（基础数学专业论文）在弱hopf双模范畴中结合代数的广义李代数结构.pdf

摘要 设h 是弱h o p f 代数，本文首先证明了文献 2 6 】中的弱h o p f 双模范畴与文献【3 引入的 弱y e t t e r - d r i n f e l d 范畴是等价的。其次，当日带有一双射反对极时，由于y e t t e r d r i n f e l d 范 畴是辫子张量积范畴( 文献【5 】) ，通过函子日 。一我们找到了弱h o p f 双模范畴的一个辫子，即 推广了s c h a u e n b u r g ( 文献 1 8 ) 的结果。最后，考察了弱h o p f 双模范畴中一个代数a 的李代 数结构，并证明：若a 是两个辫子交换子代数的和，则a 的辫子交换理想是幂零的。 关键词：弱h o p f 代数，弱h o p f 双模，弱y e t t e r d r i n f e l d 模，辫子张量积范畴，辫子李代数。 a b s t r a c t l e thb eaw e a kh o p fa l g e b r a i nt h i sp a p e r ，i ti sp r o v e dt h a tt h em o n o i d a lc a t e g o r yh 对v h h o fw e a kh o p fb i m o d u l e ss t u d i e di nw a n g 2 8 】i sa ne q u i v a l e n c et ot h em o n o i d a lc a t e g o r yy 口各o f w e a ky e t t e r - d r i n f e l dm o d u l e si n t r o d u c e di nb s h mf 3 j t h e nw h e nhh a sab i j e c t i v ea n t i p o d e ，a b r a i d i n gi nt h ec a t e g o r y 备m 备i sc o n s t r u c t e db yt h eb r a i d i n go n 沙嚣，g e n e r a l i z i n gt h em a i nr e s u l t i ns c h a u e n b u r g1 1 8 】f i n a l l y ，t h eb r a i d e dl i es t r u c t u r e so fa na l g e b r aai nt h ec a t e g o r y 备m 嚣a r e i n v e s t i g a t e d ，b ys h o w i n gt h a ti fa i sas u mo ft w ob r a i d e dc o m m u t a t i v es u b a l g e b r a s ，t h e nt h eb r a i d e d c o m m u t a t o ri d e a lo fai sn i l p o t e n t k e yw o r d s ：w e a kh o p fa l g e b r a ；w e a kh o p fb i m o d u l e ；w e a ky e t t e r d r i n f e l dm o d u l e ；b r a i d e d m o n o i d a lc a t e g o r y ；b r a i d e dl i ea l g e b r a 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名t l 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印。缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名s 第一章问题背景及主要结果 1 1 问题背景 h o p f 代数来源于h h o p f 对拓扑群的研究，他在研究拓扑群中的上链时构造了既有代 数结构又有余代数结构的代数系统1 9 6 5 年，m i l n o r 与m o o r e 的开拓性文章【1 3 】的发表奠 定了h o p r 代数的基础( 其中群代数，“代数的包络代数，仿射的坐标环等均为其特例) 自 此以后，h o p f 代数引起数学家的广泛关注，特别是近二十年来，v d r i n f e l d 有关量子群的 引入。伴随着k a p h n s k y 某些猜想的部分解决，h o p f 代数的结构日臻完善，其理论亦获得发 展，逐渐发展成为成熟的科学体系，广泛应用于表示论，流形，李代数，组合数学，拓扑量子 场理论以及算子代数前苏联数学物理学家d r i n f e l 深刻讨论并刻画了量子群，h o p f 代数与 y a n g - b a x t e r 方程的关系从那以后，量子群成为物理学家与数学家十分感兴趣的研究领域 近年，数学家又对h o p f 代数的概念进行了一些推广，如拟h o p f 代数，弱h o p f 代数， h o p f 群余代数。以及弱h o p f 群余代数等，其中的弱h o p f 代数研究主要是源于量子域与算子 代数，是由b s h m 等( 见文献【4 】) 定义的，也是n i k s h y c h 与v a i n e r m a n 在【1 4 】提到的量子群 胚，它与h o p f 代数有类似的公理体系，仅单位的余积，余单位的积以及反对极的条件不同， 是h o p f 代数与群胚代数的真推广，而且h o p f 代数的很多性质可以推广到弱h o p f 代数上，本 文尝试把关于h o p f 双模的性质推广到弱h o p f 代数上，即有， 第一个问题的提出 个双代数h 上的y e t t e r - d r i n f e l d 模( 其定义见文献【1 8 】) 范畴是预辫子张量积的，且 当h 是带有双射反对极( a n t i p o d e ) 的h o p f 代数时，上述范畴是一个辫子张量积范畴，因 此，y e t t e r - d r i n f e l d 模在扭结理论与量子群之间扮演很重要的角色h o p f 双模( t w o - s i d e d t w o - c o s i d e dh o p fm o d u l e ) 是w o r o n o w i e s 为了研究量子群上的微分而引入的，s c h a u e n b u r g 在 1 9 9 4 年在j o u r n a lo fa l g e b r a 给出了一个漂亮的结果( 见文献【1 8 】中的定理5 7 ) l 一个 h o p f 代数日上的y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴即并与h o p f 双模范畴h h h h 是范畴m o n o i d a l 等价 1 9 9 8 年b s h m 等也引入了弱h o p f 代数日上的弱y e t t e r - d r i n f e l d 模，之后c a e n e p e e l 等 【5 】研究弱h o p f 代数上的y e t t e r - d r i n f e l d 模结构得到了类似于h o p f 代数的结果t日是个 带双射反对极的弱h o p f 代数，则范畴剜；是辫子张量积范畴同时，文献【2 8 】中已研究弱 h o p f 双模范畴一个很自然的问题是；s c h a u e n b u r g 在1 9 9 4 年的结果能否推广到弱h o p f 代 数上来? 即一个弱h o p f 代数日上的y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴弦备与h o p f 双模范畴h h h h 是 范畴等价，甚至这个等价也是m o n o i d m 呢? 论文的第四，五部分对此给出了肯定的回答 第二个问题的提出 1 9 6 3 年k e g e l 给出环论中一个经典的结果即k e g e l 定理。若r = s + t 。其中s ，t 是幂 零的，则，r 也是幂零的 东南大学硕士学位论文 2 1 9 9 4 年，b a h t u r i n 与g i a m b r u n o 考虑了结合代数的k e g e l 定理ta = r + t ，其中r ，t 是 交换的代数，则f a ，a 】【a ，a 】= o 1 9 9 5 年，b a h t u r i n 和k e g e l 又考虑了超代数情况下的h e g e l 定理，之后，b a h t u r i n ， f i s c h m a n 和m o n t g o m e r y 又推广到了左h 余模中的结合代数中来，其中h 是余三角h o p f 代 数，且是余交换的，对于这个条件是否为必要的，作为一个公开的问题留下 2 0 0 2 年，由王栓宏教授彻底解决了这个问题h 是任意的h o p f 代数，左左y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中结合代数的k e g e l 定理。 ( i ) a 是左左y e t t e r o d r i n f e l d 范畴中一结合代数，x y 是其子代数且h 交换的，辫子( 左 一左y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中) t 是在a 上是对称的，则【a ，a 】【a ，a l = 0 ( 2 ) l 是广义的李代数( 左左y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中) ，若l = x + y ，其中x ，y 是l 的h 交换子李代数。辫子t 是在l 上是对称的，则l ，l 】，【l ，l 】= o 值得注意的是b a h t u r i n 等人用到了1 9 9 4 年英国数学物理学家m a j i d 提出的辫子范畴的 广义李代数的概念，既然在左左y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中相应的k e g e l 定理成立，那么弱h o p f 双模范畴中是否有类似的结论? 此论文的第六部分给出了肯定回答 1 2 主要结果 本文中得到的主要结果如下 主要结果( 一) l ( 见定理4 2 3 ) 设日是弱h o p f 代数且带有双射反对极，函子耳o 。一：蛐嚣一矗h 一日h 是个张量等价函子，也就是说，弱右右y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴m 唱与弱h o p f 双模范畴 嚣朋嚣张量等价( m o n o i d a le q u i v a l e n c e ) 主要结果( 二) l ( 见定理4 2 4 ) 若日是弱h o p f 代数且带有双射反对极，则弱h o p f模范畴备m 嚣是 一个辫子张量范畴，个辫子如下： o m ：m h n _ + n o j = r m m hn p _ m ( 一2 ) n ( o ) s ( n o ) ) o hs ( m ( 一1 ) ) m ( o ) n ( 2 ) 主要结果( 三h ( 见定理5 1 5 ) 设日是一弱h o p f 代数且带有双射反对极，代数a 是弱h o p f 双模范畴 备m 备中的个对象，x 和y 是a 的子代数，在弱h o p f ) 删d p x 和y 是辫子交换的， 满足a = x + y ，而且辫子g 在a 上是对称的，则有 ，a l 【a ，卅= 0 第二章预备知识 本文中，k 是个固定的域，没有特别说明，默认的张量积是指在域k 上域k 上的余 代数中的余乘记为，采用文献 2 0 】中的s w e e d l e r 记号，比如z( n ) = a 0 ) oo ( 2 ) ，下面给 出一些概念和基本性质 2 1 辫子李代数 对于范畴理论的基本概念，可以参看文献【8 】或 12 】 c 是一个张量范畴( m o n o i d a lc a t e g o r y ) ，其张量积与基本对象分别为p 与j 对c 中的 每一个对象a ，有两个函子； a 0 一：c 叫c ，一o a ：c _ c 定义2 , 1 1 张量范畴c 称为是一个辫子张量范畴( b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r y ) ，如果满 足对c 中任意对象a ，有自然同构； 以，一：a 固一一一圆a ，。a ：一o a - - - - - 4 a o 一 而且有下面条件成立： 以，y ( ) = c - ，( y ) ； ( 2 1 ) c v o w , 一= ( c v , 一圆w ) 0 ( v o c w , 一) ； ( 2 2 ) c - ，v w = ( v c - w ) o ( 口，y ) ( 2 3 ) 因此，容易得到t j = o ，y = i d v 辫子张量范畴c 被称为对称的，如果有 c v , wo c w , v = i d ，对任意k w c ( 2 4 ) 特别地，若对v c ，有c v , vo c v , v = i d ，则辫子c v , v 称为在y 上对称的 设c 是一个对称辫子张量范畴，其辫子结构记为c 下面回顾一下文献【2 】辫子李代数 的概念，也可以参看文献【16 】，【2 8 】或【删 定义2 12 范畴c 中的一个辫子李代数c 是c 的对象连同括号积 【，】：c o c c 而且c 中的态射满足： 在c 中辫子反交换：l ，】= 一f ，】c l ，l ； 辫子j a c o b i 恒等式， i ，】o ( 1 f ，】) ( 1 + c l s l ，l + c l ，l l ) = 0 3 东南大学硕士学位论文 下面是一个辫子李代数的等价命题。 范畴c 中的个代数是一个三元组a = ( a ，r i l a ，柏) ，这里a 是范畴c 中的个对象， m a ：a o a + a ，与m ：j a 都是c 中的态射而且满足 m ao ( a 固p ) = i d a ， m ao ( p a 固a ) = i d a ， m ao ( a o m a ) = m ao ( m a o a ) 设( a ，m ，p ) 是c 中的一个代数定义： 【，】：a 固a a ，即【，】= m m o a ，a 记由此给出的代数为a 一在文献【3 0 】中已经证出了下面命题： 命题2 1 3 a 一是范畴c 个辫子李代数，当且仅当下列条件成立。 o a a o o m ) c a o a a = m 圆1 ； c a 。a ， = 碑a 。 2 2 弱h o p f 代数 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 这里来回顾以下中的弱h o p f 代数概念与性质 定义2 2 1 个弱双代数日既是一代数( 日，m ，p ) 又是个余代数( 胃，a ，) 而且要满足 下列公理：对切h ，七，f h ， a ( h k ) = ( ) ( ) ， a 2 ( 1 ) = 1 ( 1 ) 。1 ( 2 ) l ( 1 ，) o1 ( 2 ，) = 1 0 ) 。l ( 1 ，) 1 ( 2 ) 。1 ( 2 ，) ， e ( h k t ) = e ( h k o ) ) e ( k ( 2 ) 1 ) = e ( h k ( z ) ) e ( k o ) 1 ) ， 采用s w e e d l e r 记号，亦即： ( _ 1 1 ) = l o ) h o ) o1 ( 2 ) h ( 2 ) = h o ) o ( 2 ) = h 0 ，) o ( 2 ，) 我们有幂等映射e t ，岛：日+ 日定义如下； e t ( h ) = z ( 1 0 ) h ) l ( 2 ) ，岛( 7 1 ) = l ( 1 ) ( _ 1 1 1 ( 2 ) ) 4 东南大学硕士学位论文 5 鼠与“分别被称着目标映射和源映射，对所有的g ，h h ，有 h o ) oe d h ( 2 ) ) = l o ) h o1 ( 2 ) ；5 ( 1 ) o 2 ) = 1 ( 1 ) h l ( 2 ) 它们的象凰和风被称为目标与源空间，也可以如下描述： 月j = ： h h ie t ( h ) = = j 1 ) = h l a ( h ) = l o ) h 0 1 ( 2 ) = h l o ) 0 1 ( 2 ) ， 日：= 日l 。( ) = = h i a ( h ) = 1 ( 1 ) o h l ( 2 ) = 1 0 ) 0 1 ( 2 ) h ) 下面矗与岛的性质引用于文献【1 】，将在后文中用到 命题2 2 2 若日是弱双代数，则有下列等式成立： ( i ) 矗( ) 岛( 七) = 。( k ) 矗( ) ， ( i i ) e d h o ) ) o s ( ( 2 ) ) = s ( ( 2 ) ) oe t ( h ( 1 ) ) ， ( i i i ) e t ( 1 ) = 岛( 1 ) = 1 ， ( i 口) e t ( h ) e t ( g ) = e d e d h ) a ) ；e ，( ) 岛( g ) 一岛( 岛( g ) ) ( f ) 5 ( 1 ) 风圆日t 此命题也说明甄与风是日构子代数 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 定义2 2 3 设个弱双代数日被称弱h o p f 代数，如果存在一个线性映射s ：h + 日， 满足： s $ 日= 岛：h o ) s ( h ( 2 ) ) = ( 1 ( 1 ) _ 7 i ) 1 ( 2 ) ， 日 s = e t ：s ( h ( 1 ) ) ( 2 ) = l o ) e ( h l ( 2 ) ) ， s 日 s = s ：s ( h ) = s ( 九( 1 ) ) ，l ( 2 ) s ( 危( 3 ) ) 如h o p f 代数一样。 是卷积( c o n v o l u t i o np r o d u c t ) ，s 称为反对极( a n t i p o d e ) 从上面定 义很容易得到下式， s = | s = s t 易知反对极若存在一定唯一，下面不加证明的引用文献【2 】中关于反对极的性质； 命题2 2 4 日是一个弱h o p f 代数，则有下列等式成立， ( i ) s ( 1 ) = 1 ，( 2 1 2 ) ( i i ) 。1o z 2 s ( z 3 ) = l l x 固1 2 ， ( 2 1 3 ) ( i i i )s ( z 1 ) z 2o z 3 = 1 1 固x 1 2 ， ( 2 1 4 ) ( 如) 2 ：1 0 s ( z 2 ) 奶= z l l o s ( 1 2 ) ， ( 2 1 5 ) ( 口) z l s ( z 2 ) o 黝= s ( 1 1 ) o1 2 z ， ( 2 1 6 ) ( v ) l o ) o1 ( 2 ) zs ( 1 ( 2 ) ) o8 ( 1 0 ) ) ( 2 1 7 ) 东南大学硕士学位论文 6 命题2 2 5 若日是一个带有双射反对极的弱h o p f 代数，则有限制蜀风( ) = ( 1 ( 2 ) ) 1 ( 1 ) 与s 叠( j 1 ) = ( ，1 1 ( 1 ) ) 1 ( 2 ) ，因而s 是日l + - , 是个反代数同构 引理2 2 6 若日是个弱h o p f 代数而且带有双射反对极s ，则有 ( s 固i d 。i d ) a 2 ( s 一1 ( 甸) = s - 1 ( 1 如1 ( 1 ) 固l ( 2 ) x 固l ( 2 ) ( 2 1 8 ) 对任意z h 证明：对一切z 日，有 ( so 记oi d ) a 2 ( s 一1 ( z ) ) = s i s 一1 ( z ) ( 1 ) 】o8 - 1 ( z ) ( 2 ) s - 1 ( z ) ( 3 ) = z ( 3 ) os - 1 ( z ( 2 ) ) o $ - x ( z ( 1 ) ) = l ( 3 ) xos - 1 ( 1 ( 2 ) ) os - 1 ( 1 ( 1 ) ) = 1 ：2 ) 。 s - 1 ( 1 ( 2 ) 1 1 1 ) ) 。s _ 1 ( 1 ( 1 ) ) = l ；2 ) z 固s _ 1 ( 1 s 以( 1 ( 2 ) ) 。s - i ( 1 ( 1 ) ) = 1 ：2 ) 。固s - i ( i ：i 1 1 ) 1 ( 1 ) ol ( 2 ) 文献【1 2 】中已经给出弱h o p f 代数上的模范畴是张量范畴，后被人推广到了弱双代数的 情形，在文献【4 】中则给出了具体的左模范畴日m 的结构，类似地，下面给出本论文用到的 右模范畴的具体结构 设日是弱h o p f 代数，记右皿模范畴为朋j = r ，任意的m m 日，自然地，m 是限制 在凰上的右风模，定义左日1 作用如下； 1 m = m e 0 l ( 1 ) ) 1 ( 2 ) ( 2 1 9 ) 其中风和m m 则m 就是一l 一双模 对于m ，n 朋j = r ，定义张量积， m o 。n = ( m o n ) a ( 1 ) 显然j l f 固。n 是由1 ( 1 ) 圆1 ( 2 ) 形式的元素生成的m 固n 的b 子模m o 是的右h - 模，带有 作用：( m 圆n ) 上- h = m ( 1 ) n ( 2 ) 于是，可知固。是结合的 风朋j ! r ，定义右日作用：m _ h = 岛( m j 1 ) 在玩上诱导的日| - 双模结构为凰中 元素的乘法 对于尬n 朋日，考虑投射 ：( m 固n ) 一m 。n 口( m o n ) = m l ( 1 ) 圆n l ( 2 ) 东南大学硕士学位论文 则，r 诱导了一个右风模同构- r 1 ：( m x o n ) m ，n ，其逆如下： 霄f 1 ( m 固n ) = m l ( 0 h o n l ( 2 ) = m o 肌n 这篇论文中。o h o 与o 。不加区分地统一记为o 。 o 是自然结合约束( n a t u r a la s s o c i a t i v i t yc o n s t r a i n t s ) ，左右单位约束( 1 e f ta n dr i g h tu n i t c o n s t r a i n t s ) 即z ：凰p 。m m 与r ：m 0 5 风_ m 分别如下给出l| ，固mhy m 和 m 圆f m f 可以仿照文献【4 】中证明； 命题2 2 l 设日是一个弱h o p f 代数，则有一个张量范畴( 朋日，固。，风，n 1 ，r ) 善2 3 弱h o p f 双模 7 设日是个弱h o p f 代数，来回顾一下弱h o p f 双模，可以参看文献【冽中的例3 1 ( 2 ) 定义2 3 1 个日上的弱h o p f 模是个双模m ，其作用记为此：h 固m + m 与 p r ：m o 日+ m ，又是一个双余模，余作用为：m h 圆m 与矿：m + m o h ，而且 要满足相容条件，亦即一和p r 是弘双模同态： 类似地，对p r ，也有 ( ) ( m ) = 一( 7 l m ) a n d ( m ) ( ) = 一( m _ h ) ( ) ，( m ) = 矿( h m ) a n d ，( m ) ( h ) = ，( m h ) 记弱h o p f 双模范畴为日h 一片h ，以下仍然采用s w e e d l e r 记号：对于口v ，有，( 口) = ”( o ) o q l ) 以及一( 口) = q 一1 ) o ”( o ) 特别地，一个向量空间m 被称为右弱h o p f 模，如果它既是一个右日- 模是又日- 余模 而且还满足下列条件t 对切的h 日和m m ，有 ，( m h ) = ”( o ) h 0 ) o ”( 1 ) ( 2 ) 记右弱h o p f 模范畴为朋备类似地，也有嚣朋，口朋h ，与日朋日 下面给出文献 3 】中关于弱h o p f 模结构的基本定理： 定理2 3 2 设m 是右弱h o p f 模范畴备朋中的一个对象，记 c o 日m = m m i 一( m ) = 1 ( 1 ) l ( 2 ) m j 称为左余不变向量空间，则c o i l m 是m 的左余子模，而且m 同构于h 。c o 日m 证明：参看文献【4 1 东南大学硕士学位论文 注2 3 3 设左弱h o p f 模范畴个对象n ，记 胖= m m ip r ( m ) = 1 ) 。1 ( 2 ) ) 称为右余不变向量空间，则n c d 日是n 的右余子模也有类似地基本结构定理可以见文献 【4 】 2 4 弱y e t t e r - d r i n f e l d 模 定义2 4 1 个右右弱y e t t e r - d r i n f e l d 模( k ，矿) 应满足下列条件： ，矿) 是右m 模又是右县余模 ，( 口) = q o ) o v o ) v o 且 ”( o ) h o ) o v o ) h ( 2 ) = 扣 ( 2 ) ) ( o ) o h o ) ( v ( 2 ) ) ( 1 ) 8 其中h 日和m v 记右右弱y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴为) 备，其中的态射是皿线性与日- 余线性 类似地，也有左右弱y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴h y 口口，右左弱y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴 耳y d 日和左一左弱y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴备) 很容易证明相容条件。( 0 ) h 0 ) ov 0 ) h ( 2 ) = ( 口 ( 2 ) ) ( o ) oh ( 1 ) ( 口 ( 2 ) ) ( 1 ) 与下式等价。 p ( v h ) = ”( o ) ( 2 ) os ( h o ) ) v o ) h ( s ) ( 2 2 0 ) 其中h 日和m v 下面的定理引用2 0 0 4 年c a e n e p e e l 等的结果( 见文献【s 1 ) 定理2 4 2 右- 右弱y e t t e r - d f i n f e l d 模范畴( 摇，o 。，凰，o ，l ，r ) 是个如上定义张量结 构的预辫子张量范畴，预辫子如下。 i 九扣o 。 ) = ”( o ) 0 5 口”( 1 ) ( 2 2 1 ) 其中k ) 谚嚣进一步，有。 定理2 4 3 若日是个带有双射反对极的弱h o p f 代数，则c 是一个辫子，也即右一右 弱y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴( y d 嚣，o 。，巩，o ，f ，r ) 是辫子张量范畴 第三章弱h o p f 双模的张量积 这一章主要利用前面提到的弱h o p f 模结构基本定理考察一下弱h o p f 双模的结构，进一 步给出弱h o p f模的张量积，使弱h o p f 双模范畴的结构具体化 命题3 1 1 对任意的弱h o p f 双模m ，根据弱h o p f 模结构基本定理，有h 圆。c o h m ，则 c o i l m 是个右皿模，模作用如下； m 上- h ；8 ( h o ) ) m 。 ( 2 ) 对任意的m h m ，以及任意的h 日 证明：仇c o h m ，以及任意的9 ，h 日，有 ( m 上- h ) 上_ g = s ( g o ) ) ( m 上m 鲰2 ) = s ( 9 ( 1 ) ) ( s ( ( 1 ) ) m ( 2 ) ) 。g ( 2 ) = s ( 取1 ) ) s ( ( 1 ) ) ，n ( 2 ) ) 9 ( 2 ) = s ( 氐1 ) 9 ( 1 ) ) ，n j l ( 2 ) ) g ( 2 ) = s ( ( 幻) ( 1 ) ) m ( h 9 ) ( 2 ) = m 上- ( 幻) c 正毕) 再来看c o x m 的余模结构，事实上，对任意的m c o 日m ， 一方面有 另一方面， ( 一 i d h ) p r ( m ) = ( ，oi d x ) ( m ( o ) o ”( 1 ) ) = ( ( 0 ) ) o m ( 1 ) ( i d ho ，) p i ( m ) = ( i d l to 矿) ( m ( 一1 ) m ( o ) ) = ( i d n o 矿) ( 1 ( 1 ) 圆1 ( 2 ) m ) = l ( 1 ) 固1 ( 2 ) ( o ) o l ( 3 ) m l = 1 0 ) 0 1 ( 2 ) 1 ：1 ) ”( o ) o l 2 ) m l = 1 0 ) 固1 ( 2 ) 。m ( o ) o m l 9 东南大学硕士学位论文 1 0 由于m 双余模，就有 一( ”( 0 ) ) o t o o ) ；1 ( 1 ) o1 ( 2 ) r e ( o ) 固m l 这也完成了下面命题的证明， 命题3 1 2 c o 日m 是m 的左子皿余模进一步有， 引理3 1 3 对任意的弱h o p f 双模m ，则日m 是个右一右y e t t e r - d r i n f e l d 模 证明；由命题3 1 1 和命题3 1 2 可知，c o 日m 是右弘模与右日余模剩下的只需要 验证一下右右y e t t e r - d r i n f e l d 模的相容条件，事实上， 上- ( 2 ) ) ( 0 ) o ，l ( 1 ，( m 上 ( 2 ) ) ( 1 ) = ( s ( h ( 2 ) ) ，n 3 ) ) ( o ) h 1 ) ( s ( h ( 2 ) ) m ( 3 ) ) ( 1 ) = s ( ( 2 ) ) m ) ( o ) 吣) oh ( 1 ) ( s ( ，l ( 2 ) ) m ) ( 1 ) ，l ( 4 ) = s ( 2 ) ) ( 1 ) m ( 0 ) ( 3 ) oh ( 1 ) s ( ( 2 ) ) ( 1 ) m ( 1 ) ，l ( 4 ) = s ( ( 3 ) ) m ( o ) ，i ( 4 ) o ( 1 ) s ( h ( 2 ) ) m ( 1 ) ，l ( 5 ) = s ( 1 ( 2 ) h ( 1 ) ) t n ( 0 ) ( 2 ) 固s ( 1 【1 ) ) m ( 1 ) ，l ( 3 ) = s ( ，l ( 1 ) ) s ( 1 ( 2 ) ) 。m ( o ) 。，l ( 2 ) 圆s ( 1 ( 1 ) ) 竹1 ( 1 ) h ( 3 ) = s ( ( 1 ) ) 1 ( 1 ) m ( 0 ) ，l ( 2 ) 固1 ( 2 ) m ( 1 ) ( 3 ) = s ( ( 1 ) ) m ( o ) 。j l ( 2 ) ot n ( 1 ) h ( 3 ) = m 上- h o ) 0 m o ) h ( 2 ) ( 证毕) 引理3 1 4 设m 是弱h o p f 双模范畴日h 一日h 中的一个对象，则日o 。日m 也是弱h o p f 双模范畴中的个对象 证明：ho 。c o h m 上的结构如下t ， ig 一( h o m ) = g h o 。m ， j 一( m ) = 6 ( 1 ) o ( 2 ) 8 b7 n ， i ( h o m ) 厶- 9 = h g ( 1 ) o m 。9 ( 2 ) ， lf ( ao m ) = ( 1 ) 固，”( o ) o ( 2 ) m ( 1 ) ， 对所有的g ，h ，加日与m c d h m 下面来直接验证； 函一圆，m ) 】上- 伽= ( g h 。m ) 厶- 删 = g h w ( 1 ) 固5 m 。加( 2 ) = 9 _ ( h w ( 1 ) 吼m 叶2 ) ) = 9 一f ( 吼m ) 上- 叫 东南大学硕士学位论文 这就说明带有左作用一与右作用上_ 的日o 。v 是个皿双模，事实上 ( 一oi d n ) f ( ho m ) = ( oi d l t ) ( h ( 1 ) o r e ( o ) ( 2 ) ”( 1 ) ) = h 0 ) o ，l ( 2 ) o jr e ( o ) o ( 3 ) m ( 1 ) ；( i d i t o ，) ( h ( 1 ) 固 ( 2 ) o m ) = ( i d ho f ) j ( h 固。m ) 所以它也是双余模，再来验证弱h o p f 双模的其他条件， 函j ( h 固m ) 】= 细，1 ) ( 1 ) o 扫 ) ( 2 ) 固，m = g o ) h ( 1 ) o 吼2 ) ( 2 ) o m = a ( g ) d ( h o 。m ) 【m o 。m ) 上- 翊= ( 吼1 ) ) ( 1 ) o ( “9 ( 1 ) ) ( 2 ) o 。m 9 ( 2 ) = _ i i ( 1 ) 巩1 ) o ( 2 ) 9 ( 2 ) o ，m 9 ( 3 ) = ( ( 1 ) o ( 2 ) o 。m ) a ( g ) = ( h 固。m ) a ( g ) 矿囟j ( h 固。m ) 】= 0 ) ( 1 ) o m ( o ) o ( 9 ) ( 2 ) m ( 1 ) = 9 ( 1 ) ( 1 ) o 。 。( o ) 固夕( 2 ) ，l ( 2 ) 竹。( 1 ) = = g ( 1 ) 1 ( 1 i 善( 1 ) 瓯m o ) ) o9 ( 2 ) ( 2 ) n ( 1 ) = a 国) ，( o 。 i f , ) 以及 ，【 o - m ) 上- 鲥= ( 慨1 ) ) ( 1 ) o 。( m 取2 ) ) ( o ) o ( j 匆( 1 ) ) ( 2 ) ( m 9 ( 2 ) ( 1 ) = h ( 1 ) g o ) o ( m 9 ( 3 ) ) ( o ) o7 l ( 2 ) 9 ( 2 ) ( m g ( 3 ) ) ( 1 ) = j l ( 1 ) 矾1 ) 固，m ( o ) 巩2 ) 0 ( 2 ) m ( 1 ) 9 ( 3 ) = 矿m 固，m ) a ( g ) 第三个等式用到了弱右一右y e t t e r - d r i n f e l d 模的相容条件( 证毕) 定理3 1 3 设m 是弱h o p f 双模范畴日h 日h 中的一个对象，则m 同构于h 固。c o 日m 东南大学硕士学位论文 1 2 设m , n 日h 一日t t ，来考察m 与n 在日上的张量积m o 日n 的结构定义模与余模作 用如下z _ m 固h n ， h 固m 固h n ， _ m 固日n ， m 圆日n 圆h h o m o j = r n h ，n o 月1 8 ， r r t0 h m ( 一1 ) n ( 一1 ) or e ( o ) 0 日n ( o ) m 固t l o h 卜+ m 日t l h ， m 固n h r e ( o ) o 盯n ( o ) 圆t o o ) n o ) ， 即作用是通常，余作用是余对角的下面来验证上述定义是良好的，显然舭和蛐是模作用， 来看余模条件 下面来看这些作用与余作用下张量积的合理性， 事实上，v 茁日 h 一( m z o 日n ) = h ( m 霉) o j = r n = ( h m ) 茹 j = r n = h m o 日z ，l = h 一( m o 日z n ) ( m o 日仃) - = m z o i ! r ，l h = m 固h z 7 , h = m 圆日z n ) 上- h 一( m ，zo h 竹) = m ( 一1 ) z ( 1 ) n ( 一1 ) or e ( o ) z ( 2 ) o 日n ( o ) = m ( 一1 ) z ( 1 ) n ( 一1 ) or e ( o ) o 日z ( 2 ) n ( 0 ) = m 【一1 ) ( z n ) ( 一”o r e ( o ) 圆h ( 霉。n ) ( 0 ) = ( m 固j ；r 霉n ) 矿( m z h n ) = m ( 0 ) + x o ) o h n ( o ) o m ( 1 ) z ( 2 ) 几( 1 ) = m ( o ) 固日$ ( 1 ) n ( 0 ) om 0 ) z ( 2 ) n ( x ) = ，( m 固日z ) 命题3 1 5 设m ，n 备m 备，则向量空间mo z n 带有上述定义的作用与余作用是弱 h o p f 双模范畴日h 一日h 的一个对象 一础 一 0 m 日 玑 憎洲鼢断锄 肌 m m m j l 矿 东南大学硕士学位论文 ( 一oi 妇) ，( 价o j ! r 竹) = ( 一 d _ ) ( m ( o ) o 日n ( o ) om ( 1 ，n ( 1 ) ) ip 工：h 固吖西一m - 西n , h o m o n h ( 1 ) m h ( 2 ) t l ， ) 2 一 倒一帕胤们”m ( - 1 ) 跏( o ) 肌， lp r ：m n 固h m 西， m 固 o h h m ( 1 ) o ，l ( 2 ) ， l 矿：m - n 叫 卿。只，l o n h t n o n ( o ) o n ( 1 ) 很明显，有h h h 一日h ，其结构是自身的乘法与余乘 v m ，p h h 一日h ，有自然同构t a m ，s v , p ：( m 日n ) o 日p = m 固( n 圆盯p ) ，l ：h 固日m 竺m ，r ：m o h 竺m 壅亘奎兰堡圭兰堡丝茎 1 4 容易看出下两等式成立： ( i d m 园a ：叠p v 、oa m 。n p 8 h v oc t m h n p v = a m , n h p , vob m n 。po i d v ) 以及 r o d n = ( i d m 固z ) 0 a m , h n 即有下面两个交换图； “m。j=rf日：严mi。jjr(固日p)。j=ry ( m 固j ：r n ) 日( p 固日v ) m 。日。n 。p 翟缸望! 矗lmo 日(圆日( o 日y ) ) ! 竺丝! 竺盟t ! a m ，n hp t y o 日( ( o 日p ) o h v ) 鼬日：拳2 至此，已经已经给出了一个张量范畴，也就是有， 命题3 1 8 设日是一个弱h o p f 代数，则，有一个张量范畴( 日h 一日h ，o 日，h , a ，l ，r ) 事实上，已经完全清楚了在弱h o p f 双模范畴中圆日与o ，之间的关系； 命题3 1 9 m o 月n 竺m o 日( 日o 。丑n ) = m o 。日 第四章范畴等价与辫子 这一章来通过证明函子日o ，一是张量等价( m o n o i d a le q m v a l e 】a c e ) 的，给出弱右一右 y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴即备与弱h o p f模范畴j = r h h j = r 等价的，由弱右一右y 巩t * d f i n f e l d 模 范畴的辫子得到弱h o p f模范畴日h a a 日h 的辫子以下h 是指带双射反对极的弱h o p f 代数 v v v v 夕，l 埘执 ， 阮搿君：翟仉 l ( h o 口) 上- g = h g o ) 0 5 口9 ( 2 ) i 矿( h o 。口) = h o ) 。， ( o ) o ( 2 ) 钉( 1 ) 1 5 壅童奎兰堡圭兰堡垒窒 1 6 另一方面有 f ( h 吼? 功；h 0 ) o 。扣计( o ) 固2 ) 忙。口) ( 1 ) = = h ( 1 ) o 。( s 一1 ( z ) ) ( 0 ) o ( 2 ) ( 田s 一1 ( ) ) ( ” 2 = 2 0 h ( 1 ) 。移( o ) ( s 一1 ( z ) ) ( 2 ) o ( 2 ) s 【(