（基础数学专业论文）分布楔乘的一些性质.pdf

摘要 摘要 本文考虑分布楔乘。 ， j 【妒】= 一，n d 9a 彭ba 够“a d z 一， ，n 的一些性质，其中仉：2 ( q ，r n ) ，s = 蔫，妒c r ( n ) ，而，和 ，为有序的f 重，= ( i i ，i t ) ，= ( j 1 ，九) 我们利用p o i n c a r 4 - s o b o l e v 不等式w h i t n e y 分解，最大函数的定义， o r l i c z 函 数的定义，研究了分布楔乘的阶，l 1 可积性以及与磨光核卷积的性质 关键词分布锲乘可积性最大函数w h i t n e y 分解o r l i c z 函数 i 了j ：j 学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rd e a l s 诵t hs o m ep r o p e r t i e so fd i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c t s t h ed i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c ti sd e f i n e df o rm a p p i n g s ，2 ( q ，r n ) w i t h s = 蔫a n d a n yo r d e r e du t u p l e sf = ( i l ，i t ) a n dj = 0 h ，壳) b yt h er u l e 髟纠= 一z 产印 彭幻 彤虹 如一， f o r 妒舒( q ) 。 b yu s i n gp o i n c a r d s o b o l e vi n e q u m i t y , w h i t n e yd e c o m p o s i t i o n ，m a x i m a lf u n c t i o n ， a n do r l i c zf u n c t i o nw eg i v es o m ep r o p c r t i c so fd i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c t s t h a ti s ： w os t u d yt h eo r d e ro fd i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c t 1i n t e g r a b i l i t ya n dt h ec o n v o l u t i o n o fd i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c tw i t ht h em o l l i f i e r ， k e y w o r d s d i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c t i n t e g r a b i l i ww h i t n e yd e c o m p o s i t i o n m a x i m a lf u n c t i o n0 r l i c zf u n c t i o n i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 童当盛值日期：_ 工盘盟年厶月, l n 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 i 2 、不保密硇。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 务夸，挟桑的穆叶叛 ) 的学位 论文，是我个人在导师耄勿亚指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 刍j 盛盛 日期：珥年立月么一日 作者签名：奎! l 篮 导师签名： 日期：迸年上月l 日 日期：雌年笸月厶日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i ii i 量_ c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nt h et h e o r yo fn o n - l i n e a rd i f f e r e n t i a lf o r m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n st om o d e mt h e o r y o fm a p p i n g s ! o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc o n c e p t si st h ed i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c t a sag e n e r a l i z a t i o no fd i s t r i b u t i o n a lj a c o b i a n ：i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ng e o m e t r i c f u n c t i o nt h e o d - a n dn o n l i n e a ra n a l y s i s ，s e ef i - 3 i n1 4 1 z h e n gs h e n z h o ua n df a n ga i n o n gs t u d i e dt h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so f d e g e n e r a t eq u a s i r e g u l a rm a p p i n g s ? s e ef 5 - 1 0 】f o rm o r ed e t a i l s d i s t r i b u t i o n a lw e d g e p r o d u c ti st h ed e g e n e r a t ec a s eo fd i s t r i b u t i o n a lj a c o b i a n t h a ti sw h e nj 0 z ， ) = 0 a e 。q ，t h er a n ko fd i f f e r e n t i a lm a t r i xd ，( z ) ( s e e 【11 一1 6 j ) i sl ，a n d0sl n ，i nt h i s p a p e r ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so ft h ed i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c t l e tf = ( f 1 ，2 ，”) ：q r nb eas o b o l e vm a p p i n g g i v e na p a i ro fo r d e r e d g - t u p l e s ，= ( i l i 2 ，i l ) a n dj = ( j l ，j 2 ， ) ，t h e r ei sa l la s s o c i a t e dz em i n o ro f t h ed i 髓r e n t i a lm a t r 没d ，= ( 筹) l s t j s 二、 ，es h a l lu s et h ef o l l o w i n gn 。t a t i 。nf o rs u c h m i n o r s 0 。f 8 tj o ( f “，“， a ( 勺。， t h u st h e ( i ：j ) t he n t r yo fp fi so b t a i n e d o 。) w h a e t 吼钏j e ni = ( i ) a n dj = ( 歹) w h i l et h ej a - c o b i a nd e t e r m i n a n t ( s e e 1 7 - 2 2 】) i so b t a i n e dw h e n ，= j = n = ( 1 2 ，n ) f o r j = ( 7 1 五五) ，d e n o t eb ya r j = ( 七1 七2 靠一c ) o b t a i n e df r o mn = ( 1 ，2 ，扎) b yd e l e t i n ga l lt e r m si nj l e te 1 c 2 ，e nd e n o t et h es t a n d a r db a s i so fr “f o re a c h = 0 ，1 ，r td e n o t e b ya = a e ( r “) t h es p a c eo fg - c o v e c t o r so nr n ，a o = r ，a 1 = r “t h e na c o n s i s t so f l i n e a rc o m b i n a t i o n so fe x t e r i o rp r o d u c t s e i2e i lae i 2a a 岛f ， w h e r e ，= ( i i i 2 ，i e ) i sa l lf - t u p l e t h eg t he x t e r i o rp o w e ro fam a t r i xa r 似九i s t h el i n e a ro p e r a t o r a 襻= a 彖：a 一a 1 河北大学理学硕士学位论文 d e f i n e d 蚵 以参( n 1ao t 2a a 口) = 以n la n 2a aa a t f o ro t l ，q 2 ，q f a 1a n dt h e ne x t e n d e dl i n e a r l yt oa l lo fa c f o ras m o o t hm a p p i n g ，= ( ，1 ，2 ，n ) ：q r “a n d1 l ，l ，o n ec a nu s e s t o k e st h e o r e mt ow r i t c j 急事i 工1 d j 嘶 d j i 2 a-a d l 嗝八d z n j 。一f f u d p a d j i 2a - - ad j 龟 如n j ， ，n w h e r e 夕舒( q ) t h i sl a t e ri n t e g r a la c t u a l l yc o n v e r g e sf o rm a p p i n g si nt h es o b o l e v s p a c ew - f o c l , s ( q r n ) ，w i t hs = 昔i n d e e d ，w eh a v e | d p a 妙2a a 彤isi v , ，l l o i ， a n dt h i si a u s tt e r ml i e si n 咖( q ) w h e r e a s ，- i s1 0 c a l l yi nt h ed u a ls p a c e 云罗备( q ) b yt h es o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e m a ni m m e d i a t ec o n s e q u e n c eo ft h i si st h a tw ea r e a b l et om a k et h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n d e f i n i t i o nt h ed i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c ti sd e f i n e df o rm a p p i n g sf “：2 ( q ，r n ) w i t hs = 而n ta n da n yo r d e r e dg t u p l e s ，= ( i l i f ) a n d ，= ( 歹l ，一， ) b yt h er u l e j ；| 诚= 一心1 却八鸳i 2 a a 妒八虮一j f o r 妒c ot 1 2 ) t h i sd e f i n i t i o ng i v e su st h ec o n t i n u o u sn o n - l i n e a ro p c r a t o r tt “ ：i l ：“( q jr “) 一刃7 ( q ) w h e r er y ( n ) r e p r e s e n t st h ed u a ls p a c et o 舒( q ) ，t h a ti s ，t h es p a c eo fs c h w a r t zd i s t r i b u - t i o n s i f = n t h e nt h ed i s t r i b u t i o n a lw e d g ep r o d u c tc o i n c i d e sw i t ht h ed i s t r i b u t i o n a l j a c o b i a n s e e 1 】 2 c h a p t e r2p r e l i m i n a r yl c m m a s c h a p t e r2 p r e l i m i n a r yl e m m a s i n t h i ss e c t i o nw ei n t r o d u c es o m ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a s ( s e ef 1 】) ，a n dt h e yw i l lb e u s e f u l lf o rt h en e x tt h r e ep a r t s d e f i n i t i o n2 1l e tqb ea no p e ns u b s e to fr “a n dvaf i n i t e d i m e n s i o n a li n n e r p r o d u c ts p a c e ad i s t r i b u t i o n ，i nq w i t hv a l u e si nvi sal i n e a rf u n c t i o n a l ，：口( q ) 一v s u c ht h a tf o re v e r yc o m p a c ts e txcqa n da n yt e s tf u n c t i o n 妒曙( x ) ，w eh a v et h e e s t i m a t e ，m l c ( x ) 沪o t h ei n t e g e rkm a ya l s od e p e n do nt h ec o m p a c ts e tx i fn o t ，w es a yt h a t | h a s f i n i t eo r d e ri nq a n dt h es m a l l e s ts u c hi n t e g e ri sc a l l e dt h eo r d e ro ffi nq d e f i n i t i o n2 2t h ec r o s sp r o d u c t1 ) 2xu 3 u no fv e c t o r s u i = ( v i l ，u i 2 ，u i 。) r n i = 2 3 ni sd e f i n e db yt h er u l e c z 现啦，= d e t ( 兰三! j ! 兰) f o ra l lz 二= ( z 1 z 2 ，z n ) r ”g e o m e t r i c a l l y t h ec r o s sp r o d u c ti sav e c t o ro r t h o g o n a l t ot h eh y p e r p l a n es p a n n e db yt h ev e e r o r s 魄：i = 2 ：札，a n di t sl e n g t hi st h ev o l u m e o ft h ea s s o c i a t e dp a r a l l c l i p e d i ft h ev e c t o r sv ia r el i n e a r l yi n d e p e n d e n t ，t h e nt h cn v e c t o r sv 2xv 3x x ”，! v 2 ，u nf o r map o s i t i v e l yo r i e n t e db a s i sf o r 舻。 d e f i n i t i o n2 3 l e t 西c 铲( r “) s u p p o r t e di nt h ec l o s e du n i tb a l l ：圣( z ) 0 ，a n d 垂( z ) 出= 1 ， w ec a l lt h i st y p eo ff u n c t i o nm o l l i f i e r f o re x a m p l e ， 吣) = c x p ( 南) i f i i fi 啦x 0 l e tvb eaf i n i t e i d i m e n s i o n a li n n e rp r o d u c ts p a c e 。f o re v e r yf 己 口c ( r “，y ) ，t h ei n t e g r a l ( 吣似牡厶。圣( 罕) 尥) 匆 i sc a l l e dt h ec o n v o l u t i o no ffw i t ht h cm o l l i f i e r 蛾 l e m m a2 1 ( p o i n c a r 6 - s o b o l e vi n e q u a l i t y ) l e tqb cab a l lo rc u b ei nr ”a n de a s u b s e to fqw i t hp o s i t i v em e a s u r e t h e nf o re a c hu w 1 ，p f q ) w i t h1sp c a n o t h e rp r e r e q u i s i t ef o rt h ep r o o fo ft h e o r e m4 2i st h ew h i t n e yd e c o m p o s i t i o n a n dt h ea d j u s t e dp a r t i t i o no fu n i t y , s o c 2 3 。l e tfb can o n e m p t yc l o s e ds e ti nr n a n dqi t sc o m p l e m e n t t h e nt h e r ei sac o l l e c t i o n 厂= ( q 1 q 2 ，】- o fn o n o v e r l a p p i n g c u b e ss u c ht h a t ： 1 q = u 墨lq l ； 2 d i a mq t d i s t ( q i ，f ) 4 d i a m q t ； 3 a q ti n t e r s e c t sf i fa27 n h e r ew ed e n o t eb ya qt h ec u b ew h i c hh a st h es a m ec e n t r ea sqb u ti se x p a n d e df o rc o n t r a c t e d lb yt h ef a c t o r 入t h el a s tf a c tf o l l o w sf r o me l e m e n t a r yg e o m e t r i cc o n s i d e r a t i o n s w ef o l l o wt h en o t a t i o nu s e di n 2 3 】a n dw r i t eq ：= 器q 1 n o wt h e r ee x i s t sap a r t i t i o no f u n i t y1 = 至l 妒。( z ) z q ，w h e r e 蟊g 萨( q ：) a r en o n - n e g a t i v ef u n c t i o n ss u c ht h a t v 删 揣 i = 1 ，2 ， t h e o r e m4 2l e tf b l , s ( r “，r “) w i t hs = ；鬲n lh a v ec o m p a c ts u p p o r ta n dl e t 竹r ) ：( m s i d f i ) ( x ) t h e nf o ra l lb u tac o u n t a b l en u m b e ro ft 0w eh a v e lz l ( x ) t a no r l i c zf u n c t i o ni sac o n t i n u o u s l yi n c r e a s i n gf u n c t i o ns a t i s 够i n g “一 p ：【o 。c ) 一【0 ，。o ) ，e ( o ) = 0a n dl i mp ( t ) = o c 一o c t h eo r l i c zs p a c el p ( q ，r “) c o n s i s t so ft h o s el e b e s g u em e a s u r a b l em a p p i n g sd e f i n e di n qa n dv a l u e di nt h es p a c er ns u c ht h a t p ( a l f l ) d x 0 8 c h a p t e r4 t h e 1i n t e g r a b i l i t 3 。 t h es p a c e sl f x ( n ，r “) a n dl r f l , p ( q ? r n ) a r ee a s yt ou n d e r s t a n d t h e o r e m4 3u n d e rt h ed i v e r g e n c ec o n d i t i o n a n dt h ec o n v e x i t ya s s u m p t i o n 。即) 两d t = + t 一尸( 等) i sc o n v e x o nt h eo r l i c zf u n c t i o np = p ( ) ，w eh a v ef o re a c h 玎l p ( r “) w h e r es = 篙 1 i m i n ft 卜。l h ( x ) 1 5 d z = 0 ， 一” j l h ( x ) l t ( 4 4 ) ( 4 5 ) t h ep r o o fo ft h e o r e m s4 2a n d4 3a r ej u s tal i t t l em o d i f i c a t i o n so f 1 ，l e m m a s7 2 1 a n d7 2 2 b yu s i n gt h em a x i m a lf u n c t i o n ，w h i t n e yd e c o m p o s i t i o na n dt h e o r e m4 1 w b o m i tt h ed e t a i l s t h ef o l l o w i n gt h e o r e mg i v e st h el l i n t e g r a b i l i t yo fd i s t r u b u t i o n a l w e d g ep r o d u c t t h e o r e m4 4l e tfl i e si n ：d c l , p ( q ，r “) w i t ht h eo r l i c zf u n c t i o nps a t i s f y i n g t h ed i v e r g e n c ec o n d i t i o n ( 4 4 ) a n dt h ec o n v e x i t yc o n d i t i o n ( 4 5 ) t h e nf o ra n yo r d e r e d - t u p l c sj r = ( i i ，i t ) a n dj = ( 歹1 ，? 血) ，i f t h e ni ti sl o c a l l yi n t e g r a b l e ，a n d 珈】= z 出渺州i 2a - - - a 矿 如n - j ( 一- ) o ( j , n - j ) 北) 筹如 f o re v e r y t e s tf u n c t i o n 妒c 酽( q ) ，w h e r e 玎( z n j ) i st h es i g no ft h ei n d u c e dp e r m u t a t i o nw h i c hi se i t h e ro d do re v e n p r o o fw ec h o o s ea na r b i t r a r yn o n n e g a t i v et e s tf u n c t i o n 妒c 3 ( q ) v c ec h o o s e y e ta n o t h e rt e s tf u n c t i o n7 7 c 铲( q ) w h i c hi se q u a lt o1 o nt h es u p p o r to f 妒t h u s a ( 9 ，“，”，2 r ) - - - - - - - - - - - - 。- - - - 一= o ( z j l ，巧2 ，互五) a ( 妒，“，7 7 ，b ，叩，“) - 9 一 o ( x j l ，x j 2 ，z 九) 躺业坐札 河北大学理学硕士学位论文 n o t et h a tt h em a p p i n gf 7 = ( 妒厂1 ，7 7 ，2 ，7 7 ，n ) l i e si nt h eo r l i c z s o b o l e vs p a c ew 1 , p ( r “：r n ) l e t ，7 ( z ) = ( m sl d f 7 i ) ( z ) b e c a u s eo ft h e o r e m4 2a n d4 3 w eh a v e n m 。一i n fi m ( x ) 2 td ( 1 ) 八够i 2a a 彤“ad x l v _ j = 。 w en o ws p l i tt h ei n t e g r a n da s d ( p f l l ) ad f 。2a ad y “ad x n j = 妒( z ) d i 1ad f ”a ad f ”ad x l v 一，+ ，q 如ad f 4 2a ad f “ad x n i ， ( 4 6 ) t h es e c o n dt e r mh e r ei si nf a c ti n t e g r a b l eo nqa n d b yt h ev e r yd e f i n i t i o no fd i s t r i b u - t i o n a lw e d g ep r o d u c t ，w eh a v e 。l i r a 川 ：。，i l d pa 彤1 2a 妒 如v - j = - - f f f i 办 t h ef i r s tt e r mi sn o n n e g a t i v e ，s ot h el i m i to ft h ei n t e g r a li nq u e s t i o ne x i s t sa n di se q u a l t o 彤 纠t h a ti s 。l i m ，f m ， ：。妒( z ) c c r i l 彤2 彤i t a d x n - j = 彩【妒】 b y - ( 4 6 ) ，n o wt h em o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o r e mm a k e s i tp o s s i b l ef o ru st op a s st ot h e l i m i tu n d e rt h ed o m a i no fi n t e g r a t i o nt oo b t a i n 上妒( z ) 够n 八够如 缈如 如n - j 蟛纠 ( 4 7 ) f o re v e r yn o n n e g a t i v et e s tf u n c t i o n 妒谨( q ) t h i ss h o w s ，i np a r t i c u l a r ，t h a tt h e a 。f o ( f “，b ， 一：= = - - - - 一 o x j a ( 巧1 ，x j 2 i sl o c a l l yi n t e g r a b l e t oc o m p l e t et h ep r o o fw en o t et h a tw ed i dn o tr e a l l yh a v et o u s eas m o o t ht e s tf u n c t i o n 妒曙( q ) t h es a m ea r g u m e n t sw o r kf o rn o n - n e g a t i v e l i p s c h i t zf u n c t i o n s i f 妒曙( q ) c h a n g e ss i g n ，w ec a l la p p l y ( 4 7 ) t ot h ep o s i t i v ea n d n e g a t i v ep a r t so f 妒r e s p e c t i v e l y t h ei d e n t i t ya t ( 4 7 ) r e m a i n sv a l i df o ra l lt e s tf u a c t i o n s ： c o m p l e t i n gt h ep r o o fo ft h e o r e m4 4 1 0 i 川 c h a p t e r4 t h e 1i n t e g r a b i l i t ) t h e o r e m4 5u n d e rt h es a l l l ec o n d i t i o n sw i t ht h e o r e m4 4 ，i f ，l f + 1c o o r d i n a t e f u n c t i o n so f = ( ，1 ，厂2 ，。，“) l i e si n 譬p ( b ) f o rs o m er e l a t i v e l yc o m p a c ts u b d o m a i n bcq ，t h e nf o ra n yo r d e r e d & t u p l e si = ( i a ，i t ) a n dj = ( j l ，r 一，五) ， a l m o s te v e r y w h e r ei nb 堂：掣尘：! 掣三。 一= ：- - - - - - - - - - 一一i ， o x s a ( ，z j 2 ，t t 见) 一。 p r o o fi ti sn ol o s so fg e n e r a l i t yt oa s s u m ef 1 咭尸( 台) t h e ni t se x t e n s i o nb y z e r ol i e si n 1 ，p ( q ) a n dw eh a v e o ( f ，“， o ( z j 。，乃：， = 0 o u t s i d eb ，c o n s i d e rat e s tf u n c t i o n 妒c 铲( q ) e q u a lt o1o nb ，t h e n 1 b d j 乱八由 2 a-ad l 嘲八d x n j z 妒( z )