三垂线定理课件.ppt

第一章直线和平面,三垂线定理,江阴高级中学凌世春,这是偶然的巧合，还是必然？,coscos=cos,A,a,O,P,POa,？,已知PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：aPO,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,三垂线定理,证明：,aPO,PAa,AOa,a平面PAO,PO平面PAO,PAa,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,例1已知P是平面ABC外一点，PA平面ABC，ACBC，求证：PCBC,证明：P是平面ABC外一点PA平面ABCPC是平面ABC的斜线AC是PC在平面ABC上的射影BC平面ABC且ACBC由三垂线定理得PCBC,例2直接利用三垂线定理证明下列各题：,(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD,(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,(1),(2),(3),(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点，求证：POBD，PCBD,证明:,ABCD为正方形O为BD的中点,AOBD,又AO是PO在ABCD上的射影,POBD,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,BCAM,证明:,PB=PCM是BC的中点,PMBC,PA平面PBC,PM是AM在平面PBC上的射影,(3)在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1,在正方体AC1中A1B1面BCC1B1且BC1B1CB1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证，A1CB1D1,由三垂线定理知A1CBC1,我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件,解题回顾,，怎么找？,三垂线定理解题的关键：找三垂！,怎么找？,一找直线和平面垂直,二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直,注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作为已知条件,解题回顾,三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：,相交直线,异面直线,使用三垂线定理还应注意些什么？,解题回顾,直线a在一定要在平面内，如果a不在平面内，定理就不一定成立。,例如：当b时，bOA,注意：如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？,但b不垂直于OP,解题回顾,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,面ABCD面面B1BCC1面直线A1C斜线a直线AB垂线b,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影，a,aAO，l平行于a。求证：l垂直于PO,若a是平面的斜线,b,直线b垂直于a在平面内的射影，则ab,三垂线定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直,线斜垂直,直线和平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,？,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,已知：PA，PO分别是平面的垂线和斜线，AO是PO在平面的射影,a,aPO求证：aAO,三垂线定理的逆定理,三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定理,逆定理,例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO,分析：要证BAO=CAO只须证OE=OF,OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明：,PO,OE、OF是PE、PF在内的射影,PE=PF,OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB,OEAB,同理可得OFAC,结论成立,例4在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD求证：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,1.在正方体AC1中，E、G分别是AA1和CC1的中点，F在AB上，且C1EEF，则EF与GD所成的角的大小为（）(A)30(B)45(C)60(D)90,D,M,EB1是EC1在平面AB1内的射影,EB1EFDGAMEB1EFDG,练习与作业,2.已知PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC