（基础数学专业论文）半线性椭圆方程和系统的近共振问题.pdf

： l t j l 卜 日录 目录 摘要i a b s t r a c t i 第1 章引言1 1 1研究的问题及其背景1 1 2 预备知识4 1 3论文的结构安排5 第2 章 2 1 2 2 2 3 半线性椭圆方程近共振问题解的存在性和多重性7 主要结论7 变分框架8 主要结论的证明9 第3 章一类半线性椭圆系统近共振问题解的存在性和多重性2 1 3 1 主要结论2 1 3 2 变分框架2 3 3 3主要结论的证明2 4 第4 章退化椭圆方程近共振问题解的存在性和多重性3 8 4 1 主要结论3 8 4 2主要结论的证明4 0 第5 章一类带h a r d y 项椭圆方程解的存在和多重性5 2 5 1 主要结论5 2 5 2主要结论的证明5 4 结论6 6 参考文献6 8 致谢7 4 攻读博士学位期间发表的学术论文7 5 i 登 1 ， l l 一 n 一 l l 摘要 半线性椭圆方程和系统的近共振问题 基础数学专业 孑旨导教师 博士研究生索洪敏 唐春雷教授 圭者面 捅斐 本文运用变分方法和分析技巧研究了半线性椭圆方程和系统在高阶特征值处的近共振 问题解的多重性。 首先，我们研究半线性椭圆方程 j - - k u = a u - 4 - f ( x ，“) 4 - ( z ) ，z q iu = 0 ， z a q 、 其中qc 酞是有界p ( 域，具有光滑边界a q 当厂满足次线性条件，关丁= 上述方程在高 阶特征值处的近共振问题，我们获得两个多解性结果 此外，我们考虑合作椭圆系统 z q z q z d q 其中qc 则是有界p ( 域，具有光滑边界a q 当v f 或f 满足某种强锘u 性条件，我们 证明了上述系统在高阶特征值处的近共振问题解的多重性 然后，我们研究退化椭圆方稗 j d i v ( a ( x ) v u ) = a u + f ( x ，) 十 ( z ) ，z q i 札= 0 ，x - ) q ， 其中qcr 是有界区域，具有光滑边界p q 利用紧嵌入础( q ，a ) q 汐( q ) ( p 1 ，而2 忑n 石) ) ，我们建它了此退化方程在高阶特征值处近共振问题解的多重性 最后，我们考虑带h a r d y 项的# 线性椭圆方程 - a u ，- - p 静“叼m 圳) + 纵砒三器 引巩 0 0 1 肌 + 一 u 心 m 如k r 凡 + 咖咖如 + 咖咖咖 n n 仉 l l 一 一 u 两南大学博十学侍论文 其中qc 瓞足有界区域，具有光滑边界a q 类似于上面的退化方程，我们证明此方程 在高阶特征值处近共振问题解的多重性 关键词：半线性椭圆方程：合作椭圆系统：退化方程：h a r d y 项：近共振：高阶特征值：解的 多重性；变分力法 i i 唯 晕 ； j ， ， 一 第1 索引言 第1 章引言 1 1研究的问题及其背景 本文利用变分法研究一类椭圆方程和系统，退化情形及带h a r d y 项奇异椭 圆方程在高阶特征值处近共振问题解的多重性 随着科学技术的不断进步和发展，人们在对自然界中各种变化现象进行研 究时，提出了很大一类非线性方程自1 9 世纪开始，相继出现了大量新的数学 物理方程，其中最基本的有描述电磁场变化的麦克斯韦方程组，描述微观粒子的 薛定谔方程等；近年来，与孤立子、杨一米尔斯方程等与近代理论的研究密切相 联。特别是近年来研究的椭圆系统的边值问题有广泛的背景，它可以用来描述发 生在恒温或变温催化剂颗粒中的多重化学反应也可以用于管状化学反应的简单 模跫更自然地，它对应于反应扩散系统所确定的动力系统的稳定状态这些偏 微分方程或系统是否叮解或在什么条件下可解，成为了制约相关学科领域发展 的瓶颈因此，讨论这类方程解的存在性及其性态就变得十分重要尤其对电磁 学、光学及分子、原子物理学等科技领域所涉及的共振现象的研究对科学的发展 具有较大的意义 变分原理是自然界中的一条普遍原理它将自然界中的大量问题( 称为变分 问题1 归结为某个泛函在一定条件下的极值问题或临界点问题例如微分几何学 中的等周问题、测地线问题以及极小曲面问题等都可以看成变分问题，又如，在 经济管理、优化与控制等学科中，许多问题都可以归结为求目标函数在一定的约 束条件下的极值问题，再如，在经典力学和场论中，我们知道，物质的运动规律都 遵循h a m i l t o n 最小作用原理，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程就足这 个泛函的e u l e r 方程凶此，求解e u l e r 方程便叮化归为求其对应的泛函的极值 点或临界点极值问题和条件极值问题是变分原理最简单而又最基本的问题而 临界点问题是极值问题的进一步发展，它主要研究泛函的临界点存在性与多解性 以及临界点附件的拓扑性质，主要内容有极小极大原理、m o r s e 理论、l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n n 理论以及指标理论特别地自1 9 7 3 年a m b r o s e t t i 与r a b i n o w i t z 开创了以山路引理为代表的一种新的极小极大方法，它是临界点理论与非线性微 分方程理论发展的一个里程碑应用这一理论r a b i n o w i t z 等一大批数学家在椭 圆边值问题，弦振动的周期问题以及h a m i l t o n 系统的周期轨道问题的研究中取 得了突破性的进展这些都为非线性现象的研究提供了牢固的数学基础，使得人 两南夫学博士学 声论文 们处理非线性系统的能力大为增强。非线性系统中丰富的定常运动和复杂运动 模式不断地揭示出来，吸引着越来越多的理论和应用工作者的极大兴趣和关注 非线性微分方程是非线性科学的主要研究方向，在微分几何理论物理，生态学， 经济学和工程技术中有广泛的应用而一、二阶h a m i l t o n 系统奇异椭圆方程和 椭阋系统等都是实际问题中常见的非线性微分方程( 临界点理论及其在椭圆偏 微分方程中的应用可参考如f 专著：陆文端f 1 1 ，沈尧天。严树森【3 】宣本金f 4 1 张恭庆f 5 1 、a a m b r o s e t t i 。a m a l c h i o d if 7 ，8 1 ，c c c h a n gf 1 7 1 ，p r a b i n o w i t z 1 4 9 | m s c h e c h t e rf 5 1 1 ，m s t r u w e 5 3 1 ，m w i l l e mf 6 0 1 。w m z o u ，m s c h e c h t e r 【6 6 】等等) 针对临界点理论如何应用于所提出的椭圆方程和系统及退化和奇异情形，如 何给出新的扰动条件，发展新方法和新技巧，得以解决椭网系统近共振问题解的 多重性，尤其是局部鞍点定理对这类椭圆系统在高阶特征值附近如何运用是一个 非常重要的理论提升；解决这螳理论问题，将对偏微分方程，非线性泛函分析等 数学分支起到推动作用，对数学理论的发腱和数学的应用具有非常鼋要的科学意 义和必要性 描述共振现象之一是线性椭圆犁方程的非线性扰动模型，对这类问题的研究 也即是研究下面线性椭圆方程非线性扰动问题解的多霞性： ：全：- 入u 土厂( 丁，乱) + ( z ) 三咖ef t ( 1 - 1 ) 其中fc 酞是有界区域，具有光滑边界a q 记入七为下面特征值问题的第k 个特征值： ：全：，= a u 三茎未 c ，一2 ， 则 a 知 是一无界序列，满足0 a 1 a 2 a 南 ，其中a l 是正 的，单苇的的和孤立的对问题( 1 一1 ) 的研究一直足非线性泛函分析变分法和临 界点理论研究的热点之一方程( 1 一1 ) 中如果入= 九，该口】题就是一类共振问 题( r e s o n a n c e ) 因为共振问题不满足( 尸s ) 条件，不能直接用变分方法证明其解 的存在性因此这类问题必须非线性扰动项满足一定条件的情况f ，例如在满足 l a n d e s m a n - l a z e r 类型条件下，运用极小极大方法。或者运用m o r s e 理论，或者运 用分岐理论或拓扑度理论研究其解的存在性参看文献7 ，8 ，1 1 ，1 7 ，1 9 2 3 2 7 - 2 9 5 4 - 5 9 ，6 5 1 现已知道特征值问题( 1 2 ) 的解有无穷多个，当入不是特征值时， 运用极大极小方法即可证明至少存在一个解现在的问题是当非线性项满足什么 2 第1 章引言 条件且a 穿过特征值时其解的性质会有什么变化。或者说其解是否具有多重性 对于低价特征值情形，已有很多结果f 3 4 3 8 _ 4 0 4 2 ，4 3 ，4 5 ，4 7 ，5 0 ，6 l 】经典结果 是j m a w h i n 和k s c h m i t t 在文献f 4 2 】中利用变分法考虑了两点边值近共振问 题： 一札一a u = ( x ，u ) + ( z ) ，u ( o ) = u ( 1 r ) = 0 ( 1 3 ) 在非线性扰动项满足一个符号条件和有界的情况下，如果入从左边充分接近入l ， 问题( 1 3 ) 至少有三个解；如果入l 入 入2 ，问题( 1 3 ) 至少有一个解这里a l 和 a 2 分别是问题( 1 3 ) 特征值问题的第一个特征值和第二个特征值m a ，r a m o s 和 s a n c h e z 在文献5 0 1 中也是利用变分法考虑类似问题( 1 1 ) 不管边值足d i r i c h l e t 还是n e u m a n n 条件，当入从左边充分接近a 1 时，方程存在三个解对于椭圆系 统o u 和t a n g 在文献4 7 1 也给出了低价特征值情形解的存在性和多重性对 于高阶特征值情形，目前结果较少，其解的存在性和多重性还有待进一一步研究值 得注意的是f r a n c i s c oo d a i rd ep a i v a 和e u g e n i om a s s a2 0 0 8 年在文献 4 8 】中利 用环绕定理和局部鞍点定理给出了问题( 1 一1 ) 在任意高阶特征值处附近( 即近共 振问题) 解的存在性和多重性，受这些思想的启发我们利用临界点理论的极大 极小方法对一类半线性椭圆方程和系统一类退化椭圆方程和一类带h a r d y 项 的奇异椭圆方程在任意岛阶特征值处近共振问题解的多重性进行研究 本文将研究以下几类问题在高阶特征值处近共振解的多重性 首先在第章我们给出在较弱的条件下，文献f 4 8 】的相关结论仍然成立 在第j 章我们将相关结果推广到如下合作椭圆系统中去，即研究如下椭圆系 统解的存在性和多重性： 其中qc 酞是有界区域，具有光滑边界a q 张恭庆在文献【1 6 】给出了系统的 系数满足一定条件下椭圆系统特征值问题的可解性以及特征值的一些性质，在此 基础上我们研究了如上椭圆系统在高阶特征值处近共振问题解的存在性和多重 性 在第四章我们研究退化椭圆方程的近共振问题即研究如下方程： 0 ，有 s u pj ( u ) o = j n f j ( z z ) b = s u pj ( u ) 0 存在 函数g m l 2 ( q ) 使得对所有z q 和所有的i t i ，有l f ( x ，t ) i 9 m ( z ) 记盯( 一) 是一在础( q ) 中的谱集，则根据白共轭算子的性质仃( 一) = 入1 ，a 2 ，a 七 且0 入1 入2 入3 0 和 q ( 1 ，2 ) 使得l f ( x ，) l c ( 1 + - 1 ) 4 8 】中( ) ：存在饰 0 使得f ( x ，t ) 一c 本文利用较弱的条件( ) 代替文献 4 8 】中的第一个次线性条件，证明显示了文 献f 4 8 】中的( ) 不是必须的 ( i i ) 假设( ) 弱于假设( ) ，且假设( 厂2 ) 成立后在h 上不需要附加非共振 任何条件： ( i i i ) 所有给定的假设中仅处理厂的渐近性态，多解结果没有涉及其在原点 的性质 定理2 2 设a k ( k 2 ) 仃( 一) ，h 2 ( q ) 假定( ) 及下面两个条件 ( h 3 ) 或( h 4 ) 之一成立： ( 1 1 3 ) ( ) ：l i m t - - - * ：t ：o 。| 厂( 以t ) = 千关于z q 一致地成立： ( h 4 ) ( ) ：l i r a i t l o 。y ( x ，t ) = 一。关于x q 一致地成立， ( 1 ) ：矗h o d x = 0 w 邑 则存在e 1 0 使得当a ( a k a 七+ 1 ) 时方程( 2 一1 ) 至少存在两个解 2 2变分框架 考虑c 1 泛函j ：础( q ) 一酞： j ( u ) = j 1f 。( i v u l 2 _ a u 2 ) 如一zf ( 。，札) 如一z 九乱如( 2 - 2 ) 记瑶( q ) 空间通常的范数为| l u | i = ( 厶i v 乱1 2 如) 互1 由给定条件我们知道u 础( q ) 是方程( 2 1 ) 的弱解当且仅当乱是泛函j 的临界点 定义： b 七一1 = u 风一1 ：i l u l l l ，b k = u 讯：l l u 0 1 ) ， 月 = u 碟：i l u l i 1 ) ， 鼠一1 ，鼠，黠分别表示b k 一1 ，b k ，b 砉的球面 8 第2 章半线件椭网玎程近共振| 口j 翘够的存存忭和多审中聿 由假设( ) 对任意的6 0 存在 厶 0 和g 批l 2 使得 i f ( x ，) l l g m 6 ( z ) l + 叩l r 。 ( 2 - 3 ) 由嵌入定理和h 6 1 d e r 不等式，得到如下估计式： i 上f ( x , u ) d x l s ( 上i g m 。( x ) 2 d x ) 5 1 + 2 蚓i “忡尹1 2 删2 ( 2 - 4 ) 其中s 是础( q ) q 2 ( q ) 的最佳嵌入常数。c = s ( 厶1 q m , ( x ) 1 2 d x ) 互 对了：特征值空间的分解通过简单计算有如下标准不等式： 2u 2 d x 砂1 t i l 2 坼t 坞， u 2 d x 石1 2 v u 掣， 厂 上：舰妇l 2 3 主要结论的证明 i t h l l l ：l i 。冬l i h l l l z i l u l l ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) 定理2 1 的证明先证明泛函了满足p s 条件 设 u n c 础( q ) 满足 j ( u n ) 是有界的且了7 ( ) 一o ( 7 l _ ) 由条件 ( ) 及标准的紧嵌入定理。只需证明 u 几) 是有界的 假设入( 入七一l ，k ) ，令u n = v n + 训n 巩一io 硭1 其中1 h k l ， w n 硭l ，由( 2 - 5 ) 和( 2 _ 6 ) 得 ( j 7 ( u n ) v n w ) = v v , , + v w , v v - v w ) d x - ) 、f ( 1 ) n - 4 - w n , t n - - w n ) 如 一上，( z ，+ w n ) ( v n 一叫n ) 出一z ( 一彬n ) 如 = 上( 1 v t 1 2 - - ) w ：) 出一正( 1 v 川。 2 _ a w ：) 如 一上t 厂( z + 坩n ) ( 一 。) 出一上九( t ) ( 一训忆) 出 ( 1 一击) 陋川2 一( 1 一铷旷 + 上+ 训一训+ 丘瞰圳”训 9 两南人学博十学伊论文 在公式( 2 - 3 ) 中，取6 0 使得对所有礼 n ，有 i ( 了7 ( u 竹) ，u n w n ) l l i v n u n l i = ( i l t ，n i l 2 + i i 叫n l l 2 ) 1 2 每 于是对所有n n ，由不等式( 2 - 8 ) 得到 ( 击一1 埘2 ) 1 1 1 1 2 + ( 1 一妻瑙2 ) m 酽 c ( 1 l v n l l + l l 叫n 1 1 ) + ( i i t k i l 2 + i l 叫n l l 2 ) 1 2 因去一l 一艿s 2 0 1 一安一6 铲 0 ，所以立即得到 乱n _ 是有界的由条件 k1 k ( ) 及标准的紧嵌入定理知，j 满足( 尸s ) 条件 下面我们利用环绕定理得到方程( 2 - 1 ) 的第一个解 一方面，对入( a 七一1 ，a 七) ，设u h l l ：利用( 2 - 3 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 得到 ，( ) 2 丢( 1 一未) 1 1 - 1 1 2 一( e l l i i 十三石s 2 1 1 z , 1 1 2 ) 一i l h l l l 。m t l l = 三( 1 一妾一舻) 1 1 2 卅l u 卜i l h l l 胛i i i i 在( 2 - 3 ) 中取6 0 所以j 在u 砧l 上是 下有界函数，即存在d a 使得埘所有的u 砧1 有j ( u ) d 另一方面对u 巩1 ，利用( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 7 ) 得到 巾枢互1 ( 1 一击+ 拶) 1 1 , z 1 1 2 + c i i 酬圳i i m 川 因此对a ( a k 一1 ，a 七) 和上面的d a 取6 0 事实上，由( ) 知对任意的c 0 ，存在t o 0 使得对所有i t f t o ， f ( 上t ) 一c ，v x q 由假设( 厂1 ) v 6 0 存在 如 0 和9 慨l 2 满足 s ( x ，) l i g m 6 ( z ) i 所以对于t t o ，有 1 r ( x ，t ) l v f r vx q 幻( i 夕慨( z ) l + 6 s ) f z s = t 。i g m o ( z ) i + 三2 d 亡：，v z q 令q ：c + 础 0 ，c 2 = t o 0 ，则 r ( z ，t ) 一( c 1 + c 2 g m d ( z ) 1 ) 乩q 现在固定l 0 ，我f f j i 正明能找到一个充分大的霄使得对任意的“乱和 k 一k 有正2f ( x k u ) d v - l ，也即得到 k l i m 。u 翟上即川如= 一。c 、l ， d， = 一瓯纵 1 s c ： 硪一 b 入 p 0 c 1 r-i = r 令 两南火学博十学位论文 为了证明上式我们先证存在。个常数叩 0 使得集合q “= z q ： m 。r ) l 叼 的测度满足l q u f r l ( v u 瓯) 事实上，7 1 , s k 是光滑的( 因为 鼠c 矾是有限维特征子空间) ，在鼠上是。致有界的，即存在常数m 0 使 得i - ( x ) l m 关于所有z q 一致地成立 对k o 7 7 有q u 丁q ：i t c u ( x ) | t o ) 。所以得到如下不等式： f ( z ，k u ) d x l t h l - ，l k u l _ t o 又 于是得到： 厶u l 。f ( z ，) 如j ( i k u l 0 ， d 1 ，k 1 r 使得对a ( a 七一印，a 蠡) 有 1 2 j ( u ) 2d 1 ，u 础， ，( 孔) d 1 ，u l & ， j ( u ) 0 存在常数g ， a 和9 耽l 2 ( q ) 。使得 f ( x ，t ) l i i i t i 一( ( 毛+ c i l 夕 如( z ) 1 ) ( 2 1 1 ) 事实上f h ( 日1 ) 对任意给定的m 0 ，存在t o 0 对所有的t t o 有厂( 1 r t ) ，以及对所有的t 0 有 f ( x y ( x s ) d s ，( z s ) d s + 0 如，( z s ) d s j 小o “m 如 = i m d s - t o n o 吨沁、s 、d s m t - ( f 。 ，+ 。1 9 f 。( z ) i + 圭d ；) = m t 一( 岛+ c 4 1 9 m , ( x ) i ) 其中q = ( t o m + 10 2 ) ，c 4 = t o 用同样的方法当t 0 并 1 3 t f ，z厂厶 西南人学博十学位论文 利用( 2 _ 3 ) ，( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) 和( 2 - 7 ) j ( u ) 三i - 妻) i m l 2 一! ：f ( 丁t 一) f z r + l l h l l 。l l i i 去川2 一m i i 扎i i + d m + i l h l l 洲i i z i i 麦2 一+ d m ，( 2 - 1 2 ) 其中d m = 矗( g - i - c 4 1 9 z , ( x ) 1 ) d x 现在考虑( h 2 ) 满足情形设d ( k ) 是引理2 3 1 中的函数：对l m l = k 。设 u = v + 咖，其中u h k 一1 ，砂e k ， m 1 ( 1 一石a ) l l t 1 1 2 + 三( 1 一未) i i o l | 2 一上啪一z 删正 由( 1 ) 有正zh u = 上2h v ，对满足不等式l 一击一弘 0 的肛有估计式： ， j ( 乱) 瓦e 1 1 2 一争1 1 2 一，) ( ) + 孙i i ， 利用a b 譬+ 虿b 2 我们得到i l h l l 。i l v l l c + 肛1 1 2 于是有 了( u ) 麦i i + c d ( ) 焘i ia 1 1 2 一，) ( k ) ( 2 - 1 3 ) 由( 2 9 ) 知l i m k 一d ( k ) = + ，我们可以同定k l 使得c d ( k 1 ) d l l ( ( h i ) 情形在( 2 一1 2 ) 中，固定k l 使得d m k l d 1 一1 ) ，当 0 g k l 时有s ( u ) d l 1 这就证明了引理2 3 2 口 令 f 2 = 7 伊( k i b k ；h a ( q ) ) s f 1 i k 。瓯= i d 因为k l , 5 k 与黠环绕，由环绕定理和引理2 3 2 得到第二个解记为u k 。对应的 临界值为 = i n 。fs u p ，( 7 ( f ) ) r 2v k z b k 1 4 第2 童半线件椭网，j 碎近共振问题解的存存件和彩莺件 为了完成定理的证明，需要给出上面的两个解是不同的 由引理2 3 2 知道c k d 1 ，接着构造一个连续映射- y l ：以b 七一l 一日如下： 7 l ( 垆u 研- i i 训| 2 ) l 2 删黧k 1 ，( 2 - 1 4 ) k 1 | | 纵， 其中c k 鼠且i l e v i i = 1 显然，y 1 2 当i l u l l k l 时，i l 1 ( t 川i = k 1 ，即 1 l ( 仳) 1 ，f h 弓i n2 3 2 得到s u p 蚝p 凤一1j ( 1 l ( ) ) d 1 ，冈此c k l d 1 ，这 就证明了两个解在不同的水平集上口 定理2 2 的证明从定理2 1 的证明，可看到泛函j 满足( p s ) 条件，凶此 可应用环绕定理和局部鞍点定理 第一步第一个解的存在性 设札戤：利用( 2 _ 4 ) ( 2 6 ) ，( 2 7 ) 得到如下不等式： 小) 三( 1 一击) 1 1 1 1 2 - ( ( i i i i + 矽i 2 i i u i l 2 ) 一i i i ii i u i i = 圭( 1 一六一群) 1 1 2 一c i i u i i i i i i l i u i i ( 2 - 1 5 ) 如果入( a 南，入k + 1 ) ，在( 2 - 3 ) 中取d o ，所 以对所有的u 砑，j ( u ) 是下有界函数即存在以使得对所有的u 黠有 j ( - ) a 设u h k ，令5 = 入一k ，利用( 2 4 ) ，( 2 - 5 ) ，( 2 7 ) 得到： 圳妻( 1 - 妻) i i 1 1 2 + ( c i i t z i i + j 1 秽1 1 胛i i ) + | i 圳徘z i = 三( 1 - 安+ 6 s 2 ) 1 1 1 1 2 + c i i u i i + i t 九i i ：i i u i i 在( 2 - 3 ) 中取6 k 使得当u 以瓯时j ( u ) 0 ，存在t o 0 使得对所有的i t i t o 有 f ( z t ) 0 存在 如 o 和夕 靠l 2 使得 i s ( z ) l j 9 a 幻( z ) j + 5 i t i v t 瓞vz q 所以对所有l t l t o 有 ，n 尸( z t ) i ( 1 9 如( z ) l + 6 一) d s d 0 ：。i 夕慨( 丁) i + 丢6 f 苔比q 令c l = c + ；t i t 0 ，c 2 = t o 0 ，则 r ( x ，t ) ( c 1 + c 1 1 9 慨( ? ) i ) v x q 现在固定l 0 ，我们证明能找到一个充分大的瓦使得对任意的u 鼠和 k 一k 有厶f ( z 。k u ) d x - l ，也即得到 ，l i mi n f f ( x u ) d x ：一。c k 一十。cu e k s k ，2 为了证明上式，我们先证存在一个常数7 1 0 使得集合q u = z q ：| u ( z ) i 叩 的测度满足i q u i o ( v u 鼠) 事实上u & 是光滑的( 因为瓯c 巩是 有限维特征子空间) ，在鼠上是一致有界的。即存在常数 ， 0 使得i u ( z ) i t o ，所以得到如下不等式： 厶u l 幻m 肌) 出“机 于是得到： 厶水。c - + 叻“圳如 c i n l + q 正1 9 批( z ) l 如， 上f ( z ，k u ) 出 0 使得对入( h 入七+ e 1 ) 存在d 2 ，e r ，f 0 使得下面不 等式成立： a ( u ) d 2 ，u 心姥1 ， t j r ( u ) d 2 ，u 硪，i l u l l 尥， ，( u ) e ，u 虬口去1 ， j ( “) e ， u 瓯一1 ( 2 - 1 7 ) ( 2 一1 8 ) ( 2 一1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 1 7 zduk 丁f 如 训厂缸 又 两南大学博十学位论文 证明对入( a 蠡，a 七+ 1 ) 和“砧l ，由公式( 2 - 4 ) 。( 2 _ 6 ) ，( 2 7 ) ， m ) 三1 一未一舻) 2 一刚u 圳刊川i 三( 1 一等墙2 ) m 川2 卅m | i - l l 圳刊m i i 因为1 一等+ 6 s 2 0 所以不管入是( 儿。a 后+ 1 ) 中的任何值j 在砧1 的任意有界子集上是下有界的，因此对给定的虬r ，存在e r 满足( 2 - 2 0 ) 对孔巩一1 ，利用估计式( 2 - 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 7 ) ， m ) 三( 1 一击+ 拶2 ) 2 + 训u i i u l l 在( 2 - 3 ) 中取6 0 使得对任意的入( a 南。a 七+ e 1 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 成立 首先我们看到如果5 l 0 满足( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 即可 我们从( 2 - 1 5 ) 得到不等式( 2 一1 9 ) 当虬充分大( 记为鲍 袁) 时对给定 的d 2 成立 下面将证明( 2 一1 8 ) 假定对任意的两个序列 0 和_ 0 + 存在 钆n 砧1 ( 其中i f “n | i = k ) 使得以。( u 竹) d 2 小失一般性，假定这两个序列 满足 k ，“_ + 和霹一0 因为硭1 = 反。砑，假设u n = u n + ，其中训n 甜p n e e ，于是有 啦“训三( - 一警) 1 1 2 一刹洲一z 即，如一z 如 ( 2 2 2 ) 用程除以( 2 2 2 ) 两边得到当铲冬悬一o ：显然惫i i “1 1 2 一o ：利用h i j ；l d e r 不等式，利用易证j 硪h u 一d , x 一0 ：下面证明j f 2 f ( 盯x , u d , x 一0 事实上，ve 0 、在 ( 2 - 3 ) 中取6 ，= ，因为“一+ ，所以可以取到使得对所有佗 人r ， 丛也气导丝坐 a r 时盐学 6 1 o ) 则 1 8 第2 室半线怿棵f | 唧疗程近共振问题解的存存件和彩事件 6 ，筹 0 和一个正整数亓使得对于n 而，集合q n = z q ： 1 ( z ) i 6 有测度l q n l 6 事实七因为_ 7 关于z q 一致地成立，而_ 0 在l 2 中，所以存在 6 0 使得对于n 充分大存在g t n 有i q n i 石使得i ( z ) f 2 万，而f ( r ) f 6a e 于q 竹中。 下面分情况考虑 ( h 3 ) 成立情形使用( 2 1 1 ) 不等式同样的证明方法，得到对任意m 0 存 在g q 和夕a 如l 2 ( f 1 ) 使得 f ( z t ) - m i t l + ( c 3 - t - c 4 1 9 如( z ) i ) ，( 2 - 2 4 ) 下面令 ，= ( 1 + i ：) 万2 ，得到 上f ( z ，k ) 出一 ，“上i k i d x + d m 一 ，“6 2 + 。m ， 于是 一zf ( z 。k ) 如一h u n d r j i ，6 2 _ d m - - i i i i ：= 一。胁 因为假定霹一0 ，所以从( 2 - 2 2 ) 式中得到 d 2 + d m + o ( 1 ) “一+ ( 2 - 2 5 ) ( h 4 ) 成立情形，回忆引理2 3 4 的证明，由性质u 得到 l i m s u p f ( x k ) 出= 一o c ：( 2 - 2 6 ) k - - o cn 元2 、 由假设( 1 ) ，厶h u 竹d x = 厶h w n d x 因此存在如 0 使得 三( t 一警) l l w , , 1 1 2 一h w , , , d x 一如 西南人学博十学伊论文 ：这个估计和假定c n 霹一0 ，由( 9 - - ) 9 ) 得到 。2 + 如+ 0 ( 1 ) 一上m ，k n u n ) d x - - , + ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 5 ) ，( 2 - 2 7 ) 显然这两式不成立所以( 2 1 8 ) 成谚口 第二个解的存在性记x i = 巩一l ，恐= 硭1 由引理2 3 4 得到如下结构： s u pj ( u ) 0 ，则j p 鼠下面集合 彬= 如碟：1 1 - 1 1 k ) u & 一t 上 即对每一个连续映射杪：p b k 一硪驴i p 鼠= i d 其像与访7 相交 最后，引理2 3 5 保证对每一个，) f 3 ，因为以 鲍所以7 的像要么和 鲍蹬1 相交要么有点仳黠且i l u l i 虬这就由( 2 1 8 ) 和( 2 一1 9 ) 得到了 s u p p 。取j ( 1 ( 1 ，) ) d 2 因此d k d 2 这就证明了两个解不在同一个临界值水 平上，因而两个解不同口 2 0 第3 章一娄 ，线件椭阐系统近共振1 臼j 逆解的存在件和多重件 第3 章一类半线性椭圆系统近共振问题解的存在性和 多重性 3 1 主要结论 本章我们考虑如下椭圆系