（基础数学专业论文）量子纠缠和局部幺正变换下量子态的分类.pdf

摘要 量子理论中的一个重要问题是子系统之间可能存在纠缠。这种现 象的重要性已经在量子信息科学的几个重要成果中得到体现。尽管纠 缠的非经典特征已经在很多年以前就意识到了，只是近几年人们才关 注它的精确性质的理解和刻画。纯态的可分性已经得到了很好的解决。 对于混合态，部分转置判据可以判断2x2 或者2x3 系统的混合态的 可分性。但是这个判据对于高维或者多体系统只是必要条件。 量子纠缠的一个重要性质是在局部幺正变换下是不变的。因此局 部幺正变换下的不变量就成了一个需要研究的重要对象。一个不变量 的完全集合可以用来确定两个态在局部幺正变换下是否是等价的。虽 然这个问题已经得到了广泛的研究，但是只是对于一些简单的情况得 到了不变量的完全集合，比如两个量子比特系统【3 3 】。对于一般的两体 系统， 3 4 】中给出了满秩一般密度矩阵的不变量的完全集合。对于三体 或者更多子系统的态也有一些结果，比如文献 3 2 ，2 0 】中，但是在这些 系统中，即使对于纯态我们也没有办法找到所有的不变量。 我们首先通过寻找刻画等价性的不变量的完全集合来研究量子态 在局部幺正变换下的等价性。我们通过构造一些辅助不变量，将3 4 1 中的结果推广到一般两体系统中，从而使得我们可以完全地解决任意 两体系统的量子态的等价性问题。我们还给出了一类非一般三个量子 比特态的不变量的完全集合。 然后，我们考虑了量子态的可分性。我们利用 8 3 】中的d 一可计算 态构造了一类p p t 纠缠态。这将有利于研究这种类型量子态的结构。 最后我们研究了厄米矩阵的近似张量积分解。给出了两体系统厄米的 最小和分解，并利用这个分解讨论了量子态的可分性。 关键词：量子纠缠，可分性，束缚纠缠态，密度矩阵，不变量 a b s t r a c t a k e yd i s t i n g u i s h i n gf e a t u r eo fq u a n t u mt h e o r yi st h ep o s s i b i l i t y o fe n t a n g l e m e n ta m o n gt h es u b s y s t e m s t h es i g n i f i c a n c eo ft h i sp l 挣 n o m e n o nh a sb e e ns h o w ni ns e v e r a li m p o r t a n ta c h i e v e m e n t so fq u a n t u m i n f o r m a t i o ns c i e n c e a l t h o u g ht h en o n c l a s s i c a ln a t u r eo fe n t a n g l e m e n t h a sb e e nr e c o g n i z e df o rm a n yy e a r s ，c o n s i d e r a b l ee f f o r t sh a v eb e e nt a k e n t ou n d e r s t a n da n dc h a r a c t e r i z ei t sp r o p e r t i e sr e c e n t l y f o rp u r es t a t e s ， t h es e p a r a b i l i t yi sq u i t ew e l lu n d e r s t o o d f o rm i x e ds t a t e s ，t h ep a r t i a l t r a n s p o s i t i o nc o n d i t i o nc r i t e r i o n f l a i ld e t e r m i n ew h e t h e rt w oq u b i t ss t a t e o ra q u b i t - q u t n ts t a t ei se n t a n g l e do rn o t t h ec r i t e r i o nf a i l s ，h o w e v e r ， f o ro t h e rh i g h e rd i m e n s i o n a lo rm u l t i p a r t i t es t a t e s a ni m p o r t a n tp r o p e r t yo fq u a n t u me n t a n g l e m e n ti st h a tt h ee n - t a n g l e m e n to faq u a n t u ms t a t er e m a i n si n v a r i a n tu n d e rl o c a lu n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n s ( l u t ) o nt h es u b s y s t e m s t h e r e f o r e ，t h ei n v a r i a n t so f l o c a lu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n sh a v es p e c i a li m p o r t a n c e ac o m p l e t es e t o fi n v a r i a n t sc a l lb eu s e dt oj u d g et h ee q u i v a l e n c eo ft w os t a t e su n d e r l u t t h e r eh a v eb e e nm a n yw o r k so nt h i ss u b j e c t ，h o w e v e rt i l ln o w ， w eh a v et h ec o m p l e t es e to fi n v a r i a n t so n l yf o rs o m es i m p l ec a s e s ，f o r e x a m p l e ，t h em i x e ds t a t e so ft w oq u b i t s 【3 3 】f o rg e n e r a lb i p a r t i t es y s - t e mf 3 4 ，ac o m p l e t es e to fi n v a r i a n t sf o rg e n e r i cd e n s i t ym a t r i c e sw i t h f i l l lr a n kh a sb e e np r e s e n t e d t h e r ea r ea l s os o m ep a t t i a lr e s u l t sa b o u t t h es y s t e mw i t ht h r e eo rm o r es u b s y s t e m s 【3 2 ，2 0 g e n e r a l l ye v e nf o r p u r es t a t e s ，o n ed o e sn o tk n o wh o wt of i n da l lt h ei n v a r i a n t s w ef i r s ti n v e s t i g a t et h ee q u i v a l e n c eo fq u a n t u ms t a t e su n d e rl u t b yf i n d i n gt h ec o m p l e t es e to fi n v a r i a n t st oc h a r a c t e r i z et h ee q u i v a l e n c e w ee x t e n dt h er e s u l ti n 【3 4 t ot h eg e n e r a lb i p a r t i t es y s t e m s ，b yp r e - s e n t i n gs o m ea n c i l l a r yi n v a r i a n t s ，f r o mw h i c hw ec a ns o l v et h ep r o b l e m 2 o ft h ee q u i v a l e n c eo fq u a n t u ms t a t e si na r b i t r a r yd i m e n s i o n a lb i p a r - t i r es y s t e m w ea l s og i v eac o m p l e t es e to fi n v a r i a n t sf o rac l a s so f n o n g e n e r i ct h r e e - q u b i ts t a t e s w et h e nc o n s i d e rt h es e p a r a b i l i t yo fq u a n t u ms t a t e s w eu s et h e d - c o m p u t a b l es t a t e si n 8 3 】t oc o n s t r u c tac l a s so fb o u n de n t a n g l e d s t a t e s ，w h i c hi su s e f u li ni n v e s t i g a t i n gt h es t r u c t u r eo fb o u n de n t a n g l e d s t a t e s a tl a s t ，w es t u d i e dt h ea p p r o x i m a t i o no fm a t r i c e st ot h es u n 2 o ft e n s o rp r o d u c t so fh e r m i t i a nm a t r i c e s am i n i m u m d e c o m p o s i t i o n o fm a t r i c e so nt e n s o rs p a c e 日1o - 2i nt e r m so ft h es u l t io ft e n s o r p r o d u c t so fh e r m i t i a nm a t r i c e so n 1a n dh 2i sp r e s e n t e d f r o mt h i s c o n s t r u c t i o nt h es e p a r a b i l i t yo fq u a n t u ms t a t e si sd i s c u s s e d k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ，d e n s i t ym a t r i x ，b o u n de n t a n g l e d s t a t e s ，s e p a r a b i l i t y , i n v a r i a n t s 3 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：圈屹够 日期：w 彤年么日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文劳向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名：凋喀笆 日期：矽年6 月日 1i n t r o d u c t i o n a so n eo ft h em o s ts t r i k i n gf e a t u r e so fq u a n t u mp h e n o m e n a 1 ， q u a n t u me n t a n g i e m e n th a sb e e ni d e n t i f i e da sak e yn o n - l o c a lr e s o u r c e i nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs u c ha sq u a n t u mc o m p u t a t i o n 【2 ，3 】， q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n d e n s ec o d i n g 【5 】 q u a n t u mc r y p t o g r a p h i c s c h e m e s e n t a n g l e m e n ts w a p p i n g 【7 】a n dr e m o t es t a t e sp r e p a r a t i o n ( r s p ) f 8 ，9 ，1 0 ，1 l 】q u a n t u me n t a n g l e m e n tc a nb ee x p r e s s e da sf o l l o w s ： i ft w os y s t e m si n t e r a c t e di nt h ep a s ti ti s ，i ng e n e r a l ，n o tp o s s i b l et o a s s i g nas i n g l es t a t ev e c t o rt oe i t h e ro ft h et w os u b s y s t e m s h i s t o r i c a l l y , e i n s t e i n ，p o d o l s k ya n dr o s e n ( e p r ) 【1 2 a n ds c h r s d i n g e r 【1 3 】f i r s tf e e - o g n i z e de n t a n g l e m e n t i nt h e i rf a m o u sp a p e r ，e p rs u g g e s t e dad e s e r i p - t i o no ft h ew o r l d ( c a l l e d ”l o c a lr e a l i s m ”) w h i c ha s s i g n sa ni n d e p e n d e n t a n do b j e c t i v er e a l i t yt ot h e p h y s i c a lp r o p e r t i e so ft h ew e l l - s e p a r a t e ds u b - s y s t e m so fac o m p o u n ds y s t e m t h e ne p ra p p i i e dt h ec r i t e r i o no fl o c a l r e a l i s mt op r e d i c t i o n sa s s o c i a t e dw i t ha ne n t a n g l e ds t a t et oc o n c l u d e t h a tq u a n t u mm e c h a n i c sw a si n c o m p l e t e t h ee p rc r i t i c i s mw a st h e s o l l r c eo fm a n yd i s c u s s i o n sc o n c e r n i n gf u n d a m e n t a ld i f f e r e n c e sb e t w e e n t h eq u a n t u ma n dc l a s s i c a ld e s c r i p t i o n so fn a t u r e t h em o s ts i g n i f i c a n t p r o g r e s st o w a r dt h er e s o l u t i o no ft h ee p rp r o b l e mw a sm a d eb yb e l l 【1 4 i n f o r m a t i o n - t h e o r e t i c a la s p e c t so fe n t a n g l e m e n tw a sf i r s tc o n s i d - e r e db ys c h r s d i n g e r h er e c o g n i z e dap r o f o u n d l yn o n c l a s s i c a lr e l a t i o n b e t w e e nt h ei n f o r m a t i o nw h i c ha ne n t a n g l e ds t a t eg i v e su sa b o u tt h e w h o l es y s t e ma n dt h ei n f o r m a t i o nw h i c hi tg i v e su sa b o u tt h es u b s y s - t e r n s t h es t u d yo fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n gh a ss p u r r e da f l u r r y o fa c t i v i t i e si nt h ei n v e s t i g a t i o no fq u a n t u me n t a n g l e m e n t s n e v e r t h e - l e s s ，d e s p i t et h ep o t e n t i a la p p l i c a t i o n so fq u a n t u me n t a n g l e ds t a t e s ，t h e t h e o r yo fq u a n t u me n t a n g l e m e n ti t s e l fi sf a rf r o mb e i n gs a t i s f i e d w e d e a lw i t hs o m ek e ym a t h e m a t i c a lp r o b l e m si nt h et h e o r yo fq u a n t u m e n t a n g l e m e n t i tc o n t a i n sm 撕n i yt h r e ea s p e c t s ： 1 s e p a r a b i l i t yo fq u a n t u m s t a t e s i no r d e rt oi n v e s t i g a t et h ee n t a n g l e m e n to fq u a n t u ms t a t e s ，t h ef i r s t t a s ki st of i n dac r i t e r i o nt oj u d g ei fag i v e ns t a t ei ss e p a r a b l eo rn o t i n b i p a r t i t es y s t e m ，t oj u d g eag i v e np u r es t a t ei ss e p a r a b l eo rn o ti sav e r y e a s yj o b ，b e c a u s et h es e p a r a b i l i t yo ft h e mi sb a s e do nt h ep r o p e r t i e so f t h es c h m i d td e c o m p o s i t i o no r ，e q u i v a l e n t l y , t h er a n ko ft h er e d u c e d d e n s i t ym a t r i c e s ，w h i c hc a d b ec o m p u t e dv e r ye f f i c i e n t l y f o rm u l t i p a r - t i r ep u r es t a t e s ，t h eg e n e r a l i z e dc o n c u r r e n c eg i v e ni n 5 0 】c a nb eu s e d t oj u d g ei ft h es t a t ei ss e p a r a b l eo rn o t h o w e v e r ，f o rg e n e r a lb i p a r t i t e m i x e ds t a t e s ，t h e o r e t i c a l l yc a l c u l a t i n gt h em e a s u r eo fe n t a n g l e m e n tf o r ag i v e ns t a t ei se n o u g ht os h o wt h es e p a r a b i l i t y h o w e v e r ，u n t i ln o w ， w eh a v en om e t h o dt oa n a l y t i c a l l yc a l c u l a t et h ee n t a n g l e m e n tm e a s u r e o fa l lb i p a r t i t em i x e ds t a t e s t h em e t h o d sw eh a v en o wo n l yc a l lb e u s e df o rs o m er a t h e rs p e c i a ls t a t e s m o r e o v e r ，f o rm u l t i p a r t i t es t a t e s w ee v e nd o n th a v eaw e l ld 益n e dm e a s u r e t h e r e f o r et of i n dac r i t e r i o n t oj u d g ei fam i x e ds t a t ei ss e p a r a b l eo rn o ti sn o tt r i v i a l l e tu sr e c o l l e c ts o m ec r i t e r i o nf o rt h es e p a r a b i l i t yo ft h es t a t e s t h e f i r s ti sg i v e ni n 【4 7 ，w h e r ew e r n e rp o i n t e do u tt h a ts e p a r a b l es t a t e s m u s ts a t i s f ya l lp o s s i b l eb e l li n e q u a l i t i e s t h ed i s t i n g u i s h e dp r o g r e s s i nt h es t u d yo fs e p a r a b i l i t yw a sm a d eb yp o r e s 4 8 】w h os h o w e dt h a t p t a 0s h o u l db es a t i s f i e df o ras e p a r a b l es t a t e ，i e i ti san e c e s s a r y c o n d i t i o nf o rs e p a r a b i l i t y h e r ep t as t a n d sf o rap a r t i a lt r a n s p o s eo fp w i t hr e s p e c tt ot h es u b s y s t e ma ，i e i fp = i j 削p i k ，j z l a 4 ( a j b t ii na s u i t a b l yc h o s e no r t h o n o r m a lb a s i sa ia n db k ，t h e np l “k , j f = 乃， f i h e r e t h es u b s c r i p t sia n djc a nb er e g a r d e da st h er o wa n dc o l u m ni n d i c e s f o rt h es u b s y s t e ma r e s p e c t i v e l y , w h i l eka n d2a r es u c hi n d i c e sf o rt h e s u b s y s t e mb a f t e r w a r d st h ef a m i l yo fh o r o d e c k i 【5 2 s h o w e dt h a tt h e p e r e s c r i t e r i o ni sa l s os u f f i c i e n tf o r2 2a n d2 3b i p a r t i t es y s t e m s b yu s i n gt h em e t h o do fp o s i t i v em a p s t h i sc r i t e r i o ni sn o wc a l l e d 2 p p to rp e r e s h o r o d e c k i ( p h ) c r i t e r i o n h o w e v e r ，i nh i g hd i m e n s i o n a l s y s t e m s ，t h i sc r i t e r i o ni so n l yan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rs e p a r a b i l i t y t h ec o n t r a r ye x a m p l ei sf i r s tg i v e ni n 【4 9 ，t h e r et h ea u t h o rh a sg i v e n a n o t h e rn e c e s s a r yc r i t e r i o nc a l l e dr a n g ec r i t e r i o n i fas t a t epa c t i n go n t h es p a c e 巩1o 巩2i ss e p a r a b l e ，t h e nt h e r ee x i s t saf a m i l yo fp r o d u c t v e c t o r s 如。咖s u c ht h a t ( 1 ) t h e ys p a nt h er a n g eo fp ； ( 2 ) t h ev e c t o r 嘲圆蝣) 冬ls p a nt h er a n g eo fp t a 2 ( w h e r e d e n o t e s c o m p l e xc o n j u g a t i o ni nt h eb a s i si nw h i c hp a r t i a lt r a n s p o s i t i o nw a s p e r f o r m e d ) i np a r t i c u l a r ，a n yo ft h ev e c t o r s 也。蝣b e l o n g st ot h e r a n g eo fp t a 2 a n o t h e rp o w e r f u lo p e r a t i o n a lc r i t e r i o nf o rs e p a r a b i l i t yi st h er e - a l i g n m e n tc r i t e r i o nw h i c hw a sg i v e ni n 【5 8 ，5 9 i td e m o n s t r a t e sar e - m a r k a b l ea b m t yt od e t e c tm a n yb o u n de n t a n g l e ds t a t e s 5 8 ，s g a n d e v e ng e n u i n e l yt r i p a r t i t ee n t a n g l e m e n t 6 0 】r e c e n t l yc o n s i d e r a b l ee f - f o r t sh a v eb e e nm a d ei np r o p o s i n gs t r o n g e rv a r i a n t sa n dm u l t i p a r t i t e g e n e r a l i z a t i o n sf o rt h i sc r i t e r i o n 6 l ，s 2 t h ec r i t e r i o ns a y st h a tar e - a l i g n e dv e r s i o n 冗( 力o fps h o u l ds a t i s f y 1 7 已( p ) ll 1f o ra n ys e p a r a b l e s t a t e n ( p ) i ss i m p l yd e f i n e dt ob e 冗( p ) 巧，k l = p i k , j l 【5 8 ，5 9 ，6 0 i tw a s s h o w nt h a tp p tc r i t e r i o na n dr e a l i g n m e n tc r i t e r i o na r ee q u i v a l e n tt o t h ep e r m u t a t i o n so ft h ed e n s i t ym a t r i x si n d i c e s 6 0 】 t h e r ea r ea l s os o m eo t h e rn e c e s s a r yc r i t e r i af o rs e p a r a b i l i t y o n e i st h er e d u c t i o nc r i t e r i o nw h i c hw a sp r o p o s e di n d e p e n d e n t l yi n 5 3 】a n d 1 5 4 t h i sc r i t e r i o ni se q u i v a l e n tt ot h ep p t c r i t e r i o nf o r2xn c o m p o s i t e s y s t e m s b u ti t i sg e n e r a l l yw e a k e rt h a np p t t h ec r i t e r i o ns a y st h a t ： i fpi ss e p a r a b l e ，t h e n p a loj p 0 ，j p a 2 一p 0 w h e r e 户1 ( r e s p p a 2 ) i st h ep a r t i a lt r a c eo fpa b o u tt h es e c o n d ( r e s p 3 f i r s t ) s u b s y s t e m ，i e 矿1 = i y 2 pa n dp a 2 = t r i p n i e l s e ne ta 1 5 5 p r e s e n t e da n o t h e rn e c e s s a r yc r i t e r i o nc a l l e dm a j o r i z a - t i o n ：t h ed e c r e a s i n g l yo r d e r e dv e c t o ro ft h ee i g e n v a l u e sf o rp i sm a j o r i z e d b yt h a to f 1o rp a 2a l o n ef o ras e p a r a b l es t a t e ，i e i fa s t a t epi ss e p - a r a b l e ，t h e n a 5 b a n yn o r m a l i z e dp u r es t a t e sc a l lb ew r i t t e na sal i n e a rc o m b i n a t i o no f t h eb a s i ss t a t e si e j ) a l e k ) b ： 丑a 8 = 勺j 勺a l e b 批 w h e r e t h e 勺a r ec o m p l e x c o e f f i c i e n t sa n ds a t i s f y 蚓2 = l 批 t h es t a t e so ft h ec o m p o s i t es y s t e mi sc o m p l e t e l yd e s c r i b e db yi t s d e n s i t yo p e r a t o rp a b ，ap o s i t i v eo p e r a t o rw i t hu n i t et r a c e ，a c t i n go n t h eh i l b e r ts p a c e7 a s i tc a nb ee x p r e s s e da s ： p a b = 搬l e a ) a ( e f l 。b ( e m i ，( 2 1 ) j k l m w h e r e 搬a l ec o m p l e xn u m b e r s p a bi sad a d b d a d bm a t r i x 嘲i s t h e ( j 一1 ) d a + kr o w sa n d ( f 一1 ) d a + mc o l u m n se l e m e n tf o rp a _ 日 t h es t a t eo fa s u b s y s t e mi sd e s c r i b e db yt h er e d u c e dd e n s i t yn l 外 t r i x t h er e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o rf o rs u b s y s t e ma ( b ) i sd e f i n e db y p a = t r b ( p a b ) ，( p b = t r a ( p a b ) ) ， w h e r en 以( b ) i sam a po fo p e r a t o r sk n o w na st h ep a r t i a lt r a c eo v e r s y s t e ma ( b ) f r o m ( 2 1 ) ，a n dp bc a nb ee x p r e s s e da s ： ，= t r b r a b = 韶l e j ) a ( e f i n ( i e ) b ( e 。i ) = 礤l e a ) a ( e z j 七f m j 肼 户= 仕a p a b = 韶n ( i 勺) j 4 ( e f 啡) b ( e m | = 带l e i ) n ( e f | - j k l mj m t h ep a r t i a lt r a c ew i t hr e s p e c tt om u l t i p a r t i t es y s t e m s ，c a nb ed e f i n e d s i m i l a r l y 2 4 2 s e p a r a b i l i t ya n dt h es c h m i d td e c o m p o s i t i o n av e r yi m p o r t a n tc o n c e p ta b o u tt h eq u a n t u ms t a t e si st h es e p a r a - b i l i t y d e f i n i t i o n2 6 ：ap u r eb i p a r t i t es t a t el 皿a b ) d ，t h ec o m p o s i t es y s t e m i ss e p a r a b l em o te n t a n g l e d ) 玎t h es t a t e nb ee x p r e s s e d0 , 8ad i r e c t p r o d u c ts t a t e , i e 1 皿) a 日= i 币) i 妒) b ， w h e r ei 妒) aa n di 1 ；f ，) ba r en o r m a l i z e dp u r es t a t e so fs y s t e maa n db r e s p e c t i v e l y t h i sd e f i n i t i o ni m p l i e st h a tb o t hr e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o r s a n dp b a r ep u r ei fa n do n i yi f 霍) a 口i ss e p a r a b l e ，o t h e r w i s e ，t h e ya r em i x e d t h ee n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so f b i p a r t i t ep u r es t a t e sa r es t u d i e db y e x p r e s s i n gt h e mi nam i n i m a l ，s t a n d a r df o r mc a l l e ds c h m i d td e c o m p o - s i t i o n i ti sa l w a y sp o s s i b l et of i n do r t h o n o r m a lb a s e s f 疗) ) a n d ( i 弧) ) f o rs y s t e m saa n db r e s p e c t i v e l y , s u c ht h a tan o r m a l i z e db i p a r t i t ep u r e s t a t ei 奶j 4 bc a nb ed e c o m p o s e di n t o i 皿) a b = m l f j ) a l g k ) b ， w h e r e 心a r ec a l l e ds c h m i d tc o e f f i c i e n t s tt h e ya r en o n n e g a t i v ea n dr e a l n u m b e r ss a t i s f y i n gt h en o r m a l i z a t i o n 吩= 1 t h en u m b e ro fn o n z e r o j s c h m i d tc o e f f i c i e n t s 助i sc a l l e dt h es c h m i d tr a n ko fi 皿) 仰i ft h e s c h m i d tr a n ki so n e ，t h e nt h es t a t ei ss e p a r a b l e d e f i n i t i o n2 7 7ab i p a r t i t eq u a n t u mm i x e ds t a t ep a bi ss a i d o6 e s e p a r a b l em o 礼e n t a n g l e d ) i i tc a n b ew r i t t e na s ： p a b = q i p a 谚， t w h e r e 砖a n d 更a l ed e n s i t ym a t r i c e s o rs y s t e ma a n db r e s p e c t i v e l y , a n dq i 0 ，i q i = 1 t h i s1 se q u i v a l e n tt ot h ec o n d