（基础数学专业论文）收缩定义域上的sturmliouville问题.pdf

摘要 本文主要考虑收缩定义域上s t u r m - l i o u v i u ei 沾- 题。 第一部分为引言及预备知识，介绍一类s t u r m - l i o u v i u e 方程定义域收缩的物理背 景，以及有关定义域收缩问题已取得的研究成果。并介绍一些基本概念如正则( 奇 型) s t u r m - l i o u v i u e 方程，特征值，特征函数等。 源于文献【2 0 】的思想，在第二、三部分，我们讨论满足一般分离型自伴边条件( 共 四种情况) 的i e 贝l j s t u r m - l i o u v i l l e 方程定义域收缩时特征值的渐进估计问题，特征值的 估计式与方程的系数在收缩点处的函数值有关。推广【2 0 】，主要结果如下： 当口_ 0 + 时，考虑如下方程 ( p ) y ，( z ) ) 7 4 - q ( x ) y ( x ) + a 冗 ) y ( z ) = 0 ，v z ( o ，口) ( 1 ) 满足条件y ( o ) = o ，y ( a ) = 0 ，若r ( o ) 0 ，则沁( 口) = 一等+ d ( 丢) ，k ( 口) 一 ( r ”r 。) 2 p oa - 2 ；若r ( o ) = o ，q ( o ) 0 ，则( o ) = o ( a 一( s + 1 ) ) ，( 。) 一孳笋d 一( 2 + 回；若冗( o ) = 0 ，q ( o ) = 0 ，则( a ) 一警口一( 2 + s ) ，当s 时，知( 口) = d ( 口一( s + 1 ) ) ，当n = s 时，a o ( a ) = 一酱+ o ( a 一( 脚1 ) ) ( 2 ) 满足条件y ( o ) = o ，y ( a ) h - p ( a ) y ( 口) = 0 ，若r ( o ) 0 ，则( 口) = 一嚣一 羔+ d ( ：) ，k ( 口) 一誓口一2 ；若r ( o ) = o ，q ( o ) 0 ，则沁( 口) = o ( a 一( s + 1 ) ) ，( 。) 一 舢r s 。r a - ( 2 + s o ；若r ( o ) = o ，q ( 0 ) 三0 ，则( 口) 一醴r 盟s 。一( 2 + 回，当s 时，知( o ) = o ( a 一( 母1 ) ) ，当n = s 时，知( 口) = 一等+ o ( a 一( 钭1 ) ) ( 3 ) 满足条件y ( o ) h p ( o ) y ，( o ) = o ，y ( a ) = 0 ，若忍( o ) 0 ，则知( 口) = 一嚣+ o ( 去) ，( 口) 一鲁口- 2 ；若r ( o ) = o ，口( o ) o ，财知( 口) = o ( a 一( s 均) ，( 口) 一号笋。一( 2 + 印； 若r ( o ) = o ，q ( o ) = 0 ，则( 8 ) 一，占。- ( 2 + 毋，当n s 时，沁( 口) = d ( 口一( 鼾2 ) ，当 n = s 时，知( 口) = 一嚣+ o ( a 一( 翮 ) ) ( 4 ) 满足条件z ( o ) h p ( o ) y ( o ) = 0 ，y ( a ) h p ( a ) y ( 口) = 0 ，若r ( o ) 0 ， 则知( 口) = 一r 。q o + ( 日一九) d ( ：) ，( 口) 一等a - 2 ；若r ( o ) = o ，q ( o ) 0 ，则x o ( 口) = o ( a - ( 弭1 ) ) ，( 的_ 警n 一( 1 + s ) ；若r ( o ) = o ，q ( o ) = 0 ，则( 啦一警口一( 1 + s ) ，当 s 时，知( a ) = d ( 口一( s + 1 ) ，当n = s 时，x o ( a ) = 一等+ d ( 口一s + 2 ) ) 关键词：正则s t u 珊l i o 删锄e 方程，分离型自伴边条件，收缩定义域，特征值，特征 函数 硬士论文收缩定义城上的s t u r m - l i o u v u l e 向题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h es t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m so nt h es h r i n k i n gi n t e r v a l s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p e r ，w eg i v eas u r v e yo fac e r t a i ns t u r m - l i o u v i u ee q u a t i o no i l s h r i n k i n gi n t e r v a l sa n di t sp h y s i c a lb a c k g r o u n d s o m ep e r v i o u sr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d b r i e f l y a n dt h e nw eg i v es o m eb a s i cc o n c e p to fr e g u l a r ( s i n g u l a r ) s t u r m - l i o u v i l l ee q u a - t i o n ，e i g e n v a l u e ，e i g e n f u n c t i o na n d s oo n i nt h es e c o n da n dt h i r dp a r t ，w i t ht h ei d e ao ft h ep a p e r 【2 0 l ，w ee s t a b l i s hr e s e t s c o n c e r n i n gt h ed e t a i l e da s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ee i g e n v a l u e so fac l a s so fr e g u l a rs t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m sw i t hg e n e r a ls e p a r a t e ds e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa st h el e n g t h o ft h ei n t e r v a ls h r i n k st oz e r o t h er e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： w i t ho 一0 + c o n s i d e re q u a t i o n ( p ( x ) y ( z ) ) + q ( x ) y ( x ) + a r ( x ) y ( x ) = o ，坛( 0 ，口) ( 1 ) s a t i s f yb c ：y ( 0 ) 20 ，y ( a ) 20 ，w eh a v e ：i fn ( 0 ) 0 ，t h e na o ( a ) 2 一r o q o + o ( 吾) ，k ( 口) 一q r 磊r2 一p ou 2 ii f 冗( o ) = o ，q ( o ) 0 ，t h e n 知( 口) = d ( 口一( 甜1 ) ) ，( o ) 一 ：p 砧o p o r a - 0 ，t h e na oa ) = 一嚣一丽r o ，0 、i 1 ) ，( 口) 一 - 2 - a 。a - 2 i f r ( o ) = o ，q ( o ) o ，t h e na o ( a ) = d ( 口一p + 1 ) ) ，( 口) 一 号笋口一( 2 + s ；i fr ( o ) = o ，q ( o ) 0 ，t h e n ( 口) 一孳笋。一( 2 ，i f st h e n 沁( 口) = o ( a - ( s + 1 ) ，i fn = 最t h e n 知( 口) = 一等+ o ( a 一侈+ 1 ) ) ( 3 ) s a t i s f yb c ：y ( o ) h p ( 0 ) y ，( 0 ) = 0 ，y c a ) = 0 ，w eh a v e ：i j fr ( o ) 0 ，t h e n 沁( 口) = 一嚣+ d ( 嘉) ，( 9 ) 一等口一2 ；i fr ( o ) o ，q ( o ) 0 ，t h e n 知( a ) = d ( 口一( 毋卜2 ) ) ，( 口) 一 z u a b o t r a c t磺士论文 p ，o s # 。a - ( 2 + 研；i fr ( o ) = o ，q ( o ) = 0 ，t h e n - ( 口) 一孳笋口一( 2 + s ) ，i fn s ，t h e n 沁( 口) = o ( a 一( 靴) ) ，i fn = s ，t h e n 沁( 口) = 一等+ o ( a - m ) ( 4 ) s a t i s f yb c ：y ( o ) h - p ( o ) y ，( 0 ) = 0 ，y ( a ) h - p ( a ) y ，( 口) = 0 ，w eh a v e ：i fr ( o ) 0 ， t h e n 入o ( 口) = 一盈r o + ( 日一h ) d ( 击) ，入r ( 口) 一訾口一2 ；i f n ( o ) = o ，q ( o ) 0 ，t h e n ( o ) = d ( 。一( s + 1 ) ) ，( o ) 一号争n 一( 2 + s ；i f 冗( o ) = o ，q ( o ) = o ，t h e na r ( a ) 一孳笋n 二( 2 + s ) ，i f 只 t h e n 知( a ) = o ( a 一( s + 1 ) ) ，i fn = s ，t h e nk ( o ) = 一罂+ o ( a 一( s + l ) k e y w o r d s ：r e g u l a rs t u r m - l i o u v i l l ee q u a t i o n ，s e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，s h r i n k - 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：蹲一如浑7 月2 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 啦一 勘。容年7 月 2 日 收缩定义域上的s t u f m l i 蛐v l 】问量 1 1 绪论 第一章引言及预备知识 。 在1 8 3 6 1 8 3 8 年间，c f s t u r m 和j l i o u v i l l e 开创了s t u r m - l i o u v i l l e 问题这一分析 学新领域。二百多年来，s t u r m - l i o u v i l l e 理论广泛运用于数学物理( 如波动方程、热传 导方程、s c h r s d i n g e r 方程等) 以及现代科学的许多分支中。虽然s t u r m - l i o u v i l l e f 司题的 研究历史悠久，但由于问题的难度以及它在物理理论中的重要性，至今仍有大量问题 有待研究； 1 9 8 5 年，a g 【2 2 】讨论定义域收缩时拉普拉斯方程的特征值的性质。 设d 是r 2 上的有界区域，r 是d 的逐段光滑的边界曲线，是r 曲线的单位外法向 量，r 满足 可二 e ，( z ) | ， o z 【a ，6 】暑，= 气z 【，纠 ie g ( x ) ，v 0 ) ( i i ) ( 1 2 ) 【髻= 0 ，当r = o + ( 一。o zj 。) ；当r = 1 o 0 则 沁( 口) - 一等，口_ 0 + ( 口) 一塑翌r o a 一口_ 。+ ，f = i ，2 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 5 第一章引育及预备知识 磺士论文 6 ( i i ) 若r o = 0 ，9 0 0 则 ( i i i ) 若r o = 0 ，口0 = o 则 a o ( a ) = o ( a s ) ，a _ 0 + 当n = s 时， 沁( 口j _ 一等，a _ 0 + 当n s 时，沁( 口) 一0 ，a _ 0 + 当n 0 ，q o 0 则 ( i i ) 若r o 0 ，q o = 0 则 ( i i i ) 若r o = 0 ，口0 0 则 ( i v ) 若r o = 0 ，q o = 0 则 沁( g ) _ 一罴，口_ o + 知( 口) = o ( a ) ，口_ 0 + 沁( 口) = o ( a s ) ，口_ 0 + 当n l s 时， 沁( 。) ，_ 一等，e _ 0 + 当n s 时，沁( o ) = o ( a n - s ) ，口一0 + 当n ( s 时， 知( d ) = o ( a p 聊) ， 口一0 + 对于( i ) 、( i i ) 的情形均有 冲) 一等二，口一0 + r - l 2 收结定史域上的s t u r m - l l o u v f l l e 问矗 对于( i i i ) 、( i v ) 的情形均有 0 ( 口) “鬈r 删，一一o + ，r = 1 ，2 源于文献【2 0 】的思想，本文将n e u m a n n 边条件推广到一般分离型自伴边条件的 情形，且证明方式有所不同。并将一般分离型边条件分为四种情形考虑( 即条 件( 1 1 8 ) 一( 1 2 1 ) ) 。分别讨论了在这四种情形边条件下的s t u r m - l i o u v i u e 方程 ( 1 1 1 ) 当定义域收缩时特征值的渐进估计式，主要结论见第二章定理2 1 n 2 4 ，从定 理中可以看出特征值的渐进估计式与方程的系数在收缩点处的解析表达式有关，详细 证明在第三章。 1 2 预备知识 下面我们给出一些基本概念、结论和常用的符号，介绍在一般分离型自伴边界条 件下s t u r m - l i o u v i u e 方程的谱只有可列个特征值，且与定义域区间有关。 考虑二阶线性微分方程 ( p ( x ) y 7 ) ) 74 - q ( z ) y ( z ) 4 - a r p ) l ， ) = 0 ，比( 0 ，a )( 1 1 5 ) 及边条件 y ( 0 ) c o s q p ( 0 ) r ( 0 ) 8 m 口= o ( 1 1 6 ) 【y ( a ) c 0 8 p p ( a ) y ( 口) s i l l 卢= 0 其中q ，r c o ，1 】p 1 0 ，1 1 ，o ( o ，1 ) ，a ，夕r 。p q ，r 取值不依赖凸，入。更 进一步假设p ( x ) 0 、r ( x ) o ，比( o ，1 】，且p ，q ，r 在。= o 处解析，即j 占 o 使 得p q ，冗在( 0 ，巧) 上有收敛的幂级数。于是当z _ 0 + 时有 ， lp ( z ) = p 0 4 - p l x + d ( z ) ，p o 0 ，p l 0 q ( 。) = 口04 - g + d ( ) ，- 咖0 ( 1 1 7 ) i 兄0 ) = r o + 船矿- + o ( z s ) ， r o 0 ，憎0 其中只n n = 1 ，2 ，j ，若r o = 0 ，则r s 0 。 定义1 1 若p ( 0 ) 0 ，则称问题( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 为正贝l j s t r u m - l i o u v i l l e 问题，记 为r s l 。若p ( o ) = 0 ，则称为奇型s t r u m - l i o u v i l l e f 司题，记为s s l 。 1 定义1 2 若方程( 1 1 5 ) 存在非平凡解y ( 2 ) 满足边条件( 1 1 6 ) ，则称y ( z ) 为闯题 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 的特征函数，对应的参数a 称为特征值： 定理1 ，3 1 1 9 问题( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 的谱全为点谱，即为问题( 1 。1 5 ) ( 1 1 6 ) 的特 征值。 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 的规范正交特征函数系构成l 2 【0 ，1 】的一组标准正交基。 定理l ，4 1 9 问题( 1 。1 5 ) ( 1 1 6 ) 有可数多个特征值，且可以按大小排列为 知 入l 入2 s 时 a o ( a ) = o ( a 一1 ) ， 口一0 + 当n = s 时 沁( 口) = 一等+ o ( 口郴删) ，。_ a r r 当 0 ，则 知( 口) 一盈r a 一罴+ d ( ：) ，口一0 + ( 口) 一丝r 0 口一2j 口_ o - r = 1 ，2 ( i i ) 若冗( o ) = o ，q ( o ) 0 ，则 沁( 口) = o ( a 一( 脚1 ) ) ，口_ o + 1 1 第二覃收缩定义墟上的特征值的性质 磺士论文 ( i i i ) 若r ( o ) = o ，q ( o ) = 0 ，则 当n s 时 当n = s 时 当n 0 ，则 沁( n ) = 一等+ o ( a 一2 ) ，口_ 0 + ( 口) 一警n ，口_ o + ，r = 1 ，2 ( i i ) 若n ( o ) = 0 ，q ( o ) 0 ，则 ( 8 ) = o ( a 一( s + 2 ) ) ，口一0 + q i i ) 若n ( o ) = 0 ，q ( o ) = 0 ，则 当n s 时 1 2 当n 皇s 时 当n 0 ，则 k ( o ) = 一嚣+ ( 日一 ) d ( ：) ，口，0 + k ( 口) 一簪口一，口一0 + ，r = l ，2 ( i i ) 若r ( o ) = 0 ，q ( 0 ) 0 ，则 知( 口) = o ( a 一( 弭1 ) ) ， 口一0 + ( i i i ) 若r ( o ) = 0 ，q ( 0 ) = 0 ，则 当n s 时 当n = s 时 当n o ，比( 0 ，1 】，而k ( z ) 在( o ，口) 内无零点，不妨设k ( z ) o ，比( o ，o ) 。所 以片r ( z ) 碥( 。) 如 0 一、当r ( o ) o 时 1 ) $ 撒口l 卅i r a ，x o ( 。) 对方程( 1 1 5 ) 在( o ，z ) 上积分，其中z ( 0 ，o ) ，再将方程等式两迁同除以p ( z ) 得 瑶( z ) 蝴) 铧= 。 ，l zj 再对上述方程在( o ，口) 上积分并代入边值条件( 1 工6 ) 得 利用洛比塔法则 因为 所以 即 又 所以 1 4 知( o ) = l i m o m + p ( o ) y d ( o ) f o 南d x 片哗如 j 诺释如s ；晔如 p ( o ) y d ( o ) f o 南d , x j r 0 0 臀p 出 b ) “。 r ( z ) = r 0 + 啊z s + o ( z s ) ，z _ 0 + n f 0 1r ( 口叫) k ( 伽) d 伽一口伯z 1 y o ( a w ) d w ，口_ 0 + p ( o ) y ，( 0 ) 譬南d x l ：臀缸 j o p 缸) “ h m 蕾_ 0 + 甓南 d ( a - , o + 琵q ( t ) y o ( t ) d t d x 甓r ( t ) y o ( t ) u t a = r o l j 0p ( 而 沁( 0 ) = 一嚣+ d ( 丢) ，。_ 0 + 口0 咱 ( 3 1 ) ( 3 2 ) 出 一 k 一彩 一p 艘 一 逊 一p p 一 黧鲰舞 磺士论文 收缩定义域上的特在值的性质 2 ) 讨论l i m ( 口) ，r = 1 ，2 a - o r 由于k ( z ，口) 在( o ，口) 内有零点，故不能像求( 口) 那样求( o ) ，= 1 ，2 ，得另想 办法。 修改r s l 问题( 1 z 5 ) ( 1 1 8 ) 为 ( p ( 口r ) 耳( 口丁) ) ：+ 0 2 q ( a r ) + r ( 口下) p ) y ( 口力= o ，v i ( 0 ，j )( 3 3 ) 令n _ 0 + ，则( 3 3 ) 化为 厂y ( o ) = o ly ( 1 ) ：o p o 哗+ r o l 卫y = 0 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 设 脚( o ) ) 罂。是问题( 3 5 ) ， ( 3 4 ) 的特征值。f h 定理_ 1 6 知问题( 1 1 5 ) ( 1 1 8 ) 的特 征值 ( o ) 一口- 2 胁( o ) ，口一0 + 下求胁( 0 ) 。因为胁( o ) 所对应的本征函数为 k ( 丁) = c 1c o s厚忡m 厚 其中c l ，c 1 2 不同时为零。将k ( 7 ) 代入边条件( 3 4 ) 得 则 所以 所以 l c l = 0 、c 。瞄俨乒+ 饧s 近浮= o = 0 = r 7 r ，r = 1 ，2 们) = 譬 r - 1 2 第三章结果的证明曩士论艾 所以 因为 所以 冲) 一学? ，a j 0 + 2 一 二、当冗( o ) = o 时 1 ) 讨论1 i 骢沁( 口) 口0 十 考虑( 3 2 ) ，利用洛比塔法则 所以 又 l i r a 口0 +p ( o ) y g ( o ) o 南d x= l i m 口- 0 + = l i m 口+ 0 + a ( z ) = r s x s + o ( x s ) ，z 一0 + 口厂1 兄( 口叫) 碥( 。埘) 如, , 一r s a i + sf 0 1w s y o ( a w ) d w j 0 j 0 ，口一。+ 若q ( o ) 0 ，则 p ( o ) 瑶( o ) 片南d x 上0 口紫如 j p 任) u m 口_ d + 故r ( 0 ) = 0 ，q ( o ) 0 时 若q ( o ) = 0 ，则 故冗( o ) = 0 ，q ( o ) = 0 时 1 6 1 ；q ( t ) y o ( t ) d t 1 ；r ( t ) r o ( t ) a t o ( a 一( s + 1 ) ) ，口一0 + 沁( o ) = o ( a 一( s + 1 ) ) ， 口一0 + o ( a n - s ) ,口_ 0 + 攀 赫一 渊 群 颈士论文收缩定义城上的特征值的性质 当n s 时 当= s 时 当 s 时 知( o ) = o ( a 一( 鼾1 ) ，口_ 0 + 沁( 0 j 三一q 僧n + o ( a - c s + 1 ) ) ，口一o + 沁( 口) = o ( a 一( 卧1 ) ) ，o 一0 + 2 ) 讨论l i r a ( 口) ，= 1 ，2 o + o 十 修改r s l 问题( 1 1 5 ) ， ( 1 1 8 ) 为 ( 半) ：ti 掣+ 警) = o , y r e ( o 1 )( 3 6 ) 令d 一0 + ，则( 3 6 ) 变为 fy ( o ) ：0 ly ( 1 ) = 0 群+ 户= 0 设y ( 7 - ) = 函o t l p ，则利用幂级数解法得 y ( r ) = 吣七( 弭2 ) f 1 州靴) k = o ( 3 7 ) ( 3 8 ) 其中0 1 + 七p + 2 ) = 工= 皆，口1 o ，t k = n 名l 【l + 仇 + 2 ) 】m ( s + 2 ) 】。由矿( r ) 满足条件 ( 3 7 ) 得 1 + 妻掣：o k = l 一 上式关于p 整函数的零点是简单的且无有限聚点。设其根为 孵0 r r = 0 0 0 。也即 辉) 函是 问题( 3 8 ) ( 3 7 ) 的特征值，i 由s t u r m - l i o u v i l l e 理论知 由定理1 7 知 一0 0 朋 店 0 ) ，记 ，似) = h s i n t r - p ( 1 ) t , c o s t r 贝i j f ( t r ) = o 的根。是曲线彘与c o t h o 的交点，所以 所以 胁( 。) = p i 0 亡r 2 ，r = 1 ，2 冲) 一警口一，口一o + , r = 1 , 2 - - - 二、当r ( o ) = o 时 1 ) 讨论舞知( 口)口+ u t 考虑( 3 9 ) ，因为 利用洛比塔法则 呈!必里2：嘲“。一o+j；r ( z ) y o ( x ) d 尬2 o ( a 卜r t ) t o u 。 画蒜= l i m 。+ = l i r a = 姆褊 = 姆带南 ) = 0 1 9 划 瞄 1 q 0 f【故 第三章结果的证明硕士论文 因为 所以 若q ( 0 ) 0 ，则 故r ( o ) = 0 ，q ( o ) o 时 若q ( o ) = 0 ，则 故r ( o ) = 0 q ( o ) = o 时 兰n s 时 当= s 时 当n s 时 丽t 2 一蕊- 2 p o r s a ，a _ 0 + _ _ _ - - - - - _ - _ _ _ _ - _ 。_ ! f z 。i - p ( 口) r ( 口) 。一 器_ 旦s p o r s a s ，口卅币诵讯蕊_ 0 刈。 f2q ( x ) y o ( x ) d x 。塑竺芷坠l 竺尘型 片r ( z ) k ( z ) 如 憎4 毒碚均 = o ( a s ) ，口_ o + 沁( 口) = o ( a 一( s + 1 、j ，n 一，r 一 ，o ( z ) 碥( z ) 出 = o ( a n s ) ，o _ 0 + ( 口) = o ( a 一( 鼾1 ) ，口一0 + 沁( 口) = 一等+ d ( 口邶删) ，口一o + 知( 口) = o ( a 一( 抖1 ) ) ，口一0 + 2 ) 讨论1 i m ( 口) ，r 暑1 ，2 a - - o t 修改r s l 问题( 1 1 5 ) ， ( 1 1 9 ) 可化为 ( 掣掣“了a 2 q ( a r ) + 型r s a am r ) 啪( 0 ，1 ) ；暑；亏二p 。1 ，y ，。l ，：。 令口_ 0 + ，则( 3 1 3 ) 变为 2 0 y ：t 七斟= 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 硕士论文 收缩定义域上的特征值的性质 设y ( 力= 函p ，则利用幂级数解法得 y o - ) = 口l + k ( s + 2 ) r 1 + 联靴) 七= = 0 其中口l + 七( s + 2 ) 亍生皆，o l o ，正= n l 【1 + m ( s + 2 ) 】【m ( s + 2 ) 】。由y ( 丁) 满足条件 ( 3 1 4 ) 得 日二p ( 1 ) + 妻旧- p ( 1 ) ( 1 州s + 2 ) ) 】掣：o 括1 8 上式关于p 整函数的零点是简单的，且无有限聚点。设其根为( 辟) 罢o 。也即 孵0 ，0 0 ：o 是 问题( 3 1 5 ) ( 3 1 4 ) 的特征值，i 由s t u r m - l i o u v i l l e 理论知 由定理1 7 知 定理2 3 证明： - - 0 0 p 8 趟 0 由于 敢 z 口紫如= 。( 矿) ，口_ 0 + a _ o + 2 1 第三章结果的征啊 硕士论文 利用洛比塔法则 所以 槲= 一嚣+ d ( 壶) ，口j 0 + 2 ) 讨论1 i 觋入r ( 口) ，r = 1 ，2 口0 十 修改r s l 问题( 1 1 5 ) ( 1 2 0 ) 为 ( p ( a r ) 群( 口7 - ) ) ：+ ( 口2 q ( 口丁) + 冗( n 7 ) 肛) y ( 口7 ) = o ，竹( 0 ，1 ) ( 3 1 7 ) 令口一0 + ，则( 3 1 7 ) 化为 y ( o ) h p ( o ) y ( o ) = 0 y ( 1 ) = 0 p o y , , + r o s y = 0 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 设 胁( o ) ) 墨。是问题( 3 1 9 ) ， ( 3 1 8 ) 的特征值。由定理1 6 知问题( 1 1 5 ) ( 1 2 0 ) 的 特征值 k ( o ) 一口一2 胁( o ) ，口一o + ，r = 1 ，2 胁( o ) 对应的本征函数为 k ( 丁) = c lc + c 2 s i n 其中c 1 ，c 2 不同时为零。将k ( 丁) 代入边条件( 3 1 8 ) 得 则 c 2 ( p 0 + h s i n f ( t ，) = p o t c o s t r + h s i n t r ) = 0 攀 平簿 硕士论文畸5c缩定义域上的特征值的性质 则，似) = o 的枇r 是曲线志与c o t 亡r 的交点。所以 由定理1 6 知 故 又 胁( 。) = p 百o t r 2 ，= l 2 ( 训一p o 咱t r 2 口，口二0 ，r ：1 ，2 二、当r ( o ) = o 时 1 ) 讨论3 矗沁( n )口+ u t 考虑( 3 1 6 ) ，