（基础数学专业论文）向量均衡问题的研究.pdf

at h e s i si nf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s s t u d y o nv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s b y l vy o u s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rs u nt a o n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y d e c e m b e r2 0 0 7 9删5 舢2jijj坩_4 舢8iii- 胛y 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学 位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： j 1 ，一 东北大学硕士学位论文摘要 向量均衡问题的研究 摘要 均衡理论是数理经济的一个重要部分自从d e b r e u 证明了著名的均衡存在性 定理之后，不少国内外学者对均衡理论这一课题进行了广泛的研究，并取得了许 多优秀的成果，同时均衡理论的发展又促进了变分不等式理论、不动点理论、优 化理论等数学研究领域的不断深入 均衡问题的解的存在性是均衡理论研究的中心问题针对一般的均衡问题和 向量均衡问题解的存在性，已有许多研究成果，受到这些成果的启发，本文主要 从理论上较为系统的研究了一类向量均衡问题 1 对于向量均衡问题解的存在性，大多数学者通常是采用不动点定理、极大 元定理等方法来进行研究，本文在不动点定理的基础上，引进了拓扑伪单调映射， 然后利用拓扑伪单调的方法对具有伪单调性与没有单调性的向量均衡问题进行了 深入研究，并引进了向量函数的( 木) 拟凹的概念，讨论了解的连通性最后，作为 应用，研究了向量变分不等式与向量优化问题解的存在性 2 利用通常的向量均衡问题解的存在性结果，通过引入适当的参数集合，得 到了一类参数向量均衡问题，并用同样的方法证明了解的存在性以及解映射的连 续性作为应用，得到一类参数向量优化问题和参数向量变分不等式解映射的连 续性， 3 在某种凸性条件下，讨论了一类新的具有移动锥的参数向量均衡问题，利 用参数向量均衡问题解的存在性结果，证明了解的存在性以及解映射的连续性， 并得到一类广义参数向量优化问题和广义参数向量变分不等式解映射的连续性 关键词：向量均衡问题；解映射；连续性；向量变分不等式；向量优化问题 。lr； l 一 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t s t u d y o nv e c t o r e q u i l i b r i u mp r o b l e m s a b s t r a c t e q u i l i b r i u mt h e o r yi si m p o r t a n ti nm a t h e m a t i c a le c o n o m i c s s i n c et h ee x i s t e n c eo f e q u i l i b r i u mi na l la b s t r a c te c o n o m yw h i c hc o m p a c ts t r a t e g ys e ti nrw a sp r o v e di na s e m i n a lp a p e ro fd e b r e u ，m a n yf a m o u ss c h o l a r sh a v es t u d i e di t ，a n dt h e r eh a v eb e e n m a n yg e n e r a l i z a t i o no fd e b r e u st h e o r e m a tt h es a m et i m e ，t h ed e v e l o p m e n to f e q u i l i b r i u mt h e o r ys t i m u l a t e st h es t u d yo fm a n yf u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c a lf i e l d ss u c h a sv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yt h e o r y , o p t i m i z a t i o nt h e o r ya n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r y t h es o l u t i o ne x i s t e n c eo fe q u i l i b r i u mp r o b l e m si st h ek e r n e lo ft h es t u d yo ft h e t h e o r yo fe q u i l i b r i u m a c c o r d i n gt o t h ee x i s t e n c er e s u l t so fg e n e r a le q u i l i b r i u m p r o b l e m sa n dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m sh a v eb e e ns t u d i e dm o r ea n dm o r e i n s p i r e d a n dm o t i v a t e db yt h e s er e s e a r c hr e s u l t s ，t h i sp a p e ri sd e v o t e dt os t u d ys y s t e m a t i c a l l ya c l a s so fe q u i l i b r i u mp r o b l e m s 1 m a n ys c h o l a r su s u a l l yu t i l i z et h em a x i m a le l e m e n tt h e o r e m sa n dt h ef i x e dp o i n t t h e o r e m st os t u d ye x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s i nt h i sp a p e r , t o p o l o g i c a lp s e u d o m o n o t o n em a p p i n gi si n t r o d u c e da n dv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m so f p s e u d o m o n o t o n i c i t ya n dn o n m o n t o n i c i t ya r ef u r t h e r l yd i s c u s s e do nt h eb a s i so ft h e f i x e dt h e o r e m s b yu s i n g ( * ) 一q u a s i c o n c a v i t yo fv e c t o rm a p p i n g s ，c o n n e c t e d n e s so 、f s o l u t i o n si s p r e s e n t e d a tl a s t ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o rv e c t o r v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m st os e r v ef o ra p p l i c a t i o n 2 a c c o r d i n gt ot h ee x i s t e n c er e s u l t so fg e n e r a le q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，at y p eo f p a r a m e t r i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m i so b t a i n e do nt h e b a s i so fs o m ep r o p e r p a r a m e t r i cs e t t h ee x i s t e n c et h e o r e ma n dc o n t i n u i t yp r o p e r t i e so fi t ss o l u t i o nm a p p i n g a r ep r o v e di nt h es a m ew a y a si t sa p p l i c a t i o n s ，t h ec o n t i n u i t yo fs o l u t i o nm a p p i n g sf o r ac l a s so fp a r a m e t r i cv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e ma n dp a r a m e t r i cv e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yi so b t a i n e d 3 an e wt y p eo fp a r a m e t r i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e mw i t hm o v i n gc o n e si s n i 4f，。，o a b s t r a c t 东北大学硕士学位论文 i n t r o d u c e do nt h eb a s i so fs o m ec o n v e x i t ya n dt h ee x i s t e n c et h e o r e ma n dc o n t i n u i t y p r o p e r t i e so fi t s s o l u t i o nm a p p i n ga r ep r o v e da c c o r d i n gt ot h ee x i s t e n c er e s u l t so f p a r a m e t r i cv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s a si t sa p p l i c a t i o n s ，t h ec o n t i n u i t yo fs o l u t i o n m a p p i n g sf o rac l a s so fg e n e r a l i z e dp a r a m e t r i cv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n d p a r a m e t r i cv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i l i e si so b t a i n e d k e yw o r d s ：v e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m ；s o l u t i o nm a p p i n g ；c o n t i n u i t y ；v e c t o r v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；v e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m i v ，lo 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要一i i a b s t r a c t i i i 第一章引言及预备知识1 1 1 引言1 1 2 预备知识3 第二章向量均衡问题解的存在性与连通性7 2 1 不具有单调性的向量均衡问题7 2 2 具有伪单调性的向量均衡问题8 2 3 解的性质1 3 2 4 应用15 2 4 1 向量变分不等式的解1 5 2 4 2 向量优化问题的解1 7 第三章参数向量均衡问题1 9 3 1 参数向量均衡问题及其特殊情形1 9 3 2 解的性质2 0 3 3 应用2 4 第四章具有移动锥的参数向量均衡问题。2 7 4 1 具有移动锥的参数向量均衡问题及其特殊情形2 7 4 2 解的性质2 8 v 旦一一 东北大学硕士学位论文 3 2 3 5 3 7 3 9 东北大学硕士学位论文第一章引言及预备知识 1 1 引言 第一章引言及预备知识 设k 是一非空集合，r 是实数集，f ：k xk 专r 是给定的实值二元函数，所 谓均衡问题( 简记为e p ) 是指：求x k 满足 ( e p )f ( x ，y ) o ，v y k 众所周知，均衡问题( e p ) 具有非常广泛的应用背景和深远的应用前景，它与优化 问题、变分不等式、博弈论、算子研究、工程与力学中的一些非线性分析问题有 着十分密切的联系n 吖1 1 9 5 0 年，美国数学家纳什( n a s h ) 在冯诺伊曼( y o nn e u m a n n ) 二人零和对策的 基础上，用不动点定理证明了n 人有限非合作对策均衡局势的存在性，从而建立了 著名的n a s h 均衡理论；1 9 6 5 年和1 9 7 5 年，泽尔藤( s e l t e n ) 将n a s h 均衡的概念引 入动态分析，提出了精炼n a s h 均衡的概念；1 9 6 7 年一1 9 6 8 年，海希尼( h a r s a n y i ) 将不完全信息引入n a s h 均衡理论，这些工作使得n a s h 均衡理论在经济领域中的 应用范围不断扩展半个多世纪以来，有关n a s h 均衡理论存在性方面的研究在国 际学术届一直十分活跃 1 9 6 6 年，由h a r t m a n 和s t a m p a c c h i a 船5 1 首先在有限维的欧几里德空间中提出和 创立了变分不等式的基本理论此后，经过许多数学工作者的努力，变分不等式 理论成为一门内容十分丰富的边缘学科 在社会经济活动中，我们遇到的一般都是多目标优化问题，因此，对向量优 化问题系统的研究，有着深刻的现实意义我国学者陈光亚等人早在上个世纪8 0 年代就对变分不等式和向量优化问题进行了研究；此后，b l u m 和o e t t l i 对这一问 题进行了推广，提出了均衡问题；2 0 0 2 年，q h a n a s r i 等人又把向量均衡问题推 广到了集值的情形并证明了这类均衡问题解的存在性；随后，许多学者对向量均 衡问题解的存在性进行了深入而卓有成效的推广和研究 本章始终假设x ，y 均为h a u s d o r f f 拓扑向量空间，k 为x 中的非空闭凸子集， 集值映射c ：k 专2 r ，v x k ，c ( x 1 是】，中以0 为顶点的闭凸点锥，且内部 第一章引言及预备知识东北大学硕士学位论文 缸c ( x ) 设给定的向量值函数f ：k xk 寸】，所谓向量均衡问题( 简记为班1 p ) 有下列 两种基本类型： 第一型向量均衡问题是指：求x k 满足 ( 肿)f ( x ，y ) , , - i n t c ( x ) ，v y k 第二型向量均衡问题是指：求x k 满足 ( 肿)f ( x ，j ，) 萑z ( x ) o ，渺k 显然，若z 是第二型向量均衡问题的解，则它也是第一型向量均衡问题的解 本文主要研究第一型向量均衡问题 向量均衡问题的特殊情形： ( i ) 若给定丁：k 专l ( x ，y ) ，秒：k xk 专x ，则( 陋p ) 变成了下面的广义向量 变分不等式：求x k 满足 ( g w i )( 丁( x ) ，o ( y ，x ) ) 诺- i n t c ( x ) ，砂k 其中l ( x ，】，) 表示从x 到】，的全体连续线性算子空间，p ( x ) ，y ) 表示算子丁( x ) 在 y 点的值当】，= r 时，有l ( x ，y ) = x 一x 的拓扑对偶空间，且v x ek ，令 c ( x ) = r - o ，悯) ，则上面的( g 朋) 简化为b e h e r a n a y a k 乜3 所考虑的非线性变 分不等式问题 ( i i ) 若给定g ：k 专k ，则( i ) 中的( g 朋) 变为：求x k 满足 ( g v v i )( 丁( x ) ，y - g ( x ) ) 萑- i n t c ( x ) ，v y e k 这是 1 和 7 所研究的问题 ( i i i ) 宅e ( i i ) 中，若令j ，= r ，t ：k 专x + ，且垤k ，令c ( x ) = r - - o ，佃) ， 则( i i ) 变为下面的向量变分不等式：求x k 满足 ( v v l )( 丁( x ) ，y - g ( x ) ) o ，跏k 该向量变分不等式问题已经在 4 和 6 中被研究过若令g = i ( 恒等映射) ，则 ( v v ) 简化为著名的h a r t m a n s t a m p a c c h i a 变分不等式问题，由 3 和 5 研究 在每点x x 均上半连续； ( i i ) 称丁在点x x 是下半连续的( 简记为1 s c ) ，如果对于任何开集y ， t ( x ) n v 矽，均有x 的开邻域u ( x ) ，v z u ( x ) ，有丁( z ) n 矿矽；称丁在x 下半 连续，若丁在每点x x 均下半连续； ( i i i ) 称丁在x 是连续的，若丁在x 既上半连续，又下半连续： ( i v ) 称丁为闭映射，若它的图像g ，丁= ( x ，少) x 】，i y 丁( x ) ) 是x l ，中的闭 子集 注1 2 1 当丁是一个( 单值) 映射时，我们用符号代替c ，此时上半连续性 与下半连续性均等价于连续性很明显，上述定义包含了实函数的连续性定义 定义1 2 2 设】，是实数域上的拓扑向量空间，称ccy 为闭凸点锥如果满 足以下条件： ( i ) c + c c ； ( i i ) 对任意的a o ，佃) ，有肥c ； ( i i i ) c n ( - c ) = 0 第一章引言及预备知识 东北大学硕士学位论文 注1 2 2 若c 是y 中的一个闭凸点锥，则记i m c 为锥c 的内部注意到，此 时，一c 也是y 中的闭凸点锥 定义1 2 3 称函数厂g ) 为凹的，若对于v 五 o ，1 】，而r ”，有 厂( 五而+ ( 1 - a ) x 2 ) - 兄厂( 五) + ( 1 一a ) 厂( 而) 如果当五( o ，1 ) 时，上面的不等式严格成立，则称厂g ) 为严格凹的 命题1 2 1 ( i ) 函数m ) 是凸的当且仅当函数一厂( x ) 是凹的； ( i i ) 厂g ) 为严格凸函数当且仅当- f ( x ) 为严格凹函数 拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而 这类函数在经济学中有着广泛的应用，关于拟凹函数的定义如下： 定义1 2 4 函数厂g ) 定义在r ”中的子集d 上，称函数厂g ) 是拟凹的，若对 - 于v 2e 【o ，1 】，弘，x 2 d ，有 f ( x x , + ( 1 - , 4 , ) x 2 ) 2 m i n ( f ( x i ) ，( 而) ) 显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数在 图1 1 中，函数厂g ) 是拟凹的，但不是凹的 0 五x2 x 图1 1 不是凹函数的拟凹函数 定义1 2 5 设f ：k xk y ( i ) 称厂( x ，y ) 关于y 是c ( x ) 凸的，若对于任何固定的x k ，y 2 k ， v 五【o ，1 】，有 第一章引言及预备知识 l 一无) 厂( x ，y 2 ) - f ( x ，2 , y l + ( 1 一五) 儿) c ( x ) ； 是c ( x ) 凹的，若对于任何固定的x k ，v y , ，y 2 k ， 1 一五) 厂( x ，y 2 ) - f ( x ，2 y l + ( 1 一五) 奶) 一c ( x ) ； y 是仿射的，若对于任何固定的x k ，v y , ，y 2 k ， + ( 1 - t ) y ：) = 矿( x ，m ) + ( 1 一o f ( x ，y ：) 一】，是一个向量值二元函数，在上述定义中，易证： i ( x ，y ) 关于y 是c ( x ) 凸的当且仅当对于任何固定的x k ，有 厂lx ，五 i e z , s ( x , y ，) 一c ( x ) ， t = l i = 1 对所有的只k ，乃【0 , 1 】，i = 1 ，2 ，刀及五= lh - 茈立 注1 2 4 若y 一( ，y ) 是仿射的，则y 厂( ，y ) 是c ( x ) 凸的 定义1 2 6 膪1 设多值映射f ：k 专2 给定，称f 为k k m 映射，如果 v 五，砭，矗 ck ，c 。( 五，恐，矗) cg ，( 薯) ，其中c o ( ) 表示集合的凸包 引理1 2 1 丁是闭的铮对于任意的网 屹) cx ，- - - 争x ，以及网虼r ( x o ) ， 且虼一y ，有y t ( x ) 引理1 2 2 ( f a n - k k m 引理) 嘲设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 中的非空凸 子集，f ：k 专2 x 为k k m 映射，如果k ，f ( x ) 为x 中的闭子集，且至少有 k 使得f ( 而) 是紧集，贝, t l ，f 。k 1f ( x ) 矽 引理1 2 3 ( k yf a n 截口定理) 5 3 设k 是h a u s d o r f f 拓扑向量空间x 中的非空 凸子集，ac k xk 满足： ( i ) v x k ，( 石，x ) ea ； 第一章引言及预备知识 东北大学硕士学位论文 ( i i ) 砂k ，集合4 = x k l ( x , y ) 彳 是k 中的闭子集； ( i i i ) 眠k ，集合4 = y k l ( x , y ) 诺4 是凸的或空集； ( i v ) 存在k 中的非空紧凸子集d ，使得b = x ek l ( x , j ，) 么，砂d ) 是紧的 则砜k 使得 ) kc a 引理1 2 4 1 设】，是一个b a n a c h 空间，c 是y 中非空闭凸点锥，r i n t c 矽， 则i n t c + c i n t c 沣1 2 5 引理1 2 4 在一般的h a u s d o r f f 拓扑向量空间中也成立 象； ( i v ) 存在k 的非空紧凸子集d ，v x k d ，3 y d 满足 j f ( x ，y ) - i n t c ( x ) 则甄k 满足( 只y ) 仨- i n t c ( i ) ，v y k 证明令么= y ) k k i ( x , y ) 仨- i n t c ( x ) ) ( i ) 由( i i ) 知，v x k ，( x ，x ) a ( i i ) 砂k ，集合4 = z x l ( x ，y ) a ) 是k 中的闭子集 事实上，设网 c4 ，且矗岭，要证：x o 4 因为4 ，故有( ，y ) 仨一i m c ( x , , ) ，即厂( 屹，y ) w ( x o ) 于是网 ( x o ，厂( 屯，夕) ) ) cg 厂( ) ，这里g ，( 形) = ( z ，z ) k 】，卜( x ) ) 表示形的图象 由2 f z f ( x ，j ，) 关于x 是连续的，且西( 缈) 闭，可得 ( 屹，( 屹，少) ) 寸( j c o ，f ( x o ，少) ) g ，( 形) ， 7 第二章向量均衡问题解的存在j 生与连通性 东北大学硕士学位论文 耳pf ( x o ，y ) w ( x o ) = r ( - i n t c ( x o ) ) ，故得4 ( i i i ) v x k ，集合4 = y x l ( x ，y ) 叠a ) 是凸的或空集 设4 矽( 溉k ) ，任取咒，y ：4 ，兄【o ，1 】，记夕= 名m + ( 1 2 ) y 2 ，要证： 夕4 由只4 ，得厂( x ，y , ) - i n t c ( x ) ，i = 1 ，2 由于c ( x ) 是凸锥，故有 2 f ( x ，y 1 ) + ( 1 - o f ( x ，y 2 ) e - i n t c ( x ) ( 1 ) 由于厂( x ，y ) 关于y 是c ( x ) 凸的，可得 f ( x ，夕) 2 f ( x ，m ) + ( 1 一a ) 厂( x ，y 2 ) 一c ( x ) ( 2 ) 由( 1 ) 和( 2 ) 得： f ( x ，歹) 一i n t c ( x ) 一c ( x ) 一i n t c ( x ) 这表明：夕4 ( i v ) 令b = x g l ( x , y ) a ，v y d ) ，则b 为d 的闭子集 事实上，若x k d ，由条件( i v ) ，3 y d 满足厂( x ，y ) - i n t c ( x ) ，这表明： 砂d ，使得( x ，y ) 正么，所以x 芒b ，故得bc d 易见b 2 旦4 ，而4 闭，故b 为d 的闭子集已知d 是紧的，因而b 是紧的 综上，由k yf a n 截口定理，了i k 使得 i kc a ，即 厂( i ，y ) 仨一i i l t c ( i ) ，v y k 推论2 1 1 设f k xk 一】，且v x k ，c ( x ) - - c 是y 中的闭凸点锥， i m c ，厂满足定理2 1 1 的全部条件，则 i k 满足厂( i ，y ) 萑- i n t c ，v y k 2 2 具有伪单调性的向量均衡问题 定义2 2 1 设f ：k xk 专】， ( i ) 称f 是弱c 一伪单调的，如果v x ，y e k ，有f ( x ，y ) 萑一血c ( x ) 蕴含 f ( y ，x ) 叠i n t c ( y ) ； 与连通性 有 ( x ) 蕴含 x ，z k ， 先证明线性化引理的推广，即下面的命题2 2 2 与命题2 2 3 命题2 2 2 设映射f ：k x k 一】，满足 ( i ) v y k ，f ( x ，y ) 关于x 是半连续的； ( i i ) 厂是弱c 一伪单调的； ( i i i ) v x k ，f ( x ，y ) 关于y 是仿射的； ( i v ) v x k ，( z ，x ) c ( x ) ； ( v ) 集值映射：k 专2 r ，觇k ，( x ) = 】，( 一i n t c ( z ) ) 有闭图象 则下列等价： ( i ) x e k 满足厂( x ，y ) 诺- i n t c ( x ) ，砂k ； ( i i ) x k f ( y ，x ) 萑i n t c ( y ) ，v y k 证明( i ) j ( i i ) 由定义即得 ( i i ) j ( i ) 设z k 是( i i ) 的解令助k ，t e ( 0 , 1 】，召= x + ，( y x ) ，由( i i ) ， 第二章向量均衡问题解的存在性与连通性东北大学硕士学位论文 ( 乞，x ) f ti n tc ( z t ) ( 3 ) 要证： s o , ，y ) 萑- i n t c ( z t ) ( 4 ) 若不然，则 厂( 乙，y ) e - i n t c ( z t ) ( 5 ) 由条件( i i i ) 和( 5 ) ， 厂( z f ，乙) = 矿( 刁，y ) + ( 1 一t ) f ( z t ，x ) e i n t c ( 弓) + ( 1 一f ) 厂( z f ，x ) ， 所以 ( 1 - t ) f ( z t ，x ) e 厂( 刁，乙) + i n t c ( 乞) c ( z f ) + i m c ( 刁) i n t c ( z , ) 由于c ( 乙) 为凸锥，故得厂( 乙，x ) i n t c ( z ，) ，这与( 3 ) 矛盾，故( 4 ) 成立 由( 4 ) 知，( 刁，厂( z f ，y ) ) o r ( r e ) 由于厂( x ，j ，) 关于工是半连续的，且函( 形) 闭， 可得，1 i m 。+ z t ，厂( z f ，y ) ) = ( x ，厂( x ，y ) ) 函( ) ，即厂( x ，y ) 正一i n t c ( x ) ，这表明x 是( i ) 的解 完全类似，可以证明下列的命题2 2 3 命题2 2 3 设f ：k x k 专y 满足 ( i ) 砂k ，f ( x ，y ) 关z j ：x 是半连续的； ( i i ) 厂是c 一伪单调的； ( i i i ) v x k ，f ( x ，y ) 关于y 是仿射的； ( i v ) v x k ，f ( x ，x ) 仨一i n t c ( x ) ； ( v ) 集值映射形：k j 2 r ，v x k ，形( x ) = 】，( 一缸c ( x ) ) 有闭图象 则下列等价： ( i ) x k 满足厂( x ，y ) 仨- i n t c ( x ) ，渺k ： ( i i ) x k 满足厂( y ，x ) 一c ( y ) ，v y k 定理2 2 1 设k 为x 中的非空紧凸子集，f ：k xk j 】，满足命题2 2 2 的全 东北大学硕士学位论文 第二章向量均衡问题解的存在性与连通性 部条件，并且满足 ( v i ) v x ek ，f ( x ，y ) 关于y 是连续的 则翦k 满足厂( i ，y ) 萑- i n t c ( y ) ，砂k 证明v y k ，令 ( i ) 互是k k m 映射 e ( y ) = x s q s ( x ，j ，) 仨一i n t c ( x ) ， f 2 ( y ) = x e k i f ( y ，x ) 叠i n t c ( y ) 若不然，则现，儿，k ， ，五，丸o ，五= l ，以及 i = 1 歹= 丑只仨u e ( 咒) ，于是 f - lf = l 厂( 只以) - i n t c ( y ) ，扛1 ，2 ，刀 因c ( 歹) 为凸锥，由条件( i i i ) ，再利用上式可得 f ( y ，y ) ：z x , f ( y ，y ，) e - i n t c ( y ) ( 6 ) 由( 6 ) 和条件( i v ) ，f ( y ，歹) c ( 歹) n ( 一i n t c ( 歹) ) c ( 歹) n ( 一c ( 歹) ) ，但c ( 歹) 为点 锥，故有c ( 歹) n ( 一c ( 歹) ) = o ) 由此可知：f ( y ，歹) = o ，再由( 6 ) 知，o e i n t c ( y ) ，这是不可能的，因为c ( 歹) 是以原点为顶点的闭凸点锥因此，互是k k m 映射 ( i i ) 由命题2 2 2 ，r y e k ，互( y ) c e ( y ) ，故五也是k k m 映射 ( i i i ) 砂k ，最( y ) 是k 的闭子集 事实上，设网 k c 最( y ) ，且屹专，要证：x o f 2 ( y ) 因为屹e ( y ) ，所以厂( y ，x 。) ey i n t c ( y ) 由于厂( x ，少) 关于y 是连续的， 而y i m c ( y ) 是闭的，故得厂( y ，屹) 寸厂( 少，j c o ) y i n t c ( y ) ，即而f 2 ( y ) 第二章向量均衡问题解的存在性与连通性东北大学硕士学位论文 ( i v ) 由于k 是紧集，则存在k ，使得最( ) 是紧集 综上，由f a n - k k m 引理知，ne ( y ) 矽当i ne ( y ) 时，有 y e k y e k f ( y ，f ) 盛i n t c ( y ) 由命题2 2 2 知，厂( i ，j ，) 仨一i n t c ( i ) ，r y ek 下面是定理2 2 1 的非紧性推广 定理2 2 2 设k 为x 中的非空闭凸子集，f ：k x k 专】，满足定理2 2 1 的全 部条件，并且满足 ( v i i ) 存在k 中的非空紧凸子集d ，v x k d ，3 y d 满足 f ( x ，y ) - i n t c ( x ) 则3 f k 满足( i ，y ) 仨一i m c ( i ) ，v y k 证明v yek ，令d ( y ) = x d i f ( y ，x ) 萑i n t c ( y ) 先证：nd ( y ) 由于d 是紧集，仅需证明：砂k ，d ( y ) 是d 的闭子 y e x 集，并且集族 d ( y ) l y k ) 具有有限交性质 ( i ) v y k ，d ( y ) 是d 的闭子集 事实上，设网 ) cd ( y ) ，且屹专，要证：x o d ( y ) 因为d ( y ) ，所以厂( y ，) y i n t c ( y ) 由于厂( x ，y ) 关于y 是连续的， 而】，i m c ( y ) 是闭的，i 玫得f ( y ，屹) 专厂( y ，x o ) y i n t c ( y ) ，即x o d ( y ) ( i i ) 集n d ( y ) i y k ) 具有有限交性质 设 m ，y 2 ，虼) ck ，要证：n d ( m ) 矽为此令e = c d ( d u 乃，奶， ) ， j = l 则e 为k 的紧凸子集由定理2 2 1 ，甄e 满足 f ( - e ，y ) 茌一n c ( i ) ，e ( 7 ) 由于厂是弱c 一伪单调的，由( 7 ) 得 f ( y ，2 ) 萑i n t c ( y ) ，e ( 8 ) v 2 0 ，1 】，记z = 五x + ( 1 2 ) y ，有x ( 乃( z ) ) x 。( 厅( x ) ) 或x ( 办( z ) ) x + ( ( y ) ) ，其 中c = x x v x c ，x + ( x ) o 是锥c 的对偶锥 易见，( 木) 拟凹性是通常数值函数拟凹性的推广 先讨论不具有单调性的向量均衡问题的解集 定理2 3 1 设f ：k x k 专】，且v x k ，c ( x ) 兰c 是】，中的闭凸点锥， i n t c 矽，f 满足定理2 1 1 的全部条件，并且满足 ( v ) v y k ，f ( x ，y ) 关于x 是( 宰) 拟凹的 则定理2 1 1 的向量均衡问题的解集 e = i k i f ( x ，y ) 萑- i n t c ，砂k 是k 的非空闭凸子集，因而是连通集 证明由定理2 1 1 知，e 矽对渺k ，s ( x ，y ) 关于x 是连续的，易见e g _ - 章向量均衡问题解的存在性与连通性东北大学硕士学位论文 是k 的团子集f 证e 是凸集 若e 不是凸的，则弘，恐e ，五【o ，1 】，i = 名而+ ( 1 - 2 ) x 2 ，使得i 叠e 于 是可k 使得厂( 瓦歹) 一i n t c 取x + c o ) ，则有 x ( 厂( i ，歹) ) o ( i i ) 因为薯e ，所以厂( 歹，薯) 萑m c ( 歹) ，i = l ，2 于是 z ( ( 歹，葺) ) o ，i = l ，2 ( 1 2 ) 由于厂( 歹，x ) 关于x 是仿射的，并利用( 1 2 ) ，得 一l 正一 部条 是k 的非空闭凸子集 定理2 3 3 设f ：k x k 寸】，是严格c 一伪单调映射，且满足定理2 2 2 中除 ( i i )