（基础数学专业论文）平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究.pdf

浙江大学硕士学位论文平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 摘要 j s i m o nhb l a w s o n ，ssc h e m ，m d o c a r m o 和s k o b a y a s h i 在1 9 6 8 年 研究单位球面中紧致极小子流形 n 的几何刚性问题，他们证明扩却( 1 ) 中满足 s 彳耳的紧致极小子流形必为全测地子流形，s 4 ( 1 ) 中v e r o n e s e 曲面，s “+ 1 ( 1 ) 中c l i f f o r d 超曲面之一 文献卧 6 ，【8 ， 1 2 等进一步研究了上述著名结果的改进和推广，取得了一 系列重要结果 最近，j rg u 和h w x u 研究了p i n c h e d 黎曼流形中完备子流形的几何刚性 问题，得到以下结果： 设m n 是n + p 维完备单连通黎曼流形n 押中n 维完备的平行平均曲率子流 形设k 是的截曲率，日和s 分别是m 的平均曲率和第二基本形式模长平 方，满足c ：= i n f k ns0 ，d ：= s u p k n o ，且c + h 2 o ，则存在常数丁1 ( n ，p ，日) ( o ) ， 力( ，p ，日) ( o ) ，其中首m ，p ，日) + 豸( n ，p ，日) 0 ，使得当k h ( n ，p ，h ) ，吃( n p ，日) 且 n h 2 + a l ( 礼，p ) ( d c ) + a 2 ( n ，p ) 【( 仃( n 1 ) 一1 日3 j 1 2 ( d c ) 1 4 s sc o ( n ，p ，h ) 一b 2 ( 礼，p ) ( d c ) 一b 2 ( 扎，p ) h ( n 一1 ) 一1 日3 】1 2 ( d c ) 1 4 ， 月, i j n “+ 9 整体等距于欧氏空间舻”，且m 为全脐球面酽( 击) ，s 4 ( 古) 中的v e r o n e s e 曲 面：船上1 中广义圆柱面s , 1 - 1 ( ( n 一1 ) n h ) r 1 之一，其中常数 、f磐，若n3或n=2勘2，co ( n , p , h 卜 茹i ，荔：。西三。，一 q ( n ，p ，日) ，它( n ，p ，日) ，a l ( n ，p ) ，a 2 ( n ，p ) ，b 1 ( n ，p ) ，b 2 ( m p ) 为具体给定的正常数 本文在h w x u 和f w m a g 关于正p i n c h e d 黎曼流形中平行平均曲率子流形 的整体p i n c h i n g ! 司题研究的基础上证明了下述： 主要定理设m n ( n 3 ) 是n + p 维完备单连通黎曼流形n t p 中n 维闭的可 定向平行平均曲率子流形设k n 是，的截曲率，且满足5 1 兰k n 墨如( 以如兰 o ) ，复合等距浸入m n 一 t n + p 一席的相对平均曲率模长百满足万h o 若 | | s n h 2l 娶g ( 礼，p ，曲，如，日，h o ) ： l s n h 2 | | ：n ；( 如一6 1 ) 口( n ，p ) v o l ( m ) ， 第2 页 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 则n 整体等距于r ”p ，且m 必为研却中的全脐球面酽( 击) ，这里g ( n p ，6 l ，6 2 ，h ，1 4 0 ) 为与n ，p ，6 1 ，南，h ，t t o 有关具体给定的正常数，a ( n ，p ) 为仅与n 、p 有关的正数，v o l ( m ) 为流形m 的体积 特别地，当曲= 如= o 时，立即可得下述： 推论设m “( n 3 ) 为n + p 维欧氏空间册+ p 中闭的平行平均曲率子流形若1 l s n h 2 慷sg ( n ) ，其中g ( n ) 为仅与n 有关的正常数，n m “必为r “却中的全脐球 面 第3 页 浙江大学硕士学位论更平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 a b s t r a c t j s i m o n i i ，b l a w s o n ，c h e r n - d oc o m a k o b a y a s h ip r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e m ： l e tm 4b ean d i m e n s i o n a lc o m p a c tm a n i f o l dm i n i m a l l yi m m e r s e di nan + p - d i m e n s i o n a l s p a c es 1 ，m o r e o v e rssi 墨t h e nsi0a n dh e n c em i sc o n g r u e n tt os “( 1 ) ；o r s ；! t ，m o r e o v e rm i se i t h e rt h ev e r o n e s es u r f a c ei ns 4 ，o rt h ec l i f f o r dm i n i m a l p h 班p e r s u r f a c ei ns ” s e v e r a lg e o m e t e r si m p r o v e da b o v er e s u l t si n 阻澍，i s l a n d 【i 2 j j r g ua n dhw x us t u d i e dt h eg e o m e t r i cr i g i d i t yp r o b l e mf o rc o m p l e t e s u b m a n i f o l d si np i n c h e dr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，a n dp r o v e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： l e tm “b ea nn d i m e n s i o n mc o m p l e t es u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc 1 1 r v a t n r e i nac o m p l e t ea n ds i m p l ec o n n e c t e dn + p - d i m e n s i o n a lp d e m a n n i a nm a n i f o l dn “却l e t 爱kb et h es e c t i o n a lc h r v a t u r eo fns a t i s f y i n ge ：= i n f k ns ，d ：= s u p k , v 0 ，d e n o t e b yh a n dst h en l e e 3 1c u r v a t u r ea n dt h es q u a r e dl e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a l f o r mo fm r e s p e c t i v e l yt h e nt h e r ee x i s tc o n s t a n tn ( 扎，p ，) ( 曼o ) ，吨( n ，p ，日) ( o ) ， h e r e 开( n ，p ，甘) + 穆( 扎，p ，h ) 0 ，s u c ht h a ti f k n h ( n ，p ，尉) ，您( n ，p ，日) 】，a n di f , c + 日2 0 n h 2 + a i ( n ，p ) ( d c ) + 2 ( 扎，p ) f ( 站( 豇一1 ) 一1 h 3 】1 2 ( d e ) 1 4 s s 墨 匀( 嚣，p ，嚣一b 2 ( n ，爹) ( d c ) 一z 魏( 托，妨匦( 珏一1 ) 一1 掰3 】1 2 矗一c ) 1 皿 t h e nn “+ pi si s o m e t r i ct ot h ee u c l i d e a ns p a c er “+ p m o r e o v e r t h e nmi sc o n g r u e n tt o s “( 击) ，t h e v e r o n e s es u x f a c e i n s 4 ( 击) o r t h eg e n e r a l i z e dc y l i n d e r s “1 ( 一1 ) 几日) r 1 i nj p “h e r et h ec o n s t a n tc d n ，p ：日) i sg i v e nb y 咖捌= 蓊n a i l 2 ，洳i fn ： 。3 删o rn p = 强2 a 咖g ， a n dn ( n p ，日) 偬( n ，p 打) ，a l ( n ，p ) ，a 2 ( n ，p ) ，b l ( n ，p ) ，b 2 ( n p ) a r ee x p l i c i tp o s i t i v e hwx ua n df w a n gp r o v e dag l o b a lp i n c h i n gt h e o r e mf o rs u b m a n i f o l d sw i t h p a r a l l e lm e a nc u r v a t u r ei nap i n c h e dr i e m a r m i a nm a n i f o l d ，t h u si m p r o v et h ea b o v e 互l p i n c h i n gt h e o r e m t h e nu n d e rw e a k e rg e o m e t r i cc o n d i t i o nw ep r o v eag l o b a l t h e o r e mf o rc o m p a c tm i n i m a ls u b m a n i f o l d si nap i n c h e dl o c a l l ys y m m e t r i cm a n i f o l d 第 页 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 i nt h i st h e s i s ，w ep r o v et h ef o l l o w i n g t h o e r e m 3 4 1 威m ”b ea nc o m p a c ts u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a nc u r v a t u r e i nac o m p l e t es i m p l yc o n n e c t e dn + p - d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l dn “+ 9w i t h s e c t i o n a lc u r v a t u r e 以s 鼬s 如( 巧1 如0 l e tt h er e l a t i v em e a nc u r v a t u r e 日o ft h e c o m p o s i t i o no fi s o m e t r i ci m m e r s i o n sm “_ ”却q 剜，s a t i s f y 万! 凰i f i i s n h 2 署! g ，p ，巩，如，h ，h o ) a n d | i s n h 2 | | 南( 如一6 1 ) d ( n ，p ) v o l ( m ) ， t h e nni si s o m e t r i ct or ”押，a n dmi sc o n g r u e n tt os “( 击) h e r eg ( n ，p ，白，如，h ，凰) i sap o s i t i v en u m b e rd e p e n d i n go n l yo n 札，p ，6 1j 而，h ，h 0 ；a ( n ，p ) i sap o s i t i v en u m b e r d e p e n d i n go n l yo nn ，p c o r o l l a r y l e tm n ( n23 ) b e s i lo r i e n t e dc l o s e ds u b m a n i f o l dw i t hp a r a l l e lm e a n c u r v a t u r ei nr ”切，i f | | s n h 2f | 要g ( n ) ，w h e r eg ( 札) i sap o s i t i v en u m b e rd e p e n d i n g o n l yo nn t h e nm i sat o t a l l yu m b i l i c a ls p h e r e 第5 页 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 o 引言 子流形的几何结构和第二基本形式的关系是整体微分几何中的一个饶有兴 趣的问题，特别是1 2 一p i n c h i n g 问题已成为国际微分几何领域备受关注的新课 题，它主要研究流形在护一所n c h i n g 条件下的几何结构和拓扑结构 1 9 6 8 年，js i m o n s 证明了下述著名结果： 定理a ( 1 2 】) 设m ”为n + p 维单位球面酽却中n 维紧致极小子流形若s 商，n s10 ，即m 的全测地大球面，或s = 百= n i = t 1 9 7 1 年，ss c h e r n ，m d oc a r m o ，s k o b a y a s h i 1 及h b l a w s o n 6 进一步证 明了当s ；孛时，m “为s 4 中、h 。n e s e 曲面，或s “0 0 c l i f f o r d 超曲面胪( 、：) 。一 s n - k ( 、譬) ，k = 1 ，2 ，n 一1 o k m n u r a ，丘成桐等许多学者曾试图证明球面中平行平均曲率子流形的广 义s i m o n s l a w s o n c h e r n d oc a r m o k o b a y a s h i 附陛定理，并部分解决了这一问题s t y a u 证明：若n + p 维单位球面s n + p ( 1 ) 中n 维紧致平行平均曲率子流形m n 的第 二基本形式模长平方s 1 ，则m 必落在某个大球面s n + 1 ( 1 ) 3 + n j f 口一1 卜1 一 之中h w x u 曾将y a u 的上述研n c h i n g 条4 牛e , f i n s 0 ，则存在常 数t 1 ( n 。p ，日) ( o ) ，记( n ，p ，日) ( o ) ，其中开( p ，h ) 十( n ，p ，日) 0 ，使得当鼬 h ( n ，p ，日) ：n ( n ，p ，日) 】且 n h 2 + a i ( n ，p ) ( d c ) + a 2 ( n ，p ) i ( n ( n 一1 ) 一1 h 3 】1 2 ( d c ) 1 4 s c o ( n ，p ，h ) 一b 2 ( n ，p ) ( d c ) 一b 2 ( n ，p ) h ( n 一1 ) 一1 h 3 1 1 2 ( d c ) 1 4 ， 则“+ p 整体等距于欧氏空间r “，且m 为全脐球面伊( 击) ，s 4 ( 击) 中的y e r e s e 曲面，j p + 1 中广义圆柱面s n - 1 ( m 一1 ) n h ) r 1 之一，其中常数 c o ( n , p , h ，= 蓊n 2 h 2 i 若n 3 或礼= 2 且p 2 若n = 2 凰3 ， n ( n ，p 日) 砣( n ，p ，日) ，a l ( n ，p ) ，a 2 ( n ，p ) ，b l ( n ，p ) ，b 2 ( n ，p ) 为具体给定的正常数 1 9 8 6 年，沈纯理教授首次研究了球面中极小子流形的整体p 机c 伽9 问题，即口 皿n c h i n g 问题在c l s h e n ，hw a n g ，j ，m l i n , 和c y x i a 等人工作基础上，h w x i l s l 研究了p p i n c h i n g 条件下单位球面中平行平均曲率子流形的刚性定 理 最近，jr g u 和h w x u 研究了r 9 中完备平行平均曲率子流形的三i p i n c h i n g 问题，得出以下： 定理d 设m ”是n + p 维欧氏空间舻却中完备的平行平均曲率子流形，日 和s 分别为m 的平均曲率和第二基本形式模长平方如果 n h 2 1 d m 一 酌e 蜴 啪 2 卢泓 岸 ， 浙江大学硕士学位论丈 平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 m n 具有平行平均曲率向量，则 e7 t 岛= o ，v j i ( 2 1 1 ) 由( 1 6 ) ，( 2 1 1 ) 和性质1 5 ，就得到 。，k 磊州“岛礅* 2 一叩槲e1 ( e ，k e 5 订rf 2 1 2 1 一j ( p 1 ) 扎( n 1 ) 2 ( b n ) 2 由f 14 1 和性质1 2 打( 风+ l h i 0 2 一e 打( 碟+ 1 明) 卢n + 1口n + 1 = ，暑。( 矿1 曩一 芽1 h g ) k o + ，所。 i , j k ，口n + 1 。 一；( p 一1 ) n ( n 一1 ) ( b 一) 2 对比( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 1 2 ) 和上面的不等式，可得： z 一去( p 一1 ) n ( n 一1 ) ( 2 6 n 一9 ) ( 6 一。) 2 一出口目 ( 2 1 3 ) 则山订z d m 一去一1 ) n ( n 一1 ) ( 2 6 n 一9 ) f m ( b o ) 2 d m 引理2 1 0 设m “m 3 ) 是 p 却中闭的平行平均曲率子流行，且”p 一硝 则对于f c 1 ( m ) ，f 0 满足： 州2 d 鲁 南幺n - - 2 书2 + 贼1q 1 i ifi i ； 其中凰是n + p 在r z 中平均曲率的最大值 第j 疗页 浙江大学硕士学位论文平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 主要定理的证明 设m n 是”+ p 维完备单连通黎曼流形n 押中n 维闭的可定向平行平均曲率 子流形，其中k x 为”+ p 的截曲率，我们主要讨论满足条件d i k n 也的流 形中平行平均曲率子流形的性质 定理3 1 设m ”( n 3 ) 是完备单连通空间p 中n 维紧致的平行平均曲 率子流形( 日o ) ，设硒v 是n ”+ p 的截曲率，且满足d l k n 如( 6 1 如o ) ，其 中设6 1 一譬，复合等距浸入m n 一n + p 一可的相对平均曲率面请足万! h o 如果 | | s n h 2 | | 昙sc 1 ( n ，p ，d 1 ，5 2 ，鼠f ) ， i ls h n h 2i i ：妥( 如一d 1 ) e ( n ，p ) 口0 2 ( 4 ) ， 则5 1 = 5 2 = 0 ，其中c i ( n ，p ，6 l ，5 2 ，h ，凰) = 端【丽黯糟杀斋一( 6 2 5 1 ) 】， t 、由证明中给出 证明记e m ，p ) = 矗n m 一1 ) ( 1 7 n + 8 p 一2 4 ) ，e ( n ，p ) = 矗n ( n 1 ) ( 1 7 n + 8 p 一2 3 ) 由 引理2 ，3 ，引理2 4 及引理2 1 可知 ；s h ( s h 一。h 2 ) 5 1 n + 2 。日2 一s 一n ( 芹n - ：驾_ 、正五7 二了j 乒) ( 3 1 0 ) 、n ( n lj + ；( 蒜1 ) 2 + c 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 及引理2i 0 可知 ( 垛1 ) 2 i n + 2i v j 2( 3 1 1 ) 怖圳i 石【土c 2 ( n ) 慨l i 一( h 2 - - 瑶) ( 1 十i 1 ) 圳孔( 3 1 2 ) 其中 = ( s 日一n h 2 + n 5 2 jz 1 ，记，= ( s h n 日2jz 1 结合( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 以及引理( 2 5 ) ，g r e e n 公式可得 。= ：曲等lv 丘2 【5 , n + 2 n n s 一而n ( n - 葡2 ) h v 叩珂 一e 7 ( n ，p ) ( 如一6 1 ) 2 v o i ( m ) 蒹端 南篙书2 + 贼+ 却硼 第j 7 页 浙江大学硕士学位论文平行平均曲率予流彤的整体刚性问题研究 + ，2 晚十删一( s 一彬) 一2 il r f ”( n - 叫2 ) h 2 州s 一橱2 坶 ( 3 1 3 ) j o o 、， 一i 岁扣，p ) ( 龟一毳) 2 v o l ( m ) 对所有的r r + ，使得e o ，邀慨1 3 ) 可知 。 6 1 n + n 儿可n ( n - 可2 ) 2 h 2 一盟掣圳川 + 丽笛嚣翥峭+ 剐s 一艘她刈列篙 1 4 ) 一影印，囝( 南一点) 2 口蕊( a 辱) r ，是任意的正数，我们可以取r t 一铥等同时取 蚓啪，屯骗) 一甓篙鬻( 3 1 5 ) 讫楚不等式( 3 l 钓褥 。丽等辩一丽n 2 - - 2 n + 2 l s - n 硎删高 溉t 6 ) 一e 7 m ，p ) ( 如一6 1 ) 2 v o l ( m ) 当 i t3 - n 翻眵每等f d 牟艳制，强竭 通过( 3 1 6 ) 知 酬，l i ；警可一如e 7 m ，p ) 州( m ) 】( 如一占1 ) go 一( m l s ) 假设6 2 一以0 ，畦_ i 定理的条件可知 | | ( 一n h 2 ) | | 轰( 龟一5 1 ) e o l ，p ) v o t ( m ) ( 是一1 ) 露7 海，芦弦o i ( m ) ， 结台 3 1 8 j 矛莲，掰以如一5 】：0 ，即南一如= 0 第j 8 页 浙江大学硕士学忧论炙 平行平均曲率子流彤的整8 - f 1 , j 性问题研究 定理3 2 设m n 3 ) 是完备单连通空间n p 中雅紧致的平行平均曲 率子流形( 嚣，设玛v 是时p 姆藏海率，且满足磊鬟k n 如溉是so ) ， 其中矗t 丽要鬻鬻杀蠡丽，面嚣曼淼，复合等题浸入渺- 啷一叠 韵相对平均曲率再满足西s 函，如聚 i is n h 。i | ；篓凸( n ，p ，6 1 ，5 2 ，月，h o ) ， 1 1s jl i i 与( 如一以) g ( 昨，p ) v o l ( m ) ， 烈5 1 ：5 2 = 0 ，蒸中龟魄蟊是，南，h ，蜀) 一i 霹尝舞篙器獬一涵一蠢) 】，2 交诞 鞠中给舞 证明记f m ，一咖一2 ) 唧一1 ) ，g 7 ( n ，p ) = 矗( p 一1 ) n 何一1 ) ( 1 协一8 ) ，g ( n ，p ) = 击n ( n 一1 ) ( 1 7 n p 一1 7 n 一劬+ 9 ) ，由引联2 7 ，引理2 s a ( 2 7 ) 可得 ；研互1 ( 蟛。) z + z 十曲 n 最j - n h 2 一百n ( n 丽- - 0 ) 2 h 2 一 l 十；) ( s 搿疵妒) 一f 强国赴蕃i 蛩一镩& 疆s - 耗h 2 ) 一勘一礼曩2 强 ( 3 2 由( 2 ，1 ) ，( 2 2 ) 及引溅2 8 可知 ( h 铲i n + 2i v 船1 2 ( 3 2 1 ) l l 鼢l l i 两t限l 篙- ( 嚣2 + 霹) ( 1 i 1 列圳l 姚时船：( 曲+ 一1 ) 固 ，记g = ( ) 结合( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) ，引理( 2 9 ) 放g t 。e 公式可得 。蒜端两1 赢书2 十瑶) ( 1 + ) 1 1 啦! 1 9 一肛( s 觯) + ( n - - 1 - - ；受一妒) ( 爱2 3 ； + f s j n 6 l + r 。h 2 一1 2 ；i ；量器一f ( n ，p ) ( 如一魂) j - g ( n ，p ) ( 如一5 ，) 2 v o l ( m ) 若r = 2 ( 竹1 ) ，s 一0 o i fg 幢陋巧l + 扎日2 一霹( n i - = 2 万) 2 h 2 一f ( n ，p ) ( 如一民) 】 刊稠i 坠絮芒一秭蒯岛咱鳓娥弼 第j p 页 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流彤的整体刚性问题研究 我褒记 刊，| | f d 揣圳伊”硎拉( 3 。4 ) t2屯m，曲，如，珂，凰，。磊ii二iii?；毫雾；：；i|i；!孳碥 由条件函酉c ；i n l 2 ) 。h i n ：+ f 4 f - 伽3 n 研) 霜，d 2 曼i 雨n 一2 1 ( 3 ) n 叩- ( 4 。) h 两2 干r ，易知t 2 0 ，化简( 3 2 4 ) 得 。- - i ig | | 蕊5 丽警鬻蔷一n t l g 一彬睡】( 3 2 8 如果 剜 g ，( n ，p ) ( 如一j 1 ) 2 v o l ( m ) s - n 酬嶝： d 焉 矧g | ! 一溆，p ) ( 勃一蠡) 2 v o l ( m ) l ( d 2 6 1 ) 曼0 n 一2 ) 若( 如一d - ) 0 ，由定理的条件 研i l 韶j ( 如一5 1 ) g ( n ，p ) v o i ( m ) ( 如一曲) g ( 竹，p ) v o l ( m ) 又由( 3 3 6 ) 得出如一是= o 箍出矛_ 蓍，骈以如= 点= 0 ( 32 7 ) ( 3 + 2 8 ) 第舢页 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率予流形的整体刚性问题研究 定理3 3 。设m n 3 ) 是完备单连通空间“坤中”维紧致的平行平均 曲率予流形设j o 是0 严押韵截曲率，且满足曲k n 5 a ( 5 1 5 2so ) ，其中 6 l 一磊再i 高，屯磊焉爵n 夏= 疆，复合等距浸入肼”_ 妒切q 剜的 相对平均曲率再满足耳茎h o ，如果 l s 恬玉凸( n ，p ，6 1 ，5 2 ，h o ) ， 1 1s1 | 嚣( 如一5 1 ) d m ，p ) 口耐( 且彳) ， 爱目南= 如= o ，其中e 毫，p ，6 t ，如，h o ) 茹i 焉南f 丽而誓寿蓦一( 6 2 曲强 t 3 幽证明中绘出， 证明 记d ，p ) = 盎p n ( n 一1 ) ( 1 7 n 一1 5 ) ，d 7 m ，p ) * 矗砷m 一1 ) ( 1 7 n 一1 6 ) 由弓 理2 ，3 。引毽2 、4 及( 2 3 ) 可知 i 1 as 兰i e ( 碣；) 2 + q 一( 1 + ；s 弘每一1 ) ) 妒 n + n s l n + ；治一1 ) ( n 1 ) i ( 如一蠡) s ； ( 3 3 0 ) 对于h 一0 ，由( 2 1 ) ，( 2 2 ) 可知 e ( 曝) 2 兰n + - 2i v kp ( 3 3 1 ) 1 1v h , 睦丽雨1 蚣刈篙一瑚( 1 + i 1 圳酬弘 ( 3 3 2 ) 此时k 一( s + 扎p 2 。1 ， 若一0 ，结台( 3 ，3 0 ) ，( 2 7 ) ( 3 3 1 ) 及( 3 3 2 ) 利用g r e e n 公式得出 。 蒜蓦_ ( 1 增1m 。川啪巍 + ( 1 一+ 魂) n 一；( 是一曲) 和一1 ) ( ”一1 ) 一垒；：攀 i t s 照，( 3 3 3 d 7 ( ，v ) ( a 2 5 1 ) 2 n 耐( 艏) 由于以磊巧石i n 而，如磊巧蒜罩，我们定义 s = 赢8 n ( n 丽面篡5 1 ) n 练鬻面面丽 ( 3 t s t ) 一1 ) 2 【( 1 一岛+一i ( 岛一蠡) 一i ) 蕊一1 ) i j 第倒页 童兰查兰塑兰! 兰璧璺- 一兰堑兰堡壁墨量鎏翌塑! 整墅垡塑苎堕壅 优楚( 3 3 3 ) 褥 0 d 焉_ ( 1 + 知叫圳刚引f 南 ( 3 3 5 ) d 7 ，p ) ( 6 2 一连) 2 口。；( 材) 如果 眵l + 细1 嘞一1 ) t r 轨( 云( n 虿+ 2 两) ( n 辆- - 2 ) 2 一池鼢( a a s ) 则有 雕s 矗一d ( 他，p ) ( 晚一晚) 封以( 膨) j ( 如5 1 ) 0 ( aa t 、 崮我们翡镁设 f s “盎( 如5 1 ) d 0 * ，p ) ”o r ( m ) ( 如一以) d ，m ，p ) 掣“( m ) ， 舞| 我翻箍趱岛一5 1 一o ，即5 i ：面：0 宴苎i 4 ：兰m ”( ”3 ) 是n “忉维完备单连通黎曼流形n 切中。维闭的可定 窑署袭三竺挚率子漉黪，设噩v 怒“却斡截趣率，且满足最砸。冬孟f ：，葛。s 4 矗 震合等距浸入掰“一“却一矗豹稷i 平均醢率模长嚣满足帮兰凰” l ls n h 2 峰c ( n ，p ，5 1 ，如，e 硒) ， ls n i t 2i | 南( 如以) d ( p ) t ，拼( 五印， 则。竖竺竺墨于置4 忡，且膨必为矗”却中的全脐球面扩( 砉) 。这里。( n ，p ) 为与 黧亨关望至鍪，g ( n 灞鑫，岛，蜀褊；羹与弘矗，岛，露，妫族静歪数，一r o t ( m ) 。妄 流形m 的体积 证明 o ( n ，p ，盯) 为定理( b ) 中所提3 ) ，我们定义： g 秽，蠹，南，骂编) = 矗n 岛阮筘，彘，南，置焉j 岛如，p ，魂，如，墨函) 侥( n ，p ，d l ，屯，灯，h o ) ) 下面我们证明以= 如= 0 如泉日0 ，我们考虑下面两种情况： ( 1 ) p = i ，慰扫缝裂意瓒3 。1 ； ( 2 ) p 22 ，且 f f 妇一n h 2f | 南2 ( 如d 1 ) b ( n ，v ) v o l ( m ) 。 2 2 第嚣 一 浙江大学硕士学位论文平行平均曲率子流彤的整体削性问题研究 则同样可以由定理3l 所得若 i f 鼢一n h 2 | i 尚 ( d 2 一d 1 ) g ( n ，p ) v o l ( m ) ， 剿哥出定理3 2 胃褥 如果h = 0 则可以齑接由定理3 3 可得因此整体等距于舻+ p ，又因为| i s n h 2l | 罟i 墨c ( n ，p ，彘，是，h ，蕊) 茎o ( # ，p ，嚣) ，剿垂定纛可起，袭嚣0 ，蓑 有m 同余于铲( 击) ；若h o ，则m 为全测地的，证毕 第2 掌贸 浙江大学碰士学位论文 平行平均曲率子流彤的整体刚性问题研究 参考文献 f i 】ss c h e r t l m d oc a r m oa n ds k o b a y a s h i m i n i m a ls u b m m a i f o l d so f a s p h e r ew i t hs e c o n d f u n d a m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h ，f u n c t i o na n a l y s i sa n dr e l a t e df i e l d s ，s p r i n g e r - v e r l a g , n e wy o r k ( 1 9 7 0 ) + f 2 lh ，a t e n c a ra n dm d oc a r m o ，h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e 8 2 lc u r v a t u r ei ns p h e r e ， p r e c a m e rm a t h s o c ，1 2 0 ( 1 9 9 4 ) ，1 2 2 3 1 2 2 9 f 3 js 。y 。c h e n ga n ds t y a u ，h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e ，m a t h ；a n n 4 】s ，g o l d b e r g ，c u r v a t u r ea n dh o m o l o g y , a c a d e m i cp r e s s + l o n d o n ，1 9 6 2 5 d h o f f m a na n djs p r u e k ，s o b o l e va n di s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rr i e m a r m i a ns u b - m a n i f o l d s ，c o m m ，尹 a p p l ? * l a t h ，2 7 ( 1 9 7 4 ) ，7 1 5 - 7 2 7 。 6 】b 。l a w s o n ，l o c a lr i g i d i t yt h e o r e m sf o rm i n i m a lh y p e r s u r f a c e s ，a n n o f m a t h ，8 9 ( 1 9 6 9 ) l s 7 - 1 9 7 嘲pf 。l e u n g ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d si n8s p h e r e ，m a t h ，五，8 a ( 1 9 7 3 ) ，4 2 74 5 0 8 】a 。m l ia n dj m l i ，a ni n t i n s i cr i g i d i t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si nas p h e r e ， a r c h m a t h ，5 8 ( 1 9 9 2 ) ，5 8 2 5 9 4 键j m l i na n dc ；y x 毯g l o b a lp i n c h i n gt h e o r e mf o re v e nd i m e n s i n a lm i n i m a ls u b m u n n f o l d si nau n i ts p h e r e ，m a t h 五，2 0 1 ( 1 9 8 9 ) ，3 8 1 3 8 9 f 1 锤m o k u m u r a ，h y p e r s u r f a c e sa n dap i n c h i n gp r o b l e mo nt h es e c o n df u n d a m e n t a lt e n s o r a m e r ，m a t h ，9 6 ( 1 9 7 4 ) ，2 0 7 - 2 1 3 f 1 1 jc l s h e n ，ag l o b a lp i n c h i n gt h e o r e mf o rm i n i m a lh y p e m u r f a c e si ns p h e r e ，p r e c a m e r m a t hs o c ，1 0 5 ( 1 9 8 9 ) ：1 9 2 1 9 8 1 2 】j s i m o n s ，m i n i m a lv a r i e t i e si nr i e m a a n i a nm a n i f o l d s ，a n n o f m a t h ，8 8 ( m 6 8 ) ，6 2 - 1 0 5 第删页 浙江大学硕士学位论文 平行平均曲率子流形的整体刚性问题研究 f 1 3 1 k s h i o h a m aa n dh wx u la g e n e r a lr i g i d i t yt h e o r e mf o rc o m p l e t es u b m a n i f o l d s ，n a g o y a m a t h 王，1 5 0 ( 1 9 9 s ) ，1 0 5 1 3 4 1 4 1h w a n g ，s o m eg l o b a lp i n c h i n gt h e o r e m sf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si n s p h e r e ，a e