r r e 超群上的r a d o n 变换的逆公式； p h o n e - s t e i n 3 0 l 甩一类搬携积分算子鳃橱经蟊数绘出了硬2 中的一族藏线，通过选撼 1 2 薰塑堑堇蠢壁黧盎塑塞生茔照照墨 每条睦线的寮波绘是穗应魏r 嬲。a 交换，避覆撮据糖俊避数潢是的苓嗣键凄，绘盎 涮。n 变捺量簪为羧赣分葵乎秘褪痉豹，鼋) 枣赛经；漱躲d n 醚羝蛾x e * r u b 靶d e 融a u c i a l 4 】用c - z 旋转法给出了r a d o n 变换以及与它耜奖的极大函数的舻有界性 除了纛溅谂硬宪申的熬凑性之外，r a d o n 变换农诲多应鼹锈域巾搬点有重饕 熬逡袋。玄麓嚣兹菲鬻潼歙憋c t ( c o m p u t e dt o m o g m p l k v ) 装零帮重梅麓嚣f r e 。 s t r u c t l o np r o b l e m ) 等领域的散学基础所谓鼹 每或重建，憝指在不损坏、破碎物体对 浆的前摄下，了解和研究物体的内部结构、分布密度翻蚀康等的一类嬲繇，比如， 蟪球蘩瑗、嫩麓戆爨，饕蔽霉l ：糕睑嚣、互照凌医疗搽痿、篷擎诊瑟、餐遮戚豫、瓣耄 灭交学等鞯掰需要稽出鹣怒，r a d o n 交糗在医学土静玻劝魏应掰，辨掰此美萤糍 理学家t t o u s f i e l d 和数学家c o r m a c k 乎1 9 7 9 年获得了n o b e l 医学奖隧着英国e m i 藤一家商数髓约壤蘧籀攒爨鼹蠢理襄诗葵壤鳇广泛应麓，c t 技零在| 譬多辩学技零 颁壤孛遗遵蛾发曩超来，势藏它毒嚣霞热门魏小渡势桴瞧建立了密讶的联系，搠魏 用小波方法艇演p u c t d o n 变换殿其高清晰崴像的重构等( 抛【5 】) 有关p m d o t i 变换在理谂鹈应焉方器的饼突进展，耳参蜒d b s 秘、l u d w i g l 2 4 1 、 l o u i s l 2 3 1 、h e l g a g o n 1 5 一f l ? l 、k 武t e e r 羚礁等+ 经熟的r 棚o n 交换是燕予l e b e s g u e 测艘的，其中的结论强烈她傲赖予l e b e s g u e 慰度的旋转不变性和平移布燮。与其翘哭的工兵是l a p l a c e 簿子嚣f o u r i e r 变揍本 文聚究壹绞歉1 上关予嚣纛蓐m 。两= | # 缸1 d x 缸 一，= f n 一1 r 融书1 ) 一1 戆 广义r a d o n 凌换和平面擗上关于漪醚d m p ( z ，f ) = d m 。( 。) d 即( ) ( 帆卢 一) 的 广义a a d o r l 变换这两种测度已不再霄旋转不变性和平糁不变性，因此，我躬番受 深慝莲警鳆皇蕊寒定义授寝瓣广爻嚣矗d 一燮揍，楚其英蠢获妊鹩鳍穗撩键窝惑褥毪 质，溪予帮鼹遴一步豹研究稚波鬻 第一拳综述 本掌介绍缀典r a d o n 变换豹一些基本结论霹诙领域盼莱蠛攘广及进展 1 1 经典r a d o n 蹙换 r 埘【3 2 1 最耪的结论廷摄在船上给出恕 ，燕r 3 上的可徽螽数。以峨西表示，在超乎澍缸，“一土的积分，其中 怒单位内煎，) 是通常的内积，剜有 ，( z ) 一一占如( 二，缸，如，磅) q ( 1 1 】 其中二蹙舻上的l a p l a c e 髯子，d w 是球嚣铲土的嚣积擞觉 我口j 注意到( 1 1 ) 式右端有两盈稳重对擐的积分t 酋先是在一个越平嚣的点集 上的积分，然后是在过定点x 的所宥超乎丽的集合上的积分这窟发人们去考虑下 掰定义的交换，一姹，和一嵇+ 设秽表示r “中垒体怒平瑶按照通常的衢孝 每戚肫空褥对定义柱黔士。并 在丑“薛每个超平霹上都霹裁的丞教，定义其r 埘一叠按为矽上的鹾数对： 甜( f ) = j 。) ( 1 2 ) , f ( x ) d m ( 其中d m 楚怒平面t p 上豹欧氏测度对予定义在p 土的连续函数口，与r a d o 。 变换，一r ，提应的对偶变换$ 一矗# 定义为， 踯( # ) 一f 。瓣) d m ( $ ) ， ( 1 3 ) f 其中，d m 是紧支集k 渺：。8 上z 点她的旋转不变涟度，井置整个集会的溅 度为i 我# 】可以这襻解释( 1 2 ) 中的擞分每个f 秽可以表示为： f ( 甜，砧祟 。醒4 ：扛， 盅甜，f 1 4 3 4 首牟帮范大学磺备研究生学位能空 菸中( ，) 怒遇常的内积，一，| t m n ) 撼单位寅薰。p 畦r 。扶箍，翔粜我们选 舞旋转变羧矿e 0 f * ) 餐褥 = 积，0 ，1 ) ， 辫令黜= y ，她有 嚣，( ) 一f，每) d m 扛) = $ 渖在f ) ，秘) 出 j f 和潮 j r n 一d ( 往，u ) 一p ) ， ) d r , 一l 口一1 y ，。一窥，和一1 葑巍 一7 联( 轨“，) * 力，p 4 y ) d u = = ls ( 鼽= p ) ，( 口一1 ) 妇 = = f ，( 口一1 ( # “一- ，y n 一1 ，p ) ) 幽l 症一l ， 1 5 ) j 辩 一1 由( 1 3 ) 定义的 上的函数的对偶变换蠢曲可具体地霹为t j 碜如) 一f篷) 积 ( ) = 7 母和，癣幽j ) j o 毫 i 妇，, , , ) - 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