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文档简介

一类有界r e i n h a r d t 域上的函数论 摘要 本文考虑了一类包含原点的有界星形r e i n l a a r d t 域 如= ”l 娄( 势n ) ,y 其中m ,n 。都是正整数,。= ( o t ,n 。) 为m 维实向量,并且每 个分量都大于等于2 本文首先算出了函数空间l 2 ( d o ) n h o l ( d 。) 上韵一 组完备规范正交系与b e r g m a n 核函数以及b e r g m a n 度量矩阵然后又求 出了域d 。的c a u c h y s z e g 5 核函数s ( 。,i ) 接着证明了华罗庚引进的形式 泊松核函数昨( z ,i ;( ,i ) = ; 学不是泊松核函数最后证明了d 。是 拟凸域。y - i d 。是强拟凸域当且仅当d 。= d ( 2 ,2 ) ,即为复超球、一 | 蕊 厂 关键词:有界r e i n h a r d t 域,星形域,b e r g m a n 核,b e r g m a n 度量, c a u c h y s z e g o 核,形式泊松核,泊松核 t h ef u n c t i o nt h e o r y o fac l a s so f b o u n d e dr e i n h a r d td o m a i n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ,w ec o n s i d e ra c l a s so fb o u n d e dr e i n h a r d td o m a i n 5 d a :z 6 口i ( 妻i 挪i 。) 警 2 ,1 i m i f 口1 ,口m = 2 ,i t i sah y p e r s p h e r e i ng e n e r a l ,d a i sa c l a s so fb o u n d e ds t a r h k ec i r c u l a rd o m a 。i n sw i t hr e s p e c tt 。o r i g i n - 枷r s t ,a n0 r t h m 舢蕊 赢) t h f u n c t i o ns p a c el 2 ( d 口) n h o l ( d 口) ,w h e r e 扩:。卜瑶n ,:f 一冶1 。:嚣, t h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o ng ( z ,习a n dt h eb e r g m a n m e t r i cm a t r i x 丁( :,_ ) a r eo b t a i n e di nt h i sp a p e r s e c o n d l y ,w eg i v et h ec a u c h y s z e 9 5 k e r n e lf u n c t i o n s k 手) ,w h e r e = d a a n de o ( d a ) t h e nw ep r o v et h a tt h ef o r m a lp o 涵o n h ”1 心她 。,- 、阢,邵 p ( 。,i ;e ,( 12 黼 i sn o tap o i s s o nk e r n e lf u n c t i o n a tl a s t ,w ep r o v et h a td q i saq u a s m o “v e 。 d o m a i na n dd a i sa s t r o n g e rq u a s i c o n v e x d o m a i ni fa n do n l yi f 口= ( 2 ,2 ) n a m e l y ,d 口i sah y p e r s p h e r e k e yw o r d s :h o u n d e d r e i n h a r d td o m a i n s t a r l i k ec i r c u l a rd o m a i n ,b 。g 。” k e r n e l b e r g m a nm e t r i c ,c a u c h y s z e 9 5k e r n e l ,f o r m a lp o i s s o nk e r n e l ,p o i s s o “ k e r n e l 符号约定 我们用符号r 表示实数域,c 表示复数域。皿”表示实数域上的n 维线性空间,c “ 表示复数域上的n 维线性空间 c “中的连通开集d 称为域当d 有界时就称为有界域 a d 表示d 的边界记 其中 d 口= z = ( ,z m ) c “i i = 1 i 卵i 1 1 ) 且每个分量都大于等于2 ,又 设:,w d 。,记 = ( 口1 ,一,o m ) 碾m 1 2 = 吲2 ,i = 1 ,m d 。上平方可积函数的全体记为l 2 ( d 。) ,即,( z ) l 2 ( d 。) 当且仅当 l ,( z ) 1 2 j o 。 j d 。 其中 j = ( 掣) “d 2 1 ad z 2 a ad :。a d z la d z 2 a 瓦 为复欧氏测度l 2 ( d 。) 中全纯函数全体记为l 2 ( d 。) nh o i ( d 。) 在l 2 ( d a ) nh o i ( d a ) 中日 进内积如下; = ,( :) 而j ,g l 2 ( d 口) n h o l ( d 。) , j d 。 其中f i i i = 、乏了了了是,的范效 为简化记号,我们使用下面的习惯记法对于有序数组 卢= ( 卢1 ,一,风) ,展= ( 居1 ,风n ,) ,i s i m , 这里鼬,i = l ,m ,j = i ,n 都是非负整数 1 可 : 。 = 呵 = m 崩 m 扛叫= 再记 记 用= 【卢 + + 【风 = 臌 ,【鼠】:觑t + + 鼠。 i = l 竹1 n 。 p ! = 卢1 1 风! = i i 屈! ,展! = 展11 风。! = 屈j ! i = 1 j = l z o = : 因此扩的次数为归 _ 记k r o n e c k e r 符号 z 静= 1 i z 记( 口) k = 口( 口+ 1 ) ( 口+ k 一1 ) = 0 ,i j 1 ,i = j 2 :i 4 , n “4 i = i i :孑, j = 1 m 闰 = r,l砧| = 土幻堕h r 前言 熟知有界域的b e r g m a n 核函数是研究这个域上的函数论和几何性质的重要工具关于 域d 。,已知结果为: ( 1 ) 在1 9 3 3 1 9 3 4 年,b e r g m a n 计算出r e i n h a r d t 域 d = ( z ,) c 2j 。1 2 + l l 。 1 ) 的b e r g m a n 核函数,其中d 2 ( 2 ) 在1 9 7 8 年,a n g e l o 1 】计算出r e i n h a r d t 域 d = 。c “l 1 ,- - 10 r n 2 ) 的b e r g m a n 核函数特别在 0 12 = o t n l22 ,n n22 时,给出7b e r g m a n 核函数表为有理分式: 嗽,= 蒜翳( 篙) _ , 其中 z + = ( z l ,z n - 1 ) ,( + = ( c l ,一,厶一1 ) , = z 百“m n 一- 石,x = 粤 又( 篇) 忡表示篙对x 求n 阶戥 现在我们考虑一般情形,即考虑这样的域 其中 d 口- z e c i 妻( 妻蚓。) 孚 0 1 2r e i n h a r d t 域d 。的完备规范正交系 这一节的主要目的是求出l 2 ( d 。) n h o l ( d 。) 的一组完备规范正交系由前面的定义可 知,d 。是以原点为中心的有界星形r e i n h a r d t 域由定理118 和定理111 5 可知l 2 ( d 。) n h 。l ( 玑) 中存在可数的完备规范正交系,且它的一组完备规范正交系为 即( = ) ) = 面备) , 其中卢,扩,忙4 i | 见符号约定因此,为了求l 2 ( d 。) nh o l ( d 。) 的完备规范正交系,我们需 要求l i z 4 1 1 由直接计算,有 其中 e u c l i d 体积元素为 = 9 i | := ,l z 4j2 j j d 。 z l k = x l k + v ( 而i = 1 ,m ,女= 1 ,n j = d x l l d y l l ad z l n l d y l ,n 1a d m l d 掣m 1 - a d z m ,n 。 d n 。 作坐标变换 则 因而 。馆= ,沾e 佃”10 茎,i k 1 ,0 茎口佧 2 ”,i = 1 ,m ,岛= 1 ,n i 故作坐标变换后可得 d z l k d y i k = r i k d r i k d o i k d r l ,n ia d 0 1 n l d r m la d o m l 一ad r 仇,n 。 d o m ,。 扩1 1 2 2 0 + 上帆1 a - a 矾m l 枷 。 r i 归k 几“u 机1 帆m d r m l ( r ) 寻 l 7 z 筇 0 m m ( 警 ,【 。 删打 m m 一一 : = ( 2 丌) ” 再作m 组球坐标变换 “1 = r ic o s 风1 , r 22r is i n 巩1c o s 目i 2 r 1 m 一”2 s i n 巩l r i n = r is i n0 i l 其中o n l ,o ;,f = k ,m ,f - 1 所以 d r l ,n ia 一 d r m l a d r m 一。 s i n 巩、( n 一2 ) c o s o i ,( n 一1 s i n o i ,( n ,一2 ) s i no i ,( n 一1 啦一1 则妻慎:砰 d n la d r l 2 a d n n = r “- 一1 ) s i n ( a l - 2 ) 巩1 一s i no i ,( 。一2 ) d r l d s i ia d o i ,( 竹一l ,j 1 2 = ( 2 。) n f l 矾。) 删( r i 8 蛳。c o 咄:) 科1 m 。 i = 1 r ? l l = 1 ( r is i n o i l s i no i , ( n _ 2 ) c o s 0 ,( n 一1 ) ) 2 9 t “1 1 1 + 1 ( r s l n0 n s i n o i ,( n 。一2 ) s i 0 i ,。一1 ) ) 2 9 ,“+ 1 r f “一1 ) s i n ( - , - = ) 0 ,l s i n o ,( n 一2 ) d r d 目1 d o i ,( n 。一t ) l 1 ) d ,1 d r m c o s ( 2 0 - 1 + 1 ) 0 n ( s i n ( 2 风汁1 ) 0 n c o s ( 2 风升1 0 1 2 ) ( s i n ( 2 卢“n 一i ) + 1 ) o w l s i n ( 2 i , n - 一- ) + 1 ) o i ( n 。一2 ) c o s 2 芦“( n l - x r 1 o i ,( n , - 1 ) ) fs i n ( 2 口一t + 1 0 n s i n ( 2 4 - n + 1 目f ,( n 一2 ) s i n 2 4 - 4 + 1 日,( n 一1 ) ) s i n ( ”一2 7 目n s i no i ,( n 一2 ) d o ia d o i ,( n 一1 ) 2 r l i - - 1 ) d ,i d r m ( s i n o n ) 2 4 2 + 1 + + 2 4 - “+ 1 + “一2 ( s i n 0 2 ) 2 4 1 3 + 1 + + 2 4 n 。+ 1 + “一3 ( s i no i ( 。一2 ) ) 2 4 i , 一1 + 1 + 2 4 。“+ 1 。1 ( s l n 。i ,【。一1 ) ) ( 2 b q i , i4 - 1 ) d o n d o ( 。一1 ) 打 + 卵k r m m ( 争 、j哝 一 。 n2+ 2 矗 m ( ,夸 m n 斯 | i 户 m 啦 r m m ( i,巾 m n 斯i i 一 件卵 瞄 州 e j ,厶 m 其中 ( 2 ”) “ r ? 1 鲋 fs i n 巩2 ) ( s i n 目。,( 。 = ( 2 ”) “ 2 归 。j i = 1 r ? 1 = ( 2 ”) “ r ? 。 1 d r m ( 2 p ,+ 3 ( h i - 2 、1 一“ d o i ( n ,一1 d o n 一d o i ( m - 1 d r m 三r 篙j 2 ( p t ,+ n i - k ) - i j ( 2 卫c o s ( 2 f l k - - 1 ) o i k ( s i n o i k ) 9 磊1 d o l l - d o i , ( m - 1 = ( 2 ”) ”。;h :。r 2 t m + 2 m - 1 ) d r l d n n r ? 1 ;1 f i 前1 c o s ( 2 f l i 一+ 1 ) o i k = ( 2 ) “i l1 2 , 耻垂1 豇j ( 5c o s 斛m 1i = k = 。” 一”1 如= r j 2 p 。+ 2 “。1 帆 。 i = 1 r ? 1 如 一n帕 p 2 m n p 2) 疗s 目 +即 瞄 一 口 s 山n p 2 一 p 一 2 争 什筇 咖 州 1 2 r m m d 一巾 p q pn 扣 帖p 2 r m 女 一“n p * 2 k 争 0 硼 一“ n p *p 2) 曲 小 由定理1 1 1 6 可知 一lr ( 触+ 1 ) r ( + 旷 ) ,。= i 型l 一 5 1 。2 1 2 r ( 晟p + n 。一女+ 1 ) 2 鬲一2 鬲一 2 ( - - ”r ( 旧】+ m )2 r ( 慨】+ 啦) i = 1i = 1 下面求如令声= t f ,0s t f 1 ,i = 1 再作球坐标变换 r f 慨 + n 。) m 则d t t = 詈0 争- 1 d r l ,r 。= t 7 因而 = 善丢j 口1 o m 量t :c , t 12 c o s 妒l , t 22fs i n 妒1c o s 妒2 t m - 1 = fs i n 妒1 s i n 妒m 一2c o s 妒m 一1 t m = s i n 妒1 s i n 妒m 一2s i n 妒m 一1 其中0 f 1 ,o s 怫 t州缸枷( 。一。+ ! f 坠j 型+ 1 ) 一 7 口m n 。委豢蓦筹。磊。鼢础。 :墨至至互茎墨竺引风 2 一( 1 一 ) ( m + 等警+ 1 ) 芸装 ! 忆莲 。岳 寺 。 r ( f + n 。) r ( n 一。+ ! 坐三二兰立+ 1 ) “咿薹:。面霉高i 萧一岛y = :! j ! 。,一 2 矿( 1 一 ) ( m + 等导+ 1 ) 一垆差:。k 叫( 鼍掣k 刊( i 妻睾i ) 1 垆。l _ 2 _ o l i 一:,j 叫 一历瓦i 聂丐万磊再币厂一 这里( f + 1 ) ( n 。_ 1 ) ,( 型;导) ( n 一。+ 1 ) 见符号约定 ( 2 ) 当n 1 一= 口。一1 = 口。= 2 时,d 。为超球,它的b e r 哪a 核函数 酢,_ ) 2 而乏知垆茎:。 2 而( 1 - 南n - l - i ) 胪砉:。 幽f i n ! ( 丌n ) ( r 。乞一【 、 2 而1 i 扫( ,一( 一 ) ( “+ 1 ) ” 三垫:里三1 1 1 - - 7j ! ! 竺! 竺三、1 1 - 7j 涨i ) 小+ 1 一 7 这是熟知的结果 ( 3 ) 当n l = = n m = 1 ,m = n ,o t i = = 一1 = 2 ,口。2 时, 酢加而i 辆,童。 ( 掣“蠢筹素) f 2 赫赫( ,量。一掣) 2 矿( 1 一 ) ”“日色。“ 8 = 赢( 1 - 释( 篇1 ) 加2 一 ) “+ “一x 者 其中x = 受骠,( 豢) 表示豢关于x 的。阶戳这醌a n g e l o 【1 】 的结果 我们称 舻= 嘉薹耋笔警d z j k d 丽地丁k 彬 为域d n 的b e r g r o a n 度量其中k ( = ,习为域d 。的b e l r g r o a n 核函数,丁( :,_ ) 为域d 。的 b e r g m a n 度量方阵 下面我们来求丁( = ,- ) - 设t ( :,_ ) = ( b k ) 。,这里j ,p = 1 ,m ,女:1 , 一 | | q = l ,n 。根据定义1 1 1 3 可知 h j k , p q - - 甓鬻 :生f l 堕f ! :星1 8 :3 k 、k t z ,- 1o j 晶。 一l 堡丝f ! :1 2 一! k ( z ,i ) a 矾a j 而k 2 ( :,_ ) k ( :,i ) l 一再雨i 特别地,在原点有 c o k ( z ,- ) 9 k ( z ,= ) o z j k 艉面 0 2 ( a z ( :- e ) 4 ) 幽三! 一 ! a 矾以面k 2 ( :,i ) a ( 山( 。= ) 4 ) 垆】= o d z 讪 f!巳,8i 8 【k ( 硐( 蒹山卧二z j k 兰z m )胪j - 1 铂。豢州妻懈。i z z y z ) j , 铂象州毛懈。i ) j 卢p 口2 1 a ( 山( ;- ) 4 ) k o d 昂9 m ( 啦) 蔷= 蒜面,( 茎1 山默豢j 罢) f 蓦 【,l - ”h 口a ,j 。k : _ : 2 东( 撕以景象) 器 f0 , ( j ,b ) ( ng ) , p 1 2 屯如f 器啦n :卜( 。吾r n 等+ i 2 + 1 ) r ( 等) 【奄f ( 2 k f n v + 1 ) f ( 掣) 一丘砷叫n 们 。艘 一 第二章r e i n h a r d t 域d 。的c a u c h y s z e 9 5 核函数 在这一章,我们首先给出c a u c h y s z e 9 5 核函数的概念,然后再求出r e i n h a r d t 域d 。的 c a u c h y s z e 酌核 2 1引言 在单复变函数论中,有界域的c a u c h y 核只有一个而在多复变函数论中,人们可以从 各种不同的观点把单复交的c a u c h y 核推广到多复变中去,因而给定一个域,有可能有许多 种不同的c a u c h y 核,如l e r a y 核,c a u c h y - s z e 9 6 核,c a u c h y f a n t a p p i e 核等 在单复变中,考虑单位园盘b = :c | i z i 1 ) ,它的边界为( = e ”,0 爬它的c a u c h y 1 口 ,。i p 、 1 1 积分公式是,( z ) = 去,兰= 缶,它的c a u c h y 核是石1 丁,因为瞎i 1 ,所以有 磊1 而1 = 去薹c 钟= 薹( 去) ( 帮) 显然, ;= ( = 0 ,1 ,2 ,) 是l 2 ( b ) n h o l ( b ) 中的完备正交系,当:取边界上的值c 时, o 、z 丌o ,k 、 丢: 是边界上的规范正交系 因而可知单位园盘的c a u c h y 核可以

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