（基础数学专业论文）平行平均曲率子流形的间隙定理和刚性定理.pdf

浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流形的间隙定理和刚性定理 摘要 本文着重研究完备平行平均曲率子流形的l “2 曲率空隙和几何刚性问题 本文第一部分主要研究欧氏空间和球面中完备的平行平均曲率子流形的l n 2 一 p i n c h i n g 问题，获得如下结果： 设m 吖凡3 ) 是欧氏空间r ，+ p 中完备的平行平均曲率子流形，日和s 分别为 m 的平均曲率和第二基本形式模长的平方若( s n 日2 ) “2 d m g ( 钆) ，其中c ( n ) 为仅与n 有关、具体给定的正常数，则s 兰n h 2 ，即m n 是全脐子流形特别地，若 h = 0 ，则m = r ，；若h 0 ，则m = 酽( i h ) 该结果改进和推广了由l n i 和h w x u 证明的间隙定理 更一般地我们获得以下结果： 设m “( n 3 ) 是n + p 维具有非负常曲率e 的完备单连通空间形式f ”，( c ) 中n 维完备的平行平均曲率子流形，日和s 分别为m 的平均曲率和第二基本形式模长的 平方若一n h 2 ) ”2 d m 1 的平均曲率和第二基本形式模长的平方若k ( s n 日2 ) n 2 d m 0 ， 则存在常数乃( n ，p ，日) ( o ) ，托( 佗，p ，日) ( o ) ，其中砰( 亿，p ，h ) + 磅( n ，p ，h ) 0 ，使得 当k n 【t i ( n ，p ，日) ，乃( n ，p ，日) 】，且 n h 2 + a l ( n ，p ) ( d c ) + a 2 ( n ，p ) 融( n 一1 ) 一1 h 3 1 1 2 ( d c ) 1 4 s a o ( n ，h ) 一b l ( n ，p ) ( d c ) 一b 2 ( n ，p ) 沁( n 一1 ) 一1 h 3 1 2 ( d c ) 1 4 时，n ”9 等距于欧氏空问r ”9 进一步地，若s u p m s 口o ( n ，日) ，则m 必为全脐 球面铲( z h ) 这里常数a o ( n ，日) = ；筹，其余常数n ( n ，p ，日) ，亿( p ，日) ，a l ( n ，p ) a 2 ( n ，p ) ，b a ( n ，p ) ，b 2 ( 竹，p ) 将在正文中给出 2 篓垩查堂堡主鲎癣笙茎 兰堡兰望塑整王堕翌箜塑壁塞篓塑型垄星茎 a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h el n 2c n r v a t u r eg a pa n dt h eg e o m e t r i c r i g i d i t yp r o b i e m s 碰t h ec o m p l e t es u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e l x i ic u r v a t u r e i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r w em a i n l ys t u d yt h el n 2p i n c h i n gp r o b l e r af o rt h e c o m p l e t es u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a l c u r v a t u r ei nt h ee u c l i d e a ns p a c eo r as p h e r e ， a n dg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： l e tm ”m 3 ) b ea nn - d i m e n s i o n a lc o m p l e t es u b m a u i f o l dw i t hp a r a l l e l1 x l e a nc u r - v a t u r ei ne u c l i d e a ns p a c er “押。d e n o t eb yha n dst h em e a nc u r v a t u r ea n dt h es q u a r e d l e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fmr e s p e c t i v e l y 1 f & ( s - n i l 2 ) “2 d 槲 0 t h e nt h e r ee x i s tc o n s t a n t st l ( n ，p ，盯) ( o ) ，乃m ，p ，灯) ( 0 ) ，h e r e 开( 礼，p ，h ) 十曙( n ，p ，h ) 0s u c ht h a ti fj oi sp i n c h e d i nh ( 札，p ，h ) ，t 2 ( n ，p ，盯) a n d n h 2 + a l ( 托，) ( 建一c ) + 直2 ( 髓，功睁( 托一1 ) 一1 h 3 】1 2 ( d e ) 1 4s s 理8 ( 椎，h ) 一b l ( 珏，p ) ( 蠢一0 一暑2 ( 嚣，筘) 融( 铃一王) 一1 h 3 】1 2 ( 症一e ) 1 4 ， t h e nn - + pi si s o m e t r i ct ot h ee u c l i d e a ns p a c eb + p m o r e o v e r ，i fs u p m s 3 k s h i o h a m a 和h w x u 等人在此方向已经作了更深入的研究( 觅f x s l ， s x i ， s x 2 ) ，但是，以上所有结果都要求s 满足逐点p i n c h i n g 条件，当s 满足l 2 - p i n c h i n g 条嚣楚，援，l 、子滚形嚣整俸瓣瞧竭莲疆突是一个g | 入注嚣筑漾题。露蘧中强，l 、子浚形豹 p 2 - p i n c h i n g 定理鼹早由c ，l s h e n 绘出，其后豳h w a n g ，j m l i n ，c 。v 弼a 和 h 。w x u 等人作出进一步的研究( 见【8h 】，【w ，i l x ，l x 剐) 程i x 4 中，x u 证明了以下 结粟： 定理b 设m ”摄s ”押( 1 ) 中n 维具有平行平均曲率的可定向的闭子流形，如果 菇猡一n h 2 ) “球d m g 承) ，其中岛) 为汉与嚣蠢关、其髂给定躲藏攀数，则m 是 全脐球谳 当m 是f p “中完备极小超曲面时，l n i n 】得到以下结果： 定理g 设 铲4 ) 是l p 枉中的一个祀维完备极小超曲面，购存谯仪与n 裔关、 具体给定的正常数c 4 ( n ) ，使得当山s ”胆d m 吼( n ) 时，m 必是全测地超曲面舯 在上述工俸纂稽上，本文第2 囊主装磺究欧氏空阔l 切中n 维宪备酶_ 平行平均 曲率予流形的l ”2p i n c h i n g 问题，运用一个直接方法得到以下间隙定理： 定理2 。l 。设掰“秘3 ) 是￥p 却中牲维宠备豹乎行平均麴枣子凌形，拦秘s 分鬟为 m 的平均曲率和第二基本形式模长的平方若岛( s n h 2 ) ”，2 d m g 何) ，其中g ) 为仅与n 有关、具体给定的正常数，则s 三n h 2 ，即j l 俨怒全脐子流形特别地，若 篁= 0 ，剿掰= 黔；若h 0 ，爨掰= 驴( 1 h ) 。 由此，易得以下结果 燕论2 1 。若艇8 瓣3 ) 跫薹p + 9 中嚣维完备投4 , 予z z ，鲻存在稷与嚣毒关、其体 给定的饿常数g 即) 使得当岛s ”2 d m g ( ) 时，m 必是全测地子流形r n 更一艘地，我们获褥褥以下结果 定理2 , 2 设m “3 ) 是n + p 维具有非负常髓率c 的完备单连通空间形式f n + ( c ) 中n 维究备的平行平均曲率予流形，h 和s 分别为m 的带均曲率和第二基本形式模 6 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流形的间隙定理祀刚性定理 长平方若山( s n 日2 ) “2 d m 1 若 向p n 日2 ) ”2 d m c 7 ( n ，日) ，其中c ( h ) 为仅与n ，日有关、具体给定的正常数， 则s ；n 日2 ，即m “为全脐球面伊( 1 酽= 1 ) 当m “是n + p 维正p i n c h e d 黎曼流形中完备平行平均曲率子流形时，k s h i o h a m a 和h w x u s x l 通过构造微分1 一形式和运用几何不等式证明了下述刚性定理： 定理d 对于给定的正常数n ( 2 ) ，p 和非负常数日，存在一个满足0 7 - ( n ，p ) 1 且具有下列性质的常数r ( n ，p ) ：若m “是满足t ( n ，p ) k n 1 的n + p 维完备单连 通黎曼流形中完备可定向的平行平均曲率于流形，且 n h 2 + c j ( n ，p ) ( 1 一c ) + 岛( n ，p ) 【( 1 + h 2 ) 日】1 2 ( 1 一c ) 1 4 s sc a ( n ，p ，h ) 一d s ( n ，p ) ( 1 一c ) 一d 6 ( 札，p ) ( 1 + h 2 ) h 1 1 2 ( 1 一c ) 1 4 其中c ：= i n f k n ，则”p 等距于伊却( 1 ) 进一步地， 1 ，若s u p m s 0 ， 则存在常数丁1 ( 礼，p ，灯) ( 曼o ) ，亿( n ，p ，凹) ( o ) ，其中霄( 他，p ，h ) + 曙( p ，h ) 0 ，使得 当 r l ( n ，p ，h ) sk n 矗( ，p ，丑) ，黩 n h 2 + a 1 ( 他，p ) ( d c ) + a 2 ( n ，p ) h ( 竹1 ) 一1 h 3 1 2 ( d c ) 1 4 量s 茎8 。( 露，h ) 一b l ( 嚣，圆d 一。) 一呈毛( 髓，彩章( 嚣1 ) 1 h 3 】1 2 ( d 一。) 1 4 时，“切必等距于形切进一步地，若s u p m s a o ( n ，凹) ，则m 必为全脐球 舔铲( v r ) 这萋常数c r o ( n ，嚣) 一j 筹，焚余常数( 强p ，蟊) ，乜( 髓，p ，嚣) ，a i ( 筘) ， a 2 ( n ，p ) ，b l ( n ，p ) ，b 2 ( n ，p ) 将在正文中给出 本文是在导鼹诲洪辏教授豹穗心摆导下宠残的，蟹憩捉会我对尊薅两年半寒在专 业上的悉心指导和热情鼓励，以及生活上无微不至的必怀，表示衷心的感谢嘲时，导师 严谨的治学态度秘广博的学术修养鼬援产生了深刻的影响，必将使我受益终身。 在此，由衷感谢刘克蜂教援和沈纯理教授给予的关怀和帮助 8 滔辽大学嫒学位论文 乎 于平均簦章予流形薛阅躲定理稿羁燃定理 第1 章预备知识 王。王基本概念和公式 设m n 是n + p 维黎曼流形n n + p 中几维浸入子流形，设定各类指标取值范围如 下： 1 a ，b ，g ，墨竹十p ；l i ，囊凳，兰n ；竹+ l ，p ，7 ，扎+ p 在n n + p 中选取局部标准正受标架场 e ) ，使其限制在m 上时，标架e i 与m 相切 令 呶 帮 翻a b 分鬟是”p 上夔辩壤标粱搦秘联络l 一形式蒋这整形式限搿劐彭 上，我们得到 ，j a i = 嗡嗡，蝎一略， n ，m 的曲率张量和m 的法曲率张量分别由k p a 口，埘和r 。p 州液示 分裂必m 戆数潼麴率，赘二基搴形式秘乎臻麴攀彝量，崮忿褥至l p “j k l = 列+ ( 礁强蟠啄) ， 硒敞= 醚+ ( 壤碣一筏磕) ， h 一龇o o ， 8 ， j 。i 丢弼e “， 我们定义 r 一g t j , j + n 2 h 2 一s s = i h i 2 ，h 一 ，风一( 九毒) 。n ( 1 1 ) 设见h 和 ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 定义1 1 。m 被称作具有平行平均曲率的子流形，若在耐的法旗上是平行的特剐 地，m 是极小的，若= 0 警o 鞋雩，选择c n + l 使褥岛+ 1l l 毒t r 三k + 1 一n h 显t r y , = 0 ，n + 2 筘n + p 记 则有s = s u + 岛 勘= ( 谨1 ) 2 ，一( 翰2 0 珏 l 9 辑江大学碳士学位论文 平行平均虢率子流形的闻隙定理秕跨住定理 1 2几个引理 引理1 1 糟m n 是具有常曲率的宝闻形式中的平行平均曲率子流形 露是非零常数且，至k = 。甄m ，对掰有的。成立。 萼l 理1 2 i l l ， x 4 1 ) 设掰”楚舻却( e ) 中瓣平行平均藏率子流形， ( i ) 若t t o ，则 ；a s 芝e ( h 嚣k ) 2 一p ( p ) s 2 + n c s 。 d ，e k 园若h 玩则 则h o ，或者 ( 1 7 ) ；岛赢( 毳禁1 ) 2 + ( 岛一硝2 小e + 。横2 一s 一篇季鸶瓶j 叫，( ，8 ) 。 。j ， 。 、n l n i j 。 ；a s l e ( ) 2 + n h t k h + z 睇) 一e t r ( 风+ ，鳓) 2 + n c s r 一弘国一1 ) 冀，塞ip 1 ( 1 9 ) 其中、 咖，一 | ：萋篡 皿 透过类似予袭豳 中的讨论，菊强下结果： 雩| 瑾1 3 帮掰”是f “却( c ) 中麴平行乎垮蓝率子滚形，设五= ( s 矗一n h 2 + 铭2 ) 1 2 g 。= 岛+ n ( p 一1 ) e 2 1 ，2 ，= ( s + 札p s 2 ) 1 2 ，则 ( i ) 若h 0 ，则 ( i i ) 若h 一0 ，则 e ( h 雾t 1 ) 2 等| v 嘉| 2 ， t ，弗 (，嚼k)2了n+2lv懿12，若pli, j ，k ，f l n + l 。 。e 。( 强女) 2 i n + 2 v 趣 2 a ；0 弗 1 0 ( 1 1 1 ) ( 王1 2 ) f 1 1 3 ) 浙江大学硕士学位论文 平盼平均鼗率予漉形匏间隙定理和毋4 啦定理 由【h s l 和t x 3 1 ，可得以下引理： 弓 理1 , 4 若掰n 3 ) 是f n 坤( 园中一个紧致带遗或无边的平行乎均麴率予流形， 则对任黥t r + ，f c 1 ( ) ，f 0 ( 当边界o m 0 时，f l o m = o ) ，f 满足 l t v f l i ! 慕每旆p 。，柏+ 硝( ，吲1 2 ，( l 1 4 ) 其中c 0 一m a x c ，0 ) ，d ( n ) 一2 ”( 1 + n ) “+ 1 ) 加沁一1 ) 一1 口i 1 加，g n = b ，中单位球的体积 弓l 理l 为 s x l 】) + 设m * 魑n + p 维黎整渡形n “卸中n 壤蜀定自数平蠢平趣麴攀翅 子流形，令o ( 。) 和6 ( 卫) 扛n ) 是n 的截面曲率k n 在点嚣的最小德和最大德，则有 厶 ( 勘一嚣日2 ) p ；黯+ 。托置2 一s 一詈爰蔷置( 勘一托量2 2 3 - d ( n , p ) 驹一妒d m 4 ( 舻一扎+ 2 ) 4 ( 髓2 露+ 2 ) 礼0 4 ( n 2 n + 2 1 n 3 一訇( 厶菇| v 2 2 掰+ n 厶毋置露匐母丑v 轰蝴) 一瓦1 + 警l 厶即蚓2 谢 一去 f mi v ( 曲r ) 阳m 胁脚2 n h - s - 端一p ( 2 4 ) h、，。 + 一 + 激汪大学颈学位论文平行平均越率予溅形的间黢定理秘s 瞧定理 t i v ( 毒a 露芦渊i 霹i ! 等蓠圣两 否斋置露卢2 。一；，h 2 、l + ；翊颤露芦| | 2 】，( 2 固 其中r + ，综合( 2 4 ) 和( 2 , 5 ) 可得 。一 学一去+ 等 厶胛甜。m + 避4 生r n 。( 掣n 毒鬻 南d 2 ( n 艄艮拯删一即幽t 蜮一i 司 一1 ) o f 王+ t ) j “船“魏，孕一邵 p 川一“如“2 j + 厶曲瓷疗一2 尸 忆日2 一 一n 日2 ) 一k 2l h ( 札- 一_ 2 ) l 1 ) m 十f p n 酽) ) d m ( 2 6 ) 其中l r + 令一0 ，( 2 , 6 ) 霹耽舞 o 一1 4 ( n - 护n + 2 ) 一去+ r 。：。j i 。 槲f n i v 妒且1 2 埘 +避堕警二畿产南ltcrf4rn3n 1 ) 2 ( 1 t d 2 ( n啦瞎州删卅( t 由耐啦睦( 一+ ) 1) “似“j 一”“” | 1 2 j + 卜置2 一堡翳 | | n ，形2 蜓一l + i i 毋2 。歹“i i 彬( 。一鹫i t s 一摊嚣2 | 。，。 1 4 ( n 2 - - 舻n + 2 ) 一去十警 厶州v 蚓。a m +塑4r生墓逊等罅+为瞪一勰幽鼢铷卿竭n3(n0 2 ( n ) ( 1 i l a 。s 【 一1 ) 2+ t ) 、2 “u 1 甲霜。l ”，l 。一2 n 。( n - - 2 。) 2 h 。2 4 r ( n 。2 。- n + 2 ) 。- 。n s ( n 。- ，2 。) 。2 h 2 其中f r + 因为m ，札d m ”，2 ( 扎) ，则当r 一。时，可得 ，1；一f42一n+2)0熙l 怒 掣 综合( 2 7 ) 和( 2 8 ) 可得 1 冗 置。 警 五印蚓2 删 警 去厶削m o 一 ( 2 s ， 。l 妒( n ( 。2 - 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