（基础数学专业论文）广义fisher方程（组）及粘性平衡律方程行波解的稳定性.pdf

摘要 本文由三部分组成: 第一部分研究广义 f i s h e r 方程波前解的渐近稳定性将经典的谱 分析方法和半群方法相结合，我们分别得到了具有临界和非临界波速 的行波解在加权空间里的局部渐近指数稳定性.在此基础上，利用比 较原理， 证明了具有临界波速的行波解在指数加权空间的全局渐近稳 定性. 进一步， 将e v a n s 函数方法、 适当的空间分解、 半群方法和经典 的谱分析方法相结合，我们分别得到了具有临界和非临界波速的行波 解在多项式加权空间里的局部渐近代数稳定性. 在研究具有非临界波 速的行波解的稳定性时，由于行波在十 00以较慢的代数率衰减，这导 致在研究线性化算子的本征值间题时， 不能直接根据经典的常微分方 程的渐近理论确定本征值间题的解在 十 0 0 的渐近行为，以致无法定义 e v a n s 函数. 通过利用更一般的常微分方程的渐近理论， 我们得到了对 本征值间题的解在+ m的渐近行为的细致刻画. 基于此，我们可以定 义e v a n s 函数， 并证明此处构造的e v a n s 函数同样具有解析性， 且其零 点仍对应线性化算子的本征值，这表明我们将 e v a n s 函数的定义推广 到了更一般的情形.在研究具有临界波速的行波解的稳定性时，我们 验证e v a n s 函数d ( a ) 具有某些重要性质， 其在线性化算子的本质谱外 不为零， 尤其在原点处:d ( 0 ) = 0 ， 但d , ( o ) 3 1 0 ， 这对进行适当的空间分 解及半群估计是非常有用的. 第二部分研究一类粘性平衡律方程的行波解的渐近稳定性. 首先， 利用谱分析的方法、比较原理， 及 。 一 极限集的性质， 我们证明了一般 粘性平衡律方程的连接鞍点的行波解的全局渐近指数稳定性，此结果 推广了经典的反应扩散方程鞍鞍波的全局稳定性结果.其次，我们研 究了一类退化的粘性平衡律方程行波解的存在性和稳定性利用相平 面分析法， 我们得到了其波前解的存在性. 在此基础上， 利用e v a n s 函 数方法、 半群方法和谱分析的方法， 与第一部分类似， 我们分别得到 其行波解在指数加权空间和多项式加权空间里的局部渐近稳定性. 第三部分研究一类自 催化化学反应方程组的行波解的稳定性， 利 用巧妙的谱分析和半群理论， 我们得到了扩散系数d =1 时具有临界波 速和非临界波速的行波在适当加权空间里的局部渐近指数稳定性;另 外，我们还初步得到了扩散系数d =a 1 时线性化算子的谱性质. 关键词:行波解， 代数衰减， 谱分析，e v a n s 函数， 半群方法， 比 较原 理。 渐近稳定，全局稳定. t h e s t a b i l i t y o f t r a v e l l i n g f o r ge n e r a l i z e d f i s h e r e q u a t i o n ( s y s t e ms ) a n d v i s c o u s b a l a n c e la w x i u xi a x i n g ( n o n l in e a r p a r t i a l d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n s ) d i r e c t e d饰 p r o f . y a p i n g wu ab s t r a c t t h i s t h e s i s i s c o m p o s e d o f t h r e e p a r t s . i n t h e fi r s t p a r t , t h e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t r a v e l l i n g l u t i o n s f o r a c l a s s o f g e n e r a l i z e d f i s h e r e q u a t i o n i s s t u d i e d . f r o n t s o- b y d e - t a i l e d s p e c t r a l a n a l y s i s , s e m i g r o u p t h e o ry, a n d c o m p a r i s o n p r i n c i p l e , w e fi r s t p r o v e t h a t e a c h w a v e w i t h n o n - c r i t i c a l a n d c r i t i c a l s p e e d i s l o c a l l y a n d g l o b a ll y e x p o n e n t i a ll y s t a b l e i n s o m e w e i g h t e d s p a c e s , r e - s p e c t i v e l y . f u r t h e r 妙 e v a n s fu n c t i o n m e t h o d a n d d e t a i l e d s e mi g r o u p e s t i m a t e s , w e p r o v e t h a t e a c h w a v e w i t h n o n - c r i t i c a l o r c r i t i c a l s p e e d i s l o c a l l y a l g e b r a i c a l l y s t a b l e i n s o m e w e i g h t e d s p a c e s , w h i c h f u r t h e r e x p l a i n s s o m e asy m p t o t i c p h e n o m e n a o b t a i n e d b y n u m e r i c a l s i m u l a - t i o n . i t s r e ma r k e d t h a t , w h e n a n a l y z i n g t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f s o l u t i o n s o f t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m f o r t h e l i n e a r i z e d o p e r a t o r a r o u n d t h e w a v e w i t h n o n - c r i t i c a l s p e e d , t h e s t a n d a r d asy m p t o t i c t h e o r y o f o d e s c a n t b e a p p l i e d d i r e c t l y , w h i c h i s d u e t o t h e s l o w e r a l g e b r a i c d e c a y o f t h e w a v e a t t h e e n d x二+ o o . h o w e v e r , b y u s i n g m o r e g e n - e r a l a s y m p t o t i c t h e o r y o f o d e s , w e o b t a i n t h e d e t a i l e d d e s c r i p t i o n o f t h e b e h a v i o r o f s o l u t i o n s a t + o o t o t h e e i g e n v a l u e p r o b l e m a n d h e n c e g i v e t h e d e fi n i t i o n o f t h e e v a n s f u n c t i o n . f u r t h e r m o r e , w e s h o w t h a t t h e e v a n s f u n c t i o n h as t h e s a m e p r o p e r t i e s a s i t s p r e v i o u s d e fi n i t i o n s , s u c h a s t h e a n a l y t i c i t y i n a , a n d t h e c o r r e s p o n d e n c e t o t h e e i g e n v a l u e o f t h e l i n e a r i z e d o p e r a t o r . i t i s i n t h i s s e n s e t h a t w e e x t e n d t h e d e - fi n i t i o n o f t h e e v a n s f u n c t i o n t o m o r e g e n e r a l c ase . i n a d d i t i o n , i n t h e p r o o f o f t h e a l g e b r a i c s t a b i l i t y o f w a v e s w i t h c r i t i c a l s p e e d s , s o m e i i i k e y p r o p e r t i e s o f t h e e v a n s f u n c t i o n d ( a ) a r e o b t a i n e d , i n p a r t i c u l a r , d ( 0 ) =0 , b u t d , ( o ) 54 0 , w h i c h i s u s e f u l f o r s e m i g r o u p e s t i m a t e s i n t h e p o l y n o m i a l l y w e i g h t e d s p a c e s . i n t h e s e c o n d p a r t , w e i n v e s t i g a t e t h e e x i s t e n c e a n d a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t r a v e l l i n g w a v e s o l u t i o n s f o r a c l a s s o f s c a l a r v i s c o u s b al - a n c e l a w . f i r s t , b y u s i n g d e t a i l e d s p e c t r a l a n a l y s i s , c o m p a r i s o n p r i n - c i p l e , a n d t h e p r o p e rt i e s o f t h e w - l i m i t s e t , w e s h o w t h a t e a c h w a v e c o n n e c t i n g t w o a d j a c e n t s a d d l e s f o r g e n e r a l v i s c o u s b a l a n c e l a w i s g l o b al l y e x p o n e n t i a l l y s t a b l e i n l 0 0 s p a c e s . a l s o , b y d e t a i l e d p h ase p l a n e a n al y s i s , w e o b t a i n t h e e x i s t e n c e o f t r a v e l l i n g fr o n t s f o r a c l as s o f d e g e n e r a t e v i s c o u s b a l a n c e l a w , t h e n b a s e d o n w h i c h , b y s i m i l a r m e t h - o d s t o t h e fi r s t p a r t , w e o b t a i n t h e l o c a l l y e x p o n e n t i al a n d al g e b r a i c al s t a b i l i t y o f e a c h w a v e fr o n t . i n t h e t h i r d p a r t , w e s t u d y t h e s t a b i l i t y o f t r a v e l l i n g w a v e s f o r s o me a u t o c a t a l y t i c c h e m i c al r e a c t i o n s y s t e m s . b y d e t a i l e d s p e c t r a l a n al y s i s a n d s e m i g r o u p t h e o r y , w e p r o v e t h a t f o r t h e d i ff u s i o n r a t e d二1 c as e , e a c h w a v e w i t h c r i t i c a l o r n o n - c r i t i c a l s p e e d i s l o c a l l y e x p o n e n t i a l l y s t a b l e i n s o me w e i g h t e d s p a c e s . i n a d d i t i o n , f o r t h e d i f - f u s i o n r a t e d 54 1 c a s e , w e o b t a i n s o m e e l e m e n t a r y s p e c t r a l p r o p e r t i e s o f t h e l i n e a r i z e d o p e r a t o r a r o u n d t h e w a v e . ke y w o r d s : s p e c t r al a n a l y s i s , w a v e s , a l g e b r a i c d e c a y , e v a n s f u n c t i o n , s e m i g r o u p e s t i ma t e s ,c o mp a ris o np r i n c i p l e , a s y m p - t o t i c s t a b i l i t y , g l o b a l s t a b i l i t y . i v 第一章前言 反应扩散方程( 组) 和粘性平衡律方程是非线性抛物方程( 组) 的两类重要模 型， 它们大量来自 物理学、 化学、 生物学等领域， 因而具有强烈的实际背景 当空 间 变量x 是一 维时， 通常两类方程都具有形如u ( x , t ) = 。 闰二 u (x 一 e t ) , : = x 一 c t 的 行波解. 行波解具有平移不变性， 其波形以常速度。 沿x 轴正( 或负 ) 方向 传 播， 能刻画实际中的振动现象及扰动以有限速度传播的现象 研究这两类模型的 行波解的存在性及适当意义上的稳定性， 具有重要的理论价值及实际意义. 本章包括三部分内容， 首先介绍模型的背景和研究方法， 接下来在第二节中 介绍本文研究的模型， 最后在第三节给出本文的主要结果， 1 . 1 模型背景和方法 半线性的反应扩散方程组一般写为 、 。 “d u . . +f ( n ) , 。 ， fr n ， 二e r ,( 1 . 1 . 1 ) 其中d是。 x 。 的正定矩阵. 在关于反应扩散行波解的研究中， 有两种基本而重 要的情 形. 第一种是1 9 3 7 年f is h e r p s 和k o h n o g o r o v - p e t r o v s k i i- p is k o u n o v k p p 相互独立地提出的最简单的非线性反应扩散方程 。 。 =。 二 ， + u ( 1 一 。 ) ，二 任 r ,( 1 . 1 . 2 ) 此方程后来被称为 f i s h e r 方程或k p p 方程 他们研究了行波解的存在性; 存在 临 界波 速c =2 ， 对任意的 波速c c , ( 1 . 1 .2 ) 存在连接i 和。 的波前解0 ( 二 一 c t ) . 当x 、t a o 时 ， 行波0 ( 二 一 司以 指 数 率分 别趋向 于。 和1 . s a , k r 1 , k r 2 中 的 结 果表明每个 c c 的行波是局部渐近稳定的. 第二种是著名的双稳态方程。即 。 。 = u m . + 。 ( 。 一 a ) ( 1 一。 ) ，a e ( 0 , 1 ) ， 二 e 19 .( 1 . 1 . 3 ) 1 9 7 7 年， f if e - m c le o d f m 证明 了( 1 . 1 .3 ) 存在唯 一 的 连 接1 和0 的 波前 解m ( 二 一 c t ) , 且具有唯一波速c a 二( 1 - a ) / v2， 还利用比 较原理得到了行波解在l -空间里的全 局 渐 近 指 数 稳 定 性.1 9 7 6 年， s a t t in g e r s a 提出 用 线 性 化 算 子的 半 群 理 论 来 研 究 反应扩散方程组的 行波解的局部渐近穗定 性. 近年来，r o q u e j o ff r e - t e r m a n - v o lp e r t r t v 】 将田 阅 中的 结 果推广到一 类拟增的双稼态的反应扩散方程组. v o lp e r t - v o l p e r t - v o l p e rt v v v 在对线性化算子的 谱性质作了适当 假设之后， 得到了 一 类 拟增的反应扩散方程组的行波解在加权空间 里的渐近稼定性. 粘性平衡律方程一般写为 。 : + f ( u ) 二 =: 。 二 二 + ， ( 。 ) ， 。 c r ， 二 r ，( 1 . 1 .4 ) 第 2 页学位论文:广义 f i s h e r 方程 ( 组 ) 及粘性平衡律方程行波解的稳定性 其中。 0 称为粘性系数.它比标准的反应扩散方程、守恒律方程能描述更一般 的复杂过程， 如燎烧、 化学反应、 生态学中 各种相互作用等. 当反应项9 三。 时， ( 1 . 1 .4 ) 变为标准的粘性守恒律方程， 关于这类情形的行波解的研究结果较多 1 9 6 4 年，ii i n - o l e in ik 1 0 对f 为凸 函 数的 情形， 利 用 最大 值 原 理 得到( 1 . 1 .4 ) 的 行波在l 0 0 空间 里的稳 定性.s a t t i n g e r s a 去掉凸 性假设， 利用半群理论得到与 1 0 中 类似的指 数收敛结 果. 八十 年代中 期，g o o d m a n g 和l iu l iu l , l i u 2 ， 利 用能量方法，将关于单个粘性守恒律方程行波解的稳定性结果推广到粘性守恒 律方程组的情形;k a w a s h i m a - m a t s u m u r a k m 利用能量方法得到在加权空间里的 代数收敛的结果. 当 反应项9 0 。 ， 且9 仅含简单零点时， 关于方程( 1 . 1 .4 ) 行波解 的 研究有一 些结果.1 9 9 7 年，m a s c i a 阿咧在f 为凸 函数的 条件下， 得到了。 = 0 时( 1 . 1 .4 ) 的 行波 解的 存在 性， 包 括连续单调的 结鞍波、 间 断的 鞍鞍波池称为冲 击波) 等， 还利用特征线理论证明了结鞍波在紧支集扰动下的稳定性.2 0 0 0 年， m i r t e r i c h h a r 在f 凸的条件下， 用 几何奇异摄动方法研究了当: 充 分小时， 枯性 平 衡 律( 1 .1 .4 ) 行波解的 存在 性， 包括连续单调的结鞍波、 鞍鞍波( 也 称为粘 性冲 击波 等. 接下来简单介绍半群理论、 谱方法以及e v a n s 函数方法. 先来介绍一下用到的符号和概念. 设a : d ( a ) *x为线 性算子， 这 里d ( a ) 为a 的 定义域，x为 某一b a n a c h 空间. ( 1 )记a 的 预 解集为p ( a ) . 记o ( a ) = g p ( a ) ， 称v ( a ) 为a的 谱集 ( 2 )若核空间k e r ( a i 一 司ie f o b则称a g为a的本征值. 其中核空间 k e r ( a i 一 a ) 的 维数d i m k e r ( a l 一 a ) 称 为 本征 值a 的 几 何 重 数. 特 别， 若几何 重数 为1 ， 则 称a 为 简 单 本 征 值. 若存 在 某正 整 数k ， 使 得k e r ( ( a i - a ) k ) = k e r ( ( j 1i - a ) k + l ) , 曲 i ft , i i mf w w r l a l 一a ) k l肯太杯摺 a的符扮贡扮 ( 3 ) a 的 所有 本征 值 构成的集 合称为a 的 点 谱集， 记为 ( a ) - a n ( a ) 表示 具 有有限代数重数的孤立本征值的集合. 记 a e . . ( a ) =a ( a ) 、 a( a ) ， 称a . . . ( a ) 为算 子a的本质谱. 以下， 如不作特殊说明， 算子的谱是指算子在 在这两个空间， 算子具有相同的的本质谱. 考虑非线性自 治发展系统 护( r ) 空间或g , d r ( r ) 空间的谱. u t =( b ( u ) 二 二 ) 二 + f ( u , 。 二 ) ，。 ， f e r n ， 二 e 1 , ( 1 . 1 .5 ) b ( u ) 为。 x ， 矩阵. 设f ( u 1 , 0 ) = 引入移动坐标 z = 二 一 c t , 0 , 45 ( 二 一 c t ) 为( 1 . 1 .5 ) 的 行 波解， 满足0 . ( t - ) = u 1 . 则行波解 m习成为 u c =( b ( u ) u . ) 二 +。: + f ( u , u . ) 的平衡解. 将其在行波o - ( z ) 处线性化， 得到线性化算子 。 =( b ( o . ) v . ) 二 + ( b ( o . ) o c v ) 二 +( c + mo . o c ) ) v s + f l ( 0 c , 0 e ) v , 第一章 前言 第 3 页 其中方( ， =1 , 2 ) 表示f 对第， 个变量求导. 设x为 某一b a n a c h 空间， 根 据文s a , h e n 中 经典的 稳定 性理论， 可知 ( 1 )若一 为x上的扇形算子， 则d e 为带平移渐近指数稳定的充要条件为 存在 r 0 , 使得r e 。 ( ) 1 0 1 1 - a 0 ， 使得r e 。 ( ) 1 0 - - 16 0 ii( a l 一 g ) - ii x - . x 0 ， 使 得r e i e e e ( g ) 1 - - q 0 ， 使得r e 1 0( l ) 1 0 1 - p _ a o 中可能含有无限个孤立本征值. 第 4 页学位论文: 广义f i s h e r 方程 ( 组) 及粘性平衡律方程行波解的稳定性 对于反应扩散方程的行波， 有两种典型情形. 第一种以双稳态方程为代表， 可以证明 算子 本质谱的实部具有一致的负的上界， 即满足( 1 .1 . 8 ) . 第二种以 经典的f i s h e r 方程为代表， 可以证明 的本质谱的一部分包含在右半复平面， 即 o - . ( l ) f l a e c r e a?0 1 540 . 研究枯性守恒律的粘性冲击波时， 则有 r e a e( l ) - - s ( b - 8 1 ( a - - 6 中 本征 值的 个数转 化为求e v a n s 函 数的 零点 个数， 且 在此区 域 内 的 本征值个数( 9 括代数重数在内 ) 等于d ( a ) 的零点 个数， 并建立了此类方 程组的脉冲 波解的线性稳定性与非线性稳定性的抽象理论.1 9 8 4 年， 荃于e v a n s 建立的稳定性理论的 框架，j o n e s j l 具体证明了 神经传导方程组的 一个特例: f i t z h u g h - n a g u m o 方程 组的 脉冲解的稳定 性. 1 9 9 0 年 ， a le x a n d e r - j o n e s - g a r d n e r (a g 刃 对 经 典 的 半 线 性 反 应 扩 散 方 程 组 ， 在 更弱条件下推广了e v a n s 函数的定义， 建立了关子本征值个数与e v a n s 函数零点 个数、 不穗定流形对应的复向量丛的第一 c h e m数之间关系的抽象理论; 还抽象 第一章 前言第 5 页 地证明了e v a n s 函数d 林 ) 的性质. 对a e c v e( 功， 侧习的取值与: 无关， 且关 于a 解析，d ( a ) = 。 当且仅当入 是的 本征值， 且本征值的代数重数等于a 作 为d ( 习的 零点的重数 利用此抽象理论， 他们解决了一 类带小 参数的捕食模型 的 行波解的稳定性. 最近，w u - z h a o wz h ， 利用e v a n s 函数和c h e 。数的方法， 得到了一类奇异交错扩散方程组带有边界层的行波解的稳定性. 1 9 9 3 年，k a p i t u l a 口 g k , k a p ! 利 用e 、 函 数 方 法证明 了 单 个 粘 性 守 恒 律 方 程的可压缩的冲击波在代数加权空间里的渐近稳定性， 并在抽象的谱条件的假 设下， 将此结论推广到粘性守恒律方程组的完全可压缩冲击波的情形. 近来， z u m b r u n z h ) 利用e v a n s 函 数和逐点半群方法建立了 粘性守恒律方程组冲击波 的 线 性稳 定 性与非 线 性稳定 性之间 的关系. 另 外，k a p i t u l a - k u t z- s a n d s t e d e 沐 k s 用e v a n s 函数方法研究了一类非局部方程行波解的稳定性. 关于e v a n s 函数方法，p e g o- m ill e r - w e i n s t e in p w1 , p w2 , m w 等人在孤立波 方面也做了一些工作. 1 9 9 2 年， 他们对抽象的本征值间题， 在一定假设下给出 e v a n s 函数d ( 习的定义和d a u ) 的公式， 并利用e v a n s 函数具体研究了一些哈密 顿系统， 包括广义k d v 方程、 广义b b m方程、 广义正则b o u s s i n e s q 方程的孤立 波解的线性稳定、 不稳定性. 后来， 他们将 e v a n s 函数方法和 c o 半群理论相结 合， 证明了正则长波方程的孤立波在加权空间里的渐近指数稳定性 1 . 2 本文研究的模型 本文主耍考察广义( p d e g r e e ) f is h e r 方程 。 =. ”+ u p ( 1 一。 ) ，p1 ， 二 r , ( 1 . 2 . 1 ) 枯性平 衡 律方程( 1 .1 .4 ) a t + f ( n ) . = : 二 + ， ( 。 ) ，: 0 ， 二 e r , 和一类自 催化化学反应方程组 u t =d l “ 二一k u v p v t 二d 2 v _+k u v p , p1 , x er ， ( 1 . 2 . 2 ) 的行波解的存在性及稳定性间题. 当p =1 时，( 1 .2 . 1 ) 对应经典的f is h e r 方程或k p p 方程( 1 . 1 .2 ) . 1 9 9 0 年， z h a n g - w a n g - y e z w y 证明 了p = 2 时 ， 存 在临 界 波 速。= 碑 2 ， 对 任意的 波 速 c _ ， 方程( 1 .2 . 1 ) 存在 连接1 和。 的 波前 解. 而且， 具有临 界波 速的 行 波恰好 是 双稳 态 方程( 1 . 1 .3 ) 的唯一 行波解iti . ( 二 一 c a当。 *。 时 的 极限 . 当， = 2 时. s h e r r a t - m a r c h a n t is m 的数值结果表明， 在十 00端和临界波速的行波(a . . ( 二 一 t ) 以 相同指数率衰减到零的初值最终发展为具有临界波速的行波4 . ( 二 一 c , t ) ， 在+ w 端以代数率0 ( 二 一 1 ) 衰减到零的 初值 则发展为某个具有非临 界波速。 的行波 第6 页 学位论文: 广义f i s h e r 方程( 组) 及粘性平衡律方程行波解的稳定性 0 . ( x 一 c t ) . 2 0 0 2 年，l e a c h - n e e d h a m - k a y l n k 对任意的p 1 , 得到了( 1 .2 . 1 ) 波前 解的存在性. 细致的相平面分析表明， 与经典的f i s h e r 方程的所有行波在士 00两 端均以指数率衰减不同， 广义f i s h e r 方程( 1 .2 .1 ) 的行波有如下特点. 具有临界波 速。 = 回的 行波(mx - ct ) 在士 cc以 指数 率衰减; 而 具有非临 界波速c c . (p ) 的 行 波0 二 一 d ) 在一 00 以 指 数 率 衰 减 ， 在+ 00 则 以 代 数 率o ( x 声) 衰 减 .2 0 0 0 年，x i n x i n 在一 篇关于行波的 综述性文章中， 特别提到广义f is h e r 方程的代数 衰减的 行波 解的 稳 定性 还没 有 得到解 决. 近来，l e a c h - n e e d h a m - k a y l n k 利 用 渐 近 展 开 的 方 法 研 究 了 相 应 的 初 边 值 间 题 ， 证 明 了 在+ cc以 代 数 率o (a 0 ) (o 声) 衰减到零的初值， 会发展为某个行波解0 c 二 一 司， 其波速依赖于具体的初值.1 9 9 5 年，n i s h ih a r a 叫 利用能量方法， 得到一类粘弹性模型 代数衰减的行波解的稳定 性， 但没有得到衰减估计 本文将用谱方法和e 函数方法， 研究广义f is h e r 方程( 1 .2 .1 ) 代数衰减的 行波和指数衰减的行波在适当空间里的渐近稳定性. 对于粘性平衡律方程( 1 . 1 .刃 ， 其行波解的称定性方面一直未有详细的结果. 本文首先证明了当 反应项9 仅含有简单零点时， 方程( 1 . 1 .4 ) 的鞍鞍行波解是全局 渐近指数稳定性的.由于粘性平衡律方程( 1 .1 .4 ) 比 双稳态方程( 1 . 1 .3 ) 多出一个 对流项， 因此f m 1 中 证明 经典方应扩散方程鞍鞍波的全局渐近橄定性的方法不 再适用. 我们通过构造上、 下解， 利用比 较原理和 。 一极限集的性质， 结合局部 稳定 性， 得到了 粘性平衡律方程( 1 . 1 .4 ) 鞍 鞍波的 全局渐近稳定性， 推广了f m 中经典的毯定性结果. 另外， 对于反应项9 含有退化零点的情形， 一直未有行波 解的存在性和穗定性方面的结果. 本文对这种退化的情形， 利用相平面分析法研 究方程( 1 . 1 .4 ) 行波解的存在性， 并利用谱方法和e v a n s 函数方法研究其行波解的 稳定性间题. 系 统( 1 .2 .2 ) 描述的 是一 个恒 温的自 催 化化学反应( 可 参见b n i , b n 2 1 ) . 系 统 中的。 ， 。 分别表示反应物和自 催化剂的浓度，d i , d 2 分别表示反应物和自 催化剂 的扩散常数，k 是指反应率常数， 也称为反应的阶数. 注意到通过适当的伸缩变 换.( 1 . 2 . 2 ) 可化为 ” 韶一“ v a , p )1 , x c r ， d v a a 十“ 沪, ( 1 . 2 . 3 ) -一一 脚讥 了.少飞. 其中d =1 对应反应物的分子量大小相当的情形. 1 9 9 1 年， b n 2 证明 了 : 当， = 2 时 ， 存 在临 界波 速 (p ) 。 ， 对于 任意的 波 速。 全 g (p ) , ( 1 .2 .3 ) 存在连接平 衡点( 0 , 1 ) 和( 1 , 0 ) 的 行波解( 0 . ( 二 一 c ) , o c ( 二 一 c ) ) . 而且与广义f i s h e r 方程( 1 .2 . 1 ) 的 行 波解 类似， 具有临 界波 速。 = c . (p ) 的 行波( 0 . ( x 一 c t ) , g . ( 二 一 c t ) ) 在 士 0 0 两端都以指数率衰减， 而具有非临界波速c 氏 在一 0 0 端以指数率衰减: 在十 0 0 端则以代数率。 佃 存在性结果可推广到任意的p 1 的情形. 峡的 行 波( c ( - ) , c (， 一 d ) ) - -r) 袭减. 事实 上，b n 2 的 b a lm f o r t h - c r a s t e r - m a lh a m b c m 的数 值结果表明，当 反应的阶数， 1 超过某个依技于系数d 的临界值域 司时， 行波 解是不稳定的. 最近，g u b e m o v - m e r c e r - s i d h u - w e b e r g m s w 提出了 用e ， 函 数 来研究( 1 .2 .3 ) 行波解的数值算法. 我们这里用谱方法和半群理论研究 ( 1 .2 . 3 ) 的 第一章 前言 第 7 页 行波解在适当的加权空间里的渐近稳定性 i . s 主要结果 在第一 部分( 第2 章一 第3 * ) 本文研究了广义f is h e r 方程( 1 .2 .1 ) 的波 前解 在适当意义上的渐近稳定性. 这个方程的特点是， 当考察其行波解的稳定性时， 在行波附近得到的线性化算子 的本质谱包含零点， 没有与原点严格分离开， 不能直接利用经典的半群理论得到行波解的稳定性. 第2 章主要讨论广义f is h e r 方程( 1 .2 . 1 ) 具有非临界波速。 g (p ) 的波前解 的渐近稳定性. 此类行波的特点是: 它在一 0 0 以指数率衰减， 在+ 0 0 以代数率衰 减. 首先， 对任意的波速。 g ( p ) ， 通过加指数权， 使得线性化算子在加权空间 的本质谱移到左半复平面， 与原点严格分离开; 并进一步证明了所有本征值的实 部有一致的负的上界. 从而利用半群理论， 得到每个具有非临界波速。 0 . ( p ) 的 行波在指数加权空间里的局部渐近穗定性. 其次， 我们考察行波在较弱的扰动意义上的稳定性， 如在多项式加权空间里 研究行波的稼定性， 此时线性化算子的本质谱仍包含零点， 经典的半群理论不 再适用. 利用细致的谱分析、e v e s ”函数方法和j g k 中半群估计的墓本思想， 我们 得到半群的 衰减的 细致估计， 从而证明了方程( 1 .2 . 1 ) 每个具有非临 界波 速 。 c . (p ) 的行波解的局部渐近代数稳定性 此结果验证了 文献s m 】 中 对。 c . ( 2 ) 情形的数值结果. 要说明的是， 由于非临界波速的行波在 十 0 0 以较慢的代数率衰减， 这导致在 研究线性化算子的本征值间题时， 不能直接根据经典的常徽分方程的渐近理论确 定本征值问题的解在+ 0 0 的渐近行为， 这使得原来用于证明零是简单本征值及 其余本征值均具有负实部的经典方法不再适用， 而且也无法定义耍用到的e v a n s 函 数d ( 1 ) . 本文 通过利 用更一 般的 常 徽分方程 解的的 渐近理论， 得到了对 本征 值 问题的解在+ 0 0 的渐近行为的非常细致的刻画. 基于此， 一方面， 我们通过细致 的谱分析， 得到了关于线性化算子分别在指数、 代数加权空间里的谱的估计; 另 一方面， 我们也定义了e v a n s 函致， 并利用特殊的变换和技巧， 证明了此处构造 的e v a n s 函 数关于a 的解析性， 这对于在多项式加 权空间 进行半群估计是非常重 要的，同时这意味着本文在一定程度上推广了e v a n s 函数的定义. 定 理1 . 1 阔部 渐近指橄 稼定 性 ) 对每 个固 定的 波速。 回， 0 a 。 使得若初值满足 11( 1 十 e 0 z ) ( v q ( x )