（基础数学专业论文）一类有界reinhardt域上的函数论.pdf

一类有界r e i n h a r d t 域上的函数论 摘要 本文考虑了一类包含原点的有界星形r e i n l a a r d t 域 如= ”l 娄( 势n ) ，y 其中m ，n 。都是正整数，。= ( o t ，n 。) 为m 维实向量，并且每 个分量都大于等于2 本文首先算出了函数空间l 2 ( d o ) n h o l ( d 。) 上韵一 组完备规范正交系与b e r g m a n 核函数以及b e r g m a n 度量矩阵然后又求 出了域d 。的c a u c h y s z e g 5 核函数s ( 。，i ) 接着证明了华罗庚引进的形式 泊松核函数昨( z ，i ；( ，i ) = ； 学不是泊松核函数最后证明了d 。是 拟凸域。y - i d 。是强拟凸域当且仅当d 。= d ( 2 ，2 ) ，即为复超球、一 | 蕊 厂 关键词：有界r e i n h a r d t 域，星形域，b e r g m a n 核，b e r g m a n 度量， c a u c h y s z e g o 核，形式泊松核，泊松核 t h ef u n c t i o nt h e o r y o fac l a s so f b o u n d e dr e i n h a r d td o m a i n s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e ra c l a s so fb o u n d e dr e i n h a r d td o m a i n 5 d a ：z 6 口i ( 妻i 挪i 。) 警 2 ，1 i m i f 口1 ，口m = 2 ，i t i sah y p e r s p h e r e i ng e n e r a l ，d a i sa c l a s so fb o u n d e ds t a r h k ec i r c u l a rd o m a 。i n sw i t hr e s p e c tt 。o r i g i n - 枷r s t ，a n0 r t h m 舢蕊 赢) t h f u n c t i o ns p a c el 2 ( d 口) n h o l ( d 口) ，w h e r e 扩：。卜瑶n ，：f 一冶1 。：嚣， t h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o ng ( z ，习a n dt h eb e r g m a n m e t r i cm a t r i x 丁( ：，_ ) a r eo b t a i n e di nt h i sp a p e r s e c o n d l y ，w eg i v et h ec a u c h y s z e 9 5 k e r n e lf u n c t i o n s k 手) ，w h e r e = d a a n de o ( d a ) t h e nw ep r o v et h a tt h ef o r m a lp o 涵o n h ”1 心她 。，- 、阢，邵 p ( 。，i ；e ，( 12 黼 i sn o tap o i s s o nk e r n e lf u n c t i o n a tl a s t ，w ep r o v et h a td q i saq u a s m o “v e 。 d o m a i na n dd a i sa s t r o n g e rq u a s i c o n v e x d o m a i ni fa n do n l yi f 口= ( 2 ，2 ) n a m e l y ，d 口i sah y p e r s p h e r e k e yw o r d s ：h o u n d e d r e i n h a r d td o m a i n s t a r l i k ec i r c u l a rd o m a i n ，b 。g 。” k e r n e l b e r g m a nm e t r i c ，c a u c h y s z e 9 5k e r n e l ，f o r m a lp o i s s o nk e r n e l ，p o i s s o “ k e r n e l 符号约定 我们用符号r 表示实数域，c 表示复数域。皿”表示实数域上的n 维线性空间，c “ 表示复数域上的n 维线性空间 c “中的连通开集d 称为域当d 有界时就称为有界域 a d 表示d 的边界记 其中 d 口= z = ( ，z m ) c “i i = 1 i 卵i 1 1 ) 且每个分量都大于等于2 ，又 设：，w d 。，记 = ( 口1 ，一，o m ) 碾m 1 2 = 吲2 ，i = 1 ，m d 。上平方可积函数的全体记为l 2 ( d 。) ，即，( z ) l 2 ( d 。) 当且仅当 l ，( z ) 1 2 j o 。 j d 。 其中 j = ( 掣) “d 2 1 ad z 2 a ad ：。a d z la d z 2 a 瓦 为复欧氏测度l 2 ( d 。) 中全纯函数全体记为l 2 ( d 。) nh o i ( d 。) 在l 2 ( d a ) nh o i ( d a ) 中日 进内积如下； = ，( ：) 而j ，g l 2 ( d 口) n h o l ( d 。) ， j d 。 其中f i i i = 、乏了了了是，的范效 为简化记号，我们使用下面的习惯记法对于有序数组 卢= ( 卢1 ，一，风) ，展= ( 居1 ，风n ，) ，i s i m ， 这里鼬，i = l ，m ，j = i ，n 都是非负整数 1 可 ： 。 = 呵 = m 崩 m 扛叫= 再记 记 用= 【卢 + + 【风 = 臌 ，【鼠】：觑t + + 鼠。 i = l 竹1 n 。 p ! = 卢1 1 风! = i i 屈! ，展! = 展11 风。! = 屈j ! i = 1 j = l z o = ： 因此扩的次数为归 _ 记k r o n e c k e r 符号 z 静= 1 i z 记( 口) k = 口( 口+ 1 ) ( 口+ k 一1 ) = 0 ，i j 1 ，i = j 2 ：i 4 , n “4 i = i i ：孑， j = 1 m 闰 = r，l砧| = 土幻堕h r 前言 熟知有界域的b e r g m a n 核函数是研究这个域上的函数论和几何性质的重要工具关于 域d 。，已知结果为： ( 1 ) 在1 9 3 3 1 9 3 4 年，b e r g m a n 计算出r e i n h a r d t 域 d = ( z ，) c 2j 。1 2 + l l 。 1 ) 的b e r g m a n 核函数，其中d 2 ( 2 ) 在1 9 7 8 年，a n g e l o 1 】计算出r e i n h a r d t 域 d = 。c “l 1 ，- - 10 r n 2 ) 的b e r g m a n 核函数特别在 0 12 = o t n l22 ，n n22 时，给出7b e r g m a n 核函数表为有理分式： 嗽，= 蒜翳( 篙) _ ， 其中 z + = ( z l ，z n - 1 ) ，( + = ( c l ，一，厶一1 ) ， = z 百“m n 一- 石，x = 粤 又( 篇) 忡表示篙对x 求n 阶戥 现在我们考虑一般情形，即考虑这样的域 其中 d 口- z e c i 妻( 妻蚓。) 孚 0 1 2r e i n h a r d t 域d 。的完备规范正交系 这一节的主要目的是求出l 2 ( d 。) n h o l ( d 。) 的一组完备规范正交系由前面的定义可 知，d 。是以原点为中心的有界星形r e i n h a r d t 域由定理118 和定理111 5 可知l 2 ( d 。) n h 。l ( 玑) 中存在可数的完备规范正交系，且它的一组完备规范正交系为 即( = ) ) = 面备) ， 其中卢，扩，忙4 i | 见符号约定因此，为了求l 2 ( d 。) nh o l ( d 。) 的完备规范正交系，我们需 要求l i z 4 1 1 由直接计算，有 其中 e u c l i d 体积元素为 = 9 i | ：= ，l z 4j2 j j d 。 z l k = x l k + v ( 而i = 1 ，m ，女= 1 ，n j = d x l l d y l l ad z l n l d y l ，n 1a d m l d 掣m 1 - a d z m ，n 。 d n 。 作坐标变换 则 因而 。馆= ，沾e 佃”10 茎，i k 1 ，0 茎口佧 2 ”，i = 1 ，m ，岛= 1 ，n i 故作坐标变换后可得 d z l k d y i k = r i k d r i k d o i k d r l ，n ia d 0 1 n l d r m la d o m l 一ad r 仇，n 。 d o m ，。 扩1 1 2 2 0 + 上帆1 a - a 矾m l 枷 。 r i 归k 几“u 机1 帆m d r m l ( r ) 寻 l 7 z 筇 0 m m ( 警 ，【 。 删打 m m 一一 ： = ( 2 丌) ” 再作m 组球坐标变换 “1 = r ic o s 风1 ， r 22r is i n 巩1c o s 目i 2 r 1 m 一”2 s i n 巩l r i n = r is i n0 i l 其中o n l ，o ；，f = k ，m ，f - 1 所以 d r l ，n ia 一 d r m l a d r m 一。 s i n 巩、( n 一2 ) c o s o i ，( n 一1 s i n o i ，( n ，一2 ) s i no i ，( n 一1 啦一1 则妻慎：砰 d n la d r l 2 a d n n = r “- 一1 ) s i n ( a l - 2 ) 巩1 一s i no i ，( 。一2 ) d r l d s i ia d o i ，( 竹一l ，j 1 2 = ( 2 。) n f l 矾。) 删( r i 8 蛳。c o 咄：) 科1 m 。 i = 1 r ? l l = 1 ( r is i n o i l s i no i , ( n _ 2 ) c o s 0 ，( n 一1 ) ) 2 9 t “1 1 1 + 1 ( r s l n0 n s i n o i ，( n 。一2 ) s i 0 i ，。一1 ) ) 2 9 ，“+ 1 r f “一1 ) s i n ( - , - = ) 0 ，l s i n o ，( n 一2 ) d r d 目1 d o i ，( n 。一t ) l 1 ) d ，1 d r m c o s ( 2 0 - 1 + 1 ) 0 n ( s i n ( 2 风汁1 ) 0 n c o s ( 2 风升1 0 1 2 ) ( s i n ( 2 卢“n 一i ) + 1 ) o w l s i n ( 2 i , n - 一- ) + 1 ) o i ( n 。一2 ) c o s 2 芦“( n l - x r 1 o i ，( n , - 1 ) ) fs i n ( 2 口一t + 1 0 n s i n ( 2 4 - n + 1 目f ，( n 一2 ) s i n 2 4 - 4 + 1 日，( n 一1 ) ) s i n ( ”一2 7 目n s i no i ，( n 一2 ) d o ia d o i ，( n 一1 ) 2 r l i - - 1 ) d ，i d r m ( s i n o n ) 2 4 2 + 1 + + 2 4 - “+ 1 + “一2 ( s i n 0 2 ) 2 4 1 3 + 1 + + 2 4 n 。+ 1 + “一3 ( s i no i ( 。一2 ) ) 2 4 i ， 一1 + 1 + 2 4 。“+ 1 。1 ( s l n 。i ，【。一1 ) ) ( 2 b q i , i4 - 1 ) d o n d o ( 。一1 ) 打 + 卵k r m m ( 争 、j哝 一 。 n2+ 2 矗 m ( ，夸 m n 斯 | i 户 m 啦 r m m ( i，巾 m n 斯i i 一 件卵 瞄 州 e j ，厶 m 其中 ( 2 ”) “ r ? 1 鲋 fs i n 巩2 ) ( s i n 目。，( 。 = ( 2 ”) “ 2 归 。j i = 1 r ? 1 = ( 2 ”) “ r ? 。 1 d r m ( 2 p ，+ 3 ( h i - 2 、1 一“ d o i ( n ，一1 d o n 一d o i ( m - 1 d r m 三r 篙j 2 ( p t ，+ n i - k ) - i j ( 2 卫c o s ( 2 f l k - - 1 ) o i k ( s i n o i k ) 9 磊1 d o l l - d o i , ( m - 1 = ( 2 ”) ”。；h ：。r 2 t m + 2 m - 1 ) d r l d n n r ? 1 ；1 f i 前1 c o s ( 2 f l i 一+ 1 ) o i k = ( 2 ) “i l1 2 ， 耻垂1 豇j ( 5c o s 斛m 1i = k = 。” 一”1 如= r j 2 p 。+ 2 “。1 帆 。 i = 1 r ? 1 如 一n帕 p 2 m n p 2) 疗s 目 +即 瞄 一 口 s 山n p 2 一 p 一 2 争 什筇 咖 州 1 2 r m m d 一巾 p q pn 扣 帖p 2 r m 女 一“n p * 2 k 争 0 硼 一“ n p *p 2) 曲 小 由定理1 1 1 6 可知 一lr ( 触+ 1 ) r ( + 旷 ) ，。= i 型l 一 5 1 。2 1 2 r ( 晟p + n 。一女+ 1 ) 2 鬲一2 鬲一 2 ( - - ”r ( 旧】+ m )2 r ( 慨】+ 啦) i = 1i = 1 下面求如令声= t f ，0s t f 1 ，i = 1 再作球坐标变换 r f 慨 + n 。) m 则d t t = 詈0 争- 1 d r l ，r 。= t 7 因而 = 善丢j 口1 o m 量t ：c ， t 12 c o s 妒l ， t 22fs i n 妒1c o s 妒2 t m - 1 = fs i n 妒1 s i n 妒m 一2c o s 妒m 一1 t m = s i n 妒1 s i n 妒m 一2s i n 妒m 一1 其中0 f 1 ，o s 怫 t州缸枷( 。一。+ ! f 坠j 型+ 1 ) 一 7 口m n 。委豢蓦筹。磊。鼢础。 ：墨至至互茎墨竺引风 2 一( 1 一 ) ( m + 等警+ 1 ) 芸装 ! 忆莲 。岳 寺 。 r ( f + n 。) r ( n 一。+ ! 坐三二兰立+ 1 ) “咿薹：。面霉高i 萧一岛y = ：! j ! 。，一 2 矿( 1 一 ) ( m + 等导+ 1 ) 一垆差：。k 叫( 鼍掣k 刊( i 妻睾i ) 1 垆。l _ 2 _ o l i 一：，j 叫 一历瓦i 聂丐万磊再币厂一 这里( f + 1 ) ( n 。_ 1 ) ，( 型；导) ( n 一。+ 1 ) 见符号约定 ( 2 ) 当n 1 一= 口。一1 = 口。= 2 时，d 。为超球，它的b e r 哪a 核函数 酢，_ ) 2 而乏知垆茎：。 2 而( 1 - 南n - l - i ) 胪砉：。 幽f i n ! ( 丌n ) ( r 。乞一【 、 2 而1 i 扫( ，一( 一 ) ( “+ 1 ) ” 三垫：里三1 1 1 - - 7j ! ! 竺! 竺三、1 1 - 7j 涨i ) 小+ 1 一 7 这是熟知的结果 ( 3 ) 当n l = = n m = 1 ，m = n ，o t i = = 一1 = 2 ，口。2 时， 酢加而i 辆，童。 ( 掣“蠢筹素) f 2 赫赫( ，量。一掣) 2 矿( 1 一 ) ”“日色。“ 8 = 赢( 1 - 释( 篇1 ) 加2 一 ) “+ “一x 者 其中x = 受骠，( 豢) 表示豢关于x 的。阶戳这醌a n g e l o 【1 】 的结果 我们称 舻= 嘉薹耋笔警d z j k d 丽地丁k 彬 为域d n 的b e r g r o a n 度量其中k ( = ，习为域d 。的b e l r g r o a n 核函数，丁( ：，_ ) 为域d 。的 b e r g m a n 度量方阵 下面我们来求丁( = ，- ) - 设t ( ：，_ ) = ( b k ) 。，这里j ，p = 1 ，m ，女：1 ， 一 | | q = l ，n 。根据定义1 1 1 3 可知 h j k , p q - - 甓鬻 ：生f l 堕f ! ：星1 8 ：3 k 、k t z ，- 1o j 晶。 一l 堡丝f ! ：1 2 一! k ( z ，i ) a 矾a j 而k 2 ( ：，_ ) k ( ：，i ) l 一再雨i 特别地，在原点有 c o k ( z ，- ) 9 k ( z ，= ) o z j k 艉面 0 2 ( a z ( ：- e ) 4 ) 幽三! 一 ! a 矾以面k 2 ( ：，i ) a ( 山( 。= ) 4 ) 垆】= o d z 讪 f!巳，8i 8 【k ( 硐( 蒹山卧二z j k 兰z m )胪j - 1 铂。豢州妻懈。i z z y z ) j , 铂象州毛懈。i ) j 卢p 口2 1 a ( 山( ；- ) 4 ) k o d 昂9 m ( 啦) 蔷= 蒜面，( 茎1 山默豢j 罢) f 蓦 【，l - ”h 口a ，j 。k ： _ ： 2 东( 撕以景象) 器 f0 ， ( j ，b ) ( ng ) ， p 1 2 屯如f 器啦n ：卜( 。吾r n 等+ i 2 + 1 ) r ( 等) 【奄f ( 2 k f n v + 1 ) f ( 掣) 一丘砷叫n 们 。艘 一 第二章r e i n h a r d t 域d 。的c a u c h y s z e 9 5 核函数 在这一章，我们首先给出c a u c h y s z e 9 5 核函数的概念，然后再求出r e i n h a r d t 域d 。的 c a u c h y s z e 酌核 2 1引言 在单复变函数论中，有界域的c a u c h y 核只有一个而在多复变函数论中，人们可以从 各种不同的观点把单复交的c a u c h y 核推广到多复变中去，因而给定一个域，有可能有许多 种不同的c a u c h y 核，如l e r a y 核，c a u c h y - s z e 9 6 核，c a u c h y f a n t a p p i e 核等 在单复变中，考虑单位园盘b = ：c | i z i 1 ) ，它的边界为( = e ”，0 爬它的c a u c h y 1 口 ，。i p 、 1 1 积分公式是，( z ) = 去，兰= 缶，它的c a u c h y 核是石1 丁，因为瞎i 1 ，所以有 磊1 而1 = 去薹c 钟= 薹( 去) ( 帮) 显然， ；= ( = 0 ，1 ，2 ，) 是l 2 ( b ) n h o l ( b ) 中的完备正交系，当：取边界上的值c 时， o 、z 丌o ，k 、 丢： 是边界上的规范正交系 因而可知单位园盘的c a u c h y 核可以