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不同边界条件功能梯度压电矩形板的静力问题研究 摘要 近年来，功能梯度压电结构力学行为的研究得到了很大的发展。本文利用 状态变量法，通过引入相应的边界位移函数，探讨了材料性质在梯度变化下， 不同边界条件功能梯度压电板的静力问题。 从三维弹性理论和压电学理论出发，通过假设相应的边界位移函数，推导 不同边界条件下功能梯度压电板的状态方程，并运用状态变量法以及层间连续 条件，在每一层端点处应用配点法，给出了满足周边和上、下表面所有边界条 件的解析解。 考虑功能梯度压电板的材料常数沿板的厚度方向按照多项式函数、指数函 数、幂函数、正弦函数规律变化，研究了不同边界条件( 四边固支、两对边固支 两对边简支、两对边自由两对边简支) 功能梯度压电板的静力问题，给出了对边 固支、对边简支功能梯度压电板的算例，并讨论了材料性质的梯度变化以及板 的几何尺寸对挠度和应力场的影响，绘出挠度和应力场随物性参数、板几何尺 寸变化的趋势图，得到一些有价值的结论。 本文将状态变量法的运用到具有固支边、以及两对边自由、两对比简的功 能梯度压电板上来，并通过不同的材料梯度、板几何尺寸变化对挠度和应力场 影响的比较，为功能梯度压电结构设计及材料优化提供一定参考依据。 关键词：功能梯度压电材料，物性参数，状态变量法，边界位移函数，解析解， m a t h e m a t i c a j t h es t a t i ca n a l y s i so ff u n c t i o n a l l yg a d e dp i e z o e l e c t r i c r e c t a n g u l a rp l a t e su n d e rv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s a b s t r a c t i nr e c e n t y e a r s r e s e a r c h ont h eb e h a v i o ro ff g p ms t r u c t u r e sh a s g e t d e v e l o p m e n th e a v i l y o nt h eb a s i s o fag r a d i e n tm o d e l ，t h es t a t i c a n a l y s i so f f u n c t i o n a l l yg a d e dp i e z o e l e c t r i cr e c t a n g u l a rp l a t e s u n d e rv a r i o u sb o u n d a r y c o n d i t i o n si si n v e s t i g a t e dv i at h es t a t ev e c t o rm e t h o da n da s s u m i n ga p p r o p r i a t e b o u n d a r yf a n c t i o n si nt h i sp a p e r b a s e do nt h et h e o r i e so f3 de l a s t i c i t ya n dp i e z o e l e c t r i c i t ya nb ya s s u m i n g a p p r o p r i a t eb o u n d a r yf u n c t i o n s ，s t a t ee q u a t i o n so ff u n c t i o n a l l yg a d e dp i e z o e l e c t r i c r e c t a n g u l a rp l a t e su n d e rv a r i o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e d b yt h es t a t e v e c t o rm e t h o d a n a l y t i c a ls o l u t i o n st h a ts a t i s f ya l lt h eb o u n d a r ye o n d i t o n sa tf o u r e d g e s ，a sw e l la su p p e ra n db o t t o ms u r f a c e s ，a r ep r e s e n t e d s i n c et h es p e c i a l i t yo ft h ef u n c t i o n a l l yg r a d e d em a t r i a l ，o nt h ea b s i so ft h e f r a c t i o np o w e rf u n e t i o n ，e x p o n e n tf u n c t i o n ，s i n ef u n c t i o ng r a d i e n tm o d e l s ，s e v e r a l s n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e na n dw o r ko u tt h er e l e v a n tc o m p u t a t i o np r o c e d u r ef o r t h o s ee x a m p l e sb ym a t h e m a t i c aa n dm a t l a b t h i sp r o c e d u r ecanb eu s e dt os t u d y d i f f b r e n t f u n e t i o n a l l yg r a d e d m a t e r i a l sm o d e l sa n dd i f f e r e n t g e o m e t r i c a l d i m e n s i o n sw h i c ha f f e c tt h ed i s p l a c e m e n ta n dt h es t r e s sf i e l d w ec a nd r a wo u tt h e v a r y i n gc u r v e s o fs t a t ev e c t o r sa l o n gp l a t et h i c k n e s sd i r e c t i o n ，s o m ev a l u a b l e c o n c l u s i o n scanb ea v a i l a b l ew i t hn u m e r i e a le x a m p l e s t h es i g n i f i c a n c eo ft h et h e s i si st oa p p l yt h es t a t i cv e c t o rm e t h o di nt h es t a t i c a n a l y s i s o ff u n c t i o n a l l yg a d e d p i e z o e l e c t r i cr e c t a n g u l a rp l a t e s u n d e rv a r i o u s c o n d i t i o n s d i s c u s s i o n sont h ee f f e c to ft h ed i f f e r e n tf u n c t i o n a l l yg r a d i e n e tm a t e r i a l m o d e l sa n dd i f f e r e n tg e o m e t r i c a ld i m e n s i o n so nt h ed i s p l a c e m e n ta n dt h es t r e s s f i e l d ，i ta l s oc a l ls u p p l yac e r t a i nr e f e r e n c et of u n c t i o n a l l yg r a d e d ep i e z o e l e c t r i c s t r u c t u r ed e s i g na n dm a t e r i a l so p t i m i z a t i o n k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ，p h y s i c a lp r o p e r t yp a r a m e t e r , s t a t ev e c t o rm e t h o d ，b o u n d a r yd i s p l a c e m e n tf u n c t i o n ，r e c t a n g u l a rp l a t e s ， a n a l y t i c a ls o l u t i o n ，m a t h e m a t i c a 插图清单 图l 功能梯度材料示意图2 图2 金属陶瓷构成的材料特性2 图4 上下层面物参已知的f g p m 板结构示意图8 图5c - 9 1 与p z t m 构成的功能梯度压电板9 图6 在厚度方向形状因子p 对c l l 的影响9 图7 底面物参已知的f g p m 板结构示意图。l o 图8c 9 l 与p z t - 4 构成的功能梯度压电板1 l 图9c 1 1 在不同梯度分布情况下随厚度的变化1 1 图1 0 四边固支示意图1 7 图l l 对边固支示意图( 一) 1 7 图1 2 对边固支示意图( 二) 1 8 图1 3 三边固支示意图1 8 图1 4 一边固支示意图1 9 图1 5 程序流程图3 6 图1 6 前处理程序流程图3 6 图1 7 后处理程序流程图3 6 图1 8 主程序流程图3 7 图1 9 算例l 的计算模型a 。3 8 图2 0 算例1 的计算模型b 。3 8 图2 1“，随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 4 0 图2 2 。随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 4 0 图2 3i ：随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 4 0 图2 4 妒随板厚的变化趋势图( v ) 一4 0 图2 5 o x 随板厚的变化趋势m ( n m 2 ) 4 1 图2 6 仃，随板厚的变化趋势图( n ，m 2 ) 4 1 图2 7 仃，随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 4 1 图2 8 k 随板厚的变化趋势图( n i n 2 ) 4 1 图2 9 乞随板厚的变化趋势图( n l n 2 ) 且4 1 图3 0 随板厚的变化趋势m ( n m 2 ) 4 1 图3 ld ，随板厚的变化趋势图( 1 0 。9 c m 2 ) 4 2 图3 2d 。随板厚的变化趋势目f l ( 1 0 - 9 c m 2 ) 。4 2 图3 3d ，随板厚的变化趋势图( 1 0 - 9 c m 2 ) 。4 2 图3 4 甜，随板厚的变化趋势图( 1 0 4 m ) 4 3 图3 5 妒随板厚的变化趋势图( v ) 4 3 图3 6盯。随板厚的变化趋势图d i n 2 ) 4 3 图3 7盯。随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 4 3 图3 8 仃。随板厚的变化趋势i 羽( n m 2 ) 4 3 图3 9d ：随板厚的变化趋势图( 1q 9 c m 2 ) 4 3 图4 0 算例2 的计算模型a 。4 5 图4 l 算例2 的计算模型b 。4 5 图4 2 “。随板厚的变化趋势图( 1 扩l m ) 4 6 图4 3 “随板厚的变化趋势b a o o g m ) 4 6 图4 4 计，随板厚的变化趋势图( 1 0 。) 4 6 图4 5 妒随板厚的变化趋势图( v ) 4 6 图4 6 盯。随板厚的变化趋势图删抽2 ) 4 6 图4 7o r 。随板厚的变化趋势图( n 触2 ) 4 6 图4 8o r z 随板厚的变化趋势图( n 抽2 ) 。4 7 图4 9f 。随板厚的变化趋势i 墨l ( n m 2 ) 4 7 图5 0 气随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 4 7 图5 l f 。随板厚的变化趋势m ( n m 2 ) 一4 7 图5 2d ，随板厚的变化趋势 ( 1 0 9 c m 2 ) 4 7 图5 3 d 。随板厚的变化趋势图( 1 0 母c m 2 ) 4 7 图5 4d ：随板厚的变化趋势图( 1 0 母c m 2 ) 4 8 图5 5 随板厚的变化趋势图( v ) ，4 8 图5 6 盯，随板厚的变化趋势图( n 协2 ) 4 8 图5 7盯，随板厚的变化趋势图( n r n 2 ) 4 9 图5 80 r z 随板厚的变化趋势图( n i n 2 ) 4 9 图5 9“：随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 4 9 图6 0d ，随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 4 9 图6 1 1 4 。随板厚的变化趋势图( 1 0 母m ) 5 0 图6 2 “。随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 5 0 图6 3”，随板厚的变化趋势图( 1o 9 m ) 5 0 图6 4 妒随板厚的变化趋势图( v ) 。5 0 图6 5盯，随板厚的变化趋势图( n _ ，m 2 ) 5 1 图6 6o r 。随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 1 图6 7 o z 随板厚的变化趋势陲1 ( n m 2 ) 5 1 图6 8f 。随板厚的变化趋势1 羽( n m 2 ) 5 1 图6 9 气随板厚的变化趋势i 驰m 2 ) 5 1 图7 0 气随板厚的变化趋势图( n ，m 2 ) 5 1 图7 1d ，随板厚的变化趋势图( 1 0 。9 c i n 2 ) 5 2 图7 2d 。随板厚的变化趋势图( 1 0 9 c m 2 ) 。5 2 图7 3d 随板厚的变化趋势图( 1 。z 0 9 c m 2 ) 5 2 图7 4 两边自由两边简支的功能梯度压电板示意图5 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金壁王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：它移j ：j i i 坟 签字日期：知c 7 年臼佯日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒目王些盘堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权盒匿王些态堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 签字日期：西司年 毋狈 月f 于日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：安觚奇勃文圩阪 通讯地址： 3 新签名：玄谬套 一0 2 矗哆 导师签名：汐，az 签字醐习年局邺 电话t | ；0 醅苦s | 8 1 2 邮编： 致谢 本论文从选题、展开到最后的定稿，都得到导师方诗圣教授的悉心指导和 严格把关。方老师严谨的治学态度，高尚的品德，实事求是的精神给我留下了 极为深刻的印象。作为一名学者，方老师对科学发展的前沿领域以及新事物具 有敏锐的分析和把握能力，使我深受教益：作为师者，方老师忘我的工作态度 对我将来的工作很有教育意义，值得我学习，对我学习上方老师大力支持并且 严格要求；作为长者，方老师经常和我交流，关心我生活学习上的困难，并给 予热情帮助，使我终生难忘。在此，我谨向恩师致以最崇高的敬意和最良好的 祝愿! 师恩难忘! 感谢敬爱的父母对我的养育之恩! 不管身在何处总能够感觉到您们永远的 牵挂；不管我遇到多大的艰难险阻，您们的鼓励总能使我克服恐惧，勇往直前， 战胜一个一个的敌人，翻过一座一座的高山。 感谢土建学院的领导和老师，特别是王建国教授，在繁忙的工作中，抽出 时间，对论文进行指导。 感谢同窗好友朱霆、余振华等同学学习与生活上的帮助，同窗数载建立的 友谊终生难忘。 感谢师兄许在明、师弟柳彬彬、丁仕洪等的帮助，与他们一起讨论问题， 解决问题使我得到了不断的进步。 感谢我的工作单位安徽省电力设计院，为我提供了一个工作平台，在他们 的领导和关怀下，我相信将来一定能够成为公司的有用之才，为公司的发展尽 微薄之力。 最后，向一直以来，关心我及在成长过程中给予我支持和帮助的老师、同 学和朋友表示最衷心的感谢和最诚挚的问候! 作者：谢枫 2 0 0 6 年4 月 第一章绪论 1 1 功能梯度材料( f g m ) 简介 复合材料已在工程中得到广泛应用，然而传统的复合材料，由于由两种或 以上的不同均匀材料结合在一起而存在明显的界面，因此材料的物性参数如弹 性模量、热膨胀系数在该处不匹配，从而使得界面容易成为失效的源泉，界面 设计也就成为复合材料设计的重要课题。另一方面随着现代科学技术的进步， 超音速航天飞机、超音速民用交通、现代航天飞行器以及下一代电力系统装置 都对材料的设计与应用提出了新的要求。例如航天飞机的发展就面临许多技术 问题，特别在先进隔热材料方面，通常使用的陶瓷复合材料弥散强化陶瓷，已 经无法承受由于航天飞行环境中极端的温度梯度引起的高热应力。为了解决这 类问题，日本材料学家新野正之( m a s y u h in r n o ) 、平井敏雄( t o s h i oh i r a ) 和渡 边龙_ 2 ( r y u z o w a t a n b e ) 等在2 0 世纪8 0 年代中后期提出了功能梯度材料的概 念。此概念提出后，引起世界各国的广泛兴趣和关注，日本已将其列入日本科 学厅资助的重点研究项目，德国、法国、俄罗斯等欧洲发达国家相继开展f g m 的研究工作；1 9 9 3 年美国国家标准技术研究所开始开发以超高温耐热氧化保护 涂层为目标的大型功能梯度材料的研究项目；同时，中国政府也把f g m 的研 究列入国家高新技术的“8 6 3 ”计划。随着f g m 的研究和发展，其应用不再局 限于宇航工业，已扩展到核能源、电子材料、光学工程、化学工业、生物医学 工程等领域。 功能梯度材料的研究开发最早始于1 9 8 7 年日本科学技术厅的一项“关于开 发缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研究”计划【l 】。所谓功能梯度材料是 根据使用要求，选择使用两种不同性能的材料，采用先进的材料复合技术，使 中间的组成和结构连续呈梯度变化，内部不存在明显的界面，从而使材料的性 质和功能沿厚度方向也呈梯度变化的一种新型复合材料。也就是材料组分在一 定的空间方向上连续变化的一种复合材料。功能梯度材料示意图见图l 。由于 功能梯度材料的这种特点，因此它能有效地克服传统复合材料的不足1 2 】。正如 e r d o g a n 在其论文【3 】中指出的与传统复合材料相比功能梯度材料有如下优势： 1 ) 将功能梯度材料用作界面层来连接不相容的两种，可以大大地提高粘结 强度；2 ) 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力； 3 ) 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以及 应力自由端点的应力奇异性； 4 ) 用功能梯度材料代替传统的均匀材料涂层。既可以增强连接强度也可以 减小裂纹驱动力。 口口口口 口口口口一 口口口口口一 口口口口口口 口口口口口口 口口一口口口 口口 厚度方向 注；口代表组份不同的材料 图1 功彘梯度材料示意图 1 1 1 功能梯度材料的组成特点 从材料的组成方式看，功能梯度材料可分为金属陶瓷、金属，非金属、陶 瓷，陶瓷、陶瓷非金属和非金属塑料等多种结合方式。从组成变化看，功能梯 度材料可分为：功能梯度整体型( 组成从一侧到另一例呈梯度渐变的结构材料) ， 功能梯度涂覆型( 在基体材料上形成组成渐变的涂层) 和功能梯度连接型( 粘结 两个基体间的接缝呈梯度变化) 】。因在制各过程中，选取了两种或几种不同性 质的材料连续地控制材料的微观组成、结构和空隙形态与结合方式，使界面 的成分和组织呈连续性变化，因而材料内部热应力得以大大缓和，如图2 所示。 对高温侧壁采用耐热性好的陶瓷材料，低温侧壁使用导热和强度好的金属材料。 在金属与陶瓷中间的梯度过渡层里，其耐热性能、机械性能等呈连续变化，热 应力在材料两端均很小，使其成为可在高温环境下应用的新型耐热材料。 金属侧梯度层陶瓷侧 图2 金属，陶瓷构成的材料特性 1 1 2f g m 发展前景 功能梯度材料自产生以来，得到了长足的发展。以材料设计为核心，开发 2 各种尺寸、形状复杂的f g m ，进一步拓展其应用领域。随着组元设计多样化的 发展，组元成分的选择也更加合理，梯度材料的设计也将向着多组元设计、更 为经济和更为实用的制备方向不断发展。制备方法也将进一步得以丰富。从设 计上分析，随着非均质材料的组成结构性能体系的深入研究，以及连续介质理 论，量子理论及微观结构模型的不断完善，将建立起比较完备的f g m 数据系 统。人们从具体要求出发，假设不同的组分及其分布，在合适的物理、化学模 型构建下，进行优化设计，最终获得满足具体要求的最佳材料组合及空间梯度 分布。 1 2 压电材料简介 1 2 1 压电效应 压电( p i e z o e l e c t r i c ) 现象最早由j a c q u e sc u r i e 和p i e r r ec u r i e 兄弟于1 8 8 0 年 发现【5 1 。压电材料在一定温度环境中被电场极化后，材料中的晶体以电场极化 方向的晶粒为主，但部分晶粒仍然偏离电场极化方向，从而存在剩余极化强度， 并以偶极矩的形式表现出来。 当对压电材料施加机械变形时，剩余极化强度将因材料的变形而发生变化， 引起材料内部正负电荷中心发生相对移动产生电极化，从而导致材料两个表面 上出现符号相反的束缚电荷，电荷密度与外力成正比，这种现象称为正压电效 应。正压电效应反映了压电材料具有将机械能转变为电能的能力。检测出压电 元件上电荷的变化，即可得知压电元件处的变形量，利用压电材料的正压电效 应，可将其制成结构振动控制或结构健康监测中的智能传感器。 与此相反，当在压电材料两表面上通以电压，所有晶粒极化方向趋于电场 方向，造成压电元件内部正负电荷中心的相对位移，导致压电材料的变形，这 种现象称为逆压电效应。逆压电效应反映了压电材料具有将电能转变为机械能 的能力。利用压电材料的逆压电效应，可将其制成结构振动控制中的智能驱动 器。 1 2 2 压电陶瓷 自然界中，许多材料都呈现压电材料的性质，在实际应用中，一般将其分 为压电晶体、压电纤维、压电聚合物和压电陶瓷等几类，应用最多的是后两类 材料，本文中用到的是压电陶瓷。 压电陶瓷多是a b 0 3 型化合物或几种a b 0 3 型化合物的固溶体。应用最广 泛的压电陶瓷是钛酸钡系和钴钛酸铅系( p z t ) 陶瓷。钛酸钡陶瓷具有较好的压电 性，是钴钛酸铅陶瓷出现之前，广泛应用的压电材料。但是，钛酸钡陶瓷的居 里点不高( 1 2 0 ( 2 ) 限制了器件的工作温度范围；( 居里温度：对于所有的磁性材 3 料来说，并不是在任何温度下都具有磁性。一般地，磁性材料具有一个临界温 度瑟，在这个温度以上，由于高温下原子的剧烈热运动，原子磁矩的排列由有 序变成无序。在此温度以下，原子磁矩一致排列，产生自发磁化，材料呈铁磁 性，将临界温度尼称为居里温度) 以及常温介电性和压电性不稳定等缺点。于 是在5 0 年代中期，在研究氧八面体结构特征和离子置换改性的基础上，美国 b j a f f e 发现了钴钛酸铅系( p z t ) 固溶体，其居里温度、机电耦合系数、压电常 数和稳定性等都比钛酸钡压电陶瓷有了很大的改善和提高，因而在应用上很快 取代了钛酸钡陶瓷。 1 3 功能梯度压电材料( f g p m ) 的研究现状 1 3 1 功能梯度压电材料( f g p m ) 概念的提出 压电材料由于具有正、逆压电效应，已经广泛用作智能结构的传感器( s e n s o r ) 和执行器( a c t u a t o r ) ，应用于结构的形状控制、振动和噪声控制以及结构的损伤 监测等诸多领域。这些应用通常要求压电作动器有较大的位移及较强的承载能 力。为达到上述目的，常常将两个压电陶瓷薄片以板的形式粘接在一起，将压 电激励器做成压电双晶片形式。这种设计，在提供大位移的同时，也带来了缺 点。当粘接两个不同的压电材料，或者极化方向不同的两个同种的压电材料时， 将产生严重的应力集中，并会在低温下会发生裂纹、高温下产生蠕变以及剥落， 导致压电双晶片的电场诱导位移特性降低，器件的寿命缩短，难以应用在要求 高可靠性的计测控制装置上【6 】。 为了克服传统压电双晶片元件的缺点，w u 等人【_ 7 】和z h u 等人【8 】发展了一种 新的被称作功能梯度压电材料( f g p m ) 的新型压电材料。功能梯度压电材料可以 用于单一压电装置、或是两个不同压电装置之间的粘结过渡层。这种材料的优 点是由于组成和性能在空间连续变化的特点，使压电性能、介电性能等性能参数 得到恰当的分配，没有明显的内在边界，降低应力峰值，而且可以避免应力集 中导致的传统元件故障，产生较大的位移。因此，功能梯度压电激励器可以在 产生大位移的同时，减缓分界面处的应力集中，从而大大提高了压电元件的可 靠性和寿命。随着现代材料制造技术的发展，使得满足各种梯度组成的材料能 够制造出来。功能梯度压电材料( f g p m ) 作为一种全新的材料设计理念，其应用 前景十分广阔。 1 3 2 功能梯度压电材料( f g p m ) 的研究现状 目前对功能梯度压电结构的研究悄然兴起。 r e d d y 和c h e n g t 9 1 用渐进展开式结合传递矩阵公式得到了智能功能梯度( f g ) 结构( 由弹性f g m 层和压电层组成) 的渐近解。 4 h u a n g 1 0 】用有限元方法分析了智能功能梯度压电结构的热电响应。 c h e n 和d i n g 川基于状态方程分析了四边简支压电功能梯度板的弯曲问题。 陈伟球和丁皓，r t l 2 】研究了功能梯度压电材料矩形板的自由振动问题。 吴瑞安对功能梯度压电材料平板进行了力电耦合结构分析d 3 ；并从压电材 料基本方程出发，导出并求解了四边简支、接地条件下功能梯度压电材料矩形 板的自由振动方程i l “。 仲政，尚尔涛【6 】【1 5 1 对四边简支、接地、等温的功能梯度热释电材料矩形板 进行精确三维分析。 l i 和w e n g 16 1 ，胡克强，仲政1 7 】【1 8 1 基于三维弹性理论和压电理论，对材料 系数按指数函数规律分布的功能梯度压电板条中的裂纹问题进行了求解；j i n b 、z h o n gz 【垮】等对功能梯度压电材料的反平面裂纹问题进行了研究。 l i u 和t a n i l 2 0 研究了波在功能梯度压电板中的传播问题。 l i m 和h e 2 l 】给出了复合梯度压电层合结构的三维精确解。 p i nl u ，h 、p 【2 2 1 等利用s t r o h 1 i k e 方法计算了四边简支功能梯度压电板问题。 e p a n 和f h a n 2 3 1 研究了四边简支功能梯度层合板的磁、电、弹耦合问题。 黄小林，沈惠申【2 4 1 【2 5 1 基于r e d d y 高阶剪切变形理论和广义k a 咖矗n 型方程， 求得了热环境下带压电层的功能梯度复合材料混合层合板的自由振动及动力响 应的解析解； a l m a j i d 2 6 1 等对经典层合板理论进行了改进，以考虑力电耦合效应，分析了 功能梯度压电板的应力和平面外弯曲问题。 o o t a o 和t a n i g a w a 2 7 1 利用近似层合模型，用级数展开的办法分析了简支 f g m 压电矩形板的三维瞬态温度场分布及其热应力分布。 伍晓红，沈亚鹏【2 8 1 基于三维弹性理论和压电理论，用幂级数展开的方法求 解了四边简支的有限长矩形f g m 压电板的自由振动频率。 刘玮，闰铂【2 9 】基于经典板理论，研究了四边简支压电功能梯度矩形薄板的 屈曲问题。 陈江义，熊滨生，陈柳 3 0 1 利用状态空间法对功能梯度电磁弹性多层板场变 量的精确解进行了分析 朱昊文，李尧臣，杨昌锦【3 1 1 利用变分原理和功能梯度压电材料的本构关系、 几何关系、板的边界条件等，推导出功能梯度板的有限元方程。 上面是近几年来国内外在f g p m 力学方面的一些研究。 1 4 本文的主要工作 1 4 1 工作目的 本文从三维弹性理论和压电学理论出发，引用文献【3 2 】【3 5 】提出建立状态 变量方程及传递矩阵，通过引入不同的边界位移函数，探讨了材料性质在功能 5 梯度压电板的材料常数沿板的厚度方向按照多项式函数、指数函数、幂函数、 正弦函数规律梯度变化下，不同边界条件下( 具有固支边，两对边自由、两对边 简支) 功能梯度压电板的静力问题。 利用数学软件m a t h e m a t i c a 和m a t l a b 编制了两对边固定、两对边简支边界 条件下功能梯度压电板的静力问题程序；并分别讨论了材料性质的梯度变化、 板的几何尺寸对挠度和应力场的影响，绘出挠度和应力场随各物性参数的变化 趋势图，得到一些有价值的结论。 课题研究的意义在于将状态变量法用于不同边界条件功能梯度压电材料的 静力问题上，并通过比较不同的梯度变化函数、板的几何尺寸对挠度、应力场 的影响，为功能梯度压电结构设计及材料优化提供一定参考依据。 1 4 2 主要内容 1 简要回顾了压电板的状态变量方程及传递矩阵；并介绍了本文所采用的 物性参数沿厚度分布的梯度模型。 2 引入固支边界函数，详细推导了具有固支边的功能梯度压电板分别在电 荷载、机械荷载作用下的状态方程，给出了静力问题的解析解。并给出了两对 边固支、两对边简支功能梯度压电板的算例，比较了梯度模型、板的几何尺寸 对挠度和应力场的影响。 3 推导了两对边自由、两对边简支的功能梯度压电板在任意荷载作用下的 状态方程，给出了静力问题的解析解。 本章小结： 本章在文献调研的基础上，首先介绍了功能梯度材料和压电材料的发展过 程、应用；指出了传统压电材料的不足，引出了“功能梯度压电材料”的概念、 介绍了国内外功能梯度压电材料的力学研究现状，最后说明了本文的工作目的 和本论文的主要内容。 6 第二章功能梯度压电矩形板静力分析的基本原理 2 1 功能梯度压电材料的物性参数 功能梯度压电材料在组成和性能在空间上的连续变化，减少了传统压电材 料在分界面上了应力集中，大大提高了压电材料的可靠性和寿命物性参数的 梯度变化模型决定了材料组成、性能的具体变化方式，不同的变化方式决定了 材料内部物理量的变化。因而，研究功能梯度压电物性参数的梯度变化模型， 并讨论材料物性参数对材料性能的影响是十分必要的。 功能梯度压电材料本质上是一种非均匀复合材料。因此，对功能梯度压电 材料板壳结构作分析时，首先需要知道其物性参数( 如弹性模量、热胀系数等) 。 通常的做法是借用细观力学的已有成果来预测功能梯度压电材料的物性参 数3 6 1 。最简单的是基于v o i g t 等应变假设的线性混合律，即 上 p = 艺弓， ( 2 - 1a ) 爿 其中，只和，分别为第，种组份材料的材料性能参数和体积率，且满足 。 上 ，= 1 ( 2 - l b ) j - l 由于功能梯度压电材料各组份材料体积率变化范围很大( o 1 0 0 ) ，此种 估算有时显得比较粗糙。 另一种是采用m o r i t a n a k a 方法来估算功能梯度压电材料的等效体积模量 k ，剪切模量t ，热胀系数口和热传导系数一3 7 】【3 8 】1 39 1 。m o r i t a n a k a 方法原本用 于颗粒增强复合材料，即有 k 一足 k 2 一k l 壁二丝： k ：! ，一 i + ( 1 一v 2 ) ( k 2 一k i ) ( k l + 4 3 “) k 觞一- 6l + ( 1 一) 6 u 2 一朋) ( 朋+ z ) ，= ：( 9 k i + 8 1 1 ) 一 6 ( k l + 2 朋) 口一瓯1 k l k 呸一喁1 k 2 一i k l ! 二： ! ! 吒一一1 + ( 1 一) ( 疋一) 3 e 7 2 1 1 上下层面物参已知的功能梯度压电板梯度变化模型 此外，我们还需要知道功能梯度压电材料热物参数在空问的变化规律。对 于板壳结构材料热物参数一般仅沿厚度方向变化。因此，一种合理的做法是假 定功能梯度压电材料热物参数沿厚度方向为分片均匀的4 0 1 ，采用此种分层模型 的好处是可以直接利用原有层合板壳结构的分析方法进行求解。 图3 上下层面物参已知的f g p m 板结构示意图 如图3 取坐标原点位于板的底面，z 为垂直中面的法向坐标，假设材料的 体积率遵循【4 1 1 巧= ( 三) ( 2 3 ) 仃 其中h 为板壳的厚度，p 为形状因子，它表征了组份材料的体积分布规律。 当p = 0 时，退化为均匀各向同性材料。 根据式( 2 - 1 ) 和式( 2 - 3 ) ，功能梯度压电材料的物性参数( 如弹性模量、热胀系 数、热传导系数、质量密度等) 可表示为【4 2 1 k ( z ) = k ，l + k 6 ( 1 一k )( 2 - 4 a ) 巧= e ) ( 2 4 b ) 月 当z = h 时，k = k ，即为顶部物参； 当z = 0 时，k = k 6 ，即为底部物参。 其中髟可代表c 、e 、，分别为弹性刚度系数、压电系数和介电系数。 如图3 将板分为层，句代表第i 层底面z 坐标。公式( 2 4 ) 变化为； k i = 墨巧+ k 6 ( 1 一k )( 2 一s a ) k = ( 1 ) ( 2 5 b ) 8 当板的每层厚度为常数时，公式( 2 4 ) 又有如下变形： k i = k ，k + k ( 1 一k ) ( 2 6 a ) k = ( 习 ( 2 6 b ) v i 其中置；可代表c f 、e l 、蜀，分别代表第i 层的弹性刚度系数、压电系数和 介电系数，i 代表第i 层，z ，为第f 层的下表面的z 坐标，z 。为第层的下表面 的z 坐标，其中z 。= 0 ；i q 、蚝分别为功能梯度压电材料板壳顶部( 或外部) 和底部( 或内部) 的物参，k 为顶面材料的体积份数分布，p 为形状因子，它表 征了组份材料的体积分布规律。 图4c 9 1 与p z f 4 构成的功能梯度压电板 取p z t - 4 为底层材料，c 9 1 为顶层材料，c 9 1 4 3 1 和p z t - 4 4 卅两种材料的物 参c 1 1 分别为1 2 0 g p a 和1 3 9 g p a 。 图6 反映了形状因子p = o ，0 5 ，1 ，1 5 ，2 ，5 ，1 0 ，1 5 时，弹性常数c j i 在厚度方 向变化规律。由此可见，形状因子的改变，将显著影响功能梯度压电材料物性 参数沿厚度方向的分布情况。 l ul l ji 2 0i 1 3 01 3 51 4 0 c o i 时 图5 在厚度方向形状因子p 对c l l 的影响 9 2 1 2 底面物参已知的功能梯度压电板梯度变化模型 图6 底面物参已知的f g p m 板结构示意图 如图7 取坐标原点位于板的底面，z 为垂直中面的法向坐标。当底面物参 已知情况下，板的材料遵循如下梯度分布规律4 5 】： k ( z ) = k 6 五( z ) ( 2 7 ) 其中x 可代表c 、e 、8 ，分别为弹性刚度系数、压电系数和介电系数，巧 为功能梯度压电材料板壳底部( 或内部) 的物参，以( z ) 为底面材料的体积份数分 布函数。 一般情况下，以( z ) 有三种函数形式： 指数函数形式：五( z ) = e m “ 幂函数形式：以( z ) = ( 1 + 4 正弦函数形式：以( z ) = 【l + y s i n 畦音) 】 ( 2 8 a ) ( 2 8 b ) f 2 8 c ) 其中：口、，分别代表指数函数、幂函数、正弦函数分布规律的形状 因子。 上述三种分布模型也可以用于底部、顶部材料均已知的情况。 当z = 0 ，z = h 处材料的物参蚝、k ，已知，通过计算，可以确定形状因子口、 、，的大小，即f 6 】： 瑾= i n k i i n k b = 警 ，2 惫一 1 0 ( 2 9 a ) f 2 9 b ) ( 2 9 c ) 取p z t - 4 为底层材料，c 9 1 为顶层材料，由于c 9 l 【4 3 1 和p z t - 4 “1 两种材 料的物参c 1 1 分别为1 2 0 g p a 和1 3 9 g p a ，由公式( 2 - 9 ) 得； 口= i n1 2 0 一i n1 3 9 = 0 1 4 6 9 8 2 口：i n l 2 0 - i n l 3 9 ：0 2 1 2 0 5 i n z ，：1 2 _ _ _ 0 0 1 ：o 1 3 6 6 9 1 1 3 9 相应的梯度分布规律即为： 指数函数梯度分布规律：k ( z ) = c , e “”“( 2 1 0 a ) 幂函数梯度分布规律： k ( z ) = k b ( 1 + 旁“2 1 ”( 2 - l o b ) 正弦函数梯度分布规律： k ( z ) = k b 1 + ( - o 1 3 6 6 9 1 ) s i n ( 手争】 ( 2 1 0 e ) 再选取( 2 4 ) 式所描述的 多项式梯度分布规律：k ( z ) = k ，( ) + 蚝【1 一( ) 】 冉 ，l 莲 图8c 】在不同梯度分布情况下随厚度的变化 由图9 可知上述四种功能梯度材料在板的上下表面处特性参数相同时，只 是在板内分布走向有所差别。 2 2 功能梯度压电板静力分析的状态变量方程 2 2 1 状态变量法在层合结构中的应用 在压电功能梯度结构中，弹性场与电场并存，基本方程包括两个场的机械 量和电学量，求解十分困难。只有在结构构形比较简单的情况下，才有可能得 到三维理论的精确解目前对压电功能梯度材料的结构分析主要是针对梁、板、 壳等典型结构，主要的理论分析方法包括：简化模型法【4 “、层合模型法【4 ”、渐 进解法【48 】和三维分析法【4 9 1 。采用层合模型分析法，将功能梯度梁、板、壳等结 构沿厚度方向分成若干层，每一层等效为均匀材料，当分层足够多时，分析结 果将趋近于弹性力学精确解。这些结果的价值在于它们能为其他理论模型或计 算方案提供假设的依据和验证的考题1 5 0 】 近年来