（基础数学专业论文）二阶微分方程的周期解.pdf

首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：叙奢旮 日期：2 印7 年钥加日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 攸劢劫 日期：2 啼印月，口日 摘要 本文考虑d u f f i n g 方程 z ”+ c 一+ 9 ( 。) = e c t ) ， 周期解的存在性，这里c 是任意常数当9 ( z ) 满足条件 l i m i n f 型；0 z + 十o 。z 并且 尝m ，z d g 筇j 时，利用延拓定理证明了方程周期解的存在性 另外，本文还研究了具有不对称非线性项的l 洳a r d 方程 z ”+ ，扛) 一+ o 霉+ 一6 z 一+ ) 十 ( z ) = p ( t ) 周期解的存在性当( a ，b ) 位于f a i k 谱曲线上，函数，( z ) ，咖( z ) 存在有限极限， 日( z ) ( = 詹h ( x ) d x ) 满足次线性条件，并且函数 ，( 口) = 2 n ( 掣一竺铲! 一f 0 2 ”p ( 蝴+ p ) ， 或 胁 e 2 ( 0 ) = 2 n ( f ( + c o ) 一f ( 一o o ) ) 一上p ( ) d ( t + p ) 不变号时，证明了该方程至少存在一个周期解 关键词d u f f i n g 方程；l i 6 n a r d 方程；周期解；延拓定理 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h es e c o n do r d e rd u 伍n g e q u a t i o n “+ c 0 + g ( z 、= e ( o 、 w h e r eci sac o n s t a n t u s i n gc o n t i n u a t i o nt h e o r e m ，w eo b t a i nt h e 岫t e n c eo fp e r i o d i c s o l u t i o n su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tf 知) s a t i s f i e s l i m i n f 型：o a n d 鬻m ? 吐 w h e r em ，da r et w op o s i t i v ec o n s t a n t s w ea l s os t u d yt h et h ee x i s 钯n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fl i d n a r d e q u a t i o nw i t ha s y m m 酏r i c n o n l i n e a r i t i e s 矿+ f ( x ) x + + 一b x 一+ 毋( z ) + ( z ) = p ( t ) a 韶u m et h a t ( o ，6 ) l i e so nt h e 凡酞s p e c t r u m ，( z ) ，毋( $ ) h a v ef i n i t e l i m i t s ，日( z ) ( = 臂 ( s ) 幽) i ss u b l i n e a ra n de i t h e r e l ( 驴2 n ( 掣一掣) 一j ( 知p ( t ) c ( t 删， o r 、2 ( p ) = 2 n ( f ( + o 。) 一f ( 一o 。) ) 一z 2 霄p ( t ) c ，o + 鼽 i so fd e f i n i t es i g n w ep r o v et h a tt h eg i v e ne q u a t m nh a sa tl e a s to 口l ep e r i o d i cs o l u t i o n k e yw o r d s ：d u f f i n ge q u a t i o n ；l i d n a r de q u a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n ； 0 使得 ( g o )s 9 ( z ) 9 ( z ) , u p l e ( t ) i ：t r ) ， z2 d 我们知道，如果没有其它附加条件，条件( g o ) 并不能保证方程( 1 1 ) 或( 1 2 ) 存在周 期解 a c l a z e r 3 在9 ( z ) 满足次线性条件 l i m 望盟；0 ( 1 4 ) 一o 和符号条件 s 9 ( z ) ( g ( z ) 一司0 ，i zj 2d 下，证明了方程( 1 2 ) 周期解的存在性此后，很多文章从不同的角度推广了条件 ( 1 4 ) 尤其是一些关于口( z ) 或g ( z ) ( = 譬g ( s ) d s ) 的单边条件【7 - 1 1 j m a w h i n 和j r w a r d 【9 】在条件湎) 和条件 h m s u 。p 掣 0 ，使得g ( x ) 满足 ( 9 2 ) 搿洲，”d 当条件( 卯) ，0 1 ) 和渤) 成立时，他们证昵了方程( 1 2 ) 至少存在一个2 1 r - 周期解 本文在( 9 0 ) ，( 9 1 ) 和) 成立的条件下，研究方程( i i ) 周期解的存在性，得到 以下结论 定理1 设条件) ，( 9 1 ) 和渤) 成立，则方程( i i ) 至少存在个2 霄- 周期解 本文还考虑了具有不对称非线性项l i d n a r d 方程 7 + ，( z ) 一4 - a z + 一b x 一+ ( z ) + h ( x ) = p ( t )( 1 6 ) 的周期解，其中，：r r 是连续函数，砂，h ：r r 是局部l i p s c h i t z 的连续 函数，p ( t ) ：冗一r 是连续的2 1 r - 周期函数， o 加为正常数，矿= m a z o ，z ， z 一= m a x o ，一z 方程( 1 6 ) 可以用来刻画悬浮斜拉桥桥面的振动和波在不均匀媒质中的传播由 于( 1 6 ) 的共振谱是线谱，它比传统的d u f l i n g 方程更为复杂目前，关于( 1 6 ) 周期 解的存在性及多解性( ，0 ) 已得到广泛研究【1 2 1 6 当，10 ，h e0 ，且d ，b 满足如 下等式时， 而 0 ，使得对任意a 【o 1 】，则 m o 正 z ( t ) ：t 【0 ，司 z 则方程( 2 1 ) 至少存在一个n 周期解 下面，介绍p o i n c a r & b o h l 不动点定理 设dc 舻是个有界的闭区域令口。是d 的内点如果从q 0 点出发的任何 射线l 与d 的边界n 有并且只有个交点( 记作p = l n f 2 ) ，则称区域d 关于口0 点 是星形的 记l q o ，p 】为在射线工上从q 0 点到p 点的线段，l q o ，p 】属于d l ( p ，o o ) 为从 点p 到无穷的线段，它属于d 的外部 p o i ”每b o h l 不动点定理【1 8 】设映射f ：d 一舻是连续的，其中dc 舻 是有界的闭区域，而且它的边界n 关于q o 点是星形的假设对一切p q 条件 ，( p ) 聋l ( p ，0 0 ) 或者条件f o ) 譬l q o ，p ) 成立，则，至少有一个不动点 d 设在空间舻中有一闭区域d ，它与圆球 研( o ) ：z ；+ 2 1 ，( z 1 ，) t p ， 是同胚的( 即，存在一个拓扑变换h ，使得h ( b 1 ( 0 ) ) = d ) 则d 叫做n 维的拓扑球 b r o u w e r 不动点定理 1 s l 设映射 f ：d d 是连续的，其中d 是个札维的拓扑球则，在d 上至少有一个不动点 7 第三章次线性d u r i n g 方程周期解的存在性 本章假设条件) ，国1 ) 和渤) 成立。通过改进文【1 1 中的方法，结合文f 2 】中的 方法，利用延拓定理证明方程矿+ c 一+ 9 ( z ) = e ( t ) 周期解的存在性 定理1 的证明当c = 0 时，文【1 】已经证明了方程+ g ( z ) = e ( t ) 周期解的存在 性下面假设c 0 为了方便，我们假设e = 0 在这种假设下，函数e ( t ) 仁詹e ( s ) 幽) 是以2 为周期的函数( 如果e 0 ，用e ( t ) 一6 来代替e ( t ) ，用g ( x ) 一6 来代替9 ( 。) ， 这样就可以满足假设的条件) 下面同【1 】一样，引进个变换固定t 0 ，并且令 t = ( 筝) s ，霉= ( 孕) 2 t ，则z ( t ) 是方程( 1 1 ) 的2 丌周期解当且仅当n ( s ) 是 ( 8 ) + 6 ( 8 ) + ( u ( s ) ) = ( s ) 的b 周期解，这里6 = 等，a ( s ) 一e ( 筝s ) 在s r 上是b 周期的，亘( t ) ：= 9 ( ( 争) 2 ) 满足条件( 卯) ，( 9 1 ) 和( 卯) 这样，就可以假设e ( t ) 是b 周期的，通过证明方程 + 甜+ g ( x ) = e ( t )( 3 1 ) 至少存在一个弘周期解，从而来证明方程( 1 1 ) 至少存在一个2 丌一周期解下面分 三步来证明 一不失一般性，假设在条件( 仍) 中m 1 为方便起见，取常数t ，0 0 ( 3 2 ) 由( 3 2 ) 和条件( 9 1 ) 司知，存在两个序列 。) ( 0 e n d ，z 。一十，n _ + o 。) 使得掣在z = z 。处取得局部极小值，即鸡掣= s 。因此， o 掣 0 ( 3 3 ) 这里 一s 印 ：掣 ，z ，+ ) ) 显然，对任意n ，a n 有限并且满足 坐嘻盟： x n 十n n 由( 3 3 ) 和条件( 9 2 ) 可得 ，( z ) 2 m e n ，z k n ，而，- i - a n 】 不失一般性，对任意的n ，假设 2 m 互1 ， 则有 ，( 茁) 互i ，z ，+ 】 在区间b ，z n , + a n 】上利用微分中值定理，再由( 3 5 ) 可得 夕( 。+ ) 一g ( z 。) = g ，( ) j ，f ( z 。，+ n ，) 即 因而有 z 岛( z 。+ ) 一s 。 瓦2 e n z 。 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 考虑过点p n 一( z 。，s 。) 斜率是1 2 的直线与直线f = 拈。z 的交点：= ( ，2 。磊) ，我们有 所以 进而 结合( 3 6 ) 和( 3 7 ) 有 因此，由( 3 3 ) 可得 2 n 牙n 一n $ n 1 i i 2 2 1 2 一x n2 r 五： = + r 瓮 + o 0 ，z 陋。，j k 】 所以i p ( z ) 在区间扫磊】上是单调递增函数因而，当z ，】时，妒( 牙n ) i p ( z ) 即 s 。z - 。2 一g ( 岛1 ) e n t 2 一g ( z ) 因此 g ( 毒。) 一g ( z ) 。( 牙。一z 2 ) ( 3 9 ) 三考虑方程( 3 1 ) 的等价系统 t 一5y - + e ( t ) ， ! ，= 一g ( z ) ，( e ( 。) 2 o 6 ( 8 ) d s ) ( 3 1 0 ) 这里e ( t ) 是连续的b 周期函数把( 3 1 0 ) 嵌入到含有参数a 1 0 ，1 】的系统中，有 一= a ( ”一a + e ( t ) ) ， | ，= 幻( z ) ( 3 1 1 ) 我们断言；对充分大的n ，取m = x n 时，延拓定理成立为此，令( z ( t ) ，! ，( t ) ) = ( z ( t ) ，v x ( t ) ) 是方程( 3 1 1 ) 的任意d 周期解 m a x x ( t ) = x ( t o ) = ， ( 3 1 2 ) 其中t o = t o ( x ，a ) 【o t 】由( 3 1 1 ) 和条件) 可知，存在f 【0 刁使得z ( 力 d ，则存在区间陋，用，其中 o t = n ( z ，a ) ，p = p ( z ，a ) ，满足卢一o d ，v t 【0 ，用， 又因为z ( t ) 连续，故有陋i ，t 2 】c 陋，明使得 t o 【t 1 ，t 2 】，x ( h ) = z ( 2 ) = z n ， 下面，我们分c 0 和c 0 ，这时 0 定义函数 v ( t ) = ；( ”( t ) 一耖( t o ) ) 2 + g 0 ) ) 一2 a y ( t ) ，t 陋1 ，t o 由( 3 1 2 ) 可知， 一( 幻) = 0 ，y ( t o ) = 蟊；一e ( t o ) 】0 对矿( 力求导可得 v o ) = m ( ( t ) 一口( t o ) ) ( 一9 ( t ) ) ) + 9 0 ( t ) ) ( ( t ) 一6 z ( t ) + e ( t ) ) + 2 a g ( x ( t ) ) 1 = a 忙( 毛。一z ( t ) ) 9 缸( t ) ) + ( e ( t ) 一e ( t o ) + 2 a ) 9 忙( t ) ) l 0 ， 故y ( t ) 单调递增因此，当 t l ，t o 】时。 ；( ( t ) 一f ( t 0 ) ) 2 + g ( z ( t ) ) 一2 a y ( t ) g ( z ( t 。) ) 一2 a y ( t o ) 进而， ( ( ) 一( 幻) ) 2 2 ( o ( x ( t 。) ) 一g ( z ( t ) ) ) + 4 a ( v ( t ) 一y ( t o ) ) 由此可得 括( 力一y ( t o ) 一2 a ) 2 兰2 ( g ( z ( 岛) ) 一g ( z 8 ) ) ) + 4 a 2 。 于是， 可( t ) v ( t o ) + 2 a + 2 ( g ( t 。) ) 一g ( z ( # ) ) ) + 4 4 2 因此，由( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 可得 故有 一( t ) c a + ( 一z ( t ) ) 一e ( t o ) + e c t ) + x 2 ( g ( ) - g ( x c t ) ) ) 6 a 葡i i 番岛秀丽1 ( 3 - s ) + ( 嚣。一z ( t ) ) + 、互i 了i f 二j 2 可两2 “ 、“1 “7 征陋1 ，t o j 上积分个寺瓦( 3 1 3 ) 得到 e 而6 a 丽习鹬x 2 e ( 孟2 一_ x a ( t ) 出妯“t 。+ ( 孟。一z o ) ) + 蛐。3 q 这样， 厂“兰了一 t 0 _ t 1 ， o 。n 6 a + o ( j 一。) + 2 。( 孟：一z 2 ) 这里如= 2 ( 1 ) 令 u - = 委，则有 名而i 5 ( f 1 杀毒而司 如叫- ( 3 1 4 ) j 三舞o ( 1 ) + 一) + 、2 e n ( 1 一“2 ) 1 f 面估计积分( 3 1 4 ) 经计算口j 碍 ，l d u j l - 2 。n6 ( 1 一“1 + v ( 1 - u 2 ) ，d8 一k n 地1 - - 2 。n 抛( 手一；) + 厩 = 。厂婿一斟而禹 = 甄2j ( o t a n 婿q 一( 熹一南+ 粤) 咖2 舀瓦 孺磊焉一丽+ 前) 咖 = 辞陋( 佤硼a n ( 薏一a r c s i n l - 4 e ”) ) 岫冈 一瘴i h 【1 + t 一2 ( 乏一 ”幽戡：) 】 + 糕( 乏一一i l l 毖) 因为l i r a 。o 。s 。= 0 ，所以 l i m 竺! 至r 二至i = e 1 - 豆4 z n ! ：1 1 - - 4 e l i m t a n ( 4 - 2 a r c s i n 溢) 瓤些乏= 圳+ 化 且 由于 故 = l i r a 1 i m ，1 ”。o 。j 蠢躲 熙矗1 n ”t a n 2 ( 三一百1 一i n f l - - 丽4 c n 胪, 。 熙箍( ；一；一洫瓦1 - - 钯n ) - o - t 璺矛f f 五：i i 一”丁瓦j 。” 。 t t 这是一个矛盾这样，就证明了当靠充分大 时，方程( 3 1 1 ) 的任何b 周期解都满足m a xz ( t ) 根据延拓定理，方程( 3 1 0 ) 至少存在一个b 周期解故方程( 1 1 ) 至少存在个2 卅周期解 ( 2 ) c 0 ，这时 0 定义函数 w ( t ) = 妻白( ) 一y o ) 2 + g ( ( t ) ) + 2 a y ( t ) ，c t o ，亡2 】， 则有 - 矿7 ( t ) = a 白( 力一p ( 亡0 ) ) ( 一9 扛( t ) ) ) + 蛔( z ( ) ) ( y ( t ) 一6 z ( ) + 层( t ) ) 一2 a a g 扛( t ) ) ；a a ( i 。一。( t ) 蛔( 茁( t ) ) + x ( e ( t ) 一e ( t o ) 一2 a ) g ( x ( t ) ) 0 故w ( t ) 单调递减因此，当耻o ，t 2 ， ：( 可( t ) 一 ( t o ) ) 2 + g ( $ ( t ) ) + 2 a y ( t ) sc ( z ( t 。) ) + 2 a y ( t o ) 进而， ( v ( t o ) 一v c t ) ) 252 ( g ( x ( t o ) ) 一g ( z ( t ) ) ) + a a ( v ( t o ) 一9 0 ) ) 由此可得 ( y ( t o ) 一v ( t ) 一2 a ) 2 2 ( g ( z ( t 。) ) 一g ( z ( t ) ) ) + 4 a 2 于是 - v ( t ) 一y ( t o ) + 2 a + 2 ( g ( 。( t 。) ) 一g ( z ( 印) ) + 4 a 2 故由( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 可得， 一z ( t ) 壬( 蕾。一z o ) ) + e ( t o ) 一e ( t ) + v 2 ( g ( 2 n ) - g ( z ( t ) ) ) + 4 4 2 + 2 a s 一否( 磊，一$ ( ) ) + 、么磊币磊= i ；蔓丽+ 6 a 因此， 丽i 厕i 器器莉6 a t 因此。方程 ( 3 1 1 ) 的任何n 周期解都满足m a x = ( t ) ，根据延拓定理，方程( 3 1 0 ) 至少存在 个b 周期解故方程( 1 1 ) 至少存在个2 丌一周期解 【洼记1 】若g ( 3 5 ) 在区间( d ，+ o o ) 上连续可微，并且当z d 时，存在常数m 0 ， 使得g ( 3 5 ) 满足 型掣三一m ，。 d g ( 3 5 、一”。 结合文【4 】中的方法，可以证明当条件( g o ) ，( g x ) 和( 萌) 成立时，方程( 1 1 ) 至少存在 一个2 ”周期解 【洼记2 】若当z o ，t j ) ，如= t ls ( t + 鲁) o ，t ，) j 1 = t is ( t + 鲁) 2o ，t l ，如= 8 is 。+ 等) o ，f ，) 由c ( t + 铝) ，s o + 鲁) 的定义可知j ，正 ，2 ，以，j 2 由连通的区间所构成 f 嘶r o c ( t + o 。o ) + o ( 1 ) ) c ( t + ；z 咖n r o c o + 鲁) + 。( 1 ) ) c ( t + 等) 出+ 上毋( 7 r o c ( t + 鲁) + o ( 1 ) ) c ( t + 等) 出 圳删上孟础) d t + n ( 刊璧c ( t 舻2 n ( 掣一掣) + 0 ( 1 ) 缀舞跨：幺然：辩霉 j ( 。f n r 。c ( t 十鲁t o ( 1 ) ) s o + 鲁) d t = f ( + o 。) z ，s ( t + 等) 出+ o ( 1 ) = n f ( + o o ) ，研s o ) d r j o+ 。( 1 ) = 去f ( + o o ) + 鹏 v f h r o c ( t + j 如 ，f ( 7 r o c o + jj i ，f ( 1 r o c ( 抖 j j 2 + + + f ( + o 。) + o ( 1 ( 一o o ) + d ( 1 ) ， f ( 一o 。) + o ( 1 下面估计积分f ”h ( 7 r o c 。+ o 。o ) + n ( 啪c ( t + o - - 。n ) d t 对任意7 0 , 记 工l ：胙【0 2 1 ：+ 等) i 茎叩) ，工2 = t 【o ，2 小+ 等) i2 们 系篡( + 骛= 嚣鼍+ f l 2 h ( t r o c ( t + 粉邮m 。砖，出 因为 ( z ) ，c ( t ) 为有界函数，所以 兽m + 上，九( ，y r o c o + o 。o ) + n ( 啪c o + 鲁) d t = o 1 8 专嗉 = 1 i = 膨矽冲 i篁ii篁 十 + + o s s s l 1 1 叫讲叫 f z ah ( r r o c ( t + 鲁) + 。( 啪c ( t + 鲁) 出；，f k c(t+87。加)d。h(t(+yr。詈c()tn + + 一o o ( ) n 。) + c i ( t ) ) r ：墨三言兰警00、+ot。一上。h(troc(t+鲁，+ac幻，rq，出， ：业竺苇筹需盘n r o s ( t + i ) + d ( t j ) a = 们) c ( ：) 一7 r o c ( 抖等) = 0 ( 1 ) ，( t o + o o ) q ，( t ) ：( y ( t ) c ( ：) ) 一，y r o s o + 等) = 7 r ( t ) s ( ：) 一，y r o s ( t + 等) 一f ( 7 r ( t ) c ( ：) ) = d ( 1 ) l 篙器铲i 埘 s生生二三妻：兰三暑等铲=。忙_tro一+卜。“ 堑塑善型= d ( 吐( 伽+ 删 ( 4 1 1 ) ，y ，。s ( t + 皇) + a ，( t ) 。、。”、4 7 另外，当t l 2 时， ! ! 竺! ! 竺! 竺皇! ! 丝! 二! 竺兰! ! ! ! ! 竺竺! 竺：塑! ；! 竺竺! 坚! 兰! 墨! ! ! u 二i 翌竺! 竺生皇! 竺! 旦：。( ，) i ( m 。+ 。) s ( t + o 。) + o ( 1 ) 。 。 ( 4 1 2 ) 由( 4 1 0 ) ，( 4 1 1 ) 和( 4 1 2 ) 可以推出， 上。譬( 7 r o c ( t + 等) + a ( 纠r ( t ) 出= o ( 吐( r o - - + + o o ) r o 坚上。日n r o c o + e n o ) + 。( t ) ) r ( t ) d t = o 。l i m 。f f ”h ( 7 州t + 等) 州t ) ) c ( t + 等膨辄 州r o = 2 n ( 掣一华) + o ( 1 ) ， r 。m r o c ( t + 鲁) + d ( 1 ) ) 卅铷_ o ( 1 ) z 打f ( 1 r o c ( t + 等) + d ( 1 ) ) ( n c + o + 鲁) 一6 c 一( t + 鲁) ) d t = 2 n ( ，( + o o ) 一f ( 一一) ) + 。( 1 ) 。f 撕r o c ( h 百o o ) 州t ) ) 郇+ 等) 出_ o 因此，虫2 ( t o ，a o ) = 2 n ( f ( + o o ) 一f ( 一o o ) ) + o ( 1 ) 至此，我们完成了引理4 1 的证明 由引理4 1 可以得到下面的引理 引理4 2在引理4 1 的条件下，映射p ：( 舶，r o ) 一( 0 1 ，i 1 ) 可表示为 f 8 0 + 2 n z r + 壬呐z n ( 掣一掣) _ r ”舯( t + 鲁冽+ o ( 神， lr 。= r 0 一云f 2 n ( f ( + m ) 一f ( 一o 。) ) 一0 2 r p ( t ) s p + 鲁) 叫十。( 1 ) ，r 0 一+ o 。 定理4 3 假设，( 。) ， ( 。) 有界，日( z ) 满足次线性条件，并且条件( 奶) ，( n 2 ) ，( 日3 ) 成立若函数 ( 忙轨( 掣一掣) 一础) ，口r 或 x ：2 ( o ) = 2 n ( f ( + o o ) 一f ( 一o o ) ) 一以( 口) ，口r 不变号，则方程( 4 1 ) 至少有个2 7 r - 周期解 证明( 1 ) 假设l ( 口) 是常号函数不妨设e 1 ( p ) 为常正函数，则存在常数d 0 使得 轨( 掣一华卜。f 。0 2 n p ( t ) c ( t + 鲁) 蹴d o 由引理4 2 可知存在n o 0 当r 0 凰时，有 p 1 一如一2 n 7 r l 0 ，使得 鼽( f ( + o o ) 一f ( 一m ) ) + f 0 2 ”p ( t ) 8 ( t + 等皿2 i o 由引理4 2 ，存在r 1 ，k 0 ，当r 0 r 1 时， r l s ，一k 0 0 【o ，2 r 】 当r o 充分大时，( r l ，口1 ) 落在闭区线 ( r 口) ：r = r o ，口r 内部由b r o u w e r 不动点 定理，映射p 至少有一个不动点，则方程( 4 1 ) 至少有一个2 ”周期解 若2 ( 口) 为常负函数，考虑映射p 的逆映射p ， p “：( r o ，0 0 ) _ p l ，口一1 ) 则有 r 一= 伽+ 云【2 n ( f ( + o 。) 一f ( o o ) ) 一f 0 2 ”p ( t ) s ( t + 等) 卅+ 。( 1 ) 则p - 1 至少有一个不动点，因此p 至少有一个不动点，从而方程( 4 1 ) 至少存在一 个2 霄一周期解 【注记4 1 当l ( 口) 或2 ( 口) 具有简单零点时，根据引理4 2 中映射p 的表达式，应用 文1 1 7 】中的方法可以研究方程( 4 1 ) 周期解的存在性 参考文献 【1 】t d i n g ，r 1 a u n a c c ia n df z a n o l i n ，o np e r i o d i cs o l u t i o n so fs u b l i n e a rd u f f i n g e q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 1 5 8 ( 1 9 9 1 ) ，3 1 6 - 3 3 2 【2 】z w a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fl i d n a r dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs u b q u a d r a t i cp o t e n t i a l c o n d i t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 2 5 6 ( 2 0 0 1 ) ，4 8 9 - 5 0 0 1 3 1a c l a z e r ，o ns c h a u d e rf i x e dp o i n ta n df o r c e do r d e rn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 2 1 ( 1 9 6 8 ) ，4 2 1 - 4 2 5 f 4 1d z h e n g ，z w a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fs u b l i n e a rl i 6 n a r dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j m a t h a n n a l a p p l ( 2 0 0 6 ) 【5 】j m a w h i n ，r e c e n tt r e n d si nn o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，i np r o c 7 t hi n t c o n f n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n ，b e r l i n ，1 9 9 1 ，p p 5 7 - 7 0 【6 】p o m a r i ，g v i l l 撕a n df z a n o l i n ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fl i d n a r dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ho n e - s i d e dg r o w t hr e s t f i c t i o n ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s6 7 ( 1 9 8 7 ) ，2 7 8 - 2 9 3 | 7 1 p o m a r ia n df z a n o l i n ，o nt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so ff o r c e dl i d n a r d e q u a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l 1 1 ( 1 9 8 7 ) ，2 7 5 - 2 8 7 【8 】l f e r n a n d e sa n df z a n o l i n ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fas e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n w i t ho n e - s i d e dg r o w t hr e s t r i c t i o n so nt h er e s t o r i n gt e r m ，a r c h m a t h 5 1 ( 1 9 8 8 ) ， 1 5 1 1 6 3 【9 】j m a w h i na n dj w 打d ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fs e c o n do r d e rf o r c e dl i 6 n a r dd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa tr e f l o l l a n c e ，a r c h m a t h 4 1 ( 1 9 8 3 ) ，3 3 7 - 3 5 1 【1 0 r i a n n a c c i ，m n n k a s h a m a , p o m a r ia n df z a n o l i n ，p e r i o d i cs o l u t i o n so ff o r c e d l i d n a r de q u a t i o n sw i t hj u m p i n gn o n l i n e a r i t i e su n d e rn o n u n i f o r mc o n d i t i o n s ，p r o c r o y s o c e d i n b u r g h s e c t a1 1 0 ( 1 9 8 8 ) ，1 8 3 - 1 9 8 【1 1 】j p g o s s e za n dp o m a r i ，n o n r e s o n s n c ew i t hr e s p e c tt ot h ef u e i ks p e c t u r mf o r p e r i o d i cs o l u t i o n so fs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l 1 4 ( 1 9 9 0 ) 1 0 7 9 - 1 1 0 4 f 1 2 n d a n c e r ，b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m sf o rw e e k l yn o n h n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，b u l l a u s t r a lm a t h s o c 1 5 ( 1 9 7 6 ) ，3 2 1 3 2 8 f 1 3 s f u i k ，s o l v a b i l i t yo fn o n l i n e a re q u a t i o n sa n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( r e i d e l ， d o r d r e c h t ，1 9 8 0 ) 【1 4 】p o f r e d e r i c k s o na n da c l a z e r ，n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n td a m p i n gi na s e c o n do r d e r o s c i l l a t o r j d i f f r e e n t i a le q u a t i o n s5 ( 1 9 6 9 ) ，2 6 2 2 7 0 1 5 】n d a n c e r ，o nt h ed i r i c h l e tp r o b l e mf o rw e e k l yn o n l i n e a re l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p r o c r o y s o c e d i n b u r gs c c ta7 6 ( 1 9 7 7 ) ，2 8 3 - 3 0 0 ， 【1 6 1z w a n g ，p e r i o d i cs o l u t i o n so ft h es e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ha s y m m e t r i c n o n l i n e a r i t i e sd e p e n d i n go nt h ed e r i v a t i v e s d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ， 3 ( 2 0 0 3 ) ，7 5 1 7 7 0 【1 7