（基础数学专业论文）一类带有弱耗散项的半线性波动方程的cauchy问题.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 自上世纪八十年代开始，对非线性发展方程经典解的整体存在性的研究 提出了一套新的处理方法，即在通常对解和能量估计的基础上，利用相应的 线性齐次方程的解在t 专+ 时的衰减性质，将两者结合起来，就可以在一定 的条将下，在小初值的情形得到其经典解的整体存在性，且说明t 寸+ o o 时仍 具有一定的衰减性。 这种方法可以对一大类的非线性发展方程得到统一的结果。对于带有耗 散项的线性波动方程，已经有很多作者研究过，其中若耗散项与时间有关， 其代表一类电报方程。 绪论中介绍了非线性波动方程的研究背景和现状以及本论文要解决的问 题和得到的结论。 第二章和第三章分别通过一类带有与时间有关的弱耗散项的线性波动方 程的c a u c h y 问题的解在s o b o l e v 空间中的衰减估计，利用整体迭代法和压缩 映射原理，在小初值情形下得到其半线性波动方程右端的非线性项f 在满足 一定条件的情况下，其c a u c h y 问题解的存在唯一性及解在t 一蜘时的衰减 性，其中第二章考察了f 依赖于d u 的情形，第三章考察了，显含甜的情形。 关键词：半线性波动方程：弱耗散项：整体迭代法；压缩映射原理 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t f r o mt h e19 8 0 s ，an e ww a yd e a l i n gw i t he x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n so f n o n - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sh a db e e ng i v e n t h em e t h o di ss t r o n g l yd e p e n d e d o nt h ee n e r g ye s t i m a t e sa n dd e c a ye s t i m a t e so ft h es o l u t i o no ft h el i n e a r h o m o g e n o u se q u a t i o n t h u sw ec a ng e t t h ee x i s t e n c ea n dd e c a ye s t i m a t e so f g l o b a ls o l u t i o no ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nu n d e rs o m ea s s u m p i t i o n so n n o n l i n e a rt e r ma n di t si n i t i a ld a t aa r ee n o u g hs m a l l t h i sm e t h o dc a nb eu s e dt od e a lw i t hal a r g en u m b e ro fn o n - l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dl i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hd i s s i p a t i v et e r m s i ft h ew e a kd i s s i p a t i v et e r mh a sr e l a t i o n sw i t ht h et i m e ，i tc a nb er e g a r d e da s t e l e g r a p he q u a t i o n i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n td e v e l o p m e n to fn o n - l i n e a rw a v e e q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，a n ds o m er e s u l t sr e l a t e da r eg i v e n i nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3 ，w i t ht h eh e l po fd e c a ye s t i m a t e so fs o l u t i o ni n s u i t a b l es o b o l e vs p a c ef o ral i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hw e a kd i s s i p a t i v et e r m ，w e g e tt h eg l o b a le x i s t e n c ea n dd e c a ye s t i m a t e st ot h ec o r r e s p o n d i n gc a u c h yp r o b l e m f o rt h es e m i - l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hw e a kd i s s i p a t i v et e r mw h i c hw a sw i t h s m a l li n i t i a ld a t aa n du n d e rs o m ec o n d i t i o n so nn o n l i n e a rt e r mfb yg l o b a l i t e r a t i v em e t h o da n dc o n t r a c tm a p p i n g e s p e c i a l l y , i nc h a p t e r2w es t u d yt h e p r o b l e mw h i c hfd e p e n d so nd u ，a n di nc h a p t e r3w es t u d yt h ep r o b l e mw h i c h fc o n t a i a su k e yw o r d s ：s e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；w e a kd i s s i p a t i v et e r m ；g l o b a li t e r a t i v e m e t h o d ；c o n t r a c tm a p p i n g 西南交通大学凹南父遗大罕 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论 文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：猩凤 日期：2 叫6 1 指导老师签名： 日期：郦7 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作 所得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 结合相应线性波动方程的c a u c h y 问题解的衰减估计式，通过引入能 体现非线性问题解的衰减性质的空间 ，应用压缩映射原理证明 了一类带有时间变系数弱耗散项的半线性波动方程的c a u c h y 问题整 体经典解的存在唯一性。 2 说明了度量空间 的确定与半线性波动方程右端的非线性项的关 系。 程凤 硼- 6 。迟 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 非线性波动方程的研究背景和现状 在数学物理方程中，双曲型偏微分方程通常用来描述以有限速度传播 的信息的发展进程问题。波动方程是一种重要的双曲型偏微分方程，它通 常描述所有种类的波，例如声波、光波、水波等等。它出现在不同领域， 例如声学、电磁学、流体力学等等。其中最简单最标准的模型就是自由波 动方程： 一c 2 a u = 0 ， ( 1 1 1 ) 其中c 表示波的传播速度，= a ；是欧几里德空间中通常的拉普拉斯 算子。 如果这个模型用来描述弦振动、膜振动或声音传播振动的性质，那么 它通常与某些初边值条件一起使用。对于方程( 1 1 1 ) ( 设c = 1 ) 的c a u c h y 问题： u “一a u = 0 ， ( 1 1 2 ) u ( x ，0 ) = f ( x ) ，u t ( x ，0 ) = g ( x ) ， ( 1 1 3 ) 其解及其偏导数的性质已经被许多作者研究过，并且得出了很多结论 1 6 】。李大潜和陈韵梅 7 】利用球平均法和降维法得出n 维情形下方程( 1 1 2 ) ( 1 1 - 3 ) 的解的表达式；r s t r i c h a r t z 8 】得出当初值具有一定的正规性时其 解满足如下的衰减估计式 忱g 叫卜删刹酬汕例， ， 其中p 2 g ；李大潜和陈韵梅7 】得出当厂和g 适当光滑，空间维数，z 1 时 其解的导数的一口估计式为 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 帆c ( 1 + f ) 一丁n - i ( * 1( 缈w 1 + | l g | h 1 ) ，v t 0 , ( 1 1 5 ) 其中d u = ( “。，“而，u x ) ，n 0 为任一整数，c 是一个正常数，q 2 ， 土+ 1 ：1 ，煎望：n ( 2 - p ) 。 pg qp 一般而言，方程( 1 1 1 ) 不能模拟现实世界的问题。而能用拟线性方 程描述弦振动和膜振动是因为弦长膜曲面的变形与其能量之间存在一定的 联系，方程( 1 1 1 ) 是在它的平凡解u 三0 时的线性化。另外一种理想的状 况是在方程( 1 1 1 ) 中排除了其它因素的影响，例如弦在真空中振动，声 音在理想气体中传播，电场周围没有电荷和其它物体的干扰。 电磁波在没有自由电荷的物体内传播，比如在导体中传播时，用所谓 的电报方程描述如下： 呻_，r 斗 e f f c 2 e + 兰e ，：0 ，( 1 1 6 ) 其中c 2 a r 吕= 1 ，c 表示波的传播速度，仃表示传导性。类似的，对于膜振动， 其耗散环境也导致出现了这种一阶项。 对于如下的线性阻尼波动方程的c a u c h y 问题： 一“+ o t ( x ，f ) = 0 ， ( 1 1 7 ) u ( x ，0 ) = u i ，u t ( z ，0 ) = u 2 ， ( 1 1 8 ) 其中系数a ( x ，t ) 0 ，许多作者研究了耗散项a ( x ，t ) 不同时其对解的渐进性 的影响。其中，当a ( x ，t ) = 1 时，a k i t a k am a t s u m u r a 9 1 利用f o u r i e r 变换得出 其解的表达式，且得出当“，c 孑，u ：c 芋时，其解关于时空的偏导数满足 如下的估计式 | | ( 昙) ( 昙) 8 “( r ) i i r c ( 1 + r ) 一州2 卜f - ( 1 ，2 ) | 叫( i l “。 h i n 2 1 t 1 - - u i 忆+ u 2o m h 制+ i i “：) ( 1 1 9 ) 里窭韭燮兰堕塑窒竺兰焦笙窒 笪i 夏 | ( 言) ( 昙) 。跖( f ) 也c ( - + r ) - ( n 1 4 ) - i - ( 1 1 2 ) l a ( f | “。i i 片h 。i + i i “。i i 一+ | i “：j j 。一+ i i “：o f ) ， 当口( x ，。) = 6 ( f ) 为珀勺函数时，对于方程( 1 i 7 ) 其能量是单调递减的，j e n s w i r t h 1 0 1 详细的给出了系数6 ( f ) 在不同性质情形下其c a u c h y 问题的解的估 计式和能量估计式。其中当6 ( f ) = 上l l 时，j e n s 1 1 1 应用 l函数和+t w i r t h b e s s e f o u r i e r 变换得出其能量满足如下s t r i c h a r t z 型估计 ，v z ) 晰) 峪c ( 1 + f ) 噼州m 川叫2 ，叫坳i ，咖l ( i i 训一i l u 21 1 川， ( 1 1 1 1 ) 其中p ( 1 ，2 】，吉+ 吉= l ，且名 咒( 1 p - 1 q ) ，其解满足如下p 口估计 i l u ( t ，) 0 - ( c ( 1 l “，i j 缈，+ 0 “：0 矿乍一，) ( 1 + f ) 懈 - ( ( n - 1 ) 1 2 ) ( i p - i i q ) - i t 2 , - n ( i p - l q 帅) ，( o ，1 ) 1 + f ) 一”一1 7 2 1 7 p 一1 7 9 一1 7 2 ，z = ：1 ，c 罗 吾 ( 1 + ) 一叫p - 1 7 9 + 出( 1 。g ( p + ) ) 1 一p ， = l ，万 o ( 1 + f ) 懈m 州帅讹一h ( 1 l p - i i q ) ) ， 1 其中p ( 1 ，2 】，i 1 + i 1 = 1 ，万= ( ( ，z + 1 ) 2 ) ( 1 p 一1 g ) ，名 疗( 1 p 1 g ) ，在 第三种情形中护= 2 d ( 2 占+ 1 ) ；当l i 掣俐 ，l ( 三! ) ； pqpq 当tj ，t b ( t ) j0 0 时，j e n sw i r t h ( 1 3 】也给出了方程( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 的解 u = u ( t ，x ) 及其能量的估计式。当a ( x ，t ) = a ( x ) 为x 的函数时，k i y o s h i m o c h i z u k i 14 1 、m i t s u h i r on a k a o 15 1 、m o u r a db e l l a s s o u e d t l6 1 、y o n gh a nk a n g 1 7 】 等对此类方程做过研究。 对于线性波动方程，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具有 适当的光滑性，而且在整个半空间t 0 上是整体存在的。但对于非线性波 动方程，情况就根本不同了。一般来说，非线性波动方程的c a u c h y 问题的 整体经典解通常只能在时间t 的一个局部范围中存在，即使对于充分光滑甚 至还充分小的初值也是如此；相应的，解在有限时间内会失去正规性，而 产生奇性( 解本生或某些导数趋于无穷) ，这一现象称为解的破裂( b l o wu p ) 。 但另一方面，在一些特殊的情况下，例如限定空间维数、初值的性质、非 线性项的性质等时，仍可得到非线性波动方程的c a u c h y 问题的整体经典解， 虽然如此，对非线性波动方程的处理仍比线性波动方程复杂的多。对于非 线性波动方程的经典解的整体存在性的研究，已经有了很多的结果，并已 发展了不少有效的处理方法 18 - - - 2 0 ，例如紧致性方法、单调性方法、半群 方法、补偿紧致方法等等，但由于波动方程的范围十分广泛，非线性的具 体特点又多种多样，如上所述，只能在一些相当特殊的条件下才能得到经 典解的整体存在性，因此，已有的不少结果往往只是针对某一特定的物理 模型，某一类具体方程的定解问题而得到，总的说来结果显得比较零碎， 远未形成一个相当一般的理论。 我们知道，非线性问题的解往往是不能直接求得的，通常必须先对一 类较易处理的逼近问题求得原问题的近似解，然后通过对近似解建立适当 的估计式，再过渡到极限而得到原非线性问题的解。下面我们考察n 维非 线性波动方程的c a u c h y 问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 其中 旷“州蛐哦删( = 毒+ + 嚣) ， 4 ， u ( x ，0 ) = 缈( x ) ，u t ( x ，0 ) = y ( x ) ( x = ( 五，x n ) ) ， ( 1 1 1 5 ) d “= ( “，“矿一) = ( ，u 矿，“) ， 皿d “= ( 扰。u x j ，i ，j = 0 ，l ，z ，f + 1 ) ， 这里为了书写方便计，简记：x o = t 。 令 兄= ( 兄；( 丑) ，i = o ，1 ，z ；( 乃) ，i ，j = o ，1 ，一n i + j 1 ) ， ( 1 1 1 6 ) 假设方程( 1 1 1 4 ) 中的非线性项f ：f ( 五) 在五：0 中的一个邻域中适当 光滑，并成立 f ( i ) = d ( 例) ， ( 1 1 1 7 ) j i i + 口 其中口l 为整数。 关于c a u c h y 问题( 1 1 1 4 ) ( 1 1 1 5 ) 在t 0 上的整体经典解的存在唯 一性，首先由s k l a i n e r m a n 2 1 1 于1 9 8 0 年在口= 1 的情形借助于波动方程解 的r ( 尺“) 范数当t 一+ o o 时的衰减估计及能量估计式，而且为了得到c a u c h y 问题的逐次近似解，并保证其在整个求解区域t 0 上的收敛性，利用 n a s h m o s e r h 6 r m a n d e r 迭代格式，在上述一般的情形下，证明了：若空间 维数 ，z 6 ， 则在小初值的情形( 即设伊( x ) 和矿( 工) 的某些s o b o l e v 空间的范数n n 4 , ) ， c a u c h y 问题( 1 1 1 4 ) ( 1 1 15 ) 在t 0 上存在唯一的整体经典解，并在 t 专悃时具有一定的衰减性。后来s k l a i n e r m a n 2 2 1 于1 9 8 2 年又用同样的 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 方法对口1 ( 口为整数) 的一般情形，在空间维数满足条件 土f 1 + 土) 2 ) 范数的衰减性，采用局部解延拓法来证明c a u c h y 问题的整体经典解的存在性。1 9 8 5 年s k l a i n e r m a n t 2 4 1 借助于在波动算子的 l o r e n t z 不变性的基础上所得到的一些估计式，利用局部解延拓法将口= 1 时 对空间维数的限制改进为 ，l 4 。 以上的讨论都是在非线性右端项f 不依赖于u 的情形下进行的。由于波动 方程的解本身在r 帜”) 空间中的范数不能用通常的能量积分法得到估计， 从而影响到解本身在t 一+ 时的衰减性，因此，在，还可能依赖于u 的情 形，为了在小初值条件下得到整体经典解的存在唯一性，对空间维数n 将 要提出更强的限制。a k i t a k am a t s u m u r a t 2 5 】在其博士论文中采用局部解延拓 法，在n = 2 或3 的情形，讨论了系数依赖于u 及d u 的一类拟线性波动方程 的c a u c h y 问题，证明了其整体经典解的存在唯一性。局部解延拓法实际上 是将整个证明过程分为两步：第一步先通过近似解序列在关于t 的局部区域 上的收敛性，来得到局部解的存在性：第二步再利用对解建立适当的一致 先验估计式，将局部解延拓为整体解。和n a s h m o s e r - h s r m a n d e r 迭代格式 相比，局部解延拓法显得更为自然，而且也比较简便和清楚，这是目前证 明整体解存在性的一种常用的方法，特别在局部解的存在性为已知的情况 下，采用这方法的优点更为突出，但如果要完整地写出证明的全过程， 工作量仍然是很大的。 李大潜和陈韵梅【7 1 对处理这类整体经典解的存在性问题，建立了一套简 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 明而又规格化的处理方法，既避免了使用复杂的n a s h m o s e r - h s r m a n d e r 迭 代格式，又无需先证明局部解的存在性，就可直接证明整体经典解的存在 性，并同时得到解在tj 佃时的衰减性质。他们引入一个同时体现了解的 能量估计及解的衰减性的函数空间作为迭代的基本空间，只利用简单的迭 代格式和普通的压缩映射原理，就可直接证明近似解的序列在整个求解区 域t 0 上的收敛性。这里对非线性问题的整个讨论只需建立在相应的线性 问题的基础上，即只需要利用相应的线性问题的解的存在性及能量估计式， 以及相应的线性齐次问题的解当tj + 时的衰减估计式。 不过这个方法也有一个较大的限制，就是所考察的非线性波动方程是 在线性波动方程上加上任意的二阶或二阶以上的非线性摄动项而得到的， 且通常只能对小初值的情形得到结果，由于衰减性质和空间的维数有关， 因此往往还要对空间维数加以一定的限制( 如果维数太低，解可能不衰减 或衰减程度不足以保证解的整体存在性) 。 1 2 本论文的主要目的 本文主要研究一类带有与时间有关的弱耗散项的非线性波动方程的 c a u c h y 问题的整体解的存在唯一性质，并同时得出其解在t 专棚时的衰减 性。更明确地说，本文在后面分别研究了以下两种非线性波动方程的c a u c h y 问题，其中在第2 章中研究了非线性右端项f 依赖d “的半线性波动方程的 c a u c h y 问题 一材+ 毒圹f ( d 班 ( 1 - 2 1 ) u ( o ，) = “l ，u t ( o ，) = z 2 ， ( 1 2 1 2 ) 其中 0 ，u 。，u ：g ( 尺“) ；在第3 章中研究了非线性右端项f 显含“的 半线性波动方程的c a u c h y 问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 一幽+ 鲁铲肌，圳， ( 1 2 ) u ( o ，) = “l ，“，( 0 ，) = u 2 ， ( 1 2 4 ) 其中 0 ，“i ，“2 c o ( r “) ：j e n sw i n h 【l l 】已经得出了( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 的线性方程的解和能量的寸l q 估计式，一1 + 一1 ：1 。 pq 当方程( 1 2 1 ) 和( 1 2 3 ) 中非线性右端项f 满足( 1 1 1 6 ) 一( 1 1 1 7 ) 式， 且它们的初值足够小时，本文利用它们的线性方程的解及其偏导数的估计 式，引入一个同时体现了解的能量估计及解的衰减性的函数空间作为迭代 的基本空间，用简单的迭代格式和普通的压缩映射原理证明了方程( 1 2 1 ) ( 1 2 ) 和( 1 2 3 ) () 的整体经典解存在目唯一。21 24 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 第2 章非线性右端项，依赖d “的半线性波动方程 的c a u c h y 问题 2 1 引言 在本章中，我们研究方程( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 解的整体存在性。 对于半线性波动方程的c a u c h y 问题 u f f a u + a n r = f ( d u ) ， u ( o ，) = “i ，u f ( 0 ，) = u 2 ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中a 0 。a k i t a k am a t s u m u r a 2 6 】给出了a = 1 时，小初值情形下方程( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的解的衰减估计式，并证明了其存在唯一的整体解。a k i t a k a m a t s u m u r a 【9 j 研究了a 0 为任意常数时，小初值情形下方程( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的解的衰减估计式，并证明了其存在唯一的整体解，其中还给出了一种特 殊情况，即在，z = 1 ，f ( d u ) = l u ，r “，时解关于时空的估计式。a k i t a k a m a t s u m u r a 所用的主要工具是局部解延拓法，过程显得比较复杂。李大潜和 陈韵梅 7 1 的方法也能解决具有某种耗散机制的非线性波动方程，且整个证明 的思路和步骤要清楚和简便很多。本章中我们就是用此方法解决方程 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 的解的整体存在性。 2 2n 维齐次线性波动方程c a u c h y 问题解的一些估计式 考虑n 维齐次波动方程的c a u c h y 问题 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 旷甜+ 考驴o ， u ( o ，) = i ，“，( o ，) = “2 ， 其中 0 ，“i c g ，“2 c g ，根据式( 1 1 11 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 如果p = q = 2 ，当较小时，其对衰减率有直接的影响，对r r 而言， = 2 是临界值。 如果 2 ，估计式( 1 1 1 1 ) 概括了估计式( 1 1 5 ) ，这样耗散项没有 掣 改变s t r i c h a r t z 型估计的结构，且还带有衰减因子( 1 + t ) ：，这种情况称 无效耗散。 如果2 ，z + 3 ，则 - ( n - 1 ) 2 ( 1 p 一1 g ) 一2 一n ( 1 p 一1 g ) 一1 ， 即衰减阶数是一n ( 1 p 一1 q ) 一l ，此时衰减项的结构完全改变了，这种情 况称有效耗散。 如果2 0 ，若设 甜1 h 5 + 1 ( r “) ，u 2 h 5 ( 尺”) ， f 亭( 0 ，r ；日5 ( 尺”) ) ， 其中s 0 为任一整数，则对c a u c h y 问题( 2 3 6 ) 的解u = u ( t ，x ) ，必要时 适当修改在区间 0 ，刀的一个零测集上的数值后，有 u c ( o ，t ；h 川冰”) ) ， ( 2 3 11 ) u ，c ( o ，t ；h 5 ( 尺”) ) 。 ( 2 3 1 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 引理2 3 8 h 3 设，= f ( w ) 充分光滑，并满足 f ( o ) = 0 ， 其中w = ( w l ， w n ) 。对任何整数s 0 ，若向量函数 且 则 且 w = w ( x ) w l p ( r “) ，1 p + ， w l 矿( m ， f ( w ) p ( 彤) ， ( 2 3 1 3 ) f ( w ) l 胪，( c ) 1 1 w l | 胪v ( 2 3 1 4 ) 其中c ( m ) 是一个与m 有关的常数。 2 4 度量空间氐 为了下面的需要，对任意给定的整数 瓦暑面“与 s + ! j ，z 】+ 1 及正常数e 磊，引入如下的函数集合 口+ l k 而e = v = v ( t ，x ) i ，( 1 ，) e ，v ( o ，x ) = u i ) ， ( 2 4 1 ) 堕童奎望奎兰巫圭婴室生兰篁笙塞 望! 鱼夏 - 一 其中记 d o 川= 哿( 1 + f ) f f d v ( f ，虬，+ 掣+ e ) 扣叭。) h ：i ) ( n ， ( 2 4 2 ) 容易看到，若v x ，e ，则 d v r ( o ，o o ；h 。( 尺”) ) ， ( 1 + t ) d v r ( o ，o o ；h 5 ( 尺”) ) ， d v r ( 0 ，；w o ，2 州( 尺“) ) ， ( 1 + f ) 鬲肿1r(0，oo；w。dvc o ；w ，2 ( 州( 尺”) ) ， ( 1 + f ) 甜1 r ( ，一旧”( 尺“) ) ， 在k e 上引入如下的度萼，v v ，v x s o ， p ( v ，v ) = 。，( v v ) 。 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 2 5c a u c h y 问题( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) 的整体经典解的存在 唯一性 在本节中要证明本章的主要结果，即 定理2 5 1 设方程( 1 2 1 ) ( 1 2 ，2 ) 中阿+ 3 ，其非线性右硼2 t l a 叫、隽足r 。一心4 - - 足( 1 1 1 6 ) 一( 1 1 1 7 ) 式，则对任何整数 夏i n 面+ 1 及s s o + 南，z + 1 ， 存在适当小的正常数万及e ，使得当初值 2 i a + 1 )! 竺坐 日州( 尺一) n w 什1 督( 尺“) ，。“2 日5 ( 尺“) n w 岛丽。( 尺”) ， ( 2 5 1 ) 且 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 7 页 “。) + b 筹( n + h + 蚓b 等( n 6 e ( 2 5 2 ) 时c a u c h y 问题( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 存在唯一的整体解，且解在t 一+ 时具 有一定的衰减性。进一步，必要时适当修改t 在区间 o ，) 的一个零测集上 的数值后，对任何t 0 ，有 u c ( o ，丁；”1 ( 尺“) ) ， u ，c ( o ，t ；h 5 ( 尺”) ) ， u t t c ( o ，t ；h 。( r ”) ) 。 ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 。5 。5 ) 引理2 5 1 当忆+ - ( + 峙“等( 适当小，则 是一个非空的完备 空间。 证明：首先证明民 是个非空的集合，对于齐次波动方程的c a u c h y 问题 辑，一掰+ l 丝+ 【_ t 掰，= 0 ，掰( o ，) = 甜l ，毪( 0 ，) = 0 ， ( 2 5 6 ) 利用( 2 2 6 ) 式，( 在其中取n = s ) ，得 ( 1 + f ) 0 d “c b ( ，v f o ， ( 2 5 7 ) 利用( 2 2 8 ) 式，( 在其中取n - - s o ) ，得 ( 1 + f ) 南川i l d “( 训b i ) ( n c 慨i 州裂( ) ，v f o ，( 2 5 8 ) 由此易知，c a u c h y 问题( 2 5 6 ) 的解必属于x $ 0 ，从而 e 非空。 其次，易知置胪。e 对度量( 2 4 7 ) 构成一度量空间。为了证明它的完备 性，设 1 ) i ) 为其一c a u c h y 列，即设 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 8 页 p ( ，v ，) j0 ，f ，寸0 0 ， ( 2 5 9 ) 我们要证明存在“ ，使得 p ( m ，u ) j0 ，ij o o ， ( 2 5 1 0 ) 由( 2 5 9 ) 式可得 ( 1 + f ) d v ) 分别为空间r ( 0 ，o o ；h 5 ( 尺”) ) 及r ( 0 ，o o ；w 如，2 口+ 1 ) 中的c a u c h y 列， ( 1 + f ) 南州d v ) 为空间三m ( o ，o o ；知 2 ( 州) 中的c a u c h y 列而 对任何丁 0 ， v i ) 为空间r ( 0 ，t ；h 什1 ( 尺”) ) 中的c a u c h y 列。于是，由上述这 些空间的完备性，存在函数甜= u ( t ，x ) ，使得当i a o 时有 专“在r ( o ，t ；h 什1 似”) ) 中强收敛，对任何r 0 ， ( 2 5 11 ) ( 1 + f ) d v 专( 1 + t ) d u 在r ( 0 ，o o ；h 5 根”) ) 中强收敛， ( 2 。5 。1 2 ) ( 1 + f ) 鬲t ；t 川眺( 1 + f ) 旦a + l 川 在m q 、o ，s o , 2 ( a + 1 ) ) 中强收敛，( 2 5 1 3 d u l o o ；w 51 3 ) ( 1 + f ) 叶1 眺( 1 + f ) 在。、，) 中强收敛，( 2 ) 由( 2 5 1 1 ) 一( 2 5 1 3 ) 式有 _ ( 0 ，) 一u ( o ，) 在日什1 ( 灭”) 中强收敛， b k 而u ( o ，) = “，于是“ e ，定理得证。 引理2 5 2 考察非齐次线性波动方程的c a u c h y 问题 旷“+ 考驴f ( d v ) ， u ( o ，) = “i ，“。( 0 ，) = “2 ， ( 2 5 1 4 ) ( 2 5 1 5 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 9 页 其中v x s o e ，定义一个映照 手：v “：争1 ，( 2 5 1 6 ) 则当f 满足( 1 1 1 6 ) ( 1 1 1 7 ) 式，且( 2 5 2 ) 中的万及e 适当小时，映 照丁将x , o 映射到自身。 证明：我们要证明当万及e 适当小时，v v e ， “= t v e 。 ( 2 5 1 7 ) 根据引理2 3 。6 ，c a u c h y 问题( 2 5 。1 4 ) 一( 2 。5 ，1 5 ) 的解可以写为 。“= 争v = 昙( 北) 州咖：+ f 叫f 印( 。) 矽f ， ( 2 5 18 ) 其中s ( t ) 是其齐次方程的线性算子半群，反应波动方程的本质，易知 砒= 。( 争v ) = 。( 昙( 北) 州咖：) + f 协( f 叫f ( 训”) 矽f ，( 2 5 1 9 ) 利用能量估计式( 2 2 6 ) 式，( 在其中取n = s ) ，由( 2 5 1 9 ) 式就得 i o “l l ，( r ，c ( 1 + f ) 一1 ( 0 “。0 ，“。尺。，+ l l “：l i h ，( 尺。，) + cj ：( 1 + f f ) 一10 f ( d v ( f ，) ) i l h ，。尺。) d r ， ( 2 5 ，2 0 ) 由( 1 1 1 6 ) ( 1 1 1 7 ) 式，根据引理2 3 1 得 慨d v ( 。) ) n 面i n 面+ 1 ，由s o b 。1 e v 嵌入定理，有 形m 2 叶1 ( 尺”) cp ( 尺”) 连续嵌入， ( 2 5 2 2 ) 于是由置胪e 的定义，有 d 1 ，( 训k ) cd 1 ，( 刮h ：1 ) ( c e ( 1 + f ) 一鬲o t ”l ，( 2 5 2 3 ) 又由 的定义，有 l l d l ，( f ，) l l 趴( 1 + f ) e e ， ( 2 5 2 4 ) 将( 2 5 2 1 ) 、( 2 5 2 2 ) 及( 2 5 2 3 ) 代入( 2 5 2 4 ) 式，并注意到( 2 5 2 ) 式，可得 h 。) c ( 0 + f ) 一1 j e + c e f ( 1 + h ) 一1 ( 1 + f ) 一( 驰打) ，( 2 5 2 5 ) 根据引理2 3 5 ，且口1 ，得 由( 2 5 2 5 ) 一( 2 5 。2 6 ) 式得 f ( 1 + t - r ) 一1 ( 1 + 丁) 一( 和) 口眺c ， ( 2 5 2 6 ) s u p ( 1 + t ) 1 d “) s o + 兰，z + 1 ，就得， 口+ l 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 眺毗如圳) c ( 1 + f ) 一扣( b 筹) + b 筹) ，( 2 5 2 8 ) + c f ( 1 + t - - f ) 一南川| i f ( d v ( r ，) ) i l 缈，等，d r + c j ：( 1 f ) 叶1 | i ，) ) i l 缈1 等( 由引理2 3 3 ，并注意到( 2 5 2 3 ) ( 2 5 2 4 ) ，得 i f ( d v ( r ，m ：”i i w 一 百2 a + 1 ) t ( _ c ld v ( 训h 。) 胁( 训1 ) ( ) c 0 d v ( ”) 川d ，( 。) h ：i 】( ，( 2 5 2 9 ) + 。( 1 + f ) 1 。( 三州) 口 于是由( 2 5 2 8 ) 式，并注意( 2 5 2 ) ，可得 d “( 。) 坤圳) c 6 e ( i + f ) 一旦a + l 川 + c e f ( 1 卅f ) 丽a 川( 1 + 7 ) + ( a + l 帅d f 根据引理2 2 5 ，且口1 ，得 ，( 2 5 3 0 ) f ( 1 + 声一( 1 + f ) 斗( a 口+ - - i 川) 口d f c ( 1 + f ) 一( 翱a + l ，( 2 5 3 1 ) f h ( 2 5 3 0 ) 一( 2 5 3 1 ) ，得 s u p ( 1 + f ) 嘉川l i d “( 训b ，c ( 犯+ e t + 口) ， ( 2 5 3 2 ) 由( 2 5 2 7 ) 及( 2 5 3 2 ) 式，易见只要选取万及e 适当小，就有( 2 5 1 7 ) 式成立， 定理证毕。 引理2 5 3 若( 2 5 2 ) 式中艿及e 适当小，则映照丁按照空间k 中的度 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 量是压缩的。 证明：任取v ，1 ，x s o e ，由引理2 5 2 ，当艿及e 适当小时，有 记 群= t v ，“= t v e ， ( 2 5 3 3 ) i i 一 = v = v 一1 ，= 一u ，(2534)uuv = v 一1 ， =一 ，k 我们需要证明当5 及e 适当小时，存在正常数1 1 1 ，使得 由映照丁的定义 一=一= p ( u ，u ) r l p ( v ，v ) 。 ( 2 5 3 5 ) u ：t - - 时+ 鲁甜= f ( d ；) 卅d i ) “( o ，) _ 0 “7 ( o ，- ) _ o ，( 2 5 3 6 ) 类似于( 2 5 2 0 ) 式，现在有 l l 。“术i l ，。，c j e ( 1 + t - r ) 一1l i f ( 。i v ) 一，( 。v , i i ，。，d f ，( 2 5 3 7