（基础数学专业论文）几类空间在映射下的不变性.pdf

摘要 一般拓扑学的一个主要任务是不同拓扑空间类的比较，映射直接建立了不同拓 扑空间类的联系，是实现该任务的重要工具在广义度量空间理论研究中，用映射 研究空间的一个方面是某些特定的广义度量空间在怎样的映射下保持不变g _ 第 一可数空间和g - 度量空间有许多特殊的拓扑性质，研究它们在映射下的不变性是 非常必要的在文献【7 中，刘川和戴牧民证明了开闭映射保持g _ 度量空间；在文 献m t a n a k a 提出下述开问题；开映射是否保持g 第一可数空间? 在文献 4 1 中， 夏省祥引进了弱开映射，并研究了它和1 - 序列覆盖映射的关系本文在第二节研究 了弱开映射与序列商映射，几乎开映射的关系，证明了有限到一的弱开映射保持g 一 第一可数空间；弱开闭映射保持g 一度量空间第三节研究了文献 5 】中的一个例 子，证明了完备映射不保持g 一第一可数空间，g 一度量空间，s n 第一可数空间， s i ! 一度量空间 关键词：要珏映射；完备映射；g 一第一可数空间；g - 度量空间；一一遗传闭包 一一 ，一 ” 保持的 一 a b s t r a c t i ti sam a i nt a s ko fg e n e r a lt o p o l o g yt oc o m p a r ed i f f e r e n ts p a c e sm a p p i n g sw h i c h c o n l l e e td i f f e r e n ts p a c e sa l ei m p o r t a n tt o o l st oc o m p l e t ei tw h i c h m a p p i n gp r e s e r v e ss o l n e s p e c i a lg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c ei s ab a s i cp r o b l e m ei n i n v e s l i g a t i n gg e n e r a l i z e dm e t r i c s p a c e sb ym a p p i n g s g f i r s tc o u n t a t f l es p a c e sa n dg - m e t r i z a b l es p a c e sh a v en l a n yi m p o r t a n t t o p o l o g i c a lp r o p e r i t i e s s ot oi n v e s t i g a t ew h i c hm a p p i n gp r e s e r v e st h e mi sv e r yn e c e s s a r y i n 1 7 】，c h u a nl i ua n dm u n f i n gd a ip r o v et h a to p e n c l o s e dm a p p i n g sp r e s e r v eg m e t r i z a b l e s p a c e s ；w h e t h e ro p e nm a p p i n g sp r e s e r v eg - f i r s tc o u n t a b l es p a c e s i sa no p e np r o b l e m ea s k e d b yt a n a k ai n 阿i n ( 4 s h e n g - x i a n gx i a i n t r o d u c e sw e a ko p e w nm a p p i n g sa n di n v e s t i g a t e s t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e ma n di - s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s i nt h es e c o n ds e c t i o n0 ft h i s a r t i c l e ，w ei n v e s t i g a t ew e a ko p e nm a p p i n g sh a v et h er e l a t i o n sw i t ho t h e rm a p p i n g sa n d p r o v et h a t t h ef i n i t e t ( ) o n ew e a ko p e nm a p p i n g sp r e s e r v eg - - f i r s tc o u n t a b l es p a c e sa n d w e a ko p e nc l o s e dm a p p i n gp r e s e r v eg - - m e t r i z a b l es p a c e s i nt h et h i r ds e c t i o n ，w ei n v e s t i g a t e a l le x a m p l et os h o wt h a tp e r f e c tm a p p i n g sd on o tp r e s e r v eg - - f i r s t c o u n t a b l es p a c e s ，g - m e t r i z a b l es p a c e s ，s n f i r s tc o u n t a b l es p a c e sa n ds n m e t r i z a b l es p a c e s k e y w o r d s ：w e a ko p e nm a p p i n g s ；p e r f e c tm a p p i n g s ；g - ，f i r s t c o u n t a b l es p a c e s ；g - m e t r i z a b l es p a c e s ；口- h e r e d i t a r i l yc l o s u r e - p r e s e r v i n g 婴蟹晒羔监垂 娄室堕l 在映射工盟丕塞：堕 1 第一节引言 上世纪中叶开始，通过对度量化问题、空间与映射的相互分类原则和积空间的 仿紧性等一般拓扑学中重要问题的研究，导致了广义度量空间理论的建立经过一 般拓扑学家的不懈努力，它得到迅猛发展，产生了许多漂亮、深刻的结果一般拓 扑学致力于拓扑空间及连续性的研究，有三个主要的内在任务，一是不同拓扑空间 类的比较，二是确定类的研究，三是为上述目的及应用的需要定义新的概念和空间 类实现任务一的联结空间的映射方法特别重要，该方法能直接建立不同空间类的 联系在广义度量空间中，用映射研究空间的一个重要方面是确定某些特定的广义 度星空间在怎样的映射下保持不变因此，研究映射类的性质及其之间的关系是广 义度量空间理论研究的重要部分用弱基和序列邻域网定义的g 第一可数空间， g 一度量空间，8 1 1 - 第一可数空间，8 1 1 一度量空间是常见的广义度量空间类，研究它 们在映射下的不变性是非常必要的 在文献 4 】中，夏省祥引进了弱开映射，研究了它和商映射，1 序列覆盖映射 之间的关系，证明了弱开映射是商映射等结果关于g 度量空间，文献【2 】2 给出反 例说明了完备映射不保持g ，度量空间，刘川和戴牧民在文献【7 】中证明了开闭映射 保持g 一度量空间文献【8 1 证明了开，s 映射保持具有点可数基的空间仿此， t a a a k a 在文献【6 】中提出下列问题：开映射是否保持g 一第一可数空间，该问题至 今仍是一个开问题 本文的主要结果是： 第二节首先研究了弱开映射与几乎开映射，序列商映射之间的关系，利用这些 结果证明了g 一第一可数空间在有限到一的弱开映射下保持不变；g - 度量空间在弱 开闭映射下保持不变第三节研究了文献 5 中的一个空间及其商空间，证明了该 空间是g - 第一可是数空间，g _ 度量空间，s l l 一第一可数空间，8 1 1 - 度量空间；其商 空间不是g 一第一可数空间，g 度量空间，s n - 第一可数空间，s n 度量空间，从而 给出完备映射不保持这些空间的反例；最后给出2 一序列覆盖映射不是弱开映射的 反例 通过上述结果的证明，加深了对弱开映射和这些性质的认识，深化了已有结果 本文中除特殊说明，所有的空间都是b 的，映射均指连续的满映射设a 是 空间x 的子集，万，a o 分别表示a 的闭包和内部， z 。) 表示第1 1 项为z 。的序列 n 表示全体自然数集 下面是本文要用到的定义和引理： j 型丛l 生姐生垒监塞 娄窒闷查哇射工曲丕变! 睦 2 定义1 1 1 1 1 设x 是一个空间，pcx ( 1 ) 若x 中的序列 z n 收敛于x ，称 z 。) 是终于p 的，如果存在men 使得 z u z 。：n m cp ( 2 ) p 称为x 中的点x 的序列邻域，若x 中的序列( z 。) 收敛于x ，则 。 是 终于p 的 ( 3 ) p 称为x 的序列开集，若p 是p 中每一点的序列邻域若x p 是序列开 的，则p 称为x 的序列闭集 ( 4 ) x 称为序列空间，若x 的每一序列开集是x 的开集 ( 5 ) x 称为k 空间，若acx 使得对于x 的每一紧子集k ，有n a 是k 的 闭子集，则a 是x 的闭子集 ( 6 ) x 称为f r d c h e t 空间，若z jcx ，则存在a 中的序列 z 。) 收敛于x 注1 1 若p 1 和p 2 都是x 的序列邻域，则p inp 2 也是x 的序列邻域 注1 2 在空间x 中，z pcp 1 ，若p 是x 的序列邻域，则p 1 也是x 的序列 邻域 注1 3f r d c h e t 空问号序列空间辛k 空间 定义1 2 l 设p = u r ：$ x ) 是空间x 的覆盖，满足：v z x ，咒是x 在x 中的网，即r ( p ) 。，且若z g ，g 是开集，则存在p r 使得pcg ； 并且如果u ，v r 那么存在w 吼使得wcu n v ( 1 ) p 称为x 的弱基，若g c x ，使得对于g ，存在p ，有p c g ，那么 g 是x 开子集，此时r 称为x 处的弱基 ( 2 ) p 称为x 的序列邻域网( 简记为s n - 网) ，若每一r 的元素是x 在x 中 的序列邻域此时r 称为x 处的s i i 网 ( 3 ) 若空间x 的每一点都有可数的弱基( s n 网) ，则称x 是g 第一可数空间( s n 第一可数空间) ( 4 ) 若空间x 有可数弱基，则称x 是g 第二可数空间 ( 5 ) 具有a 局部有限弱基( s n - 网) 的正则空间称为g - 度量空间( 6 n - 度量空间) 定义1 3 】设映射tx _ y ( 1 ) f 称为有限到一映射，若每一f - 1 ( y ) 是x 的有限子集 ( 2 ) f 称为紧映射，若每一f _ 1 ( y ) 是x 的紧子集 ( 3 ) f 称为商映射，若f “( u ) 是x 的开子集，则u 是y 的开子集 ( 4 ) f 称为几乎开映射，若对于y y ，存在。，_ 1 ( u ) 使得如果u 是x 在x 中 的邻域，则f ( u ) 是y 在y 中的邻域 ( 5 ) f 称为开映射，若v 是x 的开集，则f ( v ) 是y 的开集 j 塑丛l 生姐生型尘丛吐娄空豳查瞌盟工的丕变：睦 3 ( 6 ) f 称为闭映射，若f 足x 的闭集，则f ( f ) 是y 的闭集 ( 7 ) f 称为完备映射，若f 是闭且紧的映射 ( 8 ) f 称为弱开映射，如果存在y 的弱基1 3 = o b ：y y ) 且对每一y y 存 在z ，( g ) 满足：对x 的任何开邻域u ，存在1 3 ”使得b 。c “u ) 注1 4 开映射= j 几乎开映射= 号商映射 定义1 删设映射ex 叶y ( 1 ) f 称为紧覆盖映射，若y 的任一紧子集是x 中某紧子集在f 下的象 ( 2 ) f 称为序列商映射，若 9 。) 是y 中的收敛序列，则存在 。) 的子序列 ”。，) 和x 中的收敛序列 x i ) 使得每一z 。，。1 ( y n 。) ( 3 ) f 称为序列覆盖映射，若 y 。) 是y 中的收敛序列，则存在x 中的收敛序列 z 。 使得每一。，_ 1 ( y n ) ( 4 ) f 称为2 一序列覆盖映射，若对于y y 及z ，一( y ) 满足：若y 中的序列 蜘) 收敛于弘则存在x 中收敛于点x 的序列 z 。 使得每一z 。，一1 ( 。) 注1 52 一序列覆盖映射辛序列覆盖映射辛序列商映射 定义1 ，5 设p 是空间x 的子集族 ( 1 ) p 称为x 的局部有限集族，若v z x ，存在x 在x 中的开邻域u ，使得u 只与p 中有限个元素相交 ( 1 ) p 称为x 的遗传闭包保持集族，若对于每一h ( p ) cp p ，集族f h ( p ) ： p p 是闭包保持的 ( 1 ) p 称为x 的一- 局部有限( o 遗传闭包保持) 集族，若p 能表示成可数个局 部有限( 遗传闭包保持) 集族的并 注1 6o 一遗传闭包保持集族的子族是o 遗传闭包保持的；o ，局部有限集族是 一一遗传闭包保持的 引理1 1 | 1 1 设p 是空间x 的子集族，那么 ( 1 ) 若p 是x 的弱基，则p 是x 的8 n 网 ( 2 ) 若p 是序列空间x 的8 n 网，则p 是x 的弱基 注1 7 设x 是序列空间，则8 n 一第一可数空间甘g 第一可数空间；8 1 1 一度量空 间g 一度量空间 引理1 2 商映射保持序列空间的性质 引理1 , 3 2 】廿第一可数空间是序列空间 本文中未定义的概念及有关记号以文献【1 】和文献【2 】为准 j 型丛l 生短圭茔垒监支 出娄空闻在映盘工的丕变蛙 4 第二节弱开映射 在文献 4 1 中，夏省祥引进了弱开映射，利用它把一类g - 第一可数空间刻画为 度量空间在不同弱开映射下的象，研究了它与其它映射类之间的关系，得到如下结 果： 定理2 1 1 4j 弱开映射是商映射 定理2 2 1 4 】设f ：x + y 是弱开映射，若x 是第一可数空间，则f 是1 序列 覆盖商映射 定理2 3 1 4 1 设f ：x y 是1 一序列覆盖映射，若y 是序列空间，则f 是弱开 映射 本节给出弱开映射与序列商映射，几乎开映射之间的关系，利用这些结果证明 了g 第一可数空间在有限到一的弱开映射下保持不变；分度量空间在弱开闭映射 下保持不变 引理2 1 【1 1 设x _ y 是映射，那么f 是序列商映射当且仅当若厂1 ( f ) 是x 的序列闭集，则f 是y 的序列闭集 引理2 2 空间x 是f r d c h c t 空间，z pc x ，若p 是x 的序列邻域，则口p o 证明：若x g p o ，则z j f 吁因为x 是f r d c h e t 空间，所以存在序列 z 。) c x p 使得 z 。) 收敛于x ，这与p 是x 的序列邻域矛盾因此x p o 定理2 4 设tx + y 是弱开映射 ( 1 ) 若x 是序列空间，则f 是序列商映射 ( 2 ) 若y 是f r d c h e t 空间，则f 是几乎开映射 证明：( 1 ) 因为bx + y 是弱开映射，据定理2 1f 是商映射设fcy ，。( f ) 是x 的序列闭集，则据x 是序列空间得，一( f ) 是x 的闭集，从而f 是y 的闭集， 也y 是的序列闭集因而据引理2 1f 是序列商映射 ( 2 ) 因为x + y 是弱开映射，所以存在y 的弱基廖= u 岛：y ey 且对每 一y y 存在z s _ 1 ( y ) 满足：对x 的任何开邻域u ，存在b b y 使得b ”c ，( u ) 从而据注1 2 和引理1 if ( u ) 是y 的序列邻域因而据定义1 3 和引理2 2f 是几乎 开映射 据定义1 1 可得下引理： 引理2 3 设z p cx ，则p 不是x 的序列邻域当且仅当存在各项互不相同的 序列 2 ；n ) 收敛于x 且满足： t 。) cx p ；v n n ，z 。z 兰盥堕i ! 如蔓茔垡盅盘丛娄窒闷盔映盘工盟丕变蝗 5 引理24 设nx 。y 是序列商映射，若v y ，v x f 1 ( ) ，r 是x 的序列邻域， 则u，( b ) 是y 的序列邻域 z ，。1 ( v ) 证明：若u ，( b ) 不是y 的序列邻域，则存在满足引理2 3 收敛于y 的 o e ，一。( ) 序列 9 n ) ，使得 y n ) cy u ，( b ) 因为f 是序列商映射，所以存在 y n ) z ，叫( ，j 的子序列( y 。，) 和x 中的收敛序列 5 9 i ) 使得f ( x i ) = y 。设 嗣 收敛于z o 则 z o f 。( ) 据b 。足z o 的序列邻域知，存在m n ，v i m 有z 。p z o ，从 而。= f ( x i ) ，( b 。) cu，( b ) ，这与 ) cy u，( r ) 矛盾因而 ? ， )r ，一1 ( ) u，( b ) 是y 的序列邻域 z ，1 ( 9 ) 定理2 , 5 设f ：x - y 是有限到一的弱开映射，若x 是g 一第一可数空间，则y 是g 一第一可数空间 证明：因为x 是g 一第一可数空间，所以据引理1 3 和注1 1 、1 ，7 知x 是序 列空间和s n 一第一可数空间，且v z x ，x 有可数的递减s n 一网因为f 是有限到一 映射，所以可设f 。1 ( y ) = z - ，x r a ) ，令只= 只，。：n n 表示q 处递减的8 n - 网，i = 1 ，2 ，巩r = u ，( r ，札) ：nen 显然，b 是可数递减集族对任意 的开集ucy y u ，因为，“( u ) 是开集，所以存在p i 只使得只hcf 。( u ) ， 令n = i i l a x n 1 ，n 2 ，7 。 ，则uf ( p i ，。) cu vu ，( b m ) 马，uf ( p i m ) er ，令 t = il = it = l 7 1 , = l n a x n 】，n 2 ，则u ，( b ，。) cuf i p i 。) nu ，( p i 。) 由f 是弱开映射，据定理 z = lt = il = 1 24 和引理2 4 知，v u ，( 只，。) r 是y 的序列邻域综上可知，vyey ，y 有 可数的s n 网，从而y 是s n 一第一可数空间据定理2 1 、引理1 2 和注l7 知，y 是g 第一可数空间 显然，开映射是弱开映射因而有： 推论2 1 设f ：x y 是有限到一的开映射，若x 是分第一可数空间，则y 是g 第一可数空间 引理2 5 【2 】设空间x 具有一遗传闭包保持弱基，若x 是一个k 一空间，则x 是g 。第一可数空间 定理2 6 【2 】设x 是拓扑空间，则x 是g 度量空间当且仅当x 是具有o - 遗传 闭包保持k 网的g - 第一可数空间 定理2 7 【2 】g 一度量空间的闭映象是g - 度量空间当且仅当它是g 一第一可数正则 空间 引理2 6 设bx _ y 是闭映射，p 是x 的。一遗传闭包保持集族，则p + = f ( p ) ：p p ) 是。一遗传闭包保持的 型地卫圭锄兰型垡蛰蔓支一 一 娄空间查映射工盟丕变：建 6 证明；因为p 是x 的x 的一一遗传闭包保持集族，所以p ：百只且只是遗 i = l 传闭包保持的从而p + = ，( p ) ：p p = 。雪碍，其中p ? = ，( p ) ：p b ) 下面 只需证明巧是遗传闭包保持的对于每一h ( ，( p ) ) c ，( ，) 碍， 因为h ( ，( p ) ) cuh ( ，( p ) ) ，所以耳订订币c p r uh ( f ( p ) ) p p ， 从而u 百厕c p e r uh ( p ) p _ p 由，是满映射知存在h o ( p ) cp 只使得r ( f ( t ，) ) = f ( h o ( p ) ) 因为， 是闭映射且u 日( ，( p ) ) cu ，( 瓦玎巧) ，所以 p rp 只 uh ( ，( p ) ) c p p ，( u 丽) = ，( 0 丽) = f ( u g o ( e 一) ) = ，( u 蔚i 丽) c p ! t p e 7 1 p lp ip + p t uh ( ，( p ) ) p 只 uf ( h o ( p ) ) = 尸p uf ( h o ( p ) ) = p r 综上知，u 葡了而= 弋厂研了而，因而研是遗传闭包保持的 尸p tp r 定理2 5 设，：x _ y 弱开闭映射，若x 是g 度量空间，则y 是乎度量空 间 证明；因为x 是分度量空间，所以x 是s l l - 度量空间，而据定理2 6 和引理1 a x 是序列空间因为f ：x y 是弱开映射，所以存在y 的弱基8 = u i ，所以z + x k k ic r = ik = l 一1 以+ f c 巩，从而一c n ，矾= 嘞 ，码= z + ，因而n f z 。 0 ，矛盾据p 是z 的序 列邻域知，存在i o n 使得v i i o 有z 。p ，从而g 。，e ，( p ) ，与 。) cy ，( 尸) 矛盾因而s ( p ) 是y 的序列邻域 综上可知，巧是y 的s u 网 因为- p 是x 的一一局部有限s n 一网，所以p 是o 遗传闭包保持的，而f 是闭映 射，据引理2 6p + = ，( p ) ：pep ) 是一- 遗传闭包保持的因而p ”= ur cp 是y 的一一遗传闭包保持的s n 一网由引理1 2 和定理2 1 ，y 是序列空间，从而p 是y 的。一遗传闭包保持的弱基且y 是k 空间，因而据引理2 5 、定理2 7 知y 是 g 。度量空间 j 坦噬0 e 篮圭壁垒蓝遗一 娄窒回在呋盘工的丕变! 建 8 第三节拓扑空间与其商空间 决定： 当z = + ；时 当z = ；时 x t2 ) u ，些。 ；+ ；) - 其拓扑由如下邻域基 当。= 0 时 8 ( z ) = u i u 只与有限个x i 不相交，且u n x i 0 时，置有拖 中的有限个点不在u 中 ，i n x 具有如下性质：x 是序列空间，不是p r 6 c h e t 空间；x 是的；x 是可数 的非第一可数空间；其子空间y = x 1 ，；) 不是序列空间令a = o ，1 ， ) ， 下面对该空间进行继续讨论： 3 1 a 是x 的闭紧致子集 证明设a = ) 。r 是x 的任意开集族且a u 4 ，则存在。a 使得 0 根据b ( o ) 的定义，至多有有限个i 。，s = 1 ，2 ，n 使得士仨。由a u a 知，存在o 。r 使得i 1 ，从而a cu ，因此a 是x 的紧致子集又x 是 乃的，所以a 是闭子集 3 2 在x 中，如果 z 。) 收敛于0 ，则存在m n 使得v i m ，有q a 证明：设 。n ) 收敛于0 ，则在区间【 + 古】( ) 内只含有该序列中有限个 点否则存在i o n ，使得区间【专，石1 + 去 内含有该序列中无限多个点，则可取0 点 的邻域u = x x 如对0 点的邻域u 以及v m n ，存在 o m ，使得z 。粤u ，这 与 z 。) 收敛于0 矛盾 若 。) 有无限多个点不在a 中，记这些点组成的集合为日根据上面的证明 知，b 与每个区间 ，+ 占】( v i ) 的交为有限集，从而u = x b 是0 点的邻域 且u nb = d 对0 点的邻域u 以及v m n ，存在n 0 m 使得z 。b ，但z 。掣u ， 这与 z 。) 收敛于0 矛盾 3 3 x 是g 。第一可数空间，g 度量空间 证明因为x 是序列空间，所以根据注l7 只需证明x 是s n 一第一可数空间， m 度量空间在x 中按下列方法取集族p = ur z x 当z 0 时p t = 嚣( t ) 当。= 0 时r = b i ) 其中b 。= 0 ) u ；，击， i n ，4 萨 产产 0 ， = ，l_j + 吒 。u辞 ” p 墨 = = z z 8 日 j 塑型巳强土堂焦硷塞一 些娄空回垒睦盘工煎丕奎一睦 9 显然，v x x ，b 是可数集根据定义1 2 知，比0 ，r 是z 的s n 一网当 r = 0 时，是0 在x 中的网，且v 玩，b j r 有b 。c 聩n b ，其中s m 使得掣v ，与 鲰 收敛于0 矛盾 根据3 1 和1 5 知，a 确定x 的商空间t = x a ，自然商映射，：x t 是闭 映射，t 是t 4 空间为讨论的方便，令t = x 1 ， ，l ，t 中的元素代表a 所决 定x 上的等价关系的等价类 型螋! 暾圭堡垒硷盘娄室回查映射工的丕变! 建l o 3 6 t 不是g 一第一可数空间和g 一度量空间 证明显然在t 中，v t o ，“1 是开集 设t 是开集且0ew ，则由a ，。( ) ，f 一1 ( w ) 是x 中的开集知， v i n ，托 中仅有有限个点不在w 中设8 ( o ) 是0 点的邻域基，则b ( o ) 是 不可数集，否则设日( o ) = 眦 。根据上面可知，v i n ，存在t 。e 暇使得 t l 嗡+ 专 令g = u 豫 ，则= t f 是含。的开集但v n ，w 口， 这与b ( o ) 为0 点的邻域基矛盾 设p = ur 是y 的弱基，v t 0 ，根据定义1 2 和以上证明知， 1 r v p t e 7 1 p o ，v t 0 ，t p ，存在 t 耽使得 t ) c 尸；t = o ，有尸p ，从而p 是开集若 是可数集，则根据定义1 2 知吼是。点的可数邻域基，与上面证明矛盾因而 是不可数集，t 不是g 一第一可数空间同3 4 证明，r 不是g 。度最空间 注3 2 由上证明可知，t 不能有可数弱基，从而不是g 第二可数空间 3 7 t 不是s m 第一可数空间也不是s n 一度量空间 证明；因为，：x r 是商映射，x 是序列空间，所以根据引理1 , 2 知t 是 序列空间根据注1 7 和3 6 知，t 不是s n 一第一可数空间和s n ，度量空间 3 8 映射f ：x _ t 是完备映射，不是序列覆盖映射 证明：v t t 一：ja 忙。 【 f t 0 因为a 和 t ) 都是x 中的紧子集，所以，是紧映射又，是闭的，从而，是 完备映射 在t 中按下列方法取序列 = ，+ ，j = ，z ，一。= ；+ ；1 ，s = a ，s ，- 把这些点交错排列形成的序列记为 t 。) v w t ，w 为开集，o w ，根据3 6 的 证明知，存在m n ，v n m 有t 。w ，因而 t 。) 收敛于0 显然，在x 中序列 ，一，( ) ) = k ) 不收敛于厂1 【o ) 中的任意一点根据定义1 4 知，不是序列覆盖 映射 3 0t 是f r 6 c t m t 空间 证明设a t , v t 万，若t 0 ，则由 t 是开集知，t a 存在序列 “ n e n a ， 收敛于t ，其中z 。= f ，n 若t = 0 ，分两种情况讨论： ( 1 ) 若v i n 有a nx ，为有限集，则0 a 否则0ga ，根据3 6 的证明知 ：t a 是含0 的开集且w na = o ，这与0e 万矛盾因而0 a ，a 中存在常数 兰( ! ( ! 羔生姐土堂堂型盘一 一 出娄窒蛆垂噻盘工曲丕变一 1 1 列收敛于0 ( 2 ) 若存在i n 使得a n x i 为无限集把a n x , 。中的点从小到大的顺序排成序列 a ，由3 6 的证明知v w l0e - w 为开集，存在m n ，使得 m 有。w 因此， n l 收敛于0 综上可知，v t 万，存在序列 。 a 使得( 。 收敛于t 因此，t 是f r & ：l 。e t 空间 根据上面的讨论，我们得到下面的结果： ( 1 ) 9 一第一可数空间，q - 第二可数空间和9 度量空间都不是可遗传的 ( 2 ) 完备映射不保持g 一第一可数空间，q - 第二可数空间和g - 度量空间 ( 3 ) 完备映射不保持s n 一第一可数空间和一度量空间 ( 4 ) 完备映射不一定是序列覆盖映射 文献【4 】给出反例说明弱开映射不一定是1 一序列覆盖映射，下面的例子说明2 、 序列覆盖映射不一定是弱开映射 例紧覆盖的2 一序列覆盖映射不一定是弱开映射 证明v i n ，令g = + 扎= i 2 + 2 k ，k ，x ；= 置g 在x 中按下列方 式取集族： 当z = 时舀( z ) = j 0 d 。i 功耳 且皿为有限集) i n 当z = 0 时 b ( z ) = u i u 只与有限个群不相交，且u n 群口时，珂有e 中的有限个点不在u 中 i n 易证x 可由下列集族作为邻域基确定它的一个新的拓扑丁+ 当。= 十时8 ( z ) + = b ( z ) ，i n ，j = i 2 ，i 2 + 1 ， 当$ = 时8 ( z ) + = u ( x ) u 日( 。) ，ien 当z = 0 时8 ( ) + = b ( 。) u 8 ( 。) 记x 上原有拓扑为丁，拓扑