（基础数学专业论文）李超代数的广义导子.pdf

摘要 本文主要通过导子和广义导子研究李超代数和幻m z l e 代数。在第一部分，我们研 究了李超代数的超导子、超拟导子、超型心、超拟型心，它们都是特殊的广义导子证明 了，在通常的运算下，李超代数的超导子的全体、超拟导子的全体、广义导子的全体都构 成李超代数，超型心的全体是结合的超代数同时，我们还研究了它们之间的相互关系 在第二部分，讨论了与二元l n t t r e 僦多项式代数相关的砒型九d m z 沈代数首先讨论 了坊( c 时1 ，砖1 】) 的阶化，得出了d ，( c 咛1 ，砖1 】) 存在自然的阶化的充要条件接着我们 讨论了c 时1 ，砖1 】的伊导子，得到了使每一个伊导子都是内萨导子的充要条件在一般 情形下，给出了每个伊导子的具体形式我们还给出了使 d m z i e 代数以( c 时1 ，砖1 】) 是单代数的条件最后，我们将这些工作推广到了n 元l n u r e 秕多项式代数的情形 关键词：李代数；李超代数；导子；广义导子；伊导子；危o m z i e 代数 1 a b s t r a c t t h i sp a p e rd b c u s s e sm a m l yl i ed i g e b r 嬲a n dl i es u p e r a l g e b r 嬲b yd e r i v a t i o 璐a n dg e n e r - a l l i z e dd e r i v a t i o r l s i i lt h e 丑r s tp a r t ，w es t u d ys u p e rd e r i v a t i o n s ，s u p e r - q u a s id e r i 址i o n s ，s u p e r c e n t r o i d sa n ds u p e r - q u 嬲ic e n t r o i d so fl i es u p e r a l g e b r 粥，a l lo ft h e ma r es p e c i a lg e n e r a i i z e d d e r i v a t i o n s i ti sp r o v e dt h a 七t h es e to fa s u p e rd e r i v a 七i o 璐，t h es e to f 址ls u p e r q u a s id e r i v 孙 t i o 璐a n dt h es e to fa l lg e n e r a l l i z e dd e r i 、，a t i o 璐a r el i es u p e r a l g e b r 嬲，a n dt h es e to fa l l ls u p e r c e n t r o i d si sa na s s o c i a t i v es u p e r a l l g e c r a t h er e l a t i o n so ft h e m 铷一ea j s oc o n c e r n e d i nt h es e c o n dp a r t ，w ed i s c u s sh o m l i ea l g e b r 勰o fw i t tt ) r p ea s s o c i a t e dw i t h t h ea l g e - b r a so fl a u r e n tp o l y n o m i n a bi i lt w o 、瑁心i a b l e s a tt h eb e g m n j n go ft h i sp a n ，t h eg r a d i n go f 见( c 【t 1 ，t 手1 ) 】i sd i s c u s s e d ，a n dan e c e s s a 巧a n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o nt h a te n s u r et h ee x 醅 t e n c eo fn a t u r a lg r a d i n go f 眈( c 【t 1 ，黜) i so b t 咖e d t h e nw e 曲c u s st h e 伊d e r i v a t i o n so f c 时1 ，t 手1 】，a n dan e c e s s a r ya n ds u 伍c i e n tc o n d i t i o ni so b t a l i n e ds u c ht h a te a c h 伊d e r i v a t i ( mi sa i n n e r 伊d e r i v a t i o n i ng e n e m a l lc a s e s ，t h ec o n c r e t ef o r mo fe a c h 伊d e r i v a t i o ni sp r e s e n t e d t h e c o n d i t i o ns u c ht h a ta l l lt h eh o m - 1 i ea l g e b r a so f 仇( c 时1 ，t 手1 】) a r es i m p l ei s 甜s o 昏v e n f i n a u y a b o v er e s u l t sa r eg e n e r 甜i z e dt ot h ea l g e b r a so fl a u r e n tp o l y n o m i n 反bi 1 1nv a f i a b l e s k e y w o r d s ：l i ea l g e b r a ；l i es u p e r a l g e b r a ；d e r i v a t i o n ；g e n e r a l i z e di i e r i v a t i o n ；伊d e r 王v 舢 t i o n ；h o m - l i ea l l g e n r a 2 e n d ( a ) a 礼他( r ) d ( t ) q d ( t ) c ( t ) q c ( t ) g d ( t ) 夕c d ( s ) u f d d e ( a ) j n 他，( a ) 记号 代数a 的线性变换全体 映射丁的左零化子理想 李超代数t 的的超导子代数 李超代数t 的的超拟导子代数 李超代数t 的超形心 李超代数t 的超拟形心 李超代数t 的的广义导子代数 集合s 中元素的最大公因子 唯一因式分解整 代数a 的盯导子代数 代数a 的内盯导子代数 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理。 研究生签名，王垒当导师签名： 第一章前言 1 1问题的背景 对于域f 上的任意代数a ，a 的导子是指集合d e 7 ( a ) = 6 e 佗d ( a ) l6 ( z y ) = 6 ( z ) y + 面( ) ，vz ，暑a 设6 l ，如d e r ( a ) ，f 6 1 ，如】= 西。如一屯。占1 ，o 为线性变换的复合，经 验算可知，d e r ( a ) 在运算【，】下是封闭的因此，d e r ( a ) 是夕f ( a ) 的子代数从而我们 可以借助d e r ( a ) 研究a 本身的结构和性质并且，某些线性变换的李代数很自然地来 源于代数的导子，即导子代数是李代数的重要来源所以，导子是代数研究的重要对象 导子广义化是目前人们关注的一个热点日 o 缸在【3 中讨论了环的广义导子l e e 在此基础上【8 】讨论了左忠实环上的广义导子a s 胁n ，a 托和r n 删【2 】将广义导子的理 论进一步地拓展到了素环上，在【1 中a 6 沈印伽r ，m d s z e 肮o n ，t 忌佗口m 讨论了模上的广义 导子 近年来，李代数的广义导子的受到广泛关注l 即e r 和l 乱七s 在【1 0 】中讨论了李代数 的广义导子文中不仅对李代数l 的导子d e r ( l ) ，拟导子q d e r ( l ) ，型心c ( l ) ，拟型 心q c ( l ) 等概念进行了清晰地描述，还将这些概念用广义导子g e n d e r ( l ) 统一起来，并 且得出了这些概念之间的一些关系如对于中心为。的李代数l ，l 笺o d ( l ) d e r ( l ) q d e 7 ( l ) gg e 佗d e r ( l ) 冬夕z ( 三) 李超代数和李代数有着深刻的联系，它们紧密地依赖于李代数李超代数曾经被称 为阶化的李代数，李代数本身又可看作一类特殊的李超代数。总的来说，李超代数并不是 李代数，但是二者之间有着密切的联系。根据定义，李超代数是指一类汤阶化的代数， 它的乘法满足阶化反对称性以及阶化j a c 0 觇恒等式基于超对称性，李超代数在物理学 领域有着相当广泛的应用为核物理，超引力以及弦理论与凝聚态物理的研究提供了理 论依据李超代数最早的例子是由a y 巧e n 钍拈于1 9 5 5 年给出的自此以后，李超代数 引起了数学界和物理学界的广泛关注 1 9 7 5 年， c d r 叫饥，7 e m o n 以及s e r 几6 e r 9 就李 超代数的产生的背景进行了细致的阐述。1 9 7 7 年k o c 在【6 】中对李超代数的数学理论进 行了阐述，讨论了特征为。的代数闭域上的有限维单李超代数的分类1 9 7 8 年，在k o c 的基础之上s c e u 佗e 州1 5 】对特征为。的代数闭域上的有限维单李超代数的分类的进行了 总结特征零域上李超代数的研究开始较早，已经取得了丰硕的成果，近些年来，也有 了不少对素特征域上的李超代数( 即模李超代数) 的结构、分类、表示方面的讨论张永 正，刘文德在【1 7 】中讨论c 口r n n 型模李超代数，构造了四类c o r t n n 型模李超代数，讨 论了李超代数的结合型与深度1 的z 一阶化李超代数，还介绍了形式向量场上的两类无 2 东南大学硕士学位论文 限维的c 口r o n 型李超代数 李代数的形变理论在物理学中的弦理论、顶点算子模型、量子散射及格模型中有着 广泛的应用许多有关导子广义化的研究是由李代数的形变展开讨论的我们知道，w 僦 代数是类无限维的李代数，它们是由单位圆s 1 上的复多项式向量场生成的于是任意 一个w 溉代数u ，可以定义为u = c oy e d ( s 1 ) = o 。zc d r i ，这里厶= 一t n + 1 d 班是 u 的一组线性基。并且，可以通过生成子d ，i 之间的运算关系( 厶，) = 一m ) 如+ m 来定 义u 上的李乘积这就是说，任意的，u ，存在着，c 【，_ 1 】，使得，= ，d 出 从而u 可以看成是由c 【t ，t - 1 】的导子形成的李代数一旦将通常的导子进行形变，则其 相关的代数也会发生形变日n r 抛氓l 口r s 删嚏和s 洳e 5 打。可在【5 】中首先抽象地讨论了 满足u f d 条件的代数的广义导子，证明了这类代数的伊导子是秩为1 的自由模，即 任意的满足u f d 条件的代数a ，存在生成子使得仇( a ) = a 在a 上赋予 【】，运算，则a 满足反对称性和广义的j 彻跣恒等式，是一个 o m z i e 代数一元 l n 乱r e m 多项式代数c p ，_ 1 】满足u f d 条件，所以仉( c p ，- 1 】) 是一个h d m 一跣e 代数 q u 0 5 i 一执代数包含了b m 一托e 代数，c d z o r 李代数，李代数，李超代数等一系列的概念 r i c 危n r d 和s 渤e s 打伽【1 4 】在【5 】的基础之上，进一步研究了与一个变量的l 口u r e 耐多项式 代数c k t - 1 】相关的的彤优型 d m z i e 代数的g 乱n s 一z t e 结构首先得出了d 。( c 【t ，t - 1 】) 和j r n n ，( c 陋，t - 1 】) 的关系接着，讨论了岛( c 【t ，t _ 1 】) 的阶化性质和结构特点 1 2 本文的主要工作 我们知道，许多单李代数都是某一类代数的导子代数本文的目的是通过对导子的 各种推广的情形的讨论，研究更一般的代数系统之间的关系及它们的结构 受到【1 0 】的启发，再根据李超代数和李代数之间的联系和区别，在第一部分中，我 们首先研究李超代数的超导子、超拟导子、超型心、超拟型心，并引入了李超代数的广 义导子的概念，进而将李超代数的超导子、超拟导子，超型心、超拟型心等一系列的概 念都统一到广义导子这一框架之下，得出了在定义的【，】运算下，李超代数的超导子， 超拟导子，广义导子是李超代数。在通常的运算下，超型心是结合的超代数同时我们 还指出了它们的性质和相互关系( 命题2 2 1 ，命题2 2 3 ，命题2 2 4 ，定理2 2 1 ) 日n r 叫匆，l o r s s m 和鼠z u e s 打伽的研究工作具有深刻的李代数研究的背景我们知 道，素特征的有限维的单李代数大致地可以分为c z n s s c o z 型和c n r z o 佗型两大类人们 发现的第一个非c z 口s s i c o z 型的单李代数是见( f m 护) ，称为一元僦型单李代数随 后人们把这一代数从一元情形推广到了多元情形，在多元情形下找到了一系列的单子代 第一章 前言 数，c n r n 他型单李代数都是它们的子代数所以，这些研究工作对于有限维素特征的单 李代数的分类是相当重要的 【5 】 【1 4 】找到了与一元工n 札r e m 多项式代数对应的九d m z i e 代数，受到李代数的研究 思路的启发，我们很自然的想到，研究多个变量的l o 仳r e 埘多项式代数的西导子以及由 此产生的 d m z i e 代数的代数结构 在第二部分，本文讨论了与多元l o e 秕多项式代数相关的僦型危d m 一批代数 首先讨论了眈( c 时，手】) 的阶化，得出了见( c 【士，手】) 存在自然的阶化的充要条件( 定 理3 3 1 ) 接着我们讨论了c 时，t 手】的伊导子，得出了使每个伊导子都是内伊导子的 充要条件。在一般情形下，得到了每个伊导子的具体形式( 定理3 4 1 ) 最后，我们得 出了使的m 一托e 代数眈( c 时，砖】) 是单代数的条件( 定理3 5 1 ) 不仅如此，我们还将 上述的工作拓展到了佗元l o u ，e 秕多项式代数的伊导子上 3 第二章李超代数广义导子的一些概念和性质 本章主要研究李超代数的超导子、超拟导子、超型心、超拟型心，并用广义导子这 一概念将它们统一起来，还研究了这些概念的性质和相互关系 2 1 基本概念和基本性质 假设k 是一个域，它的特征为o ，t 是k 上的李超代数，t = 乃。噩 对于任意的口汤，如令日o m 。( t ) = a 日d m ( t ) ia ( ) c 死+ p ，vp 汤) ，则 日o m ( t ) = 日o m o 口) + 日o m i ( t ) 是一个结合的超代数相应的李超代数记为p z ( t ) = p z 石( t ) + p z i ( t ) ，称川( t ) 是t 上的一般线性李超代数叫( t ) 上的乘法定义为【，】； 【a ，b 】= a b 一( 一1 ) 咖a d e g b b a ，( vq ，p 汤，a 日d m n ( t ) ，b h d m 卢( t ) d i e 9 a 为a 所 在的齐次分支) 定义2 1 1 ：线陛映射a ：t 一? 称为是a 次齐次超导子( q 忍) ，如果a p j 。( t ) ， a 0 耖) = ( a z ) 耖+ ( 一1 ) 咖a d e 夕。z ( 4 ) ( v 毒历，z 延，y t ) 所有口次齐次超导子构成 的线性空间记为玩( t ) 记d ( 丁) = 玩( 丁) o d 口) 命题2 1 1 ；在上面定义的【，】运算下，d ( 丁) 是个李超代数 定义2 1 2 ，线性映射a ：r _ t 称为是a 次齐次超拟导子( a 历) ，如果a p k ( t ) ，| a 。( t ) ，使得a ( z 可) = ( a 7 z ) 剪+ ( 一1 ) d e 9 d e 9 。z ( a 7 妙) ( v f 汤，z 疋，童t ) 所有q 次齐次超拟导子构成的线性空间记为q 现( t ) 记q d ( t ) = q 玩( 丁) o q d i ( t ) 命题2 1 2s 在上面定义的【，1 运算下，q d ( t ) 是一个李超代数 证明；我们知道q d ( t ) 是p z ( t ) 的历阶化的向量子空间，下面证明q d ( t ) 是p z ( r ) 的子代数，即对于va ，b q d ( 丁) ，m ，b 】q d ( r ) 下面分三种情况证明： 1 0 若a ，b q 岛( t ) ，对v 易，z 疋，暑，t ，设 a ( z 夕) = ( a 7 z ) 耖+ ( 一1 ) d e g a 7 咖。z ( a 7 ) b ( z ) = ( b 7 z ) + ( 一1 ) d e g b 7 d e 9 2 z ( b 7 耖) 此时【a ，b 】( z ) = ( a b b a ) ( z 3 ，) ，且d 宅夕【a 7 ，b ， = c l e 9 【a ，b 】= o 4 第二章李超代数广义导子的一些概念和性质 因为 似b ) ( z 耖) = a 【( b 7 z ) + z ( b ) 】 = ( a 7 8 7 z ) 暑，+ ( 一1 ) d e 夕a d 叼。( b 7 z ) ( a 可) + ( a 7 z ) ( b 7 剪) + ( 一1 ) d 叼a 咖z z ( a 7 8 7 秒) = ( a 7 8 7 z ) 可+ ( b 7 z ) ( a 7 可) + ( a z ) ( b 7 耖) + z ( a 7 8 7 y ) 所以 阻，b 】( z y ) = ( a 7 8 7 z ) 暑，+ ( b 7 z ) ( a 7 暑) + ( a 7 z ) ( b 7 暑) + z ( a 7 8 7 可) 一( b 7 a 7 z ) 耖一( a 7 z ) ( b 7 y ) 一( b 7 z ) ( a 7 ) 一z ( b 7 a 7 3 ，) = ( 【，b 】z ) + ( 一1 ) 咖，b ，】咖2 z ( 【a 7 b 7 】可) 所以，当a ，b q d 6 ( z ) ，【a ，b 】q d ( t ) 2 。若a ，b q d i ( t ) ，对v 汤，z 疋，掣t ，设 a ( z 耖) = ( a 7 z ) + ( 一1 ) 如9 a d 叼。z ( a y ) b ( z 耖) = ( b 7 z ) + ( 一1 ) d e 9 b d e 9 。z ( b 7 y ) 此时陋，b 】( z y ) = ( a b + b a ) 可) ，且d e 9 【a 7 ，b ，】= 如夕陋引= o 因为 b ) ( z ) = a ( b 7 z ) 耖+ ( 一1 ) d e 筘z ( b 7 y ) 】 = ( a 7 8 7 z ) 箩+ ( 一1 ) 咖z ( b 7 z ) ( a 7 耖) + ( 一1 ) 咖善( a 7 z ) ( b 7 耖) + z ( a 7 8 7 可) 所以 【a ，b 】( z y ) = ( a 7 8 7 z ) 可+ ( 一1 ) 咖b 。( b 7 z ) ( a 7 y ) + ( 一1 ) 如9 z ( a 7 z ) ( b 7 耖) + z ( a 7 8 7 矽) + ( b 7 a 7 z ) 3 ，+ ( 一1 ) d 叼a k ( a 7 z ) ( b 7 可) + ( 一1 ) 咖。( b 7 z ) ( a 7 可) + z ( b 7 a 7 妙) = ( 【a 7 ，b 7 】z ) 秒+ ( 一1 ) 如9 陋，b ，1 d e 9 茁z ( 【a 7 j e i 7 】y ) 所以，当a ，b q d i ( t ) ，【a ，b 】q d ( t ) 3 。若a q d 6 ( t ) ，b q d i ( t ) ，对vf 历，z 砭，耖t ，设 a ( z 可) = ( a 7 z ) y + ( 一1 ) d e 9 a 7 向z z ( a 7 y ) b ( z 们= ( b 7 。) 暑，+ ( 一1 ) 如g b 7 如鲫z ( b 7 y ) 5 6 东南大学硕士学位论文 此时【a ，引( z 耖) = b b a ) ( z y ) ，且d e 夕【a 7 ，b ，1 = d e 9 b 】= 1 因为 所以 ( a b ) ( z 可) = a 【( b 7 z ) 剪+ ( 一1 ) d e 9 写z ( b 7 y ) 】 = ( a 7 b z ) 剪+ ( b 7 z ) ( a 7 剪) + ( 一1 ) 咖( a z ) ( b 7 耖) + ( 一1 ) 如9 。z ( a 7 b 可) 【a ，b 】( z 暑) = ( a 7 b z ) 可+ ( b 7 z ) ( a 7 可) + ( 一1 ) d e 9 z ( a 7 z ) ( b 7 可) + ( 一1 ) 如9 z z ( a 7 8 7 耖) 一( b 7 a 7 z ) 可一( 一1 ) 如9 z ( a 7 z ) ( b 7 y ) 一( b 7 z ) ( a 7 耖) 一( 一1 ) d e 筘z ( b 7 a 7 y ) = ( 【a ，b 7 】z ) v + ( 一1 ) d c g 7 ，且，1 d e g z z ( 【a ，b 7 】) 所以，当a q d 6 ( t ) ，b q d i ( r ) ，【a ，b 】q d ( t ) 所以q d ( t ) 是李超代数，命题得证 定义2 1 3 ：线性映射a ：丁_ t 称为是a 次齐次广义导子 汤) ，如果a 川。( t ) ， ja 7 ，a p f 。( t ) ，使得a ( z 暑) = ( a 7 z ) 秒+ ( 一1 ) d e 夕a ”d e 9 。z ( a 耖) ， ( v 历，z 巫，t ) 所有q 次齐次广义导子构成的线性空间记为g d 口口) 记g d ( t ) = g d 石( t ) o g d i ( t ) 命题2 1 3 ；在上面定义的【，】运算下，g d ( t ) 是李超代数。 证明：方法类似于命题2 1 2 定义2 1 4 ：q ( t ) = a 川口( t ) i 阻，口如】= o ，vf 汤，z 疋) 称为t 的q 次齐 次超型心记c ( t ) = 岛( t ) o q ( 丁) 命题2 1 4 ：在上面定义的【，】运算下，c ( t ) 是域k 上的结合超代数 证明：我们知道c ( t ) 是历阶化的向量空间，下面证明【以( t ) ，嘞( t ) 】cg + p 汀) ( q ，p 历) ，分三种情况证明： 1 0 如果a ，b 岛( t ) ，那么b 】= a b b a ，如夕【a ，矧= o 对v 专忍，z 巫，由 陋，口如】= o ，可知a 口如一( 一1 ) 咖 咖z o 如a = o 即a o 如= n 出a 由旧，o 如】= o ， 可知b n 如一( 一1 ) 如栌咖z 口如b = o ，即b n 如= n 如- b 于是， 【b 】，o 如】 = 【a b ，口d 叫一 b a ，口d 叫 = a b o d z 一( 一1 ) 咖a b d e 筘q d z a b b a 口如+ ( 一1 ) 咖b a d e 9 卫n 如b a 第二章李超代数广义导子的一些概念和性质 = a b n d z 一口如a b b a o 如+ n d z b a = a o d z b 一口如a b b n d z a + n d z b a = ( a 口d z n d z a ) b 一( b 口如一以z b ) a = 【a o d z l b 一【b 口d z 】a = o 所以【a ，b 】铴( t ) 2 0 如果a ，b 岛( t ) ，那么阻，b 】= a b + b a ，d e 夕陋，b 】= o 对vf 汤，z 巫， 由【a ，o d z 】= o ，可知a n 如一( 一1 ) d e 9 a d e 筘o d z a = o ，即a o 如一( 一1 ) d e g 卫n 如a = o 由 【b ，o 如】_ o ，可知b n 如一( 一1 ) 如g b 咖。n 如b = o 即b n 如一( 一1 ) 如g z 础b = o 于是， 【阻，引，础】 = 【a b ，口6 b 1 + b a ，n 如】 = a b o 如一( 一1 ) d e 9 a b 咖z o 如a b + b a n 如一( 一1 ) d c 9 b a d e 9 z o 如b a = a b n d z 一口d z a b + b a 口如一n d z b a = ( 一1 ) d 。弦a 0 d z b o d z a b + ( 一1 ) d e 9 z b a d z a 一口d 茹b a = 【a 口d z 一( 一1 ) d e g 。n d z 卅b + 【b o 如一( 一1 ) d c 筘n 如b 1 a = n 所以，【a ，b 】岛( t ) 3 0 如果a 嘞( t ) ，b q ( t ) ，那么【a ，引= a b b a ，d e 9 【a ，引= l ，对v 勿，z 巫，由【a ，础】_ o ，可知a 口如一( 一1 ) 咖a 向2 n 如a = o ，即a o 如= 础a 由【b ，n 出】- o ，可知b 础一( 一1 ) d e g b 出筘n 如b = o ，即b o 如一( 一1 ) d e g z o 如b = o 于 是， 【陋，矧，o 如】 = m b ，口d 叫一【b a ，n 如】 = a b n 如一( 一1 ) d e g a - 日d e g 。口如a b b a 口如+ ( 一1 ) 岫b a d e 9 善o d z b a = a b o 如一( 一1 ) 咖。口如a b b a 口d z + ( 一1 ) d e 鲈n 如b a = ( 一1 ) 咖霉a o 出b 一( 一1 ) d e 9 z n d z a b b n 如a + ( 一1 ) d 印霉a 如- b a = ( 一1 ) 咖。( a n d z o 如a ) b 一【b 口出一( 一1 ) d e 筘n d z b 】a = 0 所以，【a ，引劬( t ) 7 8 东南大学硕士学位论文 显然c ( t ) 的乘法满足结合律 命题得证 命题2 1 5 ：设丁= 乃。五是个李超代数，g ( t ) = a 川a ( t ) la ( z 可) = a ( z ) 可= ( 一1 ) d e g a d e 9 。z a ( 秒) ，v 毒，7 汤，z 巫，耖) ( q 历) 证明：因为【a ，口如】= o ，即a 口如一( 一1 ) 向a + 衄z n 如a = o ，所以，对于任意的 秒正 ( a n d 2 一( 一1 ) 如g a 如g z o 如a ) ( 秒) = o 即 a ( z ) = ( 一1 ) d e g a d 叼。z a ( 耖) 再由李超代数的阶化反对称性， z = 一( 一1 ) d e g 茁d 。夕z 可知上式等价于 a ( 暑，z ) = ( 一1 ) 如9 z 【d e 9 a + 。8 9 ( 量，) 一d 8 9 们a ( 可) z 分情况讨论可以知道， a ( 秒z ) = a ( 耖) z 因此 a ( z ) = a ( z ) y = ( 一1 ) 向a 咖z z a ( 秒) 定义2 1 5 ；q 吼( t ) = a p z 口( t ) ia ( z ) 秒= ( 一1 ) 咖a d e 9 。z a ( y ) ，v 忍，z 巫，y t 称为t 的q 次超拟型心记q c ( t ) = q 岛( t ) o q q ( t ) 注2 1 1 ：在通常情形下，超拟型心是是易阶化的向量空间，其中q 倪( t ) = d q ( t ) n q c ( t ) ( 口忍) 2 2 主要结果 这一小节我们讨论与上述概念相关的代数结构 命题2 2 1 ：设t 是一个李超代数，则 ( 1 ) q d ( t ) 是g d 口) 的一个李超子代数 第二章李超代数广义导子的一些概念和性质 9 ( 2 ) 【d 口( t ) ，c 匆( 丁) 】( 瓦+ 卢( t ) ( 3 ) 【q f ) n ( t ) ，q 嘞( t ) 1 q ( k + 卢( t ) ( 4 ) 【q ( 珞( t ) ，q ( t ) 】q z k + p ( t ) ( a ，p 历) 证明：( 1 ) 由命题2 1 2 ，2 1 3 知q d ( t ) ，g d ( t ) 都是李超代数，q d ( t ) 是g d ( t ) 的历阶化的向量子空间，又q d ( t ) 是g d ( t ) 的子代数，得证 ( 2 ) 分四种情况证明： 1 0 如果a d 6 ( t ) ，b 岛( t ) ，那么a ( z 暑，) = ( a z ) 影+ z ( a 耖) ，b ( z ) = z b ( 可) ，且 如9 【a ，b 1 = o ，【a ，b 】= a b b 4 ，对v 忍，z 巫，y t ， f 阻，引，o 如】( 可) = 阻b b a ，o 如】 ) = 【a b ，o d 叫( 耖) 一【b a ，口如】( 可) = ( a b o d z 一口d z a b b a 口如+ o d z b a ) ( 耖) = a b ( z ) 一z ( a b 可) 一b a ( z y ) + z ( b a 暑，) = a k b ( 耖) 】一z 【a b ( y ) 】一b ( a z ) 秒+ z ( a 毫，) 】+ z 【b a ( y ) 】 = ( a z ) ( b 可) + z 【a b ( 秒) 】一z 【a b ( 耖) 】一( a z ) ( b ) 一z 【b a ( 秒) 】+ z 【b a ( 耖) 】 = 0 所以，【a ，b 】岛( t ) 2 。如果a d i ( t ) ，b 岛( t ) ，那么a ( z 秒) = ( a z ) 秒+ ( 一1 ) d c g z z a ( 剪) ，b ( z 耖) = ( 一1 ) d e 9 z z b ( ) 且反汐【a ，b 】= o ，【a ，b 】= a b + b a ，对vf 历，z 巫，耖t ， 【陋，b 1 ，o 如】( 鲈) = 【a b ，口d 叫( 可) + 【b a ，n 如】白) = ( a b o d z n d z a b + b a 口如一口c b b a ) ( 秒) = a b ( z ) 一z a b ) 】+ b a ( z 3 ，) 一z 【b a ( 耖) 】 = ( 一1 ) d e 9 。a 陋b ( 耖) 】一z 阻b ( 可) 】+ b 【( a z ) 耖+ ( 一1 ) d e 9 z z a ( 耖) 】一叫b a ( 秒) 】 = ( 一1 ) 均2 ( a z ) ( b y ) + ( 一1 ) d e 9 z + 咖z z ( a b ( 耖) 一z 【a b ( 秒) 】) + ( 一1 ) d 叼a 。( a z ) ( b 曼，) + ( 一1 ) d e 9 z + d e 筘z ( b a ( y ) 一z 【b a ( 可) 】) = 0 所以， 【a ，b 】岛( t ) 3 0 如果a d 石( t ) ，b 研( t ) ，那么a ( z 耖) = ( a z ) 耖+ z a ( 可) ，b ( z 可) = ( 一1 ) d c g z z b ) ， 1 0 东南大学硕士学位论文 且d e 夕【a ，引= 1 ，【a ，矧= a b b a ，对vf 历，z 巫，暑，t ， 【，b j ，o 出j ( ”) = 【a b ，n d 叫( y ) 一【b a ，口c b 】( 童，) = 【a b a 如一( 一1 ) d e 9 。口如a b b a 口d z + ( 一1 ) d e 9 z o 如b a 】( 暑，) = a b ( z 3 ，) 一( 一1 ) d e g 。z 【a b ( 暑，) 】一b a ( z y ) + ( 一1 ) 如9 。z f b a ( y ) 】 = ( 一1 ) 如g 霉a 扛b ( 可) 】一( 一1 ) 细z z 【a j 5 f ( y ) 】一b 【( a z ) y + z a ( 暑，) 】+ ( 一1 ) 咖。z 【b a ( ) 】 = ( 一1 ) d 叼霉( a z ) ( b 耖) + ( 一1 ) d e 筘z 【a b ) 】一( 一1 ) d e 9 z z 【a b ( ) 】 一( 一1 ) d e 9 a z ( a z ) ( b 秒) 一( 一1 ) 咖$ z b a ( 可) 】+ ( 一1 ) d e 卵z 【b a ( ) 】 = 0 所以，b 】q ( t ) 4 0 如果a d i ( t ) ，b 岛( t ) ，那么a ( z 可) = ( a z ) 可+ ( 一1 ) 咖。z a ( 可) ，日( z 耖) = z b ( 可) 且如夕似，引= 1 ，m ，矧= a b b a ，对v 汤，z 巫，秒t ， 【a ，引，础】( ) = 【a b ，n 如】( 可) 一【b a ，o d 叫( ) = 【a b n 如一( 一1 ) 咖。o d z a b b a 口出+ ( 一1 ) 咖。n d z b a 】( 耖) = a b 耖) 一( 一1 ) 咖。z ( a b 剪) 一b a 妙) + ( 一1 ) 向。z ( b a 秒) = a 陋b ) 】一( 一1 ) 咖。z 【a b ( 耖) 】一b a 0 y ) + ( 一1 ) d e g 七z b a ( 耖) 】 = ( a z ) ( b y ) + ( 一1 ) 咖。z 【a b ( 夥) 】一( 一1 ) d 叼。z 【a b ( 剪) 】 一b 【a ) + ( 一1 ) 咖$ z a ( 耖) 】+ ( 一1 ) d e 筘z 【b a ( ) 】 一( a z ) ( b 秒) 一( a z ) ( b y ) 一( 一1 ) 向。z 【b a ( 剪) 】+ ( 一1 ) d e 筘z 【b a ( 可) 】 = n 因此，阻，剀劬( ? ) ( 2 ) 得证 ( 3 ) 用类似于( 2 ) 的方法即可证明 ( 4 ) 分三种情况证明： 1 。如果a q 岛( t ) ，b q 岛( 丁) ，那么a ( z ) 耖= z a ( ) ，b ( z ) 耖= 。b ( 矽) ，且d e 9 a ，剀= o ，【a ，b 】= a b j e i a ， 第二章李超代数广义导子的一些概念和性质 对于v 历，z 巫，秒t ， ( f a ，b 】z ) 可+ ( 一1 ) d e 9 m ，b 】咖。z ( 【a ，b 】暑，) = 【( a b b a ) ) 】暑，+ 叫( a b b a ) ( 耖) l = 【a ( b z ) 协一b 【( a z ) ( ) 】+ 圳4 ( b 妙) 】一z 【b ( a 可) 】 = ( b z ) ( a ) 一( a z ) ( b ) + ( a z ) ( b 剪) 一( b z ) ( a 暑，) = 0 所以 a ，b 】q 上) 6 ( t ) 2 0 如果a q q ( t ) ，b q 研( t ) ，那么a 0 ) y = ( 一1 ) d 的七z a ( y ) ，b ( z ) 耖= ( 一1 ) d e 筘z b ( y ) ， 且d e 夕【a ，b 】= o ，【a ，b 1 = a b + b a ， 对于v 荨历，z 巫，t ， ( f a ，b 】z ) 毫，+ ( 一1 ) d 叼【a ，b 】d e g z ( 【a ，b 】耖) = 【( a b + b a ) ( z ) 】( 剪) + 引( a b + b a ) ( 可) 】 = 【a ( b z ) 】( 可) + 【b ( a z ) ( 耖) + z 【a ( b 秒) 】+ z 【b ( a ) 】 = ( 一1 ) d e 9 b z ( b z ) ( a 剪) + ( 一1 ) 如9 a z ( a z ) ( b 可) + ( 一1 ) 咖。( a z ) ( b 秒) + ( 一1 ) d e g 七( b z ) ( a 可) = 0 所以， 【a ，b 】q 玩( t ) 3 0 如果a q 岛口) ，b q q ( t ) ，那么a ( z ) 可= z a ( 可) ，b ( z ) 暑= ( 一1 ) 咖z b ( 秒) ，且 d e 9 【a ，b 】= 1 ，【a ，b 】= a b b a ， 对于v 汤，z 巫，耖t ， ( m ，b 】。) 可+ ( 一1 ) d c g 【a ，b 】出筘z ( 【a ，b 】( 可) ) = 【( a b b a ) ) 】( 剪) + ( 一1 ) d e 9 z z 【( a b b a ) ) 】 = 【a ( b z ) 】( y ) 一【b ( a z ) 】国) + ( 一1 ) 咖z 【a ( b ) 】一( 一1 ) d 的。z 【b ( a y ) 】 = ( b z ) ( a 耖) 一( 一1 ) 如9 2 ( a z ) ( b y ) + ( 一1 ) d e 夕。( a z ) ( b 秒) 一( b z ) ( a y ) = 0 因此，阻，b 】sq d i ( t ) 所以命题得证 命题2 2 2 ：假设t 是一个交换或者反交换的超代数，若a ，a 7 ，州( t ) 满足 a ( z 可) = ( a 7 z ) y + ( 一1 ) d e g a ”。咖z z ( a ) ，则有a ( z 暑) = ( a z ) 可+ ( 一1 ) d e 夕a 7 d e 弘z ( a 7 薹) 1 2 东南大学硕士学位论文 命题2 2 3 ：假设t 是一个李超代数，则 ( 1 ) g d n ( t ) = q 上) 口( 丁) + q ( 珞( t ) ( 2 ) q 岛( t ) + 陶岛( t ) ，q q ( t ) 】是g d 6 ( t ) 的理想 证明：( 1 ) 设a g d 。( t ) ，即j a 7 ，a ，p z 。( t ) ，使得a ( z y ) = ( a 7 z ) 暑，+ ( 一1 ) 如g a ”出9 2 z ( a 秒) ， 令b = ( a 7 + a ) 2 ，c = ( a 7 一a ) 2 ，于是有a ( z ! ，) = ( b z ) 秒+ ( 一1 ) d e 9 b 如夕z z ( b ) ， ( c z ) 3 ，= ( 一1 ) 咖c d e g 。z ( c 耖) 即a = b + c ( 2 ) 由命题2 2 1 的( 3 ) ，( 4 ) 可知 命题2 2 4 ： t = h ok 是理想的直和，且a n n ( t ) = o ，则有 ( 1 ) g 现( t ) = g 玩( 日) og 珧( k ) ( 2 ) q d q 口) = q d 。( 日) oq p n ( k ) ( 3 ) q ( 丁) = 瓯( 日) o q ( k ) ( 4 ) q ( 名( 丁) = q c