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东北大擎硕士学位论文 摘要 人口算子复本征值的代数指标 摘要 近年来，人口发展系统的研究越来越深入目前，已提出三种结构概念：一、年龄 结构，由年龄结构分析建立人1 3 模型；二、胎次结构，研究妇女生育孩子的递进过程建 立人口模型：三、年龄胎次结构，综合考虑年龄、胎次建立人口模型对于以上三类模 型，为了得到相应人口发展方程解的渐近展开式，获得更深刻的人口系统稳定性的结果， 就必须研究相应人口算子复本征值的代数指标问题若能够证明相应入口算子的本征 值除可能有限个外，都是代数单的，则相应可以给出人口发展方程解的渐近展开式 人口算子复本征值的代数指标问题是目前国内外人1 3 算子研究的热点之一近一 段时间以来，以线性算子谱理论和函数c 0 一半群理论为基础的线性算子法受到广泛的关 注在研究过程中，一些文章应用线性算子法，讨论了胎次递进人口算子复本征值的代 数指标问题本文第一章主要摄述了一些文章对人口算子复本征值代数指标问题的研 究在第二章和第三章中，应用线性算子法分别讨论了年龄结构人口算子和年龄结构人 口胎次递进算子在一定约束条件下，证明了这两类人口算子的本征值除可能有限个 外，都是代数单的 第二章讨论了年龄结构人口算子复本征值的代数指标问题在一定约束条件下，证 明了此类算子复本征值除可能有限个外，都是代数单的作为这个结果的一个应用，给 出了年龄结构人口发展方程解的渐近展开式，推广了已有文献的相应结论 第三章讨论了年龄结构人1 3 胎次递进算子复本征值的代数指标问题在一定约束 条件下，证明了此类算子复本征值除可能有限个外，都是代数单的作为这个结果的一 个应用，给出了年龄结构人1 3 胎次递进发展方程解的渐近展开式 关键词：按龄分布人口算子；年龄结构人口胎次递进算子；复本征值；指标； 渐近展开 东北大学硕士学位论文 t h ei n d e xo ft h ec o m p l e xe i g e n v a l u e s o ft h ep o p u l a t i o no p e r a t o r a b s t r a c t r e c e n t l y , p o p u l a t i o ns y s t e mh a sd e v e l o p e dr a p i d l y p o p u l a t i o ne v o l u t i o n 芦o c 嚣s 鹤c a n b ed e s c r i b e db yt h r e em o d e l s w i t ht h e s em o d e l s o n e 啪q u a n t i t a t i v e l ys t u d yp o p u l a t i o n e v o l u t i o np r o c e s s e sb yv i r t u eo f m a t h e m a t i cm e t h o d sa n dg e tm o r ep r o f o u n dr e s u l t s h o w e v e r , i no r d e rt og e tt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no ft h es o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gp o p u l a t i o n e q u a t i o na n do b t a i nm o f ep r o f o u n ds t a b i l i t yr e s u l t sf o rt h ep o p u l a t i o ns y s t e m , es h o u l d i n v e s t i g a t et h ei n d e xo f t h ec o m p l e xe i g e n v a l u e so f t h ec o r r e s p o n d i n gp o p u l a t i o no p g r a t o r t h ei n d e xo f t h ec o m p l e xe i g e n v a l u e so f t h ep o p u l a t i o no p e r a t o ri so n eo f t h eh o ts t u d i e s i np o p u l a t i o no p e r a t o ra n a l y s i sb yf a rb o t ha th o m ea n da b r o a d r e c e n t l y ，t h el i n e a ro p e r a t o r m e t h o d , w h i c hi s 伽咀s 呲t e db yt h es p e c t r a lt h e o r ya n dt h ec 0 鬻脚蛔r o u pt h e o r yo f f u n c t i o n a la n a l y s i s , a t t r a c t sc l o s ea t t e n t i o n s o m es c h o l a r sp r o v e dt h ei n d e xo ft h ep a r i t y p r o g r e s s i v ep o p u l a t i o no p e r a t o r i nt h i st h e s i s ，曲日p t e r1 h a ss t a t e d m ea u t h o r s s t u d i 部o f t h ei n d e xo ft h ep o p u l a t i o no p e r a t o r i nc 1 1 a ：p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ea g e p o p u l a t i o no p e r a t o ra n dt h ea g e 肼时t yp r o g r e s s i v ep o p u l a t i o no p e l 甚t o r u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s ，w ep r o v et h a ta l lt h ec o m p l e xe i 掣殂砌u e so ft h et w op o p u l a t i o no p e r a t o r , e x c e p t a tm o s tf i n i t e l ym a n y a 咒o fi n d e x1 i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ei n d e xo ft h ea g ep o p u l a t i o no p c - w a t o r u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s ，w ep r o v et h a ta l lt h ec o m p l e xe i g e n v a l u e so f t h i so p e r a t o r ，e x c e p ta tm o s tf i n i t e l y m a n y , a r eo fi n d e x1 a sa na p p l i c a t i o no ft h i sr e s u l t , w eo b t a i nt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no f t h es o l u t i o no f t h ec o r r e s p o n d i n gp r o g r e s s i v ep o p u l a t i o ne q u a t i o n - i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ei n d e xo ft h ea g ep a r 畸p o p u l a t i o n 哪日a 衙u n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s , w ep r o v et h a ta l lt h ec o m p l e xe i g e n v a l u e so f t h i so p e r a t o r , e x c e p ta tm o s tf i n i t e l y m a n y ，a l eo f i n d e x1 a sa l la p p l i c a t i o no f t h i sr e s u l t , w eo b t a i nt h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o no f t h es o l u t i o no f t h ec o r r e s p o n d i n gp r o g r e s s i v ep o p u l a t i o ne q u a t i o n - k e yw o r d s ：a g es t r u c t l a - ep o p u l a t i o no p e r a t o r ；a g es t r u c t u r ep a r i t yp r o g r e s s i v ep o p u l a t i o n o p e r a t o r ；, c o m p l e xe i g a n v a l u e s ；i n d e x ；a s y m p t o t i ce x p a n s i o n 1 1 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得的研究成果除 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人 为获得其他学位而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：席b 日期：洲年ij 枷月 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保田、使用学位论文的规定：即 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交 流 学位论文作者签名：席佛 日期。纠争j j l 矽日 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：签字日期： 东北大学硕士学住论文第一章绪论 第一章绪论 1 i 关于泛函分析的概述 1 1 1 泛函分析的产生和发展历史 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映 射的分支学科，它是2 0 世纪3 0 年代形成的从变分法、微分方程、积分方程、函数论 以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学 的课题，可看作无限维的分析学 十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段这就是，由于对欧几里德第五公 设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并 发展了群论：对数学分析的研究又建立了集合论这些新的理论都为用统一的观点把古 典分析的基本概念和方法一般化准备了条件 本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛( h a d a m a r d ，1 8 6 5 1 9 6 3 ， 法国) 发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽随后，希尔伯特开创了“希尔伯 特空间”的研究到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分 析的基本概念 由于分析学中许多新分支的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常 存在相似的地方比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解 的存在和唯一性条件也极其相似这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了泛 函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西都存在着类似的地 方因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西 非欧几何的确立拓广了人们对空问的认知，疗维空间几何的产生允许我们把多变量 函数用几何学的语言解释成多维空间的向量这样，裁显示出了分析和几何之闻的相似 的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性这种可能性要求把几何概念进一步推 广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间 这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集 东北大学硕士学住论文第一幸绪论 之间所建立的一种对应关系现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种 对应关系这里我们先介绍一下算子的概念，算子也叫算符，在数学上。把无限维空间 到无限维空间的变换叫做算子研究无限维线性空间上的泛函和算子理论，就产生了一 门新的分析数学，叫做泛函分析在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一 门独立的学科了 l 1 2 线性算子谱理论 泛函分析中研究算子谱的理论算子谱的概念是有限维矩阵特征值概念的推广，例 如设x 为巴拿赫空间，丁为x 到自身的线性算予，其定义域为d ( d ，五c ，i 为单位 算子，如果线性算子甜一r 在全空间x 上有有界的逆算子，则称a 为r 的正则点，记厦d 为正则点组成的集合，称f r ( 1 0 = c 一从n 为r 的谱集，简称为谱a ( r ) 中的点称为谱点 算子谱论的形成是由于大量实际问题在一定条件下可化归为数学上的代数方程，或 微分方程，或积分方程等方程的求解问题，而这些方程的求解问题又可统一为某个线性 拓扑空间x 上的算子方程( 盯一r ) x = 】，的求解问题，特别地，若x 为有限维的空间， 比如珂维的线性拓扑空间，则线性算子r 可用一个甩阶方阵来表示，上述算子方程就是 一个拜阶线性方程组，它的求解问题己在代数学中得到了圆满的解决。当x 为无限维空 间时，问题就复杂多了，从2 0 世纪初弗雷德霍姆对具有连续核的积分方程得到了与有 限维情况相似的结果以后，关于希尔伯特空间上算子谱论和巴拿赫空间上算子的谱理论 都得到了一系列成果 1 1 3 算子半群理论 算子半群的发展历程大致可分为四个阶段初期的算子半群理论主要是围绕1 9 3 2 年证明的s t o n e 定理展开的1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 独立得到的生成定理是算子半群发 展史上的一个里程碑后来p h i l u p s 和f e l l e r 等填： l - rh i l l e 遗留下来的许多空白，1 9 5 7 年出版的i - l i l l e 和p h i l l i p s 的专著泛函分析与半群标志着算子半群理论已基本形成 1 9 8 7 年a m n d t 提出积分半群与d a v i e s 和p a n g 重提c 半群给算子半群的发展赋予了新 的生机 b a n a e h 空问上的有界算子半群理论是处理无穷维空间中算子方程的重要工具，它在 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 抽象分析及应用数学的各个方面有着重要的应用基于解决方程问题在实践和理论上 的重要性，微分方程的初值问题又叫c a u c h y 问题，这一名称最早出现于j h a d a m a r d 在 1 9 2 1 年所著的关于偏微分方程中的c a u c h y 问题一书 相当广泛的一类数学物理方程可归结为c a u c h y 问题，它是偏微分方程理论中的主 要问题之一，有重要的理论意义和应用价值到二十世纪四十年代末期e h i l l c ， r s p h i l l i p s 和i c l o s i d a 等人发展了算子半群的理论和方法，并应用于抽象c a u c h y 问题 的研究，有力地推进了微分方程的现代理论和应用泛函分析的研究 1 2 线性算子谱理论在人口算子上的应用 1 2 1 人口算子的谱性质 近年来，人口发展系统的研究越来越深入目前，已提出三种结构概念：一、年龄 年构，由年龄结构分析建立入口模型；二、胎次结构，研究妇女生育孩子的递进过程建 立人口模型；三，年龄胎次结构，综合考虑年龄，胎次建立人口模型在各类人口模型 中抽象出人口算子，从而对人口系统的研究就转化为对相应人口算子的讨论通过应用 线性算子谱理论和函数c 0 一半群理论，使人口算子和人口系统稳定性的研究更加深入 在参考文献【2 1 中给出了下述关于年龄人口算子_ 谱性质的几点结果： ( 1 ) 定义 f ( a ) = r 七( ，) i i ( ，) 唧( - 丑，一r o ) 妇p 五是人口算子彳谱的充分必要条件是f ( = 1 ，而且旯仃( 4 ) 时，有本征函数 吼( ，) ：。_ ( “胁砷 ( 2 ) 人口算子彳具有唯一的实数点谱厶，凡满足，( 凡) = l ，其代数重数为1 ( 3 ) 人口算子a 的其他本征值的实部小于凡 ( 4 ) 在复平面上平行于虚轴的带中仅有有限多个4 的本征值 ( 5 ) 人口算子彳是r 【o ，_ 】中某一c o 一半群e o ) 的生成元 3 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 ( 6 ) 人口算子4 生成的半群e ( r ) 是正算子，如果人口初始分布p o ( r ) - o ，那么人 口发展方程 的解存在唯一，且解是非负函数 ( 7 ) 设”( 一) 是相应于人口算子4 的实本征值厶的根子空间，级是由r 【o ，一】到 k ( 4 ) 的投影算子，那么对w 。e o ，_ 1 其中 其中 级，= = 南 f 霉瓤f ) f 秭唧( 缸+ f 砂净 唧( 喝卜r o ，) 砂) 卉 e x p ( 一加一r 声0 ，协) ( 8 ) 对于占- o o 。使得 l e o ) 一e o ) 级l s c ( 占) 币 ( 矗一占) f ，t t o ( 0 ( 9 ) 入口发展方程( 1 1 ) 的解有渐近性质： 肿，) = e ( t ) p o = ( 缆p o ) ( ，) + d ( p ( 砷) ( 1 2 ) 级风= = 南泓啪 胁) e x p ( k s + r ( y ) d y ) d s 唧h 卜f 砌矽) 出 x e x p ( - 磊，一f p ( 泐) 在参考文献 6 中给出了下述关于胎次递进人口算子谱性质的几点结果： 设 尺五) = l 一毛属( 句尾( 五) ， 尼a ) = f f 五( s ) c x p 一知一r 五( 纠d p 凼，( k - - o ，l ，) 4 东北大学项士学位论文第一章绪论 ( i ) 胎次人1 ：1 算子a 的谱集o ( a ) 由可列个孤立的有限重本征值组成，且a e o ( a ) 的充要条件是f ( = 0 ( 2 ) 如果五为胎次人口算子彳的本征值，则a 的几何重数为i ，相应的本征向量函 数为“j ) = k ( j ) ，h ( j ) y ，其中 拍) - c e x p 卜一r d 川， 黾。) = 哦压( c x p 一加一r 五( 州d ，七= “， ( 3 ) 胎次人口算子_ 具有唯一的实数点谱 ，凡满足，( 凡) = o ，其代数重数为1 ( 4 ) 胎次人口算子a 的其他本征值的实部小于厶 ( 5 ) 在复平面上平行于虚轴的带中仅有有限多个一的本征值 ( 6 ) 选取乘积空间何作为胎次人口系统的状态空间 日= r 【o ，】r 【0 】r 【0 ，】，( + 1 个) 则胎次人n 算子爿是日中某一c o 半群即) 的生成元 ( 7 ) 胎次人口算子a 生成的半群e o ) 是正算子，如果人1 3 初始分布p m ( ，) o ，设 胎次人口发展方程 j 警= 血( f ) ， ， ( 1 。， 【x ( o ) = 石0 ( j ) 则( 1 3 ) 的解存在唯一，且解是非负函数 在参考文献【1 l 】中给出了年龄胎次人口算子谱性质的几点结果： 设 刑) _ l 一r 篓删毋 ( 1 ) 年龄胎次人口算子a 的谱集盯口) 是由本征值组成的，a 盯。) 的充要条件是 f ) = 0 ，同时相应的本征元为c i f ( ，) ，c 1 为任意常数 f ( ，) = 昂( ，) e ( ，) ，昂( ，) 7 5 - 东北大学硕士学位论文第一章绪论 ( 2 ) 年龄胎次人口算子一有唯一的实本征值 ，且彳的任何复本征值的实部都小 于凡 ( 3 ) 年龄胎次人口算子a 是某一强连续半群t ( t ) 的无穷小母元 ( 4 ) 设年龄胎次人口发展方程 j 警= a p ( t ) ，( 1 4 ) 【p ( o ) = ( r ) 则( 1 4 ) 的解存在且唯一，且可以表示为p ( r ，f ) = z r ( ，) p o ( ，) 。o ( ，) ed ( 彳) ( 5 ) 如果胎次初始分布o ( ，) z o ，则解p ( r ，f ) 是非负的 1 。2 。2 人口算子复本征值的代数指标 对于以上三类模型，为了得到相应人口发展方程解的渐近展开式，获得更深刻的人 1 ：3 系统稳定性的结果，就必须研究相应人口算子复本征值的代数指标问题若能够证明 相应人口算子的本征值除可能有限个外，都是代数单的，则相应可以给出人口发展方程 解的渐近展开式 在参考文献 4 中，讨论了年龄结构人口算子的谱性质。已知p 【o ，1 上的年龄结构 的人1 ：3 算子的谱恰好是整函数 砌) = i r g d s ， 的零点，这些本征值几何重数均为1 ，代数重数有限，且唯一的实本征值 的代数重数 等于l ，从而人口算子彳的本征值 的代数重数等于毛作为函数，( a ) 的零点的次数， 这里作者对g ( x ) 作如下假设( 6 ) ： ( 1 ) g ( 功，k + 2 阶可微，g ( “2 o ) 连续( 七o ) ； ( 2 ) g 瓴) o ，k o ； ( 3 ) 1 5 1 u ( 吃) = g ( ，i ) = o ，y = o ，l ，2 ，k l ，k 1 证明了若假设( 6 ) 满足，则f ( a ) 的零点除可能有限个外，其余均是单零点，于是得 到年龄结构人i ：1 算子的本征值除可能有艰个，均是代数单的。 在参考文献 1 0 中。讨论了胎次递进人口算子复本征值的代数指标在通常情况下。 利用线性算子法证明了此类算子的所有复本征值除可能有限个外，其余指标全为l ，作 6 东北大学项士擘住论文第一幸绪论 为这个结果的一个应用，给出了相应人口发展方程解的渐近展开式文章中作者作了如 下假设( t o ( i - o 设 o ，蚓= y - - i ，其中，= n ，+ 。】，i i o 其中，令，( r ，f ) 为f 时刻一切年龄小于，的人口总数烈r ，) = 娑称为f 时刻人口密 度函数，为社会人口中所能活到的最高年龄，n ，吒】为妇女育龄区间。i z c r ) 为相对死 9 东北大学项士学位论文 第二章按龄分布人口算子复本征值的代数指标 亡率，七( r ) 是女性比例函数，j j i ( r ) 表示生育模式，它满足下述规格化条件 r ( ，) 西= l ， 1 关于七( r ) ，j i i ( ，) ，假定他们在区间f o ，_ 】上是连续或分段连续的， 系统( 2 1 ) 是带有边界正反馈的分布参数系统，我们选取通常的h i l b e r t 空间r 【o ，】 作为状态空间，在r 【o ，r _ 】中内积和范数定义为 慨y ) = r 的) 瓣， i 纠= ( 仍伊) - 1 = ( r 纠毋) - ， 系统状态p ( ，) 可以看作是定义在【0 ，) 上而在r 【o ，r a 中取值的抽象函数， ( 2 1 ) 可表示为 j 掣= 删， 【p ( o ) = p o ( r ) 算子的定义为 a p ( r ) ：一d p - ( r 一) 一( r ) p p ) ， 因而方程 ( 2 2 ) 定义域 d ( 妒 川印，_ i 一了a p ( r ) 一m 肿) r 却( o ) = r m 肿) 毋1 ， a 是r 【o ，0 】中的线性算子，称为人口增殖算子，简称为人口算子 设吒( 彳) ，反4 ) 和r ( a ，t ) 为a 的谱集，正则集，豫解式 对于的任意本征值z ，设a 产“，句= ，烈) i ( 甜一彳广厂= o ，显然 l ( 彳，e n 2 ( 彳，句妒( 以。v 2 ( 彳) ， 我们称满足( 彳，= 矿“( 以五) 的最小整数k 为z 的指标 显然，如果z 的几何重数与指标均为1 ，则a 的代数重数也为1 本章作如下假设： 一i o - 东北大学硕士学位论文第二幸按龄分布人口算子复本征值的代数指标 ( 哪设阢，屹1 = ，其中= 【惕，现+ 。) ，( 1 f s p 1 ) ，- = 【。，肘，】，码= ，；， 坼= r 2 ，设定珩) = ，k ( r ) = k i 。( ，) = 鸬当r 时，i = l 2 ，p 一1 ，这里鸟，t ，“为 正常数 显然，对于一个国家或地区，上面的假设是符合实际的因为在一个稳定的社会中 生育模式、性别比例、死亡率在年龄相差不大的区间可视为常数，即可假设( h ) 成立 2 1 2 主要引理和预备知识 定义 f ( d = 1 一r _ j ( ，) i l ( ，) e x p ( 一知一r ( 曲西p 同时约定，仃( 彳) 表示a 的谱，p ) 表示4 的豫解集，用且( a ；4 ) = ( 舡一彳) 。表示爿 的豫解式，r 一) 表示彳的谱半径即，( a ) 2 罢j 1 彳i 首先给出几个引理： 引理2 1 2 1 ( 1 ) 一的谱集包含无限多个孤立的，具有有限代数重数的本征值，若 五( 4 ) ，则a 的几何重数为1 ，相应的本征向量是 仍( ，) ：。- ( 州肿川 ( 2 ) a 有唯一实本征值厶，具有代数重数为1 ，其它本征值的实部小于矗 ( 3 ) 任何带形区域 a c 卜 r c 五+ ，成立我们定义气为乃对应 的投影算子，根据参考文献 1 3 ，有 p , t f ( s ) = 去l 震，彳v 。) 以 对v ，( s ) 日 其中= a 肛一乃l = 气) 且勺是足够小，使得 五| i a 一乃i _ n 盯( 彳) = 若乃是一的本征值，且代数重数为1 ，则由参考文献 1 7 ，有 h 亦s ) = 舰( 五一乃) 且( 五，a f t ( s ) ， 由参考文献 2 中r ( 丑，a ) 的表达式和相同计算，根据引理2 5 得 ( 气，) = 南 肛帅， r 邝，唧hr 川砂) 凼 e x p ( _ 妒一r 声咖) d r x 哪( - 卜r 咖) ， 其中 ，( a ) = l p r 卿) t 6 r ) e x p ( 一知一r 加) 凼p 椰， 根据定理2 1 和引理2 5 ，2 6 。由参考文献 1 4 ，p 】， 1 5 ，p 趋5 中类似计算，得到 了下面的人口发展方程( 2 2 ) 解的渐近展开式 一1 6 一 至苎查量堡主兰堡垒查 墨三兰i 塑篁坌查垒! 墨墨查垒堕盟堡苎塑堑 定理2 2 设( h ) 成立，a 的有限个代数重数不为1 的本征值在左半平面r c a r e & 。 - 1 7 - 东北大学硕士学o - e 文第三章年龄结构人口胎次递进算子复长征值的代数指标 第三章年龄结构人口胎次递进算子 复本征值的代数指标 3 1 引言和预备知识 3 1 1 年龄结构人口胎次递进算子的相关知识 年龄胎次人口系统的思想在我国首先由于景元等在九十年代提出于景元在参考 文献 1 1 中建立了年龄结构胎次人口递进模型，证明此类人口算子的谱包含无限多个孤 立的、具有有限代数重数的本征值，其中实本征值只有唯一一个，且几何重数和代数重 数均为l ，研究了模型解的性质。但是为了得到相应年龄胎次人口方程解的渐近展开式 获得更深刻地人口系统稳定性的结果，我们必须研究相应人口算子的复本征值的代数指 标通常情况下，我们证明了年龄结构人口胎次递进算子的所有复本征值，除了有限个 外，指标均为1 作为这个结果的一个应用，我们获得了相应人口发展方程解的渐近展开式这些都 是年龄结构人口胎次递进算子新的结果 年龄胎次递进系统可简化由下式描述： 垒i ! 尘! + 垒量! ：盟：一五( ，) 见( ，f ) ， a t o r “、 a ( o ，f ) = 0 ， 刖，f ) = r 篓岛磊( ，境( r ，慨 岛( r ，o ) = ( ，) ， n = o ，1 ， l = l 2 ， ，、 ( 3 1 ) n = o ，1 ，n ， 其中n 表示育龄妇女在整个育龄区间i t , ，r 2 】所能生育的最高胎次，虬( ，) ， ，晚，弓】，n = o , 1 ，表示f 时刻年龄小于，生过嚣个孩子的所有妇女数，称为嚣胎 次妇女函数，设b ( ，f ) = 曼连竽，见( ，) 称为疗胎次妇女年龄分布密度函数? 五( ，) 为 胎次递进率，毛为晏儿女性比，- 为最高年龄 1 9 查苎苎兰堡圭兰堡垒查 苎三主壁竺苎垒! 堕奎丝兰箜兰墨查垒竺苎堡苎! ! ! 兰 为简便起见，设 系统g 1 ) 可被记为 其中 p ( r ，) = 仇( ，) 肿) ：i尔，1 1 l 0 o p ( r , t ) + 鱼! 业：一肿功( ，r ) ， o t o r 、1。 烈o ，f ) = r 口( ，) 时，t ) d r ， 烈r ，o ) = p 聊( r ) o 知 p r o ) ( r ) = ( 硝，( ，) ，硝( ，) ，钟( ，) ) r ， r 岛厶( r ) 毛 ( ，) 盖 - ( ，) 0 1 叫：斗 l o00o j 考虑( ，) 。蚝的实际意义，o s 屯( ，) s l ，o 毛 l ，n = o , 1 ，且丸( ，) 为可测函数 现在，我们定义在r 【o ，r _ 】中的内积，范数： v x ( r ) ，y ( r ) e r 【0 ，】，有 ( 颤，) ，灭r ) ) = r 工( ，) 歹i 五打， 似) i = ( f i 时) f 西) ，v x ( r ) ，时) r 】 选取乘积空间日作为系统( 3 1 ) 的状态空间 曩= 上2 o ，乇】三2 【o ，】r o 名】，( + 1 个) 在空间日中，内积，范数如下定义： ( 珩) ，y ( r ) ) o ：兰f ( ，瓜融( 珩) ，y ( r ) ) o = i ( ，) 儿( ，) 毋 k - o ， = ( 吨( ，) 几( ，) ) v x ( r ) ，y ( r ) eh 2 0 o o 力 肿肿；聃 ，f。k 东北大学项士学位论文第三章年龄钴构人口胎次递进算子复奉征值的代教招拓 l 0 工( r ) l = ( m ) 工( ，) 培一 显然日为h i l b e r t 空间，定义矩阵算子彳及定义域d ( 为 和( ，) ：一蔓攀一d ( r ) p ( ，) ， 胛 d ( a ) = n l 一警一肿川咀删= f 附) p ( r ) d r ) 称为年龄结构人口胎次递进算子 从而，系统( 3 1 ) 可写为空闯h 中鸽抽象发展方程 j 掣= a p ( t ) ，( 3 1 2 ( 3 2 ) 【p ( 0 ) = 。( ，) 设咋似) ，反一) 和r ( 五，f ) 为4 的谱集，- 正则集，豫解式 对于爿的任意本征值z ，设i ( 4 d = 厂历) i ( 名，一句，= o ，显然 l ，五) n 2 ，1 ) g n 3 口，句e ，v 五q ( 椰， 我们称满足似，力= “( 一，工) 的最小整数k 为五的指标 显然，如果2 的几何重数与指标均为1 ，则丑的代数重数也为1 ( 1 i ) 设n ，r d = ，其中= 阱) ，( 1 s f s p 一1 ) ，= 吖，】， 吖= ，i ，r ；= r a 设定当，时，五( ，) = ( o ，1 1 ，i = 1 ，2 ，p 1 显然，对于一个国家或地区，上面的假设是符合实际的在年龄r 相差不大的条件下， 胎次递进率屯( r ) 可看成常数r 考虑这一事实，假设( 哪是合理的 3 1 2 主要引理和预备知识 定义 f ( d = l r 毛凡( r ) 唧( 知一【凡( 力d p p = l b 风( 其中 尻( = r ( ，) e x p ( - 加一r 五( 户) 和p ，七= o l ， r 2 1 东北大学硕士学位论文第三章年龄结构人口胎次连必量复查丛堕幽堑 同时约定，盯_ ) 表示彳的谱，反_ ) 表示彳的豫解集，用r ( a ；4 ) = ( 甜一彳) - 1 表示一 的豫解式，( 由表示4 的谱半径，即r ( 一) 2 逻娶) i 彳i 首先给出几个引理： 引理3 1 t ( 1 ) a 的谱集包含无限多个孤立的，具有有限代数重数的本征值， 若a ( 一) ，则a 的的几何重数为1 ，相应的本征向量是 p ( ，) = p o ( ，) ，a p ) ，。( r ) 厂， 其中 p o ( r ) _ e x p ( 一加一r 凡( 力d p l ， a ( ，) = 见( r ) - 一肌( r ) = 0 ( 2 ) a 有唯一实本征值a ，具有代数重数为1 ，其它本征值的实部小于矗 ( 3 ) 任何带形区域 a c i _ m q r e a s q i t e 五+ 。成立我们定义只，为乃对应 的投影算子，根据参考文献 1 3 ，即 气，( ，) = 去l r ( a ，4 ) ，( r ) d 名 v f ( r ) 日 其中r 而= a 她一乃i _ 勺 且_ 是足够小，使得 五肛一乃i s 气 n 仃( 4 ) = 乃 ， 若乃是爿的本征值，且代数重数为1 ，则根据参考文献 1 7 ，有 ( 乞础，) = ：l i 。m c _ , 一乃) r 似，爿小r ) ， 其中胄( 旯，一) 的表达式可参照 1 l ，p 。 给出，由 6 p 。】中相同计算，得 ( 气，) ( 咖南 昂( 乃) e x p ( 却一r 厶( 力d p ) 厩( 乃) e x p ( 一妒一r ( 力d p ) ； 晶( 乃) 唧( 却一r 厶( p ) d p ) 其中层( 乃) 0 = o ，l ，2 ，忉在参考文献 6 ，p2 7 中给出 根据定理3 1 和引理3 5 ，3 6 ，由参考文献 1 4 ，p ， 1 5 ，p 脚 中类似计算，得 到了下面的人口发展方程( 3 2 ) 解的渐近展开式 2 8 东北大学硕士学位论文 第三章年龄结构人口胎次递进算子复誊征植的代数指标 定理3 2 设( h ) 成立，彳的有限个代数重数不为1 的本征值在左半平面 r e 2 r e 。 2 9 东北大擘硕士学位论文第四章总结 第四章总结 近年来，人口发展系统的研究越来越深入目前，已提出三种结构概念：一、年龄 络构，由年龄结构分析建立人口模型；二、胎次结构，研究妇女生育孩子的递进过程建 立人口模型；三、年龄胎次结构，综合考虑年龄，胎次建立人口模型对于以上三类模 型，为了得到相应人1 3 方程解的渐近展开式，获得更深刻的人口系统稳定性的结果，就 必须研究相应人口算子复本征值的代数指标问题若能够证明相应人口算子的本征值 除可能有限个外，都是代数单的，则相应可以给出人口发展方程解的渐近展开式 本文主要讨论了两类人口算子本征值的代数指标，得到了同样的结论，即所有本征 值的代数指标，除有限个外，指标都是1 从而所有本征值的代数重数，除有限个外， 都是代数单的，进而给出了相应人e l 发展方程解的渐近展开式此渐近展开式可用来进 一步分析人口系统的稳定性，从而达到控制入口稳定性的目的 首先讨论了年龄结构人口算子复本征值的代数指标问题在参考文献【2 5 1 的基础 上，给出了年龄结构人e l 发展方程解的渐近展开式，推广了这些文献的相应结论 其次讨论了年龄结构人口胎次递进算子复本征值的代数指标问题在一定约束条 件下，证明了此类算子复本征值除可能有限个外，都是代数单的。从而绘出了年龄结构 人口胎次递进发展方程解的渐近展开式这些都是年龄结构人口胎次递进算子新的结 果 关于人口算子的谱性质，至今仍有许多问题没有解决，例如本征值的代数重数是否 都是l ，是否有分离性等，若能够证明人口算子的本征值的代数指标都是1 ，则相应可 以给出人口发展方程解的表达式，这些问题本文没有涉及，需要在以后的研究中给予解 决 一3 l - 东北大学项士学位论文参考文献 参考文献 1 宋健人口系统的稳定性理论和妇女临界生育率 j ，自动化学报，1 9 8 1 。7 ( 1 ) ：卜1 2 2 宋健人口算子的谱特性与人口半群的渐进性质 j ，数学物理学报，1 9 8 2 ，2 ( 2 ) ： 1 3 7 - 1 4 4 3 o f w e b b t h e o r yo f n o n l i n e a ra g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o no y l l a m i c $ 嗍，n e wy o r k ： d e k k e r , 1 9 8 5 4 张连平人口算子的谱性质e j ，系统科学与数学，1 9 9 9 ，1 9 ( 3 ) ：3 7 1 3 7 7 5 王卓之人口算子的一个谱特征 j ，信阳师范学院学报(